INCOME
DENDA RINALDI HADINATA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Optimal Savings Proportion Unearned Income. Supervised by RETNO BUDIARTI and TEDUH WULANDARI MAS’OED.
National income is usually consumed in the form of government spending. When the income is not fully consumed, a part of it will be saved as national saving. In this manuscript, an optimal national saving is obtained by minimizing the difference between the satisfaction, which is enjoyed by the community directly (enjoyment), and the maximum of enjoyment level (bliss). The minimization problem is solved by using calculus of variations. The optimal proportion of saving is determined by considering a special case, i.e. when saving comes from unearned income. Furthermore, in this manuscript, the influence of discount and interest rates parameter on the optimal proportion of saving on unearned income is analyzed. The results show that if the discount rate increases, the proportion of saving on unearned income decreases. On the other hand, if the interest rate increases, the proportion of saving on unearned income also increases.
Proporsi Tabungan Optimal dari Unearned Income. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan
TEDUH WULANDARI MAS’OED.
Dalam perekonomian, pendapatan nasional digunakan untuk kegiatan konsumsi dalam bentuk belanja negara. Pendapatan tersebut tidak selalu habis digunakan untuk konsumsi. Bagian pendapatan yang tidak habis dikonsumsi dinamakan tabungan nasional. Pada karya tulis ini, solusi untuk mendapatkan tabungan nasional yang optimal dilakukan dengan cara meminimumkan selisih antara kepuasan masyarakat yang dinikmati secara langsung (enjoyment) dengan tingkat maksimumnya (bliss). Masalah minimisasi diselesaikan dengan menggunakan metode kalkulus variasi, kemudian mencari proporsi tabungan optimal dengan kasus khusus yaitu tabungan berasal dari pendapatan di luar upah (unearned income). Selanjutnya, dianalisis pengaruh parameter tingkat diskon dan tingkat suku bunga terhadap proporsi tabungan optimal dari unearned income tersebut. Dari analisis yang dilakukan diperoleh hasil, yaitu saat tingkat diskon semakin meningkat, proporsi tabungan unearned income menurun dan saat tingkat suku bunga meningkat, semakin meningkat juga proporsi tabungan unearned income.
INCOME
DENDA RINALDI HADINATA
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Nama
: Denda Rinaldi Hadinata
NIM
: G54070064
Disetujui
Pembimbing I
Ir. Retno Budiarti, MS
NIP. 19610729 198903 2 001
Pembimbing II
Teduh Wulandari Mas’oed
, M.Si
NIP. 19740915 199903 2 001
Diketahui
Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, MS
NIP. 19650505 198903 2 004
rahmat, nikmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini yang berjudul Pengaruh Tingkat Diskon dan Tingkat Suku Bunga Terhadap Proporsi Tabungan Optimal dari Unearned Income.
Dalam penyusunan skripsi ini, penulis banyak mendapatkan bimbingan dan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan terimakasih sebesar-besarnya kepada Ir. Retno Budiarti, MS dan Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si selaku pembimbing yang telah banyak membantu dalam penyelesaian skripsi ini. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada orang tua dan keluarga atas segala doa, dukungan, kesabaran, didikan, dan kasih sayangnya. Penulis juga ingin mengucapkan terima kasih kepada seluruh dosen, staf pegawai, dan teman-teman di Institut Pertanian Bogor, khususnya di Departemen Matematika. Selain itu penulis ucapkan terima kasih pula kepada sahabat dan teman-teman atas doa dan dukungannya.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, April 2012
serta shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari peranan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Keluargaku tercinta: Mamah dan Bapak (terima kasih atas doa, dukungan, didikan, kepercayaan, kasih sayang, motivasi dan segalanya), Kakakku Fanny dan Sanny (terima kasih atas doa, dukungan dan motivasi), Adikku Nanda (terima kasih atas doa, dukungan, motivasi, dan bantuannya), serta keluarga besar (terima kasih atas doa, dukungan, kasih sayang, dan motivasinya).
2. Ibu Ir. Retno Budiarti, MS selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu, waktu, kesabaran, motivasi, nasihat dan bantuannya selama penulisan skripsi ini).
3. Ibu Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu, waktu, kesabaran, motivasi, nasihat dan bantuannya selama penulisan skripsi ini). 4. Ibu Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, MS selaku dosen penguji (terima kasih atas semua
ilmu, waktu dan sarannya).
5. Semua dosen Departemen Matematika IPB (terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan).
6. Staf Departemen Matematika IPB: Pak Yono, Bu Susi, Mas Heri, Pak Bono, Bu Ade, Mas Deni, dan lainnya (terima kasih atas bantuan dan motivasinya).
7. Sahabat-sahabat di matematika 44: Sri Septiana, Ayu Lembayung, Nurrachmawati, Fajar Gumilang, Mutia Indah Sari, M. Rofi Hidayat, Della Azizah Munawar, Aulia Retnoningtyas, Dian Nugraha, M. Rizqy Hidayatsyah, Pandi, Nurisma, Imam Ekowicaksono (terima kasih atas doa, bantuan, dukungan, motivasi, persahabatan, saran dan kebersamaannya).
8. Sahabat-sahabat terbaik: Ikra Nugraha, Gemby Ayu Ramadhani Gondewa Putri, Dwi Dinar Murjani, Wildan Saleh, Adi Putranto, Bunga Ananda Dystiara, Chandra Ronika, Ady Ratna Kemala, Nisa Nantami, Ridho Tristan, Dewi Anggraeni, Basworo Wicaksono, Annisa Hasanah, Tahmid Hidayat, Yunisty Ayu Larashati, Dwi Andini Putri, Arina Pramudita, R. Nugraha Adisucipto (terima kasih atas doa, dukungan, persahabatan, dan kebersamaannya). 9. Teman-teman Matematika angkatan 44: Ali, Arina, Aswin, Ayum, Christoper, Devi, Devina,
Diana, Andika,Tanti, Eka, Fani, Fikri, Fitri, Gan-gan, Ihda, Ikhsan, Indin, Iresa, Lazuardi, Lilis, Lili, Lina, Lingga, Lugina, Lukman, Mariam, Masayu, Endro, Aqil, Nadiroh, Cita, Vani, Naim, Nurul, Nunuy, Nurus, Vianey, Wahyu, Wenti, Yanti, Yogie, Yuli, dan Zae (terima kasih atas doa, semangat, dukungan, bantuan, dan kebersamaannya).
10. Kakak-kakak 41, 42, 43 dan S2: Kak Sofyan, Kak Supri, Kak Apri, Kak Arum, Kak Nia, Kak Fely, Kak Resti, Kak Rangga, Kak Eyyi, Kak Slamet, Kak Kunto, Kak Fadhan, Kak Tami, Kak Wira, Om Baist, Kak Iput dan yang lainnya (terima kasih atas doa, bantuan, ilmu, dukungan, dan motivasinya).
11. Adik-adik Matematika angkatan 45 (terima kasih atas doa, bantuan, dan dukungannya). 12. Teman-teman Marching Band Gita Swara Pakuan Pemerintah Kota Bogor (terima kasih atas
doa dan dukungannya).
13. Teman-teman Gear The Fun (terima kasih atas doa dan dukungannya).
14. Teman-teman Kontrakan-AAN: Eko, Bisri, Made, Vero, Alma, Yakub, Faisal, Eka, Ari (terima kasih atas doa dan dukungannya).
