DETERMINISTIK EKIVALEN TERHADAP
PROGRAM STOKASTIK CACAH
CAMPURAN TAHAP GANDA
T E S I S
Oleh:
IRVAN
057021003/MT
SEKOLAH PASCASARJANA
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2007
DETERMINISTIK EKIVALEN TERHADAP
PROGRAM STOKASTIK CACAH
CAMPURAN TAHAP GANDA
T E S I S
Untuk memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara
Oleh:
IRVAN
057021003/MT
SEKOLAH PASCASARJANA
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2007
Judul Tesis : Karakteristik Model Deterministik Ekivalen Terhadap Program Stokastik Cacah Campuran Tahap Ganda
Nama Mahasiswa : Irvan
Nomor Pokok : 057021003
Program Studi : Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
Prof. Dr. Herman Mawengkang Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc
Pembimbing-I Pembimbing-II
Prof. Dr. Herman Mawengkang Prof. Dr. Ir. T.Chairun Nisa. B, M.Sc
Ketua Program Studi Direktur SPs USU
Tanggal 2 Juli 2007
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang
Anggota : Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc
Dr. Sutarman, M.Sc Dra. Mardiningsih, M.Si
Dunia saat ini di landa oleh adanya kondisi ketidakpastian yang tinggi, na-mun pengambilan keputusan tetap harus menentukan keputusan, walau dalam kondisi yang demikian. Persoalan keputusan sering diformulasikan sebagai per-soalan optimisasi, jadi dalam berbagai situasi, pengambil keputusan ingin menye-lesaikan persoalan optimisasi yang tergantung pada parameter yang tak dike-tahui. Jika ketidakpastian ini tidak diperhitungkan dalam model penyelesaian, kesalahan besar dapat terjadi apabila hal ini diterapkan. Tentu saja, penyelesai-an ypenyelesai-ang diperoleh dari program optimisasi adalah optimal untuk nilai tertentu dari parameter tak pasti tersebut yang terlibat dalam pengambilan keputusan dapat jauh dari optimal atau bahkan tak layak. Perencanaan jangka menengah dan jangka panjang merupakan hal yang esensi terhadap suksesnya bisnis dan manajemen proyek. Dalam hal ini, persoalan dapat di bagi menjadi taha-ganda, biasanya ditinjau dari segi waktu. Karena banyak data yang tak tersedia pada tahap perencanaan, keputusan harus lentur untuk mengantisipasi kejadian yang mungkin terjadi. Program stokastik merupakan alat yang ampuh untuk mem-odelkan persoalan perencanaan jangka menengah dan jangka panjang, di mana terdapat ketidakpastian dalam data. Namun model tidaklah ”well defined”, kare-na adanya vektor acak muncul dalam model untuk merepresentasikan ketidak-pastian. Pada tesis ini membicarakan tentang memodifikasi program stokastik cacah-campuran tahap-ganda menjadi model deterministik ekivalen.
Currently, the world has been uncertainly condition; however the decision maker has to make a decision. These decision problems in general are formulated as an optimization problem; the optimization problem should be solved. If the parameter of the problem are uncertain then we need a tool to solve it, otherwise the result would be bias. Medium to long term planning in busmen are essential for the succeed of a busmen and management project. Stochastic programming is an important tool in medium to long term planning where there are uncertain-ties in the data. In this thesis, we consider multi-stage mixed integer stochastic programming model. The model is not well defined, since there are random vec-tors imposed in the model to present the uncertainties, of the model parameter. There fore a revision of the modeling is necessary, leading to so-called determinis-tic equivalents of the original model. This thesis discusses about how to get the deterministic equivalent model.
Tesis ini berjudul Karakteristik Model Deterministik Ekivalen terhadap Pro-gram Stokastik Cacah Campuran Tahap Ganda. Tesis ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Magister Matematika, Sekolah Pascasarjana, Universitas Sumatera Utara.
Dari hasil temuan penelitian ini diharapkan akan memperoleh sebuah model untuk mengubah program stokastik cacah campuran tahap ganda (multi-stage stochastic mixed integer programming) menjadi model deterministik ekivalen.
