M X s=1 ln gs+ns ns +α+βEs δns = 0 (5.14)
Kesamaan di atas harus berlaku untuk semua variasi δns. Ini dijamin jika
bagian di dalam kurung selalu nol, yaitu ln gs+ns ns +α+βEs = 0 atau gs+ns ns = exp (−α−βEs) gs+ns=nsexp (−α−βEs) gs=ns[exp (−α−βEs)−1]
Dan akhirnya didapatkan ungkapan untuk jumlah populasi pada tiap-tiap tingkat energi sebagai berikut
ns=
gs
exp (−α−βEs)−1
(5.15) Ternyata untuk assembli boson, parameter β juga berbentuk β = −1/kT. Dengan demikian, bentuk lengkap fungsi distribusi Bose-Einstein untuk as- sembli boson adalah
ns =
gs
exp (−α+Es/kT)−1 (5.16)
5.4
Parameter
α
untuk Photon dan Phonon
Kita perhatikan untuk parameterαpada persamaan (5.16). Ada satu kekhusu- san untuk assembli foton (kuantisasi gelombang elektromagnetik) dan fonon (kuantisasi getaran atom dalam kristal) dan ini berimplikasi pada nilai pa- rameter α. Dalam suatu kotak, foton bisa diserap atau diciptakan oleh atom-atom yang berada pada dinding kotak (Gbr. 5.2). Akibatnya, jumlah foton dalam satu assembli tidak harus tetap. Jumlah foton bisa bertam- bah, jika atom-atom di dinding memancarkan foton dan bisa berkurang jika atom-atom di dinding menyerap foton. Untuk sistem semacam ini pembat- asan bahwa jumlah total sistem dalam assembli konstan sebenarnya tidak berlaku.
Gambar 5.2: Foton dapat diserap oleh atom-atom pada dinding dan sebaliknya atom-atom pada dinding dapat memproduksi foton. Dengan demikian jumlah foton (sistem) dalam assembli tidak tetap.
Pada penurunan fungsi distribusi Bose-Einstein kita telah mengasum- sikan bahwa jumlah sistem dalam assembli selalu tetap, yaitu δN = 0. Konstrain ini dimasukkan dalam persamaan dengan memperkenalkan faktor pengali Lagrangeα. Oleh karena itu, agar konstrain ini tidak diberlakukan untuk assembli dengan jumlah sistem tidak tetap, seperti foton atau fonon maka nilaiαharus diambil nol. Dengan nilai ini maka fungsi distribusi untuk sistem semacam ini menjadi
ns=
gs
exp (Es/kT)−1
(5.17) Fungsi distribusi yang diungkapkan oleh persamaan (5.17) akan kita pakai secara langsung ketika membahas sifat statistik foton dan fonon (getaran kisi). Aplikasi-aplikasi tersebut akan kita bahas dalam Bab 10.
Soal Latihan
1. Tentukan semua konfigurasi penyusunan yang mungkin untuk tiga bo- son pada tiga tingkat energiE1,E2, dan E3, serta energi yang berkai- tan dengan masing-masing konfigurasi tersebut.
5.4 Parameter α untuk Photon dan Phonon 61
2. Berapa batas jumlah sistem boson yang dapat menempati suatu keadaan? 3. Sebutkan contoh boson dan spin yang dimilikinya
4. Secara umum, fungsi distribusi untuk boson adalahns=gs/{exp[−α−
βEs]−1}. Tetapi, untuk foton, fungsi distribusi adalahns=gs/{exp[−βEs]−
1}. Jelaskan mengapa exp[−α] tidak muncul dalam fungsi distribusi foton?
Bab 6
Statistik Fermi-Dirac
Isi Bab ini. Bab ini berisi perumusan statistik Fermi-Dirac untuk assembli fermion, yaitu partikel kuantum dengan spin merupakan kelipatan ganjil dari ~. Partikel ini memiliki satu sifat khas, yaitu memenuhi prinsip eksklusi
Pauli. Bersadarkan prinsip ini maka tidak ada fermion yang boleh memi- liki sekumpulan bilangan kuantum yang sama. Satu keadaan energi hanya boleh ditempati maksimum oleh dua fermion dengan syarat arah spin harus berlawanan. Contoh partikel fermion adalah elektron, proton, dan positron.
Tujuan Bab ini. Tujuan bab ini adalah mahasiswa memahami bagaimana proses membangun statistik Fermi-Dirac dengan menggunakan prinsip statis- tik murni yang digabungkan dengan prinsip kekekalan dalam fisika seperti kekekalan energi dan jumlah partikel.
