Notasi penulisan fungsi
Suatu fungsi yang memetakan x anggota A ke y anggota B dituliskan:
f : x y f : x f(x)
Jadi y = f(x), dibaca f memetakan x anggota A ke y anggota B
Ilustrasi fungsi dari A ke B digambarkan dalam diagram panah berikut ini.
Aktivitas 3. Menghitung nilai Fungsi
Suatu fungsi f dari himpunan A = {3, 5, 7, 9} ke himpunan B = {bilangan cacah}
ditentukan dengan aturan f(x) = x + 2.
Fungsi: f(x) = x + 2 tersebut jika dinyatakan dengan panah:
Gambar 15. Diagram Panah pada fungsi y = f(x) B
A
y
x f
102
Pembelajaran Matematika SMP di LPTK
ALJABAR
Buku Sumber untuk Dosen LPTK
f(x) = x + 2 tersebut jika dinyatakan dengan diagram cartesius:
Gambar 17. Diagram Cartesius pada fungsi f(x) = x+2
103 Pembelajaran Matematika SMP di LPTK
ALJABAR
Buku Sumber untuk Dosen LPTK
Aktivitas 4. Mengenal Sifat-sifat Fungsi
Beberapa sifat dari suatu fungsi dapat dikenal dengan melakukan dan mendiskusikan aktivitas berikut ini.
Perhatikan kedua digram panah berikut ini.
Gambar 18(a) menunjukkan diagram panah fungsi dari himpunan { } ke himpunan { } yang ditentukan oleh relasi “dua kali “. Himpuan A adalah domain, himpunan B kodomain, dan himpunan semua peta yaitu { } adalah daerah hasil fungsi . Gambar 17(b) menunjukkan diagram panah fungsi dari himpunan { } ke himpunan { } yang ditentukan oleh relasi “kelipatan” himpunan C ada;ah domain, himpunan D kodomain, dan himpunan semua peta yaitu { } adalah daerah hasil fungsi .
(a) (b)
Selidikilah:
(1) Apakah dan keduanya merupakan fungsi?
(2) Dapatkah Anda menemukan perbedaan kedua relasi ini?
(3) Apakah pada fungsi tidak ada anggota-anggota himpunan A yang mempunyai peta yang sama di dalam B? Bagaimana dengan fungsi ?
Jika Anda menemukan fungsi, yaitu yang mempunyai sifat bahwa tidak ada anggota himpunan A yang mempunyai peta yang sama di B maka fungsi itu dinamakan “injektif”.
(4) Apakah pada fungsi daerah hasilnya sama dengan kodomainnya? Bagaimana dengan ? 2 ●
Gambar 18. Diagram Panah Dua Relasi Berbeda
104
Pembelajaran Matematika SMP di LPTK
ALJABAR
Buku Sumber untuk Dosen LPTK
Jika Anda menemukan fungsi, yaitu yang mempunyai sifat bahwa daerah hasilnya sama dengan kodomainnya maka fungsi itu dinamakan “surjektif”.
(5) Apakah fungsi memiliki sifat injektif sekaligus surjektif? Bagaimana dengan fungsi ? Jika Anda menemukan fungsi, yaitu yang mempunyai sifat injektif sekaligus surjektif maka fungsi itu dinamakan “bijektif”.
Pembimbingan oleh Dosen
Mahasiswa dapat mendiskusikan di bawah bimbingan dosen bagaimana merumuskan secara formal sifat-sifat fungsi injektif, surjektif, dan bijektif dengan menggunakan notasi-notasi fungsi dan himpunan.
3.3 Melatihkan kemampuan berpikir tingkat tinggi
Melatihkan kemampuan berpikir tingkat tinggi dalam memecahkan masalah yang melibatkan konsep relasi dan fungsi dapat dikembangkan dalam pembelajaran ini.
Untuk itu dapat dirancang masalah-masalah matematika yang melibatkan konsep relasi dan fungsi dan beberapa konsep matematika lainnya yang terkait. Untuk itu beberapa strategi yang disarankan agar mahasiswa memiliki kemampuan mengembangkan masalah-masalah matematika yang melibatkan kemampuan berpikir tingkat tinggi adalah:
1) Buatlah permasalahan non rutin atau soal yang tidak dapat diselesaikan dengan menerapkan secara langsung konsep dan prinsip relasi dan fungsi.
2) Pikirkan bahwa untuk menyelesaikannya membutuhkan kemampuan mengaitkan antar berbagai konsep matematika.
3) Pikirkan pertanyaaan-pertanyaan dalam masalah yang Anda rancang yang penyelesaiannya memerlukan strategi penalaran secara logis dan menghubungkan antar berbagai hal (konsep dan prinsip matematika).
4) Berlatihlah menyelesaikan berbagai masalah matematika, kemudian kembangkan masalah yang sudah Anda selesaikan dengan menggunakan penalaran logis.
5) Pikirkan bahwa masalah yang Anda rancang adalah soal-soal matematika pada level menalar, menganalisis, mensintesis, mengevaluasi, dan membutuhkan kemampuan berpikir kreatif.
105 Pembelajaran Matematika SMP di LPTK
ALJABAR
Buku Sumber untuk Dosen LPTK
Aktivitas 5. Memecahkan Masalah berkaitan Relasi dan Fungsi
Beberapa permasalahan yang melibatkan kemampuan berpikir tingkat tinggi dicontohkan berikut ini. Diskusikan dan selesaikan.
