KONTROL OPTIMAL DAN ANALISIS MODEL DINAMIK VIRUS EBOLA MENGGUNAKAN METODE PRINSIP MINIMUM PONTRYAGIN

TUGAS AKHIR – SM141501

KONTROL

OPTIMAL

DAN

ANALISIS

MODEL

DINAMIK

VIRUS

EBOLA

MENGGUNAKAN

METODE

PRINSIP

MINIMUM

PONTRYAGIN

FITRIA FATIMIA AYUNI NRP 1212 100 053 Dosen Pembimbing

Dr. Didik Khusnul Arif, S.Si, M.Si Dra. Nur Asiyah, M.Si

JURUSAN MATEMATIKA

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember

FINAL PROJECT – SM141501

OPTIMAL CONTROL AND ANALYSIS OF

DYNAMIC MODEL OF THE EBOLA VIRUS

USING PONTRYAGIN’S MINIMUM

PRINCIPLE

FITRIA FATIMIA AYUNI NRP 1212 100 053 Supervisors

Dr. Didik Khusnul Arif, S.Si, M.Si Dra. Nur Asiyah, M.Si

DEPARTMEN OF MATHEMATICS

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember

vii

MINIMUM PONTRYAGIN

Nama : Fitria Fatimia Ayuni

NRP : 1212 100 053

Jurusan : Matematika

Dosen Pembimbing : Dr. Didik Khusnul Arif, S.Si, M.Si Dra. Nur Asiyah, M.Si

ABSTRAK

Penyakit virus Ebola adalah penyakit yang berbahaya dan sangat mematikan. Pertumbuhan kasus yang cukup cepat dari waktu ke waktu, angka kematian yang cukup tinggi dan adanya mekanisme penularan dari manusia ke manusia menyebabkan penyakit virus Ebola mendapatkan perhatian khusus dari negara-negara diseluruh dunia. Sampai tanggal 15 Agustus 2014, World

Health Organization (WHO) mencatat kasus penyakit virus Ebola

sebanyak 2.127 dengan jumlah kematian 1.145 (Case Fatality

Rate sebesar 53,8 %). Negara yang terjangkit sebanyak 4 negara,

yang semuanya berada di kawasan Afrika Barat. Negara- negara tersebut antara lain Liberia (786 kasus, 413 kematian), Guinea (519 kasus, 380 kematian), Nigeria (12 kasus, 4 kematian), dan Sierra Leone (810 kasus, 348 kematian). Terdapat dua prinsip pedoman dasar kesehatan publik untuk mengendalikan/ mengelolah penyebaran dari penyakit menular seperti penyakit virus Ebola yang tidak memiliki pengobatan/treatment yang efektif, antara lain yang pertama pengisolasian yang efektif yang terkena penyakit tersebut. Dan yang kedua, mencari sekelompok kasus individu yang terkena penyakit virus Ebola dan mengkarantina untuk dimonitoring. Pada Tugas Akhir ini penulis akan menyelidiki kestabilan, keterkontrolan dan keteramatan dari titik kesetimbangan pada model. Selain itu digunakan kendali

viii

virus Ebola dan metode yang digunakan adalah prinsip minimum pontryagin. Kemudian hasil kontrol optimal akan disimulasikan menggunaakan metode runge kutta. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa individu terinfeksi pada saat dengan kendali mengalami penurunan sebesar 0.00094%

Kata Kunci : Virus Ebola, Analisis Model, Kendali Optimal,

ix

MINIMUM PRINCIPLE

Name : Fitria Fatimia Ayuni

NRP : 1212 100 053

Department : Matematika

Supervisors : Dr. Didik Khusnul Arif, S.Si, M.Si

Dra. Nur Asiyah, M.Si

ABSTRACT

Ebola virus is the dangerous and deadly disease. The cases increase rapidly, the death is quite high and infecting mechanism from human to human makes this Ebola become attention.Until 15th of August ,WHO records an Ebola infectious reachs 2127 cases, with the number of death 1145 cases ( 53,8% case fatality rate). All off our infected countries use on West Africa. They are Liberia 9786cases, 413 death), Guinea (519 cases, 380 death), Nigeria (12 cases, 4 death), and Siera Leone (810 cases, 348 death). These two fundamental principal of public health to control and manage the infectious disease like Ebola which does not have effective treatment. The first is the isolation of infected person. The second is finding the group of infected individual cases that will be quarantined and monitored. This final experiment is aimed to investigate the stability, its controlable and tendency of the mode equilibrium point.Beside that, the optimal control is used to minimize the infected person and control the used method is minimum pontryagin principal. After that, the result of optimal control will be simulated by using

x control decreased by 0.000994%

Keyword : Ebola Disease, The Analysis Model, Optimal Control, Minimum Pontryagin Principal, Runge Kutta .

xi

Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, atas limpahan rahmat taufiq dan hidayah-Nya, penulis dapat menyelesaikan tugas akhir dengan judul

“KONTROL OPTIMAL DAN ANALISIS MODEL

DINAMIK PENYAKIT VIRUS EBOLA MENGGUNAKAN METODE PRINSIP MINIMUM PONTRYAGIN”.

Tugas akhir ini merupakan sebagian persyaratan kelulusan dalam menyelesaikan Program Sarjana Jurusan Matematika, FakultasMatematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut TeknologiSepuluh Nopember Surabaya.

Dalam penyusunan Tugas akhir tidak lepas dari bantuan , kerja sama dan dukungan berbagai pihak. Sehingga pada kesempatan kali ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Dr. Imam Mukhlash, S.Si, MT selaku Ketua Jurusan Matematika ITS.

2. Bapak Dr. Didik Khusnul Arif, S.Si, M. Si dan ibu Dra. Nur Asiyah, M.Si. selaku dosen pembimbing yang telah banyak membantu dan membimbing penulis dalam Penyelesaian Tugas Akhir ini

3. Bapak Dr. Didik Khusnul Arif, S.Si, M. Si dan ibu Dra. Nur Asiyah, M.Si. selaku dosen pembimbing yang telah banyak membantu dan membimbing penulis dalam Penyelesaian Tugas Akhir ini

4. Bapak Drs. Kamiran, M.Si., Drs. Mohammad Setijo Winarko, M.Si, Muhammad Syifa’ul Mufid, S.Si., M.Si. selau dosen penguji yang telah banyak memberikan saran dan kritik kepada penulis dalam Penyelesaian Tugas Akhir ini

5. Ibu Dra. Nuri Wahyuningsih,M. Kes Selaku Dosen Wali. 6. Bapak dan Ibu dosen, seluruh staf Tata Usaha, dan

asisten laboratorium (Pak Muhtadi, Pak Joko, Mas Ali dkk)

xii

keluarga atas motivasi, bantuan, semangat, dan doanya kepada penulis.

8. Saudari Nastitie, Tika, Hariyani, Izza, Nihaya, Indah, Adhel, Chibi, Isyi, Mbak Tutud, Firda, Sheerty,Chani, Mbak Tutud, Mbak Anica, Rere, Hariyani, Mas Haqqul, Mas Heri, Mas Yahya, Mas Joko, dan Keluarga MAT12IKS yang telah memotivasi dan memberikan masukan kepada penulis selama pengerjaan Tugas Akhir.

Penulis menyadari bahwa dalam Tugas Akhir ini masih terdapat kekurangan. Oleh sebab itu, kritik dan saran yang bersifat membangun sangat diharapkan oleh penulis. Akhirnya penulis berharap semoga Tugas Akhir ini dapat bermanfaat bagi banyak pihak.

Wassalamu’aalaikum Wr. Wb

Surabaya, 10 Januari 2017

xiii Halaman JUDUL………... I LEMBAR PENGESAHAN ... V ABSTRAK ... Vii ABSTRACT ... Ix KATA PENGANTAR ... Xi DAFTAR ISI ... Xiii DAFTAR GAMBAR ... Xv DAFTAR TABEL ... Xvii BAB I PENDAHULUAN ... 1.1 Latar Belakang ... 1.2 Rumusan Masalah ... 1.3 Batasan Masalah ... 1.4 Tujuan ... 1.5 Manfaat ... 1.6 Sistematika Penulisan ... 1 1 3 4 4 4 4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ...

2.1 Penelitian Terdahulu ... 2.2 Penyakit Virus Ebola ... 2.3 Model Penyakit Virus Ebola ... 2.4 Analisis Model Penyakit Virus Ebola ... 2.4.1 Titik Kesetimbangan ... 2.4.2 Analisis Kestabilan ... 2.4.3 Kriteria Routh-Hurwitz ... 2.4.3 Analisis Keterkontrolan ... 2.4.4 Analisis Keteramatan ... 2.5 Teori Kontrol Optimal ... 2.6 Prinsip Minimum Pontryagin ... 2.7 Metode Runge Kutta ... 2.7.1 Metode Runge Kutta Orde 4 ...

