3. PROGRAM STOKASTIK
3.3. Pengertian Dasar Program Stokastik Tahap Ganda
Persoalan program stokastik dinamik digeneralisasi oleh kasus dua tahap. Banyak persoalan praktis yang berupa perencanaan, perancangan dan manajemen tidak dapat digambarkan dengan bantuan model statis. Untuk model bertujuan, metode program stokastik tahap ganda seringkali digunakan. Model program stokastik tahap ganda dan metode untuk realisasi secukupnya bergantung pada informasi mengenai nilai parameter di dalam kondisi persoalan, dimana memiliki waktu untuk membuat keputusan selanjutnya. Persoalan dinamik dari tiap-tiap
tahap berurutan disyaratkan untuk melengkapi kompensasi divergensi yang dikon-disikan oleh kondisi realisasi persoalan dan oleh pembuatan keputusan tercepat dari tahap sebelumnya. Pada masalah yang lain, disyaratkan bahwa tiap-tiap tahap peluang yang memenuhi kendala tidak melebih nilai tertentu yang diberi-kan sebelumnya atas ekspektasi matematika pada fungsi dari divergensi di dalam kondisi yang dibatasi oleh bilangan yang diberikan atau nilai dari fungsi pada parameter acak yang direalisasikan pada tahap sebelumnya.
Persoalan dinamik akan memiliki salah satu bentuk yaitu : tidak dapat dikondisikan, kondisi probabilistik atau kendala statistik. Untuk persoalan di-namik dengan kendala tidak dapat dikondisikan, karakteristik keputusan adalah membuat pada basis informasi mengenai distribusi yang dikombinasikan oleh pa-rameter acak dari kondisi pada semua tahapan. Pada persoalan dinamik deng-an kondisi dua kasus kendala dapat dibedakdeng-an menjadi : (a) momen pembuat-an keputuspembuat-an hpembuat-anya realisasi dari parameter acak pada tahap sebelumnya ypembuat-ang diperkirakan diketahui dan (b) momen pembuatan keputusan melengkapi infor-masi yang tersedia mengenai realisasi parameter acak yang dinyatakan dengan tahapan, tetapi nilai dari parameter acak pada tahapan berurutan tidak dike-tahui.
Penyelesaian optimal untuk persoalan program stokastik dinamik dapat di-peroleh dengan strategi murni atau campuran. Pada komponen kasus akhir dari penyelesaian atau karakteristik statistik dari distribusi yang memberikan penye-lesaian akan bergantung pada nilai parameter acak di dalam kondisi persoalan, yang direalisasikan oleh momen pembuatan keputuan
Untuk perhitungan selanjutnya dalam analisis persoalan program stokastik tahap ganda, didefinisikan konsep yang diberikan berikut ini. Andaikan terdapat
tahap ke-i yaitu Ωi, i = 0, 1, · · · , n untuk beberapa ruang kejadian elementer ωi, dimana Ω0 berisi satu elemen ω0. Andaikan Ωk adalah descartian product Ωi, i = 1, 2, · · · , k, ωk = (ω1,· · · , ωk), Ωn = Ω dan andaikan pada Ω diberikan ukuran probabilistik p yang didefinisikan dengan cara : jika A ⊂ Ωk maka pk(A) = p(A × Ωk+1 × · · · × Ωn). Diperkenalkan ruang probabilistik (Ω, Σ, P ) dengan Σ berkaitan dengan σ-algebra, definisikan Pk sebagai kondisi ukuran probabilistik pada Ωk.
Pk(A|ωk−1 ∈ B) = Pk(A × B) Pk(Ωk× B) Untuk sembarang A ⊂ Ωk, B ⊂ Ωk−1.
Xk dinyatakan sebagai descartian product Xi, untuk setiap i = 1, 2, · · · , k; dan Xk = (x1,· · · , xk) ∈ Xk, Xn ≡ X dimana X0,X1,· · · , Xn adalah barisan himpunan dari struktur sembarang Xk ∈ Xk, k = 0, 1, · · · , n dan himpunan X termasuk satu titik X0.
