Bab 2. Tinjauan Pustaka
2.5. Pencilan ( Outlier )
Pencilan adalah suatu data yang menyimpang dari sekumpulan data yang lain. Pencilan diartikan pula sebagai pengamatan yang tidak mengikuti sebagian besar pola dan terletak jauh dari pusat data. (Ferguson, 1961)
Pengamatan yang dikategorikan sebagai pencilan mempunyai nilai residual yang relatif besar untuk ukuran residual pada ketepatan pengamatan. Diasumsikan bahwa hubungan antara dua variabel + dan L diperkirakan dengan garis lurus. Berdasarkan model regresi linear berganda pada persamaan (2.1) dengan dan , , ⋯ , adalah parameter regresi untuk diestimasi. Nilai kesalahan ( ) yang tidak diperhatikan dan diasumsikan berdistribusi normal.
2.5.1. Jenis Pencilan
Model regresi menggambarkan hubungan dari beberapa variabel bebas
( , , ⋯ , / dengan variabel terikat ( , , ⋯ , / . Model regresi
diperoleh dengan menggunakan metode estimasi ordinary least square (OLS). Metode OLS didasarkan pada asumsi bahwa terjadinya kesalahan pada model yang dihasilkan yang seharusnya berdistribusi normal. Karena dengan residual berdistribusi normal metode OLS memberikan estimasi parameter yang optimal bagi model regresi.
Metode OLS harus memenuhi asumsi dari Best Linear Unbiased Estimator (BLUE) dalam proses estimasinya. Jika data tidak memenuhi salah satu asumsi disebabkan adanya pencilan, maka metode OLS yang
diperoleh menjadi tidak efisien. Keberadaan pencilan pada data mungkin terdapat pada variabel bebasnya ( ) ataupun variabel terikatnya ( ).
Pencilan pada arah-L akan memberikan nilai residual yang sangat besar (positif atau negatif). Hal ini disebabkan karena data pencilan mempunyai jarak yang sangat besar terhadap garis OLS. Sedangkan data pencilan pada arah-+ memberikan pengaruh yang sangat besar pada estimator metode OLS karena pencilan pada arah-+ disebut sebagai titik leverage.
Secara umum, suatu pengamatan + ,L dikatakan suatu titik leverage ketika + terletak jauh dari sebagian besar data pengamatan dalam sampel. Sebagai catatan, suatu titik leverage tidak memasukkan nilai L ke dalam perhitungan, jadi titik + , L tidak harus menjadi pencilan pada regresi. Ketika + , L dekat terhadap garis regresi yang ditentukan dengan sebagian besar data, maka hal tersebut dapat diasumsikan sebagai titik leverage yang baik. Oleh karena itu, untuk menyimpulkan bahwa + , L adalah suatu titik leverage hanya merujuk pada kepotensialnya besar mempengaruhi koefisien-koefisien regresi (karena pencilannya hanya + ). Titik + ,L tidak selalu dilihat sebagai penyebab pengaruh yang besar terhadap koefisien-koefisien regresi, karena bisa saja titik + , L tepat pada garis yang ditentukan kecendrungannya dengan sejumlah besar himpunan data lainnya.
Regresi linear berganda + , + , ⋯ , + terletak pada suatu ruang berdimensi ,. Suatu titik leverage tetap didefinisikan sebagai suatu titik 8+ , ⋯ , + [, L : dimana 8+ ,⋯ , + [: merupakan titik-titik yang terpisah dari himpunan data. Suatu titik leverage yang berpotensial berpengaruh besar pada koefisien regresi OLS, bergantung pada nilai aktual dari L , akan tetapi dalam hal ini akan sulit mengidentifikasi titik-titik leverage karena berdimensi tinggi.
2.5.2. Deteksi Pencilan
Langkah awal yang harus dilakukan dalam mendeteksi pencilan yaitu dengan melihat kemungkinan bahwa pencilan merupakan data yang berpengaruh (terkontaminasi). Data pencilan dapat dikenali dengan memeriksa data mentahnya (raw) secara visual atau dari diagram pencar pada variabel bebas (Jacob, 2003: 394). Jika terdapat lebih dari dua variabel bebas, beberapa pencilan akan sangat sulit untuk dideteksi dengan pemeriksaan visual. Oleh karena itu, dibutuhkan bantuan lain pada pemeriksaan visual yang dapat membantu dalam pendeteksian pencilan.
Dalam statistik, data pencilan harus dilihat terhadap posisi dan sebaran data yang lainnya sehingga akan dievaluasi apakah data pencilan tersebut perlu dihapus atau tidak. Ada berbagai macam metode yang dapat digunakan untuk mendeteksi adanya data pencilan yang berpengaruh dalam koefisien regresi diantaranya adalah metode grafis, boxplot, scatter plot, leverage values, discrepancy, cook’s distance, DfBETA(s), Goodness of FIT,dan metode DfFITS. Namun pada skripsi ini pendeteksian pencilan yang akan dibahas menggunakan scatter plot, metode leverage values, discrepancy, dan metode DfFITS .
