Topologi Klasik dan Keadaan Kuantum

A.P. Balachandran

¹

, G. Marmo

²

, B.S. Skagerstam

³

, A. Stern

⁴

1

Physics Department Syracuse University USA

2

Department of Physical Sciences, Naples University and INFN Italy

3

Chalmers University of Technology, University of G¨ oteborg Sweden

4

Department of Physics and Astronomy, University of Alabama USA

Miftachul Hadi

Applied Mathematics for Biophysics Group

Physics Research Centre, Indonesian Institute of Sciences (LIPI) Kompleks Puspiptek, Serpong, Tangerang 15314, Banten, Indonesia

E-mail: itpm.indonesia@gmail.com

Buku-E LIPI

http://www.buku-e.lipi.go.id

2008

1 Soliton Topologi dalam Satu dan Dua Dimensi 3

1.1 Pengantar . . . 3

1.1.1 Ciri-ciri Dasar Soliton . . . 3

1.1.2 Tinjauan Topologi . . . 5

1.2 Soliton dalam Satu Dimensi . . . 7

1.3 Soliton dalam Dua Dimensi . . . 10

1.3.1 Model 1 . . . 10

1.3.2 Model 2 . . . 15

2 Model Nonlinier sebagai Teori Gauge 25 2.1 Pengantar . . . 25

2.2 Contoh-contoh Model Nonlinier . . . 28

2.2.1 Contoh 1 . . . 28

2.2.2 Contoh 2 . . . 29

2.2.3 Contoh 3 . . . 30

3 Suku Chern-Simons 32 3.1 Pengantar . . . 32

3.2 Suku Chern-Simons dalam Model σ Nonlinier 2+1 Dimensi . . . 36

4 Lagrangian Efektif untuk QCD 41 4.1 Pengantar . . . 41

4.2 Lagrangian Chiral Efektif QCD . . . 44

1

5 Soliton Skyrme Dua Flavor 49 5.1 Pengantar . . . 49 5.2 Ukuran Soliton dan Suku Skyrme . . . 53 5.3 Ansatz Simetri Bola . . . 57

Soliton Topologi dalam Satu dan Dua Dimensi

1.1 Pengantar

Skyrmion adalah soliton tiga dimensi. Contoh-contoh dalam satu dan dua dimen- si menunjukkan banyak ciri dari soliton dalam konteks yang lebih sederhana. Dalam dua dimensi kita mempelajari soliton dalam dua teori medan yang berbeda, model sigma linear dan nonlinear. Soliton dalam model kedua dapat ditinjau sebagai analo- gi dua dimensi dari Skyrmion. Dalam literatur mereka terkadang disebut sebagai baby Skyrmion.

1.1.1 Ciri-ciri Dasar Soliton

Anggaplah bahwa Fφ = 0 adalah persamaan diferensial atau sebuah sistem per- samaan diferensial yang mencangkup sebuah medan atau himpunan medan yang diny- atakan dengan φ yang merupakan fungsi D koordinat ruang ~x dan koordinat waktu t.

Kita akan mengasumsikan bahwa Fφ= 0 adalah persamaan gerak yang dihasilkan dari teori medan Lagrangian. Kita juga mengasumsikan bahwa sistem memiliki ”energi” εφ

3

dan sebuah ”rapat energi” Eφ(~x, t), εφ =

Z

d^DxEφ(~x, t), (1.1)

dimana untuk seluruh konfigurasi medan yang diijinkan φ, Eφ adalah lebih besar dari- pada atau sama dengan nol. Jika Eφ adalah nol untuk seluruh ~x, kita menyebut φ sebuah keadaan dasar atau solusi vakum, dan menotasikannya dengan dengan φ_vac. Solusi vakum tak perlu unik.

Sekarang anggaplah bahwa φ = φcl adalah sebuah solusi non- vakum untuk Fφ= 0.

Menurut Coleman, kita akan menyebut φ_cl(~x, t) sebuah solusi soliton jika ciri-ciri berikut dipenuhi:

(i) εφ=φcl berhingga.

(ii) E_φ=φcl(~x, t) adalah nonsingular untuk seluruh ~x dan t dan ”terlokasisasi” untuk seluruh waktu t. Sebuah solusi terlokalisasi pada sembarang waktu t jika terdapat se- buah daerah ruang terbatas yang didefinisikan oleh Eφ=φcl(~x, t) ≥ δ, δ menjadi bilangan sembarang yang memenuhi

0 < δ < max

~

x Eφ=φcl(~x, t).

Kita katakan bahwa solusi terlokalisasi untuk seluruh waktu t jika daerah terbatas dapat dipilih tak gayut t.

(iii) φ_cl(~x, t) adalah nonsingular.

(iv) φcl(~x, t) adalah nondisipatif.

Mengenai (iv), solusi φcl(~x, t) ditinjau disipatif jika

t→∞lim max

~

x Eφ=φcl(~x, t) = 0. (1.2)

Kita akan lebih memusatkan perhatian untuk solusi ”statik” yang kita notasikan φcl(~x, t) dengan Φcl(~x). Jika kita meniadakan vakum, maka solusi statik, nonsingular, ter- lokalisasi adalah secara otomatis nondisipatif. Jadi untuk soliton statik, kita hanya memerlukan (i), (ii) dan (iii). Kita tertarik dalam solusi statik yang memenuhi syarat yang lain; katakanlah bahwa mereka adalah

(v) ”stabil secara klasik”.

Kita menyebut solusi statik ”stabil klasik” jika dalam seluruh fluktuasi infinitesimal yang mungkin δφ dari medan φ mengenai solusi statik,

εφcl+δφ≥ ε^φcl. (1.3)

Mode variasional δ0φ yang membiarkan energi tak berubah disebut ”mode frekuensi nol” atau ”mode nol”. Jadi, untuk mode nol, εφcl+δ0φ = εφcl. Peniadaan mode nol, solusi stabil klasik adalah minimum energi lokal.

Pada umumnya diyakini bahwa konfigurasi φcl yang adalah ”tak stabil klasik”

(yakni, maksimum lokal atau titik-titik energi stasioner) tidaklah bertahan sebagai sebagai keadaan stasioner dalam teori kuantum yang berkaitan. Ini dikarenakan fluk- tuasi kuantum adalah serupa untuk menyebabkan transisi jauh dari sembarang keadaan yang terlokalisasi di sekeliling φcl dan mengembalikan sistem menuju keadaan dasarnya atau beberapa keadaan energi lebih rendah bersesuaian yang lain.

1.1.2 Tinjauan Topologi

Meskipun pertanyaan kestabilan pada prinsipnya hal dinamis, topologi seringkali memainkan peranan penting dalam pembahasannya. Misalkan Q menjadi himpunan dari seluruh energi berhingga dan konfigurasi medan nonsingular φ pada waktu tertentu t. Ini adalah ruang konfigurasi sistem. Sebuah sub himpunan Q1 dari Q dikatakan menjadi terkoneksi (lintasan) jika sembarang medan φ1 dari Q1 dapat secara kontinu dideformasi menjadi sembarang medan lain φ^′₁ dalam Q1. Dua sub himpunan Q1 dan Q2 dari Q dikatakan menjadi tak terkoneksi jika sembarang medan φ1 dari Q1 tak dapat secara kontinu dideformasi menuju sembarang medan φ2 dalam Q2. Kita akan meninjau kasus dimana Q memiliki N > 1 komponen tak terkoneksi Qn, masing-masing Qn terkoneksi. Q adalah gabungan dari seluruh komponen-komponen tak terkoneksi ini,

Q = ∪^Nn=1Qn.

Misalkan φ(~x) dan φ^′(~x) adalah dua medan dalam Q. Kita katakan bahwa φ(~x) dan φ^′(~x) adalah homotopik satu sama lain, dan menulis φ ∼ φ^′, jika terdapat sebuah

barisan medan φ^{(τ )}(~x), 0 ≤ τ ≤ 1, yang kontinu dalam τ dan ~x, dengan φ⁽⁰⁾(~x) = φ(~x) dan φ⁽¹⁾(~x) = φ^′(~x). Dengan definisi ini, seluruh medan dalam satu komponen Qn

adalah ”homotopik” satu sama lain, sementara sebuah medan φ⁽ⁿ⁾ menjadi anggota Qn tidaklah homotopik terhadap medan φ^(n′)yang menjadi anggota Qn^′ ketika n^′ 6= n.

Kita dapat memperlakukan seluruh contoh kita dengan mengasumsikan bahwa n adalah dapat dihitung. Kita membuat asumsi ini di bawah.

