LANDASAN TEORI DAN HIPOTESIS TINDAKAN
2.1 Landasan Teori .1 Belajar dan Mengajar .1 Belajar dan Mengajar
2.1.5 Soal-Soal Olimpiade Matematika
Olimpiade Sains Nasional SMP khususnya untuk bidang studi matematika masih sangat perlu disosialisasikan kepada siswa, orang tua siswa, guru, pengawas, Dinas Pendidikan dan berbagai pihak yang terkait. Kenyataan yang ditemui di lapangan menunjukkan bahwa informasi masih sangat minim sehingga tujuan olimpiade yang intinya adalah penjaringan siswa yang berbakat dalam bidang matematika masih belum dapat dilakukan secara optimal (Wiworo 2004: 3).
Materi yang akan diujikan pada Olimpiade Sains Nasional ruang lingkupnya disesuaikan dengan silabus Olimpiade Sains Nasional yang disusun oleh
20
Direktorat Pembinaan SMP, Direktorat Manajemen Pendidikan Dasar dan Menengah, Departemen Pendidikan Nasional. Ruang lingkup materi Matematika sebagai berikut:
NO. MATERI POKOK RUANG LINGKUP
1. Bilangan
•
Operasi dan sifat-sifat bilangan bulat atau bilangan rasionalo Menggunakan operasi dan sifat bilangan untuk mendapatkan suatu bilangan yang memenuhi sifat tertentu
•
Pembagian bersisao Menentukan hasil atau sisa dari suatu pembagian
•
Faktor Persekutuan Besar (FPB) dan Kelipatan Persekutuan Kecil (KPK)•
Pemecahan masalah yang berkaitan dengan bilangan2. Aljabar
•
Himpunano Menentukan himpunan bagian o Menentukan hasil operasi himpunan
•
Fungsio Menentukan relasi yang merupakan fungsi o Menggambar/membaca grafik fungsi
NO. MATERI POKOK RUANG LINGKUP
o Menentukan daerah asal dan daerah hasil suatu fungsi
o Menentukan nilai suatu fungsi
•
Perbandingano Menentukan ukuran benda dengan skala o Menghitung dengan menggunakan sifat
perbandingan senilai
o Menghitung dengan menggunakan sifat perbandingan berbalik nilai
•
Operasi aljabaro Menyelesaikan operasi hitung aljabar o Menggunakan operasi bentuk aljabar
•
Persamaan atau pertidaksamaan satu variabelo Menggunakan sifat-sifat persamaan atau pertidaksamaan
o Menentukan solusi persamaan atau pertidaksamaan
•
Persamaan garis luruso Menentukan persamaan garis lurus o Menggunakan sifat-sifat persamaan garis
22
NO. MATERI POKOK RUANG LINGKUP
•
Sistem persamaan linearo Menentukan solusi sistem persamaan linear
•
Bilangan berpangkato Menentukan hasil operasi bilangan berpangkat
o Merasionalkan bentuk akar
•
Pola/barisan dan deret bilangano Menentukan suku ke-n dari barisan bilangan o Menghitung jumlah n suku dari barisan
bilangan
•
Persamaan kuadrato Menentukan akar persamaan kuadrat o Menyusun kembali persamaan kuadrat
•
Pemecahan masalah yang berkaitan denganaljabar 3. Geometri dan
Pengukuran
•
Garis dan suduto Menentukan kedudukan dua garis o Menggunakan sifat-sifat garis untuk
menghitung panjang ruas garis o Menggunakan sifat-sifat sudut untuk
NO. MATERI POKOK RUANG LINGKUP
•
Bangun dataro Menentukan keliling dan luas bangun datar o Menentukan panjang garis tinggi, garis
berat, dan garis bagi segitiga. o Menentukan titik berat segitiga.
o Menggunakan sifat-sifat kesebangunan bangun datar
o Menghitung besaran-besaran pada lingkaran: keliling, luas, jari-jari, diameter, panjang busur, luas juring, luas tembereng, sudut pusat, dan sudut keliling.
o Menggunakan sifat-sifat garis singgung lingkaran.
•
Bangun ruango Menentukan besaran-besaran pada kubus, balok, limas, prisma tegak, tabung, kerucut, dan bola
o Menentukan jaring-jaring bangun ruang
•
Dalil Pythagoraso Menggunakan dalil Pythagoras pada bangun datar
24
NO. MATERI POKOK RUANG LINGKUP
o Menggunakan dalil Pythagoras pada bangun ruang
•
Pemecahan masalah yang berkaitan dengan geometri dan pengukuran4. Statistika dan Peluang
•
Ukuran pemusatano Menentukan mean, modus, median, kuartil, jangkauan dari data
•
Menyajikan dan menafsirkan datao Menyajikan data tunggal atau berkelompok dalam bentuk tabel dan diagram
o Membaca atau menafsirkan diagram suatu data
•
Peluang kejadiano Menentukan ruang sampel suatu percobaan o Menghitung peluang suatu kejadian
•
Aturan pencacahano Menggunakan aturan permutasi dan kombinasi dalam pencacahan
•
Pemecahan masalah yang berkaitan dengan statistika dan peluangRuang lingkup materi yang tercantum didalam silabus merupakan bahan acuan dalam penyusunan soal olimpiade sains nasional yang dapat diinterpretasikan kedalam tingkat kesulitan soal dan tipe soal yang berbeda-beda. Interpretasi tersebut tentunya tergantung kepada tim penyusun soal, akan tetapi secara garis besar dapat dijelaskan bahwa tingkat kesulitan tersebut berjenjang seperti untuk tingkat provinsi akan lebih sulit dibandingkan tingkat kabupten/kota, dan tingkat nasional akan lebih sulit dibandingkan dengan tingkat provinsi, begitu juga tingkat kompleksitas soal tersebut (Depdiknas 2007: 25).
