Model Virus Komputer tanpa Waktu Tunda

SIMULASI NUMERIK

I. Model Virus Komputer tanpa Waktu Tunda

Simulasi dilakukan untuk melihat perilaku kestabilan model virus komputer tanpa waktu tunda (persamaan (3)) menggunakan beberapa nilai parameter tetap, yaitu: 𝑏 = 10, 𝛽 = 5, 𝜇 = 3, 𝛾 = 2, 𝑣 = 5 dengan nilai awal 𝑆 0 = 0.4, 𝐼 0 = 0.4, dan 𝑅 0 = 0.2 . Nilai-nilai ini diasumsikan sebagai nilai dari ratusan komputer.

Simulasi dilakukan dengan menggunakan software Matematica 10.0 pada model virus komputer tanpa waktu tunda sesuai parameter yang telah ditetapkan sebelumnya. Dari hasil simulasi ini diperoleh bidang solusi yang menunjukkan komputer rentan, terinfeksi dan pulih (𝑆𝐼𝑅). Dalam simulasi ini, nilai titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilannya dapat dilihat pada Tabel 2 berikut ini.

Tabel 2 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan untuk simulasi

Luaran Titik Tetap

Jenis kestabilan Sadel Spiral Stabil

Gambar 1 Bidang fase model virus komputer (𝑆𝐼𝑅)

Gambar 2 Bidang solusi komputer yang rentan

Gambar 3 Bidang solusi komputer yang terinfeksi

Gambar 4 Bidang solusi komputer yang pulih

Gambar 1 menyatakan bahwa komputer yang rentan, terinfeksi, dan pulih akan stabil menuju ke satu titik dari nilai awal yang telah ditetapkan.

Gambar 2 menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan sebelumnya, komputer rentan mengalami peningkatan yang pesat yang kemudian mengalami penurunan dan stabil pada titik 1. Gambar 3 menyatakan bahwa komputer yang terinfeksi mengalami peningkatan yang pesat dan akhirnya stabil pada titik 1.87. Sedangkan Gambar 4 menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan, komputer yang pulih mengalami peningkatan dan setelah itu stabil di titik 0.47.

II. Model Virus Komputer dengan Waktu Tunda 𝝉_𝟏 > 0, 𝝉_𝟐 = 𝟎 Simulasi dilakukan untuk melihat perilaku kestabilan model virus komputer dengan waktu tunda terinfeksi (persamaan (4)) menggunakan beberapa nilai parameter tetap, yaitu: 𝑏 = 10, 𝛽 = 5, 𝜇 = 3, 𝛾 = 2, 𝑣 = 5 dengan nilai awal 𝑆 0 = 0.4, 𝐼 0 = 0.4, dan 𝑅 0 = 0.2. Nilai-nilai ini diasumsikan sebagai nilai dari ratusan komputer.

Kasus 1 (𝝉_𝟏= 𝟐, 𝝉_𝟐 = 𝟎)

Gambar 5 Bidang fase model virus komputer saat 𝜏₁ = 2 dan 𝜏₂ = 0

Gambar 6 Bidang solusi komputer yang rentan saat 𝜏₁ = 2 dan 𝜏₂ = 0

Gambar 7 Bidang solusi komputer yang terinfeksi saat 𝜏₁ = 2 dan 𝜏₂ = 0

Gambar 8 Bidang solusi komputer yang pulih saat 𝜏₁ = 2 dan 𝜏₂ = 0 Gambar 5 menyatakan bahwa komputer yang rentan, terinfeksi, dan pulih akan stabil menuju ke satu titik dari nilai awal yang telah ditetapkan.

Gambar 6 menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan sebelumnya, komputer rentan mengalami peningkatan yang pesat dan stabil pada titik 3.33. Gambar 7 menyatakan bahwa komputer yang terinfeksi mengalami penurunan dan akhirnya stabil pada titik 0. Sedangkan Gambar 8 menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan, komputer yang pulih mengalami penurunan dan stabil di titik 0.

Kasus 2 (𝝉_𝟏= 𝟓, 𝝉_𝟐= 𝟎)

Gambar 9 Bidang fase model virus komputer saat 𝜏₁ = 5 dan 𝜏₂ = 0

Gambar 10 Bidang solusi komputer yang rentan saat 𝜏₁ = 5 dan 𝜏₂ = 0

Gambar 11 Bidang solusi komputer yang terinfeksi saat 𝜏₁ = 5 dan 𝜏₂ = 0

Gambar 12 Bidang solusi komputer yang pulih saat 𝜏₁ = 5 dan 𝜏₂ = 0 Gambar 9 menyatakan bahwa komputer yang rentan, terinfeksi, dan pulih akan stabil menuju ke satu titik dari nilai awal yang telah ditetapkan.

Gambar 10 menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan sebelumnya, komputer rentan mengalami peningkatan yang pesat dan stabil pada titik 3.33. Gambar 11 menyatakan bahwa komputer yang terinfeksi mengalami penurunan dan akhirnya stabil pada titik 0. Sedangkan Gambar 12 menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan, komputer yang pulih mengalami penurunan dan stabil di titik 0.

