Model-Model Antrian

SISTEM TUNGGU

3.2. Model-Model Antrian

Adapun sistem tunggu akan dibahas pada bab ini adalah sebagai berikut ;

Gambar 3.6. Model Antrian

68 Empat model antrian :

1. Model M/M/1/I/I

Gambar 3.7 Model Antrian Model M/M/1/I/I Rumus :

 Jumlah individu rata-rata dalam antrian

) -(

2







  nq

 Jumlah individu rata dalam sistem total





  -nt

 Waktu rata-rata dalam antrian

) -( 



  tq

 Waktu rata-rata dalam sistem total



  1 tt

 Probabilitas jumlah n individu dalam sistem

69

n

Pn 

 







 









 - 1

 Tingkat kegunaan fasilitas pelayanan

   P

Contoh

Tuan Indra memiliki usaha pompa bensin dengan hanya satu pompa. Mobil yang ingin mengisi bensin datang mengikuti distribusi poisson dengan rata-rata 25 mobil per jam. Bila pompa bensin sedang melayani kustomer maka kustomer yang datang akan pergi ke tempat lain. Waktu yang diperlukan untuk mengisi bensin mobil-mobil tersebut mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata 30 mobil per jam. Dia ingin menganalisa sistem antriannya dengan mempergunakan teori antrian.

Tentukan :

a. Tingkat kegunaan bagian pelayanan pompa bensin.

b. Jumlah rata-rata langganan dalam antrian.

c. Jumlah rata-rata langganan dalam sistem.

d. Waktu menunggu rata-rata dalam antrian.

e. Waktu menunggu rata-rata dalam sistem.

f. Probabilitas lebih dari satu mobil dalam sistem dan lebih dari empat mobil dalam sistem.

70 Penyelesaian :

Diketahui :  = 25 orang per jam

 = 30 orang per jam

a. Tingkat kegunaan bagian pelayanan restaurant.

 

P =

30

25 = 0,8333

Rata-rata bagian pelayanan sibuk 83,33% dari waktunya.

b. Jumlah rata-rata langganan dalam antrian.

) c. Jumlah rata-rata langganan dalam sistem.



d. Waktu menunggu rata-rata dalam antrian.

) e. Waktu menunggu rata-rata dalam sistem.



71

f. Probabilitas lebih dari satu mobil dan lebih dari empat mobil dalam sistem.

Probabilitas lebih dari satu mobil dalam sistem Dengan

Probabilitas lebih dari empat mobil dalam sistem Dengan

72

= 1 – (0,1667 + 0,1389 + 0,1158 + 0,0965 + 0,0804) = 1 – (0,5983) = 0,4017 = 40,17%

2. Model M/M/S/I/I

Gambar 3.8 Model Antrian Model M/M/S/I/I

Rumus :

 Jumlah individu rata-rata menunggu dalam antrian

2 P0

) -(S )!

1

(  



 





 





 S n

S

q

 Jumlah individu rata-rata dalam sistem total

 n_q 

t  n

73

 Waktu menunggu rata-rata dalam antrian

S

 Waktu menunggu rata-rata dalam sistem

 t_q  1

t  t

 Tingkat kegunaan fasilitas pelayanan



 P  S

 Probabilitas tidak ada individu dalam sistem

1

 Probabilitas menunggu dalam antrian



74 Contoh

1. Sebuah bank memperkerjakan tiga teller. Nasabah datang mengikuti distribusi poisson, selama periode waktu 8 jam rata-rata nasabah datang sebanyak 1.750 orang. Jika seorang nasabah mendapati semua teller sedang sibuk ia akan menggabung pada antrian yang dilayani oleh ketiga teller. Waktu trsansaksi antara nasabah dan teller mempunyai distribusi eksponensial dengan rata-rata 0,5 menit. Tentukan :

a. Tingkat kedatangan nasabah per jam.

b. Tingkat kegunaan teller.

c. Probabilitas tidak ada nasabah.

d. Jumlah nasabah rata-rata menunggu untuk dilayani.

e. Jumlah nasabah dalam sistem.

f. Waktu menunggu rata-rata dalam antrian.

g. Waktu menunggu rata-rata dalam sistem.

h. Probabilitas untuk menunggu dalam antrian.