Apa arti fisis dari klasifikasi ini? Tinjau syarat awal (φ⁽ⁿ⁾, dφ⁽ⁿ⁾/dt) pada waktu t = 0 untuk persamaan gerak. (Persamaan ini untuk penyederhanaan diasumsikan menjadi orde kedua dalam waktu). Asumsikan bahwa φ⁽ⁿ⁾∈ Qⁿ. Setelah selang waktu T , anggaplah φ⁽ⁿ⁾ menjadi φ^′(n) dan dφ⁽ⁿ⁾/dt menjadi dφ^′(n)/dt. Karena evolusi waktu diasumsikan menjadi operasi kontinu, itu mengikuti bahwa φ^′(n)adalah homotopik ter- hadap φ⁽ⁿ⁾. Oleh karena itu, φ^′(n)∈ Qⁿ. Dengan kata lain, nilai n dihubungkan dengan medan φ⁽ⁿ⁾ adalah konstanta gerak. Oleh karena itu, jika kita mendefinisikan Q0 men- jadi sektor yang mengandung solusi vakum φvac, maka konfigurasi φ⁽ⁿ⁾ ∈ Qⁿ, n 6= 0, tak dapat menjadi terentang waktu menuju φvacatau dalam fakta, terhadap sembarang yang lain φ^(m) ∈ Q^m dengan m 6= n. Untuk alasan demikian, sektor Qⁿ⁶⁼⁰ dari konfig- urasi medan disebut ”stabil topologi”.

Konfigurasi soliton yang memenuhi lima ciri di atas dan dalam sektor stabil topologi disebut soliton topologi.

Meskipun sebuah teori dapat berlaku untuk sektor konfigurasi medan stabil topolo- gi, ini tidaklah perlu terjadi bahwa terdapat solusi soliton stabil klasik, atau untuk hal demikian, sembarang solusi statik non-vakum terhadap persamaan gerak. Terdapat bagaimana pun kasus menarik dimana solusi soliton demikian benar-benar ada seba- gaimana akan kita tunjukkan.

Untuk beberapa teori, terdapat batas lebih bawah khusus pada energi medan dalam berbagai sektor stabil topologi. Batas biasanya mencangkup indeks topologi n dan secara umum disebut ”batas Bogomol’nyi”. Sebuah contoh bentuk dari batas demikian adalah εφ∈Qn ≥ C|n| (C adalah konstanta). Jika batas Bogomol’nyi adalah batas terbaik yang mungkin dan ini dapat dipenuhi untuk n tak nol oleh konfigurasi medan

terlokalisasi, maka konfigurasi medan ini adalah stabil klasik. Berikutnya mengikuti karena seluruh fluktuasi yang halus harus meningkatkan energi atau, dalam kasus mode nol, membiarkan itu invarian. Ini mengikuti secara khusus bahwa sebuah konfigurasi medan statik yang memenuhi batas adalah minimum energi lokal dan harus memenuhi persamaan gerak.

Sebagaimana dinyatakan di depan, terdapat kasus dimana terdapat sektor stabil topologi meskipun tak ada solusi soliton. Hal ini terkadang mungkin untuk memodi- fikasi dinamika model untuk menghilangkan situasi ini dan memperoleh solusi statik.

Modifikasi dapat dibuat dengan menambahkan suku-suku baru ke dalam Lagrangian atau memperkenalkan variabel dinamika baru.

Kita akan meninjau contoh-contoh soliton topologi dalam satu dan dua dimensi ruang. Contoh dalam satu dimensi mencangkup medan skalar riil. Dua contoh dalam dua dimensi akan diberikan. Yang pertama mencangkup teori medan linier, sementara yang kedua mencangkup teori nonlinier. Untuk soliton yang pertama, topologi Q^(∞) medan ruang pada ketakhinggaan ruang adalah relevan. Untuk soliton yang kedua, kita harus mempelajari topologi Q medan ruang yang didefinisikan pada seluruh ruang.

Bentuk umum yang sesuai dari teori nonlinier ini dalam tiga dimensi ruang menuju ke soliton topologi Skyrme.

1.2 Soliton dalam Satu Dimensi

Contoh yang kita tinjau ulang dalam satu dimensi ruang dan satu dimensi waktu adalah sebuah medan skalar riil φ(x, t). Rapat Lagrangian adalah

L = −1

2∂µφ∂^µφ − U(φ²). (1.4)

Ini adalah invarian dalam refleksi φ → −φ. Untuk U(φ²), kita mengambil potensial U (φ²) = λ

2(φ²− a²)², a², λ > 0. (1.5) Rapat energi terkait dengan rapat Lagrangian ini adalah

E(x, t) = 1

2(∂0φ)²+ 1

2(∂1φ)²+ U (φ²). (1.6)

(Indeks φ pada E sekarang dapat diabaikan.) Terdapat dua solusi vakum yang mungkin:

φvac = ±a. Sebuah pilihan khusus untuk vakum merusak simetri refleksi. Akibatnya, kita katakan bahwa simetri ini rusak secara spotan.

Misalkan Q = {φ} terdiri dari seluruh konfigurasi medan energi berhingga pada waktu yang diberikan. Keberhinggaan energi mensyaratkan bahwa φ mendekati salah satu dari dua solusi vakum sebagaimana x → ±∞. φ tak perlu menuju nilai yang sama pada kedua x → ±∞. Terdapat kemudian empat kemungkinan:

Q+0 : φ → a ketika x → ±∞ ;

Q−0 : φ → −a ketika x → ±∞ ;

Q+1 : φ → a ketika x → ∞, dan φ → −a ketika x → −∞ ; Q−1 : φ → −a ketika x → ∞, dan φ → a ketika x → −∞ .

Jadi, Q = Q+0 ∪ Q⁻⁰ ∪ Q⁺¹ ∪ Q⁻¹. Konfigurasi φ^(a) menjadi anggota Qa tidaklah homotopik terhadap φ^(b) menjadi anggota Qb untuk a 6= b. Hal ini dikarenakan kelu- arga medan φ^{(τ )} menghubungkan φ^(a) dengan φ^(b) ketika τ divariasi akan dengan perlu melanggar syarat batas untuk beberapa τ dan oleh karena itu tidak termuat dalam Q.

Dua ruang Q+0 dan Q−0 mengandung solusi vakum φ = a dan −a, berturut-turut, sementara Q₊₁ =©

φ⁽¹⁾ª

dan Q₋₁ =© φ⁽⁻¹⁾ª

tidak. Sektor Q_±1 adalah stabil topologi.

Kemudian kita tunjukkan bahwa Q+1 dan Q−1 mengandung solusi statik terhadap persamaan medan yang stabil klasik sebaik stabil topologi.

Persamaan medan yang mengikuti dari Lagrangian (1.4) adalah

£∂₀²− ∂1²

¤φ + 2λ¡

φ²− a²¢

φ = 0 (1.7)

Persamaan ini memiliki solusi statik

φ = φcl = ±a tanh µx , µ = a√

λ. (1.8)

Solusi dengan tanda plus (minus) disebut solusi kink (antikink) dan konsisten dengan syarat batas untuk medan dalam Q+1(Q−1). Rapat energi terlokalisasi,

E(x, t) = a²µ²sech⁴µx , (1.9)

dengan energi total ε = ⁴₃a²µ.

Kink dan antikink adalah stabil klasik. Untuk melihat ini menganggu di sekitar solusi klasik:

φ(x, t) = φcl(x) + η(x, t). (1.10) Untuk orde terendah, persamaan gerak untuk fluktuasi adalah

£∂₀²− ∂1²

¤η = 2λ¡

3φ²_cl− a²¢

η . (1.11)

Pada perluasan η dalam bentuk mode normal,

η (x, t) = Σ_nε_nη_n(x)e^iωnt (1.12)

[dimana εn dipilih sehingga ηn(x) adalah riil], kita memperoleh persamaan nilai eigen untuk ηn(x):

£−∂1²+ 2λ¡

3φ²_cl− a²¢¤

η_n(x) = ω_n²η_n(x) . (1.13) Stabilitas klasik berarti bahwa tidak ada nilai eigen negatip ω_n². Untuk melihat bahwa ω_n² ≥ 0, pertama-tama catat bahwa terdapat sebuah mode nol

η0(x) = ∂1φcl(x) = ±aµ sech⁴µx, (1.14)

dengan ω0 = 0. Sekarang terdapat teorema terkenal yang menyatakan bahwa untuk persamaan Schrodinger satu dimensi dengan sebuah potensial sembarang, fungsi eigen keadaan terikat terkait dengan nilai eigen terendah tidak memiliki simpul. Maka karena η0 tidak memiliki simpul, ω₀² berhubungan dengan nilai eigen terendah dan tidak ada nilai eigen negatip. Mode nol secara normal terkait dengan berbagai simetri solusi.

