MODEL REGRESI DENGAN DUA VARIABEL

Tujuan Pengajaran:

Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan dapat: Mengetahui kegunaan dan spesifikasi model

Menjelaskan hubungan antar variabel Mengaitkan data yang relevan dengan teori

Mengembangkan data Menghitung nilai parameter Mengetahui arti dan fungsi parameter Menentukan signifikan tidaknya variabel bebas

Membaca hasil regresi Menyebutkan asumsi-asumsi.

BAB III

MODEL REGRESI DENGAN DUA VARIABEL

Bentuk model

Model regresi dengan dua variabel¹⁰ umumnya dituliskan dengan simbol berbeda berdasarkan sumber data yang digunakan, meskipun tetap dituliskan dalam persamaan fungsi regresi. Fungsi regresi yang menggunakan data populasi (FRP) umumnya menuliskan simbol konstanta dan koefisien regresi dalam huruf besar, sebagai berikut:

Y = A + BX + ε ……….. (pers.3.1)

Fungsi regresi yang menggunakan data sampel (FRS) umumnya menuliskan simbol konstanta dan koefien regresi dengan huruf kecil, seperti contoh sebagai berikut:

Y = a + bX + e ……….. (pers.3.2) Dimana:

A atau a; merupakan konstanta atau intercept

B atau b; merupakan koefisien regresi, yang juga menggambarkan tingkat elastisitas variabel independen

Y; merupakan variabel dependen X; merupakan variabel independen

10

Notasi a dan b merupakan perkiraan dari A dan B. Huruf a, b, disebut sebagai estimator atau statistik, sedangkan nilainya disebut sebagai estimate atau nilai perkiraan.¹¹ Meskipun penulisan simbol konstanta dan koefisien regresinya agak berbeda, namun penghitungannya menggunakan metode yang sama, yaitu dapat dilakukan dengan metode kuadrat terkecil biasa (ordinary least

square)¹², atau dengan metode Maximum Likelihood.

Metode Kuadrat Terkecil Biasa (Ordinary Least

Square) (OLS)

Penghitungan konstanta (a) dan koefisien regresi (b) dalam suatu fungsi regresi linier sederhana dengan metode OLS dapat dilakukan dengan rumus-rumus sebagai berikut:

Rumus Pertama (I)

Mencari nilai b: n

(_∑

XY

)

−

(_∑

X

)(_∑

Y

)

2 b = n

(_∑

X

)

−

(_∑

X

)

2 mencari nilai a:

∑

Y − b.

∑

X a = n

Rumus kedua (II)

11

Supranto, J., Ekonometrik, Buku satu, LPFEUI, Jakarta, 1983 12

Ordinary Least Square (OLS) ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss, seorang

Mencari nilai b:

∑

xy b = ₂

∑

x mencari nilai a: a =Y −b X

Misalnya saja kita ingin meneliti pengaruh bunga deposito jangka waktu 1 bulan (sebagai variabel X = Budep) terhadap terjadinya inflasi di Indonesia (sebagai variabel Y=Inflasi) pada kurun waktu Januari 2001 hingga Oktober 2002, yang datanya tertera sebagai berikut:

Observasi Y X1 Jan 01 8.28 13.06 Peb 01 9.14 13.81 Mar 01 10.62 13.97 Apr 01 10.51 13.79 Mei 01 10.82 14.03 Jun 01 12.11 14.14 Jul 01 13.04 14.39 Agu 01 12.23 14.97 Sep 01 13.01 15.67 Okt 01 12.47 15.91 Nop 01 12.91 16.02 Des 01 12.55 16.21 Jan 02 14.42 16.19 Peb 02 15.13 15.88 Mar 02 14.08 15.76 Apr 02 13.3 15.55 Mei 02 12.93 15.16 Jun 02 11.48 14.85 Jul 02 10.05 14.22 Agu 02 10.6 13.93 Sep 02 10.48 13.58 Okt 02 10.33 13.13 Jumlah 260.49 324.22

Bantuan dengan SPSS

Cara memasukkan data tersebut di atas ke dalam SPSS, dapat dilakukan dengan tahapan sebagai berikut:

1. Pastikan bahwa lembar worksheet SPSS sudah siap digunakan. Caranya: tampilkan program SPSS di layar monitor.

2. Masukkan data ke masing-masing kolom. Pastikan bahwa yang aktif adalah Data View (lihat pojok kiri bawah), bukan variabel View!

