ABSTRAK
Pandu Arya Wijaya. 2014. Restorasi Gambar Digital Menggunakan
Inverse Problem. Skripsi. Program Studi Matematika, Jurusan Matematika,
Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Topik yang dibahas dalam skripsi ini adalah aplikasi inverse problem
dalam restorasi gambar, terutama restorasi gambar digital. Inverse Problem
merupakan suatu metode penyelesaian masalah menggunakan invers dari
permasalahan yang diselesaikan. Tulisan ini akan membahas bagaimana
mengurangi efek kabur pada gambar digital dengan meminimalkan galat yang
terjadi, sehingga diperoleh hasil restorasi yang memuat galat terkecil. Untuk itu,
diperlukan suatu kontrol galat dengan cara menghitung besarnya norma pada
gambar hasil restorasi. Dalam hal ini, teori matematika yang digunakan adalah
Singular Value Decomposition (SVD) dan model permasalahan inversnya adalah model gambar kabur. Model gambar kabur merupakan transformasi gambar asli
berdasarkan operator pengaburan.
Model gambar kabur akan ditransformasi menjadi gambar yang lebih baik
(noise minimum) dengan metode Truncated Singular Value Decomposition
(TSVD)dan metode Regularisasi Tikhonov.
ABSTRACT
Pandu Arya Wijaya. 2014. Digital Image Restoration Using Inverse
Problem. Thesis. Mathematics Study Program, Department of Mathematics,
Faculty of Science and Technology, Sanata Dharma University, Yogyakarta. The topic of this thesis is the application of inverse problems in image restoration, especially in digital image restoration. Inverse Problem is a problem solving method using inverse of problem being solved. This paper discuss how to reduce the blurring effect on digital image by minimizing the error, such that the restoration results obtained has a minimum error. For this purpose, we need to control the error by calculate the norm of image restoration. In this case, we need a mathematical theory so called Singular Value Decomposition (SVD) and the model of inverse problem is blurred image model. Blurred image model is an original image transformed by blurring operator.
The blurred image model will be transformed into a clearer image (with minimum noise) using Truncated Singular Value Decomposition (TSVD) method and Tikhonov regularization method.
MENGGUNAKAN INVERSE PROBLEM
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun Oleh :
Pandu Arya Wijaya
NIM: 103114012
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
i
MENGGUNAKAN INVERSE PROBLEM
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun Oleh :
Pandu Arya Wijaya
NIM: 103114012
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
ii
USING INVERSE PROBLEM
Thesis
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
to Obtain the Sarjana Sains Degree in Mathematics Study Program
Written By :
Pandu Arya Wijaya
Student Number: 103114012
MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Karya ini adalah hadiah terindah Yesus Kristus untuk kado Natal 2014.
“Terpujilah TUHAN, karena Ia telah mendengar suara permohonanku.
TUHAN adalah kekuatanku dan perisaiku; kepada-Nya hatiku percaya.
Aku tertolong sebab itu beria-ria hatiku, dan dengan nyanyianku aku bersyukur
kepada-Nya”.
(Mazmur 28:6-7)
Karya ini aku persembahkan untuk:
Allah Bapa, Putra dan Roh Kudus,
Papa, Mama dan Adikku tercinta,
Kekasih hatiku tersayang,
Teman-teman matematika angkatan 2010,
vii ABSTRAK
Pandu Arya Wijaya. 2014. Restorasi Gambar Digital Menggunakan
Inverse Problem. Skripsi. Program Studi Matematika, Jurusan Matematika,
Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Topik yang dibahas dalam skripsi ini adalah aplikasi inverse problem
dalam restorasi gambar, terutama restorasi gambar digital. Inverse Problem
merupakan suatu metode penyelesaian masalah menggunakan invers dari
permasalahan yang diselesaikan. Tulisan ini akan membahas bagaimana
mengurangi efek kabur pada gambar digital dengan meminimalkan galat yang
terjadi, sehingga diperoleh hasil restorasi yang memuat galat terkecil. Untuk itu,
diperlukan suatu kontrol galat dengan cara menghitung besarnya norma pada
gambar hasil restorasi. Dalam hal ini, teori matematika yang digunakan adalah
Singular Value Decomposition (SVD) dan model permasalahan inversnya adalah model gambar kabur. Model gambar kabur merupakan transformasi gambar asli
berdasarkan operator pengaburan.
Model gambar kabur akan ditransformasi menjadi gambar yang lebih baik
(noise minimum) dengan metode Truncated Singular Value Decomposition
(TSVD)dan metode Regularisasi Tikhonov.
viii ABSTRACT
Pandu Arya Wijaya. 2014. Digital Image Restoration Using Inverse
Problem. Thesis. Mathematics Study Program, Department of Mathematics,
Faculty of Science and Technology, Sanata Dharma University, Yogyakarta. The topic of this thesis is the application of inverse problems in image restoration, especially in digital image restoration. Inverse Problem is a problem solving method using inverse of problem being solved. This paper discuss how to reduce the blurring effect on digital image by minimizing the error, such that the restoration results obtained has a minimum error. For this purpose, we need to control the error by calculate the norm of image restoration. In this case, we need a mathematical theory so called Singular Value Decomposition (SVD) and the model of inverse problem is blurred image model. Blurred image model is an original image transformed by blurring operator.
The blurred image model will be transformed into a clearer image (with minimum noise) using Truncated Singular Value Decomposition (TSVD) method and Tikhonov regularization method.
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang telah
melimpahkan berkat dan kasihNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi
ini dengan baik.
Dalam penulisan skripsi ini penulis mendapatkan bantuan baik moril
maupun materiil dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan
terima kasih kepada:
1. Ibu Paulina Heruningsih Prima Rosa, S.Si., M.Sc., selaku Dekan Fakultas
Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma.
2. YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D, selaku dosen pembimbing skripsi dan
Ketua Program Studi Matematika yang telah meluangkan banyak waktu
dan membimbing penulis dengan penuh kesabaran.
3. Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing akademik.
4. Bapak, Ibu, dan Romo, dosen-dosen yang telah memberikan ilmu yang
berguna kepada penulis.
5. Kedua orang tua, Bapak Bambang Wijaya dan Ibu Tri Endang Hidrayani,
yang selalu mendukung penulis dengan doa, semangat, dan materi.
6. Teman-temanku: Arga, Ratri, Ayu, Tika, Astri, Sari, Dini, Celly, Leni,
Agnes, Yohan, Roy, Marsel, dan Yosi, terima kasih untuk canda tawa,
xi
7. Teman-teman 2009, 2011 dan 2012: Jojo, Indra, Bayu, Rian, Budi, Ega,
Happy, Tika terima kasih untuk doa, semangat, dan keceriaan yang selalu
diberikan kepada penulis.
8. Semua pihak yang telah ikut membantu penulis dalam menyelesaikan
skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna. Oleh
karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang dapat membangun serta
menyempurnakan skripsi ini. Akhirnya, penulis berharap semoga skripsi ini dapat
memberikan wawasan dan pengetahuan bagi pembaca.
