BAB 4 SOLUSI MODEL PEMROGRAMAN INTEGER
4.1 Model Pemrograman Integer
Dalam penelitian ini, akan diselidiki masalah pengaturan waktu selesai- nya target untuk suatu kegiatan proyek dengan durasi (jangka waktu) acak, dengan menggunakan pemrograman linier integer stokastik dua tahap yaitu target ditentukan dan diikuti oleh penyeimbangan jadwal rinci proyek.
Untuk menggambarkan model, digunakan beberapa notasi sebagai berikut:
A : himpunan dari semua aktivitas aktual;
i, j : indeks aktivitas, i, j ∈A= 0,1,· · · , N+ 1, dimana 0 dan N + 1 adalah masing-masing kegiatan dummy yang menunjukkan awal dan penyelesaian proyek;
(i, j)∈P berarti aktivitasj hanya dapat dimulai setelah aktivitas
iselesai; |P|=m
(i, j) : indeks untuk hubungan precedence;
Ω = {ω1, ω2,· · · , ωS}, himpunan dari skenario yang terjadi dimana P rπs positif=P r(ω =ωs), danP
ω∈Ωπs = 1;
pi(ω) : durasi aktivitasi untuk skenario ω∈Ω, p0(ω) = 0, pn+1(ω) = 0;
ci : biaya per satuan waktu terkait dengan waktu target penyelesaian aktivitasi;
di : satuan biaya kendala dari aktivitasi; qi+, q−
i : koefisien biaya penalti yang terkait dengan penyelesaian akhir, awal
aktivitasi;
B : anggaran total sebenarnya;
ti : waktu penyelesaian target untuk aktivitasi; ti∈Z+;
xi : variabel sebenarnya untuk aktivitas i;xi ∈[0, ui]∩Z+;
y+i , y−
i : jumlah satuan waktu terlambat aktivitasi, dari awal sehubungan
waktu penyelesaian targetyi+, y− i ∈Z+.
Diberikant,p,c,d,q+,q−,
u,x,y+,y−
: vektor-vektor kolom dariti,pi,ci,di, qi+, q−
i , ui, xi, y
+
i , y −
i ,i= 0,· · · , n+ 1 (matriks insiden ukuran m x (n+ 2)).
yang diharapkan dari suatu proyek adalah (SP) Min {ct+Q(t) :t∈T∩Zn+2
+ } (4.1)
dengan t : waktu target penyelesaian, t∈Zn+2 T : daerah layak
c : biaya per satuan waktu terkait dengan waktu target penyelesaian
Q(t) : fungsi nilai optimal dari tahap kedua
Selanjutnya pada masalah tahap kedua diselesaikan fungsi nilai optimal
Q(t) = S X s=1 πsv(t, ωs) (4.2) dengan ωs : skenario
v(t, ωs) : fungsi nilai objektif optimal dari suatu penjad- walan tahap kedua
πs = Pr(ω=ωs)
P
ω∈Ωπs = 1
Untuk menyelesaikan waktu target t dengan skenario ω, dimiliki model pemrograman linier integer (ILP) dengan meminimalkan deviasi pinalti total:
v(t, ω) = MinX i∈A (q− i y − i +qi+yi+) (4.3) Kendala tj+yj+−y − j −ti−yi++y − i ≥pj −xj,∀(i, j)∈P (4.4) X i∈A dixi ≤B (4.5) xi ∈[0, ui],∀ i∈A (4.6) xi, yi+, y− i ∈Z+,∀ i∈A y+0 =y− 0 = 0. (4.7)
Menggunakan notasi vektor yang didefinisikan di atas, model (4.3−4.7) dapat ditulis sebagai
Minimalkan q− y− +q+y+, (4.8) Kendala Py+−Py− +Sx≥Sp−Pt, (4.9) dx≤B, (4.10) 0≤x≤u, (4.11) x,y+,y− ∈Zn+2 + , y0+=y − 0 = 0 (4.12)
dimana S adalah m x (n + 2) matriks sehingga jika k kendala utama adalah (i, j), maka Skj = 1 dan semua elemen lainnya di baris k dari S adalah 0.