3. Beri nama kolom tersebut sesuai nama variabelnya. Caranya: klik Variabel View (pojok kiri bawah), maka akan muncul kolom: Name, Type, Width, Decimals, label, values, missing, columns, align, measure. Masukkan nama variabel ke dalam kolom Name. Misal kita mau memberi nama variabel dengan Y, maka ketik Y. Jika hendak memberi nama tersebut dengan Inflasi, maka ketik inflasi. (Meskipun yang dimasukkan adalah huruf besar, tetapi dalam kolom akan muncul huruf kecil).

4. Data awal yang dimasukkan tadi dapat dikembangkan menjadi seperti hitungan dalam tabel di bawah (misal menjadi X1²). Caranya: klik Transform, kemudian pilih Compute, maka layar SPSS akan berubah menjadi seperti dalam gambar sebagai berikut:

Pada kotak Target Variable (kanan atas) isilah dengan nama variabel baru (variabel pengembangan). Sesuai contoh, ketik X12, dimana X12 ini merupakan X1 yang dikuadratkan. Karena akan menghitung kuadrat, maka caranya: variabel yang ada di kolom Type&Label diblok (klik)

pindahkan ke dalam kolom Numeric Expression menggunakan langkah klik pada tanda segitiga penunjuk arah. Setelah itu pilih ** (pada tuts kalkulator) dan ketik angka 2 (karena hendak mengkuadratkan), dan kemudian ketik OK. Jika tahapan tersebut telah dilalui, worksheet data akan menampakkan variabel baru dengan data yang dihitung tadi.

5. Untuk membuat data perkalian, lakukan dengan

cara memindahkan salah satu nama variabel yang hendak dikalikan (misalnya, Y) dari kotak Type&Label ke Numeric Expression, pilih tanda pengali (*) dan ikuti dengan memindahkan lagi variabel lainnya yang hendak dikalikan (misal X),

setelah itu klik OK.

Berdasarkan data yang tertera di atas, maka nilai a dan b dapat dicari melalui penggunakan kedua rumus tersebut, baik itu rumus pertama ataupun kedua. Seandainya kita ingin menggunakan rumus pertama, maka langkah awal yang dapat dilakukan adalah mengadakan penghitungan-penghitungan atau pengembangan data untuk disesuaikan dengan komponen rumus, sehingga nantinya dapat secara langsung diaplikasikan ke dalam rumus. Pengembangan data yang dimaksudkan adalah menentukan nilai X1², nilai Y², serta nilai XY. Hasil pengembangan data dapat dilihat pada tabel berikut:

Observasi Y X1 X1 ² Y² XY Jan 01 8.28 13.06 170.5636 68.5584 108.1368 Peb 01 9.14 13.81 190.7161 83.5396 126.2234 Mar 01 10.62 13.97 195.1609 112.7844 148.3614 Apr 01 10.51 13.79 190.1641 110.4601 144.9329 Mei 01 10.82 14.03 196.8409 117.0724 151.8046 Jun 01 12.11 14.14 199.9396 146.6521 171.2354 Jul 01 13.04 14.39 207.0721 170.0416 187.6456 Agu 01 12.23 14.97 224.1009 149.5729 183.0831 Sep 01 13.01 15.67 245.5489 169.2601 203.8667 Okt 01 12.47 15.91 253.1281 155.5009 198.3977 Nop 01 12.91 16.02 256.6404 166.6681 206.8182 Des 01 12.55 16.21 262.7641 157.5025 203.4355 Jan 02 14.42 16.19 262.1161 207.9364 233.4598 Peb 02 15.13 15.88 252.1744 228.9169 240.2644 Mar 02 14.08 15.76 248.3776 198.2464 221.9008 Apr 02 13.3 15.55 241.8025 176.89 206.815 Mei 02 12.93 15.16 229.8256 167.1849 196.0188 Jun 02 11.48 14.85 220.5225 131.7904 170.478 Jul 02 10.05 14.22 202.2084 101.0025 142.911 Agu 02 10.6 13.93 194.0449 112.36 147.658 Sep 02 10.48 13.58 184.4164 109.8304 142.3184 Okt 02 10.33 13.13 172.3969 106.7089 135.6329 Jumlah 260.49 324.22 4800.525 3148.48 3871.398

Setelah mendapatkan hitungan-hitungan hasil pengembangan data, maka angka-angka tersebut dapat secara langsung dimasukkan ke dalam rumus I, sebagai berikut: Mencari nilai b: n

(_∑

XY

)

−

(_∑

X

)(_∑

Y

)

2 b = n

(_∑

X

)

−

(_∑

X

)

2

22

(

3.871,398

)

−

(

324,22

)(

260,49

)

b = 22

(

4.800,525

) (

− 324,22

)