7 7 8 10 12 12 12 16 18 18 19 21 23 23

xiv

3.2 Analisis Dinamik Model ... 3.3 Menetukan Formulasi Masalah Kontrol

Optimal ... 3.4 Menyelesaikan Kontrol Optimal ... 3.5 Simulasi dan Analisis Hasil Simulasi ... 3.5.1 Simulasi ... 3.5.2 Analisis Hasil Simulasi ... 3.6 Kesimpulan dan Saran ...

25 25 26 26 26 27 27

BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN ...

4.1 Analisis Dinamik Model Penyakit Virus

Ebola ... 4.1.1 Titik Setimbang ... 4.1.2 Analisis Kestabilan ... 4.1.3 Analisis Keterkontrolan ... 4.1.4 Analisis Keteramatan ... 4.2 Penyelesaian Kendali Optimal Penyakit

Virus Ebola ... 4.3 Solusi Numerik... 4.4 Analisis Hasil Simulasi ...

29 29 33 38 50 58 62 69 73

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ...

5.1 Kesimpulan ... 5.2 Saran ... 89 89 89 DAFTAR PUSTAKA ... 89 LAMPIRAN 1 ... LAMPIRAN 2 ... LAMPIRAN 2 91 97 LAMPIRAN 3 ... 99 BIODATA PENULIS ... 101

xv

Halaman

Gambar 3.1 Diagram Alur Penelitian... 28

Gambar 4.1 Struktur State Model Kompartemen ... 29

Gambar 4.2 Individu Rentan (Total Populasi 1590)... 74

Gambar 4.3 Individu Rentan dengan Kendali (Perbesar) ... Gambar 4.4 Individu Teridentifikasi Penyakit Virus Ebola ... 74 75 Gambar 4.5 Individu Terinfeksi Penyakit Virus Ebola Pada Tahap Pertama ... 76

Gambar 4.6 Individu Terinfeksi Penyakit Virus Ebola Pada Tahap Kedua/Super Infeksi ... 77

Gambar 4.7 Individu Meninggal Hingga Dikubur ... 78

Gambar 4.8 Individu Sembuh/ Recovery ... 79

Gambar 4.9 Kendali ... 80

Gambar 4.10 Kendali ... 80

Gambar 4.11 Kendali ... 81

Gambar 4.12 Individu Rentan (Total Populasi 10530) ... 82

Gambar 4.13 Individu Rentan dengan kendali (Perbesar) ... 83

Gambar 4.14 Individu Teridentifikasi Penyakit Virus Ebola ... 84

Gambar 4.15 Individu Terinfeksi Penyakit Virus Ebola Pada Tahap Pertama ... 85 Gambar 4.16 Individu Terinfeksi Penyakit Virus Ebola Pada Tahap Kedua/Super Infeksi ... 86 Gambar 4.17 Individu Meninggal Hingga Dikubur ... 87

xvi

Halaman

Tabel 4.1 Nilai Parameter yang Digunakan dalam

Simulasi ... 32

Tabel 4.2 Routh-Hurwitz ...

1

BAB I PENDAHULUAN

Pada bab ini dijelaskan hal-hal yang melatar-belakangi munculnya permasalahan yang dibahas dalam Tugas Akhir ini. Kemudian permasalahan tersebut disusun kedalam suatu rumusan masalah. Selanjutnya dijabarkan juga batasan masalah untuk mendapatkan tujuan yang diinginkan serta manfaat yang dapat diperoleh. Adapun sistematika penulisan tugas akhir ini akan diuraikan di bagian akhir bab ini.

1.1 Latar Belakang

Banyak sekali penyakit yang telah disebabkan oleh virus. Virus adalah organisme unik yang secara genetik berada di antara hidup dan mati, saat virus berada di luar tubuh inangnya disebut kapsid dan saat menempel pada inangnya, maka virus tersebut akan menginfeksi inang dan bereproduksi [1]. Virus memiliki ukuran yang sangat rennik yaitu antara 25-300 nm. Salah satu penyakit yang di sebabkan oleh virus adalah penyakit virus Ebola. Penyakit virus Ebola adalah penyakit yang berbahaya dan sangat mematikan. Pertumbuhan kasus yang cukup cepat dari waktu ke waktu, angka kematian yang cukup tinggi dan adanya mekanisme penularan dari manusia ke manusia menyebabkan penyakit virus Ebola mendapatkan perhatian khusus dari negara-negara diseluruh dunia. Sampai tanggal 15 Agustus 2014, World

Health Organization (WHO) mencatat kasus penyakit virus Ebola

sebanyak 2.127 dengan jumlah kematian 1.145 (Case Fatality

Rate sebesar 53,8 %). Negara yang terjangkit sebanyak 4 negara,

yang semuanya berada di kawasan Afrika Barat. Negara- negara tersebut antara lain Liberia (786 kasus, 413 kematian), Guinea (519 kasus, 380 kematian), Nigeria (12 kasus, 4 kematian), dan Sierra Leone (810 kasus, 348 kematian) [2].

Penyakit virus Ebola terdiri dari lima spesies antara lain, Bundibugyo Ebola virus, Zaire Ebola virus, Sudan Ebola virus, Tai Forest Ebola virus, dan Reston Ebola virus. Empat dari lima spesies virus yang pertama kali tersebut dapat menginfeksi

manusia dan menimbulkan gejala yang berat. Sedangkan tiga spesies virus yang pertama kali adalah yang menyebabkan wabah di Afrika. Gejala dari penyakit virus Ebola adalah demam, sakit kepala, nyeri sendi dan otot, lemah, diare, muntah, sakit perut, kurang nafsu makan, dan perdarahan yang tidak biasa. Gejala paling banyak muncul sekitar 8-10 hari setelah terpapar penyakit virus Ebola. Virus ini menular melalui darah dan cairan tubuh lainnya (termasuk feses, saliva, urine, bekas muntahan dan sperma) dari hewan atau manusia yang terinfeksi penyakit virus Ebola. Virus ini dapat masuk ke tubuh orang lain melalui kulit yang terluka atau melalui membran mukosa yang tidak terlindungi seperti mata, hidung, dan mulut. Selain itu penyakit virus Ebola juga dapat menyebar melalui jarum suntik dan infus yang telah terkontaminasi. Mobilitas dari dan ke negara terjangkit merupakan faktor resiko penyebaran penyakit. Diperlukan pengawasan ketat di daerah masuk imigran dari luar negeri, mengingat masa inkubasi penyakit ini 2-21 hari yang memungkinkan ditemukannya kasus baik di pintu masuk negara. [3] Terdapat dua prinsip pedoman dasar kesehatan publik untuk mengendalikan/ mengelolah penyebaran dari penyakit menular seperti penyakit virus Ebola yang tidak memiliki pengobatan/treatment yang efektif, antara lain yang pertama pengisolasian yang efektif yang terkena penyakit tersebut. Dan yang kedua, mencari sekelompok kasus individu yang terkena penyakit virus Ebola dan mengkarantina untuk dimonitoring. [4]

Studi mengenai model penyakit virus Ebola telah banyak dilakukan dengan berbagai macam analisis. Salah satunya adalah penelitian yang dilakukan oleh Abdon. A. dan Emile F.D.G (2014) “On the Mathematical Analysis of Ebola Hemorrhagic Fever : Deathly Infection Disease in west African Countries” yang menganalisis model matematika SIRD pada penyebaran

penyakit Ebola atau dikenal dengan penyakit virus Ebola dengan memberikan titik ekuilibrium bebas penyakit dan endemik. Serta menganalisis kestabilan titiknya dan mengasumsikan kematian alami dan kematian lain (selain oleh penyakit virus Ebola) terjadi di populasi total. Endah Purwati (2015) dengan skripsinya yang berjudul “Model Matematika

Susceptible-Infected-Recovery-Deaths (SIRD) pada penyebaran penyakit virus Ebola” dikaji dua

model matematika Susceptible-Infected-Recovery-Deaths (SIRD) penyebaran penyakit virus Ebola pada populasi manusia. Kedua model matematika Susceptible-Infected-Recovery-Deaths (SIRD) pada penyebaran penyakit virus Ebola yaitu model oleh Abdon A. dan Emile F. D. G dan model pengembangan peneliti. Penelitian ini dilakukan untuk mengetahui titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik serta analisis kestabilan titik-titiknya, dan mengetahui nilai basic reproduction number (R0).

Namun pada penelitian ini tidak adanya kontrol yang berupa fasilitas, pengobatan, dan monitoring untuk individu yang terinfeksi penyakit virus Ebola. [5]

Berdasarkan permasalahan tersebut, Tugas Akhir ini penulis akan menyelidiki sifat-sifat pada model. Selain itu digunakan kendali optimal untuk meminimalkan individu yang terinfeksi penyakit virus Ebola dengan menjadikan fasilitas, pengobatan, dan monitoring sebagai kontrol, dan metode yang digunakan adalah prinsip minimum pontryagin.

