ANALISIS KESTABILAN MODEL VIRUS KOMPUTER DENGAN INFEKSI TUNDA DAN PEMULIHAN TUNDA ANIF LAILIL ACHADIYAH

ANALISIS KESTABILAN MODEL VIRUS KOMPUTER DENGAN INFEKSI TUNDA DAN PEMULIHAN TUNDA

ANIF LAILIL ACHADIYAH

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR 2015

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Analisis Kestabilan Model Virus Komputer dengan Infeksi Tunda dan Pemulihan Tunda adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.

Bogor, Juli 2015 Anif Lailil Achadiyah NIM G54110010

ABSTRAK

ANIF LAILIL ACHADIYAH. Analisis Kestabilan Model Virus Komputer dengan Infeksi Tunda dan Pemulihan Tunda. Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan ENDAR H NUGRAHANI.

Model dinamik dalam tulisan ini disusun dari model virus komputer dengan mempertimbangkan waktu tunda terhadap komputer yang terinfeksi dan komputer yang pulih. Analisis kestabilan dilakukan terhadap model tanpa waktu tunda dan dengan waktu tunda. Model tanpa waktu tunda memiliki dua titik tetap, salah satunya bersifat stabil dan lainnya tidak stabil. Sedangkan model dengan waktu tunda memiliki titik tetap yang salah satunya bersifat spiral stabil. Jika nilai waktu tunda yang digunakan relatif besar, maka dapat berakibat terjadinya perubahan kestabilan dari spiral stabil ke spiral tak stabil sehingga muncul limit cycle dan terjadi bifurkasi Hopf.

Kata kunci: bifurkasi Hopf, model virus komputer, waktu tunda

ABSTRACT

ANIF LAILIL ACHADIYAH. Stability Analysis of Computer Virus Model with Infection Delay and Recovery Delay. Supervised by ALI KUSNANTO and ENDAR H NUGRAHANI.

In this paper, a dynamical model is composed of computer virus model that considers time delay of infection and recovery processes. Stability analysis is performed to both models, i.e. the models with and without time delay. The model without time delay has two fixed points, which one of them is stable and the other is unstable. On the other hand, the model with time delay has fixed points which one of them is spiral stable. If the value of time delay is sufficiently large, then it will imply the stability changes from spiral stable to spiral unstable and subsequently the appearance of limit-cycle and Hopf bifurcation.

Keywords: computer virus model, Hopf bifurcation, time delay

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

ANALISIS KESTABILAN MODEL VIRUS KOMPUTER DENGAN INFEKSI TUNDA DAN PEMULIHAN TUNDA

ANIF LAILIL ACHADIYAH

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR 2015

NIM G5411 0010

Disetujui oleh

4~

Drs Ali Kusnanto. MSi Pembimbing 1

Dr Ir Endar H. Nugrahani. MS Pembimbing II

...

" ^~

Tanggal Lulus: I. ::J .... · ... ~~._

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen

2015

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah subhanahu wa ta’ala atas segala nikmat, rahmat, karunia, dan pertolongan yang telah diberikan sehingga karya ilmiah yang berjudul Analisis Kestabilan Model Virus Komputer dengan Infeksi Tunda dan Pemulihan Tunda dapat diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terimakasih kepada:

1 Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya,

2 Nabi besar Muhammad SAW sebagai nabi akhir zaman,

3 Almarhum Ayahanda Suyatmin tercinta yang senantiasa menjadi inspirasi dan motivasi penulis untuk semangat menyelesaikan karya ilmiah ini. Ibunda Sulistiyaningsih tersayang, Mas Eko, Mbak Devi, dan Dika yang penulis sayangi yang selalu memberikan doa, semangat, motivasi dan kasih sayang yang tiada henti,

4 Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi, dan Ibu Dr Ir Endar H Nugrahani, MS selaku dosen pembimbing atas segala kesabaran, ilmu, saran dan motivasinya selama membimbing penulis, serta Bapak Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc selaku dosen penguji,

5 staf tata usaha Departemen Matematika IPB,

6 sahabat-sahabat: Zunita, Aring, Rifa, Riris, Septian, Zaenal, dan ppj (Dini, Rika, Arinda, Sabila, Disti, Siti) yang telah memberikan motivasi, bantuan, keceriaan, dan arti sahabat juga keluarga bagi penulis,

7 teman-teman satu bimbingan: Hasan dan Mula yang senantiasa saling mengingatkan, membantu dan memberikan motivasi dalam penyusunan karya ilmiah ini,

8 saudara ipar: Mbak Resty dan Mas Argo atas doa dan dukungannya,

9 teman-teman ikmp 48, mahasiswa Matematika 48, PB Gumatika, PSDM Gumatika 2013/2014, tim basket Matematika, Gemilang, dan Erna atas doa, semangat, serta kebersamaannya selama ini,

10 semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini.

Bogor, Juli 2015 Anif Lailil Achadiyah

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL vi

DAFTAR GAMBAR vi

DAFTAR LAMPIRAN vi

PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Tujuan 2

LANDASAN TEORI 2

HASIL DAN PEMBAHASAN 4

Pemodelan 4

Pembahasan 6

A. Model Virus Komputer tanpa Waktu Tunda 6

Penentuan Titik Tetap Model 6

Analisis Kestabilan Titik Tetap Model 6

Analisis Kestabilan Titik Tetap 𝑇₁ 6

Analisis Kestabilan Titik Tetap 𝑇₂ 7

B. Model Virus Komputer dengan Waktu Tunda 9

Pelinearan Model dengan Waktu Tunda 9

Penentun Nilai eigen Model 10

Kasus 1 (𝜏₁ > 0, 𝜏₂ = 0) 10

Kasus 2 (𝜏₁ = 0, 𝜏₂ > 0) 11

Bifurkasi Hopf 12

SIMULASI NUMERIK 14

SIMPULAN 22

DAFTAR PUSTAKA 22

LAMPIRAN 24

RIWAYAT HIDUP 48

DAFTAR TABEL

1 Titik tetap model tanpa waktu tunda 9

2 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan untuk simulasi 14

3 Pemilihan nilai waktu tunda 19

DAFTAR GAMBAR

1 Bidang fase model virus komputer (𝑆𝐼𝑅) 15

2 Bidang solusi komputer yang rentan 15

3 Bidang solusi komputer yang terinfeksi 15

4 Bidang solusi komputer yang pulih 15

5 Bidang fase model virus komputer saat 𝜏₁ = 2 dan 𝜏₂ = 0 16 6 Bidang solusi komputer yang rentan saat 𝜏₁ = 2 dan 𝜏₂ = 0 16 7 Bidang solusi komputer yang terinfeksi saat 𝜏₁ = 2 dan 𝜏₂ = 0 17 8 Bidang solusi komputer yang pulih saat 𝜏₁ = 2 dan 𝜏₂ = 0 17 9 Bidang fase model virus komputer saat 𝜏₁ = 5 dan 𝜏₂ = 0 17 10 Bidang solusi komputer yang rentan saat 𝜏₁ = 5 dan 𝜏₂ = 0 18 11 Bidang solusi komputer yang terinfeksi saat 𝜏₁ = 5 dan 𝜏₂ = 0 18 12 Bidang solusi komputer yang pulih saat 𝜏₁ = 5 dan 𝜏₂ = 0 18 13 Bidang fase model virus komputer saat 𝜏₁ = 0 dan 𝜏₂ = 1 19 14 Bidang solusi komputer yang rentan saat 𝜏₁ = 0 dan 𝜏₂ = 1 19 15 Bidang solusi komputer yang terinfeksi saat 𝜏₁ = 0 dan 𝜏₂ = 1 20 16 Bidang solusi komputer yang pulih saat 𝜏₁ = 0 dan 𝜏₂ = 1 20 17 Bidang fase model virus komputer saat 𝜏₁ = 0 dan 𝜏₂ = 7 20 18 Bidang solusi komputer yang rentan saat 𝜏₁ = 0 dan 𝜏₂ = 7 21 19 Bidang solusi komputer yang terinfeksi saat 𝜏₁ = 0 dan 𝜏₂ = 7 21 20 Bidang solusi komputer yang pulih saat 𝜏₁ = 0 dan 𝜏₂ = 7 21