15. Ria Anggraeni, Diah Anggraeni, Silvia Dewi Sagita Andik, Tri Rahmawati Lestari, Ibu Fenny Sartana, Astari Haqi Apriliyanti (terima kasih atas doa, bantuan dan dukungannya). 16. Teman-teman TPB dan Asrama Putra C3 lorong 1 (terima kasih atas doa dan motivasinya). 17. Teman-teman lainnya yang telah mendukung selama ini, baik moril maupun materil.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, April 2012
pasangan bapak Endang Rachmat Effendy dan ibu Tati Sunarti. Tahun 2001 penulis lulus dari SD Amaliah. Selanjutnya, penulis melanjutkan studinya di SMP Negeri 2 Bogor dan lulus pada tahun 2004. Tahun 2007 penulis lulus dari SMA Negeri 4 Bogor dan di tahun yang sama penulis diterima sebagai mahasiswa IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih mayor Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
vii
DAFTAR GAMBAR ... viii
DAFTAR LAMPIRAN ... viii
I PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Tujuan ... 1
II LANDASAN TEORI ... 1
2.1 Sistem Persamaan Diferensial ... 1
2.2 Istilah Ekonomi ... 3
2.3 Fungsi Konkaf ... 4
2.4 Kalkulus Variasi ... 4
2.5 Persamaan Euler ... 5
2.6 Kasus Khusus Persamaan Euler ... 6
2.7 Syarat Batas dalam Kalkulus Variasi ... 6
III HASIL DAN PEMBAHASAN ... 7
3.1 Formulasi Masalah Umum ... 7
3.2 Model Tabungan Optimal Unearned Income ... 8
3.3 Model Tabungan Optimal Unearned Income dengan Tingkat Diskon ... 9
IV SIMPULAN ... 11
DAFTAR PUSTAKA ... 12
viii
1 Kurva Proporsi Tabungan Unearned Income terhadap Tingkat Diskon ... 10
2 Kurva Proporsi Tabungan Unearned Income terhadap Tingkat Suku Bunga ... 11
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman 1 Bukti Lema 1 ... 142 Bukti Teorema 2 ... 14
3 Bukti Persamaan (2.17) ... 15
4 Bukti Persamaan (3.13) ... 15
5 Bukti Persamaan (3.22a) ... 17
6 Bukti Persamaan (3.22b) ... 17
7 Bukti Persamaan (3.27) ... 19
8 Bukti Persamaan (3.29) ... 20
9 Kurva Proporsi Tabungan Unearned Income terhadap Tingkat Diskon ... 21
I PENDAHULUAN
1.1 Latar belakangPertumbuhan ekonomi adalah pertambahan tingkat pendapatan per kapita yang terjadi di suatu negara dari tahun ke tahun. Pertumbuhan ekonomi tersebut merupakan salah satu indikator keberhasilan pembangunan. Oleh karena itu, negara-negara di seluruh dunia, baik negara miskin maupun kaya, yang menganut sistem kapitalis, sosialis, maupun campuran, sangat menginginkan pertumbuhan ekonomi terjadi di negaranya.
Pertumbuhan ekonomi suatu negara menunjukkan suatu perkembangan kegiatan ekonomi dari suatu periode ke periode berikutnya. Kegiatan ekonomi yang dimaksud akan menghasilkan pendapatan (output), sehingga pertumbuhan ekonomi pada dasarnya menunjukkan perkembangan pendapatan dari suatu periode ke periode berikutnya.
Pendapatan digunakan untuk kegiatan dalam bentuk pengeluaran atau belanja negara, seperti pembelian barang dan jasa. Pembelian tersebut dapat dinikmati langsung (enjoyment) atau tidak dapat dinikmati langsung (disutilitas) oleh masyarakat. Bagian pendapatan yang tidak habis digunakan untuk pengeluaran belanja negara disebut tabungan nasional.
Tabungan nasional membentuk akumulasi modal yang pada periode berikutnya akan diinvestasikan kembali dengan tujuan memperbesar pendapatan. Oleh karena itu,
tabungan merupakan salah satu faktor penentu pertumbuhan ekonomi suatu negara.
Menabung merupakan suatu penghematan ketika masyarakat melakukan konsumsi. Kegiatan konsumsi tersebut akan menghasilkan enjoyment, yang apabila dilakukan penghematan secara terus menerus akan menuju pada tingkat enjoyment maksimum. Menurut Ramsey (1928), solusi untuk menentukan tabungan optimal adalah dengan cara meminimumkan selisih antara kepuasan yang dinikmati secara langsung (enjoyment) dengan tingkat maksimumnya (bliss). Pada karya ilmiah ini, akan dibahas masalah peminimuman dengan menggunakan metode kalkulus variasi yang kemudian akan dicari proporsi tabungannya dengan kasus khusus, yaitu tabungan diperoleh dari unearned income atau pendapatan di luar upah. Selanjutnya, akan dianalisis pengaruh parameter, yaitu tingkat diskon dan tingkat suku bunga terhadap proporsi tabungan uneared income tersebut.
1.2 Tujuan
Tujuan dalam penulisan karya ilmiah ini adalah
1. Menentukan proporsi tabungan optimal unearned income,
2. Menganalisis pengaruh tingkat diskon dan tingkat suku bunga dari proporsi tabungan optimal unearned income.
II LANDASAN TEORI
Pada bagian ini akan diuraikan beberapa definisi dan penjelasan istilah-istilah yang digunakan dalam karya ilmiah ini
.
2.1 Sistem Persamaan Diferensial Fungsi Dua Variabel
Suatu fungsi dari dua variabel adalah suatu aturan yang memetakan setiap pasangan terurut di ke tepat satu bilangan real di yang dinyatakan .
Himpunan adalah daerah asal fungsi dan daerah hasilnya adalah himpunan nilai-nilai di , ditulis
.
(Stewart 2001)
Turunan
Turunan fungsi pada bilangan dinyatakan dengan adalah
jika limit ini ada.
Jika , maka dan mendekati 0 jika dan hanya jika mendekati
. Sehingga dapat ditulis
Integral Tentu
Jika fungsi kontinu yang didefinisikan untuk , kita bagi selang menjadi selang bagian berlebar sama
. Misalkan
berupa titik ujung selang bagian ini dan pilih titiksampel di dalam selang bagian ini, sehingga terletak dalam selang-bagian ke- , . Definisi integral tentu dari sampai adalah
(Stewart 2001)
Turunan Parsial
1. Turunan parsial terhadap di adalah
2. Turunan parsial terhadap di adalah
Turunan parsial dari fungsi dua variabel adalah berupa fungsi lain yaitu dan yang didefinisikan
Notasi untuk Turunan Parsial adalah misalkan , maka
(Stewart, 2001)
Aturan Rantai
Jika dan keduanya dapat didiferensialkan, dan F f g adalah fungsi komposisi yang didefinisikan oleh
( ) ( ( ))
F x f g x , maka dapat
didiferensialkan menjadi yang diberikan oleh hasil kali
'( ) '( ( )) '( ).
F x f g x g x
Jika dan keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka
Andaikan adalah fungsi dari dan yang terdiferensialkan, dengan
( )
x g t dan dua-duanya adalah fungsi dari yang terdiferensialkan. Maka adalah fungsi dari yang terdiferensiasikan dan
(Stewart 2001)
Sistem Dinamik
Sistem Dinamik (SD) adalah suatu sistem yang berubah sesuai dengan waktu.
Sistem Dinamik dinyatakan sebagai berikut:
dengan f (x) merupakan fungsi dari x.
(Kreyszig 1993)
Sistem Persamaan Diferensial Linear
Suatu persamaan diferensial linear orde 1 dinyatakan sebagai berikut:
Dengan fungsi terhadap . Jika
maka persamaan di atas disebut persamaan diferensial linear homogen dan jika
maka disebut persamaan diferensial linear takhomogen.
(Farlow 1994)
Metode Pengintegralan Persamaan Diferensial Orde Pertama
Misalkan diberikan bentuk umum persamaan diferensial linear orde pertama
(2.2) untuk mencari , persamaan (2.2) diturunkan dan disederhanakan menjadi
(2.3) Jika diasumsikan , maka didapatkan
(2.4) lalu dengan mengintegralkan kedua ruas didapatkan
(2.5) dengan dan adalah semua kumpulan anti derivatif . Selanjutnya, kalikan kedua ruas pada persamaan (2.1) dengan faktor pengintegralan, sehingga
(2.6) Eliminasi persamaan (2.2) dengan persamaan (2.6), sehingga diperoleh
(2.7) substitusikan faktor pengintegralan yang berasal dari persamaan (2.5) ke persamaan (2.7), akibatnya
(2.8) Integralkan kedua ruas pada persamaan (2.8). Sehingga diperoleh
dan didapatkan solusi umumnya yaitu
(2.9) (Farlow 1994)
2.2 Istilah Ekonomi Pertumbuhan Ekonomi
Pertumbuhan ekonomi adalah perkembangan kegiatan dalam perekonomian yang menyebabkan barang dan jasa yang
diproduksi dalam masyarakat bertambah. Tingkat pertumbuhan ekonomi menunjukkan persentase kenaikan pendapatan nasional real pada suatu tahun tertentu, dibandingkan dengan pendapatan nasional real pada tahun sebelumnya.
