Pemrograman Linear

Misalkan menyatakan suatu fungsi dalam variabel-variabel

. adalah suatu fungsi linear jika dan hanya jika untuk himpunan konstanta ,

. (Winston 2004)

Sebagai contoh,

merupakan fungsi linear, sementara

bukan fungsi linear. Suatu persamaan merupakan persamaan linear, apabila f fungsi linear.

Definisi 2 (Pertidaksamaan Linear)

Untuk sembarang fungsi linear

dan sembarang bilangan b, pertidaksamaan dan

dikatakan pertidaksamaan linear.

Misalkan b sembarang bilangan, suatu persamaan merupakan persamaan linear.

(Winston 2004)

Pemrograman Linear (PL) adalah suatu masalah optimasi yang memenuhi ketentuan-ketentuan sebagai berikut.

a) Tujuan masalah tersebut adalah memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi linear dari sejumlah variabel keputusan. Fungsi linear yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan ini disebut fungsi objektif.

b) Nilai variabel-variabel keputusannya harus memenuhi suatu himpunan kendala. Setiap kendala harus berupa

persamaan linear atau pertidaksamaan linear.

c) Variabel keputusan harus taknegatif atau tidak dibatasi tandanya.

(Winston 1995) Suatu PL dikatakan memiliki bentuk standar seperti yang didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 3 (Bentuk Standar PL)

Suatu pemrograman linear dikatakan mempunyai bentuk standar jika berbentuk: minimumkan

terhadap

, (1) dengan x dan c merupakan vektor berukuran n, vektor b berukuran m, sedangkan A

merupakan matriks berukuran m × n. Matriks

A disebut matriks kendala.

(Nash & Sofer 1996) Sebagai catatan, yang dimaksud dengan vektor berukuran n adalah vektor yang memiliki dimensi (ukuran) n× 1.

Definisi 4 (Solusi Optimal)

Solusi optimal terbaik adalah suatu titik dalam daerah fisibel yang menyebabkan nilai fungsi objektif terkecil (dalam masalah minimisasi). Untuk masalah maksimisasi, solusi optimal suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel yang menyebabkan nilai fungsi objektif terbesar.

(Winston 2004)

Solusi Pemrograman Linear

Untuk menyelesaikan suatu masalah PL metode simpleks merupakan salah satu metode yang dapat menghasilkan solusi optimal. Metode ini mulai dikembangkan oleh Dantzig pada tahun 1947. Dalam perkembangannya, metode ini adalah metode yang umum digunakan untuk menyelesaikan masalah PL, yaitu berupa metode iteratif (proses mencari solusi yang dilakukan secara berulang-ulang hingga didapatkan solusi yang diinginkan) untuk menyelesaikan masalah PL berbentuk standar.

Pada masalah PL (1), vektor x yang memenuhi kendala disebut sebagai solusi dari PL (1). Misalkan matriks A

dinyatakan sebagai , dengan B

merupakan matriks taksingular berukuran m × m yang elemennya berupa koefisien variabel basis dan N merupakan matriks yang elemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala. Matriks B disebut matriks basis untuk PL (1).

Misalkan x dapat dinyatakan sebagai vektor dengan adalah vektor variabel basis dan adalah vektor variabel nonbasis, maka dinyatakan sebagai

. (2)

Karena B adalah matriks taksingular, maka B memiliki invers, sehingga dari (2) dapat dinyatakan sebagai : . (3)

Definisi 5 (Solusi Basis) Solusi dari suatu PL disebut solusi basis jika: i. solusi tersebut memenuhi kendala pada PL, ii. kolom-kolom dari matriks koefisien yang berpadanan dengan komponen taknol adalah bebas linear. (Nash & Sofer 1996) Definisi 6 (Solusi Basis Fisibel) Vektor x disebut solusi fisibel basis jika x merupakan solusi basis dan . Salah satu cara menentukan solusi basis fisibel awal adalah dengan membuat .