Andaikan mk diberikan sebagai fungsi vektor pada ϕk(ωk,Xk) berdimensi untuk setiap ωk ∈ Ωk, Xk ∈ Xk, k = 1, · · · , n dan juga untuk setiap ω ∈ Ω pada himpunan X fungsi ϕ0(ωn,Xn). Masukkan himpunan acak G0
k = G0
k(ωk) dan bk(ωk−1)mk fungsi vektor Bk dinyatakan sebagai ruang Banach yang termasuk pada fungsi vektor berdimensi bk(ωk−1)
k
P
i=1
mi. Akhirnya, Eωk(U(ωk)|ωk−1) men-yatakan kondisi ekspektasi matematika U(ωk) dibawah perkiraan realisasi ωk−1
yang diketahui.
Andaikan dibahas model berbeda pada persoalan program stokastik tahap ganda dengan menggunakan notasi yang diperkenalkan di atas.
Andaikan terdapat persoalan program stokastik tahap ganda :
Eϕk = (ωk, Xk) ≥ bk (3.16)
Xk∈ Gk, k = 1, 2, · · · , n (3.17)
Untuk memformulasi persoalan secara lengkap, diperlukan titik luar apakah ken-dala yang tidak dapat dikondisikan atau kondisional, apakah penyelesaian per-soalan ditentukan dengan strategi murni atau strategi campuran, dan di dalam kelas fungsi yang terukur atau distribusi yang akan mendapatkan penyelesaian. Persoalan praktisnya akan bergantung pada makna isi, penyelesaian pada tiap-tiap tahap dapat dihitung sebagai vektor deterministik atau sebagai rule-function pada penyelesaian dari realisasi dan parameter acak yang diobservasi dari kondisi, atau sebagai distribusi menentukan distribusi kontinu Xk dengan perkiraan infor-masi yang diperlukan mengenai nilai yang direalisasikan data initial acak yang diperoleh model konkrit untuk persoalan dan struktur informasinya ditentukan oleh keputusan selanjutnya. Di dalam syarat-syarat yang diajukan oleh Ermolyev (1970), hasil-hasil persoalan stokastik tahap ganda dari rangkaian tipe
-pengamatan - keputusan - pengamatan - · · · - keputusan Keputusan - pengamatan - keputusan - · · · - keputusan
Andaikan dibahas bermacam-macam model persoalan program stokastik tahap ganda yang menggunakan klasifikasi yang diberikan oleh Judin (1972).
Persoalan stokastik tahap ganda dengan kendala yang tidak dapat dikon-disikan adalah Z Ωn×Xn ϕ(ωn, Xn)dFωn,Xn → inf (3.18) Z Ωk×Xk ϕk(ωk, Xk)dFωk,Xk (3.19) Xk∈ Gk, k = 1, 2, · · · , n (3.20)
Pemilihan beberapa kelas yang paling menarik untuk aplikasi dari sejumlah struktur informasi yang merupakan persyaratan persoalan program tahap ganda dengan kendala kondisional. Model kongkrit dari (3.15) - (3.17) pada kasus per-soalan dengan kendala kondisional, diselesaikan dengan strategi campuran adalah:
Z Ωn×Xn ϕ0(ωn, Xn)dFωn,Xn → inf (3.21) Z Ωk×Xk ϕk(ωk, Xk)dFωk|ωdFωk|ωk−1 ≥ bk(ωk−1) (3.22) Xk ∈ Gk(ωk), k = 1, 2, · · · , n (3.23)
Penyelesaian persoalan akan menjadi himpunan fungsi distribusi FXk|ωk. Biasa-nya untuk mengatakan persoalan diselesaikan dengan distribusi yang ditentukan kemudian jika FXk|ωk didefinisikan setelah realisasi dan pengamatan parameter acak ωk, distribusi yang ditentukan kemudian bergantung pada Xk−1 dan ωk. Dikatakan bahwa persoalan yang diselesaikan dengan distribusi yang ditentukan sebelumnya, jika FXk|ωk didefinisikan setelah realisasi dan pengamatan ωk−1 tetapi sebelum pengamatan ωk, distribusi yang ditentukan sebelumnya bergantung pada Xk−1 dan ωk−1.