Tujuan dalam (4.8) adalah untuk meminimalkan jumlah pinalti yang dikelu- arkan deviasi waktu target. Kendala utama (4.9) menjamin jadwal layak, dan (4.10) adalah kendala anggaran. Perhatikan bahwa waktu untuk 0 aktivitas dummy, yang menunjukkan awal proyek, tidak diperbolehkan untuk diubah, sehingga variabel yang sesuai dan dapat dihapus dari formulasi. Namun, di- jaga agar mereka dihindari untuk mendefinisikan baris dari matriks utama. Jika biaya tanpa kendala anggaran terbatas tetapi dipandang sebagai pinalti, maka mereka dapat ditambahkan ke fungsi tujuan. Ini mengarah ke model LP berikut untuk masalah tahap kedua:
Minimalkan q− y− +q+y++dx, (4.13) Kendala Py+−Py− +Sx≥Sp−Pt, (4.14) −x≥ −u, (4.15) x,y+,y− ∈Zn++2, y0+=y− 0 = 0 (4.16) di mana bobot q−
dan q+harus diatur untuk menyeimbangkan biaya d. Satu pertanyaan penting adalah bagaimana memperkirakan parameter dalam mod- el. Meskipun proyek, untuk sebagian besar, adalah tunggal, ada beberapa pe- doman umum untuk melakukan hal ini. Biaya waktu targetci, tergantung pada persyaratan dari pelanggan. Dalam lingkungan penawaran, waktu penyelesa- ian yang diusulkan dapat mempengaruhi probabilitas menang proyek. Setelah proyek diberikan, penundaan mungkin memiliki konsekuensi serius bagi para
pemangku kepentingan, sebagaimana dapat menyelesaikan kegiatan lebih awal dari yang direncanakan. Hal ini terutama benar ketika konsep penjadwalan tepat waktu yang digunakan. Bila diinginkan untuk mendorong secepatnya, koefisien yang sesuai dapat diatur ke nilai negatif.
Estimasi koefisien penalti tidak hanya membutuhkan informasi kontrak penuh, tetapi juga beberapa pemahaman tentang biaya yang terkait dengan gangguan jadwal internal. Sebaliknya, biaya kendala umumnya terkait dengan lembur, mempercepat, dan mungkin, biaya pemanfaatan sumber daya dari luar (outsourcing fees).
Sekarang akan dibahas beberapa sifat dari relaksasi LP model integer programming stokastik (4.1).
Adanya model solusi terbatas (4.8 − 4.12) menunjukkan bahwa untuk masing-masing skenario, menyadari durasi p(ωs) muncul di sisi kanan dari
kendala (4.9) dalam program linier. Oleh karena itu, tahap kedua fungsi ob- jektif yang optimalv(t, ωs) dapat dilihat hanya sebagai fungsi dariSp(ωs)−Pt.
Persamaan (4.2) ditulis ulang sebagai
Q(t) =
S
X
s=1
πsv(Sp(ωs)−Pt) (4.17) dan akan ditentukan
v(z) = Min{q−
y−
+q+y+ :Py+−Py−
+Sx≥ z},(4.10−4.12). (4.18) DimisalkanvLP(z) menjadi nilai dariv(z) bila kondisi integrabilitas padax,y+ dany−
sembarang, sekarang dibangun kondisi di manavLP(z) adalah terbatas
untuk setiap waktu tepat t dan setiap realisasi ketidakpastianω.
Proposisi 1 Nilai fungsi vLP(z) memenuhi ketaksamaan berikut:
(1)vLP(z)<∞,∀ z ∈Rm. (4.19) (2)vLP(z)>−∞,∀ z ∈Rm jika q++q−
≥0.
Perhatikan bahwa biaya sesungguhnya karena selalu diasumsikan non- negatif, baik (4.19) memiliki solusi optimal terbatas tidak terpengaruh oleh kendala anggaran. Untuk setiap z ∈ Rm, daerah feasible dari masalah du-
al dari LP relaksasi dari (4.19) tanpa kendala anggaran dapat ditulis seba- gai {λ ∈ Rm + : λP≥q+, λP≥q − }. Jika q++q− ≥ 0, maka {λ ∈ Rm + : λP≤q+,−λP≤q−
} 6= φ dan karenanya (4.19) memiliki solusi optimal di- batasi, yaitu vLP(z)>−∞.