Mode η0 terkait dengan simetri translasi dari sumber kink (antikink), karena dalam translasi infinitesimal x → x − ε⁰, perubahan φcl adalah

δ0φ = ε0∂1φcl (1.15)

Sekarang siap untuk diperiksa bahwa solusi (1.8) memenuhi seluruh lima sifat yang disebut terdahulu. Mereka adalah soliton topologi.

1.3 Soliton dalam Dua Dimensi

Dalam bagian ini, kita melihat dua model berbeda yang mengandung soliton topolo- gi dalam dua dimensi ruang. Dalam kedua model, terdapat grup simetri global G yang memiliki peranan penting, tetapi cara grup ini beraksi pada medan adalah berbeda untuk kedua kasus. Dalam contoh pertama grup secara linier diperoleh, sementara dalam contoh kedua adalah nonlinier.

1.3.1 Model 1

Disini kita mengambil φ menjadi doblet medan skalar (φ1, φ2) dan meninjau La- grangian

L = −1

2∂µφα∂^µφα− U(|φ|²) , |φ|² = φαφα . (1.16) Lagrangian ini invarian dalam transformasi SO(2) global

φα → R^αβφβ , R^TR = 1 . (1.17) Jika kita mengambil potensial U menjadi

U (|φ|²) = (|φ|²− a²)² , a² , λ > 0 , (1.18) simetri SO(2) adalah rusak spontan oleh vakum. Disini vakum diberikan oleh φα = (φvac)α = konstanta, dimana (φvac)α (dan oleh karena itu konstanta) adalah subjek terhadap konstrain

((φvac)1)²+ ((φvac)2)² = a² . (1.19) Sekarang jumlah vakum berbeda adalah tak hingga dan dapat diparameterisasi dengan sudut χ:

((φvac)1, (φvac)2) = (a cos χ, a sin χ) .

Untuk melewati dari satu vakum menuju vakum lain, dengan sebuah contoh proses terobosan semiklasik, medan harus berotasi di setiap tempat dalam ruang. Ini men- cangkup energi kinetik rotasi tak hingga. Sebagai suatu hasil, sistem memilih satu arah tetap untuk keadaan dasar, dan simetri SO(2) [atau U (1)] adalah rusak spontan.

Konfigurasi energi tak nol (tetapi berhingga) untuk φ disyaratkan memenuhi φ²₁+ φ²₂ → a² , ketika |~x| → ∞ . (1.20) (Kecepatan pendekatan harus cukup cepat untuk menjamin bahwa energi total ε berhingga). Jadi, himpunan Q^(∞) dari seluruh medan φ∞ = (φ∞1, φ∞2) pada ke- takhinggaan ruang dibuat dari pemetaan terhadap lingkaran S¹. ”Ketakhinggaan ru- ang” dalam suatu bidang juga berhubungan dengan lingkaran eS¹(dengan jari-jari besar tak hingga):

Se¹ : x²₁+ x²₂ = R² , R → ∞ . (1.21) Jadi medan φ∞ pada ketakhinggaan ruang (dan pada waktu tertentu) memetakan lingkaran menuju lingkaran:

φ∞: eS¹ → S¹ .

Sebagaimana kita akan lihat dibawah, ruang Q^(∞) menjadi jumlah tak hingga komponen-komponen tak terhubung Q^(∞)n =n

φ⁽ⁿ⁾∞

o, Q^(∞) menjadi gabungan

∪nQ^(∞)_N

dari Q^(∞)n . Misalkan kita parameterisasi lingkaran eS¹ dengan sebuah sudut θ, 0 ≤ θ <

2π. Maka indeks n disebut ”bilangan lilitan” dan adalah jumlah kali bahwa lingkaran S¹ dilingkupi oleh medan φ⁽ⁿ⁾∞ ketika θ berjalan dari 0 hingga 2π.

Tinjau pertama-tama solusi ”trivial” (atau vakum) φ_vac = (a, 0). Pada ketakhing- gaan ruang, medan (φ∞)vac = limR→∞φvac memetakan seluruh eS¹ menuju titik yang sama (a, 0) pada S¹. Jadi, (φ∞)vac dicirikan oleh bilangan lilitan nol (φ∞)vac ∈ Q^(∞)0 . Terhadap (φ∞)_vac, kita dapat mengaitkan seluruh pemetaan φ⁽⁰⁾∞ yang adalah homo- topik terhadap (φ∞)vac. Himpunan seluruh pemetaan φ⁽⁰⁾∞ merupakan ”sektor trivial”

Q^(∞)₀ dari Q^(∞).

Medan khusus φ⁽¹⁾∞ dari sektor Q^(∞)₁ didefinisikan oleh

φ⁽¹⁾_∞(θ) = (a cos θ, a sin θ) , (1.22) dimana kita menghilagkan argumen waktu dalam medan. Dalam contoh ini, ketika θ berjalan dari 0 menuju 2π, seluruh titik pada S¹dilingkupi sekali dan hanya sekali. φ⁽¹⁾∞

adalah bilangan lilitan khusus satu pemetaan. Kelas pemetaan ekivalen homotopik ter- hadap bilangan lilitan demikian satu pemetaan memenuhi bilangan lilitan satu sektor Q^(∞)₁ .

Sebuah bilangan lilitan n pemetaan khusus adalah

φ⁽ⁿ⁾_∞ = (a cos nθ, a sin nθ). (1.23) n mengambil nilai 0, ±1, ±2, ... . n tak dapat mengambil nilai-nilai nonintegral karena kemudian φ⁽ⁿ⁾∞ tak akan menjadi fungsi bernilai tunggal pada eS¹ [untuk yang kita persyaratkan bahwa φ⁽ⁿ⁾∞ (0) = φ⁽ⁿ⁾∞(2π)]. Q^(∞)n terdiri dari seluruh pemetaan yang homotopik terhadap φ⁽ⁿ⁾∞ .

Adalah mudah untuk menunjukkan bahwa ini tidak mungkin untuk mendeformasi kontinu medan φ⁽ⁿ⁾∞ menuju medan φ^(m)∞ , jika n 6= m. Dalam deformasi kontinu, n (atau m) harus berubah secara kontinu. Tetapi kemudian menjadi sebuah integer ia tak bisa mengubah keseluruhan. Jadi medan dalam Q^(∞)n tidak homotopik terhadap medan dalam Q^(∞)m jika n 6= m.

Sebegitu jauh, kita telah mempelajari bahwa ruang Q^(∞) dari seluruh medan yang didefinisikan pada ketakhinggaan ruang menjadi bilangan takhingga dari kelas homo- topi. Hal yang sama adalah benar untuk Q medan ruang yang didefinisikan pada seluruh ruang, yakni Q = ∪nQ_n. Q_n didefinisikan sebagai ruang seluruh konfigurasi φ⁽ⁿ⁾ yang limitnya ketika |~x| → ∞ adalah elemen φ^(n)∞ dari Q^(∞)n . [Catat bahwa untuk sembarang medan φ⁽ⁿ⁾∞ dalam Q^(∞)n , terdapat medan φ⁽ⁿ⁾yang didefinisikan untuk selu- ruh ~x yang mendekati φ⁽ⁿ⁾∞ ketika |~x| → ∞. Untuk contoh pada waktu t yang diberikan, kita dapat menyusun φ⁽ⁿ⁾(~x, t) = f (r)φ⁽ⁿ⁾∞(ˆx), dimana f (r) adalah sembarang fungsi halus semisal f (∞) = 1, f(0) = 0 dan ˆx = ~x/r.]

Sebagaimana dinyatakan di bagian terdahulu, arti penting fisis integer n terkait dengan medan φ(~x, t) ≡ φ(x) adalah ia sebuah konstanta gerak. Integer ini hanyalah label kelas medan homotopi pada waktu tertentu.

Tinjauan di atas menunjukkan keberadaan sektor stabil topologi dalam model.

Vakum adalah elemen Q0. Sektor Qn dengan n 6= 0 adalah stabil topologi dalam arti

terbatas bahwa medan dalam Qn tidak akan berkembang dalam waktu menuju vakum atau menuju medan dalam sembarang sektor lain Qm dengan m 6= n.