Yogyakarta, Desember 2014
xii DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ... i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... iii
HALAMAN PENGESAHAN ... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ... v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... vi
ABSTRAK ... vii
ABSTRACT ... viii
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ... ix
KATA PENGANTAR ... x
DAFTAR ISI ... xii
DAFTAR GAMBAR ... xv
DAFTAR TABEL ... xvii
DAFTAR PROGRAM ... xviii
BAB I PENDAHULUAN ... 1
A. Latar Belakang ... 1
B. Perumusan Masalah ... 7
C. Pembatasan Masalah ... 8
D. Tujuan Penulisan ... 8
xiii
F. Metode Penulisan ... 9
G. Sistematika Penulisan ... 10
BAB II LANDASAN TEORI ... 12
A. Aljabar Linier ... 12
2.1 Sistem Persamaan Linier Homogen ... 12
2.2 Ruang Vektor ... 13
2.3 Ortogonalitas ... 22
2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen ... 34
2.5 Dekomposisi Nilai Singular ... 36
2.6 Norma Matriks dan Bilangan Kondisi ... 49
B. Kalkulus ... 65
2.7 Big-O ... 65
2.8 Fungsi Bernilai Vektor ... 66
BAB III INVERSE PROBLEM ... 70
A. Prinsip Dasar Inverse Problem ... 70
3.1 Kestabilan Algoritma pada Sistem ... 71
3.2 Eksistensi dan Ketunggalan Penyelesaian ... 75
B. Metode Regularisasi ... 85
3.3 Regularisasi ... 85
3.4 Regularisasi Tikhonov ... 91
BAB IV APLIKASI ... 94
A. Gambar Digital ... 94
xiv
4.2 Model Degradasi Gambar Digital ... 96
B. Restorasi Gambar menggunakan TSVD ... 98
C. Restorasi Gambar menggunakan Regularisasi Tikhonov ... 107
BAB V PENUTUP ... 117
A. Kesimpulan ... 117
B. Saran ... 118
DAFTAR PUSTAKA ... 119
xv
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1.1 Contoh Gambar Sebelum dan Sesudah Restorasi ... 3
Gambar 1.2 Contoh Gambar Sebelum dan Sesudah Restorasi ... 3
Gambar 1.3 Contoh Gambar Sebelum dan Sesudah Restorasi ... 3
Gambar 1.4 Koordinat Spasial ... 4
Gambar 1.5 Algoritma Inverse Problem ... 7
Gambar 2.1 Hubungan geometris di antara � dan �� ... 34
Gambar 3.1 Prosedur metode Inverse Problem ... 70
Gambar 4.1 Gambar Asli dan Gambar kabur ... 97
Gambar 4.2 Gambar Asli ... 101
Gambar 4.3 Gambar terkena efek motion ... 101
Gambar 4.4 Visualisasi Matriks Pengaburan ... 102
Gambar 4.5 Gambar Asli hasil Restorasi TSVD dengan �= 200 ... 103
Gambar 4.6 Grafik TSVD ... 104
Gambar 4.7 Grafik TSVD dengan axis([50 100 0 10]) ... 105
Gambar 4.8 Grafik TSVD dengan axis([70 75 5 6]) ... 105
Gambar 4.9 Grafik TSVD dengan axis([70 75 5.7 5.8]) ... 106
Gambar 4.10 Gambar hasil Restorasi TSVD dengan � = 74 ... 106
Gambar 4.11 Gambar hasil restorasi Tikhonov dengan � = 0.01 ... 111
Gambar 4.12 Grafik Regularisasi Tikhonov ... 112
xvi
dan axis([0 0.2 0 20]) ... 112
Gambar 4.14 Gambar Regularisasi Tikhonov dengan � ∈ 0.06 , 0.12
dan axis([0.06 0.12 6 8]) ... 113
Gambar 4.15 Gambar hasil restorasi regularisasi Tikhonov
dengan � = 0,0874 ... 113
xvii
DAFTAR TABEL
Halaman
xviii
DAFTAR PROGRAM
Halaman
Program 4.1a ... 120
Program 4.1b ... 121
Program 4.2a ... 122
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Dewasa ini, perkembangan teknologi dapat dikatakan sangat
berkembang pesat. Banyak peralatan elektronik yang diciptakan untuk
memenuhi kebutuhan manusia, baik dari membantu pekerjaan sampai
memenuhi kebutuhan gaya hidup. Salah satu yang cukup berkembang
adalah perkembangan gambar digital. Istilah digital merujuk pada sinyal atau data yang dinyatakan sebagai rangkaian angka 0 dan 1. Gambar
digital, merupakan bentuk perwakilan visual dari sesuatu, karena gambar
digital dapat digunakan sebagai sarana untuk memberikan penjelasan
mengenai sesuatu. Makna visual yang diberikan gambar dapat
memberikan informasi dengan jelas, tanpa perlu ada penyampaian
informasi detail secara lisan. Karena alasan tersebut maka banyak
peralatan elektronik dikembangkan guna menghasilkan ketajaman gambar
yang lebih baik. Gambar dengan kualitas yang baik dapat memberikan
makna visual yang jelas, sehingga tidak memberikan kesalahan persepsi
bagi yang melihat.
Memanipulasi gambar tentunya bukan merupakan sesuatu yang aneh
lagi pada era modern seperti saat ini. Banyak gambar, seperti poster,
spanduk, foto dan sebagainya dapat memiliki kualitas ketajaman gambar
animasi-animasi menarik dari video dengan kualitas grafis yang mengagumkan.
Dan itu semua, tidak lain merupakan hasil dari perkembangan teknologi
yang sangat cepat dalam pemrosesan gambar digital.
Salah satu bidang dalam pemrosesan gambar digital yang cukup
populer adalah mengenai restorasi gambar. Restorasi berasal dari kata
restore yang artinya memperbaiki. Restorasi gambar adalah cara untuk memperoleh kembali gambar asli dari gambar yang telah terdegradasi
berdasarkan informasi dari model degradasi yang masuk akal. Kata
degradasi dalam tulisan ini, berasal dari istilah degradation yang artinya bentuk asli yang telah turun kualitasnya karena suatu penyebab tertentu.
Restorasi gambar mengambil peranan yang sangat penting dalam era
gambar digital, sebab telah diketahui bahwa peralatan optik digital seperti
kamera juga memiliki keterbatasan dalam menangkap gambar. Akibatnya,
gambar yang dihasilkan menjadi kabur atau dalam pemrosesan signal
disebut sebagai derau (noise). Adapun penyebab dari derau tersebut dapat disebabkan oleh keterbatasan alat maupun manusia. Gambar yang
mengandung derau sering kali membatasi informasi yang akan
disampaikan. Itu sebabnya, derau tersebut harus dihilangkan. Sebagai
contoh, di bawah ini terdapat beberapa gambar yang menunjukkan
perbandingan antara gambar sebelum dan sesudah dilakukan proses
Sebelum Sesudah
Sumber: image-restore.co.uk
Gambar 1.1.
Sebelum Sesudah
Sumber: carlmason-liebenberg.com
Gambar 1.2.
Sebelum Sesudah
Sumber: retouchphoto.net
Dari beberapa contoh di atas, terlihat bahwa proses restorasi dapat
merubah penampilan gambar menjadi lebih bagus dibandingkan dengan
gambar aslinya. Kemudian, dengan melakukan restorasi ternyata dapat
menghilangkan efek derau yang mengganggu kualitas gambar asli,
sehingga dapat dihasilkan gambar yang lebih jelas.
Untuk lebih memudahkan dalam melakukan proses restorasi, terlebih
dahulu pastikan gambar yang akan direstorasi sudah dalam bentuk digital,
jika belum dapat digunakan scanner untuk mengubah gambar kasar menjadi gambar digital. Gambar kasar merupakan gambar hasil karya
tangan manusia misalnya lukisan. Ketika sebuah gambar sudah diubah ke
dalam bentuk digital barulah proses restorasi dapat dimulai.
Gambar digital dapat didefinisikan sebagai fungsi dua variabel,
�( , ), dimana dan adalah koordinat spasial dan nilai �( , ) adalah
intensitas (warna) gambar pada koordinat tersebut. Koordinat spasial
merupakan koordinat yang digunakan untuk merepresentasikan fakta dari
dunia nyata. Hal tersebut dapat diilustrasikan seperti pada gambar 1.4.
Sumber: anezblog.com
Gambar 1.4.
f(0,0)
f(0,y) f(x,y)
Namun dalam kondisi riil, terkadang didapatkan gambar yang mengalami
efek derau. Hal ini menyebabkan intensitas (warna) gambar pada setiap
koordinat spasial menjadi terganggu. Akibatnya, gambar yang dihasilkan
menjadi kabur.
