BAB 1 PENDAHULUAN
1.7 Metodologi Penelitian
1.7.2 Penduga Bayes Empirik Berdasarkan Model Beta-Binomial
1. Menentukan nilai dugaan parameter ̂ dan ̂ dari sebaran prior. 2. Menentukan penduga Bayes empirik ̂��.
3. Menentukan kuadrat tengah galat dengan menggunakan metode Jacknife. 4. Menentukan galat baku.
5. Proses hitungan dilakukan dengan Microsoft Office Excel.
Perbandingan kebaikan dari kedua penduga proporsi (penduga langsung dan Bayes empirik dari model Beta-Binomial dengan melihat nilai galat baku.
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Pendugaan Area Kecil
Secara umum metode pendugaan area kecil dibagi menjadi dua bagian yaitu metode penduga langsung (direct estimation) dan metode penduga tak langsung (indirect estimation). Metode-metode pendugaan selama ini yang sering digunakan adalah metode pendugaan langsung.
Pendugaan langsung merupakan pendugaan yang didasarkan pada desain penarikan yang menjadi perhatian (jumlah pemakai Jamkesmas). Dalam kasus pendugaan area kecil, penduga langsung bagi parameter pada area kecil yang menjadi perhatian relatif akan menghasilkan galat baku yang besar karena masalah jumlah yang memakai kartu Jamkesmas.
Suatu pendekatan tidak langsung mampu meningkatkan efektifitas ukuran jumlah pemakai Jamkesmas. Pada pendugaan tak langsung terdapat dua model penghubung yang digunakan untuk menghubungkan area kecil dengan area kecil lainnya yaitu model penghubung implisit dan eksplisit.
Penduga tak langsung dengan menggunakan model penghubung implisit adalah model yang didasarkan pada desain penarikan jumlah yang menjadi perhatian (design based). Penduga yang dihasilkan mempunyai ragam desain yang relatif kecil dibandingkan dengan ragam desain dari penduga langsung. Model penghubung implisit mempunyai tiga metode yaitu, metode sintetik, komposit, dan James-Stein. Metode sintetik adalah merupakan suatu metode dari penduga langsung untuk area besar, yang memiliki galat baku kecil digunakan untuk memperoleh penduga tak langsung untuk area kecil tertentu. Metode ini mengasumsikan bahwa area kecil tersebut memiliki karateristik yang sama dengan area besar. Metode komposit merupakan rata-rata terboboti dari penduga langsung dan penduga tak langsung. Metode James-Stein adalah penduga komposit yang menggunakan pembobot umum dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat.
Model penghubung eksplisit adalah model yang didasarkan pada pengaruh acak area kecil untuk mendapatkan keragaman antar area dan informasi peubah penyerta, yang selanjutnya dikenal dengan model area kecil. Menurut Rao (2005) peubah penyerta yang baik adalah peubah yang berhubungan erat dengan peubah yang menjadi perhatian dan berasal dari data sensus atau data administratif.
Suatu peubah respons yang menyatakan “sukses” atau “gagal” disebut sebagai
peubah biner. Pada pendugaan area kecil untuk kasus biner, peubah yang menjadi perhatian berupa proporsi. Penduga langsung bagi proporsi merupakan penduga kemungkinan maksimum yaitu ̂ = �
� , dengan mengasumsikan peubah pengamatan diasumsikan menyebar binomial, ~� Binomial ( , ). Penduga langsung ini mempunyai ragam yang besar karena hanya berdasarkan jumlah objek survei yang terdapat pada area tersebut. Suatu pendugaan lain dikembangkan untuk mengatasi permasalahan ini, yaitu pendugaan tak langsung. Pendugaan tak langsung bagi proporsi diperoleh dari model Beta-Binomial. Model ini mempunyai dua tahap, yaitu pada tahap pertama diasumsikan bahwa peubah yang menjadi perhatian ~� Binomial ( , ) = 0,…, , 0< < , = , … , . Sedangkan pada tahap kedua diasumsikan bahwa ~� beta( , ) sebagai prior, dengan fungsi kepadatan
ƒ( ⃒ , ) = � +
� ∝ � − (1- − ; > , > (Robert V. Hogg) (2.1)
Berdasarkan teorema Bayes maka penduga Bayes dan ragam posterior bagi adalah:
̂� , = � , , = + + + . dan Var ⃒ , , = , , = + + ++ − ++ + .
