FAIZUL MUBAROK
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Dalam kompetisi sepak bola terdapat perangkat-perangkat yang penting dalam penyelenggaraannya. Salah satunya adalah jadwal pertandingan. Penyusunan jadwal pertandingan harus dilakukan dengan hati-hati dan penuh dengan pertimbangan agar pertandingan sepak bola dapat berjalan dengan lancar.
Babak kualifikasi Piala Dunia FIFA 2014 Zona Amerika Selatan melibatkan 10 tim nasional yang tergabung dalam satu grup dengan setiap negara memiliki satu stadion yang digunakan dalam setiap periode waktu. Tim-tim dalam zona ini dikelompokkan berdasarkan karakteristik yang dimiliki yaitu tim kuat, tim paling populer, tim populer, dan tim tidak populer.
In football competitions, there are some devices that are important in implementation. One of them is the match schedule. Scheduling must be done carefully and with full consideration in order a football game can run properly.
Scheduling of the South American Zone of 2014 FIFA World Cup Qualification involves 10 national teams from 10 different countries that merged into one group with each state has one stadium that is used in each time period. The teams in this zone are grouped based on their characteristics, those are strong teams, most popular teams, popular teams, and unpopular teams.
FAIZUL MUBAROK
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Nama : Faizul Mubarok
NIM : G54062219
Menyetujui,
Mengetahui,
Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, M.S.
NIP 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus :
………..
Pembimbing I,
Dra. Farida Hanum, M.Si.
NIP 19651019 199103 2 002
Pembimbing II,
Alhamdulillahirabbil’alamin, segala puji dan syukur penulis sampaikan kepada Allah SWT atas segala limpahan nikmat, rahmat dan karunia – Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawat beserta salam senantiasa tercurah kepada baginda Rasulullah Muhammad SAW yang syafa`atnya selalu diharapkan di hari akhir kelak.
Penyelesaian karya ilmiah ini tidak terlepas dari bantuan berupa masukan, saran, maupun kritikan berbagai pihak. Sebagai bentuk rasa syukur kepada Allah SWT, penulis ingin menyampaikan terima kasih dan penghargaan kepada:
1. Ibu Dra. Farida Hanum, M.Si selaku dosen pembimbing I atas bimbingan, arahan, waktu dan kesabaran yang telah diberikan kepada penulis selama proses penyusunan skripsi ini,
2. Bapak Dr. Toni Bakhtiar, S.Si, M.Sc selaku dosen pembimbing II atas bimbingan, arahan, waktu dan kesabaran yang telah diberikan kepada penulis selama proses penyusunan skripsi ini, 3. Bapak Dr. Ir. Amril Aman, M.Sc selaku dosen penguji atas saran dan masukannya,
4. Para dosen Departemen Matematika atas ilmu yang telah bapak dan ibu berikan, serta para staf departemen Matematika yang telah membantu penulis dalam urusan administrasi,
5. Ayah Dr. H. Abdul Wahid Hasyim, MA, ibu Dra. Hj. Ida Hamdanah, adik-adik Fajar Prana, Fadel Askary dan Ahmad Fairuz beserta keluarga besar untuk semua do’a, cinta, dan dukungan yang diberikan. Semoga ini menjadi salah satu persembahan terbaik untuk kalian dan ke depan akan menyusul persembahan terbaik lainnya,
6. Puspi Eko Wiranthi, SE yang dengan sabar telah meluangkan waktunya membantu dalam teknis penelitian penulis, serta dukungan, doa, kebersamaan, semangat, dan kritik yang diberikan. Semoga segera menyelesaikan kuliah program magisternya dan melanjutkan ke jenjang program doktor. Ke depannya, saya pun akan mengikuti jejak yang sama,
7. Teman-teman mahasiswa matematika angkatan 43: Arif, Albrian, Apri, Slamet, Andrew, Subro, Dandi, Zulkarnaen, Dwi, Kuntoaji dan teman-teman lainnya atas segenap dukungannya selama penulis menempuh studi di Departemen Matematika IPB,
8. Kakak-kakak mahasiswa matematika angkatan 41 dan 42 serta adik-adik mahasiswa matematika angkatan 44 dan 45 yang tidak bisa disebutkan satu per satu,
9. Keluarga PPSDM BEM FMIPA Kabinet Ksatria Pembaharu 2008/2009, PSDM BEM KM Kabinet Generasi Inspirasi 2009/2010 dan teman-teman seperjuangan lainnya BEM KM Kabinet Totalitas Perjuangan 2008-2009, FOSMA ESQ 165 untuk semangat, dukungan, kebersamaan, persahabatan, doa, dan kenangan yang diberikan,
10. Teman – teman Al Izzer`s, kakak kelas Syamsu Rizal, SP, Afid Khotami, S.Pi, teman seangkatan Satrio Ardi S.Pt, Herman Siregar, STP, Zenal Asikin, SE, M. Iman Damara, SE, Haryadi, S.Si, Maulana Ishak, Wahyu Hendana, Wirudy dan adik-adik kelas serta pihak-pihak lain yang telah membantu penyusunan skripsi ini, yang tidak dapat disebutkan satu per satu atas dukungan, nasihat dan bantuan kepada penulis selama ini.
Penulis berharap semoga karya ilmiah ini nantinya akan bermanfaat untuk berbagai pihak dengan berbagai cara. Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penyusunan karya ilmiah ini. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun sangat diharapkan dalam perbaikan atau kelanjutan karya ilmiah ini.
Bogor, Desember 2011
Hamdanah. Penulis menyelesaikan pendidikan taman kanak-kanak di TK. Islam Al Ghifary lulus pada tahun 1994, pendidikan dasar di Madrasah Ibtidaiyah Pembangunan UIN Jakarta lulus pada tahun 2000, pendidikan lanjutan menengah pertama di Madrasah Tsanawiyah Pembangunan UIN Jakarta lulus pada tahun 2003, dan pendidikan menengah atas di SMA Negeri 47 Jakarta lulus pada tahun 2006.
vii
I PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Tujuan... 1
II LANDASAN TEORI ... 2
2.1 Pemrograman Linear ... 2
2.2 Integer Linear Programming ... 3
2.3 Metode Branch and Bound ... 4
III DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH ... 7
3.1 Deskripsi Masalah ... 7
3.2 Formulasi Masalah ... 8
IV PENYELESAIAN MASALAH PENJADWALAN BABAK KUALIFIKASI PIALA DUNIA 2014 ZONA AMERIKA SELATAN ... 9
V SIMPULAN DAN SARAN ... 12
5.1 Simpulan ... 12
5.2 Saran ... 13
DAFTAR PUSTAKA ... 13
viii 1 Daerah fisibel untuk PL-relaksasi dari IP (6) ... 5 2 Daerah fisibel Subproblem 2 (x2 1) dan Subproblem 3 (x2 2) ... 6
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pada tahun 206 SM, pada masa pemerintahan Dinasti Tsin dan Han, masyarakat Cina telah memainkan bola yang disebut tsu chu. Tsusendiri artinya “menerjang bola dengan kaki”. sedangkan chu, berarti
“bola dari kulit dan ada isinya”. Permainan
bola saat itu menggunakan bola yang terbuat dari kulit binatang, dengan aturan menendang, menggiring dan memasukkanya ke sebuah jaring yang dibentangkan diantara dua tiang.
Versi sejarah kuno tentang sepak bola yang lain datangnya dari negeri Jepang. Dikatakan bahwa sejak abad ke-8, masyarakat Jepang telah mengenal permainan bola, yang disebut dengan kemari. Sedangkan bola yang dipergunakan adalah kulit kijang, yang di tengahnya sudah berlubang dan berisi udara.