Dalam usaha mengatasi kendala inilah, penulis menggunakan teknik
restorasi gambar digital menggunakan Inverse Problem. Untuk definisi
Inverse Problem sebenarnya belum diketahui secara pasti. Namun, penulis mencoba untuk memaparkan beberapa pendapat dari matematikawan
mengenai Inverse Problem. Menurut Julia Robinson (dalam C. W. Groetsch, 1999), Inverse Problem adalah “Here you were given a solution and you had to find the equation”, artinya situasi dimana penyelesaian
suatu masalah telah diberikan dan harus ditemukan bagaimana
persamaannya. Menurut Per Christian Hansen (2010), “The inverse problem is to compute either the input or the system, given the other two
quantities”, artinya inverse problem adalah proses mendapatkan inputatau sistem, saat diketahui dua kuantitas (dalam kasus ini adalah sistem dan
output). Dari uraian di atas, secara umum Inverse Problem diartikan sebagai suatu metode penyelesaikan masalah secara tidak langsung,
artinya penyelesaian masalah menggunakan invers dari permasalahan yang
akan diselesaikan.
Pertama kali inverse problem diperkenalkan oleh Hadamard sekitar awal abad ke-20 (seseorang yang bekerja dalam bidang
well-posed jika memenuhi tiga persyaratan. Pertama, existence yaitu suatu masalah harus memiliki penyelesaian. Kedua, uniqueness bahwa hanya akan ada tepat satu penyelesaian pada suatu masalah. Ketiga, stability
adalah penyelesaian yang didapat bergantung pada data, sehingga jika data
diberi gangguan sedikit maka tidak akan menimbulkan galat yang sangat
besar pada hasil. Jika terdapat satu dari tiga persyaratan yang tidak
dipenuhi, maka masalah dikatakan ill-posed.
Metode Inverse Problem bertujuan untuk mendapatkan suatu input yang tidak diketahui, berdasarkan informasi sistem dan output dari
masalah. Prinsip dariinverse problem ini sebenarnya merupakan pengembangan dari invers matriks yang dikenal dalam aljabar linier.
Dengan cara memandang permasalahan yang akan diselesaikan sebagai
bentuk matriks, misalkan matriks =�, dimana merupakan input dari
masalah, merupakan sistem dari masalah, dan �merupakan output yang
didapat dari masalah. Dari persamaan matriks tersebut, dapat ditentukan
matriks = −1�, dimana −1 merupakan invers dari matriks . Dengan
menggunakan konsep tersebut maka inverse problem dapat juga diterapkan pada restorasi gambar digital, sehingga dapat diperoleh kembali
gambar asli yang kabur atau terdegradasi karena efek derau.
Secara umum,proses restorasi dapat dipandang sebagai persamaan
=�−1�, dimana � adalah gambar yang telah terdegradasi, �−1 adalah
model transformasi untuk mengurangi efek derau pada �, dan adalah
restorasi maka harus didapatkan �−1terbaik yang mampu meredam efek
derau dari �. Untuk mengatasi masalah itu, penulis menggunakan metode
Truncated Singular Value Decomposition (TSVD) dan metode regularisasi Tikhonov. Skema berikut ini akan menjelaskan bagaimana alur algoritma
dari invers problem,
Gambar 1.5. Inverse problem adalah proses mendapatkan input, saat diketahui dua kuantitas (sistem dan output).
B. Perumusan Masalah
Permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini akan dirumuskan
sebagai berikut:
1. Apakah yang dimaksud dengan metode Inverse Problem dan bagaimana landasan teoritiknya?
2. Bagaimana penerapan metode Inverse Problem pada proses restorasi gambar digital?
Inverse Problem
Input Sistem
3. Bagaimana algoritma dan pemrograman MATLAB pada proses
restorasi gambar digital?
C. Pembatasan Masalah
Penulis akan membatasi beberapa hal untuk uraian masalah yang akan
dibahas, yaitu:
1. Tulisan ini dibatasi pada proses editing dengan restorasi untuk
menghilangkan efek derau pada gambar.
2. Data yang digunakan berupa foto atau gambar yang mengalami derau.
3. Metode dalam Inverse Problem yang digunakan adalah metode
Truncated Singular Value Decomposition (TSVD) dan Regularisasi Tikhonov untuk menghilangkan efek derau dan meningkatkan
ketajaman gambar pada data yang disediakan.
4. Gambar yang direstorasi berupa gambar grayscale.
D. Tujuan Penulisan
Tulisan ini disusun dengan tujuan agar dapat lebih memahami salah
satu teknik restorasi yang sering digunakan dalam restorasi gambar digital.
prinsip-prinsip restorasi gambar digital tersebut dalam pemrograman MATLAB.
Tulisan ini juga disusun sebagai pemenuhan tugas akhir dalam Program
Studi Matematika Universitas Sanata Dharma.
E. Manfaat Penelitian
Dengan mempelajari topik ini kita dapat mempelajari kegunaan
Inverse Problem dalam proses restorasi gambar digital. Kita juga dapat mempelajari prinsip Truncated Singular Value Decomposition (TSVD) dan Regularisasi Tikhonov dalam restorasi gambar digital. Terlebih lagi,
kita juga dapat menerapkan metode tersebut dalam algoritma dan
pemrograman MATLAB sehingga proses restorasi dapat lebih mudah
dilakukan.
F. Metode Penulisan
Penulisan menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan
G. Sistematika Penulisan
BAB I. PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
B. Perumusan Masalah
C. Pembatasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II. LANDASAN TEORI
A. Aljabar Linier
B. Kalkulus
BAB III. INVERSE PROBLEM
A. Prinsip Dasar Inverse Problem
B. Metode Regularisasi
BAB IV. APLIKASI
A. Gambar Digital
B. Restorasi Gambar menggunakan TSVD
BAB V. PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Aljabar Linier
Pada subbab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori aljabar linier
yang akan digunakan sebagai landasan pembahasan pada bab-bab
berikutnya.
2.1 Sistem Persamaan Linier Homogen
Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linier dalam
peubah 1, 2,…, dinamakan sistem persamaan linier (SPL). Sebuah
sistem persamaan-persamaan linier dikatakan homogen jika ruas kanan
pada sistem persamaan tersebut adalah sama dengan nol, yakni sistem
yang mempunyai bentuk
11 1 + 12 2 + + 1 = 0
21 1 + 22 2 + + 2 = 0
1 1 + 2 2 + + = 0
Teorema 2.1.1
Misalkan matriks × dan adalah taksingular jika dan hanya jika
= mempunyai penyelesaian trivial 0.
Bukti:
→ Jika taksingular dan ′ adalah penyelesaian dari = , maka
′ =� ′ = −1 ′ = −1 ′ = −1 = .
← Jika = mempunyai penyelesaian ′ = , maka ′ = −1 = .
Sehingga haruslah matriks taksingular.
2.2 Ruang Vektor
Himpunan yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan
perkalian dengan skalar disebut sebagai ruang vektor, jika memenuhi aksioma-aksioma berikut dipenuhi.
A1. + = + untuk setiap dan y di .
A2. + + = + + untuk setiap , , di .
A3. Terdapat elemen di sehingga + = untuk setiap .
A4. Untuk setiap terdapat − elemen di , sehingga
+ − = .
A5. + = + untuk setiap ℝ dan setiap dan y di . A6. + = + untuk setiap skalar dan dan setiap .
A7. = untuk setiap skalar dan dan setiap .
A9. Jika dan ℝ, maka .
A10. Jika , , maka + .
Contoh 2.2.1
Himpunan matriks berukuran × , dinotasikan × merupakan ruang
vektor terhadap operasi penjumlahan matriks biasa serta perkalian dengan
skalar.
2.2.1 Ruang bagian Definisi 2.2.1.1
disebut ruang bagian dari , jika adalah subhimpunan tak kosong dari suatu ruang vektor dan memenuhi
jika untuk sembarang skalar ℝ
+ jika dan .
