Model Tabungan Optimal Unearned Income dengan Tingkat Diskon

(3.15) Persamaan (3.15) berarti bahwa semua pendapatan yang berasal dari unearned income digunakan untuk konsumsi .

Utilitas konsumsi unearned income dinotasikan oleh yang sebelumnya dapat diketahui dari persamaan (3.5)

dengan adalah efisiensi marjinal tenaga kerja (upah) dan merupakan fungsi terhadap . Sesuai dengan persamaan (3.15), akibatnya persamaan (3.5) menjadi

(3.16) Karena semua pendapatan yang berasal dari unearned income digunakan untuk konsumsi , akibatnya

(3.17) dan total utilitas konsumi unearned income diperoleh

. (3.18) Sehingga dari persamaan (3.13) memberikan model tabungan optimal unearnedincome

( ) ( , ) , ( ) B W y c r c y f a c x w y  (3.19) dengan fungsi utilitas konsumsi yang diberikan adalah

(3.20)

Diasumsikan fungsi adalah konkaf, yang memenuhi dan

Parameter disebut sebagai constant relative risk aversion yaitu faktor menghindari resiko. Besaran adalah elastisitas substitusi antar waktu yang menentukan seberapa mudah individu mengganti konsumsi saat ini dengan yang lainnya.

3.3 Model Tabungan Optimal Unearned Income dengan Tingkat Diskon

Bagian ini diperlihatkan adanya tingkat diskon konstan dalam menentukan tabungan yang optimal, dengan asumsi yaitu nilai tingkat diskon kurang dari tingkat suku bunga . Dari persamaan (3.6), memberikan

diasumsikan konstan sebesar , sehingga (3.21) Karena , maka

dengan mengintegralkan kedua ruas, diperoleh

. (3.22a) (lihat Lampiran 5)

Persamaan (3.21) juga memberikan

Sehingga diperoleh

Selanjutnya dengan menggunakan metode pengintegralan persamaan diferensial orde pertama didapat

dengan konstanta.

Lalu, dengan menyamakan persamaan diperoleh, ( ) ( ) ( ) ( ) r r r r K w y d y c r c y w y 

(3.22b) (lihat Lampiran 6)

Persamaan (3.22b) menunjukkan bahwa utilitas unearned income pada kasus ini telah dimodifikasi, yaitu dengan mengintegralkan utilitas marjinal unearned income yang dipangkatkan

( ) r r .

Konstanta dapat diinterpretasikan sebagai bliss yang dimodifikasi, yaitu nilai maksimum . Bliss yang dimodifikasi ini menunjukkan sama dengan bliss pada bagian sebelumnya. Akibatnya terdapat tabungan optimal baru yang dipengaruhi tingkat diskon sebagai berikut :

( ) ( ) ( ) . ( ) r r r r B w y d y c r c y w y 

(3.23) Dengan diberikan fungsi utilitas dari persamaan (3.20), utilitas marjinal konsumsi unearned income dapat diketahui yaitu

, (3.24)

pangkatkan pada kedua ruas persamaan (3.24), sehingga diperoleh

(3.25) Untuk penyederhanaan, misalkan , sehingga utilitas marjinal unearned income pada persamaan (3.25) menjadi

(3.26) Selanjutnya, substitusikan persamaan (3.26) ke persamaan (3.23), akibatnya diperoleh model tabungan optimal unearned income dengan tingkat diskon sebagai berikut:

( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) u y y r y r B k B w d y r y r w S

(3.27) (lihat Lampiran 7)

dengan dan adalah konstanta.

Apabila , tabungan unearned income yang diperoleh sebesar

(3.28) dengan proporsi yang harus ditabung sebesar

(3.29) (lihat Lampiran 8)

Proporsi tabungan ini dipengaruhi oleh suku bunga dan tingkat diskon . Pengaruh parameter ρ terhadap pergerakan proporsi tabungan dapat dilihat pada Gambar 1 yang diperoleh dengan memasukkan nilai tingkat suku bunga sebesar dengan nilai parameter constant relative risk aversion sebesar yang digambarkan dengan menggunakan software Mathematica 7 (program dapat dilihat pada Lampiran 9).