Jika persoalan tahap ganda dengan kendala kondisional diselesaikan dengan strategi murni, model konkrit (3.15) (3.17) akan menjadi :
Z Ωn×Xn ϕ0(ωn, Xn)dFωn → inf (3.24) Z Ωk×Xk ϕk(ωk, Xk)dFωk|ωk−1 ≥ bk(ωk−1) (3.25) Xk ∈ Gk(ωk), k = 1, 2, · · · , n (3.26)
Fungsi Xk dari parameter acak yang direalisasikan dan diamati pada kondisi dari persoalan merupakan penyelesaian. Persoalan diselesaikan dengan aturan yang ditentukan kemudian jika keputusan dibuat setelah realisasi dan pengamatan ωk;
aturan-aturan yang ditentukan kemudian untuk penyelesaian sedemikian hing-ga Xk = Xk(ωk). Dikatakan bahwa persoalan diselesaikan dengan aturan yang ditentukan sebelumnya jika keputusan dibuat setelah realisasi dan pengamatan ωk−1, tetapi sebelum pengamatan ωk. Pada kasus aturan sebelumnya :
Xk = Xk(ωk−1)
Biasanya, persoalan (3.21) (3.23) atau (3.24) (3.26) dikenal sebagai per-soalan stokastik tahap ganda dengan rigid model, jika kondisi (3.22) atau (3.25) tidak dihadirkan, keputusan tiap-tiap tahap dibuat setelah observasi kondisi dan keputusan pada tahap sebelumnya.
Relasi tertentu yang dimiliki antara determinasi domain untuk persoalan dengan kendala yang tidak dapat dikondisikan dan kendala yang dapat dikon-disikan. Pernyataan berikut akan menggeneralisasi hasil yang diperoleh, yang telah dikerjakan oleh Eismer (1971) untuk persoalan stokastik tahap ganda par-sial linear. Pernyataan yang berikut diambil dari Judin (1974).
Andaikan U adalah himpunan penyelesaian yang layak untuk persoalan sto-kastik tahap ganda dengan kendala yang tidak dapat dikondisikan
U = {Xk∈ Gi× · · · × Gn|Eϕk(ωk, Xk) ≥ bk, k = 1, 2, · · · , n
Dan V [bn(ωn−1)] adalah himpunan penyelesaian (aturan penyelesaian, distribusi sebelum atau sesudah penyelesaian) pada persoalan dengan kendala kondisional.
Teorema 3.2. Himpunan U dan V adalah terhubung oleh relasi U = {Xn ∈ V [˜bn(ωn−1)]|E˜bk(ωk−1 = bk, k = 1, 2, · · · , n}
Bukti : ˜V = {Xn ∈ V [˜bn(ωn−1)]|E˜bk(ωk−1) = bk, k = 1, 2, · · · , n}. Andaikan Xn∈ ˜V. Yang menyatakan bahwa
Eωkϕk(ωk, Xk) = Eωk−1{Eωkϕk(ωk, Xk)|ωk−1}
≥ Eωk−1˜bk(ωk−1) = bk; k = 1, 2, · · · , n
karena Xn ∈ U. Andaikan Xn ∈ U, definisikan
˜bk(ωk−1) = Eωk{ϕk(ωk, Xk)|ωk−1+ {bkEωkϕk(ωk, Xk)} ≤ Eωk{ϕk(ωk, Xk)|ωk−1, k = 1, 2, · · · , n
Dengan definisi ˜bk(ωn−1) didapatkan Eωk−1˜bk(ωk−1) = bk. Sehingga Xn∈ ˜V. Akibat. Dengan fungsi sama ϕk(ωk, Xk) dan himpunan Gk, k = 1, 2, · · · , n, do-main penyelesaian layak dari persoalan (3.18) (3.20) dan (3.21) (3.23) atau (3.24) (3.26) (bergantung pada persoalan yang diselesaikan dengan strategi campuran atau strategi murni) bersamaan bentunya jika dan hanya jika Ebk(ωk−1) = bk.
Pernyataan di atas menyebabkan kemungkinan untuk memformulasi ulang hasil kualitatif dan seringkali juga menghitung metode yang dikerjakan untuk persoalan dengan kelas tertentu dan untuk investigasi konstruktif pada persoalan kelas lain.
Relasi antara distribusi penyelesaian dan aturan penyelesaian sangat menarik. Jika fungsi ϕ0 adalah konveks dan komponen fungsi vektor ϕkadalah konkaf pada X dengan tiap-tiap ω, maka nilai optimal dari fungsi objektif yang dicapai pada distribusi penyelesaian dapat dicapai juga dengan aturan penyelesaian. Konvek-sitas dari ω0 dan −ωk tidak menghabiskan kondisi dengan strategi optimal murni dan strategi campuran yang didefinisikan menyatu dan nilai sama dari fungsi
tujuan. Nilai fungsi tujuan untuk aturan optimal sebelumnya pada persoalan sto-kastik tahap ganda di dalam rigid model dengan nilai fungsi tujuan didistribusi penyelesaian optimal sebelumnya.