Bill Muray, salah seorang sejarawan sepak bola, dalam bukunya The World’s
Game: A History of Soccer, menyatakan
bahwa permainan sepak bola sudah dikenal sejak awal masehi. Pada saat itu, masyarakat Mesir Kuno sudah mengenal teknik membawa dan menendang bola yang terbuat dari buntalan kain linen. Sedangkan dalam sejarah yang lain, khususnya Yunani Purba juga sudah mengenal sebuah permainan yang disebut episcuro, yang tidak lain adalah permainan menggunakan bola. Bukti sejarah ini tergambar pada relief-relief museum yang melukiskan anak muda memegang bola dan memainkannya dengan pahanya.
Piala Dunia adalah kompetisi antarnegara dalam dunia sepak bola internasional yang diselenggarakan oleh Federation
Internationale de Football Association.
(FIFA). Babak final turnamen ini diikuti oleh tim yang lolos kualifikasi di berbagai zona. Piala Dunia diselenggarakan setiap empat
tahun sekali. Lebih dari 160 tim nasional setiap negara bertanding dalam turnamen kualifikasi regional untuk meraih tempat dalam babak final. Babak final melibatkan 32 tim nasional (peningkatan sejak tahun 1998) yang berkompetisi selama 4 minggu di negara tuan rumah.
Dalam kompetisi sepak bola terdapat perangkat-perangkat penting dalam penyelenggaraannya, salah satunya adalah jadwal pertandingan. Penyusunan jadwal pertandingan harus dilakukan dengan hati-hati dan penuh dengan pertimbangan agar pertandingan sepak bola dapat berjalan dengan lancar.
Masalah penjadwalan sepak bola dapat diselesaikan dengan beberapa cara. Salah satu caranya adalah dengan memodelkan masalah penjadwalan pertandingan sepak bola sebagai suatu masalah Integer Linear Programming (ILP). ILP adalah masalah optimisasi dengan fungsi objektif dan kendala yang linear serta variabel integer.
Sumber utama karya ilmiah ini ialah tulisan Fiallos et al. (2010) yang berjudul
“Scheduling Soccer League of Honduras using
Integer Programming”. Karya ilmiah ini akan membahas bagaimana memformulasikan dan menyelesaikan masalah penjadwalan pertandingan dalam bentuk ILP dengan mengambil contoh kasus babak kualifikasi Piala Dunia FIFA 2014 Zona Amerika Selatan dengan menggunakan bantuan software LINGO 8.0.
1.2 Tujuan
II LANDASAN TEORI
Pada pembuatan model penjadwalan pertandingan sepak bola babak kualifikasi Piala Dunia FIFA 2014 Zona Amerika Selatan, diperlukan pemahaman beberapa teori yang digunakan di dalam penyelesaiannya, di antaranya teori Pemrograman Linear (PL),
Integer Linear Programming (ILP), dan
metode Branch and Bound untuk menyelesaikan masalah Integer Programming. Berikut ini akan dibahas satu per satu.
2.1 Pemrograman Linear
Definisi 1 (Fungsi Linear)
Misalkan menyatakan suatu fungsi dalam variabel-variabel
. adalah suatu fungsi linear jika dan hanya jika untuk himpunan konstanta ,
. (Winston 2004)
Sebagai contoh, merupakan fungsi linear, sementara
bukan fungsi linear. Suatu persamaan merupakan persamaan linear, apabila f fungsi linear.
Definisi 2 (Pertidaksamaan Linear)
Untuk sembarang fungsi linear
dan sembarang bilangan b, pertidaksamaan dan
dikatakan pertidaksamaan linear.
Misalkan b sembarang bilangan, suatu persamaan merupakan persamaan linear.
(Winston 2004)
Pemrograman Linear (PL) adalah suatu masalah optimasi yang memenuhi ketentuan-ketentuan sebagai berikut.
a) Tujuan masalah tersebut adalah memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi linear dari sejumlah variabel keputusan. Fungsi linear yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan ini disebut fungsi objektif.
b) Nilai variabel-variabel keputusannya harus memenuhi suatu himpunan kendala. Setiap kendala harus berupa
persamaan linear atau pertidaksamaan linear.
c) Variabel keputusan harus taknegatif atau tidak dibatasi tandanya.
(Winston 1995)
Suatu PL dikatakan memiliki bentuk standar seperti yang didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 3 (Bentuk Standar PL)
Suatu pemrograman linear dikatakan mempunyai bentuk standar jika berbentuk:
minimumkan
terhadap
, (1)
dengan x dan c merupakan vektor berukuran n, vektor b berukuran m, sedangkan A
merupakan matriks berukuran m × n. Matriks
A disebut matriks kendala.
(Nash & Sofer 1996) Sebagai catatan, yang dimaksud dengan vektor berukuran n adalah vektor yang memiliki dimensi (ukuran) n× 1.
Definisi 4 (Solusi Optimal)
Solusi optimal terbaik adalah suatu titik dalam daerah fisibel yang menyebabkan nilai fungsi objektif terkecil (dalam masalah minimisasi). Untuk masalah maksimisasi, solusi optimal suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel yang menyebabkan nilai fungsi objektif terbesar.
(Winston 2004)
Solusi Pemrograman Linear
Pada masalah PL (1), vektor x yang memenuhi kendala disebut sebagai solusi dari PL (1). Misalkan matriks A
dinyatakan sebagai , dengan B
merupakan matriks taksingular berukuran m × m yang elemennya berupa koefisien variabel basis dan N merupakan matriks yang elemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala. Matriks B disebut matriks basis untuk PL (1).
Misalkan x dapat dinyatakan sebagai vektor dengan adalah vektor variabel basis dan adalah vektor variabel nonbasis, maka dinyatakan sebagai
. (2) Karena B adalah matriks taksingular, maka B
memiliki invers, sehingga dari (2) dapat dinyatakan sebagai :
. (3) Definisi 5 (Solusi Basis)
Solusi dari suatu PL disebut solusi basis jika:
i. solusi tersebut memenuhi kendala pada PL,
ii. kolom-kolom dari matriks koefisien yang berpadanan dengan komponen taknol adalah bebas linear.
(Nash & Sofer 1996)
Definisi 6 (Solusi Basis Fisibel)
Vektor x disebut solusi fisibel basis jika x merupakan solusi basis dan . Salah satu cara menentukan solusi basis fisibel awal adalah dengan membuat .
(Nash & Sofer 1996)
Ilustrasi solusi basis dan solusi basis fisibel diberikan dalam Contoh 1.
Contoh 1
Misalkan diberikan pemrograman linear berikut:
minimumkan
terhadap
. (4)
Dari PL tersebut diperoleh:
, . Misalkan dipilih
dan , maka matriks basisnya adalah
. Dengan menggunakan matriks basis di atas, didapatkan
(5) .
Solusi (5) merupakan solusi basis, karena memenuhi kendala pada PL (4) dan kolom-kolom pada matriks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dari (5) yaitu B
adalah bebas linear (kolom yang satu bukan merupakan kelipatan dari kolom yang lain). Solusi (5) juga merupakan solusi basis fisibel, karena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol.
Definisi 7 (Daerah Fisibel)
Daerah fisibel untuk suatu PL adalah himpunan semua titik yang memenuhi semua kendala dan pembatasan tanda pada PL tersebut.
(Winston 2004)
2.2 Integer Linear Programming
bilangan bulat (integer). Jika semua variabel harus bilangan bulat, maka masalah tersebut disebut pure integer programming. Jika hanya sebagian yang harus berupa bilangan bulat, maka disebut mixed integer programming. Jika model tersebut hanya mengharuskan nilai nol atau satu untuk variabelnya, dinamakan zero-one integer programming.
(Garfinkel & Nemhauser 1972)
Definisi 9 (Pemrograman Linear Relaksasi)
PL-relaksasi merupakan pemrograman linear yang diperoleh dari suatu IP dengan menghilangkan kendala bilangan bulat atau kendala 0-1 pada setiap variabelnya.