Gambar 1

Kurva proporsi tabungan

unearned income terhadap

tingkat diskon (ρ).

Gambar 1 menunjukkan bahwa, saat tingkat diskon semakin meningkat, proporsi tabungan unearned income semakin menurun. Hal ini berarti bahwa masyarakat lebih mementingkan kegiatan konsumsi saat ini, daripada melakukan konsumsi yang akan datang. Sehingga masyarakat akan

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ฀

฀

tingkat diskon

฀

Sp 

฀

p^ro p o rs i ta b u n g an

฀

meningkatkan konsumsinya dan menurunkan kegiatan menabung.

Pengaruh parameter terhadap pergerakan proporsi tabungan dapat dilihat pada Gambar 2 yang diperoleh dengan memasukkan nilai tingkat diskon sebesar dengan nilai parameter constant relative risk aversion sebesar yang digambarkan dengan menggunakan software Mathematica 7 (program dapat dilihat pada Lampiran 10).

Gambar 2

Kurva proporsi tabungan

unearned income terhadap

tingkat suku bunga (r).

Ini berarti bahwa, semakin tinggi tingkat suku bunga, semakin tinggi juga proporsi tabungan unearned income. Pada kondisi seperti ini masyarakat lebih tertarik untuk menabung, karena suku bunga yang diberikan terus meningkat, sehingga mendapatkan pengembalian modal yang tinggi.

V SIMPULAN

Metode kalkulus variasi dapat digunakan untuk masalah pengoptimuman. Pada karya ilmiah ini, pengoptimuman yang digunakan adalah untuk mengetahui tabungan optimal dengan meminimumkan selisih antara kepuasan yang dinikmati secara langsung (enjoyment) dengan tingkat maksimumnya (bliss). Dari pembahasan didapatkan model tabungan optimal unearned income yang dipengaruhi tingkat diskon, selanjutnya dapat diperoleh:

1. Diberikan fungsi utilitas . Proporsi tabungan optimal unearned income adalah

2. Proporsi tabungan optimal unearned income dipengaruhi oleh parameter (tingkat diskon) dan (suku bunga). Saat tingkat diskon semakin meningkat, proporsi tabungan unearned income akan menurun dan saat tingkat suku bunga meningkat akan semakin meningkat juga proporsi tabungan unearned income. 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20 0.20 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30 0.32

r

฀

tingkat suku bunga

฀

Sp 

฀

p^ro p o rs i ta b u n g an

฀

DAFTAR PUSTAKA

Farlow SJ. 1994. An Introduction to Differential Equation and Their Application. New York: Mc Graw-Hill.

Kreyszig E. 1993. Matematika Teknik

Lanjutan. Terjemahan Bambang

Sumantri. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama.

Mankiw NG. 2000. Pengantar Ekonomi Jilid 2. H Munandar dan E Salim, penerjemah; Sumiharti Y, Kristiaji CW, editor. Jakarta: Erlangga. Mankiw NG. 2003. Teori Makroekonomi. Ed.

Ke-5. Nurmawan I, penerjemah; Kristiaji CW, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Macroeconomics.

Nicholson W. 2002. Mikroekonomi Intermediate. Ed. Ke-8. Mahendra IB, Azis, penerjemah; Jakarta: Erlangga.

Peressini AL, Sullivan FE, Uhl JJ. 1988. The

Mathematics of Nonlinear

Programming. New York: Springer-Verlag.

Ramsey FP. 1928. A Mathematical Theory of Saving. The Economic Journal. 38:543-559.

Stewart J. 2001. Kalkulus Jilid 2. Ed. Ke-4. Susila IN dan Gunawan H, penerjemah; Mahanani N dan Hardani W, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Calculus, Fourth Edition.

Sukirno S. 2004. Teori Pengantar Makroekonomi. Jakarta: PT Raja Grafindo Persada.

Todaro MP, Stephen CS. 2006. Economics Development. Ninth Edition. United Kingdom: Pearson Education Limited.

