SOAL LATIHAN
2. Metode Time-Area
7.3 Penelusuran Aliran Tipe-Lump
Bentuk sederhana dari aliran tak tunak sepanjang pengalira air sungai adalah model lumped dimana seluruh daerah pengaliran dianggap seragam kondisinya. Pendugaan dilakukan jika ada aliran masuk (I) maka dapat diprediksi debit hidrograf keluar (Q) sebagai fungsi waktu misalnya I(t) dan Q(t).
Prinsip konservasi massa dengan menghitung perbedaan antara dua aliran akan sama dengan laju perubahan simpanan air (S) dalam suatu periode waktu seperti disajikan pada persamaan berikut:
……….. (7.1)
Fungsi sederhana simpanan terhadap debit keluaran Q, misalnya S = f(Q), atau tinggi permukaan air h, misalnya S = f(h). Bentuk sederhana hubungan tinggi permukan air dan simpanan biasanya ditunjukkan pada danau atau reservoir. Bentuk hubungan akan menjadi lebih kompleks bila pada sepanjang pengaliran (sungai dan anak sungai) simpanan menjadi fungsi dari inflow dan outflow.
Solusi persamaan untuk Q(t) dengan berbagai pendekatan simpanan dapat dilakukan melalui penelusuran aliran seragam. Teknik grafis dan penyelesaian persamaan matematis telah diterapkan. Model aliran lump (DAS seragam) relatif lebih sederhana dibandingkan dengan distributed flow routing. Akan tetapi pengabaian dampak aliran balik (waterback atau water-hammer) dapat menjadi sumber ketidak akuratan hidrograf yang mengalami perubahan tiba-tiba sepanjang reservoir. Metode
Lump dapat dikategorikan ke dalam tiga tipe yakni: (1) tipe level-pool untuk reservoir, (2) tipe simpanan (storage) untuk sungai, dan (3) tipe sistem linear dengan karakterisasi fungsi respon, dan hubungan inflow-outflow atau input-output yang didefinisikan dengan teknik integral konvolusi (convolution integral).
Level-Pool Reservoir Routing
Dalam sistem ini reservoir diasumsikan selalu memiliki permukaan datar sepanjang muka air di reservoir. Penelusuran aliran tak tunak tidak akan terjadi lama dan hidrograf tidak berubah dengan cepat terhadap waktu, sehingga reservoir dapat didekati dengan teknik sederhana sebagai level-pool routing. Elevasi permukaan air h berubah terhadap waktu t, dan outflow dari reservoir diasumsikan sebagai fungsi h(t). Pendekatan ini menghasilkan suatu persamaan diferensial yang dapat diselesesaikan dengan beberapa teknik numerik seperti metode Runge-Kutta atau metode integrasi iterasi trapezoid.
Metode Iterative Trapezoidal Integration. Pada metode ini aturan trapesium
digunakan untuk mengintegralkan persamaan konservasi massa. Acuan waktu
terdiri dari pembagian waktu dengan interval t, misal t = 0, t, 2t, ... , jt, (j + 1 ) ……….. (7.2)
Dimana luas permukaan Sa merupakan fungsi h. Dengan menggunakan nilai rata- rata untuk I(t) dan Q(t) sepanjang interval t dan substitusi (7.2) ke persamaan (7.1) maka diperoleh:
………. (7.3)
Inflow pada waktu j dan j+1 diketahui dari hidrograf inflow; outflow Q pada waktu j dapat dihitung dari elevasi permukaan air yang diketahui hi dengan persamaan spillway. Luas permukaan SaJ ditentukan dari nilai hi. Parameter yang belum diketahui adalah hj+1,QJ+1, SaJ+1; Q dan Sa merupakan persamaan nonlinear dari hJ+1. Sehingga persamaan (7.3) dapat diselesaikan hJ+1 melalui metode iterasi seperti Newton-Raphson:
Muskingum River Routing