Contoh 2.2.1.2
Misalkan =
1
2
3
1 = 2 . Maka adalah ruang bagian dari ℝ3,
sebab
i Jika , maka harus berbentuk =
2
2
3
=
2.2.1.3 Kernel dari matriks
sehingga . Jika dan adalah elemen-elemen dari , maka
+ = + = + =
akibatnya + . Karena dan + , berarti
adalah ruang bagian dari ℝ .
2.2.2 Kebebasan Linier
Sebuah vektor disebut sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor
1, 2,… jika vektor tersebut dapat dituliskan dalam bentuk
= 1 1+ 2 2+ +
dimana 1, 2,…, adalah skalar. Himpunan semua kombinasi linier dari
1, 2,… disebut rentang dari 1, 2,… .
Definisi 2.2.2.1
Himpunan 1, 2,… disebut himpunan perentang untuk jika dan
hanya jika setiap vektor dalam dapat ditulis sebagai kombinasi linier
dari 1, 2,… .
Definisi 2.2.2.2
Himpunan 1, 2,… dikatakan bebas linier jika kombinasi linier
1 1+ 2 2+ + = 0
2.2.3 Basis dan Dimensi Definisi 2.2.3.1
Vektor-vektor 1, 2,…, yang bebas linear dan merentang pada ruang
vektor disebut sebagai basis dan banyaknya vektor dalam basis pada ruang vektor dikatakan sebagai dimensi.
Contoh 2.2.3.2
Tentukan dari matriks
= 1 1 1 0
2 1 0 1
dan kemudian tentukan basis dan dimensi dari yang diperoleh.
Penyelesaian:
Dengan menggunakan proses eliminasi Gauss untuk menyelesaikan
1 = 3 − 4
Selain itu kedua vektor tersebut juga bebas linear, akibatnya vektor-vektor
tersebut membentuk basis untuk . Dan karena mempunyai 2
2.2.4 Ruang Baris dan Ruang Kolom Definisi 2.2.4.1
Jika adalah matriks × , maka ruang bagian dari ℝ yang direntang
oleh vektor-vektor baris dari disebut ruang baris dari , sedangkan ruang bagian dari ℝ yang direntang oleh vektor-vektor kolom dari
disebut ruang kolom dari .
Contoh 2.2.4.2
Misalkan = 1 0 0
0 1 0 , maka tentukan ruang baris dan ruang kolom
dari .
Penyelesaian:
Ruang baris dari adalah himpunan semua vektor yang berbentuk
1,0,0 + 0,1,0 = , , 0
dan ruang kolom dari adalah himpunan semua vektor yang berbentuk
1
0 +
0
1 +
0
0 = .
Misalkan adalah matriks × , vektor � ℝ berada di dalam
ruang kolom dari jika dan hanya jika �= untuk ℝ . Maka,
ruang kolom dari dapat dinyatakan sebagai ,
= � ℝ �= untuk ℝ ,
= ℝ = untuk ℝ .
Ruang kolom dari sesungguhnya sama dengan ruang baris dari .
Jadi jika dan hanya jika berada di dalam ruang baris dari .
Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa dan adalah ruang
bagian dari ℝ .
(i) Jika � dan suatu skalar, maka untuk ℝ
�= =
sehingga � . Jika �1 dan �2 adalah elemen-elemen dari
, maka untuk 1+ 2 ℝ
�1+�2 = 1+ 2 = 1+ 2
akibatnya �1+�2 . Karena � dan �1+�2
, berarti adalah ruang bagian dari ℝ .
(ii)Jika dan suatu skalar, maka untuk ℝ
= =
sehingga . Jika 1 dan 2 adalah elemen-elemen dari
, maka untuk 1+ 2 ℝ
1+ 2 = 1+ 2 = 1+ 2
akibatnya 1+ 2 . Karena dan 1+ 2
Teorema 2.2.4.3
Dua matriks yang ekivalen baris memiliki ruang baris yang sama.
Bukti:
Jika matriks ekivalen baris dengan matriks , maka dapat dibentuk
dari dengan operasi baris yang berhingga banyaknya. Ini berarti
vektor-vektor baris dari harus merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor-vektor-vektor
baris dari . Akibatnya, ruang baris dari harus merupakan ruang bagian
dari ruang baris . Karena matriks ekivalen baris dengan matriks ,
maka dengan alasan yang sama, ruang baris dari adalah ruang bagian
dari ruang baris .
Definisi 2.2.4.4
Rank dari suatu matriks adalah dimensi dari ruang baris .
Contoh 2.2.4.5
Misalkan
=
1 −2 3
2 −5 1
1 −4 −7
Dengan mereduksi menjadi bentuk eselon baris, diperoleh
=
1 −2 3
0 1 5
sehingga 1,−2,3 dan 0,1,5 membentuk basis untuk ruang baris .
Karena dan ekivalen baris, maka menurut Teorema 2.2.4.3 matriks
memiliki ruang baris yang sama sehingga rank dari adalah 2.
2.3 Ortogonalitas
2.3.1 Ruang Hasil Kali Dalam Definisi 2.3.1.1
Hasil kali dalam pada ruang vektor riil adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil , dengan vektor dan pada ,
sedemikian sehingga aksioma-aksioma berikut terpenuhi untuk semua
, , di dan semua skalar , di ℝ:
(i) , 0; dan , = 0 jika dan hanya jika = 0.
(ii) , = , untuk setiap dan di dalam .
(iii) + , = , + , untuk setiap , , di dalam
dan setiap skalar , .
Sebuah ruang vektor yang dilengkapi dengan sebuah hasil kali
dalam disebut ruang hasil kali dalam. Salah satu contoh dari ruang hasil kali dalam adalah ruang vektor ℝ , dimana hasil kali dalam baku untuk
ℝ dihitung sebagai hasil kali skalar
Definisi 2.3.1.2
Dua vektor dan dikatakan ortogonal jika , = 0, yang dinotasikan sebagai ⊥ .
Definisi 2.3.1.3
Sebuah ruang vektor dikatakan ruang linier bernorma jika untuk setiap vektor dikaitkan dengan sebuah bilangan riil yang disebut norma
dari yang memenuhi:
(i) 0.
(ii) = 0 jika dan hanya jika = .
(iii) = � v untuk setiap ℝ.
(iv) + + untuk setiap dan di .
Teorema 2.3.1.4
Jika sebuah ruang hasil kali dalam, maka
= , untuk setiap
mendefinisikan sebuah norma pada .
Bukti:
(i) Karena nilai dari = , 0, berarti nilai terkecil yang
(ii) Jika = , maka 2 = , = , = 0. Jadi = 0.
Kemudian jika = , = , = 0, berarti haruslah = .
(iii) 2 = , = 2 , = 2. Jadi, = .
(iv) + 2 = + , +
= , + 2 , + ,
2+ 2 + 2 (ketaksamaan Cauchy-Schwarz)
= + 2
Jadi, + +
Kemudian dapat didefinisikan beberapa norma yang berbeda pada
ruang vektor yang diberikan. Seperti, di ℝ kita dapat mendefinisikan
2 = 2
=1
1 2
= , =
disebut sebagai norma-2 vektor. Selain itu, norma lainnya yang penting
pada ℝ adalah
Bukti:
(i) Untuk 1 , 0 sehingga max1 . Akibatnya,
max1 = ∞ 0.
(ii)Jika ∞ = 0, maka max1 = 0. Karena maksimal dari
= 0, = 1,2,…, berarti 1 = 2 = = = 0, akibatnya
= 0 0
0
sehingga = . Oleh karena itu haruslah suatu vektor nol.
Jika = , berarti 1 = 2 = = = 0. Akibatnya
max1 = 0 sehingga ∞ = 0.
(iii) ∞ = max1 = max1 = ∞.
(iv) + ∞ = max1 +
max
1 + max1
∞+ ∞.