Penulis sangat sadar bahwa tesis ini jauh dari sempurna. Namun harap-an penulis, semoga tesis ini bermharap-anfaat bagi para pembaca dharap-an peneliti-peneliti selanjutnya, khususnya penelitian di bidang operasi riset.
Saran dan kritik yang bersifat konstruksi sangat diharapkan untuk kesem-purnaan hasil penelitian ini.
Medan, Juni 2007 Penulis,
Segenap puja dan puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat, karunia, petunjuk, bimbingan, dan kekuatan lahir dan batik kepada diri penulis, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini tepat pada waktunya. Tesis ini berjudul ” Karakteristik Model Deterministik Ekivalen terhadap Program Stokastik Cacah Campuran Tahap Ganda”. Tesis ini meru-pakan persyaratan tugas akhir pada Program Studi Matematika SPs Universitas Sumatera Utara.
Pada kesempatan yang baik ini, penulis menyampaikan ucapan terimakasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada : Rektor Universitas Sumatera Utara Prof. Dr. Chairuddin P. Lubis, DTM&H, Sp.Ak., Direktur Sekolah Pas-casarjana Prof. Dr. Ir. T. Chairun Nisa B, M.Sc., ketua Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara Prof. Dr. Herman Mawengkang, sekretaris Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara Dr. Saib Suwilo, M.Sc., yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di Sekolah Pascasarjana Univer-sitas Sumatera Utara Medan.
Penghargaan yang setinggi-tingginya penulis sampaikan kepada Prof. Dr. Herman Mawengkang dan Dr. Opin Salim Sitompul M.Sc., atas bimbingan, ban-tuan dan perhatian yang diberikan selama penulisan dan penyelesaian tesis ini. Selanjutnya terima kasih yang dalam penulis sampaikan kepada para dosen yaitu: Dr. Saib Suwilo, M.Sc., Dr. Sutarman, M.Sc., Drs. Open Darnius, M.Sc., Drs. Marwan Harahap, M.Eng, Drs. Sawaluddin, MIT., Dra. Mardiningsih, M.Si., dan Dra. Esther Nababan, M.Sc., yang telah banyak memberikan masukan ilmu pengetahuan dalam bidang operasi riset (OR).
dan kebersamaan dalam mengatasi berbagai masalah yang dihadapi selama perku-liahan, sehingga tugas-tugas bersama dapat diselesaikan dengan baik. Terima kasih saya sampaikan kepada saudari Misiani, S.Si., selaku staf Administrasi pro-gram studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan pelayanan yang baik kepada penulis.
Khususnya kepada Ayahanda Ismail dan Ibunda Wagiyem serta mertua Ibunda Hj. Ummi Kalsum yang telah melimpahkan dukungan finansial, spritual dan material yang tak terhingga kepada penulis, sehingga penulis dapat menye-lesaikan pendidikan Magister Sains. Teristimewa penulis mengucapkan terima kasih kepada istri tercinta Rabiah Adawi, S.Pd., M.Hum serta ananda ter-sayang Alisya Irvi Salsabila dan Jihan Irvi Safirah yang banyak memberikan pengertian dan pengorbanan dari masa kuliah sampai pada penyelesaian tesis ini. Ucapan terima kasih yang terakhir penulis sampaikan kepada seluruh kelu-arga dari pihak penulis dan pihak istri yang tidak dapat disebutkan satu persatu dalam ucapan terima kasih ini, yang telah memberikan perhatian dan dorongan yang diberikan kepada penulis dalam menyelesaikan tesis ini. Akhirnya penulis hanya dapat memohon kehadirat Allah SWT, semoga jasa semua pihak yang telah membantu penulis dalam penyelesaian tesis ini, mendapat balasan yang setimpal amin.