Sekali pun terdapat sektor stabil topologi, tak satu pun dari mereka mengandung solusi statik terhadap persamaan gerak. Ini ditunjukkan oleh argumen penskalaan sederhana Derrick. Anggaplah bahwa φcl adalah solusi statik. Energinya ε adalah jumlah dari dua suku:

ε = ε1+ ε2 , ε₁ = 1

2 Z

d^Dx (∂_i(φ_cl)_a)² dan ε₂ = Z

d^Dx U [((φ_cl)_a)²] , i = 1, 2, ...D . (1.24) Disini kita memperumum sistem menuju D dimensi ruang. Dalam transformasi skala φ(~x, t) → φ^cl(λ~x, t), kita memiliki

ε ≡ ε(1) → ε(λ) = λ^2−Dε1+ λ^−Dε2 . (1.25)

Persyaratkan bahwa λ = 1 berhubungan dengan minimum ε menghasilkan kondisi dε(λ)

dλ |^λ=1 = 0 atau (2 − D)ε¹ = Dε2 . (1.26) Karena ε1, ε2 ≥ 0, ini mengikuti bahwa ε¹ = ε2 = 0 ketika D > 2. Ini mengakibatkan bahwa φcl pasti solusi vakum untuk D > 2. Dalam kasus D = 2, kita memiliki ε2 = 0, sehingga ((φcl)1)²+ ((φcl)2)² = a² untuk seluruh ~x. Ini mensyaratkan bahwa φcl (ketika

|~x| → ∞) memiliki bilangan lilitan nol dan oleh karena itu adalah dalam Q^(∞)0 . Kita da- pat membuktikan hasil ini sebagai berikut. Misalkan r, θ menyatakan koordinat polar dalam bidang. Untuk sembarang tak nol r, φcl mendefinisikan pemetaan dari lingkaran (dengan koordinat θ) menuju lingkaran [karena kondisi ((φcl)1)²+ ((φcl)2)² = a²]. Bi- langan lilitan n dari pemetaan ini tak dapat bergantung pada r, ketika perubahan r adalah perubahan kontinu. Ketika r → 0, seluruh nilai θ mewakili titik ruang yang sama, sehingga n → 0. Oleh karena itu n adalah secara identik nol yang menunjukkan hasil. Ini mengikuti bahwa solusi statik stabil dengan indeks topologi tak nol tak akan ada untuk Lagrangian dari bentuk (1.16) untuk D 6= 1.

Sebagaimana ditunjukkan dalam bagian terdahulu, hasil negatip demikian dapat seringkali dihindari dengan pengubahan dinamika yang sesuai. Dalam contoh dua

dimensi kita, ini dapat dikerjakan dengan memperkenalkan medan boson gauge Aµ, dan membuat simetri global SO(2) [atau U (1)] menjadi simetri lokal atau simetri gauge. Ini dilakukan sebagai berikut: misalkan g menjadi elemen grup pemetaan dari ruang-waktu menjadi grup U (1). Maka kita dapat menulis g = e^iΛ, dimana Λ adalah fungsi riil pada ruang-waktu. φα dan Aµ mentransformasi dalam g menurut

φ₁(x) + iφ₂(x) ≡ Φ(x) → e^iΛ(x)Φ(x) ,

Aµ(x) → A^µ(x) + 1

e∂µΛ(x) , (1.27)

dimana e adalah muatan ”listrik”. Kita kemudian mengubah Lagrangian (1.16) men- jadi pernyataan invarian gauge

L^′ = 1

4FµνF^µν −1

2(DµΦ)^⋆D^µΦ − U(|φ|²) (1.28) dimana F_µν = ∂_µA_ν − ∂νA_µ dan D_µΦ = ∂_µΦ − ieAµΦ. Setelah transformasi skala Φ(~x, t) → Φ(λ~x, t) dan A^µ(~x, t) → _λ¹Aµ(λ~x, t), kontribusi terhadap aksi dari suku per- tama dalam (1.28) menuju λ^4−D yang jadinya membuat itu mungkin untuk menghin- dari teorema no go. Sekarang sepanjang dengan kondisi |Φ(~x, t)| → a ketika |~x| → ∞, keberhinggaan energi memerlukan bahwa

DµΦ → 0 ketika |~x| → ∞ atau

Aµ→ 1

e∂µχ ketika |~x| → ∞ (1.29)

dimana Φ = |Φ|e^iχ. Ini berarti bahwa sudut fase χ bertahan sebagai derajat kebe- basan satu-satunya pada ketakhinggaan ruang. Tinjauan topologi sebelumnya dengan jelas masih valid. Syarat batas pada Aµ dalam (1.29) dalam tambahan menuju pada kuantisasi fluks ”magnetik”. Sungguh-sungguh teorema Stokes memberikan

Z

R²

d²xF12= Z

∂R²

dxⁱAi = 1 e

Z

∂R²

dχ = 1

e [χ|^θ=2π− χ|^θ=0] . (1.30) Sisi sebelah kanan dari (1.30) adalah hanya 2πn/e dimana n adalah bilangan lilitan.

Di sini kita tak akan berusaha mencari solusi statik nontrivial eksplisit dari model ini. Diketahui bahwa terdapat solusi demikian dengan fluks magnetik terlokalisasi. Se- lama pelekatan soliton dua dimensi secara trivial dalam tiga dimensi, kita memperoleh garis-garis vorteks. Vorteks-vorteks ini adalah perumuman relativistik vorteks yang terjadi dalam teori superkonduktivitas Landau-Ginsburg.

Dalam bahasan berikut, kita akan menggunakan grup homotopi kedua dan ketiga, π2(M ) dan π3(M ). Ini adalah grup yang elemen-elemennya adalah kelas pemetaan ekivalen dua bola dan tiga bola berturut-turut, menuju M . Mereka diperoleh sebagai bentuk umum langsung dari bahasan terdahulu pada π1(M ).

1.3.2 Model 2

Di sini kita akan meninjau sebuah contoh khusus yang disebut model nonlinier, katakanlah, model σ nonlinier.

Dengan model nonlinier, kita bermaksud dengan longgar sebuah teori medan den- gan ciri-ciri berikut:

1. Medan adalah subjek terhadap konstrain nonlinier.

2. Lagrangian dan konstrain adalah invarian dalam aksi grup simetri global G.

Dengan definisi ini, Model 1 adalah nonlinier karena syarat batas medan pada ketakhinggaan ruang tidaklah linier. Lebih tepatnya, deskripsi ”nonlinier” disediakan untuk model-model tersebut dimana medan fisis untuk seluruh titik ~x mengambil nilai dalam sebuah manifold M yang bukan ruang vektor. (Dengan definisi yang lebih tepat ini Model 1 sesungguhnya sebuah model ”linier”.) Grup invarian global G berlaku secara lengkap pada M dalam paling banyak model-model ini. Di sini, kita akan mengasumsikan bahwa hal demikian sungguh-sungguh suatu kasus. Maka dengan hasil yang terkenal, M adalah ruang homogen untuk G. Jika H adalah grup titik stabil

p ∈ M,

H = {h ∈ G|hp = p} , (1.31)

maka M dapat diidentifikasi dengan ruang koset kiri G/H:

M = {gH} . (1.32)

Metode umum ada untuk mengkonstruksi Lagrangian teori-teori ini. Kita akan mengilus- trasikan mereka dalam bagian mendatang, juga kita akan menunjukkan bagaimana suku Chern-Simons dapat ditambahkan ke Lagrangian untuk teori-teori nonlinier dalam kasus jumlah ganjil dimensi ruang-waktu.

Dalam contoh soliton topologi terdahulu, adalah cukup untuk meninjau Q^(∞) (ru- ang medan fisis pada ketakhinggaan ruang) untuk tinjauan topologi. Untuk soliton dalam model nonlinier, seringkali perlu untuk meninjau topologi medan fisis yang didefinisikan pada keseluruhan ruang. Kita menunjukkan ini untuk model σ nonlinier setelah pertama-tama mendeskripsikan model.

Model σ nonlinier memiliki G = SU (2) dan H = U (1). Agar spesifik, kita dapat menganggap G sebagai matriks unitari 2 × 2 dari determinan 1 dan mengambil H menjadi {e^iατ3; 0 ≤ α < 2π}, dimana τ³adalah matriks Pauli ketiga. Suatu pemetaan π dapat didefinisikan dari G menuju ruang koset kiri gH. π memproyeksikan ge^iατ3 ∈ G, untuk seluruh α, terhadap titik yang sama dalam {gH}. Karena α adalah parameter kontinu, {gH} mendefinisikan manifold dua dimensi yang kita tunjukkan sekarang adalah permukaan dua bola S². Untuk tujuan ini, definisikan

N ≡ gτ³g^†= naτa , (1.33)

τa, a = 1, 2, 3, menjadi tiga matriks Pauli dan g ∈ SU(2). N adalah invarian dalam transformasi g → ge^iατ3 (dan hanya dalam transformasi-trnasformasi ini). lebih jauh, N mendefinisikan manifold dua dimensi karena

1

2 Tr N² = nana = 1 . (1.34)

Konsekuensinya, pemetaan π didefinisikan dengan N [π(g) = N ] dan konstrain (1.34) mengimplikasikan bahwa SU (2)/U (1) = S².