Tu PNV. 1993. Introductory Optimization Dynamics : Optimal Control with

Economics and Management

Applications. Second Revised and Enlarge Edition. Berlin: Springer Verlag.

Lampiran 1. Bukti Lema 1

Andaikan , yaitu , pada . Dengan sifat kekontinuan, maka untuk suatu selang , dengan .

Misalkan (1)

Diketahui adalah fungsi kontinu yang dapat diturunkan di dan dengan adalah tetap, maka

(dengan menggunakan persamaan (1))

(Kontradiksi) (2) Dengan demikian, haruslah .

Lampiran 2. Bukti Teorema 2

Misalkan diketahui

(3) Dengan memenuhi syarat batas , .

Maka syarat perlu untuk ekstremum adalah , yaitu

(4)

sehingga

(5)

Dengan , dan adalah fungsi kontinu sebarang dan bersifat

. Dengan melakukan integrasi bagian terhadap suku kedua pada persamaan (5), yaitu

(6) dengan menggunakan integral parsial dimisalkan

Sehingga diperoleh

(7)

K\karena . Sehingga persamaan (5) dapat dituliskan kembali sebagai

(8) yang akibatnya Lema 1 memberikan persamaan Euler :

(9)

Lampiran 3. Bukti Persamaan (2.17) Akan dibuktikan :

Misal:

Lampiran 4. Bukti persamaan (3.13) Akan dibuktikan :

Diketahui :

Masalah meminimumkan dengan fungsional objektif sebagai berikut

(10) Terhadap kendala :

Untuk penyelesaian, fungsional objektif disederhanakan menjadi , lalu substitusikan dengan kendala menjadi

(11)

Dari persamaan (11) diperoleh

(12)

(13)

(14)

(15)

Syarat perlu untuk optimum yaitu persamaan Euler,

Substitusikan persamaan (12) - (15), sehingga diperoleh persamaan Euler sebagai berikut :

(16)

(17) Karena fungsional tidak memuat maka

(18)

Persamaan (18) berarti bahwa (19) (20) Persamaan (20) berarti bahwa (21) dengan dan konstanta.

Selanjutnya syarat batas untuk optimal , Kondisi pertama :

(22) Substitusikan persamaan (22) ke persamaan (19), sehingga diperoleh

. (23) Kondisi kedua :

Substitusikan persamaan (24) ke persamaan (21), sehingga diperoleh

. (25) Akibatnya, model tabungan optimal diperoleh

(26)

Lampiran 5. Bukti persamaan (3.22a)

Akan dibuktikan : (27)

Dari persamaan diberikan (28)

(29)

,

dengan diketahui dari persamaan (28), akibatnya

, dengan (30)

Lampiran 6. Bukti persamaan (3.22b)

Akan dibuktikan : (31)

Diketahui : (32)

(33)

Persamaan kendala tabungan diberikan,

(34) dengan , sehingga

Dengan diketahui dari persamaan (32) dan (33), maka persamaan (34) menjadi

(35)

(37) Selanjutnya dengan menggunakan teknik pengintegralan persamaan diferensial orde pertama, dan dimisalkan : dan

berarti,

, dengan adalah konstanta (38) Selanjutnya dengan menggunakan integral parsial persamaan (38) diperoleh

Misalkan : Sehingga diperoleh (39)

, dengan (40)

(41)

Lampiran 7. Bukti persamaan (3.27)

Diketahui model tabungan optimal yang dipengaruhi tingkat diskonsebagaiberikut :

( ) ( ) ( ) ( ) r r r r B w y d y c w y 

(42)

dan diberikan fungsi utilitas Constant Relative Risk Aversion sebagai berikut :

(43) Turunan pertama dari persamaan (43) adalah

(44) pangkatkan kedua ruas pada persamaan (44) dengan , sehingga

(45) Untuk penyederhanaan dimisalkan , sehingga persamaan (45) menjadi

(46) Selanjutnya substitusikan persamaan (46) ke persamaan (42), sehingga diperoleh tabungan unearned income dengan tingkat diskon untuk fungsi utilitas constant relative risk aversion