Metode Muskingum dikembangkan oleh McCarthy sebagai metode yang dikenal luas untuk penelusuran aliran tipe lump. Metode ini mengasumsikan simpanan sebagai fungsi variabel inflow-discharge dan persamaan simpanan:
S=K[XI+(I-X)Q] ……… (7.5) Laju perubahan simpanan dS/dt pada persamaan 7.1 dinyatakan sebagai berikut:
……… (7.6)
dimana superscripts j dan j+1 menujukkan waktu antara interval tj. Substitusi persamaan (7.6) ke dalam (7.1) menghasilkan persamaan:
……… (7.7) dimana penelusuran aliran Muskingum memberikan 3 koefisien:
……… (7.8) dan C1+ C2 + C3 = 1, dan K/3 < t < 5 K merupakan batasan untuk
Contoh Soal
Jika waktu tempuh titik berat massa banjir antara huku dan hilir 9 jam dan faktor x=0,33. Gunakan cara Muskingum untuk mencari hidrograf aliran di hilir dengan menggunkan hidrograf aliran di hulu berikut (kehilangan air dan backwater diabaikan):
7.4 Penelusuran Aliran Tipe-Terdistribusi
Aliran tak tunak pada suatu pengaliran air secara tepat digambarkan sebagai suatu proses tersdistribusi karena laju/debit aliran, kecepatan, dan kedalaman (elevation) air bervariasi terhadap ruang (pada penampang pengaliran sepanjang saluran). Estimasi perilaku dari suatu sistem saluran dapat ditentukan dengan emnggunakan penelusuran aliran terdistribusi berdasarkan persamaan differensial lengkapaliran tak-tunak satu dimensi (Persamaan Saint-Venant). Persamaan ini menghitung secara komputasi debit aliran dan kedalaman air sebagai fungsi ruang dan waktu dan bukan hanya waktu seperti pada metode penelusuran aliran lump. Penelusuran aliran terdistribusi yang didasarkan pada Persamaan Saint-Venant dikenal dengan dynamic routing (penelusuran dinamis). Penyederhanaan bentuk persamaan Saint-Venant yang didasarkan sebagai persamaan kinematik dan diffusi (zero-inertia) apat digunakan untuk penelusuran aliran terdistribusi.
Persamaan Saint-Venant. Persamaan asal Saint-Venant adalah persamaan konservasi massa:
……… (7.9) dan persamaan momentum:
……… (7.10)
Dalam hal ini t adalah waktu, x adalah jarak sepanjang pengaliran air, A adalah luas penampang, V adalah kecepatan, q adalah inflow atau outflow lateral terdistribusi sepanjang sumbu x pengaliran, g adalah tetapan gaya grafitasi, h adalah elevasi permukaan air (dari datum/acuan) misalnya dh/dx = dy/dx - So dimana y adalah kedalaman aliran dan So adalah kemiringan dasar saluran pengaliran, dan Sf adalah kemiringan gesekan yang dapat dievaluasi secara seragam. Persamaan steady-flow empirical resistance seperti persamaan Chezys atau Manning adalah persamaan diferensial parsial hyperbolik quasi-linear dengan dua dependent parameter (V dan h) yang bervariasi pada satu dimensi (arah x) dan dua independent parameter (x dan t).
Luas penampang pengaliran A dan gradien Sf merupakan fungsi dari h dan/atau V. Tak ada solusi analitis dari persamaan differensial kompleks untuk hampir semua praktek penerapan dalam model penelusuran banjir. Turunan persamaan Saint-Venant mengikuti beberapa asumsi dasar:
(1) Aliran satu dimensi,
(2) Panjang sungai yang dipengaruhi oleh gelombang banjir umumnya lebih besar dari kedalaman aliran,
(3) Percepatan vertikal diabaikan dan distribusi tekanan vertikal gelombang adalah hidrostatik,
(4) Densitas/kerapatan massa air konstan,
(5) Dasar dan dinding saluran ditentukan dan tidak berubah-ubah, and (6) Kemiringan dasar saluran So realitif kecil, (kurang dari 15 persen).