Medan, Juni 2007 Penulis,
Halaman
LEMBAR PENGESAHAN . . . i
ABSTRAK . . . iii
ABSTRACT . . . iv
KATA PENGANTAR . . . v
UCAPAN TERIMA KASIH . . . vi
DAFTAR ISI . . . viii
BAB 1. PENDAHULUAN . . . 1 1.1. Latar Belakang . . . 1 1.2. Perumusan Masalah . . . 3 1.3. Tujuan Penelitian . . . 3 1.4. Kontribusi Penelitian . . . 3 1.5. Metodologi Penelitian . . . 4 2. TINJAUAN PUSTAKA . . . 5
2.1. Formulasi Program Stokastik . . . 5
2.2. Model dan Analisa Kuantitatif dari Persoalan Stokastik dengan Kendala Berpeluang . . . 8
2.3. Deterministik Ekivalen Persoalan Program Stokastik deng-an Kendala Berpeludeng-ang . . . 10
3. PROGRAM STOKASTIK . . . 15
3.1. Pengertian Program Stokastik . . . 15
3.2. Program Stokastik Dua Tahap . . . 17
3.3. Pengertian Dasar Program Stokastik Tahap Ganda . . 21
3.4. Ilustrasi Program Stokastik . . . 30
4. PEMBAHASAN . . . 37
4.1. Program Stokastik : Formulasi Umum . . . 37
4.2. Formulasi Ekivalen Deterministik . . . 38
4.3. Formulasi Deterministi Ekivalen Program Stokastik Ca-cah Campuran . . . 45
4.4. Proses Formulasi . . . 46
5. KESIMPULAN . . . 49
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Model program stokastik merupakan formulasi ulang atau perluasan dari masalah optimisasi dengan parameter random (acak). Untuk pembicaraan ten-tang pendekatan program stokastik integer, perlu dideskripsikan sebuah model yang akan/dapat memberikan sifat-sifat matematika yang relevan.
Perhatikan masalah optimasasi berikut.
min
x cx
kendala Ax = b
Tx=h
x∈ X
dimana X ⊂ Rn nonnegatif dan kemungkinan adanya kendala bulat dengan
va-riabel keputusan x. Sebagai tambahan, untuk m1 kendala deterministik Ax = b,
terdapat m kendala Tx =h, dimana parameter T dan h tergantung pada in-formasi yang hanya tersedia sesudah variabel keputusan x dibuat. Pendekatan program stokastik untuk masalah ini adalah dengan mengasumsikan bahwa keti-dakpastian ini dapat dimodelkan oleh variabel random (acak) yang berdistribusi peluangnya diketahui, memformulasi ulang model yang diperoleh dan menjadikan masalah optimisasi agar terdefenisi dengan baik.
recourse yang diperoleh dengan mengikuti tambahan atau keputusan recourse sesudah pengamatan variabel random (T, h). Model recourse adalah dinamik (berubah-rubah): waktu yang dimodelkan secara diskrit dalam bentuk tahapan-tahapan, sesuai dengan informasi yang tersedia. Jika semua ketidakpastian tidak diselesaikan, model recourse menjadi dua tahapan yaitu : ’sekarang’ dan ’akan datang’. Diberikan variabel keputusan tahap satu x untuk setiap kemungkinan realisasi q, T, h dari q, T, h, ketidaklayakkan h − T x dihilangkan untuk memini-malkan biaya oleh pemilihan keputusan tahap kedua sebagai penyelesaian optimal dari masalah tahap kedua
min
y qy
kendala W y = h − T x y∈ Y
dimana q adalah vektor biaya unit recourse (random), matriks recourse W terten-tu dengan teknologi tersedia, dan himpunan Y ⊂ Rn2
+ adalah didefinisikan analog
dengan X. Akan menggunakan ξ =(q, T, h) untuk menotasikan objek acak yang random dalam masalah ini. Nilai fungsi dari masalah tahap kedua, khususnya bia-ya recourse minimal sebagai sebuah fungsi dari keputusan tahap pertama x dan realisasi ξ, akan dinotasikan oleh v(x, ξ)); ekspetasi Q(x) := Eξ[v(x, ξ)]
menyata-kan biaya recourse rata-rata yang berkaitan dengan keputusan tahap pertama x. Sehingga model recourse tahap kedua adalah :
min
x cx+ Q(x)
kendala Ax = b
x∈ X
keputusan x.