Berdasarkan bukti di atas ∞ memenuhi definisi sebagai norma, maka
Contoh 2.3.1.5
Misalkan adalah vektor 4,−5,3 di ℝ3. Hitunglah 2 dan ∞.
2 = 16 + 25 + 9 = 50 = 5 2.
∞ = max 4 , −5, 3 = 5.
Teorema 2.3.1.6 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz)
Jika dan adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam
, maka
,
Bukti:
Jika = maka , = = 0, sehingga ketaksamaan berlaku.
Jika ≠ , untuk setiap bilangan � ℝ nilai
� + � + 0
, �2+ 2 , �+ , 0
merupakan fungsi kuadrat dalam � sehingga haruslah � 0. Ini berarti
fungsi kuadrat tersebut tidak mempunyai akar berbeda. Oleh karena ini,
diskriminannya tidak mungkin positif, sehingga
4 , 2−4 , , 0
atau
4 , 2 4 , ,
, 2 2 2
dengan mengambil akar dari kedua ruas diperoleh
, .
2.3.2 Ruang Bagian Ortogonal
Vektor dan himpunan = 1, 2, . . , adalah ortogonal jika
terdapat dan untuk setiap berlaku , = 0. Dan apabila
dan ortogonal, dinotasikan sebagai ⊥ .
Definisi 2.3.2.1
Dua ruang bagian dan dari ℝ dikatakan ortogonal jika , = 0 untuk setiap dan setiap , dan apabila dan ortogonal ditulis
⊥ .
Misalkan adalah matriks × dan misalkan ( ). Karena
= sehingga
1 1+ 2 2+ + = 0
untuk = 1,2,…, . Persamaan tersebut menunjukkan bahwa ortogonal
pada setiap vektor kolom dari , maka ortogonal ke setiap kombinasi
linier dari vektor-vektor kolom . Sehingga jika adalah vektor kolom
ortogonal terhadap setiap vektor di dalam ruang kolom , yang ditulis
sebagai ⊥ . Jika dua ruang bagian memiliki sifat ini, maka
dapat dikatakan bahwa ruang bagian tersebut adalah ortogonal.
Definisi 2.3.2.2
Misalkan 1, 2,…, adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasil
kali dalam . Jika semua pasangan vektor , = 0, dimana ≠ , maka
1, 2,…, disebut sebagai himpunan ortogonal.
Definisi 2.3.2.3
Misalkan adalah ruang bagian dari ℝ . Himpunan semua vektor-vektor
di dalam ℝ yang ortogonal pada setiap vektor di akan dinotasikan
dengan ⊥,
⊥ = ℝ , = 0 untuk setiap .
Himpunan ⊥ disebut komplemen ortogonal dari .
2.3.2.4 Ruang-Ruang Bagian Pokok (Fundamental Subspaces)
Telah dijelaskan bahwa ⊥ , selanjutnya akan diperlihatkan
Teorema 2.3.2.5
Jika adalah sebuah matriks × , maka = ⊥ dan =
⊥.
Bukti:
Diketahui bahwa ⊥ , sehingga ⊂ ⊥. Ambil
sebarang vektor di ⊥. Berdasarkan definisi komplemen ortogonal
maka ortogonal pada setiap vektor kolom dari , akibatnya = .
Padahal = ℝ = .
Jadi haruslah menjadi sebuah elemen dari , yaitu = ⊥.
Secara khusus, hasil ini juga berlaku untuk matriks = . Jadi
= = ⊥ = ⊥.
2.3.3 Masalah Kuadrat Terkecil
Masalah kuadrat terkecil pada umumnya dapat dirumuskan sebagai
sebuah sistem kelebihan persamaan linier, yaitu sistem yang memiliki
lebih banyak persamaan daripada peubah. Sistem yang seperti ini biasanya
tidak mempunyai penyelesaian. Misalkan diberikan sebuah sistem ×
yaitu = � dengan > , kemudian penyelesaian dari sistem tersebut
adalah mencari sebuah vektor ℝ sehingga sama dengan �. Berarti
vektor yang didapat untuk harus sedekat mungkin dengan �.
Diberikan sistem =�. Untuk setiap ℝ dapat dihitung sebuah
� =� −
dan jarak antara � dan diberikan sebagai
� − = � .
Untuk mendapatkan vektor ℝ yang terbaik dalam mendekati �, maka
harus dicari nilai � yang paling minimum. Sebuah vektor yang
memenuhi ini disebut sebagai penyelesaian kuadrat terkecil untuk sistem = �.
Teorema 2.3.3.1
Jika adalah matriks × yang memiliki rank , maka persamaan
normal
= �
mempunyai sebuah penyelesaian tunggal
′ = −1�
dimana ′ adalah penyelesaian kuadrat terkecil yang tunggal dari sistem
= �.
Bukti:
Akan ditunjukkan bahwa adalah taksingular. Misalkan adalah
penyelesaian untuk = , berarti . Sehingga
1 1+ 2 2+ + = 0
menunjukkan bahwa ortogonal pada setiap vektor kolom dari , maka
Akibatnya ortogonal terhadap ( ), maka = ⊥.
Karena dan ⊥ adalah ruang bagian yang ortogonal, berarti
∩ ⊥ dan ⊥ ⊥, maka = 0
sehingga = . Jika mempunyai rank maka vektor-vektor kolom
dari adalah bebas linear, sehingga = akan mempunyai
penyelesaian trivial. Jadi = dan = juga mempunyai
penyelesaian trivial. Berdasarkan Teorema 2.1.1, adalah taksingular.
Ini mengakibatkan bahwa ′ = −1 � adalah penyelesaian tunggal
untuk persamaan = �, sehingga ′ merupakan penyelesaian
kuadrat terkecil yang tunggal untuk sistem
= �.
2.3.4 Himpunan Ortonormal
Definisi 2.3.4.1
Himpunan ortogonal yang setiap vektornya mempunyai norma 1 disebut
sebagai himpunan ortonormal.
Himpunan 1, 2,…, akan menjadi ortonormal jika dan hanya
jika
, = ,
Untuk membentuk sebuah himpunan ortonormal dari himpunan ortogonal
vektor-vektor taknol 1, 2,…, dapat dilakukan dengan
mendefinisikan
= 1
=
1
. = 1 untuk = 1,2,…
Proses pengalian vektor taknol ini dengan kebalikan panjangnya untuk
mendapatkan vektor yang normanya 1 dinamakan menormalisasikan .
Definisi 2.3.4.2
Suatu basis yang anggota-anggotanya saling ortogonal dan masing-masing
memiliki norma 1 disebut basis ortonormal.
Definisi 2.3.4.3
Matriks yang berukuran × disebut sebagai matriks ortogonal, jika vektor-vektor kolom dari membentuk sebuah himpunan ortonormal di
dalam ℝ .
2.3.4.4 Sifat-sifat Matriks Ortogonal
Jika adalah matriks ortogonal × , maka
(i) =�
(ii) = −1
(iii) , = ,
Bukti:
(i) Berdasarkan definisi 2.3.4.1, sebuah matriks yang berukuran ×
adalah ortogonal jika dan hanya jika vektor-vektor kolom dari
membentuk sebuah himpunan ortonormal, yaitu
, = =
dimana = 1 jika = 0 jika ≠ .
Dan dari perhitungan , akan menghasilkan nilai-nilai untuk
entri , , ( = 1,2, . . dan = 1,2,…, ) dari sehingga
=
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
⋱
0 0 0 1
= � .
(ii) Berdasarkan sifat (i) =� maka =� −1, sehingga = −1.
(iii) , = = = � = = , .
(iv) 2 = , = = = �
2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Apabila sebuah matriks berukuran × dan sebuah vektor ℝ ,
maka biasanya tidak ada hubungan geometris di antara vektor dan vektor
(Gambar 2.1a). Akan tetapi, ada beberapa vektor taknol , sehingga
dan merupakan kelipatan satu sama lainnya (Gambar 2.1b).