DAFTAR LAMPIRAN

1 Penentuan titik tetap model tanpa waktu tunda 24

2 Analisis kestabilan titik tetap 𝑇₁ 27

3 Analisis kestabilan titik tetap 𝑇₂ 28

4 Pelinearan dan penentuan matriks Jacobi 31

5 Persamaan karakteristik 33

6 Penjabaran kasus 1 (𝜏₁ > 0, 𝜏₂ = 0) 35

7 Penjabaran kasus 2 (𝜏₁ = 0, 𝜏₂ > 0) 37

8 Bifurkasi Hopf 40

9 Penjabaran kondisi transversabilitas 43

10 Program plot bidang fase model virus komputer tanpa waktu tunda

(Gambar 1) 44

11 Program plot bidang solusi model virus komputer rentan tanpa waktu

tunda (Gambar 2) 45

12 Program plot bidang solusi model virus komputer terinfeksi tanpa

waktu tunda (Gambar 3) 46

13 Program plot bidang solusi model virus komputer pulih tanpa waktu

tunda (Gambar 4) 47

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Komputer merupakan salah satu alat penting yang digunakan dalam kehidupaan sehari-hari. Seiring berkembangnya teknologi sekarang ini, jaringan komputer telah menjadi populer di kalangan masyarakat. Jaringan komputer terdiri atas sejumlah komputer dan perangkat jaringan lainnya yang bekerja bersama-sama dan terhubung satu sama lain baik dengan maupun tanpa kabel. Melalui jaringan komputer, masyarakat dapat menemukan banyak hal maupun informasi yang baru dan berguna. Namun, hal itu tidak lepas dengan adanya virus komputer yang ada pada jaringan komputer.

Virus komputer merupakan ancaman besar pada jaringan komputer.

Sama halnya seperti virus biologi, virus komputer bekerja dengan cara menggandakan dirinya sendiri dan menyebar dengan cara menyisipkan dirinya ke sel makhluk hidup. Penggunaan sistem jaringan komputer, menyebabkan virus komputer dapat menyebar dari komputer satu ke komputer lainnya yang saling terhubung. Komputer yang sudah terjangkit virus tidak dapat bekerja secara optimum karena semakin lama virus tersebut dapat menyebabkan kerusakan pada software maupun hardware komputer. Oleh karena itu, perlu adanya pengontrolan perkembangbiakan virus komputer pada jaringan komputer.

Pengontrolan perkembangbiakan virus komputer dapat dilakukan dengan model matematika. Zhang et al. (2012) mempelajari tentang sebuah model impuls untuk virus komputer dan menentukan dinamika global pada model. Yang et al. (2013) menganalisis model virus komputer dengan gradasi tingkat kesembuhan komputer dan menunjukkan bahwa dinamika global ditentukan dengan bilangan reproduksi dasar. Selain itu, pengontrolan juga dapat menggunakan nilai ambang epidemiologi. Ada beberapa penelitian tentang model epidemiologi. Misalnya, Ma et al. (2004) menganalisis stabilitas global model epidemi SIR dengan waktu tunda.

Wang dan Zhao (2012) memperoleh bilangan reproduksi dasar model epidemi reaksi-difusi dengan struktur kompartemen yang dianggap mempengaruhi heterogenitas spasial dan mobilitas penduduk pada penyakit transmisi dengan model spasial.

Salah satu cara yang digunakan untuk mengontrol perkembangbiakan virus komputer adalah dengan model matematika. Model matematika tentang virus komputer ini terdiri dari tiga kategori komputer, yaitu komputer yang rentan (suspectible), terinfeksi (infected), dan pulih (recovered). Untuk melihat perkembangan virus komputer dengan model matematika ini akan digunakan dua waktu tunda, yaitu waktu tunda terinfeksi dan waktu tunda pemulihan. Model virus komputer ini digambarkan dalam suatu persamaan matematika yang telah dikembangkan sebelumnya oleh Song et al. (2014) dalam jurnal Stability and Hopf Bifurcation of Computer Virus Model with Infection Delay and Recovery Delay. Dalam karya ilmiah ini akan direkonstruksi model Song et al. ini dan

selanjutnya akan dibahas pengaruh waktu tunda pada infeksi virus komputer dan pemulihan komputer yang terkena virus terhadap kestabilan model virus komputer ini.

Tujuan

Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk:

1. mengkonstruksi model virus komputer tanpa dan dengan waktu tunda yang dituliskan oleh Song et al. (2014),

2. menganalisis kestabilan model virus komputer tanpa dan dengan waktu tunda,

3. menentukan pengaruh waktu tunda terhadap kestabilan sistem, 4. menentukan keberadaan bifurkasi Hopf pada model virus komputer.

LANDASAN TEORI

Misalkan suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai :

𝑥 = 𝑓(𝑡, 𝑥) (1)

dengan 𝑥 =

𝑥₁(𝑡)

⋮

𝑥_𝑛(𝑡) dan 𝑓 𝑡, 𝑥 =

𝑓₁(𝑡, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛)

⋮

𝑓_𝑛(𝑡, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) .

Jika 𝑓(𝑡, 𝑥) fungsi tak linear pada 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛, maka sistem persamaan diferensial (1) disebut sistem persamaan diferensial tak linear. Jika 𝑓(𝑡, 𝑥) fungsi linear maka sistem persamaan diferensial (1) disebut persamaan diferensial linear (Braun 1983).

Misalkan juga, suatu model populasi dengan 𝑘 spesies yang berinteraksi dalam komunitas dapat dituliskan dalam bentuk persamaan :

𝑑𝑥₁

𝑑𝑡 = 𝑓₁(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑘),

𝑑𝑥₂

𝑑𝑡 = 𝑓₂(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑘),

𝑑𝑥_𝑘 ⋮

𝑑𝑡 = 𝑓_𝑘(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑘), atau dapat ditulis dalam notasi vektor

𝑑𝑋

𝑑𝑡 = 𝑓(𝑋) (2)

dengan 𝑋 = (𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑘) dan 𝑓 = (𝑓₁, 𝑓₂, … , 𝑓_𝑘) fungsi taklinear pada 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑘.

Kestabilan sistem (2) tersebut dapat ditentukan dengan urutan sebagai berikut:

1 menentukan titik tetap (𝑥 ) yang memenuhi 𝑓 𝑥 = 0.

2 pelinearan dengan menentukan matriks Jacobi pada titik tetap, yaitu:

𝐽 =^𝜕𝑓_𝜕𝑥(𝑥 ) atau

𝐽 =

𝜕𝑓1

𝜕𝑥₁

𝜕𝑓1

𝜕𝑥₂ ⋯ _𝜕𝑥^𝜕𝑓1

⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝑘

𝜕𝑓_𝑘

𝜕𝑥₁

𝜕𝑓_𝑘

𝜕𝑥₂ ⋯ ^𝜕𝑓_𝜕𝑥^𝑘

𝑘

.

3 menentukan nilai eigen, dengan menyelesaikan 𝑑𝑒𝑡 𝐽 − 𝜆𝐼 = 0 . Nilai eigen (𝜆) ini akan memenuhi persamaan karakteristik berikut:

𝜆^𝑛 + 𝑎₁𝜆^𝑛−1 + 𝑎₂𝜆^𝑛−2 + … + 𝑎_𝑘 = 0.