Orientasi soal adalah pemecahan masalah. Soal-soal Olimpiade matematika memiliki karakteristik non rutin, memerlukan pengetahuan matematika tingkat sekolah menengah tetapi memerlukan kematangan Matematika lanjut (wawasan, kecermatan, kejelian, kecerdikan, dan pengalaman) (Wiworo 2003: 3). Soal-soal olimpiade matematika SMP harus dijawab dengan benar dalam waktu yang singkat. Setiap soal harus benar-benar dipahami terlebih dahulu, kemudian diselesaikan dengan baik. Ada beberapa strategi yang dapat digunakan dan mungkin sangat bermanfaat untuk menyelesaiakan suatu soal, terutama soal yang terlihat cukup rumit. Beberapa strategi yang dimaksud adalah mencari pola, membuat gambar, menulis dan memilih notasi, membagi kasus, dan bekerja terbalik ( Rasyidin dan Maulana 2008: 1).
2.1.6 Geometri
Bidang geometri yang dipelajari di kelas VIII dan termasuk dalam ruang lingkup materi Olimpiade adalah bangun ruang. Di sini peneliti hanya membatasi tiga bangun ruang saja yaitu kubus, balok dan limas.
26
1. Kubus
Setiap persegi pembentuk kubus masing-masing akan berpotongan tegak lurus dengan persegi lainnya tepat pada tepinya. Perhatikan gambar! Sisi alas dari kubus di atas adalah ABCD dan sisi atapnya adalah EFGH sehingga kubus tersebut kita namakan kubus ABCD.EFGH.
Unsur-unsur kubus dari gambar di atas adalah :
a. 6 sisi yang bentuk dan ukurannya sama, yaitu : ABCD, EFGH, ABFE, DCGH,
ADHE, dan BCGF.
b. 12 rusuk yang sama panjang, yaitu : AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, AE, BF, CG, dan DH.
c. 8 titik sudut yang sama panjang, yaitu : A, B, C, D, E, F, G, dan H.
H G D C B A F E
Kubus merupakan sebuah bangun ruang
beraturan yang dibentuk oleh enam buah persegi yang bentuk dan ukurannya sama. Pemberian nama kubus diurutkan menurut titik sudut sisi alas dan sisi atapnya dengan
titik sudut F H G C B A E G bidang diagonal diagonal sisi rusuk diagonal ruang sisi s s s
d. 12 diagonal sisi, yaitu : AF, BE, DG, CH, BG, CF, AH, DE, AC, BD, EG, dan
FH.
e. 6 bidang diagonal, yaitu : ABGH, CDEF, ADGF, BCHE, ACGE, dan BDHF. f. 4 diagonal ruang, yaitu : GA, HB, FD, dan EC.
a. Luas Permukaan Kubus
b. Volum Kubus
p
p
p
Perhatikan gambar kubus serta salah satu contoh rentangan/jaring-jaringnya. Jaring-jaring kubus merupakan rentangan dari permukaan kubus. Sehingga untuk menghitung luas permukaan kubus sama dengan menghitung luas jari-jarinya.
Karena permukaan kubus terdiri dari 6 buah persegi dengan ukuran yang sama, maka luas kubus dengan panjang rusuk p adalah
1 cm{
Bangun A
Volume adalah isi dari bangun-bangun ruang. Volume diukur dalam satuan kubik. Untuk memahami volume kubus dan balok, perhatikan gambar di samping.
Luas = 6 x luas persegi = 6p2
28
2. Balok
Balok mempunyai nama dengan penamaan diurutkan menurut nama sisi alas dan sisi atasnya. Analog dengan penamaan pada kubus, maka balok di atas diberi nama balok ABCD.EFGH, dengan bidang alas ABCD dan bidang atas
EFGH.