Bila penduga Bayes ini akan digunakan maka harus diketahui terlebih dahulu nilai parameter sebaran priornya. Namun seringkali informasi mengenai parameter prior belum diketahui. Pendekatan lain yang dapat digunakan adalah Bayes empirik, yaitu pendekatan yang dilakukan untuk mendapatkan informasi parameter prior berdasarkan datanya. Informasi parameter prior diperoleh dengan memaksimumkan fungsi sebaran marjinal ⎹ , ~ � Beta-Binomial, namun bentuk tertutup untuk ̂
dan ̂ tidak ada (McCulloch & Searle, 2001). Pada tulisan ini bertujuan untuk menilai kinerja penduga langsung dan penduga Bayes empirik pada pendugaan area kecil untuk kasus biner.
2.2 Metode Bayes Empirik
Metode Bayes yang ditemukan oleh Thomas Bayes dan kemudian dikembangkan oleh Richard Price (1763) dua tahun setelah wafatnya Bayes, kemudian Laplace pada tahun 1774 dan 1781 yang memberikan analisis secara rinci, merupakan metode yang lebih baik untuk statistik Bayes sekarang (Gill, 2002).
Model statistik Bayes merupakan perpaduan antara sebaran prior dan posterior, yaitu jika dimisalkan dengan sebaran percontohan �⃒ �~ ⃒ �) dan sebaran prior
�~� � diketahui maka sebaran posterior dari θ adalah:
� �⃒ ) =� ,� =� ⎹ � � �
dengan
= ∫ ⃒ � � � � (2.4) Suatu sebaran prior dinamakan konjugate bila menghasilkan sebaran posterior yang sama dengan dirinya. Sebaran yang masih dalam keluarga eksponensial mempunyai prior konjugate. Seperti sebaran Poisson memiliki prior konjugate Gamma dan sebaran Binomial memiliki prior konjugate Beta.
Metode Bayes empirik merupakan suatu metode yang menggunakan data pengamatan untuk menduga parameter prior. Pertama kali model ini diperkenalkan oleh Fay-Herriot (1970), untuk menduga rata-rata pendapatan area kecil di Amerika Serikat. Metode ini sesuai untuk menangani data-data biner dan cacahan pada pendugaan area kecil. Pendekatan Bayes Empirik dalam pendugaan area kecil mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:
a) Memperoleh fungsi kepekatan posterior dari parameter area kecil yang teramati. b) Pendugaan parameter model dari fungsi kepekatan marginal.
c) Menggunakan pendugaan fungsi kepekatan posterior untuk membuat inferensi parameter area kecil.
2.3 Model Beta Binomial
Model ini merupakan suatu model yang berawal dari model Bernoulli dengan model peluang untuk data biner yang dinyatakan dengan
~� Binomial ( , ) = 0,…, , 0< < , = , … , (2.5) dengan model dasar
⃒ ~� � ⎹ ~� � , (2.6)
dan
dengan � , menyatakan sebaran beta dengan parameter dan serta fungsi kepekatan untuk adalah:
ƒ( ⃒ , ) = � +
� ∝ � − (1- − ; > , > (Robert V. Hogg) (2.8)
dan, � = fungsi gama
untuk menyederhanakan = , … , � � menjadi total contoh = ∑ ,
merupakan statistik cukup minimal untuk model tahap pertama. Diketahui bahwa
~� � ,
yang mempunyai fungsi kepekatan sebagai berikut:
⃒ = � − �− � (2.9) Berdasarkan fungsi kepekatan dan fungsi kepekatan maka:
⃒ , , ~ � + , − + (2.10) Oleh karena itu, penduga Bayes bagi adalah:
̂� , = � ⎹ , , = +
+ + .