Aplikasi Penelusuran Aliran Terdistribusi. Model tedistribusi yang menghitung debit
lairan Q dan tinggi permukaan air h berguna untuk menentukan kedalaman genangan banjir, kebutuhan tinggi bangunan seperti jembatan atau wilayah sempadan sungai, and keceptan aliran air dalam transport pemindahan polutan. Model terdistribusi dapat juga digunakan untuk penerapan lain seperti pendugaan banjir real time di sungai, pemberian dan pengaliran air irigasi, melalui saluran, peta inundasi perencanaan dam-break, perubahan gelombang transient yang terjadi di reservoir oleh pintu atau turbin, longsor akibat gelombang di reservoir, dan aliran tank tunak di sistem pembuangan air hujan.
Model Penelusuran Terdistribusi Sederhana. Sebelum perkembangan komputer pesat, atau untuk kepentingan ekonomi dan kepraktisannya dalam sumber komputasi,
dalam penyelesaian persamaan Saint-Venant yang kompleks, maka dikembangkanlah beberapa model terdistribusi yang disederhanakan. Model didasarkan pada persamaan konservasi massa dan berbagai penyederhanaan persamaan momentum.
Model Gelombang Kinematik. Tipe tersederhana model penelusuran terdistribusi
adalah model gelombang kinematik. Model ini diperkenalkan oleh Lighthill dan Whitham. Model ini didasarkan pada bentuk sederhana dari persamaan momentum sebagai berikut:
Sf – So = 0 ……… (7.11)
dimana So adalah kemiringan dasar saluran (watercourse) dan komponen (dh/dx). Asumsi ini menganggap momentum aliran unsteady sama dengan pada aliran seragam tuank (steady) seperti yang ditinjau pada persamaan Chezy, Manning atau persamaan sejenisnya dimana debit sebagai fungsi tunggal oleh kedalaman, misalnya, dA/dQ = dA/dQ =1/c. Juga dA/dt = dA/dQ * dQ/dt dan Q = A V. Persamaan 7.9 dapat dikembangkan menjadi persamaan klasik gelombang kinematik seperti berikut:
……… (7.12) Dalam hal ini kecepatan gelombang kinematik atau celerity (c) didefinisikan sebagai:
c = k' V ……… (7.13)
dimana k' adalah rasio kinematika, yang merupakan perbandingan celerity gelombang kinematik dengan kecepatan aliran. Jika persamaan Manning digunakan untuk aliran tunak uniform, maka rasio kinematika dinayatak dengan persamaan:
……… (7.14)
dimana B adalah lebar atas saluran pengaliran, A = luas penampang pengaliran, P wetted perimeter, dan dP/dy adalah turunan P terhadap kedalaman air y. Untuk aliran pada saluran segiempat, k' = 5/3. Metode penyelesaian persamaan gelombang kinematik terdiri dari solusi analitis menggunakan metode karakteristik atau solusi langsung dengan teknik pendekatan finite-difference secara explicit atau implicit. Persamaan gelombang kinematik secara teoritis tidak mempertimbangkan kejadian gelombang hydrograph. Model gelombang kinematik terbatas aplikasinya pada single-value, stage-discharge ratings yang ada dimana tidak ada rating loop dan pengaruh backwater tidak signifikan. Sejak adanya model gelombang kinematik, gangguang
gelombang dapat dipropagasi hanya kearah hilir, aliran sebaliknya tidak dapat diprediksi. Model gelombang kinematik digunakan sebagai komponen model hidrologi suatu DAS untuk penelusuran aliran overland flow; dan tidak direkomendasikan untuk saluran kecuali hydrograph menaik sangat kecil, kemiringan saluran moderat sampai curam, dan kejadian hydrograph cukup kecil.
Model Difusi Gelombang. Model gelombang kinematik sederhana yang laina adalah
model diffusion wave (zero-inertia), dengan pendekatan persamaan momentum sebagai berikut:
……… (7.15) Teknik pendekatan finite-difference (explicit dan implicit) telah digunakan untuk mendapatkan solusi simultaneous persamaan penyusun. Model ini mempertimbangkan pengaruh backwater tetapi tidak menunjukkan distribusi secara langsung terhadap waktu sepanjang penelusuran; keakurasiannya juga rendah untuk hydrograph menaik cepat, seperti kejadian kerusakan bendung, gelombang hujan badai, atau pelepasan cepat air dari dam dan terputus-putus, dimana propagasi melalui pengaliran berkemiringan sedang sampai datar.