akar-akar fungsi untuk menyelesaikan masalah fisika. Setelah memahami bab ini dengan mempraktekkan tugas yang diberikan, diharapkan pengguna dapat menerapkannya pada masalah fisika lain yang lebih kompleks.
4.1
Metode Newton-Raphson
Pencarian akar-akar dari suatu fungsi sebarangf(x)adalah masalah untuk mencari nilai-nilaixsedemikian hingga
f(x) = 0. (4.1)
Pencarian akar-akar suatu fungsi biasa juga disebut pencarian titik-titik nol suatu fungsi atau penyelesaian masalah tak linear. Salah satu metode baku untuk menyele- saikan masalah tersebut adalah dengan menggunakan metode Newton-Raphson yang berbentuk
xi+1 =xi− f(xi)
f′(xi), (4.2)
denganf′(xi) = [df(x)/dx]x
=xi dani = 0,1, . . .. Bentuk kaitan seperti persamaan
4.2 akan sering muncul dalam fisika komputasi dan disebut iterasi. Ide dasar dari iterasi adalah pemanfaatan satu nilai coba yang diberikan untuk mendapatkan nilai berikutnya yang lebih baik. Andaikan nilai coba yang diberikan kita lambangkan
x0 maka semua ungkapan yang muncul pada ruas kiri persamaan 4.2 akan dapat
tersebut, nilai x1 akan dapat digunakan untuk memperolehx2. Jika langkah yang
sama diulang terus maka suatu saat akan diperoleh nilaixnsedemikian hingga nilai
xn itulah yang paling mendekati dengan nilai akar yang dicari. Ciri bahwa keadaan ini sudah tercapai ditunjukkan oleh adanyakonvergensipada nilai yang diiterasi yaitu ketika
xn≈xn−1 atau f(xn)≈0. (4.3)
Dalam analisis numerik dapat ditunjukkan bahwa iterasi Newton-Raphson akan men- capai konvergensi yang sangat cepat relatif dibanding metode lain apabila nilai coba awal yang diberikantidak terlalau jauh dengan nilai akar yang dicari.
4.2
Contoh masalah fisika : medan listrik
Dua partikel bermuatan q1 = +3 Coulomb dan q2 = +5 Coulomb terpisah pada
jarak 5 meter seperti nampak pada gambar 4.1. Tentukan lokasi titik P di antara kedua muatan yang memiliki medan listrikE= 0.
x meter 5 meter (5−x) meter q1 q2 E1 E2 P
Gambar 4.1: Konfigurasi dua muatan
Menggunakan rumus medan listrik untuk partikel titik [5], pada titik P akan berlakuE1−E2 = 0yang berarti
1 4π"0 3 (5−x)2 − 1 4π"0 5 x2 = 0. (4.4)
Dengan sedikit penyederhanaan, persamaan tersebut dapat diubah ke masalah pen- carian akar-akar suatu fungsi seperti persamaan 4.1 yaitu
f(x) = 3 (5−x)2 −
5
Untuk dapat menggunakan iterasi Newton-Raphson maka masih diperlukan tu- runan satu kali darif(x)pada persamaan 4.5 yang dalam hal ini berbentuk
f′(x)≡ d f(x) dx = 6 (5−x)3 + 10 x3. (4.6)
Langkah berikutnya adalah diperlukannya nilai coba awal x0 sebagai penyelesaian
pendekatan. Dalam kebanyakan masalah fisika, informasi tentang nilai pendekatan tersebut kadang-kdang dapat ditentukan secara intuisi fisika dari masalah yang ditin- jau.
Untuk kasus soal ini, nilai coba dapat ditentukan sebagai berikut. Andaikan ke- dua partikel bermuatan sama maka mestinya titikP berada di tengah-tengah antara kedua muatan yaitu padax= 2,5meter. Sekarang apabila diubah sedemikian hing- ga q2 lebih besar dibandingq1 maka agar E2 tetap bernilai sama dengan E1 meng-
haruskan titikP agak bergeser lebih dekat menujuq1. Ini berarti sekarang mestinya
x > 2.5sehingga nilai coba dapat diambil katakanlah bernilai x0 = 3.0atau yang
lain.