dan ragam posterior bagi adalah:
� ⃒ , , = �+ �− �+
Sebaran penghubung , , dinamakan prior konjugate pada sebaran posterior,
⎹ , , mempunyai bentuk yang sama dengan sebaran priornya. Dari sebaran
penghubung tersebut, maka digunakan model Beta-Binomial dengan sebaran peluang marginal: ⃒ , , = � + � � + �− � � , , � � + � � = � + �, + �− � � , (2.13)
Untuk menduga parameter dan digunakan dengan metode momen Kleinman:
̂
̂+̂ = ̂ (2.14)
dan
̂+̂+ = ���2−�̂ −�̂ −
�̂ −�̂ [ �−∑� �2/ � − − ] (2.15)
Dengan rataan berbobot ̂ = ∑ �
� ̂ , ragam terboboti.
� = ∑ �
� ̂ − ̂ � = ∑ . (2.16)
Ekspresi untuk dugaan parameter ̂ dan ̂ dinyatakan dengan rumus berikut dan diperoleh:
̂ = ̂ [ − ̂[ �− ∑ / � − − ]
� �− ̂ − ̂ − − ] .
dan
̂ = ̂ [�̂ −�̂ [ �−∑�( �2/ �)− − ]
���2−�̂ −�̂ − − ] [�̂− ] (2.18)
di mana ̂ dan ̂ dugaan parameter sebaran Beta-Binomial
Pensubstitusian parameter ̂ dan ̂ dari metode Kleinman ke penduga EB bagi ̂��
diperoleh:
̂�� = ̂�( ̂, ̂) = ̂ ̂ + − ̂ ̂ (2.19) dengan ̂ = �
�+̂+̂ ̂�� merupakan rataan berbobot dari penduga langsung ̂
dan penduga sintetik ̂ ( Rao, 2003).
2.4 Penduga Bayes Empirik Bagi Proporsi
Langkah awal pada pendugaan Bayes empirik dari model Beta-Binomial oleh Kleinman (Rao, 2003) adalah dengan membuat dugaan parameter prior dengan menyamakan rataan contoh terboboti.
̂ = ∑ �
� ̂ (2.20)
Keterangan:
̂ = dugaan parameter prior
= banyaknya individu pada subpopulasi ke-i � = jumlah seluruh individu
dan ragam contoh terboboti.
� = ∑ �
� ̂ − ̂ (2.21)
dengan nilai harapan masing-masing dan kemudian diselesaikan persamaan momen untuk dan , dengan � = ∑ . Penduga momen ̂ dan ̂, diberikan sebagai berikut: ̂ ̂+̂ = ̂ (2.22) dan ̂+̂+ = ���2−�̂ −�̂ − �̂ −�̂ [ �−∑� �2/ �− − ] (2.23)
Lalu substitusikan penduga momen ̂ dan ̂ ke dalam rumus:
̂� , = � ⃒ , , = �+
�+ + (2.24)
untuk memperoleh penduga Bayes empirik bagi yaitu:
̂�� = ̂�( ̂, ̂) = ̂ ̂ + − ̂ ̂ (2.25) dengan ̂ = �
�+̂+̂ , ̂ = �
� sebagai penduga langsung dari , dan masing -masing menyatakan banyaknya pengamatan dan banyaknya suatu kasus, ̂ adalah penduga sintetik atau sebagai penduga tak langsung.