Mengingat bahwa z muncul di sisi kanan dari kendala pemrograman, diketahui bahwa vLP(z) adalah fungsi cembung dari z, atau t. Namun, ini tidak menjamin solusi terbatas untuk SP. Misalnya, jika ci +q−
i < 0 untuk
kegiatan i, maka ini optimal untuk menetapkan waktu ti selambat-lambat mungkin dan jadwal aktivitas sedini mungkin. Jika c+q− <
0, itu adalah optimal untuk semua himpunan waktu target selambat-lambat mungkin (∞). Akibatnya, dipunyai
Akibat 1. Pemograman Linier (LP) relaksasi SP (4.1) memiliki solusi opti- mal terbatas jika c+q−
≥0 dan q++q− ≥0.
Satu kasus sepele solusi dibatasi terjadi ketikaq+ ≤cdanq−
≥0, yang berarti bahwa pinalti keterlambatan tidak lebih besar daripada biaya target waktu. Akibatnya, selalu optimal untuk menetapkan waktu target sebagai 0.
Analogi untuk masalah penjual surat kabar Pemrograman stokastik masalah SP sisa biaya kelebihan waktu target dengan pinalti waktu target kekurangan. Dengan ’waktu target berlebih’ berarti peningkatan nilai fungsi tujuan per satuan waktu ketika waktu selesai diwujudkan dalam jadwal awal adalah ku- rang dari waktu target. Dengan ’penalti kekurangan waktu’ yang dimaksud meningkatan nilai fungsi tujuan per satuan waktu ketika waktu selesai diwu- judkan dalam jadwal awal adalah lebih besar dari waktu target. Hal ini mirip dengan menjual surat kabar antara kelebihan dan kekurangan biaya dalam masalah penjualan surat kabar tradisional (Porteus 1990). Dalam masalah penjualan surat kabar, keputusan harus dibuat pada sejumlah surat kabar,
keputusan membeli harus dibuat sejumlah surat kabar (dengan biaya per sat- uan c) sebelum realisasi permintaan yang tidak pasti x ≥ 0, yang dicirikan oleh fungsi permintaan kumulatif (CDF/Cumulative Demand Function)F(x),
x ∈ R+. Setelah permintaan tersebut direalisasikan, loker (penjaja) yang menjual surat kabar sebanyak mungkin pada harga satuan p (dengan asumsi
p ≥ c). Jika D permintaan lebih besar dari jumlah yang dibeli, maka semua terjual. Jika D adalah kurang dari jumlah yang dibeli, maka kelebihannya dijual dengan harga sisa satuan s (dengan asumsi s≥c). Misalkancs =p−c
menjadi kekurangan satuan biaya dan ce = c− s menjadi biaya kelebihan satuan. Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa kuantitas pembelian yang optimal loker (penjaja) x∗
harus memenuhi
F(x∗
) = cs
cs+ce
Masalahnya jauh lebih rumit, meskipun, karena adanya beberapa dimen- si dan kendala yang didahulukan. Untuk proyek dengan hanya satu aktivitas (tiga kegiatan jika dua dummy yang dipertimbangkan), sekarang ditunjukkan bahwa SP tanpa kendala setara dengan masalah penjual surat kabar tradi- sional. Misalkan bahwa masalah 1-aktivitas memiliki biaya koefisien q+, q−
dan c, dan bahwa yang memiliki durasi pCDF F(p).
Proposisi 2 Versi 1-aktivitas SP tanpa kendala setara dengan masalah pen- jual surat kabar dengan ce satuan biaya kelebihan dan cs satuan kekurangan biaya , sehingga jikaq+ ≤ 0, maka cs =q+−c, ce = q−+c dan jika q− ≥ 0,
maka cs = q+−c, ce = c. Selain itu, target waktu t∗
optimal diberikan oleh
F(x∗
) = cs
cs+ce
.