Jawab

Diketahui : S = 3 teller

 = 1.750 nasabah / 8 jam = 218,75 nasabah per jam  = 60 menit/ 0,5 menit = 120 nasabah per jam

75

a. Tingkat kedatangan panggilan per jam.

 = 120 nasabah per jam b. Tingkat kegunaan karyawan.



c. Probabilitas tidak ada panggilan.

1

d. Jumlah pedagang rata-rata menunggu untuk dilayani.

76

e. Jumlah pedagang dalam sistem.

 f. Waktu menunggu rata-rata dalam antrian.

g. Waktu menunggu rata-rata dalam sistem.

77

h. Probabilitas untuk menunggu dalam antrian.

datang mengikuti distribusi poisson, selama periode waktu 8 jam rata-rata nasabah datang sebanyak 1.750 orang. Jika seorang nasabah mendapati semua teller sedang sibuk ia akan menggabung pada antrian yang dilayani oleh ketiga teller. Waktu trsansaksi antara nasabah dan teller mempunyai distribusi eksponensial dengan rata-rata 0,5 menit. Bank tersebut telah menerima keluhan-keluhan dari banyak nasabah bahwa waktu pelayanan terlalu lama. Karena itu, manajer bank sedang mempertimbangkan penambahan satu teller lagi untuk mengurangi waktu menunggu dalam sistem.

Dia merasa bahwa biaya pelayanan total akan naik karena penambahan teller. Bila seorang teller berpenghasilan Rp 3.500,- per jam (termasuk semua gaji dan jaminan lainnya) dan biaya mendapatkan seorang nasabah check out sedang menunggu adalah Rp. 5.500,- per jam (gaji, tunjangan, kehilangan keuntungan karena penundaan dan biaya-biaya lainnya), tentukan apakah lebih baik tetap

78

Total biaya sekarang per jam dengan tiga teller.



^{Ct }



^{SS }



^{CW  SCS ntCW}

= 3 (Rp 3.500) + 2,3876 (Rp 5.500) = Rp 23.631,8,- ≈ Rp 23.650,-

Total biaya per jam dengan empat karyawan.

1

79 memperkerjakan tiga teller lebih murah maka tidak perlu direkomendasikan untuk penambahan satu teller lagi.

80 3. Model M/M/1/I/F

Gambar 3.9. Model Antrian Model M/M/1/I/F

Rumus :

 Jumlah individu rata-rata dalam antrian.

 Jumlah individu rata-rata dalam sistem.

 

81

 Probabilitas jumlah n individu dalam sistem.

_P ⁿ

Sebuah restaurant fast food mengoperasikan sebuah pintu yang melayani pembeli. Restaurant tersebut terletak pada jalan yang ramai tetapi restaurant mempunyai tempat parkir yang terbatas. Tempat parkir yang tersedia hanya 6 ruangan. Tingkat kedatangan pelanggan adalah 21 mobil per jam dan mengikuti distribusi Poisson sedangkan tingkat pelayanan restaurant 36 mobil per jam dan juga berdistribusi Poisson.

Tentukan :

a. Jumlah mobil rata-rata dalam antrian.

b. Jumlah mobil rata-rata dalam sistem.

c. Probabilitas ada 10 mobil dalam sistem.

Jawab

Diketahui :

 = 21 mobil per jam  = 36 mobil per jam  = 6 ruangan

82

a. Jumlah mobil rata-rata dalam antrian.



b. Jumlah mobil rata-rata dalam sistem.