Untuk masalah meminimumkan, nilai fungsi objektif yang optimal di PL-relaksasi lebih kecil atau sama dengan nilai fungsi objektif yang optimal di IP, sedangkan untuk masalah memaksimumkan nilai fungsi objektif yang optimal di PL-relaksasi lebih besar atau sama dengan nilai fungsi objektif yang optimal di IP.
(Winston 2004)
2.3 Metode Branch and Bound
Dalam penulisan karya ilmiah ini, untuk memperoleh solusi optimal dari masalah IP digunakan software LINGO 8.0 yaitu sebuah program yang didesain untuk aplikasi riset operasi dalam membangun dan menentukan solusi model linear, nonlinear dan optimisasi
integer dengan prinsip pemecahannya
berdasarkan metode branch and bound. Keunggulan metode ini terletak pada tingkat efektivitasnya dalam memecahkan masalah dengan hasil yang akurat.
Prinsip dengan metode branch and bound adalah memecah daerah fisibel dari masalah PL-relaksasi dengan membuat subproblem-subproblem. Daerah fisibel pemrograman linear adalah daerah yang memenuhi semua kendala pemrograman linear.
Branching
Membuat partisi daerah solusi dari masalah PL-relaksasi ke dalam subproblem. Tujuannya untuk menghapus daerah solusi yang takfisibel. Hal ini dapat dicapai dengan menentukan kendala yang penting untuk menghasilkan solusi IP, secara tidak langsung titik integer yang takfisibel terhapus. Dengan kata lain, hasil pengumpulan lengkap dari subproblem-subproblem ini menunjukkan
setiap titik integer yang fisibel dalam masalah asli. Proses ini dinamakan branching.
Bounding
Misalkan masalah tersebut diasumsikan merupakan tipe maksimisasi, nilai objektif yang optimal untuk setiap subproblem dibuat dengan membatasi pencabangan dengan batas atas dari nilai objektif yang dihubungkan dengan sembarang nilai integer yang fisibel. Hal ini sangat penting untuk mengatur dan menempatkan solusi optimal. Operasi ini yang menjadi alasan dinamakan bounding.
(Taha 1975)
Metode branch and bound diawali dengan menyelesaikan LP-relaksasi dari suatu masalah IP. Jika semua nilai variabel keputusan solusi optimal sudah berupa integer, maka solusi tersebut merupakan solusi optimal ILP. Jika tidak, dilakukan pencabangan dan penambahan batasan pada LP-relaksasinya kemudian diselesaikan.
Winston (2004) menyebutkan bahwa nilai fungsi objektif optimal untuk ILP nilai fungsi objektif optimal untuk LP-relaksasi (masalah maksimisasi), sehingga nilai fungsi objektif optimal LP-relaksasi merupakan batas atas bagi nilai fungsi objektif optimal untuk masalah ILP. Diungkapkan pula oleh Winston (2004) bahwa nilai fungsi objektif optimal untuk suatu kandidat solusi merupakan batas bawah nilai fungsi objektif optimal untuk masalah ILP asalnya. Suatu kandidat solusi didapat jika solusi dari suatu subproblem sudah menemui kendala integer pada masalah ILP, artinya semua variabelnya sudah bernilai integer.
Berikut ini adalah langkah-langkah penyelesaian suatu masalah maksimisasi dengan metode branch and bound.
1. Langkah 0
Didefinisikan z sebagai batas bawah dari nilai fungsi objektif (solusi) ILP yang optimal. Pada awalnya ditetapkan z = -
dan i =0.2. Langkah 1
a. Jika PL(i) terukur dan solusi PL yang ditemukan lebih baik maka batas bawah z diperbarui. Jika tidak, bagian masalah (subproblem) baru i yang dipilih dan langkah 1 diulangi. Jika semua subproblem telah diteliti maka proses dihentikan.
b. Jika PL(i) tidak terukur, proses dilanjutkan ke langkah 2 untuk melakukan pencabangan PL(i).
Menurut Winston (2004), suatu subproblem dikatakan terukur (fathomed) jika terdapat kondisi sebagai berikut.
Subproblem tersebut takfisibel, sehingga tidak dapat menghasilkan solusi optimal untuk IP.
Subproblem tersebut menghasilkan suatu solusi optimal dengan semua variabelnya bernilai integer. Jika solusi optimal ini mempunyai nilai fungsi objektif yang lebih baik daripada solusi fisibel yang diperoleh sebelumnya, maka solusi ini menjadi kandidat solusi optimal dan nilai fungsi objektifnya menjadi batas bawah nilai fungsi objektif optimal bagi masalah IP pada saat itu. Bisa jadi subproblem ini menghasilkan solusi optimal untuk masalah IP.
Nilai fungsi objektif optimal untuk subproblem tersebut tidak melebihi batas bawah saat itu, maka subproblem ini dapat dieliminasi.
3. Langkah 2
Dipilih satu variabel xj yang nilai optimalnya adalah xj* yang tidak memenuhi batasan integer dalam solusi LPi. Bidang
disingkirkan dengan membuat dua subproblem PL, yaitu dan , sehingga diperoleh kendala subproblem baru sebagai berikut:
Subproblem baru 1: kendala subproblem lama + kendala
Subproblem baru 2 : kendala subproblem lama + kendala
dengan didefinisikan sebagai integer terbesar yang kurang dari satu atau sama
dengan . Selanjutnya kembali ke Langkah 1.
(Taha 1996) Untuk memudahkan pemahaman mengenai metode branch and bound diberikan contoh sebagai berikut.
Contoh 2
Misalkan diberikan pemrograman integer (IP) sebagai berikut:
maksimumkan z = 4x1 + 5x2, terhadap: 3x1 + 6x2 40, x1 10,
3x2 15,
x1, x2 0 dan integer. (6) Setelah diselesaikan menggunakan
software LINGO 8.0 didapatkan solusi optimal
PL-relaksasi dari masalah IP (6) adalah x1 = 10, x2 = 1.66, z = 48.33 (lihat Lampiran 1). Batas atas nilai optimal fungsi objektif masalah IP (6) adalah 48.33. Daerah fisibel PL-relaksasi masalah (6) ditunjukkan pada Gambar 1 (daerah yang diarsir). Solusi optimal berada pada titik perpotongan garis yang berasal dari kendala pertidaksamaan masalah (6).
Gambar 1 Daerah fisibel untuk PL-relaksasi dari IP (6).
Langkah berikutnya adalah memartisi daerah fisibel PL-relaksasi menjadi dua bagian berdasarkan variabel yang berbentuk pecahan (non-integer). Dipilih x2 sebagai dasar pencabangan. Jika masalah PL-relaksasinya
x1 =10 x2= 1.66
13.33 0
6.66
[image:14.612.328.529.437.590.2]diberi nama Subproblem 1, maka pencabangan tersebut menghasilkan 2 Subproblem, yaitu:
Subproblem 2: Subproblem 1 ditambah kendala x2 1;
Subproblem 3: Subproblem 1 ditambah kendala x22;
Hal ini diilustrasikan secara grafis pada Gambar 2.
Gambar 2 Daerah fisibel Subproblem 2 (x2 1) dan Subproblem 3 (x22).
Setiap titik (solusi) fisibel dari IP (6) termuat dalam daerah fisibel Subproblem 2 atau Subproblem 3. Setiap subproblem ini saling lepas. Subproblem 2 dan Subproblem 3 dikatakan dicabangkan atas x2.
Sekarang dipilih subproblem yang belum diselesaikan. Misalkan dipilih Subproblem 2, kemudian diselesaikan. Solusi optimal yang didapatkan untuk Subproblem 2 adalah x1 = 10, x2 = 1, z = 45 (lihat Lampiran 1). Solusi dari Subproblem 2 semuanya bernilai integer sehingga tidak perlu lagi dilakukan pencabangan pada Subproblem 2. Nilai optimum Subproblem 2 menjadi batas bawah pertama yaitu 45.