(Nash & Sofer 1996) Ilustrasi solusi basis dan solusi basis fisibel diberikan dalam Contoh 1. Contoh 1 Misalkan diberikan pemrograman linear berikut: minimumkan

terhadap

. (4)

Dari PL tersebut diperoleh: , . Misalkan dipilih dan ,

maka matriks basisnya adalah .

Dengan menggunakan matriks basis di atas, didapatkan

(5)

.

Solusi (5) merupakan solusi basis, karena memenuhi kendala pada PL (4) dan kolom-kolom pada matriks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dari (5) yaitu B

adalah bebas linear (kolom yang satu bukan merupakan kelipatan dari kolom yang lain). Solusi (5) juga merupakan solusi basis fisibel, karena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol.

Definisi 7 (Daerah Fisibel)

Daerah fisibel untuk suatu PL adalah himpunan semua titik yang memenuhi semua kendala dan pembatasan tanda pada PL tersebut.

(Winston 2004)

2.2 Integer Linear Programming

Model Integer Linear Programming (ILP) atau disebut juga Integer Programming (IP), adalah suatu model pemrograman linear dengan variabel yang digunakan berupa

bilangan bulat (integer). Jika semua variabel harus bilangan bulat, maka masalah tersebut disebut pure integer programming. Jika hanya sebagian yang harus berupa bilangan bulat, maka disebut mixed integer programming. Jika model tersebut hanya mengharuskan nilai nol atau satu untuk variabelnya, dinamakan zero-one integer programming.

(Garfinkel & Nemhauser 1972)

Definisi 9 (Pemrograman Linear Relaksasi)

PL-relaksasi merupakan pemrograman linear yang diperoleh dari suatu IP dengan menghilangkan kendala bilangan bulat atau kendala 0-1 pada setiap variabelnya.

Untuk masalah meminimumkan, nilai fungsi objektif yang optimal di PL-relaksasi lebih kecil atau sama dengan nilai fungsi objektif yang optimal di IP, sedangkan untuk masalah memaksimumkan nilai fungsi objektif yang optimal di PL-relaksasi lebih besar atau sama dengan nilai fungsi objektif yang optimal di IP.

(Winston 2004)

2.3 Metode Branch and Bound

Dalam penulisan karya ilmiah ini, untuk memperoleh solusi optimal dari masalah IP digunakan software LINGO 8.0 yaitu sebuah program yang didesain untuk aplikasi riset operasi dalam membangun dan menentukan solusi model linear, nonlinear dan optimisasi

integer dengan prinsip pemecahannya

berdasarkan metode branch and bound. Keunggulan metode ini terletak pada tingkat efektivitasnya dalam memecahkan masalah dengan hasil yang akurat.

Prinsip dengan metode branch and bound adalah memecah daerah fisibel dari masalah PL-relaksasi dengan membuat subproblem-subproblem. Daerah fisibel pemrograman linear adalah daerah yang memenuhi semua kendala pemrograman linear.

 Branching

Membuat partisi daerah solusi dari masalah PL-relaksasi ke dalam subproblem. Tujuannya untuk menghapus daerah solusi yang takfisibel. Hal ini dapat dicapai dengan menentukan kendala yang penting untuk menghasilkan solusi IP, secara tidak langsung titik integer yang takfisibel terhapus. Dengan kata lain, hasil pengumpulan lengkap dari subproblem-subproblem ini menunjukkan

setiap titik integer yang fisibel dalam masalah asli. Proses ini dinamakan branching.

 Bounding

Misalkan masalah tersebut diasumsikan merupakan tipe maksimisasi, nilai objektif yang optimal untuk setiap subproblem dibuat dengan membatasi pencabangan dengan batas atas dari nilai objektif yang dihubungkan dengan sembarang nilai integer yang fisibel. Hal ini sangat penting untuk mengatur dan menempatkan solusi optimal. Operasi ini yang menjadi alasan dinamakan bounding.