Vektor-vektor tersebut muncul secara alami dalam telaah getaran, sistem elektris,
genetik, reaksi kimia, mekanika kuanturm, tekanan mekanis, ekonomi dan
geometris. Pada bagian ini akan ditunjukkan bagaimana mencari
vektor-vektor ini.
(a) (b)
Gambar 2.1. Hubungan geometris di antara dan
Definisi 2.4.1
Misalkan adalah matriks berukuran × . Skalar � disebut sebagai nilai
eigen dari , jika terdapat vektor tak nol sehingga =� . Vektor
disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan �.
A
x
x
A
x
Contoh 2.4.2
Diberikan matriks = 3 0
8 −1 , maka = 1
2 merupakan vektor eigen
dari matriks . Sebab merupakan kelipatan dari , yaitu
= 3 0
diperhatikan kembali definisi nilai eigen dan vektor eigen, bahwa bentuk
= � dapat ditulis sebagai
=��
− �� =
− �� = ,
dimana � adalah matriks identitas yang mempunyai bentuk
�=
persamaan − �� = . Sehingga persamaan tersebut akan mempunyai
penyelesaian tak nol jika dan hanya jika
det − �� = 0.
Jika det − �� = 0 diuraikan, akan didapatkan suatu polinomial
� � = det − �� .
Polinomial ini disebut polinomial karakteristik dan � � = det − ��
tersebut disebut sebagai persamaan karakteristik dari matriks .
Contoh 2.4.3
Carilah nilai-nilai eigen dari matriks
= 1 1
4 1
Penyelesaian:
Polinomial karakteristik dari matriks adalah
det − �� = det 1 1
4 1 − �
0
0 � = det
1− � 1
4 1− �
= 1− � 2−4.
Dan persamaan karakteristik dari matriks adalah
�2−2� −3 = 0,
dengan memfaktorkan �2−2� −3 = 0, diperoleh
� −3 �+ 1 = 0
sehingga penyelesaian dari persamaan ini adalah �1 = 3 dan �2 =−1.
Jadi, nilai-nilai eigen dari matriks tersebut adalah �1 = 3 dan �2 =−1.
2.5 Dekomposisi Nilai Singular (Singular Value Decomposition)
Dekomposisi nilai singular merupakan suatu teknik pemfaktoran
matriks yang berkaitan erat dengan nilai singular dari sebuah matriks yang
Teorema 2.5.1
Misalkan adalah matriks × dan �= min , . Maka terdapat
basis ortonormal 1, 2,…, untuk ℝ , 1, 2,…, untuk ℝ dan
skalar-skalar �1 �2 �� > 0, sehingga mempunyai suatu
dekomposisi nilai singular, = Λ ,
dengan Λ adalah matriks × yang berbentuk
matriks diagonal yang entrinya nilai-nilai singular.
Bukti:
adalah matriks simetris berukuran × , yaitu matriks persegi yang
elemen-elemennya simetri terhadap diagonal utama. Misalkan � adalah
Dengan menggunakan Teorema 2.3.1.4, 2 = 2 =
2 = = = �
karena � merupakan suatu skalar, berlaku
2 = � = � = � 2
akibatnya
� =
2
2 0.
Asumsikan bahwa kolom-kolom dari tersusun terurut sehingga
nilai-nilai eigen yang bersesuaian memenuhi
�1 �2 � 0.
dan nilai-nilai singular dari matriks diberikan oleh
� = � , = 1,2,…, .
Misalkan � merupakan rank dari . Karena matriks simetris maka
ranknya ditentukan dari banyaknya nilai eigen taknol dari . Jadi
�1 �2 �� > 0 dan ��+1 =��+2 = =� = 0
sehingga matriks juga mempunyai rank �. Dan hubungan yang sama
juga berlaku bagi nilai-nilai singularnya
�1 �2 �� > 0 dan ��+1 = ��+2 = = � = 0
Sekarang, misalkan 1 = 1, 2,…, � dan 2 = �+1, �+2,…,
dan
Λ1 =
σ1 0 0 0
0 σ2 0 0
0 0 ⋱ 0
Jadi Λ1 adalah matriks diagonal �×� yang entri-entri diagonalnya adalah
nilai-nilai singular taknol σ1,…,σ�. Selanjutnya matriks Λ × dapat
dinyatakan oleh
Λ= Λ1 .
Vektor-vektor dari 2 adalah vektor-vektor eigen dari untuk �= 0,
sehingga
= , =�+ 1,…,
dan akibatnya, vektor-vektor kolom dari 2 membentuk basis ortonormal
untuk = . Dengan demikian,
2 =
dan karena adalah matriks ortogonal, maka
� = = 1 1 + 2 2
= �= 1 1 + 2 2 = 1 1 . 2.1
Kemudian akan dibuktikan bahwa matriks ortogonal berorde ×
memenuhi
= Λ ↔ = Λ 2.2
dan dengan membandingkan � kolom-kolom pertama dari setiap ruas dari
2.2 , diperoleh
= � , = 1,…,�
sehingga
= 1
akibatnya
1 = 1,…, �
dan berdasarkan hal itu, maka
1 = 1Λ1. 2.4
Vektor-vektor kolom dari 1 akan membentuk suatu himpunan ortonormal
Karena 1,…, � dan �+1,…, membentuk basis ortonormal,
berarti kita dapat menuliskan 1,…, �, �+1,…, sebagai kombinasi
linear
1 1+ + � � + �+1 �+1 + + = 0
sehingga 1,…, akan membentuk basis ortonormal untuk ℝ .
Akibatnya adalah matriks ortogonal, dan dari persamaan 2.1 dan 2.4
diperoleh
Tentukan dekomposisi nilai singular dari matriks
=
1 1
1 1
0 0
Penyelesaian:
Langkah 1: akan dihitung
= 1 1 0
� � = det 2− � 2 membentuk matriks .
Dari nilai-nilai eigen yang telah diperoleh, dapat dicari vektor eigen yang
bersesuaian dengan �.
Untuk �1 = 4,
dengan mensubstitusikan nilai �1 ke − ��, diperoleh
−4� = 2−4 2
dan bentuk matriks diperbesar sistem tersebut dapat dinyatakan sebagai
−22 −22 00 .
kemudian dengan menggunakan eliminasi Gauss diperoleh
−22 −2200 −
1
2 1
12 −−12 00 −2 1+ 2
Dari bentuk eselon baris didapat bahwa − 2 = 0 atau = 2,
Jadi, vektor-vektor eigen dari �1 mempunyai bentuk 2 1
1 , 2 ℝ.
Dengan proses normalisasi dapat dibentuk 1 sebagai
1 = = 2
dengan mensubstitusikan nilai �2 ke − ��, diperoleh
−0�= 2−0 2
dan bentuk matriks diperbesar sistem tersebut dapat dinyatakan sebagai
2 2
2 2
0 0
kemudian dengan menggunakan proses eliminasi Gauss diperoleh
Dari bentuk eselon baris didapat bahwa + 2 = 0 atau = − ,
Jadi, vektor-vektor eigen dari �2 mempunyai bentuk 1 1
−1 , 1 ℝ.
Dengan proses normalisasi dapat dibentuk 2 sebagai
2 = = 2
Dari vektor 1 dan 2 yang diperoleh dapat dibentuk matriks
=
Langkah 5: menentukan matriks
Dari langkah 4, diketahui bahwa matriks mempunyai rank 1 sehingga
dapat dibentuk basis ortonormal untuk . Dengan menggunakan
persamaan 2.3 , diperoleh
1 =
Untuk mencari vektor-vektor kolom yang lain, maka harus dibentuk suatu
basis ortonormal untuk . Karena itu perlu ditunjukkan bahwa
Bentuk eselon baris tersebut melibatkan dua peubah bebas 1 dan 3
misalkan 1 = dan 3 = , maka
dilakukan proses normalisasi sehingga
2 =
Kemudian dapat dibentuk matriks diagonal Λ dengan entrinya adalah
Λ=
Diberikan matriks = 2 2
−1 1 , carilah dekomposisi nilai singular untuk
Penyelesaian:
vektor eigen yang bersesuaian dengan �1 dan �2 sebagai
�1 = −
Jadi, SVD dari matriks adalah
Dengan SVD matriks dapat ditentukan invers matriks sebagai
2.6 Norma Matriks dan Bilangan Kondisi
Dalam menyelesaikan masalah sistem linier, akurasi dari penyelesaian
menjadi sesuatu yang perlu diperhatikan. Sebab, semakin akurat
penyelesaian yang didapat maka semakin kecil pula galat yang terjadi.
