Penerapan kasus ini merupakan pengembangan dari Arum dan Kuntari [1]. Diberikan informasi tentang penyebaran penyakit cacar air. Penyakit cacar air merupakan penyakit infeksi yang menyebar melalui bersin, batuk, makanan dan bersentuhan langsung dengan luka yang diakibatkan oleh penyakit ini. Menurut Johnson [10] tingkat rata-rata kontak penyakit cacar air yaitu 0.65≤ β ≤0.85,
sedangkan tingkat kesembuhan penyakit sebesar γ = 0.3. Pada pembahasan ini ingin diketahui perilaku penyebaran penyakit cacar air dengan tingkat rata-rata kontak minimal, untuk itu digunakan tingkat rata-rata kontak minimal atauβ = 0.65. Sebagai contoh, suatu daerah yang memenuhi asumsi pada model memiliki jumlah penduduk yaitu N = 586039, dengan tingkat kelahiran sebesar µ1 = 0.01193 dan tingkat individu imigran sebesar µ2 = 0.02585. Tingkat individu lahir yang divaksin pada daerah tersebut sebesar σ1 = 0.7, sedangkan tingkat individu imigran yang divaksin sebesar σ2 = 0.6. Menurut Johnson [10], vaksin cacar air hanya memiliki keefektifan 99%. Dengan demikian tingkat kegagalan vaksin cacar air yaitu θ= 0.01.
Pada penerapan, ingin diketahui penyebaran penyakit apabila dengan ting-kat sanitasi maksimal atau H = 1. Diambil nilai α = 0.5, dengan demikian tingkat sanitasi dapat menurunkan tingkat rata-rata kontak dari 0.65 menjadi 0.15. Selanjutnya berdasarkan parameter yang telah diketahui, model (4.4) da-pat disajikan sebagai
dS dt = 8296.91−0.03778S−2.55956×10−7IS dI dt = 2.55956×10−7IS−0.33778I dR dt = 13843.6 + 0.3I−0.03778R. (4.8)
Penyelesaian model SIR (4.8) dilakukan dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde empat dengan jumlah individu awal I(0) = 100, S(0) = 585939 dan R(0) = 0. Jumlah individu kelompok S, I dan R dengan tingkat sanitasi maksimal dapat dilihat pada Gambar 4.2 dan Gambar 4.3.
commit to user
R
S
0 400t
219 611 366 428 585 939S R
Gambar 4.2. Jumlah individu S dan R
runan jumlah individu pada kelompok S, hal ini dikarenakan adanya individu susceptible yang tertular penyakit dan kemudian berpindah ke kelompok I. Pada awalnya tidak ada individu pada kelompok R, namun jumlah individu recovered meningkat karena adanya individu yang sembuh dari penyakit dan individu yang sukses divaksin. Jumlah individu pada kelompok R meningkat dari 0 sampai 366428 individu kemudian jumlah tersebut tetap sepanjang waktu. Hal ini ber-kebalikan dengan kelompokS yang menurun dari 585939 sampai 219611 individu kemudian jumlah tersebut tidak berubah atau tetap sepanjang waktu. Jumlah
0 24 100
t
0 100
I
commit to user
individuinfected yang tampak pada Gambar 4.3 menurun dari 100 individu sam-pai 0, kemudian jumlahnya tidak mengalami perubahan sepanjang waktu. Hal ini berarti bahwa penyakit tersebut sudah tidak menyebar lagi. Dari Gambar 4.2 dan 4.3 tampak bahwa untuk suatu waktu t jumlah individu S,I dan R akan tetap sepanjang waktu. Kondisi seperti ini disebut titik kesetimbangan.
Titik kesetimbangan merupakan suatu titik dimana tidak terjadi perubahan jumlah individu pada tiap kelompok. Pada kasus ini, hanya terdapat satu titik ke-setimbangan yaitu titik keke-setimbangan bebas penyakit pada (219611,0,366428). Tidak adanya individu pada kelompok I menunjukkan bahwa penyakit sudah tidak menyebar lagi atau bebas penyakit. Untuk tingkat sanitasi maksimal atau
H = 1, nilai eigen dari matriks Jacobian di titik kesetimbangan tersebut ada-lah (−0.28156,−0.03778). Berdasarkan Tabel 2.1 titik kesetimbangan tersebut bersifat stabil asimtotis. Selain dilihat dari nilai eigen matriks Jacobiannya, kes-tabilan di titik kesetimbangan dapat dilihat melalui perilaku trajektori di sekitar titik kesetimbangan pada bidang fase. Hal ini dilakukan untuk mengetahui ba-gaimana perilaku penyelesaian sistem disekitar titik kesetimbangan secara visual agar lebih mudah dipahami.