Bagi pemula yang belum terbiasa menggunakan intuisi fisis, cara termudah untuk memberikan nilai coba x0 adalah dengan langsung mengeplot f(x) sehingga per-
potongannya dengan sumbu x langsung dapat dilihat di monitor. Hal ini mudah dilakukan dengan paket plot seperti Mathematica atau GnuPlot seperti yang dising- gung pada bagian 3.3 atau 3.4. Gambar 4.2 menunjukkan plot yang dihasilkan Math- ematica. Terlihat bahwa nilai x0 ≈ 2.8kira-kira merupakan nilai coba yang cukup
dekat dengan nilai akar yang sebenarnya. Dalam hal ini Mathematica sengaja dipilih karena selain digunakan untuk mengeplot fungsi, juga digunakan untuk memberikan gambaran tentang kegunaannya dalam membantu mencari turunan satu kali sebarang fungsi yang muncul pada metode Newton-Raphson.
Contoh program dalam bahasa Fortran 90 dengan namaprakt_s1_masalah1.f90
yang digunakan untuk menyelesaikan masalah tersebut adalah seperti berikut.
!--- !Kalimat di antara tanda seperti ini merupakan
!komentar agar program lebih mudah dipahami artinya !---
Gambar 4.2: Contoh paket Mathematica untuk membantu iterasi Newton-Raphson
PROGRAM titik_nol
!--- !Contoh program pencarian akar-akar suatu fungsi f(x) !Tanggal 20 April 2001 !--- IMPLICIT NONE REAL :: x0,x1,delta,tol INTEGER :: i,imak !--- !Batas iterasi dan toleransi yang diberikan
!--- imak=20
!--- !Masukan awal nilai x0 dan langkah iterasi
!--- WRITE(*,*)"Berikan masukan nilai x0 = "
READ(*,*)x0 i=0 !--- !Iterasi Newton-Raphson !--- DO i=i+1 x1=x0-fung(x0)/dfung(x0) delta=x1-x0
WRITE(*,*)"Akar iterasi ke ",i," adalah ",x1
!--- !Jika iterasi sudah konvergen atau sudah mencapai !iterasi maksimum, maka iterasi dihentikan
!--- IF ((ABS(delta) .LE. tol) .OR. (i .GE. imak)) EXIT
!--- !Jika syarat tersebut belum dipenuhi maka iterasi !dilanjutkan
!--- x0=x1
END DO
!--- !Nilai akar yang ditemukan
WRITE(*,*)"Nilai akar = ",x1
!--- !Mendefinisikan function yaitu fungsi-fungsi yang !digunakan pada program
!---
CONTAINS
!--- !Fungsi f(x) didefinisikan disini
!--- FUNCTION fung(x)
REAL :: fung
REAL, INTENT(in) :: x
fung=3.0/(5.0-x)**2 - 5.0/x**2 END FUNCTION fung
!--- !Turunan satu kali fungsi f’(x)=df(x)/dx
!didefinisikan disini !--- FUNCTION dfung(x) REAL :: dfung REAL, INTENT(in) :: x dfung=6.0/(5.0-x)**3 + 10.0/x**3 END FUNCTION dfung
END PROGRAM titik_nol
Setelah di-compile dengan perintahf90 prakt_s1_masalah1.f90dan di- panggil executable filenya dengan perintah a.out akan diperoleh hasil seperti di bawah
Berikan masukan nilai x0 = 3.0
Akar iterasi ke 1 adalah 2.82644629 Akar iterasi ke 2 adalah 2.81755447 Akar iterasi ke 3 adalah 2.8175416 Nilai akar = 2.8175416
pn@atom99:~ > _
Terlihat bahwa dengan nilai coba x0 = 3.0 maka iterasi Newton-Raphson sudah
konvergen pada nilai yang dicari hanya pada 3 putaran iterasi.
4.3
Tugas
Selesaikan masalah berikut mengikuti prosedur seperti yang sudah diuraikan di atas.
4.3.1
Masalah
Tentukan titik P yaitu titik dimanaE = 0ketika empat partikel bermuatan dijejer sedemikian hingga posisiq1 danq2 persis seperti gambar 4.1. Adapun sebagai tam-
bahan, q3 = +6 Coulomb ditempatkan pada jarak 3 meter di kiri q1 dan q4 = 2
Coulomb ditempatkan pada jarak1meter di kananq2.
4.3.2
Catatan
Karena komputasi harus selesai pada hari praktikum itu juga sehingga laporan da- pat dikumpulkan pada praktikum berikutnya maka disarankan supaya hal-hal yang tidak terkait dengan komputasi dipersiapkan lebih dahulu di rumah. Sebagai contoh : untuk masalah pertama ini maka sketsa jajaran partikel bermuatan serta penjum- lahan semua medan listriknya supaya dikerjakan terlebih dahulu di rumah hingga didapatkan bentuk fungsi f(x) yang akan dicari nilai akarnya. Kemudian langkah komputasi dan jika perlu pengeplotan atau penurunan fungsi baru dilakukan pada waktu praktikum.