Pernyataan lebih tegas untuk aturan penyelesaian sesudahnya dan distribusi penyelesaian diberikan berikut.
Teorema 3.3. (a) Andaikan ukuran probabilistik Fω di dalam Ω ≡ Ωn adalah kontinu (b) andaikan terdapat fungsi positif G0(ω) dan Gk(ωk) berkendala atas menurut module ϕ0(ωn, Xn) dan semua komponen ϕk(ωk, Xk). Maka penyelesai aturan optimal sesudahnya untuk persoalan stokastik tahap ganda didefinisikan oleh nilai yang sama pada fungsi tujuan sebagai distribusi penyelesaian optimal sesudahnya. Teorema 3.3 untuk persoalan stokastik satu tahap telah dibuktikan oleh Judin (1972).
Persoalan program stokastik tahap ganda dengan kendala kondisional dap-at disubstitusikan untuk sistem persamaan yang memenuhi pemisahan tahapan. Andaikan akan dibahas persoalan (3.24)-(3.26) yang diselesaikan dengan strategi murni (dengan penyelesaian sebelum aturan penyelesaian sesudahnya).
Untuk definisi domain pada persoalan tahap ke-I berkaitan dengan him-punan :
Ki = {Xi ∈ G0|∃{yi+1 ∈ G0
i+1,· · · , yn∈ G0 n}; Eωi[ϕi(ωI, Xi)|ωi−1] ≥ bi(ωi−1),
Eωi+s[ϕi(ωi+s, xI, yi+1,· · · , yi+s)|ωi+s−1] ≥ bi+s(ωi+s−1),
jika
∀ωi+s−1,· · · , ωn−1, s= 1, 2, · · · , n − 1}
G0i menyatakan proyeksi Gi terhadap hyper-plane dari kordinat yang dide-finisikan oleh komponen vektor Xi. Persyaratan keberadaan dari vektor yi+s, s= 1, 2, · · · , n− i yang memenuhi kondisi (3.27) adalah ekivalen terhadap keberadaan kendala di dalam persoalan dua tahap. Kondisi dukup dan perlu untuk menye-lesaikan persoalan (3.24)-(3.26) adalah kondisi Ki 6= Φ (fungsi objektif (3.24) dengan asumsi berkendala). Jika disamping K1 6= Φ, Ki 6= Φ, i = 2, 3, · · · , n.
Fungsi tujuan dari persoalan Qi(Xi) pada tahap ke i mengatakan kon-disional ekspektasi matematika ϕ0(ωn, Xn) pada asumsi semua tahapan sebelum tahap ke i, himpunan ωi−1 merupakan parameter yang direalisasikan dengan kon-disi persoalan dan komponen keputusan himpunan Xi−1, dan sesudah tahapan ke i keputusan optimal berikutnya :X∗
i+1,· · · , X∗ n:
Qi(Xi) = Eωn|ωi−1(ωn, Xi−1, Xi, Xi+1,· · · , X∗
n (3.28)
Sejauh ini, definisi penyelesaian aturan optimal pada tahap ke i dari per-soalan stokastik tahap ganda direduksi untuk menyelesaikan perper-soalan program matematika berikut
inf
Xi∈Xi
Qi(Xi) (3.29)
Aturan sesudahnya untuk penyelesaian adalah : Xi = Xi(ωi), yi+s = yi+s(ωi+s); s= 1, 2, · · · , n − i, dan aturan sebelumnya untuk penyelesaian adalah :
Xi = Xi(ωi−1); yi+s = yi+s(ωi+s−1); s = 1, 2, · · · , n − i Jika fungsi tujuan dapat dipisahkan, yaitu ϕ0(ωn, Xn) =
n P j=1 ϕ0j(ωj, Xj) kita mem-punyai Qi(Xi) = Eωi|ωi−1{ϕ0(ωi, Xi) + Q∗i+1(ωi, Xi)} dimana
Q∗i(ωi−1, Xi−1) = inf
Xi∈Ki
dengan i = n
Q∗n(ωn−1, Xn−1) = inf
Xi∈Ki
Eωi|ωi−1ϕ0n(ωn, Xn)
Analog dengan persoalan pemisahan tahapan untuk persoalan stokastik tahap ganda dengan strategi campuran yang dikonstruksikan.