(Taha 1975) Metode branch and bound diawali dengan menyelesaikan LP-relaksasi dari suatu masalah IP. Jika semua nilai variabel keputusan solusi optimal sudah berupa integer, maka solusi tersebut merupakan solusi optimal ILP. Jika tidak, dilakukan pencabangan dan penambahan batasan pada LP-relaksasinya kemudian diselesaikan.

Winston (2004) menyebutkan bahwa nilai fungsi objektif optimal untuk ILP  nilai fungsi objektif optimal untuk LP-relaksasi (masalah maksimisasi), sehingga nilai fungsi objektif optimal LP-relaksasi merupakan batas atas bagi nilai fungsi objektif optimal untuk masalah ILP. Diungkapkan pula oleh Winston (2004) bahwa nilai fungsi objektif optimal untuk suatu kandidat solusi merupakan batas bawah nilai fungsi objektif optimal untuk masalah ILP asalnya. Suatu kandidat solusi didapat jika solusi dari suatu subproblem sudah menemui kendala integer pada masalah ILP, artinya semua variabelnya sudah bernilai integer.

Berikut ini adalah langkah-langkah penyelesaian suatu masalah maksimisasi dengan metode branch and bound.

1. Langkah 0

Didefinisikan z sebagai batas bawah dari nilai fungsi objektif (solusi) ILP yang optimal. Pada awalnya ditetapkan z = -



dan i =0. 2. Langkah 1

Subproblem PL_(i) dipilih sebagai bagian masalah berikutnya untuk dipecahkan, Subproblem PL_(i) diselesaikan dan diukur dengan kondisi yang sesuai.

a. Jika PL_(i) terukur dan solusi PL yang ditemukan lebih baik maka batas bawah z diperbarui. Jika tidak, bagian masalah (subproblem) baru i yang dipilih dan langkah 1 diulangi. Jika semua subproblem telah diteliti maka proses dihentikan.

b. Jika PL(i) tidak terukur, proses dilanjutkan ke langkah 2 untuk melakukan pencabangan PL(i). Menurut Winston (2004), suatu subproblem dikatakan terukur (fathomed) jika terdapat kondisi sebagai berikut.

 Subproblem tersebut takfisibel, sehingga tidak dapat menghasilkan solusi optimal untuk IP.

 Subproblem tersebut menghasilkan suatu solusi optimal dengan semua variabelnya bernilai integer. Jika solusi optimal ini mempunyai nilai fungsi objektif yang lebih baik daripada solusi fisibel yang diperoleh sebelumnya, maka solusi ini menjadi kandidat solusi optimal dan nilai fungsi objektifnya menjadi batas bawah nilai fungsi objektif optimal bagi masalah IP pada saat itu. Bisa jadi subproblem ini menghasilkan solusi optimal untuk masalah IP.

 Nilai fungsi objektif optimal untuk subproblem tersebut tidak melebihi batas bawah saat itu, maka subproblem ini dapat dieliminasi.

3. Langkah 2

Dipilih satu variabel x_j yang nilai optimalnya adalah x_j^* yang tidak memenuhi batasan integer dalam solusi LP_i. Bidang

disingkirkan dengan membuat dua subproblem PL, yaitu

dan , sehingga diperoleh kendala subproblem baru sebagai berikut:

 Subproblem baru 1: kendala subproblem lama + kendala

 Subproblem baru 2 : kendala subproblem lama + kendala

dengan didefinisikan sebagai integer terbesar yang kurang dari satu atau sama

dengan . Selanjutnya kembali ke Langkah 1.

(Taha 1996) Untuk memudahkan pemahaman mengenai metode branch and bound diberikan contoh sebagai berikut.