Medan dalam model σ nonlinier akan dinotasikan dengan φa. Mereka adalah subjek terhadap konstrain φa(~x, t)φa(~x, t) = 1. Jadi, φa(~x, t) berhubungan dengan na dalam (1.34). Aksi G = SU (2) pada medan ini adalah

φa→ R^ab(g)φb , (1.35)

dimana R adalah elemen representasi adjoin SU (2) [R ∈ SO(3)]. Catat bahwa kon- strain adalah invarian dalam aksi G ini. Dalam hubungan dengan dua derajat kebe- basan independen, katakanlah φ1 dan φ2, aksi G di atas adalah nonlinier.

Rapat Lagrangian harus dipilih sehingga ia invarian dalam G. Pilihan paling seder- hana adalah

L = −β

2∂µφa∂^µφa , (1.36)

dimana β adalah konstanta, dan kita menyembunyikan argumen medan. Secara fisis sistem ini mendeskripsikan ferromagnet tak hingga dengan φaberhubungan dengan tiga komponen spin. Dikarenakan konstrain pada φa, Lagrangian (1.36) tidak mendeskrip- sikan sistem bebas. Interaksi-interaksi medan dengan dirinya sendiri adalah implisit.

Untuk melihat ini, kita dapat menulis L dalam hubungan dengan dua derajat kebe- basan independen, katakanlah φ1 dan φ2. Maka

L = −β 2

2 − φⁱφi

1 − φⁱφi

(∂µφi)² , (1.37)

dimana indeks i dijumlahkan meliputi 1 dan 2. Persamaan (1.37) belum terpecah untuk φ3 = 0.

Rapat energi terkait dengan L adalah E(~x, t) = β

2

©(∂0φa)²+ (∂iφa)²ª

. (1.38)

Solusi vakum adalah φ = φvac = konstanta [merupakan subjek terhadap konstrain pada φa]. Sekarang E adalah invarian dalam transformasi SU (2) global. Jadi φvac

dapat direduksi menuju (0,0,1) oleh aksi grup SU (2) tanpa mempengaruhi energi. Ini menghubungkan seluruh spin ferromagnet menuju arah kutub utara. Hanya rotasi terhadap sumbu ketiga membiarkan spin invarian. Konsekuensinya, simetri SU (2) global adalah rusak spontan menuju global U (1).

Berikut, tinjau konfigurasi umum φ tak nol, tetapi berenergi hingga. Untuk |~x| ≡ R besar, medan φ mendefinisikan sebuah pemetaan dari lingkaran S¹ dengan jari-jari R menjadi S². Karena π1(S²) = 0, pemetaan ini adalah homotopik terhadap pemetaan φvac pada |~x| = R. [Bahkan jika grup fundamental π¹(M ) dari manifold M adalah nontrivial, medan pada R akan harus menjadi homotopik terhadap solusi vakum. Ini adalah demikian karena φ mendefinisikan sebuah pemetaan trivial pada r = 0 dan indeks topologi tidak dapat berubah ketika r secara kontinu berubah-ubah dari r = 0 menuju R.] Keberhinggaan energi kemudian mensyaratkan bahwa

φ(~x, t) → φvac , ketika r → ∞ (1.39)

dan bahwa laju pendekatan φ → φ^vac cukup kuat untuk menjamin bahwa energi ε adalah berhingga. Lagi, kita memilih φvac = (0, 0, 1) tanpa kehilangan informasi.

Sekarang φ mendekati (0,0,1) dan bukan suatu batas gayut sudut pada r = ∞. Jadi, kita boleh meninjau seluruh titik pada ketakhinggaan ruang sebagai titik tunggal.

Identifikasi demikian secara esensial mengubah bidang R² = {(x¹, x2)} pada waktu yang konstan terhadap permukaan dua bola eS². Medan φ = (φ₁, φ₂, φ₃) terdefinisi baik pada eS² dalam tinjauan syarat batas.

Marilah kita sekarang mendiskusikan pengamatan ini dalam perincian lebih jauh.

Misalkan ξ_µ, µ = 1, 2, 3 menjadi koordinat stereografik terkait dengan ~x:

ξi(~x) = 2xi

r² + 1 , i = 1, 2 ; ξ3(~x) = r²− 1 r²+ 1 ,

ξ1(~x)²+ ξ2(~x)²+ ξ3(~x)² = 1 . (1.40) Koordinat ξµ menjangkau dua bola eS². Mereka bukan koordinat yang valid secara global untuk R² yang tidak seperti S² bukan manifold kompak. Perubahan dalam topologi terjadi karena seluruh ”titik-titik pada ketakhinggaan ruang” dari R² yang berhubungan dengan r → ∞ dipetakan terhadap satu titik dari eS², katakanlah kutub utara N = (0, 0, 1) dari eS². Dalam kenyataan, ”titik-titik pada ketakhinggaan” bukan- lah titik-titik R²pada keseluruhan. Jadi, untuk memperoleh representasi akurat secara topologi dari R², kita harus memindahkan kutub utara N dari eS² : R² = eS²/ {N}.

Perbedaan topologi antara R² dan eS² dapat membuat sebuah perbedaan untuk beberapa fungsi. Sebagai contoh, fungsi f (~x) = |~x| adalah fungsi kontinu pada R², tetapi fungsi yang diperoleh dengan substitusi xi = ξi/(1 − ξ³) bukanlah fungsi kontinu pada eS², menjadi tak hingga pada kutub utara. Contoh lain adalah fungsi ˆx = ~x/|~x|

yang kontinu pada R², sementara fungsi bayangannya pada eS² tidak memiliki batas yang terdefinisi dengan baik ketika kutub utara didekati.

Akan tetapi, untuk fungsi yang mendekati sebuah batas konstan ketika r → ∞, perubahan variabel ~x → ξ menghasilkan fungsi yang terdefinisi dengan baik pada eS². Dalam arti ini maka, karena syarat batas pada φ, kita dapat membayangkan bahwa ruang dimana medan φ didefinisikan adalah eS².

Jadi, ruang konfigurasi Q dari model σ nonlinier disusun dari medan φ yang memetakan eS² menuju M = S²:

φ : eS² → S² . (1.41)

Situasi jadinya analog dengan pemetaan φ∞ dalam Model 1. Adalah kemudian masuk akal untuk mengharapkan bahwa untuk model σ nonlinier, ruang konfigurasi Q masuk bilangan tak hingga komponen-komponen tak terkoneksi Qn, dengan Q = ∪ⁿQn. Hasil ini benar. Di sini n adalah bentuk umum bilangan lilitan sebelumnya terkait dengan φ∞ dan masih disebut bilangan lilitan. Kita dapat mendeskripsikan elemen- elemen Qn sebagai berikut: Terdapat sebuah pemetaan φ⁽ⁿ⁾ dalam Qn (dikonstruksi secara eksplisit di bawah) dalam n titik secara pasti dari eS² dipetakan ke titik yang sama dari S² sehingga ketika ξ meliputi eS² sekali, φ⁽ⁿ⁾(ξ, t) meliputi S² n kali. Lebih jauh untuk pemetaan ini, cakupan seluruh n ini dari S² memiliki arah yang sama.

Elemen-elemen sisa dari Qnadalah seluruhnya homotopik terhadap φ⁽ⁿ⁾. Kelas ekivalen dari seluruh pemetaan homotopik terhadap φ⁽ⁿ⁾ adalah Q_n.

Sekali lagi, kelas ekivalen Qnini dapat dibuat menjadi grup dalam hasil yang sesuai.

Grup ini disebut grup homotopi kedua dan ini dinotasikan dengan π2(M ). Di sini M = S². Seperti π₁(S¹), π₂(S²) adalah isomorpik terhadap grup Z dari seluruh integer [”bilangan lilitan”] dalam penjumlahan.

Kelas ekivalen Q0 mengandung solusi vakum φvac(ξ, t) = (0, 0, 1). Jadi, kita dapat mengambil φ⁽⁰⁾ = φvac. Q0 terdiri dari seluruh pemetaan yang adalah homotopik terhadap φvac. Sebuah elemen φ⁽¹⁾ dari Q1 diperoleh dengan sederhana menyusun

φ⁽¹⁾_µ (ξ, t) = ξµ , (1.42)

t di sini menjadi tetap. Dengan jelas, untuk (1.42), bola S² diliputi sekali ketika ξµ

bergeser mengelilingi eS².

Kita sekarang mengkonstruksi sebuah elemen φ⁽ⁿ⁾ dari Q⁽ⁿ⁾ untuk sembarang n.

