BAB III : MASALAH PENDARATAN PESAWAT
B. Model Partisi himpunan
Dalam menyelesaikan masalah penjadwalan penerbangan dengan landasan pacu yang berjumlah satu, masalah penjadwalan dapat diselesaikan cukup dengan menggunakan program linear bilangan bulat saja. Namun untuk penjadwalan penerbangan yang terdiri dari dua atau lebih landasan pacu, maka dibutuhkan model partisi himpunan untuk menyelesaikannya. Berdasarkan informasi yang didapatkan dari urutan pendaratan yang memungkinkan, serta hubungan urutan pendaratan dengan nilai pinalti yang ada, masalah pendaratan dapat dirumuskan sebagai suatu model partisi himpunan. Dengan memodelkan masalah ini ke dalam
model partisi himpunan akan didapatkan rumusan yang lebih baik, daripada hanya mempertimbangkan program linear bilangan bulat saja dalam masalah pendaratan ini.
Model partisi himpunan itu sendiri banyak digunakan untuk memodelkan masalah optimisasi. Sebagai contoh, model partisi himpunan dapat digunakan untuk memodelkan masalah penjadwalan penerbangan, penjadwalan penugasan awak pesawat, dan sebagainya. Sebelum membahas mengenai model partisi himpunan, akan dibahas terlebih dahulu mengenai partisi himpunan.
Secara umum, partisi himpunan didefinisikan sebagai berikut :
Misalkan * + * + dan misalkan * +. Maka P didefinisikan sebagai partisi dari I jika :
1. ⋃
2.
Adapun contoh untuk partisi himpunan adalah sebagai berikut :
Gambar 3.1 : Contoh partisi himpunan (Larsen,2010)
Pada gambar, setiap elemen yang merupakan subset , merupakan bagian dari partisi P. 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐
Berdasarkan partisi himpunan yang telah diuraikan sebelumnya, maka dibentuk suatu model partisi himpunan. Misalkan merupakan biaya yang terkait dengan . Maka ∑ merupakan biaya dari suatu partisi P. Pada model partisi himpunan, fungsi objektif yang diberikan bertujuan untuk meminimalkan biaya dari partisi P* dari I.
Model Partisi Himpunan ini juga dapat dinyatakan sebagai matriks. Untuk setiap vektor (kolom) dari suatu matriks menyatakan subset . Vektor-vektor tersebut haruslah bernilai 0 atau 1. Ukuran dari vektor tersebut akan sama dengan nilai m. Elemen-elemen pada matriks tersebut (misalkan i) bernilai 1 jika i
merupakan subset dari dan bernilai 0 untuk kemungkinan lainnya.
Representasi matriks untuk model partisi himpunan pada Gambar 3.1 Dituliskan sebagai berikut :
1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 = 1 2 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 1 3 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 = 1 4 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 = 1 5 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 = 1 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 = 1 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 = 1 8 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 = 1 9 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 = 1 10 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 = 1 m 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 = 1 c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 c9 c10 c11
Misalkan kolom-kolom tersebut kita anggap sebagai matriks A, maka :
1. Terdapat korespondensi satu-satu antara dan kolom j. 2. Variabel dengan nilai 0 dan 1 terkait dengan kolom j. 3. Dapat ditulis kendala sebagai ( )
Sehingga penyelesaian dari matriks diatas adalah ( ). Secara umum, model partisi himpunan dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi. Adapun rumusan model partisi himpunan untuk menyelesaikan masalah optimisasi adalah :
3.14
dengan kendala :
( ) 3.15
* + 3.16
dimana merupakan biaya dari variabel j, =1 jika kolom j terdapat dalam
kolom i , dan bernilai 0 untuk lainnya.
Dalam masalah pendaratan pesawat, partisi himpunan ini sangat membantu dalam pengelompokkan pesawat dan landasan pacu yang sama. Dengan demikian saat menentukan penjadwalan dengan partisi himpunan ini akan memberikan hasil yang optimal untuk suatu penjadwalan tanpa perlu memilah kembali penggunaan landasan pacu untuk suatu pesawat.
Dalam menyelesaikan masalah penerbangan dengan menggunakan partisi himpunan, ada beberapa hal yang perlu diperhatikan. Misalkan pada Contoh 3.2, terdapat urutan pesawat {1 }. Di dalam model partisi himpunan, urutan
tersebut ditulis dalam bentuk [ 1 1 0 ], artinya yang melakukan pendaratan adalah pesawat 1 dan pesawat 2 pada landasan pacu yang sama. Untuk selanjutnya [1 1 0] disebut sebagai kolom. Adapun bentuk kolom dari semua urutan pendaratan pesawat pada Contoh 3.2 adalah sebagai berikut:
Tabel 3.2.4 : Tabel urutan pendaratan pesawat dalam bentuk kolom
Urutan Pendaratan Kolom Pendaratan Nilai Pinalti Urutan 1 {1} [1 0 0] 0 Urutan 2 {2} [0 1 0] 0 Urutan 3 {3} [0 0 1] 0 Urutan 4 {1 } [1 1 0] 3 Urutan 5 {1 } [1 0 1] 0 Urutan 6 {3 } [1 0 1] 52 Urutan 7 {2 } [0 1 1] 5 Urutan 8 {3 } [0 1 1] 25 Urutan 9 {1 } [1 1 1] 11 Urutan 10 {1 } [1 1 1] 34
Dalam tabel di atas, dapat dilihat bahwa ada beberapa urutan pendaratan yang terdiri dari beberapa pesawat yang sama, namun memiliki nilai yang berbeda. Sebagai contoh terdapat urutan pendaratan {1 } dan urutan pendaratan {3 } dengan nilai pinalti masing-masing 0 dan 52. Dalam
perhitungan pada partisi himpunan, urutan yang terdiri dari pesawat yang sama yang dipertimbangkan hanyalah urutan yang memiliki nilai paling minimum. Dalam hal ini urutan yang memiliki nilai paling minimum adalah urutan {1 } .