Contoh 2

Misalkan diberikan pemrograman integer (IP) sebagai berikut: maksimumkan z = 4x₁ + 5x₂, terhadap: 3x₁ + 6x₂ 40, x₁ 10, 3x₂ 15, x₁, x₂ 0 dan integer. (6) Setelah diselesaikan menggunakan

software LINGO 8.0 didapatkan solusi optimal

PL-relaksasi dari masalah IP (6) adalah x₁ = 10, x₂ = 1.66, z = 48.33 (lihat Lampiran 1). Batas atas nilai optimal fungsi objektif masalah IP (6) adalah 48.33. Daerah fisibel PL-relaksasi masalah (6) ditunjukkan pada Gambar 1 (daerah yang diarsir). Solusi optimal berada pada titik perpotongan garis yang berasal dari kendala pertidaksamaan masalah (6).

Gambar 1 Daerah fisibel untuk PL-relaksasi dari IP (6).

Langkah berikutnya adalah memartisi daerah fisibel PL-relaksasi menjadi dua bagian berdasarkan variabel yang berbentuk pecahan (non-integer). Dipilih x₂ sebagai dasar pencabangan. Jika masalah PL-relaksasinya

x1 =10 x2= 1.66 13.33 0 6.66 10 5

diberi nama Subproblem 1, maka pencabangan tersebut menghasilkan 2 Subproblem, yaitu:

 Subproblem 2: Subproblem 1 ditambah kendala x₂ 1;

 Subproblem 3: Subproblem 1 ditambah kendala x₂2;

Hal ini diilustrasikan secara grafis pada Gambar 2.

Gambar 2 Daerah fisibel Subproblem 2 (x₂ 1) dan Subproblem 3 (x₂2).

Setiap titik (solusi) fisibel dari IP (6) termuat dalam daerah fisibel Subproblem 2 atau Subproblem 3. Setiap subproblem ini saling lepas. Subproblem 2 dan Subproblem 3 dikatakan dicabangkan atas x₂.

Sekarang dipilih subproblem yang belum diselesaikan. Misalkan dipilih Subproblem 2, kemudian diselesaikan. Solusi optimal yang didapatkan untuk Subproblem 2 adalah x₁ = 10, x₂ = 1, z = 45 (lihat Lampiran 1). Solusi dari Subproblem 2 semuanya bernilai integer sehingga tidak perlu lagi dilakukan pencabangan pada Subproblem 2. Nilai optimum Subproblem 2 menjadi batas bawah pertama yaitu 45.

Saat ini subproblem yang belum diselesaikan adalah Subproblem 3. Solusi optimal untuk Subproblem 3 adalah x₁ = 9.33, x₂ = 2, z = 47.33 (lihat Lampiran 1). Karena

solusi optimum yang dihasilkan Subproblem 3 bukan solusi integer, maka dipilih pencabangan pada Subproblem 3 atas x₁, sehingga diperoleh dua subproblem lagi, yakni:

 Subproblem 4: Subproblem 3 ditambah kendala x₁≤ 9;

 Subproblem 5: Subproblem 3 ditambah kendala x₁≥ 10;

Subproblem 4 dan Subproblem 5 diselesaikan satu per satu. Subproblem 5 takfisibel (lihat Lampiran1), maka subproblem ini tidak menghasilkan solusi optimum.

Solusi optimal untuk Subproblem 4 adalah x₁ = 9, x₂ = 2.16, z = 46.83 (lihat Lampiran 1). Karena solusi optimum Subproblem 4 bukan solusi integer, maka dipilih pencabangan Subproblem 4 pada x₂, sehingga diperoleh dua subproblem lagi, yaitu:

 Subproblem 6: Subproblem 4 ditambah kendala x₂≤ 2;

 Subproblem 7: Subproblem 4 ditambah kendala x₂≥ 3;

Penyelesaian Subproblem 6 menghasilkan solusi optimum yang berupa integer, dengan x₁ = 9, x₂ = 2, z = 46 (lihat Lampiran 1). Diperoleh kandidat solusi optimum yang baru dari Subproblem 6. Karena nilai z baru pada Subproblem 6 lebih baik daripada nilai z pada Subproblem 2, maka solusi pada Subproblem 6 menjadi batas bawah yang baru. Subproblem 7 menghasilkan solusi optimum x₁ = 7.33, x₂ = 3, z = 44.33 (lihat Lampiran 1). Karena solusi optimum dari Subproblem 7 tidak lebih baik dari batas bawah yang baru, maka tidak perlu dilakukan pencabangan pada Subproblem 7.