(Mankiw 2003)
Investasi
Investasi adalah barang-barang yang dibeli oleh individu dan perusahaan untuk menambah persediaan modal mereka.
(Mankiw 2003)
Tenaga Kerja
Tenaga kerja adalah kemampuan atau kemahiran yang dimiliki suatu produk untuk digunakan dalam proses produksi.
(Sukirno 2004)
Tabungan
Tabungan adalah bagian dari pendapatan yang tidak dikeluarkan untuk konsumsi.
(Mankiw 2003)
Tabungan Nasional
Tabungan nasional adalah pendapatan total dalam perekonomian yang tersisa setelah dipakai.
(Mankiw 2000)
Tingkat Diskon
Tingkat diskon adalah tingkat bunga yang dibebankan oleh bank sentral ketika meminjamkan dana ke bank.
(Mankiw 2003)
Konsumsi
Konsumsi adalah kegiatan membeli barang-barang dan jasa-jasa yang dihasilkan oleh sektor perusahaan.
(Sukirno 2004)
Utilitas
Utilitas adalah ukuran kebahagiaan, kegembiraan atau kepuasan.
(Mankiw 2000) Enjoyment
Enjoyment adalah kepuasan yang
dinikmati langsung.
(Ramsey 1928)
Disutilitas
Disutilitas adalah kepuasan yang tidak dinikmati langsung.
Bliss
Bliss adalah enjoyment maksimum. (Ramsey 1928)
Modal
Modal adalah peralatan, mesin, kendaraan, materi, dan keterampilan yang digunakan dalam produksi barang dan jasa.
(Mankiw 2003)
Akumulasi Modal
Akumulasi modal (capital accumulation) akan diperoleh bila sebagian dari pendapatan yang diterima saat ini ditabung dan diinvestasikan lagi dengan tujuan meningkatkan pendapatan di masa depan.
(Todaro et al 2003)
Fungsi Produksi
Fungsi produksi untuk suatu barang tertentu, dengan menyatakan input kapital dan menyatakan input tenaga kerja sedangkan tanda titik-titik pada fungsi di atas menunjukkan kemungkinan digunakannya input produksi yang lain, memperlihatkan jumlah output maksimum yang diperoleh dengan menggunakan berbagai alternatif kombinasi input produksi.
(Mankiw 2003)
Produk Marjinal
Misalkan didefinisikan fungsi produksi dengan menyatakan input kapital dan menyatakan input tenaga kerja. Produk marjinal dari suatu input adalah output tambahan yang dapat diperoleh dengan menambah input yang bersangkutan 1 unit, sedangkan input-input lain dianggap konstan. Secara matematis dinotasikan sebagai berikut: Produk marjinal terhadap kapital
PM
Produk marjinal terhadap tenaga kerja PM
(Nicholson 2002)
Fungsi Utilitas
Fungsi utilitas adalah suatu fungsi yang menunjukkan kepuasan seseorang dari mengonsumsi barang dan jasa, yang dinotasikan sebagai berikut :
Dengan adalah kegunaan atau utilitas total, merupakan banyaknya produk yang dikonsumsi.
(Nicholson 2002)
2.3 Fungsi Konkaf
Definisi 1 (Himpunan Konveks)
Himpunan n
C R dikatakan himpunan konveks jika dan hanya jika untuk setiap x dan y di C, maka ruas garis yang menghubungkan x dan y juga terletak di C. Dengan kata lain himpunan n
C R dikatakan himpunan konveks jika dan hanya jika untuk setiap xdanydi C dan untuk setiap λ dengan
0 1, maka vektor juga terletak di C.
(Peressini et al. 1988)
Definisi 2 (Fungsi Konkaf)
Misalkan adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi pada himpunan konveks C di
n
R , maka fungsi f dikatakan konkaf di C jika
untuk setiap x, y di C dan untuk setiap λ dengan 0 1.
(Peressini et al. 1988)
Teorema 1
Jika f fungsi terdiferensialkan dua kali pada suatu selang I, maka f fungsi konkaf pada I jika dan hanya jika , untuk setiap .
(Peressini et al. 1988)
2.4 Kalkulus Variasi
Kalkulus variasi merupakan salah satu teknik untuk menyelesaikan masalah pengoptimuman fungsional yang menyelidiki nilai maksimum atau minimum dari integral tertentu yang bergantung pada suatu fungsi.
Fungsional dan Variasi
Fungsional, dinotasikan sebagai
, adalah suatu aturan yang mengkaitkan tiap fungsi dengan suatu bilangan tunggal . Terdapat analogi antara fungsi dengan fungsional. Argumen dari fungsi merupakan peubah, misalnya , sedangkan argumen dari fungsional merupakan fungsi, misalnya
terminal . Increment atau kenaikan dari argumen fungsi adalah , sementara increment dari argumen fungsional disebut variasi yang dinotasikan dengan
.
Bentuk fungsional yang sering digunakan dalam kalkulus variasi adalah:
dengan , adalah fungsi skalar, dan adalah konstanta. Fungsi diasumsikan mempunyai turunan parsial pertama dan kedua yang kontinu terhadap semua argumennya. Misalkan adalah kelas dari semua fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup dan adalah kelas dari semua fungsi yang terdefinisi pada selang dan mempunyai turunan pertama yang kontinu Tanpa mengurangi sifat keumuman, misalnya ditentukan,
dan . Sehingga bentuk fungsional di atas dapat diubah menjadi
(2.10) dengan . Masalah selanjutnya adalah memilih fungsi dalam
sehingga memaksimumkan integral pada persamaan (2.10) dengan syarat dan kedua titik ujung peubah ditentukan (fixed) yaitu dan , agar fungsional optimum (maksimum/minimum).
Untuk memperoleh fungsional yang optimum, diperlukan nilai yang memberikan nilai ekstrem pada fungsional . Fungsi yang memberikan nilai ekstrem diperoleh dengan konsep variasi (increment). Variasi dari fungsional pada persamaan (2.10) dengan syarat dan kedua titik ujung peubah ditentukan, diperoleh dengan menggunakan deret Taylor dua peubah sebagai berikut
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
J x h J x J x J x O h
2 2
( ) ( ) ( )
J x J x J x O h
dengan 2 2 * 0 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 ( )
( 2 )
T
T
J J x h J x
J x
J x
h t x t x t x t
h fx h f d t x
h fx x h h f f h d t
x x x x
2
O h adalah orde yang lebih tinggi dengan 2
0
O h untuk h 0.
Notasi disebut variasi pertama dan disebut variasi kedua.Variasi pertama berperan sebagai syarat perlu untuk adanya ekstremum, sedangkan variasi kedua berperan sebagai syarat cukup.
Definisi 3
(Nilai Maksimum dan Nilai Minimum)
Fungsional dikatakan mencapai maksimum (minimum) lokal atau relatif sepanjang apabila ( ),
yaitu untuk
semua fungsi-fungsi yang cukup dekat dengan . Fungsional dikatakan mencapai maksimum (minimum) global sepanjang apabila ( ), yaitu untuk semua fungsi .
(Tu 1993)
2.5 Persamaan Euler
Persamaan Euler merupakan syarat perlu untuk menyelesaikan masalah optimum dalam kalkulus variasi.
Misalkan menyatakan kelas semua fungsi kontinu yang terdefinisi pada selang dan menyatakan kelas semua fungsi yang didefinisikan di selang dan memiliki turunan ke- yang kontinu. Misal, masalah variasi diberikan
(2.11) dengan titik ujung dan
adalah tetap, ,
, dan dengan adalah fungsi skalar. Permasalahannya adalah memilih fungsi diantara fungsi-fungsi admissible, yaitu semua fungsi
yang memiliki titik awal di dan titik akhir di yang memberikan nilai maksimum atau nilai minimum untuk fungsional .
2 2 2 0 0 0 1 2 ( , , ) ( )
+ ( 2 )
T T
T
h
f x x t d t h fx h f d t x
h fx x h h f f h d t
xx xx O 0
( ) T ( , , )
J x h f x h x h t d t
2 0 2 0 2 1 2 ( ) ( )
+ ( 2 )
T
T
J x h fx h f d t x
h fxx h h f f h d t O h xx xx
Syarat perlu untuk adanya ekstremum adalah J x( ) 0
.