Untuk ini kita memperkenalkan koordinat bola (Θ, Ψ) untuk dua bola ruang eS². Jadi, ξ1(~x) = sin Θ cos Ψ ,

ξ2(~x) = sin Θ sin Ψ ,

ξ3(~x) = cos Θ , 0 ≤ Θ ≤ π , 0 ≤ Ψ < 2π . (1.43) Kemudian sebuah elemen khusus φ⁽ⁿ⁾ adalah

φ⁽ⁿ⁾₁ (~x, t) = sin Θ cos nΨ ,

φ⁽ⁿ⁾₂ (~x, t) = sin Θ sin nΨ ,

φ⁽ⁿ⁾₃ (~x, t) = cos Θ , (1.44) Qn terdiri dari seluruh pemetaan homotopik terhadap φ⁽ⁿ⁾ di atas.

lagi, pentingnya klasifikasi di atas adalah bahwa karena evolusi waktu adalah operasi kontinu, integer n adalah konstanta gerak. Adalah berguna untuk memiliki sebuah formula eksplisit untuk bilangan kuantum kekal ini. Untuk tujuan ini, tinjau arus

j^µ= − 1

8πεabcε^µνλφa∂νφb∂λφc , (1.45) dimana ε^µνλ adalah tensor antisimetrik total biasa, dan kita telah mengubah kembali menjadi koordinat ~x, t. Arus ini adalah kekal tak peduli jenis persamaan gerak. Ambil divergensinya, kita memperoleh

∂µj^µ= − 1

8πεabcε^µνλ∂µφa∂νφb∂λφc . (1.46)

Sisi sebelah kanan dari (1.46) mengandung perkalian skalar tripel dari tiga vektor tan- gen ∂0~φ, ∂1φ dan ∂~ 2φ yang didefinisikan pada (~x, t). Ketika dikalikan dengan d~ ²xdt, ini mewakili sebuah elemen volume infinitesimal pada (~x, t). Tetapi dikarenakan kon- strain pada φa, vektor tangen pada (~x, t) dipaksa untuk terletak pada sebuah bidang.

Konsekuensinya, elemen volume dan sisi sebelah kanan (1.46) lenyap. Sehingga

∂µj^µ = 0 . (1.47)

Ini mengikuti bahwa muatan terkait B(φ) = − 1

8π Z

d²xεabcεijφa∂iφb∂jφc (1.48) adalah sebuah konstanta gerak [εij menjadi simbol antisimetrik dua dimensi dengan ε₁₂ = +1]. Nilainya adalah bilangan kuantum kekal; ini memiliki nilai n ketika φ = φ⁽ⁿ⁾∈ Qⁿ. Faktor −1/8φ dipilih sehingga B(φ) adalah, dalam fakta, sebuah integer.

Untuk melihat bahwa B(φ) = n, tulis φa dalam bentuk koordinat bola:

φ₁(~x, t) = sin θ(~x) cos χ(~x) ,

φ2(~x, t) = sin θ(~x) sin χ(~x) ,

φ3(~x, t) = cos θ(~x) . (1.49) Maka,

B(φ) = 1 4π

Z

sin θ(~x)dχ(~x) ∧ dθ(~x) . (1.50) Karena _4π¹ sin θdχ ∧ dθ adalah elemen volume ternormalisasi pada dua bola, B(φ) me- nunjukkan jumlah kali bola S² diliputi ketika ~x berjalan pada seluruh nilai dan oleh karena itu sebuah integer.

Sebelumnya kita melihat bahwa argumen skala Derrick menyingkirkan kemungki- nan dari kepemilikan solusi statik nontrivial terhadap teori medan skalar linier dalam dua (atau lebih besar) dimensi ruang. Akan tetapi, untuk model σ nonlinier dengan Lagrangian (1.36), argumen Derrick hanya dapat digunakan untuk menyingkirkan ke- beradaan solusi statik dalam seluruh tetapi dua dimensi ruang. Ini dikarenakan energi statik mengandung hanya satu suku yang kita nyatakan dengan εS. Dalam ~x → λ~x,

ini menskala seperti εS → λ^2−DES. Nilai energi minimum untuk variasi ini adalah nol dalam seluruh tetapi D = 2 dimensi.

Batas lebih bawah energi (”batas Bogomol’nyi”) untuk solusi klasik dapat diperoleh dari identitas

(∂iφa± ε^abcεijφb∂jφc)² ≥ 0 . (1.51) Setelah melengkapi kuadrat, kita dapat menulis

2 βεS =

Z

d²x(∂iφa)² ≥ 8π|n| . (1.52) Batas dipenuhi jika

∂iφa = ∓ε^abcεijφb∂jφc . (1.53) Solusi umum terhadap persamaan ini diperoleh oleh Belavin dan Polyakov. Di sini kita akan mencari solusi n = 1 simetri bola. Simetri bola dalam dua dimensi ruang secara normal berarti sebagai berikut:

εijxi∂jφa = 0 . (1.54)

Syarat ini konsisten dengan konstrain pada φa. Akan tetapi, ini memiliki hasil yang tak diinginkan bahwa seluruh medan yang memenuhinya memiliki B(φ) = 0. Ini dikarenakan solusi umum untuk (1.54) adalah φa(~x, t) = eφa(r, t), sehingga

∂iφa= ˆxi

∂ eφa

∂r , ˆxi = xi

r .

Dengan mensubstitusikan ke dalam pernyataan untuk B(φ), kita kemudian memper- oleh hasil B(φ) = 0.

Kita akan sekarang memodifikasi persyaratan simetri kita untuk memperoleh kon- figurasi dengan B(φ) 6= 0. Grup kestabilan H untuk vakum φ^vac= (0, 0, 1) terdiri dari rotasi medan U (1) terhadap sumbu ketiga. Kita sekarang mensyaratkan bahwa vek- tor (φ1, φ2) adalah invarian dalam rotasi ruang terkombinasi dan transformasi internal U (1), yakni,

ε_ijx_i∂_jφ_k+ ε_kiφ_i = 0 ,

εijxi∂jφ3 = 0 , i, j, k = 1, 2 . (1.55)

Persamaan kedua dalam (1.56) dihasilkan dari persamaan pertama dan konstrain pada φa.

Solusi umum untuk persyaratan simetri termodifikasi adalah φi = sin θ(cos ψ ˆxi+ sin ψ εijxˆj) ,

φ3 = cos θ , (1.56)

dimana θ dan ψ adalah fungsi variabel radial r. Syarat batas pada ketakhinggaan ruang mensyaratkan bahwa θ pada ketakhinggaan adalah kelipatan 2π integer. Lebih jauh, karena r = 0 mewakili titik ruang tunggal, φ_a pada r = 0 harus memiliki nilai unik dan tak dapat gayut pada ˆx. Ini memaksa θ pada r = 0 menjadi sebuah kelipatan π integral. Setelah mensubstitusikan bentuk di atas untuk φa ke dalam pernyataan untuk bilangan lilitan, kita memperoleh

B(φ) = 1

2(cos θ(∞) − cos θ(0)) . (1.57) Solusi B(φ) = 1 diperoleh dengan θ(∞) = 0 dan θ(0) = π. Catat bahwa konfigurasi

|B(φ)| > 1 tidak cocok dengan persyaratan simetri kita. Seperti yang kita lihat se- belumnya, batas Bogomol’nyi dipenuhi ketika φa memenuhi persamaan medan linier dalam turunan φa. Ini mengimplikasikan bahwa

dθ dr +1

rsin θ = 0 , dψ

dr = 0 . (1.58)

Solusi dengan syarat batas yang diinginkan adalah θ(r) = 2 tan⁻¹ a

r , ψ = ψ₀ , (1.59)

dimana a dan ψ0 adalah konstanta. Jika kita menyusun a = 1 dan ψ0 = 0, solusi ini secara pasti berhubungan dengan proyeksi stereografik φa(~x, t) = ξa(~x). Untuk a dan ψ₀ umum, kita memiliki [abaikan t dalam argumen dari φ_a],

φi(~x) = [Rψ0]ijξj(~x/a) ,

φ3(~x) = ξ3(~x/a) , (1.60)

dimana kita menganggap ξa sebagai fungsi dari ~x/a menggunakan (1.40) dan Rψ0

adalah matriks rotasi

Rψ⁰ =



 cos ψ0 sin ψ0

− sin ψ⁰ cos ψ0



 . (1.61)

Solusi (1.60) dapat juga ditulis

φa(~x) = ξa

ÃR~ψ⁰x a

!

. (1.62)

Karena solusi ini memenuhi batas Bogomol’nyi, energi klasiknya adalah 4πβ. Lebih jauh, karena seluruh fluktuasi selain yang terkait dengan mode nol menaikkan energi, solusi secara klasik stabil.