Pesawat-pesawat yang dicakup pada kolom yang sama, harus mendarat pada landasan pacu yang sama. Selain itu, kendala yang berkaitan dengan jumlah landasan pacu perlu ditambahkan. Beberapa notasi tambahan yang diperlukan pada model partisi himpunan adalah sebagai berikut :
S : himpunan semua urutan pendaratan yang memungkinkan
: bernilai 1 jika pesawat i muncul pada urutan s ( )
bernilai 0 jika pesawat i tidak muncul pada urutan s.
: nilai pinalti dari keseluruhan urutan pendaratan, dan dituliskan sebagai :
: urutan pendaratan pesawat yang memungkinkan dengan nilai pinalti yang minimum antar kolom yang sama, dimana merupkan bilangan biner yang bernilai 1 jika urutan pendaratan s dipilih dan bernilai 0 jika urutan pendaratan s tidak dipilih
: banyaknya landasan pacu yang tersedia
∑( )
∑ 3.17 dengan kendala : ∑ 3.18 ∑ 3.19
merupakan bilangan biner 3.20 dimana R merupakan jumlah landasan pacu yang digunakan. Pada persamaan 3.17, fungsi objektif berperan dalam meminimalkan akumulasi nilai pinalti dari semua urutan pendaratan. Kendala 3.18 memastikan bahwa setiap pesawat akan mendarat tepat pada satu landasan pacu. Sedangkan kendala 3.19 menunjukkan batasan dari jumlah landasan pacu yang tersedia. Kendala 3.20 berperan dalam menyatukan kendala pada variabel keputusan .
Contoh 3.3 :
Sebelum menyelesaikan masalah pendaratan pada Contoh 3.2 dengan model partisi himpunan, urutan-urutan pendaratan yang telah diketahui nilai pinaltinya dipilih urutan mana yang memiliki nilai pinalti terkecil untuk urutan yang terdiri dari pesawat yang sama. Sebagai contoh, untuk pesawat 1 dan pesawat 3, terdapat 2 kemungkinan urutan, yakni urutan {1 } dan urutan {3 } dengan nilai pinalti masing-masing 0 dan 52. Karena urutan {1 } memiliki nilai pinalti yang terkecil, maka urutan {1 } dipilih untuk pertimbangan dalam menyelesaikan masalah pendaratan ini dengan menggunakan partisi himpunan.
Sehingga untuk keseluruhan nilai minimum dari urutan-urutan yang akan termasuk dalam bagian partisi himpunan adalah sebagai berikut :
Tabel 3.3.1 : Informasi lengkap untuk model partisi himpunan
Variabel Urutan Pendaratan Waktu Pendaratan
0 [1 0 0] {1} {88} 0 [0 1 0] {2} {95} 0 [0 0 1] {3} {100} 3 [1 1 0] {1 } {88, 98} 0 [1 0 1] {1 } {88,100} 5 [0 1 1] {1 } {88, 98, 108} 11 [1 1 1] {1 } {85,95,105}
Berdasarkan model partisi himpunan yang telah dijelaskan pada bagian sebelumnya dan informasi nilai pinalti dari semua urutan pendaratan, maka dapat dibentuk model partisi himpunan untuk contoh kasus masalah pendaratan ini dengan menggunakan 2 landasan pacu :
dengan kendala
Model partisi himpunan untuk masalah pendaratan ini diselesaikan dengan bantuan Software QM for Windows 2 dan menghasilkan :
Berdasarkan hasil yang diperoleh di atas, masalah pendaratan ini memiliki penyelesaian optimal, , - dengan nilai pinalti sebesar 0. Dari hasil ini memberikan informasi kepada kita bahwa untuk mendapatkan urutan pendaratan yang optimum ialah dengan mengkombinasikan urutan yang terdapat pada variabel dan pada 2 landasan pacu. Jika dirangkum, dapat dituliskan sebagai :
Tabel 3.3.2 : Tabel hasil akhir Contoh 3.3
Landasan Pacu Kolom pendaratan Urutan Pendaratan Nilai Pinalti 1 [0 1 0] {2} 0 2 [1 0 1] {1 } 0
Tabel 3.3.2 ini menjelaskan bahwa untuk pesawat 2 mendarat pada landasan pacu pertama pada menit ke 95, dan pesawat 1 dan 3 mendarat pada landasan pacu kedua pada menit ke 88 dan 100. Berdasarkan perhitungan dengan model partisi himpunan, urutan inilah yang paling optimal jika dibandingkan dengan kombinasi urutan-urutan lainnya.