Dengan demikian, solusi optimum pada IP (6) adalah solusi optimum dari Subproblem 6, yaitu x₁ = 9, x₂ = 2, z = 46 (lihat Lampiran 1). Pohon pencabangan yang menunjukkan penyelesaian masalah IP (6) secara keseluruhan ditunjukkan pada Gambar 3.

13.33 0 6.66 10 5 1 2

Gambar 3 Seluruh percabangan pada metode Branch and Bound untuk menentukan solusi optimal dari IP (6), dengan t menyatakan urutan penyelesaian subproblem.

III DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH

3.1 Deskripsi Masalah

Tim nasional yang terlibat babak kualifikasi zona Amerika Selatan ialah Brasil, Argentina, Uruguay, Chile, Paraguay, Kolombia, Peru, Bolivia, Venezuela, dan Ekuador. Menurut aturan FIFA negara sebagai tuan rumah Piala Dunia secara otomatis langsung lolos ke putaran final, tanpa melalui babak kualifikasi. Namun, model yang digunakan setiap tim harus bertanding satu kali per pekan, sehingga Brazil tetap diikutsertakan dalam masalah ini.

Tim-tim dibedakan berdasarkan karakteristik yang dimiliki menjadi tim kuat, tim paling populer, tim populer, dan tim tidak populer. Tim yang termasuk ke dalam kategori

tim kuat adalah Brasil, Argentina, Uruguay, dan Chile. Tim paling populer adalah Brasil dan Argentina. Tim populer adalah Argentina, Brasil, Uruguay, dan Chile. Sedangkan tim tidak populer adalah Paraguay, Kolombia, Peru, Bolivia, Venezuela, dan Ekuador.

Untuk menyusun penjadwalan pertandingan sepak bola babak kualifikasi Piala Dunia FIFA 2014 Zona Amerika Selatan diperlukan data tentang kondisi yang menunjukkan bagaimana jadwal yang baru dapat dibuat. Kondisi-kondisi ini difokuskan untuk mempromosikan turnamen, menjaga iklim persaingan dan kesuksesan ekonomi dari suatu penyelenggaraan turnamen. Subproblem 7 ^{Subproblem 6} Subproblem 4 Subproblem 5 Subproblem 3 ^{Subproblem 2} x₂ ≤ 1 x₁ ≥ 10 _x1 ≤ 9 x₂ ≤ 2 x₂ ≥ 3 x₂ ≥ 2 Subproblem 1 x₁ = 10, x₂ = 1.66, z = 48.33 (batas atas)

x₁ = 9.33, x₂ = 2, z = 47.33 x₁ = 10, x₂ = 1, z = 45 (batas bawah ke-1)

Solusi takfisibel x₁ = 9, x₂ = 2.16, z = 46.83

x₁ = 7.33, x₂ = 3, z = 44.33 x₁ = 9, x₂ = 2, z = 46 (batas bawah ke-2) t = 1 t = 2 t = 4 t = 3 t = 5 t = 6

Kondisi-kondisi ini dirumuskan sebagai kendala-kendala pada model yang digunakan.

