Teiginių logikos požiūriu teiginys – tai tam tikras teigimas apie dalykų padėtį tikrovėje. Ši logika neatsižvelgia į tai, kad minėtas teigi-mas gali būti stipresnis arba silpnesnis. Štai teiginyje „Būtina, kad Žemė suktųsi aplink Saulę“ teigimas stipresnis nei teiginyje „Galimas dalykas, kad kitose galaktikose yra gyvybė“. Juk pirmasis teiginys sako, kad tam tikra dalykų padėtis – Žemės sukimasis apie Saulę – yra būtinas ir neiš-vengiamas faktas. O antrasis teiginys apsiriboja teigimu, kad kita dalykų padėtis – gyvybės buvimas kitose galaktikose – yra tik galimas, bet jokiu būdu nebūtinas dalykas.
Teiginio tvirtinimą sustiprinantys ir susilpninantys veiksniai va-dinami modalumais (lot. modus – buvimo būdas). Tai būtinumas, ga-limybė, atsitiktinumas bei jų neiginiai. Šie modalumai nurodo dalykų padėties buvimo būdą. Jie teigia, kad ta padėtis tikrovėje yra būtina, ga-lima, atsitiktinė, nebūtina, negalima ar neatsitiktinė.
Modalumai „būtina“, „negalima“, „neatsitiktina“ sustiprina teigi-nio tvirtinimą. O modalumai „nebūtina“, „galima“, „atsitiktina“ tą tvir-tinimą susilpnina. Teiginys, turintis bent vieną modalumą, vadinamas modaliniu teiginiu. Štai teiginys „Atsitiktina, kad Lietuvos krepšininkai Sidnėjaus olimpiadoje pralaimėjo italams“ yra modalinis teiginys. Jame yra teigimą susilpninantis modalumas „atsitiktina“. Jis nurodo, kad lie-tuvių pralaimėjimas italams nebuvo būtinas dalykas: ekipos buvo vie-nodai pajėgios, tad lietuviai galėjo ir laimėti, ir pralaimėti.
Kaip jau minėjome, teiginių logika neatsižvelgia į teiginio stipru-mo laipsnį. Vadinasi, ji netiria stipru-modalumų. Modalumus tiria stipru-modalinė logika. Ši logika taip pat nagrinėja modalinius teiginius, jų ryšius ir iš jų sudaromus samprotavimus. Taigi modalinė logika – tai logikos šaka, tirianti modalumus ir jų raišką teiginiuose bei samprotavimuose.
Kokia dirbtinė kalba vartojama modalinėje logikoje? Pirmiausiai aptarsime modalumams taikomus simbolius. Modalumas „būtina“ čia
1
Modalumai sustiprina arba susilpnina natūralios kalbos teiginius. Iš skyriaus „Dvireikšmė teiginių logika“ žinome, kad natūralios kalbos teiginius dirbtinėje teiginių logikos kalboje pakeičia propoziciniai kin-tamieji p, q, r, s ir t. t. Propoziciniai kinkin-tamieji ir jiems taikomi teiginių logikos operatoriai išlaikomi ir modalinėje logikoje. Ši logika vartoja dirbtinę teiginių logikos kalbą, papildydama ją modalumų simboliais. Iš šių modalinių operatorių, propozicinių kintamųjų ir neigimo operato-riaus kaip tik ir sudarome modalinius teiginius atitinkančias pamatines modalinės logikos formules. Iš viso jų yra šešios:
Lp (skaitome: „teiginyje p nurodyta dalykų padėtis yra būtina“ arba tiesiog „p būtina“1);
∼Lp (skaitome: „teiginyje p nurodyta dalykų padėtis nėra būtina“ arba tiesiog „p nebūtina“);
Mp (skaitome: „teiginyje p nurodyta dalykų padėtis galima“ arba tiesiog „p galima“);
∼Mp (skaitome: „teiginyje p nurodyta dalykų padėtis nėra galima“ arba tiesiog „p negalima“);
Cp (skaitome: „teiginyje p nurodyta dalykų padėtis yra atsitiktinė“ arba tiesiog „p atsitiktina“);
∼Cp (skaitome: „teiginyje p nurodyta dalykų padėtis nėra atsitik-tinė“ arba tiesiog „p neatsitiktina“).