Saat ini subproblem yang belum diselesaikan adalah Subproblem 3. Solusi optimal untuk Subproblem 3 adalah x1 = 9.33, x2 = 2, z = 47.33 (lihat Lampiran 1). Karena
solusi optimum yang dihasilkan Subproblem 3 bukan solusi integer, maka dipilih pencabangan pada Subproblem 3 atas x1, sehingga diperoleh dua subproblem lagi, yakni:
Subproblem 4: Subproblem 3 ditambah kendala x1≤ 9;
Subproblem 5: Subproblem 3 ditambah kendala x1≥ 10;
Subproblem 4 dan Subproblem 5 diselesaikan satu per satu. Subproblem 5 takfisibel (lihat Lampiran1), maka subproblem ini tidak menghasilkan solusi optimum.
Solusi optimal untuk Subproblem 4 adalah x1 = 9, x2 = 2.16, z = 46.83 (lihat Lampiran 1). Karena solusi optimum Subproblem 4 bukan solusi integer, maka dipilih pencabangan Subproblem 4 pada x2, sehingga diperoleh dua subproblem lagi, yaitu:
Subproblem 6: Subproblem 4 ditambah kendala x2≤ 2;
Subproblem 7: Subproblem 4 ditambah kendala x2≥ 3;
Penyelesaian Subproblem 6 menghasilkan solusi optimum yang berupa integer, dengan x1 = 9, x2 = 2, z = 46 (lihat Lampiran 1). Diperoleh kandidat solusi optimum yang baru dari Subproblem 6. Karena nilai z baru pada Subproblem 6 lebih baik daripada nilai z pada Subproblem 2, maka solusi pada Subproblem 6 menjadi batas bawah yang baru. Subproblem 7 menghasilkan solusi optimum x1 = 7.33, x2 = 3, z = 44.33 (lihat Lampiran 1). Karena solusi optimum dari Subproblem 7 tidak lebih baik dari batas bawah yang baru, maka tidak perlu dilakukan pencabangan pada Subproblem 7.
Dengan demikian, solusi optimum pada IP (6) adalah solusi optimum dari Subproblem 6, yaitu x1 = 9, x2 = 2, z = 46 (lihat Lampiran 1). Pohon pencabangan yang menunjukkan penyelesaian masalah IP (6) secara keseluruhan ditunjukkan pada Gambar 3.
[image:16.612.105.530.103.443.2]
Gambar 3 Seluruh percabangan pada metode Branch and Bound untuk menentukan solusi optimal dari IP (6), dengan t menyatakan urutan penyelesaian subproblem.
III DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH
3.1 Deskripsi Masalah
Tim nasional yang terlibat babak kualifikasi zona Amerika Selatan ialah Brasil, Argentina, Uruguay, Chile, Paraguay, Kolombia, Peru, Bolivia, Venezuela, dan Ekuador. Menurut aturan FIFA negara sebagai tuan rumah Piala Dunia secara otomatis langsung lolos ke putaran final, tanpa melalui babak kualifikasi. Namun, model yang digunakan setiap tim harus bertanding satu kali per pekan, sehingga Brazil tetap diikutsertakan dalam masalah ini.
Tim-tim dibedakan berdasarkan karakteristik yang dimiliki menjadi tim kuat, tim paling populer, tim populer, dan tim tidak populer. Tim yang termasuk ke dalam kategori
tim kuat adalah Brasil, Argentina, Uruguay, dan Chile. Tim paling populer adalah Brasil dan Argentina. Tim populer adalah Argentina, Brasil, Uruguay, dan Chile. Sedangkan tim tidak populer adalah Paraguay, Kolombia, Peru, Bolivia, Venezuela, dan Ekuador.
Untuk menyusun penjadwalan pertandingan sepak bola babak kualifikasi Piala Dunia FIFA 2014 Zona Amerika Selatan diperlukan data tentang kondisi yang menunjukkan bagaimana jadwal yang baru dapat dibuat. Kondisi-kondisi ini difokuskan untuk mempromosikan turnamen, menjaga iklim persaingan dan kesuksesan ekonomi dari suatu penyelenggaraan turnamen. Subproblem 7 Subproblem 6
Subproblem 4 Subproblem 5
Subproblem 3 Subproblem 2 x2 ≤ 1
x1 ≥ 10 x1 ≤ 9
x2 ≤ 2 x2 ≥ 3
x2 ≥ 2
Subproblem 1
x1 = 10, x2 = 1.66, z = 48.33 (batas atas)
x1 = 9.33, x2 = 2, z = 47.33 x1 = 10, x2 = 1, z = 45 (batas bawah ke-1)
Solusi takfisibel x1 = 9, x2 = 2.16, z = 46.83
x1 = 7.33, x2 = 3, z = 44.33 x1 = 9, x2 = 2, z = 46 (batas bawah ke-2) t = 1
t = 2
t = 4 t = 3
Kondisi-kondisi ini dirumuskan sebagai kendala-kendala pada model yang digunakan.
3.2 Formulasi Masalah
Masalah penjadwalan pertandingan sepak bola babak kualifikasi Piala Dunia FIFA 2014 Zona Amerika Selatan dapat diformulasikan sebagai Integer Linear Programming (ILP). Untuk memudahkan pemahaman terhadap formulasi model matematis yang akan dikembangkan, terlebih dahulu disajikan notasi-notasi matematis yang akan digunakan dalam pengembangan model. Notasi tersebut dikelompokkan menjadi tiga kelompok, yaitu himpunan, parameter, dan variabel keputusan. Ketiga notasi tersebut secara lebih detail dapat dijelaskan sebagai berikut:
a. Himpunan
I himpunan semua tim tuan rumah J himpunan semua tim tamu STR himpunan tim kuat
MPOP himpunan tim paling populer POP himpunan tim populer
NMPOP himpunan tim tidak populer
K himpunan pekan untuk paruh pertama turnamen
b. Parameter
Vijk bobot untuk mengatur pertandingan klasik yang menjadi prioritas
Dalam model pengoptimuman ini yang menjadi prioritas adalah pertandingan klasik (pertandingan sesama kategori tim kuat dan populer) tidak dijadwalkan pada salah satu dari dua pekan pertama atau dua pekan terakhir dari setiap setengah turnamen. Akibatnya, pertandingan klasik dimainkan di pekan ke-3, 5, dan 7 dari setiap setengah turnamen. Dengan prioritas di atas dapat ditetapkan Vijk = 0 untuk i, j {Brasil, Argentina, Uruguay, Chile} dan k {3, 5, 7} dan Vijk 0 untuk i, j, k lainnya. Data lengkap bobot terdapat pada Lampiran.
c. Variabel keputusan
Tujuan utama melakukan penjadwalan adalah menentukan tim tuan rumah dan tim tamu yang diikutsertakan pada setiap pekan dari paruh pertama turnamen dengan meminimumkan banyaknya bobot pertandingan klasik, maka untuk i≠j, fungsi objektif dari permasalahan ini dapat dimodelkan sebagai berikut:
dengan kendala-kendala sebagai berikut:
1. Di setiap paruh kompetisi setiap tim bertanding satu kali per pekan melawan tim lain.
2. Di setiap paruh kompetisi setiap tim bertanding satu kali melawan tim lain, apakah sebagai tim tuan rumah ataukah tim tamu.
min
0, selainnya Yik =
1, jika tim i bertanding sebagai tim tuan rumah pada pekan k dan k+1
1, jika tim i bertanding dengan tim j pada pekan k
0, selainnya Xijk =
0, selainnya
1, jika tim i bertanding sebagai tim tamu pada pekan k dan k+1
Wik =
1, jika tim i bertanding sebagai tim tuan rumah pada pekan ke-1 dan tim tamu pada pekan ke-9
0, selainnya Bli =
1, jika tim i bertanding sebagai tim tamu pada pekan ke-1 dan tim tuan rumah pada pekan ke-9
3. Sebanyak-banyaknya setiap tim bertanding dua kali berturut-turut melawan tim lain sebagai tim tuan rumah.
4. Kendala ini membatasi setiap tim yang bertanding melawan tim lain sebagai tim tuan rumah berturut-turut.
5. Sebanyak-banyaknya setiap tim bertanding dua kali berturut-turut melawan tim lain sebagai tim tamu.
6. Kendala ini membatasi setiap tim yang bertanding melawan tim lain sebagai tim tamu berturut-turut.
7. Karena seluruh pertandingan akan dilaksanakan dalam dua putaran, maka keberturutan suatu tim sebagai tim tuan rumah atau tim tamu harus juga diperhitungkan di dua pertandingan pertama atau dua pertandingan terakhir.