1 1 ( ) _{( 1)} ( ) ( ) ( ) 1 u y k y d y y r r B B k B w d y B y r y y y r w y S

(47)

Lampiran 8. Bukti persamaan (3.29)

Diketahui model tabungan optimal unearned income dengan tingkat diskon untuk fungsi utilitas constant relative risk aversion sebagai berikut :

1 1 u y B k y S

(48)

Apabila , maka persamaan (48) menjadi

1 1 1 1 1 u y y y y y S

(49) Dengan diketahui , maka persamaan (49) menjadi

* 1 1 1 ( ) 1 ( ) ( ) u r r y y y r r S r r y

Kemudian didapatkan proporsi yang harus ditabung unearned income sebagai berikut:

* 1 ( ) S p r r (50)

Lampiran 9. Kurva proporsi tabungan unearned income terhadap tingkat diskon (Gambar 1)

Berikut akan disajikan operasi Mathetmatica 7 untuk membuat suatu grafik proporsi tabungan terhadap tingkat diskon, dengan diketahui tingkat suku bunga sebesar 10% dan

Lampiran 10. Kurva proporsi tabungan unearned income terhadap tingkat suku bunga (Gambar 2)

Berikut akan disajikan operasi Mathetmatica 7 untuk membuat suatu grafik proporsi tabungan terhadap tingkat suku bunga, dengan diketahui tingkat diskon sebesar 10% dan

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ฀

฀

tingkat diskon

฀

Sp 

฀

p^ro p o rs i ta b u n g an

฀

0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20 0.20 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30 0.32

r

฀

tingkat suku bunga

฀

Sp 

฀

p^ro p o rs i ta b u n g an

฀

Optimal Savings Proportion Unearned Income. Supervised by RETNO BUDIARTI and TEDUH WULANDARI MAS’OED.

National income is usually consumed in the form of government spending. When the income is not fully consumed, a part of it will be saved as national saving. In this manuscript, an optimal national saving is obtained by minimizing the difference between the satisfaction, which is enjoyed by the community directly (enjoyment), and the maximum of enjoyment level (bliss). The minimization problem is solved by using calculus of variations. The optimal proportion of saving is determined by considering a special case, i.e. when saving comes from unearned income. Furthermore, in this manuscript, the influence of discount and interest rates parameter on the optimal proportion of saving on unearned income is analyzed. The results show that if the discount rate increases, the proportion of saving on unearned income decreases. On the other hand, if the interest rate increases, the proportion of saving on unearned income also increases.

Proporsi Tabungan Optimal dari Unearned Income. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan

TEDUH WULANDARI MAS’OED.

Dalam perekonomian, pendapatan nasional digunakan untuk kegiatan konsumsi dalam bentuk belanja negara. Pendapatan tersebut tidak selalu habis digunakan untuk konsumsi. Bagian pendapatan yang tidak habis dikonsumsi dinamakan tabungan nasional. Pada karya tulis ini, solusi untuk mendapatkan tabungan nasional yang optimal dilakukan dengan cara meminimumkan selisih antara kepuasan masyarakat yang dinikmati secara langsung (enjoyment) dengan tingkat maksimumnya (bliss). Masalah minimisasi diselesaikan dengan menggunakan metode kalkulus variasi, kemudian mencari proporsi tabungan optimal dengan kasus khusus yaitu tabungan berasal dari pendapatan di luar upah (unearned income). Selanjutnya, dianalisis pengaruh parameter tingkat diskon dan tingkat suku bunga terhadap proporsi tabungan optimal dari unearned income tersebut. Dari analisis yang dilakukan diperoleh hasil, yaitu saat tingkat diskon semakin meningkat, proporsi tabungan unearned income menurun dan saat tingkat suku bunga meningkat, semakin meningkat juga proporsi tabungan unearned income.