1.2 Perumusan Masalah
Perencanaan jangka menengah dan jangka panjang merupakan hal yang esensi terhadap suksesnya bisnis dan manajemen proyek. Dalam hal ini, pro-blem dapat dibagi menjadi tahap-ganda yang biasanya ditinjau dari segi waktu. Karena banyak data yang tak tersedia pada tahap perencanaan, keputusan harus dapat mengantisipasi kejadian yang mungkin. Program stokastik merupakan alat yang ampuh untuk memodelkan persoalan perencanaan jangka menengah dan panjang, dimana terdapat ketidakpastian dalam data. Namun model tidaklah ’well defined’, karena adanya vektor acak yang terdapat dalam model untuk mem-presentasikan ketidakpastian. Dengan demikian, perlu dibentuk sebuah model ekivalen deterministik dari model stokastik tersebut. Penelitian ini akan memba-has tentang proses pembentukan model deterministik dan karakteristik matematis dari model yang dihasilkan.
1.3 Tujuan Penelitian
Mengajukan sebuah model untuk mengubah program stokastik cacah cam-puran tahap-ganda (Multi-stage Stochastic Mixed-Integer Programming) menjadi model deterministik ekivalen.
1.4 Kontribusi Penelitian
Diperolehnya sebuah metode untuk menyelesaikan persoalan keputusan dan perencanaan yang mengandung ketidakpastian yang sering muncul dalam berba-gai bidang aplikasi, seperti : energi, finansial, pertanian, lingkungan, dan ekonomi.
1.5 Metodologi Penelitian
Pada tesis ini akan dikaji karakteristik model deterministik ekivalen ter-hadap program stokastik cacah campuran tahap ganda. Langkah awal dibahas mengenai konsep dasar program stokastik, kemudian stokastik dua tahap yang bertujuan mengeneralisasi program stokastik tahap ganda dengan recourse.
Selanjutnya dibahas penentuan model deterministik tahap ganda dan kemu-dian model program stokastik cacah campuran tahap ganda. Pada bagian akhir dibahas metode pembentukan model deterministik untuk persoalan tahap ganda dengan recourse.
TINJAUAN PUSTAKA
Bentuk dan model operasional dalam proses industri sering dicirikan oleh ketidakpastian pada parameter (Sahinidis, 2004). Salah satu pendekatan untuk persoalan dengan ketidakpastian ini adalah menggunakan program stokastik ca-cah (Birge dan Louveaux, 1997). Sebagai contoh, Sand dan Engell (2004), dan Engell et.al. (2004) mengajukan program stokastik cacah dua tahap linear untuk penjadwalan online pada perencanaan berbagai produk dibidang industri. Mere-ka menerapMere-kan algoritma dekomposisi skenario rigorous yang diajuMere-kan oleh Care dan Schultz (1999), yang telah membentuk penyelesaian dengan kualitas tinggi dalam waktu perhitungan yang layak. Fokusnya adalah pada pembentukan batas bawah dari penyelesaian optimal yang lebih baik pada pembentukan penyelesaian yang layak. Sebagai alternatif yang lain, Till et.al. (2005) mengusulkan algorit-ma stokastik untuk menyelesaikan program stokastik cacah linier dua tahap yang didasarkan pada pentahapan dekomposisi menggunakan algoritma evalutionary yang dikombinasi dengan metode pada program matematika. Pada dasarnya, al-goritma rigorous melakukan sebuah enumerasi implisit dari semua penyelesaian pada saat stokastik didasarkan pada Randomized Metaheuristics.
2.1 Formulasi Program Stokastik
Program stokastik dua-tahap menggambarkan persoalan optimisasi, dalam mana beberapa keputusan mempunyai ketidakpastian dalam parameter model dan sisa keputusan lain yang didapat dengan ketidakpastian dapat direalisasikan.
