BAB II LANDASAN TEORI
A. Aljabar Linier
2.3 Ortogonalitas
2.3.1 Ruang Hasil Kali Dalam Definisi 2.3.1.1
Hasil kali dalam pada ruang vektor riil adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil , dengan vektor dan pada , sedemikian sehingga aksioma-aksioma berikut terpenuhi untuk semua
, , di dan semua skalar , di ℝ:
(i) , 0; dan , = 0 jika dan hanya jika = 0. (ii) , = , untuk setiap dan di dalam .
(iii) + , = , + , untuk setiap , , di dalam dan setiap skalar , .
Sebuah ruang vektor yang dilengkapi dengan sebuah hasil kali
dalam disebut ruang hasil kali dalam. Salah satu contoh dari ruang hasil kali dalam adalah ruang vektor ℝ , dimana hasil kali dalam baku untuk
ℝ dihitung sebagai hasil kali skalar
Definisi 2.3.1.2
Dua vektor dan dikatakan ortogonal jika , = 0, yang dinotasikan sebagai ⊥ .
Definisi 2.3.1.3
Sebuah ruang vektor dikatakan ruang linier bernorma jika untuk setiap vektor dikaitkan dengan sebuah bilangan riil yang disebut norma
dari yang memenuhi:
(i) 0.
(ii) = 0 jika dan hanya jika = . (iii) = � v untuk setiap ℝ.
(iv) + + untuk setiap dan di .
Teorema 2.3.1.4
Jika sebuah ruang hasil kali dalam, maka
= , untuk setiap mendefinisikan sebuah norma pada .
Bukti:
(i) Karena nilai dari = , 0, berarti nilai terkecil yang mungkin hanyalah = .
(ii) Jika = , maka 2 = , = , = 0. Jadi = 0.
Kemudian jika = , = , = 0, berarti haruslah = .
(iii) 2 = , = 2 , = 2. Jadi, = . (iv) + 2 = + , + = , + 2 , + , 2+ 2 + 2 (ketaksamaan Cauchy-Schwarz) = + 2 Jadi, + +
Kemudian dapat didefinisikan beberapa norma yang berbeda pada
ruang vektor yang diberikan. Seperti, di ℝ kita dapat mendefinisikan
2 = 2
=1
1 2
= , =
disebut sebagai norma-2 vektor. Selain itu, norma lainnya yang penting pada ℝ adalah
∞ = max
Bukti:
(i) Untuk 1 , 0 sehingga max1 . Akibatnya, max1 = ∞ 0.
(ii)Jika ∞ = 0, maka max1 = 0. Karena maksimal dari
= 0, = 1,2,…, berarti 1 = 2 = = = 0, akibatnya =
0 0 0
sehingga = . Oleh karena itu haruslah suatu vektor nol. Jika = , berarti 1 = 2 = = = 0. Akibatnya max1 = 0 sehingga ∞ = 0.
(iii) ∞ = max1 = max1 = ∞.
(iv) + ∞ = max1 +
max
1 + max
1
∞+ ∞.
Berdasarkan bukti di atas ∞ memenuhi definisi sebagai norma, maka
Contoh 2.3.1.5
Misalkan adalah vektor 4,−5,3 di ℝ3. Hitunglah 2 dan ∞.
2 = 16 + 25 + 9 = 50 = 5 2.
∞ = max 4 , −5, 3 = 5.
Teorema 2.3.1.6 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz)
Jika dan adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam
, maka
,
Bukti:
Jika = maka , = = 0, sehingga ketaksamaan berlaku. Jika ≠ , untuk setiap bilangan � ℝ nilai
� + � + 0
, �2+ 2 , �+ , 0
merupakan fungsi kuadrat dalam � sehingga haruslah � 0. Ini berarti fungsi kuadrat tersebut tidak mempunyai akar berbeda. Oleh karena ini,
diskriminannya tidak mungkin positif, sehingga
4 , 2−4 , , 0 atau
4 , 2 4 , ,
, 2 2 2
dengan mengambil akar dari kedua ruas diperoleh
, .
2.3.2 Ruang Bagian Ortogonal
Vektor dan himpunan = 1, 2, . . , adalah ortogonal jika terdapat dan untuk setiap berlaku , = 0. Dan apabila dan ortogonal, dinotasikan sebagai ⊥ .
Definisi 2.3.2.1
Dua ruang bagian dan dari ℝ dikatakan ortogonal jika , = 0 untuk setiap dan setiap , dan apabila dan ortogonal ditulis
⊥ .
Misalkan adalah matriks × dan misalkan ( ). Karena = sehingga
1 1+ 2 2+ + = 0
untuk = 1,2,…, . Persamaan tersebut menunjukkan bahwa ortogonal pada setiap vektor kolom dari , maka ortogonal ke setiap kombinasi
linier dari vektor-vektor kolom . Sehingga jika adalah vektor kolom
ortogonal terhadap setiap vektor di dalam ruang kolom , yang ditulis
sebagai ⊥ . Jika dua ruang bagian memiliki sifat ini, maka dapat dikatakan bahwa ruang bagian tersebut adalah ortogonal.
Definisi 2.3.2.2
Misalkan 1, 2,…, adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam . Jika semua pasangan vektor , = 0, dimana ≠ , maka
1, 2,…, disebut sebagai himpunan ortogonal.