2.5 Prosedur Pendugaan Proporsi Dengan Metode Bayes Empirik
Prosedur yang digunakan dalam menduga proporsi ada dua cara yaitu berdasarkan penduga langsung dan penduga Bayes empirik dari model Beta-Binomial yang diuraikan sebagai berikut:
2.5.1 Penduga Langsung
5. Menentukan penduga proporsi
̂ = �
� (2.26)
Dengan menyatakan banyaknya pengamatan suatu kasus pada subpopulasi ke-i, menyatakan banyaknya individu pada subpopulasi ke-i. Subpopulasi ini dapat berupa kecamatan.
6. Menentukan dugaan kuadrat tengah galat (ktg) yaitu
ktg(�̂)= ̂ − ̂ (2.27)
7. Menentukan galat baku
8. Proses hitungan dilakukan dengan Microsoft Office Excel.
2.5.2 Penduga Bayes Empirik Berdasarkan Model Beta-Binomial
6. Menentukan nilai dugaan parameter ̂ dan ̂ dari sebaran prior
~
���� , (2.28)
8. Menentukan kuadrat tengah galat dengan menggunakan metode Jacknife yaitu:
a) Anggap bahwa ̂��= ( ̂ , ̂, ̂), ̂��,− = ( ̂ , ̂− , ̂− , lalu
�̂ = − ∑ = ̂��,− – ̂��
=
.
b) Dengan mencari ̂− dan ̂− yang merupakan penduga momen yang diperoleh dari data ke -1 yang dihapus maka dihitung
�̂ = ̂, ̂, )− − ∑ [ ( ̂= − , ̂− , ) − ̂, ̂, ] (2.30)
c) Penduga Jacknife bagi kuadrat tengah galat penduga Bayes empirik diberikan oleh
� �̂�� = �̂ + �̂ (2.31) 9. Menentukan galat baku.
10.Proses hitungan dilakukan dengan Microsoft Office Excel.
Perbandingan kebaikan dari kedua penduga proporsi (penduga langsung dan Bayes empirik dari model Beta-Binomial dengan melihat nilai galat baku.
BAB 3
PEMBAHASAN
3.1 Penerapan Pada Data Status Kepemilikan Kartu Jaminan Kesehatan Masyarakat (Jamkesmas)
Data jumlah penduduk dan status kepemilikan Kartu Jaminan Kesehatan Masyarakat (Jamkesmas) diperoleh dari kantor Badan Pusat Statistik (BPS) dan Kantor Dinas Kesehatan kota Takengon Kabupaten Aceh Tengah. Data ini diambil dari 14 kecamatan di kota Takengon. Peubah yang menjadi perhatian adalah proporsi status kepemilikan kartu Jaminan Kesehatan Masyarakat (Jamkesmas), peubah pengamatan
adalah jumlah rumahtangga pemilik kartu sehat pada kecamatan − , dan adalah jumlah rumahtangga pada kecamatan − .
Tabel 3.1 Data Aktual Jumlah Penduduk dan Jumlah Pemakai Kartu Jaminan Kesehatan Masyarakat (JAMKESMAS) di Kota Takengon Kabupaten Aceh
Tengah No. Kecamatan Jumlah Penduduk (�� Puskesmas
Jumlah Pemakai Kartu JAMKESMAS
(��
1 Linge 8.757 Linge 5.444
2 Atu Lintang 5.803 Merah Mege 4.313
3 Jagong Jeget 8.871 Jagong 4.542
4 Bintang 8.504 Bintang 7.478
5 Lut Tawar 17.960 Kota 7.392
6 Kebayakan 14.041 Kebayakan 6.492
7 Pegasing 17.640 Pegasing 8.659
8 Bies 6.414 Atang Jungket 2.838
9 Bebesen 34.342 Bebesen 12.261
10 Kute Panang 6.815 Ratawali 4.833
11 Silih Nara 20.542 Silih Nara 9.665
12 Ketol 11.342 Blang Mancung 4.850
13 Celala 8.367 Celala 3.969
14 Rusip Antara 6.129 Rusip Antara 3.423
Sumber: Badan Pusat Statistik dan Dinas Kesehatan Kota Takengon Kabupaten Aceh Tengah.