1.2 Rumusan Masalah

Permasalahan dalam Tugas Akhir ini adalah :

1. Bagaimana analisis sifat pada model penyakit virus Ebola?

2. Bagaimana mendapatkan kontrol optimal dari model dinamik infeksi penyakit virus Ebola?

3. Bagaimana simulasi kontrol optimal dari model dinamik infeksi penyakit virus Ebola?

1.3 Batasan Masalah

Batasan masalah yang digunakan dalam Tugas Akhir ini antara lain:

1. Simulasi dilakukan menggunakan MATLAB.

2. Model dinamis yang digunakan adalah model dari Ebenezer Bonyah [4].

3. Populasi manusia sembuh tidak dapat menjadi populasi manusia terinfeksi.

1.4 Tujuan

Tujuan yang ingin dicapai dari penulisan Tugas Akhir ini adalah:

1. Menganalisis sifat pada model penyakit virus Ebola. 2. Mendapatkan kontrol optimal dari model dinamik infeksi

penyakit virus Ebola dengan menggunakan metode Prinsip Minimum Pontryagin.

3. Mensimulasikan kontrol optimal yang didapatkan dengan menggunakan software MATLAB.

1.5 Manfaat

Manfaat dari Tugas Akhir ini adalah untuk memberikan informasi sifat suatu model infeksi penyakit virus Ebola dan penyelesaian kontrol optimal yang diperoleh dapat menjadi suatu solusi yang optimal dalam mereduksi infeksi penyakit virus Ebola.

1.6 Sistematika Penulisan

Penulisan Tugas Akhir ini disusun dalam lima bab, yaitu: 1. BAB I PENDAHULUAN

Bab ini berisi tentang gambaran umum dari penulisan Tugas Akhir yang meliputi latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan, manfaat, dan sistematika penulisan. 2. BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Bab ini berisi tentang teori dasar yang mendukung dalam Tugas Akhir ini, antara lain model sistem dinamik yang digunakan, teori-teori analisis model antara lain kestabilan, kekontrolan, dan keteramatan, teori kendali optimal, prinsip minimum potryagin, dan metode runge kutta orde empat. 3. BAB III METODE PENELITIAN

Bab ini menjelaskan tahapan-tahapan dan metode yang digunakan untuk menyelesaikan Tugas Akhir ini.

4. BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN

Bab ini membahas tentang analisis model pada model dinamik penyakit virus Ebola, penerapan prinsip minimum pontryagin dan hamiltonian untuk mencari kendali optimal, mencari solusi numerik dengan metode runge kutta orde empat dan simulasi model tersebut.

5. BAB V PENUTUP

Bab ini berisi kesimpulan Tugas Akhir yang diperoleh dari bab pembahasan serta saran untuk pengembangan penelitian selanjutnya.

7

TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini diuraikan mengenai penelitian terdahulu, penyakit virus Ebola, model penyakit virus Ebola, analisis model meliputi analisis kestabilan, analisis kekontrolan, dan analisis keteramatan, teori optimal kontrol, dan prinsip minimum pontryagin.

2.4.1 Penelitian Terdahulu

Ada berbagai literatur yang memodelkan penyebaran penyakit virus Ebola, salah satunya adalah penelitian mengenai model penyakit virus Ebola yang telah diteliti sebelumnya oleh Abdon A. dan Emile F. D. G (2014) “On the Mathematical

Analysis of Ebola Hemorrhagic Fever : Death Infection Disease in West African Countries” Model matematika Susceptible-Infected-Recovery-Deaths (SIRD) pada penyebaran penyakit

Ebola atau dikenal dengan penyakit virus Ebola dengan memberikan titik ekuilibrium bebas penyakit dan endemik serta analisis kestabilan titiknya, dan mengasumsikan kematian alami dan kematian lain (selain penyakit virus Ebola) terjadi pada populasi total [5]. Namun pada penelitian ini tidak adanya kontrol yang berupa fasilitas, pengobatan, dan monitoring untuk individu yang terinfeksi penyakit virus Ebola.

Gerardo Chowell dan Hiroshi Nishiura (2014)

“Transmission Dynamics and Control Of Ebola Virus Disease (EVD)”. Dalam penelitiannya membahas tentang penyakit virus

Ebola di Afrika Barat dimana penyakit virus Ebola memerlukan perhatian khusus terutama mengenai hal-hal yang bersangkutan dengan karakteristik epidemik dari penyakit virus Ebola. Penyakit virus Ebola berhubungan dengan transmisi dinamis dan dampaknya berhubungan dengan kontrol melawan transmisi penyakit virus Ebola tersebut. Selain itu membutuhkan data-data mengenai epidemik dari perkembangan penyakit virus Ebola pada tahun-tahun sebelumnya dari data-data tersebut, dapat membandingkan model matematika dari penyebaran dan kontrol

penyakit virus Ebola diwaktu yang lalu dengan yang saat sedang terjadi [6].

Endah Purwati (2015) “ Model Matematika

Susceptible-Infected-Recovery-Deaths (SIRD) pada penyebaran penyakit

virus Ebola” dalam skripsinya dikaji dua model matematika

Susceptible-Infected-Recovery-Deaths (SIRD) penyebaran penyakit virus Ebola pada populasi manusia. Kedua model matematika Susceptible-Infected-Recovery-Deaths (SIRD) pada penyebaran penyakit virus Ebola yaitu model oleh Abdon A. dan Emile F. D. G dan model pengembangan peneliti. Penelitian ini dilakukan untuk mengetahui titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik serta analisis kestabilan titik-titiknya, dan mengetahui nilai basic reproduction number (R0) [5].

2.4.2 Penyakit Virus Ebola

Penyakit virus Ebola pertama kali diidentifikasi di Sudan dan diwilayah yang berdekatan dengan Zaire (saat itu dikenal sebagai Republik Congo) pada tahun 1976, setelah terjadi epidemik di Yambuk, daerah Utara Republik Cono dan Nzara, daerah Selatan Sudan. Negara-negara di benua Afrika yang terkena wabah penyakit virus Ebola mempunyai sistem kesehatan yang sangat lemah, kekurangan sumber daya manusia, dan infrastruktur yang tidak memadai.

Inang atau reservoir penyakit virus Ebola belum dapat dipastikan, namun telah diketahui bahwa kelelawar buah adalah salah satu inang alami penyakit virus Ebola. Penyakit virus Ebola juga telah dideteksi pada daging simpanse, gorilla, dan kijang liar. Beberapa hipotesa mengatakan terjadi penularan dari hewan terinfeksi ke manusia kemudian dari manusia, virus bisa ditularkan dengan berbagai cara. Manusia dapat terinfeksi karena kontak dengan darah dan atau sekret orang yang terinfeksi. Selain itu manusia juga bisa terinfeksi karena kontak dengan benda yang terkontaminasi oleh individu terinfeksi. Penularan nosocomial juga dapat terjadi bila tenaga medis tidak memakai alat pelindung diri yang memadai.

Penyakit virus Ebola berasal dari genus Ebola Virus famili

Filoviridae. Famili Filoviridae memiliki garis tengah 800 nm dan

panjang mencapai 1000nm. Penyakit virus Ebola mengandung molekul lurus dan RNA negatif. Penyakit virus Ebola menular melalui darah, muntah feses dan cairan tubuh dari manusia pengidap penyakit virus Ebola ke manusia lain. Penyakit virus Ebola juga bisa ditemukan dalam urin dan cairan sperma infeksi terjadi ketika cairan-cairan tubuh tersebut menyentuh mulut, hidung atau luka terbuka orang sehat.

Masa inkubasi (waktu antara paparan virus dan perkembangan penyakit) penyakit virus Ebola antara 2-21 hari. Paling sering antara 4-10 hari walaupun begitu ada 5% masa inkubasi yang mencapai lebih dari 21 hari. Periode ini dapat bervariasi, tergantung pada rute paparan dan jumlah virus yang kontak dengan pasien. Misalnya, pasien disuntik dengan jumlah besar Ebola karena penggunaan kembali jarum yang kotor dapat mengembangkan gejala lebih cepat daripada seseorang terkena melalui kontak eksternal dengan jumlah kecil cairan tubuh lainnya dari pasien yang terinfeksi. Gejala-gejala penyakit virus Ebola adalah demam,sakit kepala, sakit perut, mual kelalahan, dan perasaan sakit umum, biasanya muncul tiba-tiba. Demam biasanya lebih tinggi dari 38.30C. Karena gejala-gejala ini umum untuk banyak penyakit, maka sangat sulit untuk membuat diagnosis definitif infeksi penyakit virus Ebola. Penyakit ini timbul seperti diare berdarah, sakit tenggorokan yang parah, dan sakit kuning (menguningnya kulit dan mata karena penumpukan protein hati) adalah gejala umum. Muntah dan anoreksia (kehilangan nafsu makan).