Misalkan,(2.12) dengan dan sebarang fungsi yang memenuhi .
Lema 1
Misal dan himpunan semua fungsi kontinu dan dapat diturunkan di dan dengan adalah tetap. Jika
(2.13) untuk semua , maka untuk semua .
Bukti : (lihat Lampiran 1)
(Tu 1993) Lema 1 ini berperan dalam pembuktian persamaan Euler
Teorema 2
Misalkan didefinisikan pada dan memenuhi syarat batas , . Maka syarat perlu bagi untuk memiliki ekstremum adalah fungsi memenuhi persamaan Euler:
, (2.14)
Bukti : (lihat Lampiran 2)
(Tu 1993)
2.6 Kasus Khusus Persamaan Euler
Fungsi tidak memuat secara eksplisit (autonomous)
Fungsional objektif diberikan dalam bentuk (2.15) Persamaan Euler memberikan
(2.16)
Kalikan persamaan (2.16) dengan
,
sehingga memberikan(2.17)
Bukti : (lihat Lampiran 3)Ini berarti bahwa
, (2.18) dengan konstanta.
(Tu 1993)
2.7 Syarat Batas dalam Kalkulus Variasi
Misalkan, diberikan masalah menentukan ekstremum untuk fungsional objektif
dengan dan adalah tetap, sedangkan dan adalah bebas. Variasi pertamanya adalah
(2.19) Karena variasi pada titik ujung tidak mempengaruhi variasi dalam selang terbuka , maka syarat perlu untuk adalah dipenuhinya persamaan Euler, yaitu
.
Akibatnya, persamaan (2.19) menjadi . Dengan diketahui , kemudian menghasilkan Syarat Batas:
.
(2.20) Syarat batas ini akan menentukan nilai dan
. Secara umum, syarat batas (2.20) menjadi (2.21) Untuk kasus , , tetap dan bebas, maka , tetapi
III HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam perekonomian, pendapatan nasional digunakan untuk kegiatan konsumsi dalam bentuk belanja negara. Pendapatan tersebut tidak selalu habis digunakan untuk konsumsi . Bagian pendapatan yang tidak habis dikonsumsi dinamakan tabungan nasional. Tabungan nasional tersebut menjadi sumber dana untuk pembangunan nasional.
Menurut Ramsey (1928), solusi dalam menentukan tabungan optimal adalah dengan cara meminimumkan selisih antara kepuasan yang dinikmati secara langsung (enjoyment) dengan tingkat maksimumnya (bliss). Peminimuman tersebut dijelaskan pada Subbab 3.1. Kemudian pada Subbab 3.2 diberikan asumsi pendapatan masyarakat berasal dari upah (earned income) dan di luar upah (unearned income) yang selanjutnya pada Subbab 3.3 dibahas kasus khusus untuk tingkat diskon.
3.1 Formulasi Masalah Umum
Bagian ini akan membahas tentang seberapa banyak pendapatan nasional yang harus ditabung. Asumsi yang digunakan sebagai berikut:
1. banyaknya penduduk konstan,
2. kapasitas enjoyment dan tenaga kerja konstan,
3. enjoyment pada waktu yang berbeda saling bebas dan dapat ditambahkan.
Variabel-variabel yang digunakan dalam pembahasan adalah sebagai berikut :
: total tingkat konsumsi masyarakat pada waktu
: total tingkat tenaga kerja pada waktu : modal pada waktu
: total tingkat utilitas konsumsi : total tingkat disutilitas tenaga kerja : tingkat utilitas marjinal konsumsi : tingkat disutilitas marjinal terhadap
tenaga kerja
Dalam kegiatan menabung tentunya akan melakukan penundaan dalam berkonsumsi. Penundaan konsumsi tersebut dinamakan penghematan. Kegiatan konsumsi akan menghasilkan enjoyment, yang apabila dilakukan penghematan secara terus menerus akan menuju pada tingkat enjoyment maksimum. Dengan cara itu tabungan yang optimal dapat ditentukan.
Enjoyment dinotasikan oleh ,
dengan utilitas marjinal dan disutilitas marjinal diberikan secara berturut-turut
,
Dengan dan , , sedangkan tingkat enjoyment maksimum dinotasikan oleh atau bliss. Oleh karena itu, untuk mendapatkan tabungan optimal, selisih antara bliss dan enjoyment tersebut harus sekecil mungkin.
Permasalahan peminimumannya sebagai berikut:
(3.1) terhadap kendala
, dengan (3.2) yaitu, tabungan diperoleh dari pendapatan dikurangi konsumsi. Pendapatan tersebut merupakan fungsi produksi yang dipengaruhi modal dan tenaga kerja yang dinotasikan oleh
.
Kendala lainnya adalah syarat batas , dengan adalah modal awal pada saat .
Masalah optimum pada persamaan (3.1) diselesaikan dengan menggunakan kalkulus variasi. Untuk penyederhanaan dimisalkan
(3.3) kemudian substitusikan kendala dari persamaan (3.2), sehingga menjadi
. (3.4) Dalam kalkulus variasi, syarat perlu untuk optimal adalah persamaan Euler, yaitu
dan
Dari persamaan diperoleh
perubahan produksi terhadap tenaga kerja, , dikalikan dengan utilitas marjinal konsumsi.
Sedangkan dari persamaan diperoleh
(3.6) Persamaan Euler pada persamaan (3.6) ini berarti bahwa laju perubahan utilitas marjinal terhadap konsumsi berbanding terbalik dengan tingkat suku bunga, . Hal ini menunjukkan bahwa kegiatan konsumsi dipengaruhi oleh tingkat suku bunga.
Fungsional objektif pada masalah kalkulus variasi ini tidak memuat (autonomous), maka persamaan Euler menjadi
dan
Sehingga dari persamaan , diperoleh
(3.7) dan dari persamaan , diperoleh
(3.8)
dengan dan konstanta.
Syarat batas yang diperlukan dalam solusi optimal ini yang pertama adalah
(3.9) dengan mensubstitusikan nilai dari persamaan (3.7) ke syarat batas pada persaman (3.9), maka diperoleh
0 0 Sehingga,
(3.10)
yang berarti bahwa enjoyment terus meningkat mendekati bliss yaitu
saat .
Syarat batas optimal yang kedua adalah
(3.11) dengan mensubstitusikan nilai dari persamaan (3.8) ke syarat batas pada persamaan (3.11), didapatkan
0 0. Sehingga diperoleh, (3.12) akibatnya, . ( ( ) ( )) ( , ) ( )
B U x V a
f a c x
u x
c
(3.13) (lihat Lampiran 4)
Persamaan (3.13) berarti bahwa besarnya tabungan dikalikan dengan utilitas marjinal konsumsi sama dengan bliss dikurangi enjoyment, atau yang dikenal dengan aturan Ramsey (1928).
Untuk mencapai bliss yang ditentukan, masyarakat harus menabung dengan cara menjumlahkan enjoyment sepanjang waktu sampai mendekati bliss. Jika dalam setiap waktu selalu menyisihkan pendapatan untuk ditabung, maka peningkatan modal yang didapat akan menuju ke tingkat yang diinginkan. Oleh karena itu, pendapatan harus ditabung untuk mencapai atau mendekati bliss pada suatu waktu, tetapi tidak berarti bahwa seluruh pendapatan harus ditabung. Semakin banyak menabung maka akan semakin cepat mencapai bliss.
3.2 Model Tabungan Optimal Unearned Income
Bagian ini memberikan ilustrasi aturan Ramsey dalam menentukan tabungan jika pendapatan masyarakat berasal dari upah ) yang dibayar kepada setiap pekerja dan suku bunga yang dibayar kepada setiap pemilik modal. Sehingga dapat ditulis
(3.14) dengan pengembalian modal dan upah tenaga kerja keduanya konstan dan saling bebas.
income) dan adalah pendapatan di luar upah (unearned income).
Pendapatan dari upah habis untuk konsumsi, akibatnya tabungan dapat disisihkan dari pendapatan di luar upah. Konsumsi dari unearned income dinotasikan oleh dan tabungan unearned income diperoleh dari ( ).
(3.15) Persamaan (3.15) berarti bahwa semua pendapatan yang berasal dari unearned income digunakan untuk konsumsi .