Gambar 3.1 Data Aktual Jumlah Penduduk dan Jumlah Pemakai Kartu Jaminan Kesehatan Masyarakat (JAMKESMAS) di kota Takengon Kabupaten
Aceh Tengah 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 Jumlah Penduduk Jumlah Pemakai Kartu JAMKESMAS
Tabel 3.2 Perhitungan Penduga Langsung
No. Kecamatan Jumlah Penduduk ( ) Jumlah Pemakai Kartu JAMKESMAS ( ) Penduga Langsung
Penduga ( ̂) Galat Baku
1 Linge 8.757 5.444 0,62167 45,38289 2 Atu Lintang 5.803 4.313 0,74324 33,27795 3 Jagong Jeget 8.871 4.542 0,51201 47,07942 4 Bintang 8.504 7.478 0,87935 30,03688 5 Lut Tawar 17.960 7.392 0,41158 65,95143 6 Kebayakan 14.041 6.492 0,46236 59,07925 7 Pegasing 17.640 8.659 0,49087 66,39677 8 Bies 6.414 2.838 0,44247 39,77777 9 Bebesen 34.342 12.261 0,35703 88,78907 10 Kute Panang 6.815 4.833 0,70917 37,49102 11 Silih Nara 20.542 9.665 0,47050 71,53756 12 Ketol 11.342 4.850 0,42761 52,68844 13 Celala 8.367 3.969 0,47436 45,67550 14 Rusip Antara 6.129 3.423 0,55849 38,87519 ∑ - �� = 175.527 86.159 7,56072 722,03913
3.1.1 Perhitungan Penduga Langsung
1. Menentukan penduga proporsi
̂
=
̂ = .. ̂ = ,
2. Menentukan dugaan kuadrat tengah galat
̂ = �̂ ̂ = ̂ − ̂ ̂ = . ( . . ) ( − . . ) ̂ = . ,
3. Menentukan galat baku
� � = √ ̂
Tabel 3.3 Perhitungan Bayes Empirik Bagi Proporsi
̂ =
�=
̂ = ̂�� = 0,03102 0,01741 423,88463 0,99999708 0,62167 0,02457 0,01708 178,84974 0,99999784 0,74324 0,02588 0,01194 435,33354 0,99999859 0,51201 0,04260 0,03392 399,00508 0,99999852 0,87935 0,04211 0,01397 1824,67512 0,99999930 0,41158 0,03699 0,01447 1110,18721 0,99999911 0,46236 0,04933 0,01959 1759,77342 0,99999929 0,49087 0,01617 0,00664 221,37645 0,99999804 0,44247 0,06985 0,01614 6706,04017 0,99999963 0,35703 0,02753 0,01804 251,59875 0,99999816 0,70917 0,05506 0,02020 2391,03906 0,99999939 0,47050 0,02763 0,01034 719,88419 0,99999889 0,42761 0,02261 0,00973 385,83715 0,99999850 0,47436 0,01950 0,01014 201,01061 0,99999795 0,55849 0,49086 0,21960 17008.49513 13,99998030 7,56072Keterangan Judul Tabel:
̂ = , = ∑ ( �) ̂ � = , = ∑ ( �) ̂ − ̂ = ∑ �− − ̂ = , = + ̂ + ̂ ̂�� = , = ̂ ̂ + − ̂ ̂
1. Nilai , � ̂ tertera pada tabel 3.2 halaman 24. 2. Nilai ̂ dan ̂ tertera pada halaman 29.
3.1.2 Perhitungan Penduga Bayes Empirik Bagi Proporsi
1. Langkah awal pada pendugaan Bayes empirik dari model Beta-Binomial oleh Kleinman (Rao, 2003) adalah dengan membuat dugaan parameter prior dengan menyamakan rataan contoh terboboti.