Penderita penyakit penyakit virus Ebola berat membutuhkan perawatan intensif. Biasanya pasien mengalami dehidrasi dan membutuhkan cairan infus atau oralit yang mengansung elektrolit. Saat ini belum ada obat untuk penyakit penyakit virus Ebola. Beberapa pasien sembuh dengan penanganan dan perawatan medis yang tepat. Untuk membantu mengendalikan penyebaran infeksi penyakit virus Ebola, pasien

terduga atau terkonfirmasi penyakit virus Ebola perlu dirawat diruang isolasi dan fasilitas kesehatan wajib menerapkan tindakan pengendalian infeksi ketat [8].

2.4.3 Model Penyakit Virus Ebola ( Menurut Ebenezer Bonyah)

Model dinamik penyakit virus Ebola menurut Ebenezer Bonyah sebagai berikut [4]: ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dimana, = Individu recovery = Individu yang rentan

= Individu terinfeksi pada tingkat pertama

= Individu terinfeksi pada tingkat kedua/ super infeksi = Individu yang sudah diidentifikasi terinfeksi terjangkit

penyakit virus Ebola

=Populasi individu meninggal akibat penyakit dari tingkat kedua/ super infeksi ( )

= Tingkat individu yang sudaah diidentifiikasi terjangkit penyakit virus Ebola

=Rata-rata waktu individu terinfeksi pada tingkat pertama ( ) sampai menuju tingkat kedua/super infeksi ( ) = Rata-rata waktu individu terinfeksi pada tingkat kedua/super infeksi ( ) sampai meninggal

= Rata-rata waktu individu meninggal sampai dikubur = Rata-rata waktu pemulihan individu recovery

=Kontrol yang merepresentasikan fasilitas untuk menjaga jarak agar individu rentan tidak melakukan kontak dengan individu terinfeksi termasuk kampanye dan edukasi publik

=Kontrol yang merepresentasikan treatment/pengobatan untuk individu yang sudah diidentifikasi terjangkit penyakit virus Ebola

= Kontrol yang merepresentasikan treatment/pengobatan dan monitoring individu pada tingkat pertama ( ) dan tingkat kedua/ super infeksi ( )

= Fraksi individu terinfeksi pada tingkat pertama ( ) dan tingkat kedua/ super infeksi ( )

= Fraksi individu terinfeksi pada tingkat kedua/ super infeksi ( ) sampai meninggal

= Tingkat individu rentan menjadi terinfeksi akibat penularan dari manusia terinfeksi tingkat pertama ( ) = Tingkat individu rentan menjadi terinfeksi akibat penularan dari manusia terinfeksi tingkat kedua/ super infeksi ( )

= Tingkat individu rentan menjadi terinfeksi akibat penularan dari manusia terinfeksi yang telah meninggal dan belum dikuburkan.

N = Total Populasi

Dengan kondisi awal ( ) . Dalam perspektif matematika, untuk waktu tf tetap. Fungsi obyektif sebagai berikut :

( ) ∫ [ ( ) ( ) ( ) ( )

( )] ( )

Dengan A1, A2, A3 adalah variabel bobot yang berkorelasi dengan

biaya penggunaan kontrol yaitu sebagai faktor penyeimbang dari biaya pengontrolan sistem.

2.4.4 Analisis Model Penyakit Virus Ebola

Analisis dinamik model dilakukan untuk mengetahui perilaku sistem pada model penyakit virus Ebola. Pada penelitian ini akan dianalisis mengenai kestabilan, keterkontrolan, dan keteramatan sistem.

2.4.1 Titik Kesetimbangan

Titik kesetimbangan merupakan titik tetap yang tidak berubah terhadap waktu.

Definisi 2.1 [9]

Titik ̅ disebut titik kesetimbangan dari suatu sistem jika

( ̅)

2.4.2 Analisis Kestabilan

Pada penelitian ini akan dibahas mengenai analisis kestabilan sistem penyakit virus Ebola. Namun pada penelitian ini sistem yang digunakan mempunyai bentuk nonlinier, sehingga untuk melakukan analisis kestabilannya adalah dengan menggunakan cara analisis transformasi kestabilan local disertai titik setimbang dari sistem tersebut. Untuk melakukan analisis transformasi kestabilan lokal tersebut, maka digunakan deret Taylor untuk mencari suatu hampiran solusi disekitar titik setimbang. Deret Taylor untuk sistem di sekitar titik setimbang ̅ adalah

( ) ( ̅) ( ̅)

( ̅) _{( ̅)}

( ̅) ( ) Dimana turunan-turunan

, , …,dihitung pada ̅. Dengan mengabaikan suku-suku berorde tinggi, selanjutnya Persamaan (2.9) dapat disederhanakan menjadi

( ) ( ̅) ( ̅)

( ̅) ( ) Persamaan (2.10) akan memberikan suatu model matematik linier dari sistem nonlinier melalui pendekatan deret Taylor. Selanjutnya, ditinjau dari sistem ( ) disekitar titik setimbang ̅ ( ̅ ̅ ̅ ) dan kondisi setimbanganya adalah ketika ( ) , maka Persamaan (2.10) menjadi

( ) ( ̅) ( ̅ ) ( ̅) ( ̅ ) ( ̅) ( ̅ ) (‖ ̅‖) ( ) ( ̅) ( ̅ ) ( ̅) ( ̅ ) ( ̅) ( ̅ ) (‖ ̅‖) ( ) ( ̅) ( ̅ ) ( ̅) ( ̅ ) ( ̅) ( ̅ ) (‖ ̅‖)

Apabila suku-suku nonliniernya diabaikan maka diperoleh ( ) ( ̅)

( ̅ ) ( ̅)

( ̅) ( ̅ ) ( ) ( ̅) ( ̅ ) ( ̅) ( ̅ ) ( ̅) ( ̅ ) ( ) ( ̅) ( ̅ ) ( ̅) ( ̅ ) ( ̅) ( ̅ ) ( ) Selanjutnya didefinisikan ̅ ̅ ̅

Didapat derivatifnya adalah

̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ Sehingga ̇ ( ) menjadi ̇ ( ) dan diperoleh

̇ ( ) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ̇ ( ) ( ̅) ( ̅) ( ̅)

̇ ( ) ( ̅) ( ̅) ( ̅)

Jika dinyatakan dalam bentuk matriks, maka diperoleh

( ̇ ̇ ̇ , ( ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ) ( ,

atau ditulis menjadi

̇ ( ( ̅))

Dengan ( ( ̅)) merupakan matriks Jacobian dan fungsi di titik kesetimbangan ̅. Berikut merupakan definisi mengenai matriks Jacobian.

Definisi 2.2 [9]

Diberikan fungsi dengan ( ) dan himpunan terbuka. Matriks

( ( ̅)) ( ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) )

dinamakan matriks Jacobian dari dari ̅

Matriks Jacobian ( ( ̅))dapat digunakan untuk mengidentifikasi sifat kestabilan sistem nonliear di sekitar titik

ekuilibrium ̅asalkan titik kesetimbangan tersebut hiperbolik. Berikut diberikan definisi tentang titik kesetimbangan hiperbolik.

Definisi 2.3[10]

Titik kesetimbangan ̅dikatakan hiperbolik jika semua nilai eigen

matriks Jacobian ( ( ̅)) mempunyai bagian real tak nol.

Berikut diberikan definisi mengenai sifat kestabilan suatu sistem nonlinear yang ditinjau dari nilai eigen matriks Jacobian. Definisi 2.4 [9]

Suatu titik kesetimbangan ̅pada sistem persamaan diferensial ̇ ( ) dikatakan

i. Stabil, jika semua nilai eigen matriks Jacobian

( ( ̅))mempunyai bagian real negatif,

ii. Tidak stabil, jika semua nilai eigen matriks Jacobian

( ( ̅))mempunyai bagian real positif,

2.1 Kriteria Routh-Hurwitz

Nilai eigen matriks Jacobi dapat diperoleh dari menyelesaikan persamaan karakteristik,

_{( )} tetapi tidak semua persamaan karakteristik dapat diselesaikan dengan mudah. Dalam hal ini, untuk mengetahui sifat kestabilan dari nilai eigen matriks jacobi dapat dilakukan dengan Kriteria Routh-Hurwitz [10].

Teorema 2.1 Kriteria Routh-Hurwitz

Akar-akar persamaan (2.3) mempunyai bagian riil negatif jika,

| | | | | |

Jika , maka persaman (2.11) menjadi,

dengan menggunakan tabel Routh-Hurwitz, koefisien-koefisian pada polinomial,

dapat disusun menjadi,

dengan,

Polinomal

stabil jika semua kolom pertama bernilai positif.