I PENDAHULUAN

1.1 Latar belakang

Pertumbuhan ekonomi adalah pertambahan tingkat pendapatan per kapita yang terjadi di suatu negara dari tahun ke tahun. Pertumbuhan ekonomi tersebut merupakan salah satu indikator keberhasilan pembangunan. Oleh karena itu, negara-negara di seluruh dunia, baik negara miskin maupun kaya, yang menganut sistem kapitalis, sosialis, maupun campuran, sangat menginginkan pertumbuhan ekonomi terjadi di negaranya.

Pertumbuhan ekonomi suatu negara menunjukkan suatu perkembangan kegiatan ekonomi dari suatu periode ke periode berikutnya. Kegiatan ekonomi yang dimaksud akan menghasilkan pendapatan (output), sehingga pertumbuhan ekonomi pada dasarnya menunjukkan perkembangan pendapatan dari suatu periode ke periode berikutnya.

Pendapatan digunakan untuk kegiatan dalam bentuk pengeluaran atau belanja negara, seperti pembelian barang dan jasa. Pembelian tersebut dapat dinikmati langsung (enjoyment) atau tidak dapat dinikmati langsung (disutilitas) oleh masyarakat. Bagian pendapatan yang tidak habis digunakan untuk pengeluaran belanja negara disebut tabungan nasional.

Tabungan nasional membentuk akumulasi modal yang pada periode berikutnya akan diinvestasikan kembali dengan tujuan memperbesar pendapatan. Oleh karena itu,

tabungan merupakan salah satu faktor penentu pertumbuhan ekonomi suatu negara.

Menabung merupakan suatu penghematan ketika masyarakat melakukan konsumsi. Kegiatan konsumsi tersebut akan menghasilkan enjoyment, yang apabila dilakukan penghematan secara terus menerus akan menuju pada tingkat enjoyment maksimum. Menurut Ramsey (1928), solusi untuk menentukan tabungan optimal adalah dengan cara meminimumkan selisih antara kepuasan yang dinikmati secara langsung (enjoyment) dengan tingkat maksimumnya (bliss). Pada karya ilmiah ini, akan dibahas masalah peminimuman dengan menggunakan metode kalkulus variasi yang kemudian akan dicari proporsi tabungannya dengan kasus khusus, yaitu tabungan diperoleh dari unearned income atau pendapatan di luar upah. Selanjutnya, akan dianalisis pengaruh parameter, yaitu tingkat diskon dan tingkat suku bunga terhadap proporsi tabungan uneared income tersebut.

1.2 Tujuan

Tujuan dalam penulisan karya ilmiah ini adalah

1. Menentukan proporsi tabungan optimal unearned income,

2. Menganalisis pengaruh tingkat diskon dan tingkat suku bunga dari proporsi tabungan optimal unearned income.

II LANDASAN TEORI

Pada bagian ini akan diuraikan beberapa definisi dan penjelasan istilah-istilah yang digunakan dalam karya ilmiah ini

.

2.1 Sistem Persamaan Diferensial Fungsi Dua Variabel

Suatu fungsi dari dua variabel adalah suatu aturan yang memetakan setiap pasangan terurut di ke tepat satu bilangan real di yang dinyatakan .

Himpunan adalah daerah asal fungsi dan daerah hasilnya adalah himpunan nilai-nilai di , ditulis

.

(Stewart 2001)

Turunan

Turunan fungsi pada bilangan dinyatakan dengan adalah

jika limit ini ada.

Jika , maka dan mendekati 0 jika dan hanya jika mendekati

. Sehingga dapat ditulis

Integral Tentu

Jika fungsi kontinu yang didefinisikan untuk , kita bagi selang menjadi selang bagian berlebar sama

. Misalkan

berupa titik ujung selang bagian ini dan pilih titiksampel di dalam selang bagian ini, sehingga terletak dalam selang-bagian ke- , . Definisi integral tentu dari sampai adalah

(Stewart 2001)

Turunan Parsial

1. Turunan parsial terhadap di adalah

2. Turunan parsial terhadap di adalah

Turunan parsial dari fungsi dua variabel adalah berupa fungsi lain yaitu dan yang didefinisikan

Notasi untuk Turunan Parsial adalah misalkan , maka

(Stewart, 2001)

Aturan Rantai

Jika dan keduanya dapat didiferensialkan, dan F f g adalah fungsi komposisi yang didefinisikan oleh

( ) ( ( ))

F x f g x , maka dapat

didiferensialkan menjadi yang diberikan oleh hasil kali

'( ) '( ( )) '( ).