8. Pertandingan klasik dipertandingkan pada pekan ke-3, 5, dan 7.
9. Setiap tim tidak bertanding melawan tim kuat dua kali berturut-turut.
10. Kendala ini memaksa setiap tim tidak populer bertanding melawan dua tim paling populer masing-masing sebagai tim tuan rumah dan tim tamu di setiap paruh kompetisi.
11. Kendala ini menjamin setiap tim populer bertanding melawan tim populer lainnya setidaknya sekali sebagai tuan rumah.
IV PENYELESAIAN MASALAH PENJADWALAN BABAK KUALIFIKASI
PIALA DUNIA 2014 ZONA AMERIKA SELATAN
Babak kualifikasi Piala Dunia FIFA 2014 Zona Amerika Selatan melibatkan 10 tim nasional dari 10 negara yang berbeda yang setidaknya memiliki 1 stadion yang digunakan dalam setiap pertandingan. Di samping itu, setiap tim nasional akan bertemu sebanyak dua kali dengan tim nasional lainnya, yaitu satu sebagai tim tuan rumah dan satu sebagai tim
tamu. Banyaknya pertandingan dihitung sebagai 2(n 1) dengan n adalah banyaknya tim yang bertanding dalam kualifikasi ini.
dan tim tidak populer. Tim yang termasuk ke dalam kategori tim kuat adalah Brasil, Argentina, Uruguay, dan Chile. Tim paling populer adalah Brasil dan Argentina. Tim populer adalah Argentina, Brasil, Uruguay, dan Chile. Sedangkan tim tidak populer adalah Paraguay, Kolombia, Peru, Bolivia, Venezuela, dan Ekuador.
[image:19.612.111.517.211.406.2]Setiap tim nasional bertanding maksimal sebanyak dua kali berturut-turut, sebagai tim tuan rumah maupun tim tamu serta melawan tim kuat. Setiap tim nasional bertanding sebagai tim tuan rumah atau tim tamu. Pertandingan klasik (pertandingan sesama kategori tim kuat) dimainkan di pekan ke-3, 5, dan 7.
Tabel 1. Daftar tim nasional peserta babak kualifikasi Piala Dunia 2014
Indeks Tim Nama Tim Nama Stadion Kategori Tim
1 Brasil Various National Stadia STR, MPOP, POP 2 Argentina Antonio Vespucio Liberti STR, MPOP, POP 3 Uruguay Estadio Centenario STR, POP 4 Chile Nacional STR, POP 5 Paraguay Defensores del Chaco NMPOP 6 Kolombia El Campin NMPOP 7 Peru Estadio Nacional NMPOP 8 Bolivia Hernando Siles NMPOP 9 Venezuela Monumental de Maturin NMPOP 10 Ekuador Olimpico Atahualpa NMPOP
Untuk memformulasikan ILP, kategori tim didefinisikan pada setiap tim i = 1, 2,…, 10, tim j = 1, 2,…, 10, pekan k = 1, 2,…, 9, kategori tim STR = 1, 2, 3, 4, kategori tim MPOP = 1, 2, kategori tim POP = 1, 2, 3, 4, kategori tim NMPOP = 5, 6,…, 10, sehingga masalahnya dapat diformulasikan dalam ILP berikut:
dengan kendala:
1. Di setiap paruh kompetisi setiap tim bertanding satu kali per pekan melawan tim lain.
Untuk, i = 1, 2,…, 10, j = 1, 2,…, 10, dan k= 1, 2,…,9:
2. Di setiap paruh kompetisi setiap tim bertanding satu kali melawan tim lain, apakah sebagai tim tuan rumah ataukah tim tamu.
Untuk, i= 1, 2,…, 10, j= 1, 2,…, 10, dan k= 1, 2,…, 9:
3. Sebanyak-banyaknya setiap tim bertanding dua kali berturut-turut melawan tim lain sebagai tim tuan rumah.
Untuk i= 1, 2,…,10, j= 1, 2,…, 10, dan k= 1, 2,…, 9:
4. Kendala ini membatasi setiap tim yang bertanding melawan tim lain sebagai tim tuan rumah berturut-turut.
Untuk i= 1, 2,…, 10, dan k= 1, 2,…, 9:
5. Sebanyak-banyaknya setiap tim bertanding dua kali berturut-turut melawan tim lain sebagai tim tamu. Untuk i= 1, 2,…, 10, j= 1, 2,…, 10, dan k= 1, 2,…, 9:
6. Kendala ini membatasi setiap tim yang bertanding melawan tim lain sebagai tim tamu berturut-turut.
Untuk i= 1, 2,…, 10, dan k= 1, 2,…, 9:
7. Karena seluruh pertandingan akan dilaksanakan dalam dua putaran, maka keberturutan suatu tim sebagai tim tuan rumah atau tim tamu harus juga diperhitungkan di dua pertandingan pertama atau dua pertandingan terakhir. Untuk i= 1, 2,…, 10, j= 1, 2,…, 10, dan k = 1, 8, 9:
8. Pertandingan klasik dipertandingkan pada pekan ke-3, 5, dan 7.
Untuk i= 1, 2,…, 4, j= 1, 2,…, 4, dan k = 3, 5, 7:
9. Setiap tim tidak bertanding melawan tim kuat dua kali berturut-turut.
Untuk i= 4, 5,…, 10, j= 1, 2,…, 4, dan k = 1, 2,…, 9:
10. Kendala ini memaksa setiap tim tidak populer bertanding melawan dua tim paling populer masing-masing sebagai tim tuan rumah dan tim tamu di setiap paruh kompetisi. Misalnya Brasil vs Peru, Peru vs Argentina.
Untuk i= 5, 6,…, 10, j= 1, 2,…, 4, dan k = 1, 2,…, 9:
11. Kendala ini menjamin setiap tim populer bertanding melawan tim populer lainnya setidaknya sekali sebagai tuan rumah. Untuk i= 1, 2,…,4, j= 1, 2,…, 4, dan k = 1, 2,…, 9:
Pada uraian tersebut, terlihat bahwa banyak sekali persamaan maupun pertdaksamaan yang harus diselesaikan. Dalam hal ini sulit jika digunakan metode branch and bound secara manual. Masalah di atas selanjutnya diselesaikan dengan menggunakan LINGO 8.0. Detail dari pemodelan tersebut dapat dilihat di Lampiran 2. Total waktu yang dibutuhkan untuk mendapatkan solusi dari proses ini adalah 2 menit 32 detik.
Komputer yang digunakan untuk melakukan proses ini adalah komputer dengan processor intel Core 2 Duo 2.20 GHz dengan kecepatan memori RAM 2940 MB. Hasil komputasi tidak semuanya dicantumkan, karena terlalu banyak. Hasil yang dicantumkan hanya untuk X yang bernilai 1 saja.
maupun tim tamu serta melawan tim kuat, pertandingan klasik (pertandingan kategori sesama tim kuat) dimainkan pada pekan ke- 3, 5, dan 7, setiap tim nasional bertanding dan
[image:21.612.141.490.158.463.2]bertindak sebagai tim tuan rumah atau tim tamu pada setiap pekan. Nilai fungsi objektif yang meminimumkan banyaknya jadwal pertandingan adalah 39.