 

83

c. Probabilitas ada 10 mobil dalam sistem.

n

Gambar 3.10. Model Antrian Model M/M/S/F/I

84 Notasi antrian sumber terbatas :

U : Waktu rata-rata antar kedatangan per unit

T : Waktu rata-rata pelayanan per unit

H : Jumlah rata-rata unit yang sedang dilayani J : Jumlah rata-rata unit sedang beroperasi N : Jumlah unit dalam populasi

M : Jumlah channel pelayanan

X : Faktor pelayanan (proporsi waktu pelayanan yang diperlukan)

D : Probabilitas bahwa suatu kedatangan harus menunggu

F : Faktor efisiensi menunggu dalam garis (antrian)

Rumus :

 Faktor pelayanan.

X = T U T



 Jumlah unit rata-rata menunggu untuk dilayani.

nq = N (1 – F)

 Jumlah unit rata-rata dalam sistem.

85

nt = N – J atau nt = n_q + H

 Waktu menunggu rata-rata pelayanan.

q q

n U) (T n



  t_q N

 Waktu menunggu rata-rata dalam sistem.

q q

n U) (T n



 

t_t N + T

 Jumlah rata-rata unit sedang dilayani.

H = F.N.X

 Jumlah rata-rata unit yang sedang beroperasi.

J = N.F (1 – X) Contoh :

Sebuah rumah sakit menginformasikan bahwa rata-rata setiap pasien dari 20 pasien yang ada memerlukan tipe-tipe perawatan tertentu setiap 4 jam. Ada dua orang dokter yang melayani pasien-pasien tersebut dengan rata-rata waktu pelayanan selama 10 menit per pasien. Tingkat kedatangan dan tingkat pelayanan mengikuti distribusi eksponensial, tentukan:

a. Waktu antar kedatangan rata-rata dari setiap pasien.

b. Jumlah pasien rata-rata menunggu untuk dilayani.

c. Waktu menunggu rata-rata pelayanan.

86

d. Waktu menunggu rata-rata dalam sistem.

e. Jumlah pasien rata-rata yang sedang dilayani.

f. Jumlah pasien rata-rata yang sedang beroperasi.

g. Jumlah pasien rata-rata dalam sistem.

h. Probabilitas bahwa pasien akan menunggu untuk dilayani.

i. Jumlah rata-rata fasilitas pelayanan menganggur.

Penyelesaian :

Diketahui :

U = 4 jam per tipe-tipe perawatan N = 20 pasien

T = 10 menit per pasien

 = 2 dokter

a. Waktu antar kedatangan rata-rata dari setiap pasien.

U = 4 jam tipe-tipe perawatan = 240 menit per tipe-tipe perawatan Dengan : X =

U T

T

 =

240 10

10

 = 0,04

b. Jumlah pasien rata-rata menunggu untuk dilayani.

Diketahui :

N = 20, X = 0,04 dan M = 2, dari tabel

87 diperoleh

F = 0,994.

n_q = N (1 – F)

= 20 (1 – 0,994)

= 0,12 pasien ≈ tidak ada pasien yang menunggu.

c. Waktu menunggu rata-rata pelayanan.

q q

n U) (T n



  t_q N

=

12 , 0 20

) 240 10

( 12 , 0





= 1,5 menit.

d. Waktu menunggu rata-rata dalam sistem.

t

t ₌

t

_{q + T}

= 1,5 + 10 = 11,5 menit.

e. Jumlah pasien rata-rata yang sedang dilayani.

H = F.N.X

= (0,994) (20) (0,04)

= 0,7952 pasien ≈ 1 pasien.

88

f. Jumlah pasien rata-rata yang masih dalam ruangannya.

J = N.F.(1 – X)

= 20 (0,994) (1 – 0,04) = 19 pasien.

g. Jumlah pasien rata-rata dalam sistem.

n_t = N – J

= 20 – 19 = 1 pasien.

atau,

n_t = n_q + H

= 0,12 + 0,7952

= 0,λ152 pasien ≈ 1 pasien.

h. Probabilitas bahwa pasien akan menunggu untuk dilayani.

D = 0,202 (diperoleh dari tabel) = 20,2%

i. Jumlah rata-rata fasilitas pelayanan menganggur.

I = M – H = 2 – 0,7952

= 1,2048 dokter ≈ 1 dokter.

89