Utilitas konsumsi unearned income dinotasikan oleh yang sebelumnya dapat diketahui dari persamaan (3.5)
dengan adalah efisiensi marjinal tenaga kerja (upah) dan merupakan fungsi terhadap . Sesuai dengan persamaan (3.15), akibatnya persamaan (3.5) menjadi
(3.16) Karena semua pendapatan yang berasal dari unearned income digunakan untuk konsumsi , akibatnya
(3.17) dan total utilitas konsumi unearned income diperoleh
. (3.18) Sehingga dari persamaan (3.13) memberikan model tabungan optimal unearnedincome
( )
( , ) ,
( )
B W y
c r c y f a c x
w y
(3.19) dengan fungsi utilitas konsumsi yang diberikan adalah
(3.20)
Diasumsikan fungsi adalah konkaf, yang memenuhi dan
Parameter disebut sebagai constant relative risk aversion yaitu faktor menghindari resiko. Besaran adalah elastisitas substitusi antar waktu yang menentukan seberapa mudah individu mengganti konsumsi saat ini dengan yang lainnya.
3.3 Model Tabungan Optimal Unearned Income dengan Tingkat Diskon
Bagian ini diperlihatkan adanya tingkat diskon konstan dalam menentukan tabungan yang optimal, dengan asumsi yaitu nilai tingkat diskon kurang dari tingkat suku bunga . Dari persamaan (3.6), memberikan
diasumsikan konstan sebesar , sehingga (3.21) Karena , maka
dengan mengintegralkan kedua ruas, diperoleh
. (3.22a) (lihat Lampiran 5)
Persamaan (3.21) juga memberikan
Sehingga diperoleh
dengan konstanta.
Lalu, dengan menyamakan persamaan diperoleh, ( ) ( ) ( ) ( ) r r r r
K w y d y
c r c y
w y
(3.22b) (lihat Lampiran 6)
Persamaan (3.22b) menunjukkan bahwa utilitas unearned income pada kasus ini telah dimodifikasi, yaitu dengan mengintegralkan utilitas marjinal unearned income yang dipangkatkan
( ) r r .
Konstanta dapat diinterpretasikan sebagai bliss yang dimodifikasi, yaitu nilai maksimum . Bliss yang dimodifikasi ini menunjukkan sama dengan bliss pada bagian sebelumnya. Akibatnya terdapat tabungan optimal baru yang dipengaruhi tingkat diskon sebagai berikut :
( ) ( ) ( ) . ( ) r r r r
B w y d y
c r c y
w y
(3.23) Dengan diberikan fungsi utilitas dari persamaan (3.20), utilitas marjinal konsumsi unearned income dapat diketahui yaitu
, (3.24)
pangkatkan pada kedua ruas persamaan (3.24), sehingga diperoleh
(3.25)
Untuk penyederhanaan, misalkan , sehingga utilitas marjinal unearned income pada persamaan (3.25) menjadi
(3.26)
Selanjutnya, substitusikan persamaan (3.26) ke persamaan (3.23), akibatnya diperoleh model tabungan optimal unearned income dengan tingkat diskon sebagai berikut:
( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) u y y r y
r B k
B w d y
r y r w S
(3.27)
(lihat Lampiran 7)
dengan dan adalah konstanta.
Apabila , tabungan unearned income yang diperoleh sebesar
(3.28) dengan proporsi yang harus ditabung sebesar
(3.29) (lihat Lampiran 8)
Proporsi tabungan ini dipengaruhi oleh suku bunga dan tingkat diskon . Pengaruh parameter ρ terhadap pergerakan proporsi tabungan dapat dilihat pada Gambar 1 yang diperoleh dengan memasukkan nilai tingkat suku bunga sebesar dengan nilai parameter constant relative risk aversion sebesar yang digambarkan dengan menggunakan software Mathematica 7 (program dapat dilihat pada Lampiran 9).
Gambar 1
Kurva proporsi tabungan
unearned income terhadap
tingkat diskon (ρ).
Gambar 1 menunjukkan bahwa, saat tingkat diskon semakin meningkat, proporsi tabungan unearned income semakin menurun. Hal ini berarti bahwa masyarakat lebih mementingkan kegiatan konsumsi saat ini, daripada melakukan konsumsi yang akan datang. Sehingga masyarakat akan
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
tingkat diskon
Sp
pmeningkatkan konsumsinya dan menurunkan kegiatan menabung.
Pengaruh parameter terhadap pergerakan proporsi tabungan dapat dilihat pada Gambar 2 yang diperoleh dengan memasukkan nilai tingkat diskon sebesar dengan nilai parameter constant relative risk aversion sebesar yang digambarkan dengan menggunakan software Mathematica 7 (program dapat dilihat pada Lampiran 10).
Gambar 2
Kurva proporsi tabungan
unearned income terhadap
tingkat suku bunga (r).
Ini berarti bahwa, semakin tinggi tingkat suku bunga, semakin tinggi juga proporsi tabungan unearned income. Pada kondisi seperti ini masyarakat lebih tertarik untuk menabung, karena suku bunga yang diberikan terus meningkat, sehingga mendapatkan pengembalian modal yang tinggi.
V SIMPULAN
Metode kalkulus variasi dapat digunakan untuk masalah pengoptimuman. Pada karya ilmiah ini, pengoptimuman yang digunakan adalah untuk mengetahui tabungan optimal dengan meminimumkan selisih antara kepuasan yang dinikmati secara langsung (enjoyment) dengan tingkat maksimumnya (bliss). Dari pembahasan didapatkan model tabungan optimal unearned income yang dipengaruhi tingkat diskon, selanjutnya dapat diperoleh:
1. Diberikan fungsi utilitas . Proporsi tabungan optimal unearned income adalah
2. Proporsi tabungan optimal unearned income dipengaruhi oleh parameter (tingkat diskon) dan (suku bunga). Saat tingkat diskon semakin meningkat, proporsi tabungan unearned income akan menurun dan saat tingkat suku bunga meningkat akan semakin meningkat juga proporsi tabungan unearned income. 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20
0.20 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30 0.32
r
tingkat suku bunga
Sp
pro
p
o
rs
i
ta
b
u
n
g
an
DAFTAR PUSTAKA
Farlow SJ. 1994. An Introduction to Differential Equation and Their Application. New York: Mc Graw-Hill.
Kreyszig E. 1993. Matematika Teknik
Lanjutan. Terjemahan Bambang
Sumantri. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama.
Mankiw NG. 2000. Pengantar Ekonomi Jilid 2. H Munandar dan E Salim, penerjemah; Sumiharti Y, Kristiaji CW, editor. Jakarta: Erlangga. Mankiw NG. 2003. Teori Makroekonomi. Ed.
Ke-5. Nurmawan I, penerjemah; Kristiaji CW, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Macroeconomics.
Nicholson W. 2002. Mikroekonomi Intermediate. Ed. Ke-8. Mahendra IB, Azis, penerjemah; Jakarta: Erlangga.
Peressini AL, Sullivan FE, Uhl JJ. 1988. The
Mathematics of Nonlinear
Programming. New York: Springer-Verlag.
Ramsey FP. 1928. A Mathematical Theory of Saving. The Economic Journal. 38:543-559.
Stewart J. 2001. Kalkulus Jilid 2. Ed. Ke-4. Susila IN dan Gunawan H, penerjemah; Mahanani N dan Hardani W, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Calculus, Fourth Edition.
Sukirno S. 2004. Teori Pengantar Makroekonomi. Jakarta: PT Raja Grafindo Persada.
Todaro MP, Stephen CS. 2006. Economics Development. Ninth Edition. United Kingdom: Pearson Education Limited.
Tu PNV. 1993. Introductory Optimization Dynamics : Optimal Control with
Economics and Management
Lampiran 1. Bukti Lema 1
Andaikan , yaitu , pada . Dengan sifat kekontinuan, maka untuk suatu selang , dengan .
Misalkan (1)
Diketahui adalah fungsi kontinu yang dapat diturunkan di dan dengan adalah tetap, maka
(dengan menggunakan persamaan (1))
(Kontradiksi) (2) Dengan demikian, haruslah .
Lampiran 2. Bukti Teorema 2
Misalkan diketahui
(3) Dengan memenuhi syarat batas , .