(Edelstein-Keshet 1998) Selanjutnya untuk melihat kestabilan sistem dapat menggunakan kriteria perilaku kestabilan titik tetap sebagai brikut:

1 stabil, jika

a. setiap nilai eigen real adalah negatif ( 𝜆_𝑖 < 0 untuk setiap 𝑖 ),

b. setiap komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih kecil atau sama dengan nol ( 𝑅𝑒(𝜆_𝑖) ≤ 0 untuk setiap 𝑖 ),

2 tak stabil, jika

a. setiap nilai eigen real adalah positif ( 𝜆_𝑖 > 0 untuk setiap 𝑖 ),

b. setiap komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih besar dari nol ( 𝑅𝑒 𝜆_𝑖 > 0 untuk setiap 𝑖 ),

3 sadel, jika

ada perkalian dua buah nilai eigen sembarang adalah ngatif (𝜆_𝑖𝜆_𝑗 < 0 untuk suatu 𝑖 dan 𝑗 ).

(Perko 1991) Jika suatu sistem dinamika mengalami perubahan seperti perubahan banyaknya titik tetap atau perubahan kestabilan titik tetap maka kondisi seperti ini dinamakan bifurkasi. Titik yang mengalami bifurkasi disebut titik bifurkasi. Pada bifurkasi satu-dimensi ditemukan kasus bifurkasi saddle- node, bifurkasi transcritical, bifurkasi pitchfork (supercritical dan subcritical). Sedangkan pada kasus dua-dimensi ditemukan kasus bifurkasi Hopf. Bifurkasi Hopf terjadi pada saat kesetimbangan sistem mengalami perubahan stabilitas dari spiral stabil ke spiral tak stabil atau sebaliknya (Strogatz 1994).

Sistem dinamika yang berkaitan dengan penyakit, biasanya terdapat bilangan reproduksi dasar (𝑅₀) yaitu nilai harapan yang dihasilkan pada suatu populasi yang seluruhnya rentan oleh suatu jenis individu yang terinfeksi atau menular. Kondisi yang akan timbul adalah sebagai berikut:

1. Jika 𝑅₀ < 1 maka setiap individu yang menular akan menginfeksi kurang dari 1 individu baru dan penyakit tidak dapat berkembang atau punah.

2. Jika 𝑅₀ > 1 maka setiap individu yang menular akan menginfeksi lebih dari 1 individu baru dan penyakit tersebut dapat menyerang populasi sehingga menjadi wabah.

(Driessche dan Watmough 2002)

HASIL DAN PEMBAHASAN

PEMODELAN

Dalam penelitian ini akan dikonstruksi model virus komputer tanpa dan dengan waktu tunda yang diambil dari jurnal Stability and Hopf Bifurcation of Computer Virus Model with Infection Delay and Recovery Delay (Song et al. 2014). Asumsi yang digunakan dalam model adalah semua nilai parameter positif. Model virus komputer tanpa dan dengan waktu tunda mendeskripsikan tentang penyebaran virus komputer pada berbagai komputer. Ada tiga kategori komputer dalam model tersebut yaitu komputer yang rentan (suspectible), terinfeksi (infected), dan pulih (recovered) sehingga model disebut juga dengan model dinamik 𝑆𝐼𝑅.

1. Model virus komputer tanpa waktu tunda

Model virus komputer tanpa waktu tunda berbentuk:

𝑑𝑆(𝑡)

𝑑𝑡 = 𝑏 − 𝛽𝑆 𝑡 𝐼 𝑡 + 𝑣𝑅 𝑡 − 𝜇𝑆(𝑡),

𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡 = 𝛽𝑆 𝑡 𝐼 𝑡 − 𝜇 + 𝛾 𝐼(𝑡), (3)

𝑑𝑅(𝑡)

𝑑𝑡 = 𝛾𝐼 𝑡 − 𝑣𝑅(𝑡) − 𝜇𝑅(𝑡), dengan

𝑑𝑆(𝑡)

𝑑𝑡 : laju pertumbuhan komputer yang rentan terhadap virus komputer per satuan waktu,

𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡 : laju pertumbuhan komputer yang terinfeksi oleh virus komputer per satuan waktu,

𝑑𝑅(𝑡)

𝑑𝑡 : laju pertumbuhan komputer yang pulih per satuan waktu, 𝑆 𝑡 : komputer yang rentan,

𝐼(𝑡) : komputer yang terinfeksi, 𝑅(𝑡) : komputer yang pulih,

𝑏 : tingkat pertumbuhan komputer yang terhubung ke jaringan, Recovered Infected

Suspectible

𝛽 : tingkat terinfeksi,

𝜇 : tingkat kematian (komputer tidak dapat digunakan kembali) pada kelas 𝑆 𝑡 , 𝐼 𝑡 , 𝑅 𝑡 ,

𝛾 : tingkat pemulihan komputer yang terinfeksi karena kemampuan antivirus pada jaringan,

𝑣 : tingkat dimana satu komputer pulih beralih ke rentan.

2. Model virus komputer dengan waktu tunda

Model virus komputer dengan waktu tunda berbentuk:

𝑑𝑆(𝑡)

𝑑𝑡 = 𝑏 − 𝛽𝑆 𝑡 𝐼 𝑡 − 𝜏₁ 𝑒^−𝜇𝜏1 + 𝑣𝑅(𝑡 − 𝜏₂) − 𝜇𝑆(𝑡),

𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡 = 𝛽𝑆 𝑡 𝐼 𝑡 − 𝜏₁ 𝑒^−𝜇𝜏1 − 𝜇 + 𝛾 𝐼(𝑡), (4)

𝑑𝑅(𝑡)

𝑑𝑡 = 𝛾𝐼 𝑡 − 𝑣𝑅(𝑡 − 𝜏₂) − 𝜇𝑅(𝑡), dengan

𝑑𝑆(𝑡)

𝑑𝑡 : laju pertumbuhan komputer yang rentan terhadap virus komputer per satuan waktu,

𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡 : laju pertumbuhan komputer yang terinfeksi oleh virus komputer per satuan waktu,

𝑑𝑅(𝑡)

𝑑𝑡 : laju pertumbuhan komputer yang pulih per satuan waktu, 𝑆 𝑡 : komputer yang rentan,

𝐼(𝑡) : komputer yang terinfeksi, 𝑅(𝑡) : komputer yang pulih,

𝑏 : tingkat pertumbuhan komputer yang terhubung ke jaringan, 𝛽 : tingkat terinfeksi,

𝜇 : tingkat kematian (komputer tidak dapat digunakan kembali) pada kelas 𝑆 𝑡 , 𝐼 𝑡 , 𝑅 𝑡 ,

𝛾 : tingkat pemulihan komputer yang terinfeksi karena kemampuan antivirus pada jaringan,

𝑣 : tingkat dimana satu komputer pulih beralih ke rentan, 𝜏₁ : waktu tunda terinfeksi,

𝜏₂ : waktu tunda pemulihan,

𝑒^{−𝜇 𝜏1}: peluang kelangsungan hidup komputer yang terinfeksi pada selang (0,1].

Secara umum desain penelitian yang dilakukan adalah menentukan titik keseimbangan model, melinearisasi model, menganalisis kestabilan dari titik keseimbangan, dan melakukan simulasi numerik. Software komputasi yang digunakan pada penelitian ini adalah dengan menggunakan Wolfram Mathematica 10.0.