Unsur-unsur balok dari gambar di atas adalah :
Bangun A disusun dari 12 buah kubus kecil (kubus satuan). Misalkan kubus kecil tersebut memiliki panjang sisi 1 cm, maka dikatakan bahwa kubus tersebut memiliki volume ”1 cm3”. Bangun A memiliki volume sebesar 12 kubus kecil atau 12 x 1 cm3 = 12 cm3. G F H E C D B A G F H E C D B A diagonal ruang rusuk titik sudut t bidang diagonal diagonal sisi l p sisi
Balok merupakan bangun ruang
beraturan yang dibentuk oleh tiga pasang persegi panjang yang masing-masingnya mempunyai bentuk dan ukuran yang sama.
a. 6 sisi dengan 3 panjang sisi yang masing-masing pasang berbentuk persegi panjang yang bentuk dan ukurannya sama, yaitu : ABCD dan EFGH, ABFE
dan DCGH, ADHE dan BCGF.
b. 12 rusuk dengan rusuk yang sejajar sama panjang, yaitu : AB = CD = EF =
GH, AD = BC = FG = EH, AE = DH = BF = CG.
c. 8 titik sudut yang sama panjang, yaitu : A, B, C, D, E, F, G, dan H.
d. 12 diagonal sisi, yaitu : AF, BE, DG, CH, BG, CF, AH, DE, AC, BD, EG, dan
FH.
e. 6 bidang diagonal, yaitu : ABGH, CDEF, ADGF, BCHE, ACGE, dan BDHF. f. 4 diagonal ruang, yaitu : GA, HB, FD, dan EC.
a. Luas Permukaan Balok
p l t l p l l l l p p p p p t t t t
Sebuah balok memiliki tiga pasang sisi berupa persegi panjang. Setiap sisi dan pasangannya saling berhadapan, sejajar, dan kongruen (sama bentuk dan ukurannya). Ketiga pasang sisi tersebut adalah :
(i) Sisi atas dan bawah Jumlah luas = 2 x (p x l) (ii) Sisi depan dan belakang Jumlah luas = 2 x (p x t) (iii) Sisi kanan dan kiri
30
Sehingga luas permukaan balok adalah total jumlah ketiga pasang luas sisi-sisi tersebut.
a. Volum Balok
3. Limas
Luas permukaan balok = 2pl + 2pt + 2lt = 2(pl + pt + lt).
Bangun A disusun dari 12 buah kubus kecil (kubus satuan). Misalkan kubus kecil tersebut memiliki panjang sisi 1 cm, maka dikatakan bahwa kubus tersebut memiliki volume ”1 cm3”. Bangun A memiliki volume sebesar 12 kubus kecil atau 12 x 1 cm3 = 12 cm3.
Untuk menentukan volume (V) kubus, kita cari dulu luas alas (A) lalu dikalikan dengan tinggi (t).
V = A x t Ù V = (p x l) x t
1 cm{
Bangun A
Volume adalah isi dari bangun-bangun ruang. Volume diukur dalam satuan kubik. Untuk memahami volume kubus dan balok, perhatikan gambar di samping.
A B C V D Tinggi Titik puncak Sisi muka Alas
Gambar di samping menunjukkan model limas dengan alas persegi panjang. Sisi muka limas berbentuk segitiga dan bertemu pada titik puncak V. Jarak titik puncak ke sisi alas disebut tinggi limas.
Limas merupakan bangun ruang sisi datar yang selimutnya terdiri atas bangun datar segitiga dengan titik persekutuan. Titik persekutuan itu disebut titik puncak limas.
Alas segitiga-segitiga itu berimpit dengan rusuk alas limas. Bidang-bidang pembentuk limas disebut bidang limas dan garis yang merupakan perpotongan antara dua sisi limas disebut rusuk limas.
a. Luas Permukaan Balok
Perhatikan gambar limas persegi T.ABCD dengan alas berbentuk persegi dan jaring-jaring sebagai berikut. Perhatikan gambar di bawah ini!
Limas T.ABCD terdiri dari sebuah alas berbentuk persegi dengan sisi alas a dan selimut limas berupa empat buah segitiga sama kaki dengan panjang kaki b, alas
a, dan tinggi segitiga c. Hubungan a, b, dan c memenuhi teorema Pythagoras. C A B D T a a b t1 t A B D C a a a a b b b b b b b b T T T T t1 t1 t1 t1
32
Luas selimut limas persegi = 4×luas segitiga = 4×
2 1
×a×c
Luas alas selimut persegi = a×a =a2.
a. Volum Limas
T adalah puncak limas yang merupakan titik potong diagonal ruang kubus. Didalam kubus tersebut dapat dibentuk 6 buah limas yang sama-sama beritik puncak T, yaitu : ABCD, T.BCGF, T.EFGH, T.CDHG, T. ADHE, dan T.ABFE, keenam limas ini mempunyai alas sama dengan sisi kubus, yaitu persegi.
Misalkan panjang rusuk kubus = 2a c m, maka tinggi limas = TR = a cm. Secara lebih jelas dapat dilihat pada gambar limas T.ABCD dibawah !
Luas permukaan limas = luas alas + luas selimut
A B C D E F G H R
T Gambar di samping merupakan limas yang diagonal ruangnya dihubungkan bertemu di satu titik yaitu T.
C D
T
a
Volum kubus ABCD.EFGH = 6 × volum limas T.ABCD Volum limas T.ABCD =
6 1
× volum kubus ABCD.EFGH
= (2 )3 6 1 a × = (2 )3 6 1 a × × (2a) = ×(2a)2 ×a 3 1 .
(Sukino dan Simangunsong 2007: 303-346).
