Operasi pada Bilangan
E. Pembagian Bilangan Cacah
Operasi pembagian (division) dilambangkan dengan notasi “:’ atau “/”
yang dibaca “dibagi” atau “dibagi oleh”. Khusus untuk notasi “/”, sering pula dibaca “per”. Misalnya 12 : 3 dibaca “dua belas dibagi tiga”. Sedangkan 15 dibaca “lima belas dibagi lima” atau “lima belas per lima”. Seperti halnya pada 5
operasi lain, operasi pembagian juga dapat dipelajari dengan banyak cara atau metode. Berikut adalah beberapa di antaranya.
1. Pembagian dengan Kumpulan
Sebagai langkah awal untuk mengenalkan cara menghitung hasil dari suatu pembagian, sebaiknya dilakukan melalui kumpulan atau himpunan dari beberapa benda sejenis yang sederhana. Misalnya kelereng, lidi, permen, buah-buahan, dan sebagainya.
Contoh:
Berapakah hasil dari 12 : 3?
Jawab:
Jika akan digunakan benda-benda sejenis yang sederhana, pembagian tersebut dapat diilustrasikan dalam bentuk cerita. Misalnya Dian memiliki 12 buah apel. Ia akan membagikan semua apelnya kepada 3 orang temannya secara merata. Berapa buah apel yang diterima oleh masing-masing temannya? Perhatikan gambar berikut.
=
Sumber: Dokumentasi penulis
Gambar 3.14 Ilustrasi pembagian menggunakan apel
READING COPY
Dari gambar tersebut, ternyata 12 buah apel dapat dibagi menjadi 3 bagian yang banyaknya sama. Masing-masing bagian terdiri dari 4 buah apel.
Dengan demikian, banyaknya apel yang diterima oleh masing-masing teman Dian adalah 4 buah.
Dari ilustrasi tersebut didapat bahwa 12 : 3 = 4.
2. Pembagian dengan Menggunakan Garis Bilangan
Selain dengan menggunakan benda-benda sejenis yang sederhana, pembagian juga dapat dilakukan dengan menggunakan garis bilangan. Seperti pada perkalian, pada pembagian pun angka 0 tetap dijadikan sebagai patokan.
Untuk lebih jelasnya, silakan perhatikan contoh berikut.
Contoh:
Dengan menggunakan garis bilangan, berapakah hasil dari 8 : 2?
Jawab:
Untuk mengetahui hasil dari 8 : 2, perhatikan angka 8 dan angka 0 pada garis bilangan. Dari angka 8, loncatlah dengan setiap loncatan jaraknya 2 satuan ke arah kiri. Berapa loncatan yang diperlukan sehingga sampai di angka 0?
1
0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Sumber: Dokumentasi penulis
Gambar 3.15 Ilustrasi pembagian pada garis bilangan
Dari gambar di atas, ternyata untuk sampai ke angka 0 diperlukan 4 kali loncatan. Dengan demikian, hasil dari 8 : 2 adalah 4, ditulis 8 : 2 = 4.
3. Pembagian dengan Menggunakan Timbangan
Melakukan operasi pembagian dengan menggunakan timbangan langkahnya mirip dengan saat melakukan perkalian. Hanya saja sekarang prosesnya merupakan kebalikannya.
READING COPY
54 Pembelajaran Matematika untuk Guru SD dan Calon Guru SD
Misalnya akan dicari hasil dari 6 : 2 dengan menggunakan timbangan.
Caranya adalah dengan mengaitkan sebuah beban di mistar kanan. Akibatnya tentu timbangan akan berat ke kanan. Selanjutnya perhatikan angka 2 di mistar kiri. Berapa beban yang harus dikaitkan di sana agar timbangan kembali seimbang? Jika siswa melakukan dengan benar akan diperoleh bahwa diperlukan 3 beban untuk dikaitkan di angka 2 sehingga timbangan menjadi seimbang.
Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa 6 : 2 = 3.
4. Pembagian sebagai Pengurangan Berulang
Jika perkalian adalah penjumlahan berulang, maka pembagian pada dasarnya adalah pengurangan berulang. Perhatikan contoh berikut.
Contoh:
Dengan menggunakan cara pengurangan berulang, berapakah hasil dari 15 : 3?
Jawab:
Pengurangan berulang dilakukan dengan cara mengurangi 15 oleh 3 secara berturut-turut sampai tidak habis atau tidak bisa dikurangi lagi. Banyaknya proses pengurangan yang dilakukan adalah hasil dari pembagian tersebut.