F x f g x g x

Jika dan keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka

Andaikan adalah fungsi dari dan yang terdiferensialkan, dengan

( )

x g t dan dua-duanya adalah fungsi dari yang terdiferensialkan. Maka adalah fungsi dari yang terdiferensiasikan dan

(Stewart 2001)

Sistem Dinamik

Sistem Dinamik (SD) adalah suatu sistem yang berubah sesuai dengan waktu.

Sistem Dinamik dinyatakan sebagai berikut:

dengan f (x) merupakan fungsi dari x.

(Kreyszig 1993)

Sistem Persamaan Diferensial Linear

Suatu persamaan diferensial linear orde 1 dinyatakan sebagai berikut:

Dengan fungsi terhadap . Jika

maka persamaan di atas disebut persamaan diferensial linear homogen dan jika

maka disebut persamaan diferensial linear takhomogen.

(Farlow 1994)

Metode Pengintegralan Persamaan Diferensial Orde Pertama

Misalkan diberikan bentuk umum persamaan diferensial linear orde pertama

(2.1) Dengan menggunakan metode faktor pengintegralan yang dinotasikan oleh dapat diperoleh

(2.2) untuk mencari , persamaan (2.2) diturunkan dan disederhanakan menjadi

(2.3) Jika diasumsikan , maka didapatkan

(2.4) lalu dengan mengintegralkan kedua ruas didapatkan

(2.5) dengan dan adalah semua kumpulan anti derivatif . Selanjutnya, kalikan kedua ruas pada persamaan (2.1) dengan faktor pengintegralan, sehingga

(2.6) Eliminasi persamaan (2.2) dengan persamaan (2.6), sehingga diperoleh

(2.7) substitusikan faktor pengintegralan yang berasal dari persamaan (2.5) ke persamaan (2.7), akibatnya

(2.8) Integralkan kedua ruas pada persamaan (2.8). Sehingga diperoleh

dan didapatkan solusi umumnya yaitu

(2.9) (Farlow 1994)

2.2 Istilah Ekonomi Pertumbuhan Ekonomi

Pertumbuhan ekonomi adalah perkembangan kegiatan dalam perekonomian yang menyebabkan barang dan jasa yang

diproduksi dalam masyarakat bertambah. Tingkat pertumbuhan ekonomi menunjukkan persentase kenaikan pendapatan nasional real pada suatu tahun tertentu, dibandingkan dengan pendapatan nasional real pada tahun sebelumnya.

(Mankiw 2003)

Investasi

Investasi adalah barang-barang yang dibeli oleh individu dan perusahaan untuk menambah persediaan modal mereka.

(Mankiw 2003)

Tenaga Kerja

Tenaga kerja adalah kemampuan atau kemahiran yang dimiliki suatu produk untuk digunakan dalam proses produksi.

(Sukirno 2004)

Tabungan

Tabungan adalah bagian dari pendapatan yang tidak dikeluarkan untuk konsumsi.

(Mankiw 2003)

Tabungan Nasional

Tabungan nasional adalah pendapatan total dalam perekonomian yang tersisa setelah dipakai.

(Mankiw 2000)

Tingkat Diskon

Tingkat diskon adalah tingkat bunga yang dibebankan oleh bank sentral ketika meminjamkan dana ke bank.

(Mankiw 2003)

Konsumsi

Konsumsi adalah kegiatan membeli barang-barang dan jasa-jasa yang dihasilkan oleh sektor perusahaan.

(Sukirno 2004)

Utilitas

Utilitas adalah ukuran kebahagiaan, kegembiraan atau kepuasan.

(Mankiw 2000) Enjoyment

Enjoyment adalah kepuasan yang

dinikmati langsung.

(Ramsey 1928)

Disutilitas

Disutilitas adalah kepuasan yang tidak dinikmati langsung.