PEMBAHASAN

A. Model Virus Komputer tanpa Waktu Tunda

Penentuan Titik Tetap

Titik tetap diperoleh dengan menentukan ^{𝑑𝑆(𝑡)}_𝑑𝑡 = 0 , ^{𝑑𝐼 𝑡} _𝑑𝑡 = 0 dan

𝑑𝑅 𝑡

𝑑𝑡 = 0 terhadap persamaan (3), sehingga persamaan menjadi 𝑏 − 𝛽𝑆 𝑡 𝐼 𝑡 + 𝑣𝑅(𝑡) − 𝜇𝑆 𝑡 = 0,

𝛽𝑆 𝑡 𝐼 𝑡 − 𝜇 + 𝛾 𝐼 𝑡 = 0, (5)

𝛾𝐼 𝑡 − 𝑣𝑅(𝑡) − 𝜇𝑅 𝑡 = 0.

Berdasarkan persamaan (5) diperoleh dua titik tetap (bukti dapat dilihat pada Lampiran 1), yaitu

𝑇₁ 𝑆(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑅(𝑡) = ^𝑏_𝜇, 0,0 , (6)

𝑇₂ 𝑆(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑅(𝑡) = ^𝜇+𝛾 _𝛽 , ^{𝑏𝛽 −𝜇2−𝜇𝛾 (𝜇+𝑣)}

𝛽(𝜇²+𝜇𝑣+𝜇𝛾 ) , ^{𝑏𝛽 −𝜇2−𝜇𝛾 𝛾}

𝛽 (𝜇²+𝜇𝑣+𝜇𝛾 ) . (7) Kemudian berdasarkan persamaan (3) diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut :

𝐽 =

−𝛽𝐼 𝑡 − 𝜇 −𝛽𝑆 𝑡 𝑣

𝛽𝐼 𝑡 𝛽𝑆 𝑡 − 𝜇 + 𝛾 0

0 𝛾 −𝑣 − 𝜇

. (8)

Analisis Kestabilan Titik Tetap Model

Pada pembahasan sebelumnya terhadap model tanpa waktu tunda telah diperoleh dua titik tetap pada persamaan (6) dan (7). Analisis kestabilan dilakukan dengan cara mencari nilai eigen pada masing-masing titik tetap.

Analisis kestabilan di titik tetap 𝑻_𝟏

Titik tetap 𝑇₁ = ^𝑏_𝜇, 0,0 disubstitusikan ke dalam persamaan (8), sehingga diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:

𝐽_𝑇1 =

−𝜇 −^𝑏𝛽_𝜇 𝑣

0 ^𝑏𝛽_𝜇 −^{𝜇 𝜇 +𝛾} _𝜇 0

0 𝛾 −𝑣 − 𝜇

.

Nilai eigen ditentukan dari persamaan 𝐽_𝑇1− 𝜆𝐼 = 0. Dari sini diperoleh nilai eigen sebagai berikut: 𝜆₁ = −𝜇 , 𝜆₂ = −𝑣 − 𝜇, atau 𝜆₃ = ^𝑏𝛽_𝜇 −^{𝜇 (𝜇 +𝛾)}_𝜇 . (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2)

Karena nilai semua parameter yang digunakan adalah positif (𝑏, 𝛽, 𝜇, 𝛾 > 0), analisis kestabilan yang akan diperoleh sebagai berikut:

1. Jika 𝑏𝛽 < 𝜇 𝜇 + 𝛾 , maka 𝜆₁ < 0 , 𝜆₂ < 0 , 𝜆₃ < 0 sehingga titik tetap bersifat simpul stabil.

2. Jika 𝑏𝛽 > 𝜇 𝜇 + 𝛾 , maka 𝜆₁ < 0 , 𝜆₂ < 0 , 𝜆₃ > 0 sehingga titik tetap bersifat sadel.

3. Jika 𝑏𝛽 = 𝜇 𝜇 + 𝛾 , maka 𝜆₃ = 0 sehingga diperoleh bilangan reproduksi dasar (𝑅₀) sebagai berikut: 𝑅₀ =_{𝜇 (𝜇 +𝛾)}^𝑏𝛽 . (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2)

Berdasarkan kriteria yang ketiga, diperoleh kriteria untuk bilangan reproduksi dasar (𝑅₀) :

1. Jika 𝑏𝛽 < 𝜇 𝜇 + 𝛾 , maka 𝑅₀ < 1 sehingga virus akan menghilang.

2. Jika 𝑏𝛽 > 𝜇 𝜇 + 𝛾 , maka 𝑅₀ > 1 sehingga virus akan meningkat dan menjadi wabah.

Analisis kestabilan di titik tetap 𝑻_𝟐

Titik tetap 𝑇₂ = ^{𝜇 +𝛾} _𝛽 , ^{𝑏𝛽 −𝜇}_𝛽(𝜇2²_{+𝜇𝑣 +𝜇𝛾 )}^{−𝜇𝛾 (𝜇+𝑣)}, ^{𝑏𝛽 −𝜇}_{𝛽(𝜇2+𝜇𝑣 +𝜇𝛾 )}^{2−𝜇𝛾 𝛾} disubstitusikan ke dalam persamaan (8), sehingga diperoleh :

𝐽_𝑇2 =

− ^{𝑏𝛽 −𝜇}_(𝜇2²_{+𝜇𝑣 +𝜇𝛾 )}^{−𝜇𝛾 (𝜇+𝑣)}− 𝜇 −𝜇 − 𝛾 𝑣

𝑏𝛽 −𝜇²−𝜇𝛾 (𝜇+𝑣)

(𝜇²+𝜇𝑣 +𝜇𝛾 ) 0 0

0 𝛾 −𝑣 − 𝜇

.

Nilai eigen pada titik tetap 𝑇₂ diperoleh dengan menggunakan software dan disederhanakan (bukti dapat dilihat pada Lampiran 3) sebagai berikut:

𝜆₁ = −𝜇,

𝜆₂ = ¹_{2𝜇 (𝜇 +𝛾+𝑣)}¹ [− 𝑏𝛽 + 𝜇𝑣 (𝜇 + 𝑣) + 𝑏𝛽 + 𝜇𝑣 𝜇 + 𝑣 ²− 4𝜇 𝜇 + 𝛾 + 𝑣 𝜇 + 𝑣 ²+ 𝜇 + 𝑣 𝛾 𝑏𝛽 − 𝜇²− 𝜇𝛾

1 2] , 𝜆₃ = −¹_{2𝜇 (𝜇+𝛾+𝑣)}¹ [ 𝑏𝛽 + 𝜇𝑣 (𝜇 + 𝑣) + 𝑏𝛽 + 𝜇𝑣 𝜇 + 𝑣 ²−

4𝜇 𝜇 + 𝛾 + 𝑣 𝜇 + 𝑣 ²+ 𝜇 + 𝑣 𝛾 𝑏𝛽 − 𝜇²− 𝜇𝛾

1 2] . Kemudian dilakukan penyederhanaan dengan 𝑅₀ =_{𝜇 (𝜇 +𝛾)}^𝑏𝛽 pada nilai eigen 𝜆₂ dan 𝜆₃, sehingga diperoleh

𝜆₂ =

1

2 𝜇 +𝛾+𝑣 − 𝜇 + 𝛾 𝑅₀+ 𝑣 (𝜇 + 𝑣) +

𝜇 + 𝛾 𝑅₀+ 𝑣 (𝜇 + 𝑣) ²− 4(𝑅₀− 1) 𝜇 + 𝛾 + 𝑣 𝜇 + 𝑣 ²+ 𝜇 + 𝑣 𝛾 dan

𝜆₃ =

−_{2 𝜇 +𝛾+𝑣} ¹ 𝜇 + 𝛾 𝑅₀+ 𝑣 (𝜇 + 𝑣) +

𝜇 + 𝛾 𝑅₀+ 𝑣 (𝜇 + 𝑣) ²− 4(𝑅₀− 1) 𝜇 + 𝛾 + 𝑣 𝜇 + 𝑣 ²+ 𝜇 + 𝑣 𝛾 .