2.4.4 Analisis Keterkontrolan

Keterkontrolan sistem bermanfaat dalam menstabilkan sistem. Selain itu, solusi dari suatu permasalahan kontrol optimal mungkin tidak akan diperoleh jika sistem yang bersangkutan tidak terkontrol. Maka perlu dianalisis mengenai keterkontrolan sistem.

Teorema 2.1. [9]

Jika terdapat persamaan matriks state sebagai berikut :

̇( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Syarat perlu dan cukup sistemterkontrol adalah : Matriks

( | | | | ₎

mempunyai rank yang sama dengan n.

2.4.5 Analisis Keteramatan

Berikut ini akan diberikan definisi dari keteramatan yang merupakan dual dari keterkontrolan.

Bila setiap keadaan awal q(0)= secara tunggal dapat diamati dari setiap pengukuran keluaran system dari waktu t=0 ke t= , maka system dikatakan teramati.

Istilah dual di atas, kata „terkontrol‟ diganti dengan „teramati‟ masukan ( ) diganti dengan keluaran ( ) yaitu dalam terminology keterkontrolan sebarang keadaan awal dikontrol dengan suatu masukan ( ) ke sebarang keadaan akhir dimana , sedangkan dalam terminology keteramatan sebarang keadaan awal lewat sebarang pengukuran keluaran ( ) diamati pada interval waktu . Terdapat syarat perlu dan syarat cukup untuk suatu system yang teramati, yaitu :

Teorema 2.2. [10]

Berdasarkan persamaan (2.9). Syarat perlu dan cukup suatu system teramati adalah :

1. Matriks m(0,t) non-singulir 2. Matriks keteramatan [ ( )_]

mempunyai rank sama dengan n

2.5 Teori Kontrol Optimal

Pada prinsipnya, tujuan dari pengendalian optimal adalah menentukan signal atau kendali yang akan diproses dalam sistem dinamik dan memenuhi beberapa konstrain, dengan tujuan memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan ( ) yang sesuai [7]. Adapun masalah formulasi kendali optimal terdiri dari: a. Mendekripsikan secara matematis suatu model (secara umum

b. Menentukan fungsi objektif (performance index)

c. Menentukan kendala dan kondisi batas yang harus dipenuhi Secara umum, masalah kendali optimal diformulasikan sebagai berikut,

misalkan suatu sistem dinamik diberikan oleh persamaan: ̇ ( ( ) ( ) ) ( )

dengan keadaan awal ( ) dan keadaan akhir ( ) dan ( ) yang menyatakan pengendali keadaan pada waktu t. dalam hal ini, masalah kendali optimal adalah mencari pengendali optimal ( ) yang memenuhi persamaan keadaan (state) dengan syarat nilai J sebagai berikut,

( ( ) ) ∫ ( ( ) ( ) ) ( )

adalah minimum atau maksimum. Bentuk umum persamaan J di atas disebut fungsi tujuan bentuk Bolza dengan S adalah bentuk Mayer dan V adalah bentuk Lagrange. Dengan kondisi sistem yaitu waktu akhir tetap atau bebas dan keadaan (state) akhir seluruhnya atau sebagian bebas atau tetap.

Pada penelitian ini akan dilakukan kendali optimal terhadap model infeksi penyakit virus Ebola dengan model yang digunakan adalah model Ebenezer Bonyah dkk dan metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah kontrol optimalnya adalah Prinsip Minimum Pontryagin. Kontrol ( ) yang digunakan adalah ( ) kontrol yang merepresentasikan fasilitas untuk menjaga jarak agar individu rentan tidak melakukan kontak dengan individu terinfeksi termasuk kampanye dan edukasi publik, ( ) kontrol yang merepresentasikan

treatment/pengobatan untuk individu yang sudah diidentifikasi

terjangkit penyakit virus Ebola, dan ( ) Kontrol yang merepresentasikan treatment/pengobatan dan monitoring individu pada tingkat pertama ( ) dan tingkat kedua/super infeksi ( ).

2.6 Prinsip Minimum Pontryagin

Prinsip Minimum Pontryagin merupakan salah satu cara dalam menyelesaikan masalah kendali optimal dengan kendala yang terbatas. Metode tersebut digunakan untuk memperoleh kendali terbaik pada sistem dinamik dari state awal hingga akhir, yaitu dengan meminimumkan fungsi objektif. Oleh karena itu, prinsip ini disebut sebagai Prinsip Minimum Pontryagin. Dengan memperhatikan persamaan keadaan dan fungsi tujuan yang telah diberikan pada Persamaan (2.13) dan (2.14), langkah dalam menyelesaikan masalah kendali optimal adalah sebagai berikut [7],

a. Langkah 1

Bentuk fungsi Hamiltonian (H) sebagai berikut, ( ( ) ( ) ( ) )

( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ) dengan tanda “ ” menyatakan suatu transpose. b. Langkah 2

Meminimumkan H terhadap ( ) dengan cara: (

( )* sehingga diperoleh kondisi stasioner ( ). c. Langkah 3

Dengan menggunakan hasil yang diperoleh dari langkah 2, akan didapatkan fungsi Hamiltonian yang optimal, , yaitu:

( ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) d. Langkah 4

Mencari persamaan state dengan cara, ̇ ( ) (

* dan persamaan costate yaitu:

̇ ( ) ( *

Dengan kondisi batas diberikan oleh keadaan awal dan keadaan akhir yang disebut kondisi transversality.

Kondisi batas secara umum sebagai berikut:

(

*

[(

* ] e. Langkah 5

Subtitusi hasil yang diperoleh dari langkah 4 ke dalam persamaan ( ) pada langkah 2 untuk mendapatkan kendali optimal yang dicari.

Dalam menentukan kondisi transversality yang sesuai, terdapat macam-macam kondisi batas, yaitu [7]:

a. Fixed-final time and fixed-final state system

Artinya waktu akhir dan state saat waktu akhir telah diketahui atau ditentukan.

( ) ( ) b. Free-final time and fixed-final state system

Artinya waktu akhir belum ditentukan atau tidak diketahui dan

state saat waktu akhir telah ditentukan atau diketahui.

( ) ( ) ( *

c. Fixed-final time and free-final state system

Artinya waktu akhir telah ditentukan atau diketahui sedangkastate saat waktu akhir belum diketahui atau tidak ditentukan.

( ) ( ) ( * d. Free-final time and dependent free-final state system

Artinya waktu akhir belum ditentukan atau tidak diketahui dan

state saat akhir belum ditentukan atau tidak diketahui dan

nilainya bergantung pada sesuatu. ( ) ( ) (( * [( * ( )] ̇( )) e. Free-final time and independent free-final state system

Artinya waktu akhir belum ditentukan atau tidak diketahui dan

state saat akhir belum ditentukan atau tidak diketahui dan

nilainya bergantung pada sesuatu. ( ) ( * (( * ( )+

2.7 Metode Runge Kutta

Metode Runge-Kutta merupakan pengembangan dari metode Euler, dimana perhitungan penyelesaian dilakukan step demi step. Untuk fungsi dari persamaan differensial :

( )

Dengan titik pendekatan awal berdasarkan metode Euler nilai fungsi penyelesaian diperoleh dengan :

( ) adalah langkah waktu.

2.7.1 Metode Runge Kutta Orde 4

Bila pada metode Runge-Kutta 2, nilai koefisien perbaikannya adalah dua buah, maka pada metode ini menggunakan empat nilai koefisien perbaikan. Pandang persamaan differensial.

( )

( )

Dengan titik awal ( ) , ( ) , makapenyelesaian integrasinya akan diperoleh

( ) Dengan ( ) ( * ( * ( ) Dan ( ) Dengan ( ) ( ) ( ) ( )

25

METODE PENELITIAN

Bab ini menguraikan metode yang digunakan pada penelitian secara rinci. Metodologi penelitian yang digunakan berguna sebagai acuan sehingga penelitian ini dapat disusun secara sistematis.

3.1 Studi Literatur

Tahap ini dilakukan identifikasi permasalahan dengan mencari referensi yang menunjang penilitian. Referensi bisa berupa tugas akhir, jurnal, buku, maupun artikel terkait.

3.2 Analisis Dinamik Model

Pada tahap ini akan dilakukan analisis mengenai model matematika pada penyakit virus Ebola antara lain menganalisis kestabilan, kekontrolan dan keteramatan sistem. Model yang digunakan merupakan model tak linier sehingga perlu dilakukan pelinieran model. Pelinieran menggunakan Deret Taylor dan dari hasil liniearisasi dilakukan analisis kestabilan pada titik kesetimbangan dengan mencari nilai eigen dari matriks Jacobian. Untuk menganalisis keterkontrolan dapat dilakukan dengan membentuk matriks keterkontrolan dan menentukan jumlah rank dari matriks tersebut. Begitu pula untuk menganalisis keteramatan suatu sistem dengan membentuk matriks keteramatan kemudian menentukan jumlah rank dari matriks tersebut.

