II. TINJAUAN PUSTAKA
2.12 Model Generalized ARCH (GARCH)
19
Autokovarian dari AR (1) dapat dihitung dari persamaan (2.9)
( ) = untuk k = 0, 1, 2, …
Nilai varian diberikan sebagai: (0) =
Hubungan dengan fungsi autokorelasi diberikan sebagai: ( ) = ( )( ) untuk k = 0, 1, 2, 3,…
Ini menyebabkan proses stasioner AR (1) turun secara eksponensial (Montgomery, Jennings, & Kulachi, 2008).
2.7 ModelMoving Average(MA)
Modelmoving averagedengan order q dinotasikan MA (q) didefinisikan sebagai : xt= µ +εt-θ1εt-1-θ2εt-2-θ3εt-3-…-θqεt-q ; εt~ N (0,σ2)
xt : nilai variabel pada waktu ke-t εt : nilai error pada waktu t
θi : koefisien regresi, i:1,2,3, …,q q : order MA
Persamaandi atas dapat ditulis dengan operatorbackshift(B), menjadi : xt= µ + (1 + θ1B + θ2B2+ … + θqBq) εt
= µ + (1 - ) εt
= µ + ( )εt (2.13)
20
Karena εtwhite noise, nilai harapan MA (q) adalah
E (Xt)= E (µ + εt-θ1εt-1-θ2εt-2-θ3εt-3-…-θqεt-q) = µ
Var (xt) = (0)= Var (µ + εt-θ1εt-1-θ2εt-2-θ3εt-3-…-θqεt-q) = σ2(1 + θ12 + θ22+ … + θq2)
Dengan cara yang sama diperoleh nilai autokovarian padalagk ( )= Cov (xt,xt+k)
= E [(µ + εt-θ1εt-1-…-θqεt-q) ( µ + εt+k-θ1εt+k-1-…-θqεt+k-q)]
= + + + = 1, 2, ,
0 >
Diperoleh nilai autokorelasi padalagk yaitu ( ) = ( )(0)=
( + + + )
1 + + + , = 1, 2, 3,
0 , >
Dari bagian ini diperoleh bahwa nilai ACF sangat membantu dalam mengindentifikasi model MA dan order cut off tepat setelah lag q (Montgomery, Jennings, & Kulachi, 2008)
.
2.7.1 Order PertamaMoving AverageMA(1)
Model paling sederhana dari Moving Averageyakni MA (1) ketika nilai q =1 yaitu:
xt= µ + εt-θ1εt-1
untuk model MA (1) kita peroleh nilaiautocovariance function
21
(1) =
( ) = 0 k > 1
Demikian pula, kita peroleh fungsi autokorelasi
(1) = 1 +
( ) = 0 > 1
Kita dapat lihat bahwalagpertama fungsi autokorelasi pada MA (1) dibatasi (1) =
1 +
1 2
dan autokorelasicut offsetelahlag1(Montgomery, Jennings, & Kulachi, 2008).
2.8 ModelAutoregressive Moving Average(ARMA)
Dalam bentuk umum, model Autoregressive Moving Average atau ARMA(p,q) diberikan sebagai
= + + + + +
= + + (2.14)
Persamaan 2.14 dapat ditulis denganbackshift operatormenjadi:
(1- + + + ) Xt= (1+ )
atau ( ) = + ( )
dengan
xt = nilai variabel pada waktu ke-t = koefisien regresi ke-1 , i=1,2,3,...,p
22
= parameter model MA ke-i, i=1,2,3,...,q = nilai error pada waktu ke-t
, , , . , = error pada saat t, t-1, t-2,....,t-q dan diasumsikan White Noisedan normal
(Wei, 2006 ).
