SEBARAN PELUANG DISKRET
6.5 Sebaran Binomial Negatif dan Geometrik
Percobaan binomial negative adalah suatu percobaan yang berbagai sifatnya sama dengan percobaan binomial, kecuali bahwa disini usaha diulang sampai terjadi sejumlah sukses tertentu.jadi jika n tetap maka ingin diketahui peluang bahwa sukses ke k terjadi pada usaha ke x.
Sebagai contoh dalam usaha meningkatkan mutu ternak sapi Bali dan efisiensi penguunaan pejantan maka dilakukan kawin suntik atau inseminasi buatan (IB). jika diketahui keberhasilan IB 60 % ingin dicari peluang sapi betina yang ke 7 yang di Ib. nyatakan sapi Bali betina yang bunting (sukses) denagnS dan yang gagal atau tidak beruntung denagnG maka salah satu kemungkinan adalah SSGSSGS
Kemungkinan susunan lain dari S dan G dapat disusun sedemikian rupa asalkan memenuhi syarat yang terakhir harus S (sukses) yang ke lima. Jumlah semua urutan yang mungkin sama dengan banyaknya cara memisahkan (menyekat keenam usaha yang pertama menjadi dua kelompok yaitu kelompok pertama mengandung dua G dan kelompok ke dua yang mengandung empat S jadi ada (46) =15 cara yang berlainan itu
178 yaitu :
GGSSSSS, GSGSSSS, GSSGSSS, GSSSGSS, GSSSSGS SGGSSSS, SGSGSSS, SGSSGSS, SGSSSGS, SSGGSSS, SSGSGSS, SSGSSGS, SSSGGSS, SSSGSGS, SSSSGGS
Jadi merupakan peluang mendapatkan 4 kejadian sukses p=0,6 dari 6 kejadian yang terjadi karena kejadian yang ke 7 selalu sukses. Sehingga dapat dihitung besar peluang denagn sebaran binomial sebagai berikut \;
b(4;6,0,6) = (46 ) (0,6)6 (0,4)4-2= 0,112
Sebaran ini sangat menyerupai sebaran binomial sehingga disebut sebaran binomial negative dan diberikan notasi atau lambing b* (x,k,p)
Berdasarkan ilustrasi diatas maka bila usaha yang saling bebas dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan peluang p sedangkan gagal denagn peluang q=1 – p maka sebaran peluang acak X yaitu banyaknya usaha yang tepat pada sukses ke k adalah :
b* (x; k,p) = ) 1 -k
1
-( x pk qx-kdisini x =k, k+1, k+2,………
Contoh
Seekor sapi bali yang diperiksa kesehatannya mungkin jinak (berhasil diperiksa) mungkin juga liar (gagal diperiksa )kemungkinan berhasil atau gagal adalah sama yaitu 0,5 tergantung dari cara pemeriksaannya. Jika seorang doketr hewan memeriksa dengan cara tertentu berapa peluanng sapi yang ke 5 dalam keadaan jinak yang kedua :
179 Jawab
Dengan menggunakan sebaran peluang binomial negatip maka x=5,k=2 dan p=0,5
Sehingga :
b*(5; 2,0,5) = ) 1 -2
-1
( 5 (0,5)2(0,5)5-2
=0,125
Pada sebaran binomial negatip yang bersifat khusus dimana k=1 maka diperoleh sebaran peluang denagn satu S didalam sejumlah usaha yang dilakukan.misalkan pada contoh diatas yaitu pada pemerikasaan kesehatan 5 ekor sapi Bali.
Seandainya 4 ekor sapi yang diperiksa gagal/tidak mau jinak maka eluang sapi yang kelima mau jinak menjadi b*(x; 1,p)
=pqx-1 untuk x=1,2,3,…. Yang suku-suku ekspansinya membentuk persamaan yang meningkat secara geometric. Oleh karena itu sebaran yang demikian disebut sebaran geometric yang dinotasikan dengan g(x;p). umumnya percobaan ini terus menerus dilakukan dn baru berhenti setelah berhasil/sukses,namun saja terus gagal karena peluang berhasil/sukses akan semakin kecil bila percobaan terus dilakukan. Mungkin akan lebih besar kemungkinan akan berhasil jika teknik/cara percobaan yang diruber.
Sebaran geometric terjadi,bila usaha yang saling bebas dan dilakukan berulang kali sampai mencapai sukses,denganpeluang sukses p dan peluang gagal q=1-p maka sebaran peluang peubah acak X yaitu banyaknya yang berakhir sukses yang pertama adalah :
g(x;p) =pqx-1; x=1,2,3,………..
180 Contoh
Telah diketahui bahwa peluang untuk mendapatkan parasit cacing tertetu pada jantung seekor penyu adalah 0,30 jika seorang dokter hewan memeriksa jantung penyu ditempat pemotongan penyu dan dokter hewan tersebut mempunyai keyakinan jik apeluang untuk mendapatkan parasit cacing tersebut pada jantung penyu ≤0,01 maka penyu-penyu yang dipotong ditempat pemotongan tersebut semuanya bebas dari parasit cacing tersebut.
Berapa ekor penyu paling sedikit harus diperiksa untuk meyakinkan bahwa penyu-penyu di rumah potobf tersebut bebas dari parasit pad jantungnya.