15 – 3 = 12 → pengurangan ke-1 12 – 3 = 9 → pengurangan ke-2 9 – 3 = 6 → pengurangan ke-3 6 – 3 = 3 → pengurangan ke-4 3 – 3 = 0 → pengurangan ke-5
Pada pengurangan ke-5, hasilnya adalah 0, sehingga proses pengurangan dapat dihentikan. Karena proses pengurangan berhenti pada pengurangan ke-5, maka hasil dari 15 : 3 = 5.
Hasil pengurangan terakhir disebut sisa pembagian. Pada contoh di atas, hasil dari pengurangan terakhir adalah 0. Oleh karena itu, dikatakan bahwa sisa 15 : 3 adalah 0. Dengan kata lain, 3 membagi habis 15.
Untuk lebih memahami tentang sisa pembagian, perhatikan contoh berikut.
Contoh:
Dengan menggunakan pengurangan berulang, berapakah hasil dari 13 : 4?
READING COPY
Jawab:
13 – 4 = 9 → pengurangan ke-1 9 – 4 = 5 → pengurangan ke-2 5 – 4 = 1 → pengurangan ke-3
Pada pengurangan ke-3, hasilnya adalah 1 sehingga proses pengurangan dapat dihentikan. Karena proses pengurangan berhenti pada pengurangan ke-3 dengan hasil akhir adalah 1, maka hasil dari 13 : 4 adalah 3 sisa 1. Dengan demikian, 4 tidak membagi habis 13.
Penulisan sisa dalam bentuk desimal akan dipelajari lebih lanjut pada Bab Pecahan.
5. Pembagian sebagai Kebalikan dari Perkalian
Perhatikan gambar berikut.
A B
Sumber: Dokumentasi penulis
Gambar 3.16 Bola Voli
Banyaknya bola pada himpunan A sama dengan banyaknya bola pada himpunan B, yaitu 12. Pada himpunan A, bola dibagi menjadi 3 bagian dengan setiap bagian berisi 4 bola. Sedangkan pada himpunan B, bola dibagi menjadi 4 bagian dengan setiap bagian berisi 3 bola. Dari himpunan A didapat bahwa banyaknya bola adalah 3 x 4 = 12, sedangkan dari himpunan B didapat bahwa banyaknya bola adalah 4 x 3 = 12.
Dari himpunan A, didapat bahwa 12: 3 = 4, sedangkan dari himpunan B didapat bahwa 12 : 4 = 3. Oleh sebab itu, dapat disimpulkan bahwa pembagian merupakan kebalikan dari operasi perkalian. Dengan demikian, mencari hasil dari 15 : 3 = … sama saja dengan mencari bilangan yang jika dikalikan 3 hasilnya adalah 15, yaitu 3 x … = 15. Jawabannya adalah 5.
READING COPY
56 Pembelajaran Matematika untuk Guru SD dan Calon Guru SD
6. Pembagian dengan Menggunakan Tabel Perkalian
Karena pembagian adalah kebalikan dari perkalian, maka hasil dari suatu pembagian dapat dicari juga dengan menggunakan tabel perkalian.
Misalnya hasil dari 42 : 6 adalah 7, karena berdasarkan tabel perkalian, 7 x 6 = 42. Demikian seterusnya.
7. Pembagian dengan 0
Berapakah hasil dari 0 : 2? Berapa pula hasil dari 2 : 0? Untuk menjawabnya, perhatikan uraian berikut.
Hasil dari 0 : 2 adalah bilangan yang jika dikalikan dengan 2 hasilnya adalah 0, yaitu 2 x … = 0. Bilangan yang jika dikalikan dengan bilangan lain hasilnya 0 adalah 0 sehingga 2 x 0 = 0, atau dengan kata lain, 0 : 2 = 0.
Hasil ini berlaku umum, yaitu jika 0 dibagi oleh bilangan berapapun, hasilnya adalah 0.
Lalu bagaimana dengan 2 : 0? Dengan cara yang sama, untuk menentukan hasil dari 2 : 0, kita harus mencari bilangan yang jika dikalikan dengan 0, hasilnya adalah 2. Adakah bilangan itu?
Sebelumnya kita sudah mengetahui bahwa bilangan berapapun jika dikalikan dengan 0 maka hasilnya adalah 0. Tidak mungkin ada bilangan yang jika dikalikan dengan 0 hasilnya adalah 2. Oleh sebab itu, 2 : 0 tidak memiliki penyelesaian. Dengan kata lain, 2 : 0 tidak terdefinisi. Hasil tersebut berlaku umum, yaitu bilangan berapapun (selain 0) jika dibagi dengan 0, maka hasilnya tidak terdefinisi (tidak ada).