2 85.170,76 −84.456,0678 = 105.611,60 −105.118,6084 714,6922 = 492,9916 b = 1,4497

dengan diketahuinya nilai b, maka nilai a juga dapat ditentukan, karena rumus pencarian a terkait dengan nilai b. Mencari nilai a: −b. X a =

∑

Y

∑

n 260,49 −1,4497 (324,22) = 22 260,49 − 470,022 = 22 a = -9.5241

Seperti telah dijelaskan di atas, bahwa nilai a dan b dapat pula dicari dengan menggunakan rumus kedua. Demikian pula, agar dapat secara langsung menggunakan rumus II ini, perlu menghitung dulu komponen-komponen rumus.Langkah yang dapat dilakukan dicontohkan sebagai berikut:

Mencari nilai b, menggunakan rumus kedua:

∑

xy

b = ₂

∑

x

Dari rumus di atas, kita perlu menemukan dulu nilai dari

∑

xy atau

∑

x² yang dapat dilakukan dengan rumus-rumus sebagai berikut:

2 2

∑

x =

∑

X −

(_∑

X

)

2 / n 2 2

∑

y =

∑

Y −

(_∑

Y

)

2 / n

∑

xy =

∑

XY − (

∑

X

∑

Y ) / n maka: 2 324.22²

∑

x = 4800.53 -22 = 4800.53 – 4778.12 = 22.41 260.49² y² = 3148.48

-∑

₂₂ = 3148.48 – 3084.32 = 64.16

(324.22 − 260.49)

∑

xy = 3871,40

-22

= 3871.40 – 3838.91 = 32.49

Dengan diketahuinya, nilai-nilai tersebut, maka nilai b dapat ditentukan, yaitu:

32.49

b = = 1.4498

22.41

Dengan diketahuinya nilai b, maka nilai a juga dapat dicari dengan rumus sebagai berikut:

a =Y −b X

= 11.8405 – (1.4498 x 14.7373) = 11.8405 – 21.3661

a= -9.5256

Hasil pencarian nilai a dan b dengan menggunakan rumus I dan II didapati angka yang cenderung sama. Pada penghitungan rumus I nilai a = –9,5241 dan b = 1,4497. Sedangkan hasil penghitungan dengan rumus II, nilai a = -9,5256 dan b = 1,4498. Tampak bahwa hingga dua angka di belakang koma tidak terdapat perbedaan, sedangkan tiga angka di belakang koma mulai ada perbedaan. Perbedaan ini sifatnya tidak tidak substansial, karena munculnya perbedaan itu sendiri akibat dari

pembulatan. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa, mencari a dan b dengan rumus I ataupun rumus II akan menghasilkan nilai yang sama.

Bantuan dengan SPSS

Nilai a dan b dapat dilakukan dengan melalui bantuan SPSS. Caranya: Klik Analize, pilih regression, pilih linear, masukkan variabel Y ke dalam kotak Dependent Variable (caranya pilih variabel Y dan pindahkan dengan klik pada segitiga hitam), pindahkan variabel X ke kotak Independent Variable, kemudian klik OK. SPSS akan menunjukkan hasilnya. Nilai a dan b akan tertera dalam output berjudul Coefficient.

Output

Model Summary .857a .734 .721 .9236 Model 1 R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate Predictors: (Constant), X1 a.

b

ANOVA

Model

Sum of

Squares df Mean Square F Sig. Regression Residual Total 1 47.101 17.059 64.160 1 20 21 47.101 .853 55.220 .000^a a. Predictors: (Constant), X1 b. Dependent Variable: Y Coefficientsa Model Unstandardized Coefficients Standardi zed Coefficien ts t Sig. B Std. Error Beta 1 (Constant) X1 -9.527 1.450 2.882 .195 .857 -3.305 7.431 .004 .000 a. Dependent Variable: Y Catatan:

Hasil penghitungan manual dan SPSS tampaknya ada perbedaan dalam desimal. Itu disebabkan adanya penghitungan pembulatan.

Meskipun nilai a dan b dapat dicari dengan menggunakan rumus tersebut, namun nilai a dan b baru dapat dikatakan valid (tidak bias)¹³ apabila telah memenuhi beberapa asumsi, yang terkenal dengan

13

Tidak bias artinya nilai a atau nilai b yang sebenarnya. Dikatakan demikian sebab, jika asumsi tidak terpenuhi, nilai a dan b besar kemungkinannya tidak merupakan nilai yang sebenarnya.

sebutan asumsi klasik.¹⁴ Asumsi-asumsi yang harus dipenuhi dalam OLS ada 3 asumsi, yaitu:

1). Asumsi nilai harapan bersyarat (conditional expected

value) dari ei, dengan syarat X sebesar Xi, mempunyai

nilai nol.