Apabila ketidakpastian digambarkan oleh skenario ω = 1, · · · , Ω yang berhingga banyaknya dengan peluang πw, program deterministik ekivalen dari masalah
op-timisasi linier dengan bentuk perluasan yang diajukan oleh Birge dan Louveaux (1997) adalah z = min x,yω {cTx + PΩ ω=1 πωqTωyω|Ax ≤ b, Tωx + Wωyω ≤ hω, x ∈ X, yω ∈ Y, ω = 1, · · · , Ω} (2.1)
Variabel yang ditentukan untuk tahap kesatu dan tahap kedua adalah x dan yω,
yang berada pada himpunan polyhedral X dan Y . Keputusan tahap pertama (ke-satuan) x menyatakan keputusan sekarang ini (waktu sekarang) yang diterapkan tanpa memperhatikan perkembangan mendatang dan akan identik (sama) untuk setiap skenario. Himpunan keputusan tahap kedua yω menyatakan recourse yang
pada skenario dan berkaitan dengan realisasi dari qω,hω,Tω dan Wω. Tujuannya
adalah untuk meminimumkan biaya tahap pertama ditambah biaya tahap kedua yang diharapkan. Persoalan (2.1) dapat dituliskan sebagai bentuk perluasan dari program deterministik ekivalen yang diajukan oleh Birge dan Louveaux (1997) adalah z = min x {c Tx + Ω X ω=1 πωQω(x)|Ax ≤ b, x ∈ x} (2.2)
dimana Qω(x) adalah fungsi nilai tahap kedua yang didefinisikan oleh
Qω(x) = min mathbf yω
{qT
ωyω|Wωyω≤ hωTωx, yω ∈ Y } (2.3)
Apabila semua variabel tahap kedua adalah kontinu, yaitu Y ⊆ Rn2
+, fungsi
ni-lainya adalah fungsi konveks linear sepotong-sepotong pada x. Dalam program stokastik cacah tahap kedua, subset dari variabel tahap kedua adalah subjek un-tuk persyaratan integrality yaitu Y ⊆ Zn2
+ × Rn+2. Sehingga fungsi nilainya adalah
non-konveks secara umum dan non-differentiable pada x, dan memiliki sifat-sifat yang sama dengan fungsi nilai pada program bilangan cacah seperti yang diajukan
oleh ((Birge dan Louveaux, 1997), (Care dan Tind, 1998), dan (Nemhauser dan Wolsey, 1999)).
Pendekatan yang paling sederhana untuk menyelesaikan persoalan (2.1) ada-lah memperhatikan (memandang) persamaan tersebut sebagai sebuah program li-near cacah campuran monolithic berskala besar dan menggunakan software komer-sil yang standat, misalnya software CPLEX seperti yang diajukan oleh CPLEX (2002). Matriks kendala pada persoalan (2.1) menunjukkan sebuah karakteristik struktur block-angular (lihat gambar 1) yang diterima dengan pendekatan dekom-posisi. Ketika Y ⊆ Rn2
+, struktur ini bersama dengan sifat-sifat konveksitas dari
Qω(x) dimanfaatkan oleh pendekatan dekomposisi yang sesuai, yang sama dengan
metode rigorous L-Shaped seperti yang diajukan oleh Birge dan Louveaux (1997). Ketika tahap kedua mensyaratkan variabel cacah non-konveksitas dari fungsi nilai mencegah secara efisien penggunaan metode ini, untuk kasus secara umum dari cacah campuran tahap pertama dan tahap kedua, dual decomposition algorithm oleh Care dan Shultz (1999) dipertimbangkan untuk menyelesaikan program sto-kastik cacah linear dua tahap yan diajukan oleh Sahinidis (2004). Penelitian baru mengenai algoritma untuk program stokastik cacah campuran linear dua tahap dapat ditemukan di dalam Louveaux dan Schultz (2003).
Gambar 1 :a) Struktur kendala program stokastik dua tahap, b) Dekomposisi skenario, dan c) Dekomposisi dengan tahapan (cara bertahap)
2.2 Model dan Analisa Kuantitatif dari Persoalan Stokastik dengan Kendala Berpeluang
Penyelesaian dari program stokastik dengan masalah kendala berpeluang da-pat didefinisikan sebagai deterministik atau vektor acak, bergantung pada deter-ministik atau probabilistik, karakteristik dari masalah keacakan parameter murni atas strategi campuran.
Andaikan terdapat persoalan program stokastik linear dengan kendala berpeluang berikut : max Z = max cx P ( n P j=1 aijxj ≤ bi ) ≥ αi; 0 ≤ αi ≤ 1, i = 1, 2, · · · , m xj ≥ 0, j = 1, 2, · · · , m (2.4)
dimana (aij) adalah matriks deterministik, vektor b = (bi) dan c = (cj) adalah
acak.