Maka syarat perlu untuk ekstremum adalah , yaitu
(4)
sehingga
(5)
Dengan , dan adalah fungsi kontinu sebarang dan bersifat
. Dengan melakukan integrasi bagian terhadap suku kedua pada persamaan (5), yaitu
Sehingga diperoleh
(7)
K\karena . Sehingga persamaan (5) dapat dituliskan kembali sebagai
(8) yang akibatnya Lema 1 memberikan persamaan Euler :
(9)
Lampiran 3. Bukti Persamaan (2.17) Akan dibuktikan :
Misal:
Lampiran 4. Bukti persamaan (3.13) Akan dibuktikan :
Diketahui :
Masalah meminimumkan dengan fungsional objektif sebagai berikut
(10) Terhadap kendala :
Untuk penyelesaian, fungsional objektif disederhanakan menjadi , lalu substitusikan dengan kendala menjadi
(11)
Dari persamaan (11) diperoleh
(12)
(13)
(14)
(15)
Syarat perlu untuk optimum yaitu persamaan Euler,
Substitusikan persamaan (12) - (15), sehingga diperoleh persamaan Euler sebagai berikut :
(16)
(17) Karena fungsional tidak memuat maka
(18)
Persamaan (18) berarti bahwa (19) (20) Persamaan (20) berarti bahwa (21) dengan dan konstanta.
Selanjutnya syarat batas untuk optimal , Kondisi pertama :
(22) Substitusikan persamaan (22) ke persamaan (19), sehingga diperoleh
. (23) Kondisi kedua :
Substitusikan persamaan (24) ke persamaan (21), sehingga diperoleh
. (25) Akibatnya, model tabungan optimal diperoleh
(26)
Lampiran 5. Bukti persamaan (3.22a)
Akan dibuktikan : (27)
Dari persamaan diberikan (28)
(29)
,
dengan diketahui dari persamaan (28), akibatnya
, dengan (30)
Lampiran 6. Bukti persamaan (3.22b)
Akan dibuktikan : (31)
Diketahui : (32)
(33)
Persamaan kendala tabungan diberikan,
(34) dengan , sehingga
Dengan diketahui dari persamaan (32) dan (33), maka persamaan (34) menjadi
(35)
(37) Selanjutnya dengan menggunakan teknik pengintegralan persamaan diferensial orde pertama, dan dimisalkan : dan
berarti,
, dengan adalah konstanta (38) Selanjutnya dengan menggunakan integral parsial persamaan (38) diperoleh
Misalkan :
Sehingga diperoleh
(39)
, dengan (40)
(41)
Lampiran 7. Bukti persamaan (3.27)
Diketahui model tabungan optimal yang dipengaruhi tingkat diskonsebagaiberikut :
( )
( )
( )
( )
r r
r r
B w y d y
c
w y
(42)
dan diberikan fungsi utilitas Constant Relative Risk Aversion sebagai berikut :
(43) Turunan pertama dari persamaan (43) adalah
(44) pangkatkan kedua ruas pada persamaan (44) dengan , sehingga
(45) Untuk penyederhanaan dimisalkan , sehingga persamaan (45) menjadi
(46) Selanjutnya substitusikan persamaan (46) ke persamaan (42), sehingga diperoleh tabungan unearned income dengan tingkat diskon untuk fungsi utilitas constant relative risk aversion
1
1
( ) ( 1)
( )
( ) ( )
1
u
y k
y d y
y
r
r B B k
B w d y B y
r
y y y
r w
y
S
Lampiran 8. Bukti persamaan (3.29)
Diketahui model tabungan optimal unearned income dengan tingkat diskon untuk fungsi utilitas constant relative risk aversion sebagai berikut :
1
1
u
y B k
y S
(48)
Apabila , maka persamaan (48) menjadi
1
1
1
1
1
u
y
y
y y
y S
(49) Dengan diketahui , maka persamaan (49) menjadi
*
1
1 1
( ) 1
( )
( )
u
r
r
y
y
y
r
r S
r
r y
Kemudian didapatkan proporsi yang harus ditabung unearned income sebagai berikut:
*
1
( )
S p
r r
Lampiran 9. Kurva proporsi tabungan unearned income terhadap tingkat diskon (Gambar 1)
Berikut akan disajikan operasi Mathetmatica 7 untuk membuat suatu grafik proporsi tabungan terhadap tingkat diskon, dengan diketahui tingkat suku bunga sebesar 10% dan
Lampiran 10. Kurva proporsi tabungan unearned income terhadap tingkat suku bunga (Gambar 2)
Berikut akan disajikan operasi Mathetmatica 7 untuk membuat suatu grafik proporsi tabungan terhadap tingkat suku bunga, dengan diketahui tingkat diskon sebesar 10% dan
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
tingkat diskon
Sp
pro
p
o
rs
i
ta
b
u
n
g
an
0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20
0.20 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30 0.32
r
tingkat suku bunga
Sp
pro
p
o
rs
i
ta
b
u
n
g
an
Optimal Savings Proportion Unearned Income. Supervised by RETNO BUDIARTI and TEDUH WULANDARI MAS’OED.
National income is usually consumed in the form of government spending. When the income is not fully consumed, a part of it will be saved as national saving. In this manuscript, an optimal national saving is obtained by minimizing the difference between the satisfaction, which is enjoyed by the community directly (enjoyment), and the maximum of enjoyment level (bliss). The minimization problem is solved by using calculus of variations. The optimal proportion of saving is determined by considering a special case, i.e. when saving comes from unearned income. Furthermore, in this manuscript, the influence of discount and interest rates parameter on the optimal proportion of saving on unearned income is analyzed. The results show that if the discount rate increases, the proportion of saving on unearned income decreases. On the other hand, if the interest rate increases, the proportion of saving on unearned income also increases.
Proporsi Tabungan Optimal dari Unearned Income. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan
TEDUH WULANDARI MAS’OED.
Dalam perekonomian, pendapatan nasional digunakan untuk kegiatan konsumsi dalam bentuk belanja negara. Pendapatan tersebut tidak selalu habis digunakan untuk konsumsi. Bagian pendapatan yang tidak habis dikonsumsi dinamakan tabungan nasional. Pada karya tulis ini, solusi untuk mendapatkan tabungan nasional yang optimal dilakukan dengan cara meminimumkan selisih antara kepuasan masyarakat yang dinikmati secara langsung (enjoyment) dengan tingkat maksimumnya (bliss). Masalah minimisasi diselesaikan dengan menggunakan metode kalkulus variasi, kemudian mencari proporsi tabungan optimal dengan kasus khusus yaitu tabungan berasal dari pendapatan di luar upah (unearned income). Selanjutnya, dianalisis pengaruh parameter tingkat diskon dan tingkat suku bunga terhadap proporsi tabungan optimal dari unearned income tersebut. Dari analisis yang dilakukan diperoleh hasil, yaitu saat tingkat diskon semakin meningkat, proporsi tabungan unearned income menurun dan saat tingkat suku bunga meningkat, semakin meningkat juga proporsi tabungan unearned income.
I PENDAHULUAN
1.1 Latar belakangPertumbuhan ekonomi adalah pertambahan tingkat pendapatan per kapita yang terjadi di suatu negara dari tahun ke tahun. Pertumbuhan ekonomi tersebut merupakan salah satu indikator keberhasilan pembangunan. Oleh karena itu, negara-negara di seluruh dunia, baik negara miskin maupun kaya, yang menganut sistem kapitalis, sosialis, maupun campuran, sangat menginginkan pertumbuhan ekonomi terjadi di negaranya.
Pertumbuhan ekonomi suatu negara menunjukkan suatu perkembangan kegiatan ekonomi dari suatu periode ke periode berikutnya. Kegiatan ekonomi yang dimaksud akan menghasilkan pendapatan (output), sehingga pertumbuhan ekonomi pada dasarnya menunjukkan perkembangan pendapatan dari suatu periode ke periode berikutnya.
Pendapatan digunakan untuk kegiatan dalam bentuk pengeluaran atau belanja negara, seperti pembelian barang dan jasa. Pembelian tersebut dapat dinikmati langsung (enjoyment) atau tidak dapat dinikmati langsung (disutilitas) oleh masyarakat. Bagian pendapatan yang tidak habis digunakan untuk pengeluaran belanja negara disebut tabungan nasional.
Tabungan nasional membentuk akumulasi modal yang pada periode berikutnya akan diinvestasikan kembali dengan tujuan memperbesar pendapatan. Oleh karena itu,
tabungan merupakan salah satu faktor penentu pertumbuhan ekonomi suatu negara.