̂ = ∑
��
̂
̂ = .. ,
̂ = ,
2. Ragam contoh terboboti
�
= ∑
��
̂ − ̂
� = ( .
. ) , − ,
� = ,
3. Dengan nilai harapan masing-masing dan kemudian diselesaikan persamaan momen untuk dan , dengan � = ∑ . Penduga momen ̂ dan ̂, diberikan sebagai berikut: ̂ ̂+̂
= ̂
̂ ̂+̂=
, ̂, ̂ = , ̂
̂ =
,,̂
̂ = . ̂ dan ̂+̂+=
���2−�̂ −�̂ − �̂ −�̂ [ �−∑���2 ��− − ]̂+̂+
=
, . − ,, − ,[ . − ,− , −]̂+̂+
=
, . , − ,[ . , ]̂+̂+
=
.. ,,̂+̂+
=
, = , ̂ + , ̂ + , , = , ̂ + , ̂ , = , ( , ̂) + , ̂ , = . ̂ + , ̂ , = , ̂̂ =
,,̂ = , (Penduga Momen) ̂ = , ,
̂ = , (Penduga Momen)
4. Lalu substitusikan penduga momen ̂ dan ̂ ke dalam rumus:
̂� , = � , , = �+
�+ +
untuk memperoleh penduga Bayes empirik bagi yaitu:
̂�� = ̂�( ̂, ̂) = ̂ ̂ + − ̂ ̂ dengan ̂ = �
�+̂+̂ , ̂ = �
� sebagai penduga langsung dari , dan masing - masing menyatakan banyaknya pengamatan dan banyaknya suatu kasus, ̂ adalah penduga sintetik atau sebagai penduga tak langsung.
̂ =
+ ̂ + ̂
̂ = . + ,. + ,
̂ = . . ,
Jadi, ̂�� yaitu:
̂�� = ̂�( ̂, ̂) = ̂ ̂ + − ̂ ̂
̂�� = , × , + − , ,
Tabel 3.4 Perhitungan Penduga Bayes Empirik Berdasarkan Model Beta-Binomial ̂��= ℎ 0,62167 - 18.036.084,60 671.613.547.412,66 0,000027 0,74324 0,01478 6.426.444,97 195.451.177.264,28 0,000033 0,51201 0,05347 19.662.431,57 698.184.897.523,29 0,000028 0,87935 0,13494 7.672.538,44 615.070.279.040,57 0,000012 0,41158 0,21881 78.118.885,03 5.793.553.664.527,84 0,000013 0,46236 0,00258 49.008.287,41 2.768.390.958.313,53 0,000018 0,49087 0,00081 77.766.704,65 5.489.366.805.843,90 0,000014 0,44247 0,00234 10.148.769,89 263.912.384.324,66 0,000038 0,35703 0,00730 270.735.577,99 40.503.296.255.613,20 0,000007 0,70917 0,12401 9.579.093,93 316.567.403.905,70 0,000030 0,47050 0,05696 105.126.467,56 8.668.639.433.688,60 0,000012 0,42761 0,00184 31.486.344,73 1.459.184.332.185,86 0,000022 0,47436 0,00219 17.455.768,96 585.821.349.043,80 0,000030 0,55849 0,00708 9.262.716,61 230.274.133.833,22 0,000040 7,56072 0,62710 710.486.116,33 68.259.326.622.521,10 0,000325
Keterangan Judul Tabel:
̂�� = , = ̂ ̂ + − ̂ ̂ = ̂��,− − ̂�� = + − + ℎ = + + + + + = , , = �+ �− �+ �+ + + �+ + 2