3.3 Menentukan Formulasi Masalah Kontrol Optimal

Tahap berikutnya dalah menemtukan fungsi objektif dari model matematika infeksi virus Ebola dan syarat batas

3.4 Menyelesaikan Kontrol Optimal

Pada tahap ini akan dilakukan penyelesain kontrol optimal menggunakan metode prinsip minimum pontryagin dengan langkah-langkah sebagai berikut :

1. Membentuk fungsi Hamiltonian

2. Menentukan persamaan state dan costate 3. Menentukan kondisi batas

4. Menentukan kontrol optimal 5. Simulasi dan analisis hasil simulasi

3.5 Simulasi dan Analisis hasil Simulasi

Tahap ini dilakukan penyelesaian kendali optimal yang telah diformulasikan pada tahapan sebelumnya. Metode yang digunakan dalam penyelesaian masalah tersebut adalah Prinsip Minimum Pontryagin. Langkah-langkah yang dilakukan dalam tahap ini antara lain:

1. Membentuk fungsi Hamiltonian,

2. Menentukan persamaan state dan costate,

3. Menentukan bentuk kontrol optimal berdasarkan keadaan stasioner.

3.5.1 Simulasi

Penyelesaian kontrol optimal dari model penyakit virus Ebola disimulasikan menggunakan software

MATLAB dengan menggunakan numerik Runge-Kutta orde 4. Langkah-langkah yang dilakukan menggunakan metode runge kutta orde 4,

1. Menentukan nilai h(step size) 2. Menentukan nilai dan 3. Menentukan nilai y dari h dan

3.5.2 Analisis Hasil Simulasi

Pada tahap ini, penulis melakukan analisis terhadap hasil yang telah diperoleh dari simulasi.

3.6 Kesimpulan dan Saran

Setelah dilakukan analisis dan pembahasan maka dapat ditarik suatu kesimpulan dan saran sebagai masukan untuk pengembangan penelitian lebih lanjut.

Gambar 3.1 Diagram Alur Penelitian

Persamaan State dan Costate

Simulasi dan analisis hasil simulasi

Non-linier

Linier Pelinieran

Analisa Dinamik Model : Kestabilan Keterkontrolan

Keteramatan

Fungsi Tujuan

31

BAB IV

ANALISIS DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini dibahas mengenai model matematika pada penyakit virus Ebola antara lain menganalisis kestabilan, kekontrolan, dan keteramatan sistem, setelah itu menentukan solusi yang optimal dari model dengan menerapkan Prinsip Minimum Pontryagin. Selanjutnya ditentukan penyelesaian solusi numerik dari model dan mensimulasikan dengan menggunakan

MATLAB.

4.1 Analisis Dinamik Model Penyakit Virus Ebola

State dari model Ebola adalah enam nonlinier persamaan diferensial biasa. Model tersebut diusulkan oleh Pontryagian et al dan dilakukan sedikit modifikasi [4]

Gambar 4.1. Struktur State Model Kompartemen penyakit virus

Ebola. Dimana individu rentan (S), infeksi pertama (I1), terinfeksi

(E), infeksi stadium akhir/super infeksi(I2), recovery (R) ,

Individu Meninggal (F)

Berdasarkan Gambar 4.1 diperoleh model interaksi dinamis sebagai berikut,

1. Laju perubahan jumlah populasi individu rentan bertambah karena adanya kematian alami yang terinfeksi dari total individu rentan yang tidak mendapatkan kendali fasilitas untuk menjaga jarak agar individu rentan tidak melakukan kontak dengan individu terinfeksi termasuk kampanye dan edukasi dan terinfeksi akibat adanya individu terinfeksi pada tahap pertama, individu tahap kedua/super infeksi, dan individu meninggal hingga dikubur dan berkurang akibat adanya kematian alami individu rentan.

= − (1 − )( + + ) −

2. Laju perubahan jumlah populasi individu teridentifikasi terinfeksi virus Ebola bertambah karena adanya individu rentan yang mendapatkan kendali kendali fasilitas untuk menjaga jarak agar individu rentan tidak melakukan kontak dengan individu terinfeksi termasuk kampanye dan edukasi dan terinfeksi akibat adanya individu terinfeksi pada tahap pertama, individu tahap kedua/super infeksi, dan individu meninggal hingga dikubur berkurang karena mengalami kematian alami.

= (1 − )( + + ) − ( + )

3. Laju perubahan jumlah populasi individu terinfeksi penyakit virus Ebola pada tahap pertama bertambah karena adanya kontrol pengobatan dari tingkat individu yang teridentifikasi penyakit virus Ebola dan berkurang karena individu tingkat pertama yang mendapatkan kontrol pengobatan dan monitoring yang juga diperngaruhi oleh fraksi dan waktu individu terinfeksi penyakit virus Ebola.

= − ( + )

4. Laju perubahan jumlah populasi individu yang terinfeksi penyakit virus Ebola pada tahap kedua bertambah karena adanya individu tingkat pertama yang mendapatkan kendali pengobatan dan monitoring yang juga dipengaruhi oleh fraksi dan waktu individu terinfeksi, namun akan berkurang karena adanya kematian alami dan kendali pengobatan dan monitoring yang juga dipengaruhi oleh fraksi dan waktu individu terinfeksi hingga meninggal.

= − ( + )

5. Laju perubahan populasi individu yang meninggal hingga dikubur bertambah karena adanya kendali berupa pengobatan dan monitoring yang juga dipengaruhi oleh fraksi dan waktu individu terinfeksi sampai meninggal namun berkurang karena adanya rata-rata waktu individu meninggal sampai dikubur.

= −

6. Laju perubahan populasi individu yang sembuh bertambah karena adanya individu terinfeksi pada tahap pertama yang mendapatkan kendali pengobatan dan monitoring dan tidak mengalami fraksi dan dipengaruhi waktu rata-rata individu terinfeksi, serta bertambah karena inidvidu terinfeksi tahap kedua yang mendapatkan kendali pengobatan dan monitoring dan tidak mengalami fraksi sampai meninggal dan di pengaruhi waktu rata-rata individu terinfeksi, mengalami pengurangan jumlah karena adanya kematian alami dan pemulihan individu.

= (1 − ) + (1 − ) − ( + ) Berikut adalah parameter yang digunakan,

Tabel 4.1 Parameter

Parameter Deskripsi Nilai

Fraksi individu terinfeksi pada tingkat pertama ( ) dan tingkat

kedua/ super infeksi ( )

0.6/ hari

Fraksi individu terinfeksi pada tingkat kedua/ super infeksi

( ) sampai meninggal

0.7/ hari

Tingkat individu yang sudaah diidentifiikasi terjangkit

penyakit virus Ebola

8/ hari

Tingkat individu rentan menjadi terinfeksi akibat

penularan dari manusia terinfeksi tingkat pertama ( )

0.9/ hari

Tingkat individu rentan menjadi terinfeksi akibat

penularan dari manusia terinfeksi tingkat kedua/ super

infeksi ( )

0.67/ hari

Tingkat individu rentan menjadi terinfeksi akibat penularan dari mansia terinfeksi

yang telah meninggal dan belum dikubur

0.67/ hari

Rata-rata waktu individu terinfeksi pada tingkat pertama

( ) sampai menuju tingkat kedua/ super infeksi ( )

Rata-rata waktu individu terinfeksi pada tingkat kedua/

super infeksi ( ) sampai meninggal

1.4/ hari

Rata-rata waktu individu

meninggal sampai dikubur

1.4/ hari

Rata-rata waktu pemulihan

individu recovery

1.4/ hari

Jumlah kematian alami individu

yang terinfeksi 0.00005479/ hari Faktor pembobot 20 Faktor pembobot 40 Faktor pembobot 50

Untuk melakukan analisis dinamik dari Persamaan (2.1) sampai (2.6), terlebih dahulu menentukan titik setimbang dari sistem dinamik. Selanjutnya, dilakukan analisis kestabilan, keterkontrolan dan keteramatan pada titik setimbang.