Keakuratan penyelesaian sangat bergantung pada seberapa sensitif matriks
koefisien dari sistem terhadap adanya perubahan kecil yang terjadi.
Sensitifitas dari matriks dapat diukur dengan bilangan kondisi (condition number) matriks tersebut. Bilangan kondisi suatu matriks taksingular didefinisikan dari sudut pandang norma matriks dan norma inversnya.
Sebelum membahas bilangan kondisi, perlu dipelajari tipe-tipe dari
norma-norma matriks.
2.6.1 Norma Matriks
Berdasarkan penjelasan dalam subbab sebelumnya, kita telah
Selanjutnya pada subbab ini akan dijelaskan perhitungan norma pada
ruang vektor di × . Suatu fungsi . : × → ℝ disebut norma
matriks, jika untuk sebarang , × dan ℝ, memenuhi:
(i) 0
(ii) = 0 jika dan hanya jika =
(iii) =
(iv) + +
Teorema 2.6.1.1
Andaikan . adalah norma vektor pada ℝ , maka
= max
=1
adalah norma matriks.
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa
= max
=1
memenuhi definisi norma.
(i) Untuk setiap = 1,
0
max
=1 0
max
=1 = 0
(ii) Jika = 0, maka max =1 = 0. Berarti = untuk setiap
ℝ , dan
� =
0 0
1
sehingga � = untuk = 1,2,…, . Oleh karena itu haruslah
suatu matriks nol.
Jika = dan ℝ , maka = . Berarti max =1 = 0
sehingga = 0.
(iii) = max
=1 = max =1 =
(iv) + = max
=1 +
max
=1 +
max
=1 + max =1
+
Akibat 2.6.1.2
Untuk setiap ≠ 0, dapat ditulis sebagai vektor tak nol
=
= max
=1 = max≠0 . = max≠0 = max≠0
.
Akibat 2.6.1.3
Untuk setiap matriks dan ≠ , maka terdapat norma natural . ,
sehingga
Bukti:
max
=1 . = . .
Dengan mengganti definisi norma vektor pada Teorema 2.6.1.1 dapat
diturunkan beberapa norma matriks. Apabila norma vektor . yang
digunakan dalam definisi adalah norma vektor . ∞ , maka
∞ = max
∞=1 ∞.
disebut sebagai norma-∞ matriks. Sedangkan, jika digunakan norma
vektor . 2 , maka
2 = max
2=1 2
.
Teorema 2.6.1.4
i Akan ditunjukkan bahwa
∞ max
1
=1
Misalkan adalah matriks berukuran × 1, dengan ∞ =
max1 = 1.
Diberikan matriks berukuran × , sehingga
(ii) Sekarang akan ditunjukkan bahwa
∞ 1max
=1
.
Misalkan � adalah suatu bilangan bulat dengan
�
=1
= max
1
=1
dan vektor , dengan koordinat
Teorema 2.6.1.5
Jika adalah matriks × dengan dekomposisi nilai singular Λ ,
maka
2 =�1
dimana, �1 adalah nilai singular terbesar dari matriks .
sehingga
maksimum yang ada pada setiap baris dari matriks , sehingga
1 = 1 + 1 = 2
dari matriks kemudian menentukan nilai singularnya.
Untuk mencari nilai eigennya digunakan
�1,2 =7 ± 49−4.1.9
2 =
7 ± 13
2
sehingga
�1 =7
2+ 13
2 dan �2 = 7 2−
13 2 ,
dari hasil tersebut diperoleh
�1 = �1 = 2,3028 dan �2 = �2 = 1,3028.
Berdasarkan nilai singular yang diperoleh, maka
2 = �1 = 2,3028.
2.6.2 Bilangan Kondisi
Norma matriks dapat digunakan untuk memperkirakan sensitivitas
sistem linier terhadap perubahan yang terjadi pada matriks koefisiennya.
Definisi 2.6.2.1
Suatu matriks disebut berkondisi buruk (ill-condition) apabila perubahan yang relatif kecil dalam entri-entri menyebabkan perubahan yang relatif
berkondisi baik (well-condition) jika perubahan yang relatif kecil dalam entri-entri mengakibatkan perubahan yang relatif kecil dalam penyelesaian
= �.
Jika matriks adalah matriks berkondisi buruk, maka perhitungan
terhadap = � memberikan hasil penyelesaian yang kurang begitu
akurat. Hal ini disebabkan karena galat-galat kecil yang terjadi dalam
proses perhitungan memberikan efek yang sangat drastis terhadap hasil
penyelesaian sehingga menyebabkan galat yang sangat besar. Sebaliknya,
apabila matriks tersebut berkondisi baik maka akan didapat perhitungan
yang memberikan hasil penyelesaian akurat untuk meyelesaikan sistem
= �. Secara umum, akurasi dari penyelesaian bergantung pada kondisi
matriks yang bersangkutan.
Misalkan adalah matriks taksingular × yang memenuhi sistem
= �. Jika adalah penyelesaian eksak terhadap sistem = � dan ′
adalah penyelesaian yang menghampiri penyelesaian eksak dari sistem
= �, maka selisih di antara dan ′ menghasilkan galat perhitungan
yang ditulis sebagai
�= − ′.
Untuk menguji keakuratan dari ′ dilakukan dengan cara mensubstitusikan
kembali ′ ke dalam sistem = � sehingga diperoleh ′ = �′.
Kemudian akan dihitung selisih dari �′ dengan � sehingga diperoleh
dimana vektor r ini adalah vektor sisa. Dengan menggunakan norma .
memberikan nilai perkiraan dari galat relatif, dan nilai perkiraan tersebut
bergantung pada kondisi matriks . Secara umum, jika matriks
berkondisi buruk maka sisa relatif akan lebih kecil dari galat relatifnya.
Sebaliknya, untuk matriks berkondisi baik maka sisa relatif dan galat
relatif akan saling berdekatan.
Karena
=� − ′ = − ′ = �
dan adalah matrik taksingular × , maka �= −1 , sehingga dengan
menggunakan Akibat 2.6.1.3 diperoleh
� −1 2.5
Karena nilai merupakan penyelesaian eksak terhadap =�, dan
adalah matrik taksingular maka = −1�. Sehingga dengan menggunakan
ketaksamaan 2.7 , didapatkan
�
Dari ketaksamaan 2.7 dan 2.8 diperoleh
diberikan dengan lambang cond( ), sehingga
1
� , bahwa semakin bilangan kondisi mendekati nilai 1,
maka galat relatif dan sisa relatif akan berdekatan. Namun jika bilangan
kondisi besar, maka galat relatif akan beberapa kali lebih besar dari sisa
relatif.
Bilangan kondisi dari sesungguhnya memberikan informasi penting
mengenai kondisi matriks . Misalkan ′ adalah matriks baru yang
dibentuk dengan mengganti sejumlah kecil entri-entri dari . Maka, kita
dapat membentuk matriks � = ′ − sehingga ′ = +�, dimana
entri-entri dari � relatif lebih kecil daripada entri-entri pada . Matriks akan
berkondisi buruk jika untuk suatu matriks seperti � memberikan pengaruh
buruk pada perhitungan penyelesaian terhadap ′ ′ =� dan = �. Hal
tersebut mengakibatkan selisih dari kedua hasil penyelesaian tersebut
membandingkan perubahan penyelesaian relatif terhadap ′, dengan
perubahan relatif dalam matriks .