Tabel 2. Jadwal pertandingan babak kualifikasi Piala Dunia 2014 Pekan ke-1 Pekan ke-2 Pekan ke-3 Argentina vs Venezuela Brasil vs Bolivia Argentina vs Uruguay
Uruguay vs Paraguay Uruguay vs Peru Chile vs Brasil
Kolombia vs Brasil Paraguay vs Kolombia Kolombia vs Ekuador
Peru vs Chile Venezuela vs Chile Bolivia vs Peru
Bolivia vs Ekuador Ekuador vs Argentina Venezuela vs Paraguay
Pekan ke-4 Pekan ke-5 Pekan ke-6
Uruguay vs Venezuela Brasil vs Argentina Brasil vs Ekuador
Paraguay vs Brasil Chile vs Uruguay Argentina vs Kolombia
Peru vs Argentina Kolombia vs Peru Paraguay vs Chile
Bolivia vs Kolombia Venezuela vs Bolivia Peru vs Venezuela
Ekuador vs Chile Ekuador vs Paraguay Bolivia vs Uruguay
Pekan ke-7 Pekan ke-8 Pekan ke-9
Uruguay vs Brasil Brasil vs Peru Uruguay vs Ekuador
Chile vs Argentina Argentina vs Paraguay Kolombia vs Chile
Paraguay vs Bolivia Chile vs Bolivia Peru vs Paraguay
Peru vs Ekuador Kolombia vs Uruguay Bolivia vs Argentina
Venezuela vs Kolombia Ekuador vs Venezuela Venezuela vs Brasil
*keterangan : tim yang pertama kali disebut di setiap pekan bertindak sebagai tim tuan rumah. Contoh Peru vs Chile pada pekan 1, maka Peru menjadi tim tuan rumah dan Chile menjadi tim tamu.
V SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan
Dalam membuat jadwal pertandingan sepak bola yang baik dan tersusun rapi dalam kompetisi sepak bola sangatlah penting. Banyak aspek yang harus dikelola di dalamnya, seperti banyaknya penonton, penjualan tiket dan pertandingan besar antara kedua tim. Oleh sebab itu, permasalahan yang
muncul adalah bagaimana cara membuat jadwal pertandingan sepak bola yang tepat dan menguntungkan semua pihak.
Dalam karya ilmiah ini, telah diperlihatkan bahwa masalah penjadwalan pertandingan dapat dipandang sebagai masalah
Integer Linear Programming (ILP).
software Lingo 8.0 dengan metode Branch and Bound.
Studi kasus untuk masalah penjadwalan pertandingan tersebut adalah model penjadwalan pertandingan babak kualifikasi Piala Dunia FIFA 2014 Zona Amerika Selatan. Adapun manfaatnya adalah pengguna dapat lebih efisien dalam menghasilkan jadwal yang baik, dibandingkan dengan cara manual yang memerlukan banyak waktu dan memungkinkan terjadinya kekeliruan.
5.2 Saran
Pada karya ilmiah ini telah dibahas penjadwalan pertandingan babak kualifikasi
Piala Dunia FIFA 2014 Zona Amerika Selatan dengan membagi tim ke dalam beberapa kategori. Namun, masalah penjadwalan ini masih difokuskan dalam ruang lingkup di zona lokal yang tidak memperhitungkan ajang kompetisi lainnya. Akan lebih baik lagi jika ada yang menindaklanjuti penelitian ini dengan masalah yang lebih kompleks, misalnya pertandingan babak kualifikasi Piala Dunia FIFA 2014 Zona Amerika Selatan dengan memasukkan kendala dari tim yang berlaga di kompetisi lainnya, seperti kompetisi antara tim Amerika Selatan.
DAFTAR PUSTAKA
Fiallos J, Perez J, Sabillon F, Licona M. 2010. Scheduling soccer league of Honduras using integer programming. A. Johnson, J. Miller, eds., Proc. 2010 Indust. Engr. Res. Conf. Canc´un, Mexico.
Garfinkel RS & Nemhauser GL. 1972. Integer Programming. John Wiley & Sons, New York.
Murray B. 1998. The World’s Game: A History of Soccer. Univ. of Illinois Press. Chicago.
Nash SG & Sofer A. 1996. Linear and
Nonlinear Programming. McGraw-Hill,
New York.
Taha HA. 1975. Integer Programming: Theory, Application, and Computations. Academic Press, New York.
Taha HA. 1996. Pengantar Riset Operasi. Alih Bahasa: Daniel Wirajaya. Binarupa Aksara, Jakarta. Terjemahan dari: Operations Research.
Winston WL. 1995. Introduction to
Mathematical Programming 2nd ed.
Duxbury, New York.
Lampiran 1Syntax Program LINGO 8.0 untuk Menyelesaikan Masalah Pemrograman Linear dengan Metode Branch-and-Bound beserta Hasil yang Diperoleh.
Penyelesaian Subproblem 1 max=4*x1+5*x2;
!kendala; 3*x1+6*x2<=40; x1<=10;
3*x2<=15; x1>=0; x2>=0; end
Global optimal solution found at iteration: 3 Objective value: 48.33333
Variable Value Reduced Cost X1 10.00000 0.000000 X2 1.666667 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price 1 48.33333 1.000000 2 0.000000 0.8333333 3 0.000000 1.500000 4 10.00000 0.000000 5 10.00000 0.000000 6 1.666667 0.000000
Penyelesaian Subproblem 2 max=4*x1+5*x2;
!kendala; 3*x1+6*x2<=40; x1<=10;
3*x2<=15; x2<=1; x1>=0; x2>=0; end
Global optimal solution found at iteration: 2 Objective value: 45.00000
Variable Value Reduced Cost X1 10.00000 0.000000 X2 1.000000 0.000000
6 10.00000 0.000000 7 1.000000 0.000000
Penyelesaian Subproblem 3 max=4*x1+5*x2;
!kendala; 3*x1+6*x2<=40; x1<=10;
3*x2<=15; x2>=2; x1>=0; x2>=0; end
Global optimal solution found at iteration: 2 Objective value: 47.33333
Variable Value Reduced Cost X1 9.333333 0.000000 X2 2.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price 1 47.33333 1.000000 2 0.000000 1.333333 3 0.6666667 0.000000 4 9.000000 0.000000 5 0.000000 -3.000000 6 9.333333 0.000000 7 2.000000 0.000000
Penyelesaian Subproblem 4 max=4*x1+5*x2;
!kendala; 3*x1+6*x2<=40; x1<=10;
3*x2<=15; x2>=2; x1<=9; x1>=0; x2>=0; end
Global optimal solution found at iteration: 3 Objective value: 46.83333
Row Slack or Surplus Dual Price 1 46.83333 1.000000 2 0.000000 0.8333333 3 1.000000 0.000000 4 8.500000 0.000000 5 0.1666667 0.000000 6 0.000000 1.500000 7 9.000000 0.000000 8 2.166667 0.000000
Penyelesaian Subproblem 5 max=4*x1+5*x2;
!kendala; 3*x1+6*x2<=40; x1<=10;
3*x2<=15; x2>=2; x1>=10; x1>=0; x2>=0; end
Penyelesaian Subproblem 6 max=4*x1+5*x2;
!kendala; 3*x1+6*x2<=40; x1<=10;
Global optimal solution found at iteration: 3 Objective value: 46.00000
Variable Value Reduced Cost X1 9.000000 0.000000 X2 2.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price 1 46.00000 1.000000 2 1.000000 0.000000 3 1.000000 0.000000 4 9.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 0.000000 4.000000 7 0.000000 5.000000 8 9.000000 0.000000 9 2.000000 0.000000
Penyelesaian Subproblem 7 max=4*x1+5*x2;
!kendala; 3*x1+6*x2<=40; x1<=10;
3*x2<=15; x2>=2; x1<=9; x2>=3; x1>=0; x2>=0; end
Global optimal solution found at iteration: 3 Objective value: 44.33333
Variable Value Reduced Cost X1 7.333333 0.000000 X2 3.000000 0.000000
Lampiran 2 Syntax Model LINGO 8.0 dan Hasil Komputasi untuk Masalah Penjadwalan Babak Kualifikasi Piala Dunia 2014 Zona Amerika Selatan.