Solusi yang lebih umum dibandingkan dengan yang di atas diperoleh dengan meng- ganti ~x dalam (1.60) dengan ~x − ~x⁰, dimana ~x0 adalah vektor konstan. Perumuman ini memberi kita kebebasan untuk memilih lokasi ~x0 soliton asal. Sekarang pada keselu- ruhannya, terdapat beberapa mode nol yang diperoleh dengan mendiferensiasi solusi berkaitan dengan ~x0, ψ0 dan a. Mereka berhubungan, berturut-turut, dengan: (1) translasi pusat soliton, (2) rotasi U (1) dan (3) dilasi. Seluruh transformasi ini mem- biarkan energi tak berubah. (1),(2) dan (3) terkait dengan ~x0, ψ0 dan a berturut-turut.

Dengan memperhatikan (2), ψ0 memparameterisasi rotasi U (1) internal (atau secara ekivalen sebuah ruang eksternal). Sebuah pergeseran dalam nilai ψ0 berhubungan dengan transformasi demikian.

Dalam bagian mendatang, kita akan menguji gerak rotasi kolektif soliton yang diperoleh dengan pengubahan ψ0. Disana kita juga menambah sebuah suku, dikenal sebagai suku Chern-Simons, ke Lagrangian yang diberikan oleh persamaan (1.36) dan membahas efek suku tersebut pada sifat soliton.

Model Nonlinier sebagai Teori Gauge

2.1 Pengantar

Berikut adalah beberapa alasan minat dalam model nonlinier.

a) Model Lagrangian efektif yang sukses secara empirik adalah model dari jenis ini.

b) Dalam ruang-waktu 1+1, sangat banyak model memuat sejumlah tak hingga hukum kekekalan dan adalah contoh-contoh teori medan terintegralkan secara lengkap.

c) Mereka memiliki titik-titik kesamaan dengan QCD. Sebagai contoh, dalam ruang- waktu 1+1, beberapa dari model ini memiliki kebebasan asimptotik dan instanton.

Jadi dalam ruang-waktu 1+1, mereka menyediakan landasan uji untuk hipotesis berke- naan dengan QCD. Lebih baru, sebuah analogi telah dibuat antara medan gauge dan model nonlinier demikian yang didefinisikan pada ruang kontur keseluruhan.

d) Persamaan Einstein aksimetri dikaitkan dengan persamaan untuk model nonlin- ier dalam ruang-waktu 1+1.

e) Dalam pencakupan suku Wess-Zumino yang sesuai dalam aksi 1+1 dimensi, mereka dapat mendefinisikan teori medan konformal dan string yang bergerak pada sebuah manifold grup. Model demikian seringkali dirujuk sebagai model Wess-Zumino-

25

Novikov-Witten.

Dalam bahasan kali ini, kita akan memberikan sebuah metode sistematik untuk pengkonstruksian Lagrangian model demikian. Termasuknya suku topologi, semisal suku Chern-Simons dan suku Wess-Zumino, dalam Lagrangian total akan dibahas ke- mudian.

Medan dalam Lagrangian kita akan memiliki nilai dalam G. Jadi medan ini {g}

dengan g(x) ∈ G. Lebih lanjut, Lagrangian akan menjadi invarian dalam transformasi gauge

g(x) → g(x)h(x) , h(x) ∈ H ⊂ G . (2.1) Oleh karena itu medan (fisis) invarian gauge memiliki nilai dalam G/H. Ini adalah yang kemudian disebut medan model nonlinier biasa. Catat bahwa struktur bundel fiber utama H → G → G/H terjadi secara alami dalam pendekatan kita.

Lagrangian dibuat dari beberapa bentuk diferensial sederhana (bentuk Maurer- Cartan) yang didefinisikan pada G. Untuk tujuan kita, bentuk-bentuk ini dapat dideskripsikan sebagai berikut. Kita mengidentifikasi (grup Lie semisederhana kom- pak) G dengan sembarang salah satu dari representasi unitari yang tepat dan meno- tasikan yang kemudian dengan G. Misalkan {L(ρ)} menjadi sebuah basis untuk aljabar Lie G dari G dengan ciri-ciri

L(ρ)^†= L(ρ) ,

TrL(ρ)L(σ) = δρσ , ρ, σ ∈ {1, 2, .., [G]} . (2.2) Disini [G] adalah dimensi G. Untuk α ≤ [H], generator L(α) diambil untuk merentang aljabar Lie H dari H dan disebut T (α):

L(α) = T (α) , α ≤ [H] . (2.3)

Generator sisa disebut S(i):

L(i) = S(i) , [H] + 1 ≤ i ≤ [S] . (2.4) Catat relasi komutasi

[L(ρ), L(ρ)] = iηρσλL(λ) , (2.5)

dimana

[T (α), T (β)] = i Cαβγ T (γ) , (2.6) [T (α), S(i)] = iCαijS(j) , (2.7) [S(i), S(j)] = i[DijαT (α) + DijkS(k)] . (2.8) Ketiadaan T pada sisi sebelah kanan dari (10.6) seharusnya

Tr T (γ)[T (α), S(i)] = Tr S(i)[T (γ), T (α)]

= 0 (2.9)

oleh (10.2) dan (10.6a). Lebih jauh, karena

Tr S(j)[T (α), S(i)] = Tr T (α)[S(i), S(j)] , (2.10) kita memiliki kesamaan

Cαij = Dijα . (2.11)

Misalkan

ωµ(g) = g⁻¹∂µg , g = g(x) . (2.12) Dalam transformasi gauge (2.1), persamaan di atas mentransformasi sebagai berikut:

ωµ(gh) = h⁻¹ωµ(g)h + h⁻¹∂µh , h = h(x) ∈ H . (2.13) Kita dapat menulis ω_µ sebagai jumlah dari dua bagian:

ωµ= Aµ+ Bµ ,

Aµ(g) = T (α) Tr T (α)g⁻¹∂µg ,

Bµ(g) = S(i) Tr S(i)g⁻¹∂µg (2.14) Maka

Aµ(gh) = h⁻¹Aµ(g)h + h⁻¹∂µh , Bµ(gh) = h⁻¹Bµ(g)h . (2.15) Untuk menemukan hasil ini, kita telah menggunakan fakta bahwa

h T (α)h⁻¹ = (Ad h)βα T (β) ,

h S(i)h⁻¹ = D(h)ij S(j) , (2.16)

[merujuk (2.6) dan (2.7)] dimana Ad h dan D(h) adalah ortogonal [oleh (2.2)]:

[Ad h]⁻¹ = [Ad h]^T

= Ad h⁻¹ , (2.17)

[D(h)]⁻¹ = [D(h)]^T

= D(h⁻¹) . (2.18)

Dari (2.14), Aµditinjau bernilai H. Oleh (2.15), ini mentransformasi seperti sebuah potensial gauge untuk grup gauge H.

Seluruh Lagrangian yang diketahui untuk model nonlinier dikonstruksi dari Aµdan Bµ. Contoh-contoh adalah (hingga konstanta)

L¹ = −Tr B^µB^µ , (2.19)

L2 = −1

4 Tr F_µν(A)F^µν(A) , (2.20) Fµν(A) ≡ ∂^µAν − ∂^νAµ+ [Aµ, Aν] . (2.21) Ini adalah invarian dalam transformasi gauge (2.1).

2.2 Contoh-contoh Model Nonlinier

Untuk pilihan yang akrab dari G dan H, kita sekarang menunjukkan bagaimana untuk mereduksi Lagrangian demikian menuju bentuk yang lebih lazim.

2.2.1 Contoh 1

Misalkan G = SU (2) dan H = U (1) dengan

T (1) = σ3/√ 2 , S(i + 1) = σi/√

2 , i ∈ {1, 2} . (2.22)

Disini σρ, ρ = 1, 2, 3 adalah matriks Pauli. Catat bahwa G/H = S². Misalkan kita memperkenalkan sebuah triplet medan nonlinier φα, α = 1, 2, 3 melalui

√1

2σ_αφ_α ≡ Φ = 1

√2gσ₃g^† . (2.23)

Dengan jelas

φαφα = Tr Φ² = 1 . (2.24)

Kita sekarang mereduksi Lagrangian (2.19) menuju bentuk standar −¹₂(∂µφα)(∂^µφα).

Kita memiliki

Tr B_µB^µ= Tr I_µI^µ , I_µ = −gBµg^† (2.25) sementara sebuah aljabar kecil menunjukkan bahwa

i

2ε_αβγφ_α∂_µφ_βσ_γ = I_µ . (2.26) Dengan menggunakan

φα∂µφα = 0 (2.27)

yang mengikuti dari (2.24), kita menemukan

L¹ = −1

2(∂µφα)(∂^µφα) . (2.28) Jadi L¹ adalah identik (hingga faktor perkalian) terhadap Lagrangian (1.36) yang mendeskripsikan model nonlinier terdahulu.