Misalkan

𝑚 = 𝜇 + 𝛾 𝑅₀+ 𝑣 (𝜇 + 𝑣) ²− 4(𝑅₀− 1) 𝜇 + 𝛾 + 𝑣 𝜇 + 𝑣 ² + 𝜇 + 𝑣 𝛾 ,

sehingga 𝜆₂ = _{2 𝜇 +𝛾+𝑣} ¹ − 𝜇 + 𝛾 𝑅₀+ 𝑣 (𝜇 + 𝑣) + 𝑚 dan 𝜆₃ = −_{2 𝜇 +𝛾+𝑣} ¹ 𝜇 + 𝛾 𝑅₀+ 𝑣 (𝜇 + 𝑣) + 𝑚 .

Karena semua nilai parameternya positif (𝑏, 𝛽, 𝜇, 𝛾 > 0), diperoleh kriteria untuk analisis kestabilan sebagai berikut:

1. Jika 𝑅₀ < 1 maka 𝑚 > 0

2. Jika 𝑅₀ > 1 maka ada ketentuan yang memungkinkan mendapatkan nilai dari 𝑚 sebagai berikut:

 Jika

𝜇 + 𝛾 𝑅₀+ 𝑣 (𝜇 + 𝑣) ² > 4(𝑅₀− 1) 𝜇 + 𝛾 + 𝑣 𝜇 + 𝑣 ²+ 𝜇 + 𝑣 𝛾 , maka nilai 𝑚 > 0.

 Jika

𝜇 + 𝛾 𝑅₀+ 𝑣 (𝜇 + 𝑣) ² < 4(𝑅₀− 1) 𝜇 + 𝛾 + 𝑣 𝜇 + 𝑣 ²+ 𝜇 + 𝑣 𝛾 , maka nilai 𝑚 < 0.

Selanjutnya, untuk mengetahui kestabilan dari 𝜆₂ digunakan ketentuan seperti berikut:

1. 𝑚 > 0, 𝜇 + 𝛾 𝑅₀+ 𝑣 (𝜇 + 𝑣) > 0.

 Jika 𝜇 + 𝛾 𝑅₀+ 𝑣 (𝜇 + 𝑣) < 𝑚 maka 𝜆2 > 0.

 Jika 𝜇 + 𝛾 𝑅₀+ 𝑣 (𝜇 + 𝑣) > 𝑚 maka 𝜆2 < 0.

 Jika 𝜇 + 𝛾 𝑅₀+ 𝑣 (𝜇 + 𝑣) = 𝑚 maka 𝜆₂ = 0.

2. 𝑚 < 0, 𝜇 + 𝛾 𝑅₀+ 𝑣 (𝜇 + 𝑣) > 0 maka 𝜆₂ imajiner.

Sedangkan, untuk mengetahui kestabilan dari 𝜆₃ digunakan ketentuan seperti berikut:

1. Jika 𝑚 > 0 maka 𝜆₃ < 0.

2. Jika 𝑚 < 0 maka 𝜆₃ imajiner.

(Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3)

Berdasarkan ketentuan yang telah dijabarkan sebelumnya, diperoleh kesimpulan sebagai berikut:

1. Jika 𝑚 > 0 , 𝜇 + 𝛾 𝑅₀+ 𝑣 (𝜇 + 𝑣) < 𝑚 maka 𝜆1 < 0 , 𝜆₂ > 0 , 𝜆₃ < 0, sehingga titik tetap bersifat sadel.

2. Jika 𝑚 > 0 , 𝜇 + 𝛾 𝑅₀+ 𝑣 (𝜇 + 𝑣) > 𝑚 maka 𝜆1 < 0 , 𝜆₂ < 0 , 𝜆₃ < 0, sehingga titik tetap bersifat simpul stabil.

3. Jika 𝑚 < 0, 𝜇 + 𝛾 𝑅₀+ 𝑣 𝜇 + 𝑣 > 0, maka 𝜆₁ < 0, 𝜆₂ imajiner, 𝜆₃ imajiner, sehingga titik tetap bersifat spiral stabil.

Ringkasan kriteria untuk menentukan kestabilan 𝑇₁ dan 𝑇₂ dapat dilihat dalam Tabel 1 berikut.

Tabel 1 Titik tetap model tanpa waktu tunda

Kriteria 𝑇₁ 𝑇₂

𝑅₀ < 1, 𝑚 > 0, 𝜇 + 𝛾 𝑅₀+ 𝑣 (𝜇 + 𝑣) < 𝑚 Simpul

stabil Sadel 𝑅₀ < 1, 𝑚 > 0, 𝜇 + 𝛾 𝑅₀+ 𝑣 𝜇 + 𝑣 > 𝑚 Simpul

stabil

Simpul stabil 𝑅₀ > 1, 𝑚 > 0, 𝜇 + 𝛾 𝑅₀+ 𝑣 𝜇 + 𝑣 > 𝑚

Sadel Simpul stabil 𝑅₀ > 1, 𝑚 < 0, 𝜇 + 𝛾 𝑅₀+ 𝑣 𝜇 + 𝑣 > 0

Sadel Spiral stabil

B. Model Virus Komputer dengan Waktu Tunda

Pelinearan Model dengan Waktu Tunda

Model virus komputer dengan waktu tunda pada persamaan (4), dianalisis menggunakan pendekatan model linear. Misalkan

𝑥 𝑡 = 𝑆 𝑡 − 𝑆^∗⇔ 𝑆 𝑡 = 𝑥 𝑡 + 𝑆^∗,

𝑦 𝑡 = 𝐼 𝑡 − 𝐼^∗⇔ 𝐼 𝑡 = 𝑦 𝑡 + 𝐼^∗, (9) 𝑧 𝑡 = 𝑅 𝑡 − 𝑅^∗⇔ 𝑅 𝑡 = 𝑧 𝑡 + 𝑅^∗.

Kemudian mensubstitusikan persamaan (8) ke dalam persamaan (4), sehingga didapat hasil pelinearan (bukti dapat dilihat pada Lampiran 4) sebagai berikut:

𝑥 𝑡 = −𝜇𝑥 𝑡 − 𝛽𝐼^∗𝑒^−𝜇𝜏1𝑥 𝑡 − 𝛽𝑆^∗𝑒^−𝜇𝜏1𝑦 𝑡 − 𝜏₁ + 𝑣𝑧 𝑡 − 𝜏₂ − 𝛽𝑒^−𝜇𝜏1𝑥 𝑡 𝑦 𝑡 − 𝜏₁ ,

𝑦 𝑡 = 𝛽𝐼^∗𝑒^−𝜇𝜏1𝑥 𝑡 − 𝜇 + 𝛾 𝑦 𝑡 + 𝛽𝑆^∗𝑒^−𝜇𝜏1𝑦 𝑡 − 𝜏₁ +

𝛽𝑒^−𝜇𝜏1𝑥 𝑡 𝑦 𝑡 − 𝜏₁ , (10)

𝑧 𝑡 = 𝛾𝑦 𝑡 − 𝜇𝑧 𝑡 − 𝑣𝑧 𝑡 − 𝜏₂ .

Berdasarkan persamaan (10) yang telah diperoleh, matriks Jacobi dapat dikonstruksi menjadi

𝐽 =

−𝜇 − 𝛽𝐼^∗𝑒^−𝜇𝜏1 −𝛽𝑆^∗𝑒^−𝜇𝜏1𝑒^−𝜆𝜏1 𝑣𝑒^−𝜆𝜏2 𝛽𝐼^∗𝑒^−𝜇𝜏1 −𝜇 − 𝛾 + 𝛽𝑆^∗𝑒^−𝜇𝜏1𝑒^−𝜆𝜏1 0

0 𝛾 −𝜇 − 𝑣𝑒^−𝜆𝜏2

. (11)

Penentuan Nilai Eigen Model

Penentuan nilai eigen model menggunakan rumus 𝐽 − 𝜆𝐼 = 0 seperti persamaan yang diperoleh berikut:

−𝜇 − 𝛽𝐼^∗𝑒^−𝜇𝜏1 − 𝜆 −𝛽𝑆^∗𝑒^−𝜇𝜏1𝑒^−𝜆𝜏1 𝑣𝑒^−𝜆𝜏2 𝛽𝐼^∗𝑒^−𝜇𝜏1 −𝜇 − 𝛾 + 𝛽𝑆^∗𝑒^{−𝜇 𝜏1}𝑒^−𝜆𝜏1 − 𝜆 0

0 𝛾 −𝜇 − 𝑣𝑒^−𝜆𝜏2− 𝜆

= 0.