Jawab
Dengan menggunakan sebaran peluang geometric p=0,30 dan q =1-0,30 =0,70 maka
Gg(x;p) =pqx-1 0,001= (0,3)(0,7)x-1
Log0,01 = log[(0,3) (0,7)x-1] Log 0,01=Log0,3 + (x-1)Log 0,7
-2 =-0,523 +(x-1)-0,155 -2= -0,523-0,155x + 0,155 0,155x=1,632
X=10,5
181
Karena dokter hewan tersebut baru yakin jika peluangnya
≤0,01 maka diperiksa minimal 11 ekor dank e 11 ekor yang diperiksa menunjukkan negatip/tidak ada cacing pada jantungnya.
6.6 Rangkuman
Peubah acak adalah suatu fungsi bernilai real yang harganya ditentukan oleh setiap anggota dalam ruang sampel.
Dmana peubah acak diskret adalah peubah acak yang didefinisikan pada ruang sampel yang mengandung titik sampel berhingga banyaknya. Sedangkan Peubah acak kontinu adalah peubah acak yang didefinisikan pada ruang sampel yang mengandung titik sampel tak berhingga banyaknya dan sama banyaknya dengan titik pada sepotong garis. Jika distribusi peluang f(x,y), peubah acak X dan Y diketahui, maka distribusi peluang X dan Y sendiri adalah :
Untuk hal diskret g(x) =
y x
y x f y
h y x
f( , ); ( ) ( , )
Untuk hal kontinu g(x) =
f(x,y)dy;h(y)
f(x,y)dxg(x) dan h(y), masing-masing didefinisikan sebagai distribusi marginal X dan Y.
LATIHAN
1. Untuk memeriksa kepalsuan susu serbuk jenis tertentu yang beredar di kota denpasar,maka diperiksa 10 sampel took penjual susu serbuk secara acak dan sample yang diambil berturut-turut
182
diberikan kode 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dan 10 dan seluruh sample disimpan dlam kotak
a. jika pemeriksa mengambil satu sample secara acak berapa peluang bahwa yang terambil adalah sample yang kode 4 b. jika ada dua kemungkinan yang sma yaitu palsu dan tidak
berapa peluang semua sample yang diperiksa tidak ada yang palsu
2. Berdasrkan hasil pemeriksaan pravalensi infestasi cacing Ascaridia galli pada tinja itik Bali jantan adalah 22 %. Bila diperiksa 15 ekor itik jantan hitunglah :
a. paling sedikit 9 ekor didapatkan cacing tersebut.
b. antara 2 sampai 6 ekor didapatkan cacing tersebut c. tepat 5 ekor ditemukan cacing tersebut
d. bila anda yakin pasti salah satu itik yang diperiksa atau minimal satu ekor yang diperiksa pada tinjanya terdapat cacing tersebut, bila peluang ditemukannya 0,99 berapa ekor minimal itik Bali tinjanya harus diperiksa
3. Dua belas butir telur ayam konsumsi yang masing-masing 2,4 dan 6 butir diberi zat pengawet A,B dan C dan kemudian disimpan pada suhu 37 C.jik a telur yang diambil seua diberikat pengawet B
4. Disuatu rumah pemotongan hewan (RPH) dalam jangka waktu satu tahun yang rata-rata memotong sapi betina 50 ekor per hari hanya ada 2 ekor sapi betina bunting yang dipotong berapa peluang dalam jangka waktu satu tahun.
183
a. kurang dari 2 ekor sapi betina bunting
b. antar 1-3 ekor sapi betina bunting yang dipotong c. tidak ada sapi betina bunting yang dipotong.
5. Untuk membuktikan suatu obat yang baru ditemukan dapat menyembuhkan suatu penyakit tertentu pada ternak kambing kacang dalam jangka waktu 3 hari maka obat tersebut disuntikkan pada beberapa ekor kambing penderita.
a. berapa peluang kambing yang ke 7 diobati merupakan sembuh yang ke 3 kalinya dalam jangka waktu 3 hari b. bila pemakai obat tersebut baru yakin obat itu dapat
diandalkan jiak semua ternak diobatiberturut-turut sembuh peluangnya lebih kecil daro 0,01 berapa ekor ternak penderita menimal diobati berturut-turut sembuh.
6. Daging babi yang dipasarkan disekitar kota denpasar disinyalir 20
% tercemar bakteri Salmonella. Untuk yakin 99% bahwa daging babi yang dijual di suatu kias daging bebas dari bakteri salmonella berapa paling sedikit jumlah sample daging yang harus diperiksa
DAFTAR PUSTAKA
1. Ronald E. Walpode, Ilmu Peluang dan Statistika Untuk Insinyur dan Ilmuwan, Penerbit ITB, 1995
2. Jay L.Devore, Probability & Statistics for Engineering and the Sciences, Wadsworth,Inc,1982
184
3. Bethea , Robert M. , Statistical Methods for Engineers and Scientists, Marcel Dekker,Inc, 1985.
4. Ronald E. Walpole, Pengantar Statistika, Edisi Terjemahan, PT.
Gramedia, Jakarta, 1992.
5. Anto Dayan, Pengantar Metode Statistik, Jilid 1&2, LP3S, Jakarta, 1976
6. https://syahrialidroes.files.wordpress.com/2009/.../vi-distribusi-peluang3....
185