Pengantar

Skyrmion adalah soliton tiga dimensi. Contoh-contoh dalam satu dan dua dimen-si menunjukkan banyak ciri dari soliton dalam konteks yang lebih sederhana. Dalam dua dimensi kita mempelajari soliton dalam dua teori medan yang berbeda, model sigma linear dan nonlinear. Soliton dalam model kedua dapat ditinjau sebagai analo-gi dua dimensi dari Skyrmion. Dalam literatur mereka terkadang disebut sebagai baby Skyrmion.

1.1.1 Ciri-ciri Dasar Soliton

Anggaplah bahwa Fφ = 0 adalah persamaan diferensial atau sebuah sistem per-samaan diferensial yang mencangkup sebuah medan atau himpunan medan yang diny-atakan dengan φ yang merupakan fungsi D koordinat ruang ~x dan koordinat waktu t.

Kita akan mengasumsikan bahwa Fφ= 0 adalah persamaan gerak yang dihasilkan dari teori medan Lagrangian. Kita juga mengasumsikan bahwa sistem memiliki ”energi” εφ

3

dan sebuah ”rapat energi” Eφ(~x, t), εφ =

Z

d^DxEφ(~x, t), (1.1)

dimana untuk seluruh konfigurasi medan yang diijinkan φ, Eφ adalah lebih besar dari-pada atau sama dengan nol. Jika Eφ adalah nol untuk seluruh ~x, kita menyebut φ sebuah keadaan dasar atau solusi vakum, dan menotasikannya dengan dengan φ_vac. Solusi vakum tak perlu unik.

Sekarang anggaplah bahwa φ = φcl adalah sebuah solusi non- vakum untuk Fφ= 0.

Menurut Coleman, kita akan menyebut φ_cl(~x, t) sebuah solusi soliton jika ciri-ciri berikut dipenuhi:

(i) εφ=φcl berhingga.

(ii) E_φ=φcl(~x, t) adalah nonsingular untuk seluruh ~x dan t dan ”terlokasisasi” untuk seluruh waktu t. Sebuah solusi terlokalisasi pada sembarang waktu t jika terdapat se-buah daerah ruang terbatas yang didefinisikan oleh Eφ=φcl(~x, t) ≥ δ, δ menjadi bilangan sembarang yang memenuhi

0 < δ < max

~

x Eφ=φcl(~x, t).

Kita katakan bahwa solusi terlokalisasi untuk seluruh waktu t jika daerah terbatas dapat dipilih tak gayut t.

(iii) φ_cl(~x, t) adalah nonsingular.

(iv) φcl(~x, t) adalah nondisipatif.

Mengenai (iv), solusi φcl(~x, t) ditinjau disipatif jika

t→∞lim max

~

x Eφ=φcl(~x, t) = 0. (1.2)

Kita akan lebih memusatkan perhatian untuk solusi ”statik” yang kita notasikan φcl(~x, t) dengan Φcl(~x). Jika kita meniadakan vakum, maka solusi statik, nonsingular, ter-lokalisasi adalah secara otomatis nondisipatif. Jadi untuk soliton statik, kita hanya memerlukan (i), (ii) dan (iii). Kita tertarik dalam solusi statik yang memenuhi syarat yang lain; katakanlah bahwa mereka adalah

(v) ”stabil secara klasik”.

Kita menyebut solusi statik ”stabil klasik” jika dalam seluruh fluktuasi infinitesimal yang mungkin δφ dari medan φ mengenai solusi statik,

εφcl+δφ≥ ε^φcl. (1.3)

Mode variasional δ0φ yang membiarkan energi tak berubah disebut ”mode frekuensi nol” atau ”mode nol”. Jadi, untuk mode nol, εφcl+δ0φ = εφcl. Peniadaan mode nol, solusi stabil klasik adalah minimum energi lokal.

Pada umumnya diyakini bahwa konfigurasi φcl yang adalah ”tak stabil klasik”

(yakni, maksimum lokal atau titik-titik energi stasioner) tidaklah bertahan sebagai sebagai keadaan stasioner dalam teori kuantum yang berkaitan. Ini dikarenakan fluk-tuasi kuantum adalah serupa untuk menyebabkan transisi jauh dari sembarang keadaan yang terlokalisasi di sekeliling φcl dan mengembalikan sistem menuju keadaan dasarnya atau beberapa keadaan energi lebih rendah bersesuaian yang lain.

1.1.2 Tinjauan Topologi

Meskipun pertanyaan kestabilan pada prinsipnya hal dinamis, topologi seringkali memainkan peranan penting dalam pembahasannya. Misalkan Q menjadi himpunan dari seluruh energi berhingga dan konfigurasi medan nonsingular φ pada waktu tertentu t. Ini adalah ruang konfigurasi sistem. Sebuah sub himpunan Q1 dari Q dikatakan menjadi terkoneksi (lintasan) jika sembarang medan φ1 dari Q1 dapat secara kontinu dideformasi menjadi sembarang medan lain φ^′₁ dalam Q1. Dua sub himpunan Q1 dan Q2 dari Q dikatakan menjadi tak terkoneksi jika sembarang medan φ1 dari Q1 tak dapat secara kontinu dideformasi menuju sembarang medan φ2 dalam Q2. Kita akan meninjau kasus dimana Q memiliki N > 1 komponen tak terkoneksi Qn, masing-masing Qn terkoneksi. Q adalah gabungan dari seluruh komponen-komponen tak terkoneksi ini,

Q = ∪^Nn=1Qn.