3.2 Formulasi Masalah

Masalah penjadwalan pertandingan sepak bola babak kualifikasi Piala Dunia FIFA 2014 Zona Amerika Selatan dapat diformulasikan sebagai Integer Linear Programming (ILP). Untuk memudahkan pemahaman terhadap formulasi model matematis yang akan dikembangkan, terlebih dahulu disajikan notasi-notasi matematis yang akan digunakan dalam pengembangan model. Notasi tersebut dikelompokkan menjadi tiga kelompok, yaitu himpunan, parameter, dan variabel keputusan. Ketiga notasi tersebut secara lebih detail dapat dijelaskan sebagai berikut:

a. Himpunan

I himpunan semua tim tuan rumah J himpunan semua tim tamu STR himpunan tim kuat

MPOP himpunan tim paling populer POP himpunan tim populer

NMPOP himpunan tim tidak populer

K himpunan pekan untuk paruh pertama turnamen

b. Parameter

V_ijk bobot untuk mengatur pertandingan klasik yang menjadi prioritas

Dalam model pengoptimuman ini yang menjadi prioritas adalah pertandingan klasik (pertandingan sesama kategori tim kuat dan populer) tidak dijadwalkan pada salah satu dari dua pekan pertama atau dua pekan terakhir dari setiap setengah turnamen. Akibatnya, pertandingan klasik dimainkan di pekan ke-3, 5, dan 7 dari setiap setengah turnamen. Dengan prioritas di atas dapat ditetapkan V_ijk = 0 untuk i, j {Brasil, Argentina, Uruguay, Chile} dan k {3, 5, 7} dan V_ijk 0 untuk i, j, k lainnya. Data lengkap bobot terdapat pada Lampiran.

c. Variabel keputusan

Tujuan utama melakukan penjadwalan adalah menentukan tim tuan rumah dan tim tamu yang diikutsertakan pada setiap pekan dari paruh pertama turnamen dengan meminimumkan banyaknya bobot pertandingan klasik, maka untuk i≠j, fungsi objektif dari permasalahan ini dapat dimodelkan sebagai berikut:

dengan kendala-kendala sebagai berikut: 1. Di setiap paruh kompetisi setiap tim

bertanding satu kali per pekan melawan tim lain.

2. Di setiap paruh kompetisi setiap tim bertanding satu kali melawan tim lain, apakah sebagai tim tuan rumah ataukah tim tamu.

min 0, selainnya Y_ik =

1, jika tim i bertanding sebagai tim tuan rumah pada pekan k dan k+1

1, jika tim i bertanding dengan tim j pada pekan k

0, selainnya X_ijk =

0, selainnya

1, jika tim i bertanding sebagai tim tamu pada pekan k dan k+1

W_ik =

1, jika tim i bertanding sebagai tim tuan rumah pada pekan ke-1 dan tim tamu pada pekan ke-9

0, selainnya Bl_i =

1, jika tim i bertanding sebagai tim tamu pada pekan ke-1 dan tim tuan rumah pada pekan ke-9

0, selainnya Bf_i =

3. Sebanyak-banyaknya setiap tim bertanding dua kali berturut-turut melawan tim lain sebagai tim tuan rumah.

4. Kendala ini membatasi setiap tim yang bertanding melawan tim lain sebagai tim tuan rumah berturut-turut. 5. Sebanyak-banyaknya setiap tim bertanding dua kali berturut-turut melawan tim lain sebagai tim tamu.

6. Kendala ini membatasi setiap tim yang bertanding melawan tim lain sebagai tim tamu berturut-turut. 7. Karena seluruh pertandingan akan dilaksanakan dalam dua putaran, maka keberturutan suatu tim sebagai tim tuan rumah atau tim tamu harus juga diperhitungkan di dua pertandingan pertama atau dua pertandingan terakhir.

8. Pertandingan klasik dipertandingkan pada pekan ke-3, 5, dan 7.

9. Setiap tim tidak bertanding melawan tim kuat dua kali berturut-turut.

10. Kendala ini memaksa setiap tim tidak populer bertanding melawan dua tim paling populer masing-masing sebagai tim tuan rumah dan tim tamu di setiap paruh kompetisi.