Bukti: Solusi dengan informasi yang sempurna adalah untuk mengaturt=p. Jika q−
≤ 0, maka untuk setiap waktu tujuan t, solusi itu adalah optimal untuk jadwal aktivitas sedini mungkin. Untuk kasus ketika t > p (berlebih), satuan biaya kelebihan c+q−
(yakni, satuan biaya waktu target ditambah bonus menjadi awal oleh satu satuan waktu), jika t < p (kekurangan), satu-
satuan waktu dikurangi satuan biaya waktu target). Jika q−
≤ 0, maka opti- mal untuk jadwal waktu penyelesaian aktivitas sedekat mungkin dengan target waktut. Dalam situasi ini, jikat > p(berlebih), solusi itu adalah optimal un- tuk jadwal aktivitas untuk menyelesaikan padatkarena secepatnya dikenakan pinalti. Dengan demikian, satuan biaya kelebihan hanya c. Di sisi lain, jika
t < p, satuan biaya kekurangan masih q+−c.
Nilai optimal dari t mengikuti solusi dari masalah penjual surat kabar tradisional. Dalam masalah penjual surat kabar, diasumsikan bahwa ce > 0
dan cs > 0, yang menyatakan bahwa −q−
< c < q+ untuk suatu proyek 1 aktivitas. Memperluas kondisi biaya produk adalah antara nilai sisa dan harga eceran untuk masalah ini, telah dikatakan bahwa biaya waktu target yang telah ditentukan adalah tidak kurang dari bonus awal dan tidak lebih besar dari pinalti keterlambatan dalam tahap pemulihan proyek. Diasumsikan bahwa kondisi ini berlaku untuk setiap aktivitas, yaitu −q− <c<q+.
Batas untuk waktu target. Dalam masalah dengan ce dan cs > 0, jum- lah pesanan optimal adalah sama dengan permintaan untuk kasus dengan informasi yang sempurna, dan adalah antara permintaan terbesar dan terke- cil untuk kasus stokastik. Sekarang dianggap SP tanpa kendala dan dengan parameter−q−
<c<q+. Masalah ini disebut SP (4.1), yang dapat dilihat se- bagai masalah multidimensi penjual surat kabar dengan kendala didahulukan. Untuk waktu target SP (4.1) terbatas dalam kasus umum, pertama didefin- isikan jadwal awal.
Definisi 1 Jadwal penjadwalan ES(p) adalah jadwal yang diperoleh dengan memulai semua aktivitas sedini mungkin, dimana aktivitas yang ditugaskan pada durasi deterministikp.
Suatu kasus khusus SP (4.1) terjadi ketikaq−
<0. Kondisi ini mengimp- likasikan kehadiran awal yang selalu dihargai sebagai jadwal awal yang optimal untuk semua skenario dan SP (4.1) dikomposis masalah individu penjual surat kabar, satu untuk setiap aktivitas. Dalam masalah penjual surat kabar untuk
aktivitasi, permintaan stokastik sesuai dengan waktu penyelesaian aktivitasi, dan distribusi permintaan memiliki bentuk diskrit (fi(ωs), πs),s= 1,· · · , S, di mana fi(ωs) adalah waktu penyelesaian aktivitas i di jadwal awal ES(p(ωs))
dengan skenario ωs. Satuan biaya kekurangan cs = q1+− ci sesuai dengan
masing-masing biaya kelebihan ce =q− i +ci.
Untuk SP (4.1) dengan realisasi tertentu dari jangka waktu (p(ωs)), je-
las bahwa solusi optimal diberikan oleh jadwal awal ES(p(ωs)). Misalkan
ti dan ti menjadi terlama dan tercepat waktu penyelesaian aktivitas i di {ES(p(ω)) : ω ∈ Ω}. Misalkan ¯pi = max{p(ω)} dan ˆti menjadi waktu se- lesai untuk aktivitas i di jadwal awal ES(¯p). Selanjutnya diberikan proposisi berikut:
Proposisi 3 Untuk SP (4.1), waktu target yang optimal untuk memenuhi ak- tivitasti ≤t∗
i ≤ˆti.
Bukti: Untuk waktu targett, waktu penyelesaian yang sebenarnya untuk ak- tivitas i adalah tidak kurang dari ti untuk setiap skenario. Karena itu, jika
ti diatur kurang dari ti, selalu mungkin untuk meningkatkan ti untuk ti dan
menurunkan tujuan dengan (ti−ti) x (qi+−c). Jadi, t∗ i ≥ti.