model:
title Pola Penjadwalan Sepak Bola babak Kualifikasi Piala Dunia 2014 Zona Amerika Latin;
sets:
team/1..10/:Bf,Bl; round/1..9/;
LINKS(team,team,round):V,X; LINKS2(team,round):Y,W; end sets
data: V =
@OLE('Bobot 8.xlsx', 'BOBOT');
enddata
!Fungsi Objektif;
min=@sum(team(i):@sum(team(j):@sum(round(k):V(i,j,k)*X(i,j,k))));
!kendala 1; @for(team(i):
@for(team(j)|i#ne#j:
@sum(round(k):X(i,j,k)+X(j,i,k))=1));
!kendala 2; @for(team(i): @for(round(k):
@sum(team(j)|i#ne#j:X(i,j,k)+X(j,i,k))=1));
!KENDALA 3;
@for(round(k)|k#lt#9: @for(team(i):
@sum(team(j)|i#ne#j:X(i,j,k)+X(i,j,k+1))<=1+Y(i,k)));
!KENDALA 4; @for(team(i):
@SUM(round(k)|k#lt#9:Y(i,k))<=1);
!KENDALA 5;
@for(round(k)|k#lt#9: @for(team(i):
@sum(team(j)|i#ne#j:X(j,i,k)+X(j,i,k+1))<=1+W(i,k)));
!KENDALA 6; @for(team(i):
@sum(round(k)|k#lt#9:W(i,k))<=1);
@sum(team(j)|i#ne#j:@sum(round(k)|k#eq#1:X(i,j,k)))+Bf(i)=@sum(team( j)|i#ne#j:@sum(round(k)|k#eq#9:X(i,j,k)))+Bl(i));
!kendala 7.1;
@for(team(i):Bf(i)+Y(i,8)<=1);
!kendala 7.2;
@for(team(i):Bf(i)+W(i,1)<=1);
!kendala 7.3;
@for(team(i):Bl(i)+W(i,8)<=1);
!kendala 7.4;
@for(team(i):Bl(i)+Y(i,1)<=1);
!kendala 8;
@for(round(k)|k#ge#1#and#k#le#3:
@sum(team(i)|i#ge#1#and#i#le#4:@sum(team(j)|j#ge#1#and#j#le#4#and#i# ne#j:X(i,j,2*k+1)))=2);
!kendala 9;
@for(team(i):@for(round(k)|k#lt#9:
@sum(team(j)|j#ge#1#and#j#le#3:X(i,j,k))+@sum(team(j)|j#ge#1#and#j#l e#3:X(i,j,k+1))+@sum(team(j)|j#ge#1#and#j#le#3:X(j,i,k))+@sum(team(j )|j#ge#1#and#j#le#3:X(j,i,k+1))<=1));
!kendala 10;
@for(team(i)|i#ge#5#and#i#le#10:
@sum(team(j)|j#ge#1#and#j#le#2:@sum(round(k):X(i,j,k)))=1);
!kendala 11;
@for(team(i)|i#ge#1#and#i#le#4:@sum(team(j)|i#ne#j#and#j#ge#1#and#j# le#4:@sum(round(k):X(i,j,k)))>=1);
@FOR(LINKS:@BIN(X)); @FOR(LINKS2:@BIN(Y)); @FOR(LINKS2:@BIN(W)); @for(team(i):@BIN(Bf(i))); @for(team(i):@BIN(Bl(i))); END
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Argentina
Uruguay
Chile
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Kolombia
Bolivia
Global optimal solution found at iteration: 548573 Objective value: 39.00000
Model Title: Pola Penjadwalan Sepak Bola babak Kualifikasi Piala Dunia 2014
Variable Value Reduced Cost BF( 9) 1.000000 0.000000 BL( 2) 1.000000 0.000000 V( 1, 1, 1) 1.000000 0.000000 V( 1, 1, 2) 1.000000 0.000000 V( 1, 1, 3) 1.000000 0.000000 V( 1, 1, 4) 1.000000 0.000000 V( 1, 1, 5) 1.000000 0.000000 V( 1, 1, 6) 1.000000 0.000000 V( 1, 1, 7) 1.000000 0.000000 V( 1, 1, 8) 1.000000 0.000000 V( 1, 1, 9) 1.000000 0.000000 V( 1, 2, 1) 1.000000 0.000000 V( 1, 2, 2) 1.000000 0.000000 V( 1, 2, 4) 1.000000 0.000000 V( 1, 2, 6) 1.000000 0.000000 V( 1, 2, 8) 1.000000 0.000000 V( 1, 2, 9) 1.000000 0.000000 V( 1, 3, 1) 1.000000 0.000000 V( 1, 3, 2) 1.000000 0.000000 V( 1, 3, 4) 1.000000 0.000000 V( 1, 3, 6) 1.000000 0.000000 V( 1, 3, 8) 1.000000 0.000000 V( 1, 3, 9) 1.000000 0.000000 V( 1, 4, 1) 1.000000 0.000000 V( 1, 4, 2) 1.000000 0.000000 V( 1, 4, 4) 1.000000 0.000000 V( 1, 4, 6) 1.000000 0.000000 V( 1, 4, 8) 1.000000 0.000000 V( 1, 4, 9) 1.000000 0.000000 V( 1, 5, 1) 1.000000 0.000000 V( 1, 5, 2) 1.000000 0.000000
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
X( 7, 5, 9) 1.000000 1.000000 X( 7, 9, 6) 1.000000 1.000000 X( 7, 10, 7) 1.000000 1.000000 X( 8, 2, 9) 1.000000 1.000000 X( 8, 3, 6) 1.000000 1.000000 X( 8, 6, 4) 1.000000 1.000000 X( 8, 7, 3) 1.000000 1.000000 X( 8, 10, 1) 1.000000 1.000000 X( 9, 1, 9) 1.000000 1.000000 X( 9, 4, 2) 1.000000 1.000000 X( 9, 5, 3) 1.000000 1.000000 X( 9, 6, 7) 1.000000 1.000000 X( 9, 8, 5) 1.000000 1.000000 X( 10, 2, 2) 1.000000 1.000000 X( 10, 4, 4) 1.000000 1.000000 X( 10, 5, 5) 1.000000 1.000000 X( 10, 9, 8) 1.000000 1.000000 Y( 1, 5) 1.000000 0.000000 Y( 2, 3) 1.000000 0.000000 Y( 3, 1) 1.000000 0.000000 Y( 4, 7) 1.000000 0.000000 Y( 5, 6) 1.000000 0.000000 Y( 6, 8) 1.000000 0.000000 Y( 7, 6) 1.000000 0.000000 Y( 8, 3) 1.000000 0.000000 Y( 9, 2) 1.000000 0.000000 Y( 10, 4) 1.000000 0.000000 W( 1, 3) 1.000000 0.000000 W( 2, 4) 1.000000 0.000000 W( 3, 5) 1.000000 0.000000 W( 4, 1) 1.000000 0.000000 W( 5, 8) 1.000000 0.000000 W( 6, 6) 1.000000 0.000000 W( 7, 2) 1.000000 0.000000 W( 8, 7) 1.000000 0.000000 W( 9, 5) 1.000000 0.000000 W( 10, 6) 1.000000 0.000000
Dalam kompetisi sepak bola terdapat perangkat-perangkat yang penting dalam penyelenggaraannya. Salah satunya adalah jadwal pertandingan. Penyusunan jadwal pertandingan harus dilakukan dengan hati-hati dan penuh dengan pertimbangan agar pertandingan sepak bola dapat berjalan dengan lancar.