8. Pembagian dengan Cara Bersusun Pendek
Pembagian dengan cara bersusun pendek dilakukan jika pembagian melibatkan bilangan yang besar. Pembagian dengan cara ini juga lebih cepat dan praktis dalam menemukan hasil pembagian. Namun, cara ini sebaiknya baru diberikan jika siswa telah memahami konsep pembagian dengan benar.
Langkah-langkah pembagian dengan cara bersusun pendek diperlihatkan pada contoh berikut.
READING COPY
Contoh:
Berapakah hasil dari 1.652 : 7?
Jawab:
Jika perkalian dimulai dari angka yang paling kanan (satuan), maka pembagian dilakukan dari angka yang paling kiri. Dalam hal ini adalah angka ribuan.
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.
• Susun pembagian tersebut secara menurun (ke bawah) seperti berikut.
.... → hasil bagi
3 1428 → bilangan yang akan dibagi
→pembagi
• Angka ribuan adalah 1 yang lebih kecil dari 3. Oleh sebab itu, lakukan pembagian dari angka ratusan, yaitu 14 ratusan. Hasil dari 14 : 3 adalah 4 ratusan dengan sisa 2 ratusan. Angka 4 ratusan ditulis di atas, di tempat hasil bagi, sedangkan sisa 2 ratusan ditulis di bawah.
4 3 1428 12 – 2
• Setelah angka ratusan sekarang angka puluhan, yaitu 22 puluhan. Hasil dari 22 : 3 adalah 7 puluhan dengan sisa 1 puluhan. Angka 7 puluhan ditulis di atas dan sisanya yaitu angka 1 puluhan ditulis di bawah.
3 1428 12 22 21 1 47
• Setelah angka puluhan, sekarang tinggal angka satuan, yaitu 18 satuan.
Hasil dari 18 : 3 adalah 6 satuan dengan sisa 0 satuan. Angka 6 satuan ditulis di atas dan angka 0 (sisa) ditulis di bawah.
READING COPY
58 Pembelajaran Matematika untuk Guru SD dan Calon Guru SD cara menghitung hasil perkalian antara pembagi dengan hasil baginya, yaitu 3 x 476. Jika diperoleh 1.428, artinya jawaban yang didapat sudah benar.
Dari langkah-langkah di atas, didapat bahwa 1.428 : 3 = 476.
9. Operasi Campuran
Sering kali suatu perhitungan melibatkan lebih dari satu operasi. Perhitungan tersebut kadang dituliskan secara langsung, kadang pula dituliskan dengan menggunakan tanda kurung. Pertanyaannya adalah, operasi mana yang harus didahulukan prosesnya?
Aturan untuk menentukan hasil dari suatu perhitungan yang melibatkan lebih dari satu operasi adalah sebagai berikut.
a. Jika dalam suatu perhitungan digunakan tanda kurung, maka operasi di dalam tanda kurung yang harus didahulukan.
b. Jika dalam suatu perhitungan digunakan tanda kurung bertingkat (di dalam tanda kurung ada tanda kurung lagi), maka operasi di dalam tanda kurung yang paling dalam yang harus didahulukan.
c. Jika dalam suatu perhitungan tidak digunakan tanda kurung, maka operasi perkalian atau pembagian yang harus didahulukan. Setelah itu baru operasi penjumlahan atau pengurangan.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.
Contoh:
Hitunglah hasil dari 5 + 4 x 2.
READING COPY
Jawab:
5 + 4 x 2 = 5 + 8 … (operasi perkalian didahulukan)
= 13
Jadi, hasil dari 5 + 4 x 2 = 13.
Hasil yang didapat akan berbeda jika operasi penjumlahan yang didahulukan, yaitu 5 + 4 x 2 = 9 x 2 = 18. Jawaban yang benar dari 5 + 4 x 2 adalah 13, bukan 18.
Contoh:
Hitunglah hasil dari:
a. 3 x 5 + 12 : 4 – 2 b. 5 x (6 – 3) + 2 Jawab:
a. 3 x 5 + 12 : 4 – 2 = 15 + 3 – 2 ….
(operasi perkalian dan pembagian didahulukan)
= 16
b. 5 x (6 – 3) + 2 = 5 x 3 + 2 ….
(operasi di dalam tanda kurung didahulukan)
= 15 + 2 …. (operasi perkalian didahulukan)
= 17
Jadi, 3 x 5 + 12 : 4 – 2 = 16 dan 5 x (6 – 3) + 2 = 17.