4.1.1 Titik Setimbang

Titik kesetimbangan dapat diperoleh dengan menyamadengan kan nol state-state yang ada yaitu ̇ = 0, ̇ = 0, ̇ = 0, , ̇ = 0, ̇ = 0, ̇ = 0 sehingga Persamaan (2.1) sampai (2.6) menjadi ̇ = 0 − (1 − )( + + ) − = 0 (4.1) ̇ = 0 (1 − )( + + ) − ( + ) = 0 (4.2) ̇ = 0

− ( + ) = 0 (4.3) ̇ = 0 − ( + ) = 0 (4.4) ̇ = 0 − = 0 (4.5) ̇ = 0 (1 − ) + (1 − ) − ( + ) = 0 (4.6)

Selanjutnya dicari nilai dari titik setimbang ̅ = ( ̅, , , , , ) sebagai berikut:

Pertama-tama akan dicari nilai dari persamaan (4.3) sebagai berikut,

− ( + ) = 0

=

+ (4.7) Selanjutnya dicari nilai dari Persamaan (4.4) sebagai berikut,

− ( + ) = 0

=

+ (4.8) Dengan mensubstitusikan Persamaan (4.7) ke Persamaan (4.8), maka Persamaan (4.14) menjadi

= + = + = ( + )( + ) (4.9) Berdasarkan Persamaan (4.5), nilai F dapat dihitung dengan

= (4.10) Mensubstitusikan Persamaan (4.9) ke Persamaan (4.10), maka Persamaan (4.10) menjadi

=

= ( )( )

=

( + )( + )( ) (4.11) Berdasarkan Persamaan (4.3) akan hitung nilai S dengan cara mensubstitusikan Persamaan (4.7),(4.9), dan (4.11 ) ke Persamaan (4.2) sebagai berikut

(1 − )( + + ) − ( + ) = 0



( )+_{( )(} ( )₎+ ( ) ( )( )( ) − ( + ) = 0



( )+_{( )(} ( )₎+ _{( )(} (_{)( )}) = ( + )



( )+ ( ) ( )( )+ _{( )(} ( ₎₍ )₎ = ( + )



(1 − ) +_{( )( )}+ _{( )( )( )} = ( + )

 = ( ) ( )( ) ( )( ) = + ( )( ) ( ) ( )( )( ) (1 − ) ̅ = + ( + )( ) + ( ) + ( + )( + )( ) 1 (1 − ) (4.12)

Substitusikan Persamaan ( 4.7), (4.9)dan (4.11) ke Persamaan (4.7). Sehingga Persamaan (4.1) menjadi

− (1 − )( + + ) − = 0  − (1 − )( + + ) =  −(1 − )( + + ) = −



−(1 − ) ( + )( ) + ( ) + ( + )( + )( )( + ) = (1 − ) (1 − ) ( + )( ) + ( ) + ( + )( + )( )( + )  − = (1 − ) = − (1 − ) = − + (4.13)

Substitusi Persamaan (4.13) ke Persamaan (4.7), sehingga Persamaan (4.7) menjadi

=

= (− + )

+ (4.14)

Subtitusi Persamaan (4.13) ke Persamaan (4.9), sehingga Persamaan (4.9) menjadi

=

( + )( + )

= (− + )

( + )( + ) (4.15)

Subtitusi Persamaan (4.13) ke Persamaan (4.11), sehingga Persamaan (4.11) menjadi

=

( + )( + )( )

= (− + )

( + )( + )( ) (4.16)

Substitusi Persamaan (4.14), (4.15) ke Persamaan (4.6), sehingga Persamaan (4.6) menjadi (1 − ) + (1 − ) − ( + ) = 0  = ( ) ( )  = (1 − ) ( ) + (1 − ) _{( )(}( )₎ + = (1 − ) (− + ) + + (1 − ) (− + ) ( + )( + ) 1 + (4.17)

Berdasarkan Persamaan (4.14), (4.15), (4.16), (4.17), (4.18), dan (4.19) diperoleh titik kesetimbangan ̅ = ( ̅, , , , , ) dengan ̅ = + ( + )( ) + ( ) + ( + )( + )( ) 1 (1 − ) =− + = 2(− + ) 3 1 1+ = (− + ) ( + )( + ) = (− + ) ( + )( + )( ) = (1 − ) (− + ) + + (1 − ) (− + ) ( + )( + ) 1 + 4.1.2 Analisa Kestabilan

Setelah diperoleh titik setimbang dari sistem dinamik penyakit virus Ebola, langkah selanjutnya adalah menganalisisi kestabilan dari sistem. Analisis kestabilan dilakukan untuk mengetahui kestabilan pada suatu persamaan. Sistem dinamik model penyakit virus Ebola (2.1) sampai (2.6) merupakan model persamaan yang tak linier sehingga untuk melakukan analisis kestabilan adalah dengan menggunakan cara menganalisis transformasi kestabilan lokal disekitar titik setimbang dari sistem tersebut.

Untuk menganalisis kestabilan pada sistem penyakit virus Ebola, dilakukan pendekatan terhadap deret Taylor seperti Persamaan (2.10) sebagai berikut :

( , , , , , ) = ( ̅, , , , , )( − ̅) + ( ̅, , , , , )( − ) + ( ̅, , , , , )( − ) + ( ̅, , , , , )( − ) + ( ̅, , , , , )( − ) + ( ̅, , , , , )( − ) ( , , , , , ) = ( ̅, , , , , )( − ̅) + ( ̅, , , , , )( − ) + ( ̅, , , , , )( − ) + ( ̅, , , , , )( − ) + ( ̅, , , , , )( − ) + ( ̅, , , , , )( − )

( , , , , , ) = ( ̅, , , , , )( − ̅) + ( ̅, , , , , )( − ) + ( ̅, , , , , )( − ) + ( ̅, , , , , )( − ) + ( ̅, , , , , )( − ) + ( ̅, , , , , )( − ) ( , , , , , ) = ( ̅, , , , , )( − ̅) + ( ̅, , , , , )( − ) + ( ̅, , , , , )( − ) + ( ̅, , , , , )( − ) + ( ̅, , , , , )( − ) + ( ̅, , , , , )( − )

( , , , , , ) = ( ̅, , , , , )( − ̅) + ( ̅, , , , , )( − ) + ( ̅, , , , , )( − ) + ( ̅, , , , , )( − ) + ( ̅, , , , , )( − ) + ( ̅, , , , , )( − ) ( , , , , , ) = ( ̅, , , , , )( − ̅) + ( ̅, , , , , )( − ) + ( ̅, , , , , )( − ) + ( ̅, , , , , )( − ) + ( ̅, , , , , )( − ) + ( ̅, , , , , )( − ) Selanjutnya didefinisikan, = − ̅ ℰ = − ℐ = − ℐ = − ℱ = − ℛ = −

Didapat derivatifnya sebagai berikut: ̇ = ( , , , , , ), ̇ = ( , , , , , ), ̇ = ( , , , , , ), ̇ = ( , , , , , ), ̇ = ( , , , , , ), ̇ = ( , , , , , ) sehingga diperoleh : ̇ = ( , , , , , ) = ( ̅, , , , , )( ) + ( ̅, , , , , )(ℰ ) + ( ̅, , , , , )(ℐ ) + ( ̅, , , , , )(ℐ ) + ( ̅, , , , , )(ℱ ) + ( ̅, , , , , )(ℛ )

̇ = ( , , , , , ) = ( ̅, , , , , )( ) + ( ̅, , , , , )(ℰ ) + ( ̅, , , , , )(ℐ ) + ( ̅, , , , , )(ℐ ) + ( ̅, , , , , )(ℱ ) + ( ̅, , , , , )(ℛ ) ̇ = ( , , , , , ) = ( ̅, , , , , )( ) + ( ̅, , , , , )(ℰ ) + ( ̅, , , , , )(ℐ ) + ( ̅, , , , , )(ℐ ) + ( ̅, , , , , )(ℱ ) + ( ̅, , , , , )(ℛ )

̇ = ( , , , , , ) = ( ̅, , , , , )( ) + ( ̅, , , , , )(ℰ ) + ( ̅, , , , , )(ℐ ) + ( ̅, , , , , )(ℐ ) + ( ̅, , , , , )(ℱ ) + ( ̅, , , , , )(ℛ ) ̇ = ( , , , , , ) = ( ̅, , , , , )( ) + ( ̅, , , , , )(ℰ ) + ( ̅, , , , , )(ℐ ) + ( ̅, , , , , )(ℐ ) + ( ̅, , , , , )(ℱ ) + ( ̅, , , , , )(ℛ )

̇ = ( , , , , , ) = ( ̅, , , , , )( ) + ( ̅, , , , , )(ℰ ) + ( ̅, , , , , )(ℐ ) + ( ̅, , , , , )(ℐ ) + ( ̅, , , , , )(ℱ ) + ( ̅, , , , , )(ℛ )

Apabila dinyatakan dalam bentuk matriks, maka diperoleh

⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ ̇ ̇ 1̇ 2̇ ̇ ̇ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ⎝ ⎜ ⎜ ⎛_ℐℰ ℐ ℱ ℛ⎠ ⎟ ⎟ ⎞

Dengan ̅ = ( ̅, , , , , ) kemudian dari hasil tersebut dilakukan pemisalan (Lampiran 1), maka diperoleh,

⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ₀ 0 − 0 0 0 0 0 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ ⎝ ⎜ ⎜ ⎛_ℐℰ ℐ ℱ ℛ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ (4.20)

(4.21)

Matriks Jacobian ( ( ̅)) dapat digunakan untuk mengidentifikasi sifat kestabilan sistem non linier disekitar titik kesetimbangan ̅. Kemudian dicari persamaan karakteristik dari matriks Jacobian tersebut dengan mengunakan

| ( ( ̅)) − | = 0 Sehingga, − 0 0 0 0 0 − 0 0 0 − 0 0 − 0₀ − − 0 0 0 0 0 0 − = 0

Untuk mencari nilai eigen menggunakan cara kofaktor kita mengalami kesulitan sehinga digunakan MATLAB dengan mensubstiusikan nilai parameter pada tabel 4.1, sebesar 0.001,

sebesar 0.001 dan sebesar 0.001, maka akan didapatkan = −1.2138 = −0.0765 = −0.0330 = −0.0095 = −1.3 = −1.4001

Jadi sesuai dengan titik setimbang ̅ = ( ̅, , , , , ) bersifat stabil.