Menabung merupakan suatu penghematan ketika masyarakat melakukan konsumsi. Kegiatan konsumsi tersebut akan menghasilkan enjoyment, yang apabila dilakukan penghematan secara terus menerus akan menuju pada tingkat enjoyment maksimum. Menurut Ramsey (1928), solusi untuk menentukan tabungan optimal adalah dengan cara meminimumkan selisih antara kepuasan yang dinikmati secara langsung (enjoyment) dengan tingkat maksimumnya (bliss). Pada karya ilmiah ini, akan dibahas masalah peminimuman dengan menggunakan metode kalkulus variasi yang kemudian akan dicari proporsi tabungannya dengan kasus khusus, yaitu tabungan diperoleh dari unearned income atau pendapatan di luar upah. Selanjutnya, akan dianalisis pengaruh parameter, yaitu tingkat diskon dan tingkat suku bunga terhadap proporsi tabungan uneared income tersebut.
1.2 Tujuan
Tujuan dalam penulisan karya ilmiah ini adalah
1. Menentukan proporsi tabungan optimal unearned income,
2. Menganalisis pengaruh tingkat diskon dan tingkat suku bunga dari proporsi tabungan optimal unearned income.
II LANDASAN TEORI
Pada bagian ini akan diuraikan beberapa definisi dan penjelasan istilah-istilah yang digunakan dalam karya ilmiah ini
.
2.1 Sistem Persamaan Diferensial Fungsi Dua Variabel
Suatu fungsi dari dua variabel adalah suatu aturan yang memetakan setiap pasangan terurut di ke tepat satu bilangan real di yang dinyatakan .
Himpunan adalah daerah asal fungsi dan daerah hasilnya adalah himpunan nilai-nilai di , ditulis
.
(Stewart 2001)
Turunan
Turunan fungsi pada bilangan dinyatakan dengan adalah
jika limit ini ada.
Jika , maka dan mendekati 0 jika dan hanya jika mendekati
. Sehingga dapat ditulis
Integral Tentu
Jika fungsi kontinu yang didefinisikan untuk , kita bagi selang menjadi selang bagian berlebar sama
. Misalkan
berupa titik ujung selang bagian ini dan pilih titiksampel di dalam selang bagian ini, sehingga terletak dalam selang-bagian ke- , . Definisi integral tentu dari sampai adalah
(Stewart 2001)
Turunan Parsial
1. Turunan parsial terhadap di adalah
2. Turunan parsial terhadap di adalah
Turunan parsial dari fungsi dua variabel adalah berupa fungsi lain yaitu dan yang didefinisikan
Notasi untuk Turunan Parsial adalah misalkan , maka
(Stewart, 2001)
Aturan Rantai
Jika dan keduanya dapat didiferensialkan, dan F f g adalah fungsi komposisi yang didefinisikan oleh
( ) ( ( ))
F x f g x , maka dapat
didiferensialkan menjadi yang diberikan oleh hasil kali
'( ) '( ( )) '( ).
F x f g x g x
Jika dan keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka
Andaikan adalah fungsi dari dan yang terdiferensialkan, dengan
( )
x g t dan dua-duanya adalah fungsi dari yang terdiferensialkan. Maka adalah fungsi dari yang terdiferensiasikan dan
(Stewart 2001)
Sistem Dinamik
Sistem Dinamik (SD) adalah suatu sistem yang berubah sesuai dengan waktu.
Sistem Dinamik dinyatakan sebagai berikut:
dengan f (x) merupakan fungsi dari x.
(Kreyszig 1993)
Sistem Persamaan Diferensial Linear
Suatu persamaan diferensial linear orde 1 dinyatakan sebagai berikut:
Dengan fungsi terhadap . Jika
maka persamaan di atas disebut persamaan diferensial linear homogen dan jika
maka disebut persamaan diferensial linear takhomogen.
(Farlow 1994)
Metode Pengintegralan Persamaan Diferensial Orde Pertama
Misalkan diberikan bentuk umum persamaan diferensial linear orde pertama
(2.2) untuk mencari , persamaan (2.2) diturunkan dan disederhanakan menjadi
(2.3) Jika diasumsikan , maka didapatkan
(2.4) lalu dengan mengintegralkan kedua ruas didapatkan
(2.5) dengan dan adalah semua kumpulan anti derivatif . Selanjutnya, kalikan kedua ruas pada persamaan (2.1) dengan faktor pengintegralan, sehingga
(2.6) Eliminasi persamaan (2.2) dengan persamaan (2.6), sehingga diperoleh
(2.7) substitusikan faktor pengintegralan yang berasal dari persamaan (2.5) ke persamaan (2.7), akibatnya
(2.8) Integralkan kedua ruas pada persamaan (2.8). Sehingga diperoleh
dan didapatkan solusi umumnya yaitu
(2.9) (Farlow 1994)
2.2 Istilah Ekonomi Pertumbuhan Ekonomi
Pertumbuhan ekonomi adalah perkembangan kegiatan dalam perekonomian yang menyebabkan barang dan jasa yang
diproduksi dalam masyarakat bertambah. Tingkat pertumbuhan ekonomi menunjukkan persentase kenaikan pendapatan nasional real pada suatu tahun tertentu, dibandingkan dengan pendapatan nasional real pada tahun sebelumnya.
(Mankiw 2003)
Investasi
Investasi adalah barang-barang yang dibeli oleh individu dan perusahaan untuk menambah persediaan modal mereka.
(Mankiw 2003)
Tenaga Kerja
Tenaga kerja adalah kemampuan atau kemahiran yang dimiliki suatu produk untuk digunakan dalam proses produksi.
(Sukirno 2004)
Tabungan
Tabungan adalah bagian dari pendapatan yang tidak dikeluarkan untuk konsumsi.
(Mankiw 2003)
Tabungan Nasional
Tabungan nasional adalah pendapatan total dalam perekonomian yang tersisa setelah dipakai.
(Mankiw 2000)
Tingkat Diskon
Tingkat diskon adalah tingkat bunga yang dibebankan oleh bank sentral ketika meminjamkan dana ke bank.
(Mankiw 2003)
Konsumsi
Konsumsi adalah kegiatan membeli barang-barang dan jasa-jasa yang dihasilkan oleh sektor perusahaan.
(Sukirno 2004)
Utilitas
Utilitas adalah ukuran kebahagiaan, kegembiraan atau kepuasan.
(Mankiw 2000) Enjoyment
Enjoyment adalah kepuasan yang
dinikmati langsung.
(Ramsey 1928)
Disutilitas
Disutilitas adalah kepuasan yang tidak dinikmati langsung.
Bliss
Bliss adalah enjoyment maksimum. (Ramsey 1928)
Modal
Modal adalah peralatan, mesin, kendaraan, materi, dan keterampilan yang digunakan dalam produksi barang dan jasa.
(Mankiw 2003)
Akumulasi Modal
Akumulasi modal (capital accumulation) akan diperoleh bila sebagian dari pendapatan yang diterima saat ini ditabung dan diinvestasikan lagi dengan tujuan meningkatkan pendapatan di masa depan.
(Todaro et al 2003)
Fungsi Produksi
Fungsi produksi untuk suatu barang tertentu, dengan menyatakan input kapital dan menyatakan input tenaga kerja sedangkan tanda titik-titik pada fungsi di atas menunjukkan kemungkinan digunakannya input produksi yang lain, memperlihatkan jumlah output maksimum yang diperoleh dengan menggunakan berbagai alternatif kombinasi input produksi.
(Mankiw 2003)
Produk Marjinal
Misalkan didefinisikan fungsi produksi dengan menyatakan input kapital dan menyatakan input tenaga kerja. Produk marjinal dari suatu input adalah output tambahan yang dapat diperoleh dengan menambah input yang bersangkutan 1 unit, sedangkan input-input lain dianggap konstan. Secara matematis dinotasikan sebagai berikut: Produk marjinal terhadap kapital
PM
Produk marjinal terhadap tenaga kerja PM
(Nicholson 2002)
Fungsi Utilitas
Fungsi utilitas adalah suatu fungsi yang menunjukkan kepuasan seseorang dari mengonsumsi barang dan jasa, yang dinotasikan sebagai berikut :
Dengan adalah kegunaan atau utilitas total, merupakan banyaknya produk yang dikonsumsi.