1. Nilai , , ̂ tertera pada tabel 3.2 halaman 24. 2. Nilai dan tertera pada halaman 28.
Sambungan Tabel 3.4 - 0,000039 0,582348 0,763117 -0,000006 0,000045 0,582354 0,763121 0,000005 0,000041 0,582349 0,763118 0,000016 0,000025 0,582333 0,763108 -0,000001 0,000026 0,582334 0,763108 -0,000004 0,000030 0,582339 0,763111 0,000004 0,000027 0,582335 0,763109 -0,000024 0,000051 0,582359 0,763125 0,000032 0,000019 0,582328 0,763104 -0,000024 0,000043 0,582351 0,763119 0,000018 0,000025 0,582333 0,763107 -0,000009 0,000034 0,582342 0,763114 -0,000008 0,000042 0,582351 0,763119 -0,000010 0,000053 0,582361 0,763126 -0,000013370 - - -
Keterangan Judul Tabel:
= ( ̂− , ̂− , ) − ( ̂, ̂, )
= �̂ = ( ̂, ̂, ) − − ∑[ ( ̂−, ̂− , ) − ( ̂, ̂, )]
=
= ���� ̂�� = �̂ + �̂
3.1.3 Perhitungan Penduga Bayes Empirik Berdasarkan Model Beta-Binomial
Nilai dugaan parameter ̂ dan ̂ dari sebaran prior dan nilai penduga Bayes empirik
̂�� yang telah didapat pada rumus (3.6), (3.7) dan (3.9) maka dapat kita cari nilai kuadrat tengah galat dengan menggunakan metode Jacknife yaitu:
d) Anggap bahwa ̂��= ( ̂ , ̂, ̂), ̂��,− = ( ̂ , ̂− , ̂− , lalu
�̂ = − ∑ = ̂��,− – ̂��
=
�̂ = − ,
�̂ = ,
e) Dengan mencari ̂− dan ̂− yang merupakan penduga momen yang diperoleh dari data ke -1 yang dihapus maka dihitung
�̂ = ( ̂, ̂, ) − − ∑[ ( ̂− ,̂− , ) − ( ̂, ̂, )]
=
Terlebih dahulu kita cari nilai yaitu:
( ̂, ̂, ) = + + ++ − ++ +
( ̂, ̂, ) = . + ,. + ,+ , +. − .. + ,+ , + ,
�̂ = , − − ∑[− , ]
=
�̂ = ,
f) Penduga Jacknife bagi kuadrat tengah galat penduga Bayes empirik diberikan oleh
� ̂�� = �̂ + �̂ � ̂�� = , + ,
� ̂�� = ,
Tabel 3.5 Pendugaan Proporsi Status Kepemilikan Kartu Sehat
No. Kecamatan Jumlah Penduduk
Jumlah Pemakai Jamkesmas
Penduga Langsung Bayes Empirik Penduga Galat Baku Penduga Galat Baku 1 Linge 8.757 5.444 0,62167 45,38289 0,62167 0,763117 2 Atu Lintang 5.803 4.313 0,74324 33,27795 0,74324 0,763121 3 Jagong Jeget 8.871 4.542 0,51201 47,07942 0,51201 0,763118 4 Bintang 8.504 7.478 0,87935 30,03688 0,87935 0,763108 5 Lut Tawar 17.960 7.392 0,41158 65,95143 0,41158 0,763108 6 Kebayakan 14.041 6.492 0,46236 59,07925 0,46236 0,763111 7 Pegasing 17.640 8.659 0,49087 66,39677 0,49087 0,763109 8 Bies 6.414 2.838 0,44247 39,77777 0,44247 0,763125 9 Bebesen 34.342 12.261 0,35703 88,78907 0,35703 0,763104 10 Kute Panang 6.815 4.833 0,70917 37,49102 0,70917 0,763119 11 Silih Nara 20.542 9.665 0,47050 71,53756 0,47050 0,763107 12 Ketol 11.342 4.850 0,42761 52,68844 0,42761 0,763114 13 Celala 8.367 3.969 0,47436 45,67550 0,47436 0,763119 14 Rusip Antara 6.129 3.423 0,55849 38,87519 0,55849 0,763126
Dari tabel 3.5 dapat diperoleh informasi bahwa secara rata-rata banyak rumahtangga belum memiliki kartu Jaminan Kesehatan Masyarakat (JAMKESMAS). Penduga langsung memberikan galat baku yang besar sehingga penduga mempunyai presisi yang rendah. Sedangkan penduga Bayes empirik memberikan hasil pendugaan dengan presisi meningkat yang ditunjukkan oleh kecilnya galat baku.