2.5.2.1. Leverage Values
Pendeteksian dengan menggunakan leverage values hanya menggambarkan pengamatan yang terjadi pada variabel bebas. Leverage values menginformasikan seberapa jauh pengamatan tersebut dari nilai mean himpunan data variabel bebas. Jika hanya terdapat satu variabel bebas, leverage dapat dituliskan seperti:
\ 7 ]^_ = ℎ =/+ GBD`aC
∑bC (2.15)
dengan ℎ adalah leverage values pengamatan ke- , ! banyaknya data, adalah nilai untuk pengamatan ke- , cb adalah mean dari , dan ∑ + merupakan jumlah kuadrat ! pengamatan dari simpangan dari
meannya. Jika pengamatan ke- bernilai cb, maka bentuk kedua dari persamaan (2.15) akan 0 dan ℎ akan memiliki nilai kemungkinan yang minimum
/. Misalkan pengamatan ke- nilai pada jauh dari cb, maka nilai leverage akan naik. Nilai maksimum dari ℎ adalah 1 nilai mean dari leverage untuk !-pengamatan dalam suatu sampel adalah cdBB= I/ , dengan " merupakan jumlah variabel bebas.
Penjabaran perhitungan leverage yang dijelaskan merupakan hitungan untuk pengamatan satu variabel bebas, dapat digeneralisasi untuk pengamatan dengan variabel bebas lebih dari satu. Untuk pengamatan dengan banyak variabel bebas, hal yang menarik adalah seberapa jauh nilai-nilai untuk setiap " variabel untuk pengamatan ke- , , , ⋯, , dari centroid variabel bebas. Centroid merupakan mean dari data, c , c , ⋯, c . Perhitungan nilai ℎ untuk pengamatan ini dengan mengguanakan persamaan:
e = 0 D 0 (2.16)
dengan e merupakan matriks ! + ! dan merupakan matriks ! + " + 1 . Dimana ! merupakan banyaknya data, dan " merupakan jumlah koefisien ( variabel bebas ditambah 1 sebagai konstanta . Diagonal dari e berisi nilai leverage. Jadi, leverage untuk pengamatan ke- , ℎ merupakan nilai dari baris ke- dan kolom ke- dari e.
Penentuan nilai yang memiliki leverage yang besar didasarkan pada nilai cutoff. Nilai ℎ yang melebihi nilai cutoff dideteksi sebagai pencilan. Adapun nilai cutoff yang telah ditentukan menurut Jacob Cohen adalah I
/ untuk data yang jumlahnya ! > 15, sedangkan untuk data yang jumlahnya ! ≤ 15 digunakan cutoff I
/ ! + " + 1 . Dengan ! merupakan banyaknya data, dan " merupakan jumlah koefisien ( variabel bebas ditambah 1 sebagai nilai konstanta .
2.5.2.2. Discrepancy
Mengidentifikasi pencilan menggunakan discrepancy yang banyak digunakan adalah dengan Externally Studientized Residuals. Externally studientized residuals dengan memisalkan jika data pencilan sebuah pengamatan dihapuskan dari himpunan data. Misalkan h nilai yang merupakan prediksi pengamatan ke- , tetapi pengamatan ke- dihapuskan dari himpunan data. Pencilan berkontribusi secara substansial terhadap estimasi variansi residual sekitar garis regresi dan disimbolkan dengan c iVj klmn . Sedangkan c iVj klmn untuk variansi residual dengan pengamatan ke- yang merupakan pencilan dihapuskan dari himpunan data. Misalkan o sebagai perbedaan antara data asli, , dengan nilai prediksi untuk pengamatan ke- yang berasal dari himpunan data dengan pengamatan ke- yang dihapuskan yaitu o = − h . Externally studientized residuals untuk pengamatan ke- , p dihitung dengan:
p = kB
qrsB (2.17)
dimana o merupakan nilai residual yang dihapuskan:
o = tB
DdBB (2.18)
dan nilai standar residual juga dapat dihitung dengan:
kB= u`qvwxBsyz{ B
DdBB (2.19)
Jika persamaan (2.18) dan (2.19) dimasukkan kedalam persamaan (2.17) maka akan menjadi:
p = tB
u`qvwxBsyz{ B DdBB (2.20)
Penentuan nilai pencilan berdasarkan nilai Externally studientized residuals lebih banyak digunakan karena mengikuti distribusi p dengan o = ! − " − 1. Penentuan nilai cutoff-nya berdasarkan distribusi p, jika
nilai p > p|m}Vn dengan derajat kepercayaan ~ , maka data tersebut memiliki nilai discrepancy yang besar dan dikategorikan sebagai pencilan.
2.5.2.3. Metode DfFITS
Difference fitted value FITS merupakan metode yang menampilkan nilai perubahan dalam harga yang diprediksi bilamana kasus tertentu dikeluarkan, yang sudah distandarkan. Perhitungan DfFITS di rumuskan sebagai berikut :
= p • dBB DdBB€
F
C (2.21)
dimana p adalah studentized deleted residual untuk pengamatan ke- dan ℎ adalah nilai pengaruh untuk kasus ke- dengan:
p = u•‚ƒ Dd/D D
BB DtBCW (2.22)
adalah residual ke- dan JKG adalah jumlah kuadrat galat.
Suatu data yang mempunyai nilai absolute DfFITS lebih besar dari 2u I/ maka didefinisikan sebagai pencilan, dengan " banyaknya variabel bebas dan ! banyaknya observasi (Soemartini: 2007).