Akan dibuktikan batas atas dengan induksi. Misalkan dimiliki suatu proyek dengan satu aktivitas. Karena −q−
< c < q+, dari analogi untuk masalah penjual surat kabar, waktu target yang optimal untuk aktivitas ini adalah mungkin kurang dari durasi terpanjang p . Juga penyelesaian sebe- narnya dari aktivitas ini tidak akan pernah lebih besar dari p. Sekarang per- hatikan sebuah proyek parsial sehingga jika itu termasuk aktivitas j maka semua pendahulu dari j juga disertakan. Misalkan waktu target untuk semua aktivitas dalam proyek parsial memenuhi kondisi batas atas, dan waktu penye- lesaian yang sebenarnya memenuhiti ≤ˆti untuk setiap aktivitasiyang selesai
dalam proyek parsial.
Selanjutnya ditambahkankaktivitas untuk proyek parsial sebagai penerus dari beberapa aktivitas yang ada. Perhatikan bahwa menambahkan aktivitas
ini tidak akan meningkatkan waktu target optimal dari aktivitas-aktivitas yang sudah disertakan. Jika waktu target tk diatur yang lebih besar daripada ˆtk , selalu dapat diturunkan tk untuk ˆtk dan mengurangi tujuan oleh (tk −tkˆ) x (¯qk+c). Oleh karena itu, t∗i ≤ˆti.
Menurut definisi, ˆti ≥ ¯ti untuk semua i. Jika durasi aktivitas adalah variabel-variabel acak yang saling independen, maka ada satu skenario untuk setiap kombinasi jangka waktu yang mungkin dan waktu penyelesaian di salah satu jadwal awal adalah sama dengan batas atasnya, yaitu, ˆti = ¯ti untuk
semua i. Berikutnya karena akan ada satu skenario di mana semua aktivitas mengambil durasi nilai terbesarnya. Ini adalah skenario yang menentukan ˆti.
Perhatikan bahwa dalam beberapa situasi bisa diperoleh t∗
i > tiˆ, yang
berarti bahwa waktu target yang optimal untuk aktivitas i adalah lebih be- sar dari waktu selesai dalam setiap skenario. Hal ini disebabkan oleh pinalti (deviasi) dalam tahap penjadwalan, seperti yang diilustrasikan dalam contoh berikut
Contoh: Misalkan bahwa sebuah proyek terdiri dari dua aktivitas yaitu, aktiv- itas 1 dan aktivitas 2 (aktivitas 1 mendahului aktivitas 2), dan bahwa ada dua skenario secara total, masing-masing terjadi dengan probabilitas 0,5. Misal- kan durasi aktivitasp1 = 1, p2 = 2 untuk skenario 1 dan p1 = 2,p2 = 1 untuk skenario 2. Selain itu, misalkan biaya waktu target akan c1 = c2 = 1 dan satuan tercepat dan pinalti keterlambatan akan q+i =q−
i = 5, i= 1,2. Solusi
optimal untuk masalah ini adalah t∗
1 = 2, t∗2= 4.
Gambar 4.1 : Jadwal: (a) jadwal awal untuk skenario 1; (b) jadwal awal untuk skenario 2; (c) jadwal dengan waktu target untuk skenario 1; (d) jadwal dengan waktu target untuk skenario 2
Gambar 4.1 menggambarkan jadwal awal untuk kedua skenario serta jadwal aktual dengan waktu target yang optimal. Waktu target yang optimal un- tuk aktivitas 2 adalah 4, tapi seperti yang dilihat, aktivitas 2 selalu selesai sebelum 4 di jadwal awal untuk kedua skenario. Intuisi di balik ini adalah sebagai berikut. Dalam urutan untuk menghindari pinalti keterlambatan un- tuk aktivitas 1, waktu target diatur ke 2, ini adalah durasi maksimum yang mungkin. Dalam skenario 1, untuk menghindari pinalti tercepat, itu adalah optimal untuk jadwal aktivitas 1 untuk menyelesaikan pada waktu 2 meskipun durasi disadari hanya 1. Sebagai akibatnya, aktivitas 2 selesai pada waktu 4 sehingga optimal untuk menetapkan waktu target aktivitas 2 sampai 4 untuk menghindari pinalti keterlambatan.