2.2.2 Contoh 2

Misalkan G = SU (2) × SU(2), dengan H adalah diagonal subgrup SU(2). Kita dapat menulis

G =



g ≡



g1 0 0 g2







 , gi ∈ SU(2) ,

H =







h 0 0 h







 , h ∈ SU(2) , (2.29)

dan

T (α) = 1 2



σα 0 0 σα



 , α ∈ {1, 2, 3}

S(i) = 1 2



σi 0 0 −σⁱ



 , i ∈ {1, 2, 3} . (2.30)

Model chiral SU (2)×SU(2) nonlinier biasa dikaitkan dengan G dan H ini sebagaimana kita sekarang tunjukkan. Kita dapat mengatakan bahwa G/H = S³.

Definisikan τµ (µ = 0, 1, 2, 3) dengan τ0 = 12×2, τi = iσi dan susun

gγ0g^†= γαψα , γµ=



0 τµ

τ_µ^† 0 .



 (2.31)

Medan ψα memenuhi

ψαψα = 1 (2.32)

dan jadinya merentangkan S³.

Jika seperti sebelumnya kita menyusun Iµ = −gB^µg⁻¹, sedikit aljabar menunjukkan bahwa

Iµ= iS(i)[ψi∂µψ0− ψ⁰∂µψi] + iεijkT (i)ψj∂µψk . (2.33) Jadi

Tr B_µB^µ= Tr I_µI^µ = −∂µψ_α∂^µψ_α (2.34)

2.2.3 Contoh 3

Terdapat minat dalam model dimana medan mengambil nilai dalam ruang CPⁿ⁻¹. Yang kemudian dapat didefinisikan sebagai berikut: Misalkan

z = (z1, z2, ..., zn) , Σα|z^α|² = 1 , (2.35)

dimana zα adalah kompleks. Jadi z adalah sebuah titik pada S²ⁿ⁻¹. Sekarang jika kita mengidentifikasi z dan e^iθz untuk seluruh θ riil, hasil adalah CPⁿ⁻¹. Yang kemudian adalah sebuah manifold 2(n − 1) dimensi riil.

Deskripsi CPⁿ⁻¹ dalam bentuk G dan H adalah sebagai berikut: Misalkan G = U (n) dan H = U (n − 1) × U(1). Maka G/H = CPⁿ⁻¹. Bukti adalah elementer. Jika G = {g}, dengan g ditulis dalam representasi U(n) terdefinisi, kita dapat mengiden- tifikasi zα = gα1. Persamaan (2.35) mengikuti dari unitari G. Dalam aksi yang benar dari grup g → gh , h ∈ U(n), z mentransformasi menurut

z_α → zαh₁₁+ g_αih_i1 , i = 2, 3, ..., n . (2.36) z dibiarkan invarian dalam transformasi ini jika kita menyusun hα1, dan oleh karena itu h1α, sama dengan δα1. Dengan syarat ini, h mendefinisikan sebuah representasi U (n − 1). Jadi H adalah grup manifold kecil yang diperoleh dengan mendefinisikan z dan e^iθz untuk seluruh θ. Konsekuensinya, CPⁿ⁻¹ = G/H.

Untuk generator U (n) Hermitian, kita dapat mengambil L−(α, β)ρσ= i

2(δαρδβσ− δ^βρδασ) , L+(α, β)ρσ = 1

2 µ

δαρδβσ+ δβσδασ− 4

n δαβδρσ

¶

. (2.37)

Disini L±(α, β) = ±L^±(β, α), dan kita harus mengganti syarat trace dalam (2.2) den- gan

Tr L±(α, β)L±(ρ, σ) = 1

2(δαρδβσ± δ^ασδβρ) ,

Tr L+(α, β)L−(ρ, σ) = 0 . (2.38) H direntangkan oleh

T±(i, j) = L±(i, j) , i, j = 2, 3, ..., n ,

T₀ = Σ_αL₊(α, α) . (2.39)

Substitusikan ke dalam I_µ= −gBµg^†, kita menemukan

[Iµ]ρλ= ∂µ(zρz_λ^⋆) − 2z^σz_λ^⋆∂µ(zρz^⋆_σ) . (2.40) Jadi

Tr BµB^µ= Tr IµI^µ= −2|∂^µzα|²+ 2|zα^⋆∂µzα|² (2.41) yang bersesuaian dengan bentuk lazim untuk Lagrangian model CPⁿ⁻¹:

L = −1

2|D^µzα|² , Dµ≡ ∂^µ− z^⋆α∂µzα . (2.42)

Suku Chern-Simons

3.1 Pengantar

Dalam jumlah ganjil dimensi ruang-waktu D, terdapat aksi invarian gauge yang dapat dituliskan dalam teori Yang-Mills atau model nonlinier yang bukan dari bentuk (2.19) atau (2.20). Suku ini, dikenal sebagai suku Chern-Simons, memiliki ciri-ciri:

i) Aksi yang terkait Scstak gayut metrik ruang-waktu. Ini dikarenakan aksi tersebut dapat ditulis sebagai integral bentuk D, ωD pada manifold M ruang-waktu berdimensi D.

Scs = Z

M

ΩD , (3.1)

Ω_D adalah fungsional potensial Yang-Mills A_µ (dan turunan-turunan mereka) yang mengambil nilai dalam beberapa H aljabar Lie. Untuk model nonlinier, Aµ didefin- isikan dalam (2.2). Dari (3.1), Scs adalah invarian dalam diffeomorphisme M manifold ruang-waktu.

ii) Scs (meskipun bukan ΩD) adalah invarian dalam transformasi gauge (2.15) yang terhubung dengan pemetaan identitas.

iii) S_cs adalah linier dalam turunan waktu. Konsekuensinya, solusi statik terhadap persamaan gerak mengikuti dari aksi S0 adalah juga solusi terhadap persamaan gerak yang mengikuti dari aksi S = S0+ Scs.

32

iv) Jika d menyatakan turunan eksterior, maka

dΩD = Tr [F ∧ F ∧ ... ∧ F| {z }

(D+1)/2kali

] ≡ Tr [F^(D+1)/2] , (3.2)

dimana F adalah kelengkungan dua-form F = dA + A² dan A adalah hubungan satu- form A = Aµ(x) dx^µ. Catat bahwa keberadaan ΩD memenuhi (3.2) mengikuti pal- ing sedikit secara lokal dari lemma Poincar´e karena Tr [F^N] tertutup. Yang berikut mengikuti dari identitas Bianchi DF ≡ dF + A ∧ F − F ∧ A = 0 dan

dTr [F^N] = N Tr [DF ∧ F^{N −1}] (3.3)

Dalam tahun-tahun belakangan suku Chern-Simons menemukan penggunaannya dalam bidang fisika teoritik:

a) Ini ditemukan untuk memberi deskripsi anomali. Dalam fakta, persamaan (3.2) dapat dinyatakan kembali dalam suatu cara yang menunjukkan kerusakan dalam kekekalan arus U (1) aksial dari QCD. Untuk D = 3, kita dapat menulis Ω3 = ǫµνλσK^µdx^ν∧ dx^λ∧ dx^σ, dimana K^µ mewakili arus aksial. Maka persamaan (3.2) mengimplikasikan bahwa ∂µK^µ ∝ ǫ^µνλσTr [FµνFλσ], yang berhubungan dengan anomali kuantum arus aksial.

b) Ketika aksi Chern-Simons Scs dicangkup dalam teori Yang-Mills dalam D = 3, dan aksi total adalah S = S0+ Scs dimana S0 = 1/4 Tr [FµνF^µν], maka S mendeskrip- sikan sebuah sistem dengan boson vektor masif. Scs adalah oleh karenanya disebut menginduksi ”massa topologi” dalam sistem.

c) Ketika suku θScs ditambahkan ke 2+1 dimensi model σ nonlinier, soliton model memperoleh spin dan statistik nonstandar. θ adalah koefisien sembarang, dan dalam rotasi soliton 2π, atau sebuah pertukaran dua soliton, fase fungsi gelombang soliton berubah dengan jumlah yang sebanding dengan θ. ”Statistik pecahan” baru ditemukan berguna dalam studi efek Hall kuantum.

d) Ketika aksi Chern-Simons ditinjau sendirian, yakni aksi sistem total adalah hanya S = Scs, hasil teori kuantum baru, dan ditunjukkan menjadi tersolusi eksak.

Teori-teori tipe ini, yang tak mencangkup metrik, dikenal sebagai ”teori medan topolo-