11. Kendala ini menjamin setiap tim populer bertanding melawan tim populer lainnya setidaknya sekali sebagai tuan rumah.

IV PENYELESAIAN MASALAH PENJADWALAN BABAK KUALIFIKASI

PIALA DUNIA 2014 ZONA AMERIKA SELATAN

Babak kualifikasi Piala Dunia FIFA 2014 Zona Amerika Selatan melibatkan 10 tim nasional dari 10 negara yang berbeda yang setidaknya memiliki 1 stadion yang digunakan dalam setiap pertandingan. Di samping itu, setiap tim nasional akan bertemu sebanyak dua kali dengan tim nasional lainnya, yaitu satu sebagai tim tuan rumah dan satu sebagai tim

tamu. Banyaknya pertandingan dihitung sebagai 2(n 1) dengan n adalah banyaknya tim yang bertanding dalam kualifikasi ini.

Tim nasional yang terlibat dalam kualifikasi ini memiliki karakteristik yang berbeda. Terdapat empat jenis karakteristik yang dipertimbangkan pada permasalahan ini, yaitu tim kuat, tim paling populer, tim populer,

dan tim tidak populer. Tim yang termasuk ke dalam kategori tim kuat adalah Brasil, Argentina, Uruguay, dan Chile. Tim paling populer adalah Brasil dan Argentina. Tim populer adalah Argentina, Brasil, Uruguay, dan Chile. Sedangkan tim tidak populer adalah Paraguay, Kolombia, Peru, Bolivia, Venezuela, dan Ekuador.

Setiap tim nasional bertanding maksimal sebanyak dua kali berturut-turut, sebagai tim tuan rumah maupun tim tamu serta melawan tim kuat. Setiap tim nasional bertanding sebagai tim tuan rumah atau tim tamu. Pertandingan klasik (pertandingan sesama kategori tim kuat) dimainkan di pekan ke-3, 5, dan 7.

Tabel 1. Daftar tim nasional peserta babak kualifikasi Piala Dunia 2014

Indeks Tim Nama Tim Nama Stadion Kategori Tim

1 Brasil Various National Stadia STR, MPOP, POP 2 Argentina Antonio Vespucio Liberti STR, MPOP, POP 3 Uruguay Estadio Centenario STR, POP 4 Chile Nacional STR, POP 5 Paraguay Defensores del Chaco NMPOP 6 Kolombia El Campin NMPOP 7 Peru Estadio Nacional NMPOP 8 Bolivia Hernando Siles NMPOP 9 Venezuela Monumental de Maturin NMPOP 10 Ekuador Olimpico Atahualpa NMPOP Untuk memformulasikan ILP, kategori

tim didefinisikan pada setiap tim i = 1, 2,…,

10, tim j = 1, 2,…, 10, pekan k = 1, 2,…, 9, kategori tim STR = 1, 2, 3, 4, kategori tim MPOP = 1, 2, kategori tim POP = 1, 2, 3, 4, kategori tim NMPOP = 5, 6,…, 10, sehingga masalahnya dapat diformulasikan dalam ILP berikut:

dengan kendala:

1. Di setiap paruh kompetisi setiap tim bertanding satu kali per pekan melawan tim lain.

Untuk, i = 1, 2,…, 10, j = 1, 2,…, 10, dan k= 1, 2,…,9:

2. Di setiap paruh kompetisi setiap tim bertanding satu kali melawan tim lain, apakah sebagai tim tuan rumah ataukah tim tamu.