(Nicholson 2002)
2.3 Fungsi Konkaf
Definisi 1 (Himpunan Konveks)
Himpunan n
C R dikatakan himpunan konveks jika dan hanya jika untuk setiap x dan y di C, maka ruas garis yang menghubungkan x dan y juga terletak di C. Dengan kata lain himpunan n
C R dikatakan himpunan konveks jika dan hanya jika untuk setiap xdanydi C dan untuk setiap λ dengan
0 1, maka vektor juga terletak di C.
(Peressini et al. 1988)
Definisi 2 (Fungsi Konkaf)
Misalkan adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi pada himpunan konveks C di
n
R , maka fungsi f dikatakan konkaf di C jika
untuk setiap x, y di C dan untuk setiap λ dengan 0 1.
(Peressini et al. 1988)
Teorema 1
Jika f fungsi terdiferensialkan dua kali pada suatu selang I, maka f fungsi konkaf pada I jika dan hanya jika , untuk setiap .
(Peressini et al. 1988)
2.4 Kalkulus Variasi
Kalkulus variasi merupakan salah satu teknik untuk menyelesaikan masalah pengoptimuman fungsional yang menyelidiki nilai maksimum atau minimum dari integral tertentu yang bergantung pada suatu fungsi.
Fungsional dan Variasi
Fungsional, dinotasikan sebagai
, adalah suatu aturan yang mengkaitkan tiap fungsi dengan suatu bilangan tunggal . Terdapat analogi antara fungsi dengan fungsional. Argumen dari fungsi merupakan peubah, misalnya , sedangkan argumen dari fungsional merupakan fungsi, misalnya
terminal . Increment atau kenaikan dari argumen fungsi adalah , sementara increment dari argumen fungsional disebut variasi yang dinotasikan dengan
.
Bentuk fungsional yang sering digunakan dalam kalkulus variasi adalah:
dengan , adalah fungsi skalar, dan adalah konstanta. Fungsi diasumsikan mempunyai turunan parsial pertama dan kedua yang kontinu terhadap semua argumennya. Misalkan adalah kelas dari semua fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup dan adalah kelas dari semua fungsi yang terdefinisi pada selang dan mempunyai turunan pertama yang kontinu Tanpa mengurangi sifat keumuman, misalnya ditentukan,
dan . Sehingga bentuk fungsional di atas dapat diubah menjadi
(2.10) dengan . Masalah selanjutnya adalah memilih fungsi dalam
sehingga memaksimumkan integral pada persamaan (2.10) dengan syarat dan kedua titik ujung peubah ditentukan (fixed) yaitu dan , agar fungsional optimum (maksimum/minimum).
Untuk memperoleh fungsional yang optimum, diperlukan nilai yang memberikan nilai ekstrem pada fungsional . Fungsi yang memberikan nilai ekstrem diperoleh dengan konsep variasi (increment). Variasi dari fungsional pada persamaan (2.10) dengan syarat dan kedua titik ujung peubah ditentukan, diperoleh dengan menggunakan deret Taylor dua peubah sebagai berikut
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
J x h J x J x J x O h
2 2
( ) ( ) ( )
J x J x J x O h
dengan 2 2 * 0 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 ( )
( 2 )
T
T
J J x h J x
J x
J x
h t x t x t x t
h fx h f d t x
h fx x h h f f h d t
x x x x
2
O h adalah orde yang lebih tinggi dengan 2
0
O h untuk h 0.
Notasi disebut variasi pertama dan disebut variasi kedua.Variasi pertama berperan sebagai syarat perlu untuk adanya ekstremum, sedangkan variasi kedua berperan sebagai syarat cukup.
Definisi 3
(Nilai Maksimum dan Nilai Minimum)
Fungsional dikatakan mencapai maksimum (minimum) lokal atau relatif sepanjang apabila ( ),
yaitu untuk
semua fungsi-fungsi yang cukup dekat dengan . Fungsional dikatakan mencapai maksimum (minimum) global sepanjang apabila ( ), yaitu untuk semua fungsi .
(Tu 1993)
2.5 Persamaan Euler
Persamaan Euler merupakan syarat perlu untuk menyelesaikan masalah optimum dalam kalkulus variasi.
Misalkan menyatakan kelas semua fungsi kontinu yang terdefinisi pada selang dan menyatakan kelas semua fungsi yang didefinisikan di selang dan memiliki turunan ke- yang kontinu. Misal, masalah variasi diberikan
(2.11) dengan titik ujung dan
adalah tetap, ,
, dan dengan adalah fungsi skalar. Permasalahannya adalah memilih fungsi diantara fungsi-fungsi admissible, yaitu semua fungsi
yang memiliki titik awal di dan titik akhir di yang memberikan nilai maksimum atau nilai minimum untuk fungsional .
2 2 2 0 0 0 1 2 ( , , ) ( )
+ ( 2 )
T T
T
h
f x x t d t h fx h f d t x
h fx x h h f f h d t
xx xx O 0
( ) T ( , , )
J x h f x h x h t d t
2 0 2 0 2 1 2 ( ) ( )
+ ( 2 )
T
T
J x h fx h f d t x
h fxx h h f f h d t O h xx xx
Syarat perlu untuk adanya ekstremum adalah J x( ) 0
.
Misalkan,(2.12) dengan dan sebarang fungsi yang memenuhi .
Lema 1
Misal dan himpunan semua fungsi kontinu dan dapat diturunkan di dan dengan adalah tetap. Jika
(2.13) untuk semua , maka untuk semua .
Bukti : (lihat Lampiran 1)
(Tu 1993) Lema 1 ini berperan dalam pembuktian persamaan Euler
Teorema 2
Misalkan didefinisikan pada dan memenuhi syarat batas , . Maka syarat perlu bagi untuk memiliki ekstremum adalah fungsi memenuhi persamaan Euler:
, (2.14)
Bukti : (lihat Lampiran 2)
(Tu 1993)
2.6 Kasus Khusus Persamaan Euler
Fungsi tidak memuat secara eksplisit (autonomous)
Fungsional objektif diberikan dalam bentuk (2.15) Persamaan Euler memberikan
(2.16)
Kalikan persamaan (2.16) dengan
,
sehingga memberikan(2.17)
Bukti : (lihat Lampiran 3)Ini berarti bahwa
, (2.18) dengan konstanta.
(Tu 1993)
2.7 Syarat Batas dalam Kalkulus Variasi
Misalkan, diberikan masalah menentukan ekstremum untuk fungsional objektif
dengan dan adalah tetap, sedangkan dan adalah bebas. Variasi pertamanya adalah
(2.19) Karena variasi pada titik ujung tidak mempengaruhi variasi dalam selang terbuka , maka syarat perlu untuk adalah dipenuhinya persamaan Euler, yaitu
.
Akibatnya, persamaan (2.19) menjadi . Dengan diketahui , kemudian menghasilkan Syarat Batas:
.
(2.20) Syarat batas ini akan menentukan nilai dan
. Secara umum, syarat batas (2.20) menjadi (2.21) Untuk kasus , , tetap dan bebas, maka , tetapi
III HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam perekonomian, pendapatan nasional digunakan untuk kegiatan konsumsi dalam bentuk belanja negara. Pendapatan tersebut tidak selalu habis digunakan untuk konsumsi . Bagian pendapatan yang tidak habis dikonsumsi dinamakan tabungan nasional. Tabungan nasional tersebut menjadi sumber dana untuk pembangunan nasional.
Menurut Ramsey (1928), solusi dalam menentukan tabungan optimal adalah dengan cara meminimumkan selisih antara kepuasan yang dinikmati secara langsung (enjoyment) dengan tingkat maksimumnya (bliss). Peminimuman tersebut dijelaskan pada Subbab 3.1. Kemudian pada Subbab 3.2 diberikan asumsi pendapatan masyarakat berasal dari upah (earned income) dan di luar upah (unearned income) yang selanjutnya pada Subbab 3.3 dibahas kasus khusus untuk tingkat diskon.
3.1 Formulasi Masalah Umum
Bagian ini akan membahas tentang seberapa banyak pendapatan nasional yang harus ditabung. Asumsi yang digunakan sebagai berikut:
1. banyaknya penduduk konstan,