Akibatnya didapatkan persamaan karakteristik (bukti dapat dilihat pada Lampiran 5) sebagai berikut:

𝜆 + 𝜇 [𝜆²+ 𝜆 2𝜇 + 𝛾 + 𝛽𝐼^∗𝑒^−𝜇𝜏1 + 𝜇²+ 𝛽𝐼^∗𝛾𝑒^−𝜇𝜏1 + 𝜇𝛽𝐼^∗𝑒^−𝜇𝜏1 + 𝜇𝛾] + 𝜆 + 𝜇 𝑒^−𝜆𝜏1 −𝛽𝑆^∗𝑒^−𝜇𝜏1𝜆−𝛽𝑆^∗𝑒^−𝜇𝜏1𝜇 + 𝜆 + 𝜇 𝑒^−𝜆𝜏2 𝑣𝜆 + 𝜇𝑣 + 𝛽𝐼^∗𝑣𝑒^−𝜇𝜏1+ 𝛾𝑣 +

𝜆 + 𝜇 𝑒^{−𝜆 𝜏1+𝜏2} −𝛽𝑆^∗𝑣𝑒^−𝜇𝜏1 = 0 .

(12)

Ada dua kasus yang akan dibahas untuk model virus komputer dengan waktu tunda pada persamaan (4), yaitu saat 𝜏₁ > 0, 𝜏₂ = 0 dan saat 𝜏₁ = 0, 𝜏₂ > 0.

Kasus 1 ( 𝝉_𝟏 > 0, 𝝉_𝟐= 𝟎 )

Pada kasus 1 ini, dimasukkan nilai 𝜏₁ > 0, 𝜏₂ = 0 ke dalam persamaan (12) sehingga didapatkan nilai eigen seperti berikut:

𝜆 = −𝜇 ∨ 𝜆²+ 𝑝₁𝜆 + 𝑝₀+ 𝑒^−𝜆𝜏1 𝑞₁𝜆 + 𝑞₀ = 0 dengan

𝑝₁ = 𝜇 + 𝛾 + 𝜇 + 𝑣 + 𝛽𝐼^∗𝑒^−𝜇𝜏1,

𝑝₀ = 𝜇 + 𝛾 + 𝜇 + 𝑣 + 𝜇 + 𝛾 + 𝑣 𝛽𝐼^∗𝑒^−𝜇𝜏1, 𝑞₁ = −𝛽𝑆^∗𝑒^−𝜇𝜏1,

𝑞₀ = − 𝜇 + 𝑣 𝛽𝑆^∗𝑒^{−𝜇 𝜏1}.

Untuk 𝜆 = −𝜇 selalu bernilai negatif. Sedangkan untuk mencari nilai dari persamaan 𝜆²+ 𝑝₁𝜆 + 𝑝₀+ 𝑒^−𝜆𝜏1 𝑞₁𝜆 + 𝑞₀ = 0 , dilakukan dengan cara mensubstitusikan 𝜆 = 𝑖𝜔, 𝜔 > 0 ke dalam persamaan sehingga diperoleh persamaan berikut:

(𝑖𝜔)²+ 𝑝₁(𝑖𝜔) + 𝑝₀+ 𝑒^{−𝑖𝜔 𝜏1} 𝑞₁(𝑖𝜔) + 𝑞₀ = 0.

Karena 𝑒^{−𝑖𝜔𝜏} = cos 𝜔𝜏 − 𝑖sin(𝜔𝜏), persamaan menjadi

−𝜔²+ 𝑝₁ 𝑖𝜔 + 𝑝₀+ 𝑞₁𝜔𝑖 cos 𝜔𝜏₁ + 𝑞₀cos 𝜔𝜏₁ +

𝑞₁𝜔sin 𝜔𝜏₁ − 𝑞₀𝑖sin 𝜔𝜏₁ = 0. (13) Selanjutnya memisahkan bagian real dan imajiner pada persamaan (13), sehingga diperoleh

 −𝜔²+ 𝑝₀+ 𝑞₀cos 𝜔𝜏₁ + 𝑞₁𝜔sin 𝜔𝜏₁ = 0, 𝜔²− 𝑝₀ = 𝑞₁𝜔 sin 𝜔𝜏₁ + 𝑞₀cos 𝜔𝜏₁ .

 𝑝₁𝜔 + 𝑞₁𝜔 cos 𝜔𝜏₁ − 𝑞₀sin 𝜔𝜏₁ = 0, 𝑝₁𝜔 = 𝑞₀sin 𝜔𝜏₁ − 𝑞₁𝜔 cos 𝜔𝜏₁ .

Setelah memisahkan bagian real dan imajiner, kemudian menguadratkan kedua ruas masing-masing, sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut:

 (𝜔²− 𝑝₀)² = (𝑞₁𝜔 sin 𝜔𝜏₁ + 𝑞₀cos 𝜔𝜏₁ )²,

𝜔⁴− 2𝜔²𝑝₀+ 𝑝₀² = 𝑞₁²𝜔²sin² 𝜔𝜏₁ + 𝑞₀²cos² 𝜔𝜏₁ + 2𝑞₀𝑞₁𝜔 sin 𝜔𝜏₁ cos 𝜔𝜏₁ .

 (𝑝₁𝜔)² = (𝑞₀sin 𝜔𝜏₁ − 𝑞₁𝜔 cos 𝜔𝜏₁ )², 𝑝₁²𝜔² =

𝑞₀²sin² 𝜔𝜏₁ + 𝑞₁²𝜔²cos² 𝜔𝜏₁ − 2𝑞₀𝑞₁𝜔 sin 𝜔𝜏₁ cos 𝜔𝜏₁ . Kemudian kedua persamaan tersebut dijumlahkan dan dikelompokkan sesuai pangkat 𝜔 dengan cos² 𝜔𝜏₁ + sin² 𝜔𝜏₁ = 1 sehingga diperoleh polinomial berderajat empat

𝜔⁴+ 𝑝₁²− 2𝑝₀− 𝑞₁² 𝜔²+ 𝑝₀²− 𝑞₀² = 0.

Untuk kasus ini, jika

𝑝₀²− 𝑞₀² = 2 𝜇 + 𝛾 𝜇 + 𝑣 + 𝜇 + 𝛾 + 𝑣 𝛽𝐼^∗𝑒^{−𝜇 𝜏1} 𝜇 + 𝛾 + 𝑣 𝛽𝐼^∗𝑒^−𝜇𝜏1 > 0

dan

𝑝₁²− 2𝑝₀− 𝑞₁² = 𝜇 + 𝑣 ²+ (𝛽𝐼^∗𝑒^−𝜇𝜏1)²+ 2𝜇𝛽𝐼^∗𝑒^−𝜇𝜏1 > 0, maka tidak ada akar realnya.

Jika tidak ada akar real, maka 𝜆 = 𝑖𝜔 tidak berlaku. Dengan demikian titik tetap tidak mungkin spiral. Jadi kasus ini bersifat asimtotik stabil.

Berdasarkan teorema, jika 𝑅₀ > 0, maka kesetimbangan infeksi virus E^* adalah asimtotik lokal stabil sehingga tidak ada Bifurkasi Hopf.