Untuk menganalisis kestabilan dapat menggunakan metode Routh-Hurwitz, maka diperoleh persamaan karakteristik dari matriks Jacobian (4.21) (Lampiran 2)

Persamaan karakteristik

dapat ditulis seperti berikut :

0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 0 Dimana

=

− 1 13 16 17 4 8+ 13 15 17 2 4 8+ 1 12 17 3 7 − + + −

=

− + − − + c c c c c + c c c c c +

c c c c c – c c c c c − c c c c – c c c c – c c c c + c c c c – c c c c – c c c c + c c c c – c c c c − c c c c + c c c c – c c c c – c c c c + c c c c

=

1 12 17 3+ 1 12 17 7+ 1 12 3 7− 1 12 4 6 + + − + + − + + − − + + + + + + + + − + + − + − +

=

− 1 12 17− 1 12 3− 1 17 3− 12 17 3− 1 12 7 − − − + − − + − + − − − − − − − − − − − +

=

1 12+ 1 17+ 12 17+ 1 3+ 12 3 + + + + + − + + + + +

=

− 12− 17− 3− 7− − 1

= 1

Menggunakan rumus Routh-Hurwitz dapat dituliskan dalam tabel sebagai berikut : Tabel 4.1 Routh-Hurwitz

= 0

= 0

= 0

= 0

= 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

dengan,

=

−

,

=

−

,

=

−

=

,

=

−

=

,

=

=

−

,

=

−

=

=

−

Akan dianalisis nilai

,

,

,

, dan

. Nilai

dapat

dianalisis sebagai berikut :

=

− − − − − −

nilai

positif (

> 0) jika

0 > + + + + +

Nilai

dapat dianalisis sebagai berikut:

nilai

akan bernilai positif

> 0 jika

bernilai positif (

> 0), maka akibatnya nilai

harus

positif dengan analisis sebagai berikut :

=

1 12+ 1 17+ 12 17+ 1 3+ 12 3+ 17 3+ 1 7

+ + + − + + + + +

akan bernilai positif (

> 0) jika

+ + + + + + + + + + + + + + >

Nilai

>

(− − − − − – )( + + + + ∗ + + + + + − + + + + + ) > (1)(− − − − − − − − + − − + − + − − − − − − − − − − − + )

Untuk nilai dapat dianalisis sebagai berikut : = −

Nilai p1 akan bernilai positif jika > maka akibatnya

nilai > 0 jika + + + > + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

Untuk nilai d1 dapat dianalisis sebagai berikut :

= −

Nilai d1 akan bernilai positif jika > maka akibatnya

nilai > 0 jika > (− − − − − − )( + + − + + − + + − + + − − + + + + + + + + − + + − + − + ) > (1)(− + − − + c c c c c + c c c c c + c c c c c – c c c c c − c c c c − c c c c − c c c c + c c c c − c c c c − c c c c + c c c c − c c c c − c c c c + c c c c − c c c c − c c c c + c c c c )

Untuk nilai e1 dapat dianalisis sebagai berikut :

= −

Nilai e1 akan bernilai positif jika > maka akibatnya

Dari Tabel Routh-Hurwitz dapat dilihat bahwa variabel – variabel pada kolom pertama memiliki nilai yang sama yaitu bertanda positif. Titik kesetimbangan untuk model penyakit virus Ebola terbukti stabil jika memenuhi > 0 , >

, > , > , > .Dengan

menggunakan software MATLAB dengan mensubstitusikan nilai parameter pada tabel 4.1, sebesar 0.001, sebesar 0.001 dan sebesar 0.001, didapatkan nilai pada kolom pertama sebagai berikut : = 1 = 4.0329 = 4.8652 = 2.5986 = 5.1444 = 1.2087 4.1.3 Analisis Keterkontrolan

Untuk melakukan analisis keterkontolan, maka perluasanya sistem dinamik yang telah dilinierkan. Dari persamaan (2.1) sampai (2.6), jika dilinierkan disekitar titik setimbang menggunakan Jacobian (4.20) dengan memisalkan matriks ̅, diperoleh : ̅ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ₀ 0 − 0 0 0 0 0 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ (4.22)

= ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , )

Dengan ̅ = ( ̅, , , , , ) kemudian dari hasil tersebut dilakukan pemisalan (Lampiran 3), maka diperoleh matriks sebagai berikut = 1 2 0 0 0 0 0 3 4 0 0 0 0 0 5 6 7 8 (4.23)

Berdasarkan Teorema 2.1 dan solusi Persamaan (2.12) dapat disusun matriks keterkontrolan ( ) sebagai berikut :

= Untuk matriks diperoleh,

= ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ₀ 0 − 0 0 0 0 0 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 1 2 0 0 0 0 0 3 4 0 0 0 0 0 5 6 7 8

= ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 0 0 0 + 0 + + + + + − + + ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤

Dengan memisalkan nilai dari perkalian matriks tersebut, sehingga diperoleh : = ₁ = = = = + = = = = + + = + + = = + = − = + +

Sehingga matriks menjadi

⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 0 0 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ (4.24)

Untuk matriks diperoleh, = [ ̅][ ]

= ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ₀ 0 − 0 0 0 0 0 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 2 3 0 0 0 4 5 6 7 0 8 9 10 11 12 13 14⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ + + + + 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + − + + ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤

Dengan memisalkan nilai dari perkalian matriks tersebut, sehingga diperoleh : = + = + + = + = = = + + = + + + = + = + = = + + = + + + = + + + + = + = + = − = + +

= ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 2 3 4 0 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ (4.25)

Selanjutnya untuk matriks diperoleh = [ ̅] = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ₀ 0 − 0 0 0 0 0 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 2 3 4 0 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ₊ + ₊ + ₊ + + + + + + + + + + + + + − + + + + + 2 12+ + + + + + − + + ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤

Dengan memisalkan nilai dari perkalian matriks tersebut, sehingga diperoleh : = + + = + + + = + = + = = + + = + + + = + + + + = + = + = − = + + = + + + = + + + +

= +

= +

= −

= + +

Sehingga matriks menjadi,

= ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ (4.26)

Selanjutnya untuk matriks diperoleh = [ ̅] = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ₀ 0 − 0 0 0 0 0 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ₊ + ₊ + ₊ + ₊ + + − + + + + + + + + + + + − + + + + + 2 13+ ` + + + + + − + + ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤

Dengan memisalkan nilai dari perkalian matriks tersebut, sehingga diperoleh : = + + + = + + + + = + = + = − = + + = + + + = + + + + = +

= + = − = + + = + + + = + ` + + + = + = + = − = + +

Sehingga matriks menjadi,

= ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ (4.27 )

Selanjutnya untuk matriks diperoleh

= ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 2 0 0 0 0 0 3 4 0 0 0 5 6 7 8 0 9 10 11 0 12 13 14 15 16 0 0 − 0 0 0 0 0 0 17⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ₊ + ₊ + ₊ + ₊ + + − + + + + + + + + + + + − + + + + + + + + + + + − + + ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤

Dengan memisalkan nilai dari perkalian matriks tersebut, sehingga diperoleh : = + + + = + + + + = + = + = −

= + + = + + + = + + + + = + = + = − = + + = + + + = + + + + = + = + = − = + +

Sehingga matriks menjadi,

=

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎡

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

⎤

(4.28)

Dari hasil perhitungan diatas , maka Persamaan (4.23) hingga (4.28)

dapat disusun menjadi matriks keterkontrolan seperti berikut :

= ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤

Dengan didapatkannya matriks keterkontrolan diatas dapat diamati bahwa rank ( ) = 6 . dengan demikian sistem dinamik dari penyakit virus Ebola bersifat terkontrol