Pada model (4.8) dapat dibuat tiga bidang fase, yaitu bidang fase I, S-R dan I-R. Akan tetapi pada pembahasan ini hanya ditampilkan bidang fase S-I. Hal ini karena penyebaran suatu penyakit dapat dilihat dari jumlah indi-vidu yang sakit (infected), sedangkan jumlah individu recovered akan diketahui apabila jumlah individu susceptible diketahui. Trajektori di sekitar titik kese-timbangan disajikan pada Gambar 4.4. Dilihat dari bentuknya yang menyerupai simpul, titik kesetimbangan pada kasus ini disebut titik simpul. Tampak bahwa arah trajektori menuju titik kesetimbangan, oleh karena itu kestabilan di titik tersebut bersifat stabil. Selanjutnya karena arah trajektori tersebut membentuk suatu garis asimtotis di sepanjang sumbuS maka kestabilan di titik kesetimbang-an tersebut bersifat stabil asimtotis. Karena titik kesetimbkesetimbang-angkesetimbang-an ykesetimbang-ang diperoleh merupakan titik kesetimbangan bebas penyakit, maka pada keadaan ini tidak ada individu yang terinfeksi penyakit. Dengan demikian jika titik kesetimbangan
commit to user
tersebut stabil asimtotis maka kondisi dimana tidak ada individu yang terinfeksi akan terus berlangsung di daerah tersebut. Kondisi yang demikian sangat diha-rapkan karena penyakit tidak akan menyebar lagi.
-300 000 600 000I
-300 000
600 000
S
Gambar 4.4. Trajektori di sekitar titik kesetimbangan
Selanjutnya dilakukan simulasi pada nilaiH untuk mengetahui bagaimana pengaruh tingkat sanitasi terhadap penurunan puncak endemik. Hal tersebut dirasa penting untuk dijadikan sebagai acuan dalam mengambil tindakan pence-gahan untuk menurunkan puncak endemik. Dengan demikian diharapkan penye-baran penyakit yang terjadi akan berkurang. Simulasi pertama dilakukan pada
H = 0 atau tanpa sanitasi. Hasil simulasi menunjukkan bahwa jumlah individu infected meningkat dengan puncak endemik mencapai 6564 individu pada hari ke-31.
Simulasi kedua dilakukan pada nilai H = 0.25. Jumlah individu infected meningkat pada H = 0.25 dengan puncak endemik sebesar 1507 individu pada hari ke-27, artinya terjadi penurunan puncak endemik sebesar 5057 orang jika tingkat sanitasi dinaikkan dari H = 0 menjadi H = 0.25. Simulasi yang ketiga
commit to user
dilakukan dengan menaikkan tingkat sanitasi menjadi H = 0.5. Ketika tingkat sanitasi dinaikkan menjadi 0.5, jumlah individu infected mencapai 393 individu pada hari ke-19. Hal ini berarti terjadi penurunan puncak endemik sebesar 6171 individu apabila sanitasi dinaikkan dari H = 0 sampai H = 0.5. Simulasi yang terakhir dilakukan pada H = 0.75. Jumlah individu infected maksimal menca-pai 153 individu pada hari ke-11. Dengan demikian terjadi penurunan jumlah individu infected sebesar 6411 individu.
Jumlah individu infeksi maksimum atau puncak endemik pada nilai H = 0,0.25,0.5,0.75,dan 1 disajikan pada Tabel 4.1. Berdasarkan Tabel 4.1 tampak
Tabel 4.1. Nilai puncak endemik dengan simulasi nilai H H Puncak endemik (Imaks) t (dalam hari)
0 6564 31
0.25 1507 27
0.5 393 19
0.75 153 11
1 100 0
bahwa semakin besar nilai H maka puncak endemik akan semakin menurun. Secara visual penurunan puncak endemik dapat dilihat pada Gambar 4.5. Pada Gambar 4.5 tampak bahwa semakin besar tingkat sanitasi, maka semakin singkat pula penyakit tersebut menyebar pada suatu wilayah.
31 150t 100 6564 I H=0.25 H=0.5 H=0.75 H=1 0 11 19 27 150 t 100 153 393 1507 I
commit to user
Bab V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan dapat diambil kesimpulan sebagai berikut. 1. Model endemikSIR dengan imigrasi, vaksinasi dan sanitasi dapat
dieks-presikan sebagai dS dt = (µ1+µ2)N −(1−θ)(σ1µ1 +σ2µ2)N −(µ1+µ2)S− (β−αHN )SI dI dt = (β−αH)SI N −(µ1+µ2)I−γI dR dt = (1−θ)(σ1µ1+σ2µ2)N +γI −(µ1+µ2)R.
2. Terdapat dua jenis titik kesetimbangan pada model SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan sanitasi yaitu titik kesetimbangan endemik yaitu
Ee= Se, Ie, Re dengan Se=(γ+µ1+µ2)N β−αH Ie=(µ1+µ2)N −(1−θ)(µ1σ1+µ2σ2)N− (µ1+µ2)(β−γ+αHµ1+µ2)N (γ+µ1+µ2) Re=N −Se1−Ie1
dan titik kesetimbangan bebas penyakit yaitu
E0 = (S0, I0, R0) = (µ1+µ2)N−(1−θ)(µ1σ1+µ2σ2)N
µ1+µ2 , 0, (1−θ)(µ1σ1+µ2σ2)N µ1+µ2
.
3. Simulasi menunjukkan bahwa peningkatan sanitasi dapat menurunkan pun-cak endemik serta mempersingkat suatu penyakit menyebar dalam suatu daerah.
commit to user