Apa yang Perlu Dikuasai Lebih Dahulu. Untuk memahami penu- runan fungsi distribusi Fermi-Dirac mahasiswa perlu memahami prinsip per- mutasi untuk benda-benda yang tidak dapat dibedakan, sifat yang ditun- jukkan oleh sebuah besaran yang nilainya kekal (konstan), serta bagaimana mencari nilai maksimum dari sebuah fungsi. Pemahaman tentang penu- runan distribusi Maxwell-Boltzmann serta Bose-Einstein juga merupakan modal berharga untuk memahami penurunan distribusi Fermi-Dirac secara lebih mudah.
6.1
Konfigurasi Fermion
Kita sudah menurunkan fungsi distribusi untuk sistem kuantum boson yang mempunyai sifat bahwa bilangan kuantum spin merupakan kelipatan bulat dari~. Pada bagian ini kita akan menurunkan fungsi distribusi untuk sistem kuantum fermion dengan bilangan kuantum spin merupakan kelipatan ganjil dari~/2. Salah satu sifat yang dimiliki fermion adalah terpenuhinya prinsip ekslusi Pauli. Tidak boleh lebih dari satu fermion memiliki keadaan kuan- tum yang sama. Satu keadaan hanya boleh kosong atau hanya ditempati oleh satu fermion. Konsekuensi dari prinsip eksklusi Pauli adalah jumlah fermion harus lebih sedikit atau sama dengan jumlah keadaan. Ini berbeda dengan sistem klasik atau boson di mana tidak ada pembatasan jumlah par- tikel yang menempati keadaan tertentu. Berapa pun jumlah keadaan yang tersedia, maka keadaan tersebut dapat menampung partikel klasik maupun boson yang jumlahnya berapa pun. Untuk menurunkan fungsi distribusi Fermi-Dirac kita pun akan memulai dengan membagi keadaan-keadaan atas kelompok-kelompok sebagai berikut:
❼ Kelompok-1 mengandungg1 keadaan dengan energi rata-rataE1
❼ Kelompok-2 mengandungg2 keadaan dengan energi rata-rataE2
.. .
❼ Kelompok-smengandunggs keadaan dengan energi rata-rataEs
.. .
❼ Kelompok-M mengandunggM keadaan dengan energi rata-rataEM
Jumlah sistem yang menempati masing-masing keadaan misalkan
❼ n1 sistem menempati keadaan-1
❼ n2 sistem menempati keadaan-2 .. .
6.1 Konfigurasi Fermion 65
.. .
❼ nM sistem menempati keadaan-M
Karena satu keadaan maksimum menampung satu sistem maka harus ter- penuhi n1 ≤g1, n2≤g2, . . . , ns≤gs, . . . , nM ≤gM
Selanjutnya kita akan menentukan berapa cara menyusunn1 sistem pa-
da g1 keadaan,g2 sistem padag2 keadaan,. . .,nm sistem padagm keadaan.
Tinjau kelompok-1. Di sini adag1keadaan dan menampungn1sistem. Kem- bali kita menganalogikan keadaan sebagai kursi dan sistem sebagai orang yang duduk pada kursi-kursi tersebut, seperti diilustrasikan pada Gbr. 6.1. Untuk menentukan jumlah cara menempatkan orang pada kursi-kursi tersebut, kita tempelkan orang pada kursi-kursi tesebut. Pada satu kursi hanya boleh ditempeli satu orang. Penempelan ini menjamin bahwa tidak boleh lebih dari satu orang berada pada satu kursi. Akibatnya kita dapatkan
❼ Adan1 buah kursi yang ditempeli orang
❼ Adag1−n1 buah kursi yang kosong.
Kemudian kita melakukan permutasi semua kursi yang ada baik yang kosong maupun yang ditempeli orang. Karena orang sudah menempel pa- da kursi maka permutasi tidak memungkinkan munculnya satu kursi yang menampung lebih dari satu orang. Jumlah kursi yang dipermutasi adalah
g1 kursi sehingga menghasilkan jumlah permutasi sebanyakg1! cara. Tetapi,
karena (g1−n1) buah kursi kosong tidak terbedakan dann1 buah kursi yang
ditempeli orang juga tidak dapat dibedakan maka jumah permutasig1 buah kursi harus dibagi dengan permutasi (g1−n1) buah kursi kosong dann1buah
kursi yang ditempeli orang untuk mendapatkan penyusunan yang berbeda. Jadi, jumlah penyusunan yang berbeda hanyalah
g1! (g1−n1)!n1!
(6.1) Dengan cara yang sama kita dapatkan jumlah cara penyusunan n2 sistem padag2 keadaan adalah
g2!
(g2−n2)!n2!
(6.2)