Tai pamatinės taisyklingos modalinės logikos formulės. Šioms formulėms pritaikę teiginių logikos operatorius, gauname kitas taisy-klingas modalinės logikos formules: lp ∨ Mq; ∼Mp ⊃ Cq; ∼l(p · ∼q) ir pan.
kartojimo klausimai
2. Ką tiria modalinė logika?
3. Kas yra modalumas? Ar jį turi kiekvienas modalinis teiginys? 4. Kurie modalumai sustiprina teiginio tvirtinimą, o kurie –
susil-pnina?
5. Ar modalinių teiginių formulėse naudojami propoziciniai kin-tamieji?
6. Ar ∼l(p · q) yra taisyklinga modalinės logikos formulė?
1 Šios ir kitų formulių skaitymo sutrumpinti variantai yra vartojami tik patogumo bei ekonomiškumo dėlei.
Pratimai
1. Nurodytus teiginius pakeiskite modalinės logikos formulėmis: a) Gali būti, kad XXI a. bus išrasti vaistai nuo AIDS.
b) Per artimiausius penkerius metus Lietuvos Respublikos pilie-čių emigracija į turtingas ES valstybes gali ir nesumažėti. c) Naujasis UAB „Savaitgalio pramogos“ direktorius nebūtinai
1
Teisingumas modalinėje logikoje
Dvireikšmėje teiginių logikoje teiginys gali įgyti dvi reikšmes – jis gali būti teisingas arba klaidingas. Teiginys visada nurodo tam tikrą da-lykų padėtį tikrovėje. Jei ta padėtis atitinka tikrovę, teiginys teisingas, o jei neatitinka – klaidingas.
Tą patį galima pasakyti ir apie modalinę logiką. Čia modalinis tei-ginys irgi įgyja minėtąsias reikšmes. Jei jo tvirtinimas atitinka tikrovę, tai tas teiginys teisingas, o jei neatitinka – klaidingas. Štai teiginys, tu-rintis modalumą „būtina“ (jį atitinka modalinės logikos formulė lp), teigia, kad tam tikra dalykų padėtis būtinai egzistuoja tikrovėje. Jei šis tvirtinimas atitinka tikrovę, t. y. jei nurodytos dalykų padėties egzistavi-mas tikrovėje yra iš tiesų būtinas, tas teiginys teisingas. Priešingu atveju jis klaidingas. Savo ruožtu teiginys, turintis modalumą „galima“ (jį ati-tinka modalinės logikos formulė Mp), teigia, jog tam tikra dalykų padė-tis yra galima. Jei ši padėpadė-tis iš tikrųjų gali egzistuoti tikrovėje, minėtas teiginys teisingas. Priešingu atveju jis klaidingas. Panašiai nustatomos ir teiginių, turinčių kitus modalumus, reikšmės.
Modalinių teiginių reikšmes daugelis logikų sieja su šių teiginių padėtimi galimuose pasauliuose. Galimas pasaulis – tai tam tikras žmo-giškojo proto ir vaizduotės kūrinys. Tai logiškai neprieštaringa objektų tvarka. Kitaip sakant, tai tokia objektų tvarka, kurioje nepažeidžiamas prieštaravimo negalimumo dėsnis. Galimi pasauliai gali būti patys įvai-riausi – įsivaizduojami, norimi, numanomi, spėjami ir t. t. Beje, gali-miems pasauliams priskiriamas ir pasaulis, kuriame gyvename ir ku-riame egzistuoja realūs objektai, pasižymintys realiomis savybėmis ir santykiais. Juk būdamas realus, šis pasaulis kartu ir galimas.
Sakykime, kad turime visų galimų pasaulių klasę. Pažymėkime ją simboliu W (tai pirmoji anglų k. žodžio world – „pasaulis“ raidė). Šios klasės elementus – galimus pasaulius – pažymėsime simboliais w1, w2, w3 ir t. t. Visuose šiuose galimuose pasauliuose modaliniai teiginiai tu-rės tam tikrą reikšmę. Kokia toji reikšmė?