Definisi 2.3.2.3
Misalkan adalah ruang bagian dari ℝ . Himpunan semua vektor-vektor di dalam ℝ yang ortogonal pada setiap vektor di akan dinotasikan dengan ⊥,
⊥ = ℝ , = 0 untuk setiap .
Himpunan ⊥ disebut komplemen ortogonal dari .
2.3.2.4 Ruang-Ruang Bagian Pokok (Fundamental Subspaces)
Telah dijelaskan bahwa ⊥ , selanjutnya akan diperlihatkan bahwa sebenarnya merupakan komplemen ortogonal dari .
Teorema 2.3.2.5
Jika adalah sebuah matriks × , maka = ⊥ dan =
⊥. Bukti:
Diketahui bahwa ⊥ , sehingga ⊂ ⊥. Ambil
sebarang vektor di ⊥. Berdasarkan definisi komplemen ortogonal
maka ortogonal pada setiap vektor kolom dari , akibatnya = .
Padahal = ℝ = .
Jadi haruslah menjadi sebuah elemen dari , yaitu = ⊥.
Secara khusus, hasil ini juga berlaku untuk matriks = . Jadi
= = ⊥ = ⊥.
2.3.3 Masalah Kuadrat Terkecil
Masalah kuadrat terkecil pada umumnya dapat dirumuskan sebagai
sebuah sistem kelebihan persamaan linier, yaitu sistem yang memiliki
lebih banyak persamaan daripada peubah. Sistem yang seperti ini biasanya
tidak mempunyai penyelesaian. Misalkan diberikan sebuah sistem × yaitu = � dengan > , kemudian penyelesaian dari sistem tersebut adalah mencari sebuah vektor ℝ sehingga sama dengan �. Berarti vektor yang didapat untuk harus sedekat mungkin dengan �.
Diberikan sistem =�. Untuk setiap ℝ dapat dihitung sebuah selisih antara � dan sebagai
� =� −
dan jarak antara � dan diberikan sebagai
� − = � .
Untuk mendapatkan vektor ℝ yang terbaik dalam mendekati �, maka harus dicari nilai � yang paling minimum. Sebuah vektor yang memenuhi ini disebut sebagai penyelesaian kuadrat terkecil untuk sistem
= �.
Teorema 2.3.3.1
Jika adalah matriks × yang memiliki rank , maka persamaan normal
= �
mempunyai sebuah penyelesaian tunggal
′ = −1�
dimana ′ adalah penyelesaian kuadrat terkecil yang tunggal dari sistem
= �.
Bukti:
Akan ditunjukkan bahwa adalah taksingular. Misalkan adalah
penyelesaian untuk = , berarti . Sehingga
1 1+ 2 2+ + = 0
menunjukkan bahwa ortogonal pada setiap vektor kolom dari , maka
Akibatnya ortogonal terhadap ( ), maka = ⊥.
Karena dan ⊥ adalah ruang bagian yang ortogonal, berarti
∩ ⊥ dan ⊥ ⊥, maka = 0
sehingga = . Jika mempunyai rank maka vektor-vektor kolom dari adalah bebas linear, sehingga = akan mempunyai penyelesaian trivial. Jadi = dan = juga mempunyai penyelesaian trivial. Berdasarkan Teorema 2.1.1, adalah taksingular.
Ini mengakibatkan bahwa ′ = −1 � adalah penyelesaian tunggal untuk persamaan = �, sehingga ′ merupakan penyelesaian
kuadrat terkecil yang tunggal untuk sistem
= �.
2.3.4 Himpunan Ortonormal Definisi 2.3.4.1
Himpunan ortogonal yang setiap vektornya mempunyai norma 1 disebut
sebagai himpunan ortonormal.
Himpunan 1, 2,…, akan menjadi ortonormal jika dan hanya jika
, = ,
dimana = 1 jika = 0 jika ≠ .
Untuk membentuk sebuah himpunan ortonormal dari himpunan ortogonal
vektor-vektor taknol 1, 2,…, dapat dilakukan dengan mendefinisikan
= 1 = 1
. = 1 untuk = 1,2,…
Proses pengalian vektor taknol ini dengan kebalikan panjangnya untuk
mendapatkan vektor yang normanya 1 dinamakan menormalisasikan .
Definisi 2.3.4.2
Suatu basis yang anggota-anggotanya saling ortogonal dan masing-masing
memiliki norma 1 disebut basis ortonormal.
Definisi 2.3.4.3
Matriks yang berukuran × disebut sebagai matriks ortogonal, jika vektor-vektor kolom dari membentuk sebuah himpunan ortonormal di
dalam ℝ .
2.3.4.4 Sifat-sifat Matriks Ortogonal
Jika adalah matriks ortogonal × , maka (i) =�
(ii) = −1
(iii) , = ,
Bukti:
(i) Berdasarkan definisi 2.3.4.1, sebuah matriks yang berukuran × adalah ortogonal jika dan hanya jika vektor-vektor kolom dari
membentuk sebuah himpunan ortonormal, yaitu
, = =
dimana = 1 jika = 0 jika ≠ .
Dan dari perhitungan , akan menghasilkan nilai-nilai untuk entri , , ( = 1,2, . . dan = 1,2,…, ) dari sehingga
= 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 ⋱ 0 0 0 1 = � .
(ii) Berdasarkan sifat (i) =� maka =� −1, sehingga = −1.
(iii) , = = = � = = , .
(iv) 2 = , = = = �