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian yang diperoleh dari bab-bab sebelumnya mengenai penerapan metode Bayes empirik pada pendugaan area kecil untuk kasus biner (studi tentang proporsi status kepemilikan Kartu Jaminan Kesehatan Masyarakat (JAMKESMAS) di kota Takengon kabupaten Aceh Tengah adalah penduga Bayes empirik dari model Beta-Binomial lebih dapat diandalkan daripada penduga langsung, yang diperlihatkan dengan semakin kecilnya galat baku.
4.2 Saran
Penelitian ini menggunakan model Beta-Binomial tanpa peubah penyerta. Untuk lebih meningkatkan keakuratan pendugaan disarankan memasukkan peubah penyerta dalam model Beta-Binomial.
DAFTAR PUSTAKA
Abadi, Slamet. 2011. Tesis: Pendugaan Statistik Area Kecil Menggunakan Model Beta-Binomial. Institut Pertanian Bogor.
Brackstone, G.J. 2002. Strategies and approach for small area statistic. Survey Methodology, 28 (2), 117-123
[BPS] Badan Pusat Statistik, Jumlah Penduduk Tahun 2010.
Carlin, B.P., & Louis, T.A. 2000. Bayes and empirical Bayes methods for data analysis. New York: Chapman & Hall.
Dinas Kesehatan, Jumlah Pemakai Jaminan Kesehatan Masyarakat (Jamkesmas) Tahun 2010.
Farrel, P.J., MacGibbon, B., & Tomberlin, T.J. 1997. Empirical Bayes small-area estimation using logistic regression models and summary statistics. Journal of Business & Economic Statistics, 15 (1), 101-108.
Farrel, P.J., MacGibbon, B., & Tomberlin, T.J. 1997. Bootstrap adjusments for empirical Bayes interval estimates of small-area proportions. The Canadian Journal of Statistics, 25 (1), 75-89
Fay, R.E., & Herriot, R.A. 1979. Estimates of income for small places: an application of James-Stein procedures to census data. Journal of the American Statistical Association, 74 (366), 269-277.
Gill, J. 2002. Bayesian Methods: a social and behavioral sciences approach. Boca Raton: Chapman & Hall.
Gosh, M., & Rao, J.N.K. 1994. Small area estimation: an appraisal. Statistical Science, 9 (1), 55-76.
Jiang, J., & Lahiri, P. 2001. Empirical best prediction for small area inference with binary data. Annals of the institute of Statistical Mathematics, 53 (2), 217-243.
Jiang, J., Lahiri, P., & Wan, S.M. 2002. A unified jacknife theory for empirical best prediction with M-estimation. The Annals of Statistics, 30 (6), 1782-1810
Larsen, M.D. 2003. Estimation of small-area proportions using covariates and survey data. Journal of Statistical Planning and inference, 112 (2003), 89-98.
Malec, D., sedransk, J., Moriarity, C.L., & LeClere, F.B. 1997. Small area inference for binary variables in the national health interview survey. Journal of the American Statistical Association, 92 (439), 815-826 McCulloch, C.E., & Searle, S.R.2001. Generalized linear and mixed models. New
York: Wiley.
Rao, J.N.K 1999. Some recent advances in model-based small area estimation. Survey Methodology, 25 (2), 175-186.
Rao, J.N.K. 2003. Small area estimation. New York: John Wiley and Sons.
Robert V. Hogg. 2003. Introduction To Ma thematical Statistics. Prentice Hall, Englewood Cliffs: New Jersey.