1) Lima orang bersaing dalam kontes melempar anak panah. Setiap orang mempunyai dua anak panah untuk dilemparkan kesasaran bundaran yang sama. Nilai setiap orang adalah jumlah nilai dalam daerah sasaran yang telah dipanah. Skor untuk daerah sasaran adalah bilangan 1 sampai 10. Setiap lemparan mereka mengenai daerah sasaran yang berbeda. Nilainya adalah: Alice 16 poin, Ben 4 poin, Cindy 7 poin, Dave 11 poin, dan Ellen 17 poin. Siapa dari mereka yang mengenai sasaran 6 poin?
2) Enam anak pada daftar berikut berasal dari dua keluarga yang masing-masing tiga orang bersaudara. Setiap anak bermata biru atau coklat, dan berambut hitam atau pirang. Anak dari keluarga yang sama paling sedikit mempunyai satu kesamaan ciri-ciri.
Anak Warna Mata Warna Rambut
Benyamin Biru Hitam
Yang manakah merupakan saudara Jim?
3.4 Assesmen
Berdasarkan alternatif aktivitas pembelajaran yang diuraikan di atas yang diarahkan pada pembentukan pengetahuan faktual, pemahaman konsep, dan pemecahan masalah, maka pencapaian tujuan pembelajaran materi relasi dan fungsi dapat diukur dengan menggunakan indikator pencapaian sebagai berikut:
1) Dapat menyatakan relasi dari dua himpunan.
2) Dapat menyatakan relasi dengan himpunan pasangan terurut.
3) Dapat membedakan suatu relasi yang merupakan fungsi atau bukan fungsi.
4) Dapat menyebutkan domain, kodomain, dan range dari suatu fungsi.
5) Dapat menerapkan prinsip relasi dan fungsi dalam memecahkan masalah matematika.
106
Pembelajaran Matematika SMP di LPTK
ALJABAR
Buku Sumber untuk Dosen LPTK
Pencapaian-pencapaian ini dapat diukur dan dinilai selama pembelajaran melalui observasi, wawancara, dan portofolio. Penilaian produk berbasis kinerja dapat dilakukan diakhir pembelajaran dalam bentuk tes hasil belajar, proyek dan investigasi matematika, dan portofolio,
Apabila satu atau beberapa indikator pencapaian hasil belajar tidak tercapai selama proses dan akhir pembelajaran maka dapat digunakan alternatif aktivitas pembelajaran yang lain dengan merancang konteks permasalahan matematika yang lain yang lebih mudah dipahami.
Evaluasi dan Umpan Balik!
Contoh soal berkaitan materi tentang relasi dan fungsi yang dapat digunakan untuk mengukur ketercapaian tujuan pembelajaran adalah:
1. Diketahui:
A = { Riska, Amir, Deni, Rudi}
B = { Firman, Sita, Edi, Reni, Aisyah}
Jika Riska mempunyai saudara yang bernama Firman dan Sita.
Amir mempunyai saudara yang bernama Edi.
Deni tidak mempunyai saudara.
Rudi mempunyai saudara yang bernama Reni dan Aisyah
(1) Nyatakan relasi bersaudara tersebut di atas dengan diagram venn (diagram panah).
(2) Tuliskan pasangan terurut dari orang-orang yang bersaudara.
2. Diketahui f: R R, dengan f: x
√
(1) Apakah semua bilangan real R mempunyai nilai pada f?
(2) Berpakah nilai f jika x = 2, dan x = -3?
(3) Tuliskan domain, kodomain, dan range dari
Refleksi...!!!
Apabila satu atau beberapa indikator pencapaian hasil belajar tentang relasi dan fungsi tidak tercapai selama proses dan akhir pembelajaran maka dosen dapat merancang alternatif aktivitas pembelajaran yang lain dengan merancang konteks permasalahan matematika yang lain yang lebih mudah dipahami.
107 Pembelajaran Matematika SMP di LPTK
ALJABAR
Buku Sumber untuk Dosen LPTK
4. Persamaan Garis Lurus
Persamaan garis lurus banyak digunakan untuk menaksir suatu nilai dari sebuah peristiwa. Sebagai contoh, seseorang dapat menaksir jarak yang mereka tempuh dengan kecepatan konstant dalam waktu tertentu. Begitupula seseorang mudah memprediksi kecepatan kendaraannya jika akan menenmpuh jarak tertentu dengan waktu tertentu.
Contoh lain di dalam memprediksi biaya produksi, sebuah perusahaan dapat membuat persamaan garis lurus dengan memperhitungkan fixed cost dan biaya produksi perunit untuk menaksir biaya yang harus dikeluarkan untuk memproduksi sejumlah unit barang.
4.1 Kesalahan Pemahaman Konsep
Berdasarkan pengalaman beberapa guru yang terlibat dalam penulisan buku ini, masih ditemukan beberapa bentuk kesalahan konsepsi yang biasa terjadi ketika siswa telah mempelajari materi persamaan garis lurus, yakni antara lain:
1) Kesalahan menentukan gradien atau koefisien arah garis lurus dari berbagai persamaan garis lurus yang diberikan, diantaranya: 3y = 4x – 5, siswa menjawab, gradiennya 4, pada persamaan 3y – 4x + 5 = 0 siswa menyebutkan gradien garisnyanya -4/5. Pada pemahaman lain 4x = 3y – 5, siswa menyebutkan gradiennya ¾ dan 3y = 4x – 5 siswa menjawab, gradiennya juga ¾.
2) Kesalahan menentukan gradien suatu garis lurus yang tegak lurus dengan garis tertentu. Misalnya garis k yang tegak lurus dengan garis l dengan persamaan y = 2x + 3 mempunyai gradien mk = -1 dengan alasan bahwa hubungan gradien kedua garis itu adalah mk.ml = -1.