2). Kovarian ei dan ej mempunyai nilai nol. Nilai nol dalam asumsi ini menjelaskan bahwa antara ei dan ej tidak ada korelasi serial atau tida berkorelasi (autocorrelation).

3). Varian ei dan ej sama dengan simpangan baku (standar deviasi).

Asumsi 1,2,3, di atas diringkas sebagai berikut:

Asumsi Dinyatakan dalam E

Dinyatakan dalam Y Digunakan

untuk membahas

1 E (ei/Xi) = 0 E (Yi/Xi) = A + Bxi

Multikolinea-ritas

2 Kov (ei , ej) = 0,

i ≠ j

Kov (Yi , Yj) = 0, i ≠ j Autokorelasi

3 _{Var (ei/Xi) =} σ 2

Var (Yi/Xi) = σ 2 Heteroskedas

-tisitas

Penjelasan asumsi-asumsi ini secara rinci akan dibahas pada bab tersendiri tentang Multikolinearitas, Autokorelasi, dan Heteroskedastisitas.

Prinsip-prinsip Metode OLS

14

Disebut klasik karena penemuannya pada jaman klasic (classic era), modelnya sering juga disebut sebagai model regresi klasik, baku, umum (classic, standard,

Perlu diketahui bahwa dalam metode OLS terdapat prinsip-prinsip antara lain:

1. Analisis dilakukan dengan regresi, yaitu analisis untuk menentukan hubungan pengaruh antara variabel bebas terhadap variabel terikat. Regresi sendiri akan menghitung nilai a, b, dan e (error), oleh karena itu dilakukan dengan cara matematis. 2. Hasil regresi akan menghasilkan garis regresi. Garis

regresi ini merupakan representasi dari bentuk arah data yang diteliti. Garis regresi disimbolkan dengan

Yˆ (baca: Y topi, atau Y cap), yang berfungsi sebagai Y perkiraan. Sedangkan data disimbolkan dengan Y saja.

Perlu diingat, bahwa dalam setiap data tentu mempunyai lokus sebaran yang berbeda dengan yang lainnya, ada data yang tepat berada pada garis regresi, tetapi ada pula yang tidak berada pada garis regresi. Data yang tidak berada tepat pada garis regresi akan memunculkan nilai residual yang biasa disimbulkan dengan ei, atau sering pula disebut dengan istilah kesalahan pengganggu. Untuk data yang tepat berada pada garis maka nilai Y sama dengan Yˆ .

Nilai a dalam garis regresi digunakan untuk menentukan letak titik potong garis pada sumbu Y. Jika nilai a > 0 maka letak titik potong garis regresi pada sumbu Y akan berada di atas origin (0), apabila nilai a < 0 maka titik potongnya akan berada di bawah origin (0). Nilai b atau disebut koefisien regresi berfungsi untuk menentukan tingkat kemiringan garis regresi. Semakin rendah

nilai b, maka derajat kemiringan garis regresi terhadap sumbu X semakin rendah pula. Sebaliknya, semakin tinggi nilai b, maka derajat kemiringan garis regresi terhadap sumbu X semakin tinggi. Gambaran uraian di atas dapat dilihat pada gambar berikut:

Y i i a bX Y ˆ = + Y1 . . . . . e . . e . . . a b ^o . 0 X1 X

Munculnya garis Yˆ_i = a + bX _i seperti dalam gambar di atas, didapatkan dari memasukkan angka Xi ke dalam persamaan Yi = a + bXi +e. Dengan menggunakan hasil hitungan pada data di atas, maka garis Yˆ_i = a + bX _i besarnya adalah:

ˆ

Y_i = −9,525 +1,449X_i

Karena nilai a dalam garis regresi bertanda negatif (-) dengan angka 9,525, maka garis regresi akan memotong sumbu Y dibawah origin (0) pada angka – 9,525. Nilai parameter b variabel X yang besarnya 1,449 menunjukkan arti bahwa variabel X tersebut tergolong elastis, karena nilai b > 1. Artinya, setiap

perubahan nilai X akan diikuti perubahan yang lebih besar pada nilai Y. Tanda positif pada parameter b tersebut menunjukkan bahwa jika variabel X meningkat maka Y juga akan meningkat. Sebaliknya, jika X mengalami perubahan yang menurun, maka Y juga akan menurun, dengan perbandingan perubahan 1:1,449.