Teiginys, turintis modalumą „būtina“ (lp), teisingas kiekviename galimame pasaulyje wx tada ir tik tada, kai šiuo teiginiu nurodoma daly-kų padėtis egzistuoja ne tik pasaulyje wx, bet ir visuose galimuose pasau-liuose. Priešingu atveju tas teiginys klaidingas. Štai modalinis teiginys
„Trikampis būtinai turi tris kraštines“ teisingas kiekviename galimame pasaulyje. Juk turbūt neįmanoma įsivaizduoti tokios objektų tvarkos, kurioje trikampis turėtų kitokį kraštinių skaičių. O teiginys „Būtina, kad žmonių bendravimo priemonė yra natūrali kalba“ klaidingas kie-kviename galimame pasaulyje – net realiame. Juk šis teiginys teigia, kad visuose pasauliuose visiems žmonėms būdinga bendrauti kokia nors natūralia kalba. Tačiau net ir realiame pasaulyje esama žmonių – ne-bylių, kurčiųjų ir kurčnebylių – bendraujančių ne natūralia, o gestų ir pan. kalba.
Teiginys, turintis modalumą „galima“ (Mp), yra teisingas kiekvie-name pasaulyje wx tada ir tik tada, kai šiame teiginyje nurodyta dalykų padėtis egzistuoja bent viename pasaulyje wx arba kuriame nors kitame. Priešingu atveju tas teiginys klaidingas. Teiginys „Žmonės gali mokėti dvidešimt kalbų“ teisingas kiekviename galimame pasaulyje. Šis teigi-nys sako, kad bent viename pasaulyje kai kurie žmonės moka dvidešimt kalbų. O toks yra realus pasaulis – jame esama poliglotų, mokančių net daugiau nei dvidešimt kalbų. Lygiai taip pat galima įsivaizduoti keletą logiškai neprieštaringų pasaulių, turinčių dar daugiau poliglotų.
Teiginys, turintis modalumą „negalima“ (∼Mp), yra teisingas kie-kviename pasaulyje wx tada ir tik tada, kai šiame teiginyje nurodyta dalykų
padėtis neegzistuoja ne tik pasaulyje wx, bet ir kituose galimuose pasau-liuose. Priešingu atveju tas teiginys klaidingas. Teiginys „Žmogus negali gyventi 110 metų“ yra klaidingas kiekviename galimame pasaulyje. Juk jis teigia, kad joks žmogus jokiame pasaulyje negali išgyventi 110 metų. Tačiau net ir realiame pasaulyje kai kurie žmonės išgyvena šimtą dešimt ar net daugiau metų. O ką jau kalbėti apie kitus logiškai neprieštaringus pasaulius, kurių gyventojams galime suteikti dar ilgesnį amžių.
Teiginys, turintis modalumą „nebūtina“ (∼lp), yra teisingas kie-kviename pasaulyje wx tada ir tik tada, kai šiame teiginyje nurodyta
da-lykų padėtis neegzistuoja bent viename pasaulyje – wx ar kuriame nors kitame. Priešingu atveju tas teiginys klaidingas. Teiginys „Nebūtina,
141
Teiginys, turintis modalumą „atsitiktina“ (Cp), yra teisingas kie-kviename pasaulyje wx tada ir tik tada, kai šiame teiginyje nurodyta
da-lykų padėtis vienuose galimuose pasauliuose egzistuoja, o kituose – ne. Priešingu atveju tas teiginys klaidingas. Galiausiai teiginys, turintis mo-dalumą „neatsitiktina“ (∼Cp), yra teisingas kiekviename pasaulyje wx tada ir tik tada, kai šiame teiginyje nurodyta dalykų padėtis arba egzis-tuoja visuose galimuose pasauliuose, arba neegzisegzis-tuoja. Priešingu atve-ju tas teiginys klaidingas.
kartojimo klausimai
1. Kokias reikšmes gali įgyti modalinis teiginys? Ar jis gali įgyti reikšmes „būtina“, „galima“, „atsitiktina“?
2. Kas yra galimas pasaulis?
3. Ar galimų pasaulių klasei priklauso ir realus pasaulis?
4. Kada teiginys, turintis modalumą „būtina“, yra teisingas gali-mame pasaulyje wx? Kada jis klaidingas?
5. Kada teiginys, turintis modalumą „galima“, yra klaidingas gali-mame pasaulyje wx? Kada jis teisingas?
Pratimai
1. Nustatykite šių teiginių reikšmes kiekviename galimame pa-saulyje wx:
a) Sniegas būtinai yra baltas.
b) Nebūtina, kad protingos būtybės turėtų protą. c) Šuo gali turėti penkias kojas.