(Bukti dapat dilihat pada Lampiran 6) Kasus 2 (𝝉_𝟏= 𝟎 , 𝝉_𝟐> 0)

Pada kasus 2 dimasukkan nilai 𝜏₁ = 0 , 𝜏₂ > 0 ke dalam persamaan (12) sehingga diperoleh nilai eigen seperti berikut:

𝜆 = −𝜇 ∨ 𝜆²+ 𝑎₁𝜆 + 𝑎₂+ 𝑒^−𝜆𝜏2(𝑏₁𝜆 + 𝑏₂) = 0 dengan

𝑎₁ = 2𝜇 + 𝛾 + 𝛽𝐼^∗− 𝛽𝑆^∗,

𝑎₂ = 𝜇 𝜇 + 𝛾 + 𝛽𝐼^∗− 𝛽𝑆^∗ + 𝛽𝐼^∗𝛾, 𝑏₁ = 𝑣,

𝑏₂ = 𝑣 𝜇 + 𝛾 + 𝛽𝐼^∗− 𝛽𝑆^∗ .

Untuk 𝜆 = −𝜇 selalu bernilai negatif. Sedangkan untuk mencari nilai dari persamaan 𝜆²+ 𝑎₁𝜆 + 𝑎₂+ 𝑒^−𝜆𝜏2(𝑏₁𝜆 + 𝑏₂) = 0 , dilakukan dengan cara mensubstitusikan 𝜆 = 𝑖𝜔, 𝜔 > 0 ke dalam persamaa sehingga diperoleh persamaan berikut:

(𝑖𝜔)²+ 𝑎₁(𝑖𝜔) + 𝑎₂+ 𝑒^{−𝑖𝜔 𝜏2}(𝑏₁(𝑖𝜔) + 𝑏₂) = 0.

Karena 𝑒^{−𝑖𝜔𝜏} = cos 𝜔𝜏 − 𝑖sin(𝜔𝜏), persamaan menjadi

−𝜔²+ 𝑎₁ 𝑖𝜔 + 𝑎₂+ 𝑏₁𝜔𝑖 cos 𝜔𝜏₂ + 𝑏₂cos 𝜔𝜏₂ +

𝑏₁𝜔𝑠𝑖𝑛 𝜔𝜏₂ − 𝑏₂𝑖sin 𝜔𝜏₂ = 0. (14)

Selanjutnya memisahkan bagian real dan imajiner pada persamaan (14) sehingga diperoleh

 −𝜔²+ 𝑎₂+ 𝑏₂cos 𝜔𝜏₂ + 𝑏₁𝜔 sin 𝜔𝜏₂ = 0,

𝜔²− 𝑎₂= 𝑏₁𝜔 sin 𝜔𝜏₂ + 𝑏₂cos 𝜔𝜏₂ . (15)

 𝑎₁𝜔 + 𝑏₁𝜔 cos 𝜔𝜏₂ − 𝑏₂sin 𝜔𝜏₂ = 0,

𝑎₁𝜔 = 𝑏₂sin 𝜔𝜏₂ − 𝑏₁𝜔 cos 𝜔𝜏₂ . (16) Setelah memisahkan bagian real dan imajiner, kemudian menguadratkan kedua ruas masing-masing sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut:

 (𝜔²− 𝑎₂)² = (𝑏₁𝜔 sin 𝜔𝜏₂ + 𝑏₂cos 𝜔𝜏₂ )²,

𝜔⁴− 2𝜔²𝑎₂+ 𝑎₂² = 𝑏₁²𝜔²sin² 𝜔𝜏₂ + 𝑏₂²cos² 𝜔𝜏₂ + 2𝑏₂𝑏₁𝜔 sin 𝜔𝜏₂ cos 𝜔𝜏₂ .

 (𝑎₁𝜔)² = (𝑏₂sin 𝜔𝜏₂ − 𝑏₁𝜔 cos 𝜔𝜏₂ )², 𝑎₁²𝜔² =

𝑏₂²sin² 𝜔𝜏₂ + 𝑏₁²𝜔²cos² 𝜔𝜏₂ − 2𝑏₂𝑏₁𝜔 sin 𝜔𝜏₂ cos 𝜔𝜏₂ . Kedua persamaan tersebut dijumlahkan dan dikelompokkan sesuai pangkat 𝜔 dengan cos² 𝜔𝜏₁ + sin² 𝜔𝜏₁ = 1 . Akibatnya diperoleh polinomial berderajat empat

𝜔⁴+ 𝑎12− 2𝑎₂− 𝑏₁² 𝜔²+ 𝑎₂²− 𝑏₂² = 0. (17) Dari persamaan (17) dapat dilihat bahwa persamaan tersebut merupakan polinomial berderajat genap. Bila didefinisikan 𝜔_±² sebagai akar persamaan (17) akan diperoleh

𝜔_±² = ^{− 𝑎12−2𝑎2−𝑏1}

2 ± 𝑎₁²−2𝑎₂−𝑏₁^{2 2}−4(𝑎₂²−𝑏₂²)

2 .

Selanjutnya, untuk mengetahui nilai tundaan kritis dilakukan pengubahan dalam bentuk secan pada persamaan (15) dan (16) dan disamadengankan.

Sehingga diperoleh nilai tundaan kritis sebagai berikut:

𝜏_𝑘^±= 1

𝜔_±tan⁻¹ 𝜔_±(𝑎₂𝑏₁− 𝑏₁𝜔_±²𝑎₂𝑏₁− 𝑎₁𝑏₂)

𝑎₁𝑏₁𝜔_±² − (𝜔_±² − 𝑎₂)𝑏₂ +2𝑘𝜋

𝜔_± , 𝑘 = 0,1,2,3, … (18) (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 7) Bifurkasi Hopf

Teorema 1 (Kar 2003)

Misalkan ada sebuah bilangan bulat positif 𝑚 sedemikian sehingga 𝑚 berubah kestabilan dari stabil ke tidak stabil atau sebaliknya. Jika 𝜏 ∈ 0, 𝜏₀⁺ ∪ 𝜏₀⁺, 𝜏₀⁻ ∪ … ∪ (𝜏_𝑚−1⁻, 𝜏_𝑚⁺) titik tetap bersifat stabil dan 𝜏 ∈ 𝜏₀⁺, 𝜏₀⁻ ∪ 𝜏₁⁺, 𝜏₁⁻ ∪ … ∪ (𝜏_𝑚−1⁺, 𝜏_𝑚−1⁻) titik tetap bersifat tidak stabil, maka sistem akan terjadi bifurkasi Hopf terhadap titik tetap untuk 𝜏 = 𝜏_𝑘^±, 𝑘 = 0,1,2, …

Untuk membuktikan Teorema 1 Kar (2003) cukup dilakukan uji kebenaran kondisi transversabilitas, yaitu kondisi yang menyebabkan perubahan kestabilan titik tetap dengan waktu tunda. Kriteria kondisi yang digunakan adalah

𝑑 Re 𝜆

𝑑𝜏 𝜏 = 𝜏_𝑘⁺ > 0 dan ^{𝑑 Re 𝜆} _𝑑𝜏

𝜏 = 𝜏_𝑘⁻ < 0.