III. Model Virus Komputer dengan Waktu Tunda 𝝉_𝟏 = 𝟎, 𝝉_𝟐> 0 Simulasi dilakukan untuk melihat perilaku kestabilan model virus komputer dengan waktu tunda pemulihan (persamaan (4)) menggunakan beberapa nilai parameter tetap, yaitu: 𝑏 = 10, 𝛽 = 5, 𝜇 = 3, 𝛾 = 2, 𝑣 = 5

dengan nilai awal 𝑆 0 = 0.4, 𝐼 0 = 0.4, dan 𝑅 0 = 0.2. Nilai-nilai ini diasumsikan sebagai nilai dari ratusan komputer.

Pada model virus komputer dengan waktu tunda 𝜏₁ = 0 dan 𝜏₂ > 0 untuk menetapkan pilihan nilai 𝜏₂ menggunakan hasil yang telah diperoeh sebelumnya yaitu persamaan (18) dengan memasukkan nilai parameter yang telah ditetapkan tersebut ditunjukkan dengan hasil pada Tabel 3.

Tabel 3 Pemilihan nilai waktu tunda

𝑘 𝜏_𝑘⁺

0 -0.152045

1 1.37608

2 2.90421

3 4.43233

4 5.96046

5 7.48858

Kasus 1 (𝝉_𝟏= 𝟎, 𝝉_𝟐= 𝟏)

Gambar 13 Bidang fase model virus komputer saat 𝜏₁ = 0 dan 𝜏₂ = 1

Gambar 14 Bidang solusi komputer yang rentan saat 𝜏₁ = 0 dan 𝜏₂ = 1

Gambar 15 Bidang solusi komputer yang terinfeksi saat 𝜏₁ = 0 dan 𝜏₂ = 1

Gambar 16 Bidang solusi komputer yang pulih saat 𝜏₁ = 0 dan 𝜏₂ = 1 Gambar 13 menyatakan bahwa adanya osilasi atau naik turunnya komputer yang rentan, terinfeksi, dan pulih. Namun demikian, Gambar 13 stabil menuju ke satu titik dari nilai awal yang telah ditetapkan. Gambar 14 menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan sebelumnya, komputer rentan mengalami osilasi dan stabil pada titik 1. Gambar 15 menyatakan bahwa komputer yang terinfeksi mengalami osilasi dan stabil pada titik 1.87. Sedangkan Gambar 16 menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan, komputer yang pulih mengalami osilasi dan stabil di titik 0.47.

Kasus 2 (𝝉_𝟏= 𝟎, 𝝉_𝟐 = 𝟕)

Gambar 17 Bidang fase model virus komputer saat 𝜏₁ = 0 dan 𝜏₂ = 7

Gambar 18 Bidang solusi komputer yang rentan saat 𝜏₁ = 0 dan 𝜏₂ = 7

Gambar 19 Bidang solusi komputer yang terinfeksi saat 𝜏₁ = 0 dan 𝜏₂ = 7

Gambar 20 Bidang solusi komputer yang pulih saat 𝜏₁ = 0 dan 𝜏₂ = 7 Gambar 17 menyatakan bahwa adanya osilasi atau naik turunnya komputer yang rentan, terinfeksi, dan pulih secara terus menerus atau tertutup sehingga menyebabkan adanya limit cycle. Gambar 18 menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan sebelumnya, komputer rentan mengalami osilasi secara terus menerus dan tidak stabil. Gambar 19 menyatakan bahwa komputer yang terinfeksi mengalami osilasi secara terus menerus dan tidak stabil. Sedangkan Gambar 20 menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan, komputer yang pulih mengalami osilasi secara terus menerus dan tidak stabil.

Berdasarkan hasil simulasi pada kasus 1 dan 2 yang telah diperoleh, diketahui bahwa pada masing-masing komputer terjadi perubahan kestabilan yaitu dari spiral stabil (saat 𝜏₂ = 1) menjadi spiral tak stabil (saat 𝜏₂ = 7).

Perubahan kestabilan ini menggambarkan adanya bifurkasi Hopf pada model virus komputer.

SIMPULAN

Model tanpa waktu tunda diperoleh dua titik tetap, di mana keduanya bersifat stabil dan tidak stabil. Kondisi ini tidak akan menyebabkan terjadinya bifurkasi Hopf. Model virus komputer dengan waktu tunda memiliki dua jenis waktu tunda yaitu waktu tunda terinfeksi dan waktu tunda pemulihan. Ketika model menggunakan waktu tunda terinfeksi, komputer yang terinfeksi tidak langsung menginfeksi komputer lain dan ketika model menggunakan waktu tunda pemulihan, komputer yang pulih mengalami perlambatan proses pemulihannya. Model virus komputer dengan waktu tunda terinfeksi memiliki jenis kestabilan yang bersifat stabil karena kestabilan sistem tidak berubah ketika waktu tunda terinfeksi yang diberikan semakin besar. Sedangkan pada model virus komputer dengan waktu tunda pemulihan, semakin besar nilai waktu tunda pemulihan yang diberikan, sistem semakin tidak stabil sehingga sistem memiliki perubahan kestabilan dari spiral stabil menjadi spiral tak stabil. Hal ini menyebabkan terjadinya bifurkasi Hopf.