Misalkan φ(~x) dan φ^′(~x) adalah dua medan dalam Q. Kita katakan bahwa φ(~x) dan φ^′(~x) adalah homotopik satu sama lain, dan menulis φ ∼ φ^′, jika terdapat sebuah

barisan medan φ^{(τ )}(~x), 0 ≤ τ ≤ 1, yang kontinu dalam τ dan ~x, dengan φ⁽⁰⁾(~x) = φ(~x) dan φ⁽¹⁾(~x) = φ^′(~x). Dengan definisi ini, seluruh medan dalam satu komponen Qn

adalah ”homotopik” satu sama lain, sementara sebuah medan φ⁽ⁿ⁾ menjadi anggota Qn tidaklah homotopik terhadap medan φ^(n′)yang menjadi anggota Qn^′ ketika n^′ 6= n.

Kita dapat memperlakukan seluruh contoh kita dengan mengasumsikan bahwa n adalah dapat dihitung. Kita membuat asumsi ini di bawah.

Apa arti fisis dari klasifikasi ini? Tinjau syarat awal (φ⁽ⁿ⁾, dφ⁽ⁿ⁾/dt) pada waktu t = 0 untuk persamaan gerak. (Persamaan ini untuk penyederhanaan diasumsikan menjadi orde kedua dalam waktu). Asumsikan bahwa φ⁽ⁿ⁾∈ Qⁿ. Setelah selang waktu T , anggaplah φ⁽ⁿ⁾ menjadi φ^′(n) dan dφ⁽ⁿ⁾/dt menjadi dφ^′(n)/dt. Karena evolusi waktu diasumsikan menjadi operasi kontinu, itu mengikuti bahwa φ^′(n)adalah homotopik ter-hadap φ⁽ⁿ⁾. Oleh karena itu, φ^′(n)∈ Qⁿ. Dengan kata lain, nilai n dihubungkan dengan medan φ⁽ⁿ⁾ adalah konstanta gerak. Oleh karena itu, jika kita mendefinisikan Q0 men-jadi sektor yang mengandung solusi vakum φvac, maka konfigurasi φ⁽ⁿ⁾ ∈ Qⁿ, n 6= 0, tak dapat menjadi terentang waktu menuju φvacatau dalam fakta, terhadap sembarang yang lain φ^(m) ∈ Q^m dengan m 6= n. Untuk alasan demikian, sektor Qⁿ⁶⁼⁰ dari konfig-urasi medan disebut ”stabil topologi”.

Konfigurasi soliton yang memenuhi lima ciri di atas dan dalam sektor stabil topologi disebut soliton topologi.

Meskipun sebuah teori dapat berlaku untuk sektor konfigurasi medan stabil topolo-gi, ini tidaklah perlu terjadi bahwa terdapat solusi soliton stabil klasik, atau untuk hal demikian, sembarang solusi statik non-vakum terhadap persamaan gerak. Terdapat bagaimana pun kasus menarik dimana solusi soliton demikian benar-benar ada seba-gaimana akan kita tunjukkan.

Untuk beberapa teori, terdapat batas lebih bawah khusus pada energi medan dalam berbagai sektor stabil topologi. Batas biasanya mencangkup indeks topologi n dan secara umum disebut ”batas Bogomol’nyi”. Sebuah contoh bentuk dari batas demikian adalah εφ∈Qn ≥ C|n| (C adalah konstanta). Jika batas Bogomol’nyi adalah batas terbaik yang mungkin dan ini dapat dipenuhi untuk n tak nol oleh konfigurasi medan

terlokalisasi, maka konfigurasi medan ini adalah stabil klasik. Berikutnya mengikuti karena seluruh fluktuasi yang halus harus meningkatkan energi atau, dalam kasus mode nol, membiarkan itu invarian. Ini mengikuti secara khusus bahwa sebuah konfigurasi medan statik yang memenuhi batas adalah minimum energi lokal dan harus memenuhi persamaan gerak.

Sebagaimana dinyatakan di depan, terdapat kasus dimana terdapat sektor stabil topologi meskipun tak ada solusi soliton. Hal ini terkadang mungkin untuk memodi-fikasi dinamika model untuk menghilangkan situasi ini dan memperoleh solusi statik.

Modifikasi dapat dibuat dengan menambahkan suku-suku baru ke dalam Lagrangian atau memperkenalkan variabel dinamika baru.

Kita akan meninjau contoh-contoh soliton topologi dalam satu dan dua dimensi ruang. Contoh dalam satu dimensi mencangkup medan skalar riil. Dua contoh dalam dua dimensi akan diberikan. Yang pertama mencangkup teori medan linier, sementara yang kedua mencangkup teori nonlinier. Untuk soliton yang pertama, topologi Q^(∞) medan ruang pada ketakhinggaan ruang adalah relevan. Untuk soliton yang kedua, kita harus mempelajari topologi Q medan ruang yang didefinisikan pada seluruh ruang.

Bentuk umum yang sesuai dari teori nonlinier ini dalam tiga dimensi ruang menuju ke soliton topologi Skyrme.