Langkah pertama untuk memenuhi Teorema 1 Kar (2003), persamaan 𝜆²+ 𝑎₁𝜆 + 𝑎₂+ 𝑒^−𝜆𝜏2(𝑏₁𝜆 + 𝑏₂) = 0 diturunkan terhadap 𝜏 , sehingga diperoleh

2𝜆_𝑑𝜏^𝑑𝜆

2+ 𝑎_1𝑑𝜏^𝑑𝜆

2+ 𝑏₁𝑒^−𝜆𝜏2_𝑑𝜏^𝑑𝜆

2+ 𝑏₁𝜆𝑒^−𝜆𝜏2 −𝜆 − 𝜏_2𝑑𝜏^𝑑𝜆

2 + 𝑏₂𝑒^−𝜆𝜏2 −𝜆 − 𝜏_2𝑑𝜏^𝑑𝜆

2 = 0 atau

𝑑𝜆 𝑑𝜏₂

−1 = ^2𝜆+𝑎_𝜆(𝑏 ^{1 𝑒𝜆𝜏2}

1𝜆+𝑏₂) +_𝜆(𝑏^𝑏1

1𝜆+𝑏₂)−^𝜏_𝜆² . ⁽¹⁹⁾ Dari persamaan𝜆²+ 𝑎₁𝜆 + 𝑎₂+ 𝑒^−𝜆𝜏2(𝑏₁𝜆 + 𝑏₂) = 0 , didapat 𝑒^𝜆𝜏2 =

−(𝑏₁𝜆+𝑏₂)

(𝜆²+𝑎1𝜆+𝑎2). Kemudian disubstitusikan pada persamaan (19) sehingga diperoleh

𝑑𝜆 𝑑𝜏2

−1 = _𝜆(𝜆^{− 2𝜆+𝑎}_2+𝑎 ¹

1𝜆+𝑎2)+_𝜆(𝑏^𝑏1

1𝜆+𝑏2)−^𝜏_𝜆² . Oleh karena itu,

sign 𝑑 Re𝜆

𝑑𝜏_{2 𝜆=𝑖𝜔} = sign Re 𝑑𝜆 𝑑𝜏₂

−1 𝜆=𝑖𝜔

= sign Re _{𝜆 𝜆}^{− 2𝜆+𝑎}_2+𝑎 ¹

1𝜆+𝑎₂ 𝜆=𝑖𝜔 + Re _𝜆(𝑏^𝑏1

1𝜆+𝑏₂) 𝜆=𝑖𝜔 + Re −^𝜏_𝜆²

𝜆=𝑖𝜔

= sign _(𝜔^2𝜔_2−𝑎^{2+𝑎12−2𝑎2}

2)²+𝑎₁²𝜔²−_𝑏 ^𝑏12

22+𝑏₁²𝜔²

= sign ^2𝜔_(𝜔²₂^+𝑎_−𝑎^{12−𝑏12−2𝑎2}

2)²+𝑎₁²𝜔²

= sign 2𝜔²+ 𝑎₁²− 𝑏₁²− 2𝑎₂ .

(Bukti dapat dilihat pada Lampiran 8) Untuk nilai 𝜔 = 𝜔₊ diperoleh

sign 𝑑 Re𝜆 𝑑𝜏_{2 𝜆=𝑖𝜔}

+

= sign 2𝜔₊² + 𝑎₁² − 𝑏₁²− 2𝑎₂

= sign 𝑎₁²− 2𝑎₂− 𝑏₁^{2 2}− 4(𝑎₂²− 𝑏₂²) , sehingga terpenuhi bahwa

𝑑 Re 𝜆

𝑑𝜏₂ 𝜏₂=𝜏_𝑘⁺ > 0.

Untuk nilai 𝜔 = 𝜔₋ diperoleh sign 𝑑 Re𝜆

𝑑𝜏_{2 𝜆=𝑖𝜔}

−

= sign 2𝜔₋² + 𝑎₁²− 𝑏₁²− 2𝑎₂

= sign − 𝑎₁²− 2𝑎₂ − 𝑏₁^{2 2}− 4(𝑎₂²− 𝑏₂²) , sehingga terpenuhi bahwa

𝑑 Re 𝜆

𝑑𝜏₂ 𝜏₂=𝜏_𝑘⁻ < 0.

Oleh karena itu, kondisi transversabilitas terpenuhi. Jadi, 𝜏_𝑘^± merupakan perubahan nilai waktu tunda untuk kestabilan model (10) sehingga terjadi bifurkasi Hopf.

(Bukti dapat dilihat pada Lampiran 9)

SIMULASI NUMERIK

Simulasi numerik digunakan untuk memberikan ilustrasi secara visual dari hasil analisis kestabilan kasus 4. Analisis kestabilan pada model virus komputer ini, digambarkan oleh kurva bidang fase dan bidang solusi pada waktu 𝑡 . Solusi numerik dilakukan dengan cara mensubstitusikan nilai parameter yang telah ditentukan berdasarkan analisis ke dalam persamaan model matematika virus komputer dengan waktu tunda.

I. Model Virus Komputer tanpa Waktu Tunda

Simulasi dilakukan untuk melihat perilaku kestabilan model virus komputer tanpa waktu tunda (persamaan (3)) menggunakan beberapa nilai parameter tetap, yaitu: 𝑏 = 10, 𝛽 = 5, 𝜇 = 3, 𝛾 = 2, 𝑣 = 5 dengan nilai awal 𝑆 0 = 0.4, 𝐼 0 = 0.4, dan 𝑅 0 = 0.2 . Nilai-nilai ini diasumsikan sebagai nilai dari ratusan komputer.

Simulasi dilakukan dengan menggunakan software Matematica 10.0 pada model virus komputer tanpa waktu tunda sesuai parameter yang telah ditetapkan sebelumnya. Dari hasil simulasi ini diperoleh bidang solusi yang menunjukkan komputer rentan, terinfeksi dan pulih (𝑆𝐼𝑅). Dalam simulasi ini, nilai titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilannya dapat dilihat pada Tabel 2 berikut ini.

Tabel 2 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan untuk simulasi

Luaran Titik Tetap

𝑇₁ 𝑇₂

𝑆 3. 33333 1

𝐼 0 1.86667

𝑅 0 0.46667

𝜆₁ -3 -3

𝜆₂ -8 -8.66667 + 4.26875i

𝜆₃ 11.66667 -8.66667 - 4.26875i

Jenis kestabilan Sadel Spiral Stabil

Gambar 1 Bidang fase model virus komputer (𝑆𝐼𝑅)

Gambar 2 Bidang solusi komputer yang rentan

Gambar 3 Bidang solusi komputer yang terinfeksi

Gambar 4 Bidang solusi komputer yang pulih

Gambar 1 menyatakan bahwa komputer yang rentan, terinfeksi, dan pulih akan stabil menuju ke satu titik dari nilai awal yang telah ditetapkan.

Gambar 2 menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan sebelumnya, komputer rentan mengalami peningkatan yang pesat yang kemudian mengalami penurunan dan stabil pada titik 1. Gambar 3 menyatakan bahwa komputer yang terinfeksi mengalami peningkatan yang pesat dan akhirnya stabil pada titik 1.87. Sedangkan Gambar 4 menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan, komputer yang pulih mengalami peningkatan dan setelah itu stabil di titik 0.47.

II. Model Virus Komputer dengan Waktu Tunda 𝝉_𝟏 > 0, 𝝉_𝟐 = 𝟎 Simulasi dilakukan untuk melihat perilaku kestabilan model virus komputer dengan waktu tunda terinfeksi (persamaan (4)) menggunakan beberapa nilai parameter tetap, yaitu: 𝑏 = 10, 𝛽 = 5, 𝜇 = 3, 𝛾 = 2, 𝑣 = 5 dengan nilai awal 𝑆 0 = 0.4, 𝐼 0 = 0.4, dan 𝑅 0 = 0.2. Nilai-nilai ini diasumsikan sebagai nilai dari ratusan komputer.

Kasus 1 (𝝉_𝟏= 𝟐, 𝝉_𝟐 = 𝟎)

Gambar 5 Bidang fase model virus komputer saat 𝜏₁ = 2 dan 𝜏₂ = 0

Gambar 6 Bidang solusi komputer yang rentan saat 𝜏₁ = 2 dan 𝜏₂ = 0