Babak kualifikasi Piala Dunia FIFA 2014 Zona Amerika Selatan melibatkan 10 tim nasional yang tergabung dalam satu grup dengan setiap negara memiliki satu stadion yang digunakan dalam setiap periode waktu. Tim-tim dalam zona ini dikelompokkan berdasarkan karakteristik yang dimiliki yaitu tim kuat, tim paling populer, tim populer, dan tim tidak populer.
In football competitions, there are some devices that are important in implementation. One of them is the match schedule. Scheduling must be done carefully and with full consideration in order a football game can run properly.
Scheduling of the South American Zone of 2014 FIFA World Cup Qualification involves 10 national teams from 10 different countries that merged into one group with each state has one stadium that is used in each time period. The teams in this zone are grouped based on their characteristics, those are strong teams, most popular teams, popular teams, and unpopular teams.
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pada tahun 206 SM, pada masa pemerintahan Dinasti Tsin dan Han, masyarakat Cina telah memainkan bola yang disebut tsu chu. Tsusendiri artinya “menerjang bola dengan kaki”. sedangkan chu, berarti
“bola dari kulit dan ada isinya”. Permainan
bola saat itu menggunakan bola yang terbuat dari kulit binatang, dengan aturan menendang, menggiring dan memasukkanya ke sebuah jaring yang dibentangkan diantara dua tiang.
Versi sejarah kuno tentang sepak bola yang lain datangnya dari negeri Jepang. Dikatakan bahwa sejak abad ke-8, masyarakat Jepang telah mengenal permainan bola, yang disebut dengan kemari. Sedangkan bola yang dipergunakan adalah kulit kijang, yang di tengahnya sudah berlubang dan berisi udara.
Bill Muray, salah seorang sejarawan sepak bola, dalam bukunya The World’s
Game: A History of Soccer, menyatakan
bahwa permainan sepak bola sudah dikenal sejak awal masehi. Pada saat itu, masyarakat Mesir Kuno sudah mengenal teknik membawa dan menendang bola yang terbuat dari buntalan kain linen. Sedangkan dalam sejarah yang lain, khususnya Yunani Purba juga sudah mengenal sebuah permainan yang disebut episcuro, yang tidak lain adalah permainan menggunakan bola. Bukti sejarah ini tergambar pada relief-relief museum yang melukiskan anak muda memegang bola dan memainkannya dengan pahanya.
Piala Dunia adalah kompetisi antarnegara dalam dunia sepak bola internasional yang diselenggarakan oleh Federation
Internationale de Football Association.
(FIFA). Babak final turnamen ini diikuti oleh tim yang lolos kualifikasi di berbagai zona. Piala Dunia diselenggarakan setiap empat
tahun sekali. Lebih dari 160 tim nasional setiap negara bertanding dalam turnamen kualifikasi regional untuk meraih tempat dalam babak final. Babak final melibatkan 32 tim nasional (peningkatan sejak tahun 1998) yang berkompetisi selama 4 minggu di negara tuan rumah.
Dalam kompetisi sepak bola terdapat perangkat-perangkat penting dalam penyelenggaraannya, salah satunya adalah jadwal pertandingan. Penyusunan jadwal pertandingan harus dilakukan dengan hati-hati dan penuh dengan pertimbangan agar pertandingan sepak bola dapat berjalan dengan lancar.
Masalah penjadwalan sepak bola dapat diselesaikan dengan beberapa cara. Salah satu caranya adalah dengan memodelkan masalah penjadwalan pertandingan sepak bola sebagai suatu masalah Integer Linear Programming (ILP). ILP adalah masalah optimisasi dengan fungsi objektif dan kendala yang linear serta variabel integer.
Sumber utama karya ilmiah ini ialah tulisan Fiallos et al. (2010) yang berjudul
“Scheduling Soccer League of Honduras using
Integer Programming”. Karya ilmiah ini akan membahas bagaimana memformulasikan dan menyelesaikan masalah penjadwalan pertandingan dalam bentuk ILP dengan mengambil contoh kasus babak kualifikasi Piala Dunia FIFA 2014 Zona Amerika Selatan dengan menggunakan bantuan software LINGO 8.0.
1.2 Tujuan
II LANDASAN TEORI
Pada pembuatan model penjadwalan pertandingan sepak bola babak kualifikasi Piala Dunia FIFA 2014 Zona Amerika Selatan, diperlukan pemahaman beberapa teori yang digunakan di dalam penyelesaiannya, di antaranya teori Pemrograman Linear (PL),
Integer Linear Programming (ILP), dan
metode Branch and Bound untuk menyelesaikan masalah Integer Programming. Berikut ini akan dibahas satu per satu.
2.1 Pemrograman Linear
Definisi 1 (Fungsi Linear)
Misalkan menyatakan suatu fungsi dalam variabel-variabel
. adalah suatu fungsi linear jika dan hanya jika untuk himpunan konstanta ,
. (Winston 2004)
Sebagai contoh, merupakan fungsi linear, sementara
bukan fungsi linear. Suatu persamaan merupakan persamaan linear, apabila f fungsi linear.
Definisi 2 (Pertidaksamaan Linear)
Untuk sembarang fungsi linear
dan sembarang bilangan b, pertidaksamaan dan
dikatakan pertidaksamaan linear.
Misalkan b sembarang bilangan, suatu persamaan merupakan persamaan linear.
(Winston 2004)
Pemrograman Linear (PL) adalah suatu masalah optimasi yang memenuhi ketentuan-ketentuan sebagai berikut.
a) Tujuan masalah tersebut adalah memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi linear dari sejumlah variabel keputusan. Fungsi linear yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan ini disebut fungsi objektif.
b) Nilai variabel-variabel keputusannya harus memenuhi suatu himpunan kendala. Setiap kendala harus berupa
persamaan linear atau pertidaksamaan linear.
c) Variabel keputusan harus taknegatif atau tidak dibatasi tandanya.
(Winston 1995)
Suatu PL dikatakan memiliki bentuk standar seperti yang didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 3 (Bentuk Standar PL)
Suatu pemrograman linear dikatakan mempunyai bentuk standar jika berbentuk:
minimumkan
terhadap
, (1)
dengan x dan c merupakan vektor berukuran n, vektor b berukuran m, sedangkan A
merupakan matriks berukuran m × n. Matriks
A disebut matriks kendala.
(Nash & Sofer 1996) Sebagai catatan, yang dimaksud dengan vektor berukuran n adalah vektor yang memiliki dimensi (ukuran) n× 1.
Definisi 4 (Solusi Optimal)
Solusi optimal terbaik adalah suatu titik dalam daerah fisibel yang menyebabkan nilai fungsi objektif terkecil (dalam masalah minimisasi). Untuk masalah maksimisasi, solusi optimal suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel yang menyebabkan nilai fungsi objektif terbesar.
(Winston 2004)
Solusi Pemrograman Linear
Pada masalah PL (1), vektor x yang memenuhi kendala disebut sebagai solusi dari PL (1). Misalkan matriks A
dinyatakan sebagai , dengan B
merupakan matriks taksingular berukuran m × m yang elemennya berupa koefisien variabel basis dan N merupakan matriks yang elemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala. Matriks B disebut matriks basis untuk PL (1).
Misalkan x dapat dinyatakan sebagai vektor dengan adalah vektor variabel basis dan adalah vektor variabel nonbasis, maka dinyatakan sebagai
. (2) Karena B adalah matriks taksingular, maka B
memiliki invers, sehingga da