2.9 Metode Pembentukan ARIMA 2.9.1 Identifikasi Model
Menurut Makridarkis, et.al (1992) hal pertama yang dilakukan pada tahap ini adalah apakah time series bersifat stasioner atau tidak. Kestasioneran suatu time series dapat dilihat dari plot ACF dan PACF yaitu koefisien autokorelasinya dan autokorelasi parsialnya menuju nol
1. Jika terdapat lag autokorelasi sebanyak q yang berbeda dari nol secara signifikan maka prosesnya adalah MA(q).
2. Jika terdapat autokorelasi parsial sebanyak p yang berbeda dari nol secara signifikan maka prosesnya adalah AR(p).
Tabel 2.1Identifikasi Order Model ARIMA dengan Pola Grafik ACF dan PACF
Model ACF PACF
White Noise
ARIMA (0,0,0) tidak adalagyang signifikan
tidak adalagyang signifikan
ARIMA (0,1,0)
d=1 turun secara lambat
signifikan pada order pembedaan
Autoregressive(AR) ARIMA (1,0,0)
1 > 0
turun secara eksponensial (negative spikes)
Cut offsetelahlag1 (negative spike) ARIMA (1,0,0)
1 < 0
Bergerak naik-turun (dimulai darinegative spike)
Cut offsetelahlag1 (negative spike)
23
ARIMA (2,0,0) 1, 2 > 0
turun secara eksponensial (negative spikes)
lag1 danlag2 signifikan (negative spikes)
ARIMA (2,0,0) 1 > 0, 2 < 0
Bergerak naik-turun secara eksponensial
signifikan padalag1 (negative spike), signifikan padalag2 (negative spike) Moving Average (MA)
ARIMA (0,0,1) θ1 > 0
Cut offsetelahlag1 (negative spike)
turun secara eksponensial (negative spike)
ARIMA (0,0,1) θ1 < 0
Cut offsetelahlag1 (negative spike)
Bergerak naik-turun menuju nol (positive and negative spikes)
ARIMA (0,0,2) θ1,θ2 > 0
lag1 danlag2 signifikan (negative spikes)
turun secara eksponensial (negative spikes)
ARIMA (0,0,2) θ1,θ2 < 0
lag1 danlag2 signifikan (negative spikes)
Bergerak naik-turun menuju nol (positive and negative spikes)
AR dan MA ARIMA (1,0,1)
1 >0, θ1 > 0
turun secara eksponensial (negative spikes)
turun secara eksponensial (negative spikes)
ARIMA (1,0,1) 1 > 0, θ1 < 0
turun secara eksponensial (negative spikes)
turun menuju nol (positive and negative spikes) ARIMA (1,0,1)
1 < 0, θ1 > 0
Bergerak naik-turun secara tidak beraturan
turun secara eksponensial (negative spikes)
ARIMA (1,0,1) 1 < 0, θ1 < 0
Bergerak naik-turun secara tidak beraturan (positive and negative spikes)
Bergerak naik-turun secara tidak beraturan (positive and negative spikes)
2.9.2 Pendugaan Parameter Model ARIMA
Pendugaan parameter model ARIMA dilakukan dengan menggunakan metode Maximum likelihood estimation. Metode ini menggunakan prinsip memaksimumkan fungsi likelihooddari model ARIMA untuk menduga parameter
danθ. Diberikan bentuk umum model ARIMA (p,q) sebagai berikut :
= + +
= +
=1 =1
24
dimana (0, ), dan vektor parameter yang akan diestimasi adalah = ( , , , ...., , , , , )
fungsi kepekatan peluang dari = ( , , . , )didefinisikan sebagai berikut : ( )=
Kita dapat menuliskan fungsilikelihooddari = ( , , , ...., , , , , ) L( )= ( ) = ( ) = Kemudian lnlikelihood ln L( )= = ln + ln = ln (2 ) + ln ( ) =ln (2 ) + ln ( ) 2 2 2 =1 = ln 2 ln 2 2 2 2 =1 (2.15)
Selanjutnya turunan dari ln L( | ) terhadap ditentukan menggunakan persamaan (2.15) yaitu sebagai berikut :
( ) = 0 ( 2 2 2 2 =1 ) = 0 (Wei, 2006).