Bliss

Bliss adalah enjoyment maksimum. (Ramsey 1928)

Modal

Modal adalah peralatan, mesin, kendaraan, materi, dan keterampilan yang digunakan dalam produksi barang dan jasa.

(Mankiw 2003)

Akumulasi Modal

Akumulasi modal (capital accumulation) akan diperoleh bila sebagian dari pendapatan yang diterima saat ini ditabung dan diinvestasikan lagi dengan tujuan meningkatkan pendapatan di masa depan.

(Todaro et al 2003)

Fungsi Produksi

Fungsi produksi untuk suatu barang tertentu, dengan menyatakan input kapital dan menyatakan input tenaga kerja sedangkan tanda titik-titik pada fungsi di atas menunjukkan kemungkinan digunakannya input produksi yang lain, memperlihatkan jumlah output maksimum yang diperoleh dengan menggunakan berbagai alternatif kombinasi input produksi.

(Mankiw 2003)

Produk Marjinal

Misalkan didefinisikan fungsi produksi dengan menyatakan input kapital dan menyatakan input tenaga kerja. Produk marjinal dari suatu input adalah output tambahan yang dapat diperoleh dengan menambah input yang bersangkutan 1 unit, sedangkan input-input lain dianggap konstan. Secara matematis dinotasikan sebagai berikut: Produk marjinal terhadap kapital

PM

Produk marjinal terhadap tenaga kerja PM

(Nicholson 2002)

Fungsi Utilitas

Fungsi utilitas adalah suatu fungsi yang menunjukkan kepuasan seseorang dari mengonsumsi barang dan jasa, yang dinotasikan sebagai berikut :

Dengan adalah kegunaan atau utilitas total, merupakan banyaknya produk yang dikonsumsi.

(Nicholson 2002)

2.3 Fungsi Konkaf

Definisi 1 (Himpunan Konveks)

Himpunan n

C R dikatakan himpunan konveks jika dan hanya jika untuk setiap x dan y di C, maka ruas garis yang menghubungkan x dan y juga terletak di C. Dengan kata lain himpunan n

C R dikatakan himpunan konveks jika dan hanya jika untuk setiap xdanydi C dan untuk setiap λ dengan

0 1, maka vektor juga terletak di C.

(Peressini et al. 1988)

Definisi 2 (Fungsi Konkaf)

Misalkan adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi pada himpunan konveks C di

n

R , maka fungsi f dikatakan konkaf di C jika

untuk setiap x, y di C dan untuk setiap λ

dengan 0 1.

(Peressini et al. 1988)

Teorema 1

Jika f fungsi terdiferensialkan dua kali pada suatu selang I, maka f fungsi konkaf pada I jika dan hanya jika , untuk setiap .

(Peressini et al. 1988)

2.4 Kalkulus Variasi

Kalkulus variasi merupakan salah satu teknik untuk menyelesaikan masalah pengoptimuman fungsional yang menyelidiki nilai maksimum atau minimum dari integral tertentu yang bergantung pada suatu fungsi.

Fungsional dan Variasi

Fungsional, dinotasikan sebagai

, adalah suatu aturan yang mengkaitkan tiap fungsi dengan suatu bilangan tunggal . Terdapat analogi antara fungsi dengan fungsional. Argumen dari fungsi merupakan peubah, misalnya , sedangkan argumen dari fungsional merupakan fungsi, misalnya

. Apabila fungsi secara lengkap dapat ditentukan ketika peubahnya diberikan nilai-nilai tertentu, maka suatu fungsional secara lengkap ditentukan oleh pilihan fungsi tertentu dari sekumpulan fungsi yang admissible, yaitu fungsi yang membawa sistem dari state awal pada waktu kepada state terminal pada waktu

terminal . Increment atau kenaikan dari argumen fungsi adalah , sementara increment dari argumen fungsional disebut variasi yang dinotasikan dengan

.