Untuk, i= 1, 2,…, 10, j= 1, 2,…, 10, dan k= 1, 2,…, 9:

3. Sebanyak-banyaknya setiap tim bertanding dua kali berturut-turut melawan tim lain sebagai tim tuan rumah. Untuk i= 1, 2,…,10, j= 1, 2,…, 10, dan k= 1, 2,…, 9:

min

4. Kendala ini membatasi setiap tim yang bertanding melawan tim lain sebagai tim tuan rumah berturut-turut. Untuk i= 1, 2,…, 10, dan k= 1, 2,…, 9: 5. Sebanyak-banyaknya setiap tim bertanding dua kali berturut-turut melawan tim lain sebagai tim tamu. Untuk i= 1, 2,…, 10, j= 1, 2,…, 10, dan k= 1, 2,…, 9:

6. Kendala ini membatasi setiap tim yang bertanding melawan tim lain sebagai tim tamu berturut-turut. Untuk i= 1, 2,…, 10, dan k= 1, 2,…, 9: 7. Karena seluruh pertandingan akan dilaksanakan dalam dua putaran, maka keberturutan suatu tim sebagai tim tuan rumah atau tim tamu harus juga diperhitungkan di dua pertandingan pertama atau dua pertandingan terakhir. Untuk i= 1, 2,…, 10, j= 1, 2,…, 10, dan k = 1, 8, 9: 8. Pertandingan klasik dipertandingkan pada pekan ke-3, 5, dan 7. Untuk i= 1, 2,…, 4, j= 1, 2,…, 4, dan k = 3, 5, 7:

9. Setiap tim tidak bertanding melawan tim kuat dua kali berturut-turut. Untuk i= 4, 5,…, 10, j= 1, 2,…, 4, dan k = 1, 2,…, 9:

10. Kendala ini memaksa setiap tim tidak populer bertanding melawan dua tim paling populer masing-masing sebagai tim tuan rumah dan tim tamu di setiap paruh kompetisi. Misalnya Brasil vs Peru, Peru vs Argentina.

Untuk i= 5, 6,…, 10, j= 1, 2,…, 4, dan k = 1, 2,…, 9:

11. Kendala ini menjamin setiap tim populer bertanding melawan tim populer lainnya setidaknya sekali sebagai tuan rumah. Untuk i= 1, 2,…,4, j= 1, 2,…, 4, dan k = 1, 2,…, 9:

Pada uraian tersebut, terlihat bahwa banyak sekali persamaan maupun pertdaksamaan yang harus diselesaikan. Dalam hal ini sulit jika digunakan metode branch and bound secara manual. Masalah di atas selanjutnya diselesaikan dengan menggunakan LINGO 8.0. Detail dari pemodelan tersebut dapat dilihat di Lampiran 2. Total waktu yang dibutuhkan untuk mendapatkan solusi dari proses ini adalah 2 menit 32 detik.

Komputer yang digunakan untuk melakukan proses ini adalah komputer dengan processor intel Core 2 Duo 2.20 GHz dengan kecepatan memori RAM 2940 MB. Hasil komputasi tidak semuanya dicantumkan, karena terlalu banyak. Hasil yang dicantumkan hanya untuk X yang bernilai 1 saja.

Dari hasil yang diperoleh, setiap tim bertanding maksimal sebanyak dua kali berturut-turut, sebagai tim tuan rumah

maupun tim tamu serta melawan tim kuat, pertandingan klasik (pertandingan kategori sesama tim kuat) dimainkan pada pekan ke- 3, 5, dan 7, setiap tim nasional bertanding dan

bertindak sebagai tim tuan rumah atau tim tamu pada setiap pekan. Nilai fungsi objektif yang meminimumkan banyaknya jadwal pertandingan adalah 39.

Tabel 2. Jadwal pertandingan babak kualifikasi Piala Dunia 2014 Pekan ke-1 Pekan ke-2 Pekan ke-3 Argentina vs Venezuela Brasil vs Bolivia Argentina vs Uruguay Uruguay vs Paraguay Uruguay vs Peru Chile vs Brasil Kolombia vs Brasil Paraguay vs Kolombia Kolombia vs Ekuador Peru vs Chile Venezuela vs Chile Bolivia vs Peru Bolivia vs Ekuador Ekuador vs Argentina Venezuela vs Paraguay

Pekan ke-4 Pekan ke-5 Pekan ke-6 Uruguay vs Venezuela Brasil vs Argentina Brasil vs Ekuador