Dari
= −1�= −1 ′ ′ = −1 +� ′ = −1 ′ + −1� ′
= ′ + −1� ′
diperoleh,
− ′ = −1� ′
Dengan menggunakan Akibat 2.6.1.3, maka
− ′ −1 � ′
atau
− ′
′ −1 � 2.10
Jika ruas kanan pada ketaksamaan 2.10 dikali , diperoleh
− ′
′ −1 � = cond � 2.11
Untuk lebih memahami maksud dan perhitungan dari ketaksamaan 2.11
Contoh 2.6.2.1
Diberikan sistem (a)
2,0000 1+ 2,0000 2 = 6,0000
2,0000 1+ 2,0005 2 = 6,0010
yang mempunyai penyelesaian eksak = 1
2 . Dan dengan melakukan
sedikit perubahan diperoleh sistem baru, sebagai sistem (b)
2,000 1+ 2,000 2 = 6,000
2,000 1+ 2,001 2 = 6,001
yang memiliki penyelesaian ′ = 2
1 . Hitunglah perbandingan perubahan
penyelesaian relatif terhadap ′dengan perubahan relatif dalam matriks .
Penyelesaian:
Dari sistem (a) dan sistem (b) dapat diperoleh matriks koefisien dan ′,
dan galat relatif dalam matriks adalah
� ∞
∞ =
0,0005
4,0005≈ 0,0001
Sedangkan bilangan kondisi dari matriks sebagai
cond∞ = ∞ −1 ∞ = 4,0005 4000,5 ≈16004.
Dengan menggunakan ketaksamaan 2.10 dapat ditentukan batas dari
galat relatif sebagai
cond∞ � ∞
∞ = 16004 0,0001 = 1,6004
dan galat relatif sesungguhnya bagi sistem adalah
− ′
Jadi, perbandingan perubahan penyelesaian relatif terhadap ′dengan
perubahan relatif dalam matriks adalah
1
2< 1,6004.
Selain menggunakan . ∞, perhitungan bilangan kondisi dari matriks
, yang dinotasikan sebagai cond dapat juga dihitung menggunakan
Teorema 2.6.2.2
Jika = Λ adalah taksingular, maka
cond2 = �1
� .
Bukti:
Karena adalah taksingular berarti memiliki invers, yaitu −1 dan
nilai-nilai singular dari −1 = Λ−1 tersusun dalam urutan menurun sebagai
Dengan menggunakan matriks pada contoh 2.6.1.6,
= 1 1
−1 2
Penyelesaian:
Berdasarkan pembahasan pada contoh 2.6.1.6 didapatkan bahwa
nilai-nilai singular dari adalah �1 = 2,3028 dan �2 = 1,3028. Dari hasil
tersebut dapat dihitung
cond2 = �1
�2
=2,3028
1,3028= 1,768.
B. Kalkulus
Pada subbab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori kalkulus yang
akan digunakan sebagai landasan pembahasan pada bab-bab berikutnya.
2.7 Big-O
Andaikan adalah fungsi bernilai riil yang didefinisikan pada kitar-
dengan pusat ℝ , yang ditulis ℝ | − < , dengan ≠ .
Misal :Ω ↦ ℝ adalah fungsi yang didefinisikan dalam suatu domain
(daerah asal) Ω ⊂ ℝ yang memuat , maka
=�( ), diartikan bahwa
( ) ( )
terbatas. Jadi, terdapat bilangan > 0 dan > 0, sehingga jika
− < , Ω berakibat
Contoh 2.7.1
Tunjukkan bahwa ℎ = 2+ 2 + 1 adalah � 2 .
Penyelesaian:
Akan ditentukan bilangan bulat positif dan sehingga untuk setiap
, berlaku
2+ 2 + 1
Ambil > 1, maka didapat
0 2+ 2 + 1 2+ 2 2+ 2 = 4 4
Dengan demikian, dari persamaan di atas diperoleh nilai = 4 dengan
= 1.
2.8 Fungsi bernilai vektor
Teorema 2.8.1
Misalkan adalah matriks invertibel dan � =1
2 − �
2. Maka,
(i) ∗ adalah titik minimum untuk � jika dan hanya jika ∗ adalah
penyelesaian persamaan =�.
(ii) Persamaan titik kritis pada � adalah � = �.
= lim
→0
1
2 − �, − � + − �, + , − �
− � − ,� −
dengan aturan , = , dan , = , menjadi
� = lim
→0
1
2 2 − �, = − ,
kemudian dengan aturan hasil kali dalam �, = , diperoleh
� = − , = − � = − �
= − � , .
Sehingga � untuk setiap ℝ ,
� = − � .
dimana � adalah vektor gradien dari �.
Kemudian agar mendapatkan persamaan titik kritisnya maka nilai dari
� = 0, sehingga
� = �. 2.12
Persamaan 2.12 yang diperoleh ini sebelumnya dikenal sebagai
(iii) Diketahui bahwa adalah matriks invertibel jika dan hanya jika
transposenya, yaitu juga invertibel dan −1 = −1 .
Kemudian dengan mengalikan kedua sisi pada persamaan 2.12
dengan −1, diperoleh
−1 = −1 �
BAB III
INVERSE PROBLEM
A. Prinsip Dasar Inverse Problem
Dalam matematika, terdapat dua cara untuk meyelesaikan
permasalahan, yaitu metode penyelesaian langsung dan metode
penyelesaian tidak langsung. Metode penyelesaian langsung adalah cara
penyelesaian dengan mengoperasikan input dalam sistem kemudian
diperoleh output. Metode penyelesaian tidak langsung adalah cara
penyelesaian dengan menduga input, berdasar informasi sistem dan output
yang diberikan. Pada kesempatan ini, penulis akan membahas mengenai
metode penyelesaian secara tidak langsung.
Metode penyelesaian tidak langsung pada prinsipnya untuk menduga
input berdasar dua informasi penting, yaitu sistem dan output. Menduga
input berarti menyelesaikan permasalahan dengan menggunakan invers
dari permasalahan, sehingga metode penyelesaian ini dinamakan sebagai
Inverse Problem. Agar dapat lebih memahami metode invers problem, perhatikan gambar berikut.
Gambar 3.1. Prosedur metode Inverse Problem
Inverse Problem
Input Sistem
Dalam melakukan perhitungan untuk mendapatkan penyelesaian
berupa input terkadang tidak mudah. Terlebih, apabila sistem yang ada
pada masalah sulit untuk diselesaikan, sehingga tidaklah mungkin
menyelesaikannya secara manual. Karena alasan tersebut, maka
digunakanlah perhitungan dengan komputer. Sebab, komputer dapat
membantu menyelesaikan perhitungan secara lebih akurat dan cepat. Ada
beberapa faktor yang dapat mempengaruhi keakuratan penyelesaian.
Pertama, sistem yang kurang stabil. Kedua, algoritma yang digunakan untuk menyelesaikan masalah invers tersebut. Dengan mengetahui
faktor-faktor tersebut, maka mengontrol penyelesaian agar menghasilkan galat
yang terkecil adalah tujuan dari metode invers problem ini. Karena semakin kecil galat, maka nilai dari penyelesaian yang didapat akan
semakin mendekati nilai penyelesaian eksaknya.
3.1 Kestabilan Algoritma pada Sistem
Seperti yang telah dijelaskan bahwa ada beberapa faktor yang dapat
mempengaruhi keakuratan penyelesaian, salah satunya mengenai
kestabilan algoritma. Sebuah algoritma dikatakan stabil, apabila perubahan
galat kecil yang terjadi dalam data awal memberikan perubahan galat kecil
pada hasil akhir. Sebaliknya, apabila perubahan galat kecil dalam data
awal menghasilkan perubahan galat yang besar pada hasil akhir, algoritma
dikatakan tidak stabil. Gagasan mengenai kondisi dan kestabilan sistem