25
2.9.3 Uji Signifikansi Parameter
Uji signifikansi parameter digunakan untuk mengetahui apakah parameter yang diperoleh signifikan dalam model atau tidak. Pengujian hipotesis dapat dilakukan sebagai berikut :
ParameterAutoregressiveAR (p), yaitu:
H0: = 0 (parameter tidak signifikan dalam model) H1: ≠ 0(parameter signifikan dalam model) Taraf signifikansi α = 0,05
Jika nilaip-value< α maka tolak H0atau dapat dikatakan parameter signifikan dalam model. Jika nilaip-value>α makatidak ada alasan menolakH0
ParameterMoving AverageMA (q), yaitu:
H0: = 0 (parameter tidak signifikan dalam model) H1: ≠ 0(parameter signifikan dalam model) Taraf signifikansiα = 0,05
Jika nilaip-value < α maka tolak H0 atau dapat dikatakan parameter signifikan dalam model. Jikanilai p-value>α makatidak ada alasan menolakH0.
2.9.4 Pemeriksaan Diagnostik
Pemeriksaan diagnostik dilakukan dengan mengamati apakah residual dari model terestimasi merupakan proses white noise atau tidak. Model dikatakan memadai jika asumsi darierror( t) memenuhi proseswhite noisedan berdistribusi normal.
26
Uji kenormalan error digunakan untuk melihat apakah suatu proses error berdistribusi normal atau tidak. Uji kenormalan dapat dilakukan dengan uji Kolmogorov Smirnovdengan hipotesis
H0= residual berdistribusi normal H1= residual tidak berdistribusi normal Dengan statistik uji
Dhitung=| Ft–Fs |< , maka terima H0. Jika Dhitung> Dtabelmaka tolak H0. Dengan
Ft = Probabilitas komulatif normal (Ft=0,05 - Ztabel).
Fs = Probabilitas komulatif empiris (banyaknya angka sampai angka ke ni /banyaknya seluruh angka pada data).
Salah satu pemilihan model terbaik dari beberapa model yang sesuai dapat berdasarkan nilai AIC (Akaike’s Information Criterion) dan SBC (Schwarz Bayesian Criteria), rumus AIC dan SBC :
AIC = T ln ( ) + 2k SBC = T ln ( ) + k ln (T) Dengan
MSE = ( )
SSE = ( )
k = jumlah parameter yang diduga T = jumlah pengamatan
27
2.10 ModelAutoregressive Conditional Heteroschedasticity(ARCH)
Conditional variancedari residual yang dilambangkan dengan t2, dapat ditulis dengan
t2= + + + +
Dimana variance residual bergantung pada lag ke q dari kuadrat residual, yang dikenal sebagai Autoregresive Conditional Heteroscedastic (ARCH). Secara Lengkap Model ARCH dapat dituliskan sebagai berikut.
= + +
~ (0, 2)
t2= + + + +
dengan merupakan persamaanconditional mean(Brooks, 2014).
2.11 Uji ARCHLagrange Multiplier(LM)
Uji untuk menentukan apakah ‘efek-ARCH’ ada pada residual dari model dilakukan dengan langkah-langkah berikut.
1. Jalankan sebarang bentuk regresi linear, seperti:
= + +
2. Kuadratkan residualnya dan regresikan residual tersebut pada lag ke q untuk menguji order ke-q ARCH,
t2= + + + +
dengan adalah residual. Dapatkan dari regresi ini.
28
3. Statistik uji didefinisikan sebagai
= (2.17)
dimana
= (( ))
T menyatakan jumlah observasi dan adalah r-square, dan berdistribusi ( ).
4. Menentukan hipotesis nol dan alternatif adalah : = 0, i=1,2,...,q
0 atau 0atau .... atau 0 (Brooks, 2014)
2.12 ModelGeneralizedARCH (GARCH)
Model GARCH dikembangkan oleh Bollerslev (1986). Model GARCH mengizinkan conditional variance bergantung terhadap conditional variance pada lag sebelumnya. Dengan demikian, persamaanconditional variancemenjadi
t2= + + (2.18)
Dimana nilai sekarang dari conditional variance diparameterisasi untuk bergantung terhadap lag ke-q dari kuadrat residualnya dan lag ke-p dari conditional variance, dilambangkan dengan GARCH (p,q). Secara lengkap model GARCH dapat dituliskan sebagai berikut.
= + +
29
t2= + +
Dengan merupakan persamaanconditional mean (Brooks, 2014).