Bentuk fungsional yang sering digunakan dalam kalkulus variasi adalah:

dengan , adalah fungsi skalar, dan adalah konstanta. Fungsi diasumsikan mempunyai turunan parsial pertama dan kedua yang kontinu terhadap semua argumennya. Misalkan adalah kelas dari semua fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup dan adalah kelas dari semua fungsi yang terdefinisi pada selang dan mempunyai turunan pertama yang kontinu Tanpa mengurangi sifat keumuman, misalnya ditentukan,

dan . Sehingga bentuk fungsional di atas dapat diubah menjadi

(2.10) dengan . Masalah selanjutnya adalah memilih fungsi dalam

sehingga memaksimumkan integral pada persamaan (2.10) dengan syarat dan kedua titik ujung peubah ditentukan (fixed) yaitu dan , agar fungsional optimum (maksimum/minimum).

Untuk memperoleh fungsional yang optimum, diperlukan nilai yang memberikan nilai ekstrem pada fungsional . Fungsi yang memberikan nilai ekstrem diperoleh dengan konsep variasi (increment). Variasi dari fungsional pada persamaan (2.10) dengan syarat dan kedua titik ujung peubah ditentukan, diperoleh dengan menggunakan deret Taylor dua peubah sebagai berikut

2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) J x h J x J x J x O h 2 2 ( ) ( ) ( ) J x J x J x O h dengan 2 2 * 0 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 ( ) ( 2 ) T T J J x h J x J x J x h t x t x t x t h f_x h f d t x h f_{x x} h h f f h d t x x x x       

2

O h adalah orde yang lebih tinggi dengan

2 0

O h untuk h 0.

Notasi disebut variasi pertama dan disebut variasi kedua.Variasi pertama berperan sebagai syarat perlu untuk adanya ekstremum, sedangkan variasi kedua berperan sebagai syarat cukup.

Definisi 3

(Nilai Maksimum dan Nilai Minimum)

Fungsional dikatakan mencapai maksimum (minimum) lokal atau relatif sepanjang apabila ( ),

yaitu untuk

semua fungsi-fungsi yang cukup dekat dengan . Fungsional dikatakan mencapai maksimum (minimum) global sepanjang apabila ( ), yaitu untuk semua fungsi .

(Tu 1993)

2.5 Persamaan Euler

Persamaan Euler merupakan syarat perlu untuk menyelesaikan masalah optimum dalam kalkulus variasi.

Misalkan menyatakan kelas semua fungsi kontinu yang terdefinisi pada selang dan menyatakan kelas semua fungsi yang didefinisikan di selang dan memiliki turunan ke- yang kontinu. Misal, masalah variasi diberikan

(2.11) dengan titik ujung dan

adalah tetap, ,

, dan dengan adalah fungsi skalar. Permasalahannya adalah memilih fungsi diantara fungsi-fungsi admissible, yaitu semua fungsi

yang memiliki titik awal di dan titik akhir di yang memberikan nilai maksimum atau nilai minimum untuk fungsional . 2 2 2 0 0 0 1 2 ( , , ) ( ) + ( 2 ) T T T h f x x t d t h f_x h f d t x h f_{x x} h h f f h d t xx xx O         0 ( ) ^T ( , , ) J x h f x h x_ h t d t 2 0 2 0 2 1 2 ( ) ( ) + ( 2 ) T T J x h f_x h f d t x h f_xx h h f f h d t O h xx xx       

Syarat perlu untuk adanya ekstremum adalah J x( ) 0

.

Misalkan,

(2.12) dengan dan sebarang fungsi yang memenuhi .

Lema 1

Misal dan himpunan semua fungsi kontinu dan dapat diturunkan di dan dengan adalah tetap. Jika

(2.13) untuk semua , maka untuk semua .

Bukti : (lihat Lampiran 1)

(Tu 1993) Lema 1 ini berperan dalam pembuktian persamaan Euler

Teorema 2

Misalkan didefinisikan pada dan memenuhi syarat batas , . Maka syarat perlu bagi untuk memiliki ekstremum adalah fungsi memenuhi persamaan Euler:

, (2.14)

Bukti : (lihat Lampiran 2)

(Tu 1993)

2.6 Kasus Khusus Persamaan Euler

Fungsi tidak memuat secara eksplisit