Persoalan (2.4) dapat direduksi menjadi persoalan program linear deterministik :
Max Z = max ¯cx Ax≤ ¯b
x≥ 0
dimana ¯cadalah ekspektasi matematika dari vektor c dan vektor ¯b yang ditentukan sebagai berikut :
Andaikan ϕ(b1, b2,· · · , bm) adalah distribusi kepadatan bersama dari
kom-ponen vektor acak b(w) dan ϕi(bi) adalah distribusi kepadatan komponen vektor
b(w) yang ke-i, yaitu : ϕ(bi) = Z +∞ −∞ · · · (m − 1) · · · Z +∞ −∞ ϕ(b1, b2,· · · , bm) Y k6=i dbk
Jika ϕi(bi) diketahui, maka dapat ditentukan ¯bi sehingga akan dipenuhi oleh :
Z +∞ −∞
ϕi(bi)dbi = αi; i = 1, 2, · · · , m (2.5)
Jika persamaan (2.5) mempunyai banyak penyelesaian, maka dipilih ¯biyang
meru-pakan akar terbesar. Sehingga bentuk P n X j=1 aijxj ≤ bi ! ≥ αi
akan ekivalen dengan pertidaksamaan
n
X
j=1
aijxj ≤ ¯bi
dimana ¯bi diperoleh dari persamaan (2.5). Akibatnya program stokastik pada
persamaan (2.4) ekivalen dengan persoalan program linear deterministik max Z = max ¯cx
ax≤ ¯b x≥ 0
(2.6)
dimana ¯c= E(c(w)); b = (¯b1, ¯b2,· · · , ¯bm). Pembahasan yang lebih detail mengenai
hal di atas dikerjakan oleh Kolbin(1968).
Pada pekerjaan yang diajukan oleh Soldatov (1965), Soldatov (1966a), Solda-tov (1966b) telah dibahas persoalan maksimisasi fungsi tujuan cx pada himpunan Sα yang diasumsikan elemen konstanta matrik A = (aij) dan komponen vektor
b(w) yang berdistribusi uniform.
Ben-Israel (1961) membahas masalah dual untuk persoalan kendala berpeluang
min Y ¯b
P(Y A ≥ c) ≥ β
dimana A adalah matriks deterministik, tetapi penyelesaian Y∗ menyatakan vek-tor deterministik.
Judin (1974) membahas persoalan (2.4) yang diinvestiasi, dengan matriks A = (aij) dan komponen elemen vektor b = (bi) adalah bernilai acak yang
berdis-tribusi normal idependen bersama.
2.3 Deterministik Ekivalen Persoalan Program Stokastik dengan Ken-dala Berpeluang
Kataoka (1963) mengajukan metode penyelesaian untuk masalah max f
P{c(w)x ≤ f} = β
P{aix≤ bi(w)} ≥ αi; i = 1, 2, · · · , m
x≥ 0, w ∈ Ω
(2.7)
persoalan di atas diselesaikan dengan menggunakan beberapa asumsi, sehingga bentuknya dapat direduksi menjadi persoalan program linear konveks determi-nistik. Efektifitas dari penggunaan deterministik ekivalen untuk menganalisis persoalan program stikastik dengan kendala berpeluang adalah bergantung pada bentuk ekivalennya yaitu menjadi persoalan program linear atau konveks. Miller dan Wagner (1965) menyelidiki beberapa bentuk persoalan program stokastik dengan kendala berpeluang , dimana deterministik ekivalennya merupakan per-soalan program konveks.
Kolbin (1968) mengkaji persoalan program stokastik dengan kendala pe-luang berbentuk
max f0(x)
P{fi(x) ≤ 0} ≥ αi; i = 1, 2, · · · , m
Deterministik ekivalen untuk (2.8) akan berbentuk max f0(x)
Fix(gi(x)) = αi, i= 1, 2, · · · , m
gi(x) ≤ 0, i = 1, 2, · · · , m
(2.9)
dimana vektor x adalah deterministik dan g(x) = {gi(x), · · · , gm(x)}. Pada kasus
fungsi distribusi kontinu deterministik ekivalen untuk (2.8) akan berbentuk max f0(x)
Fix−1(αi) ≤ 0, i = 1, 2, · · · , m
(2.10)
Kolbin (1997) juga mengkaji persoalan lain yang berbentuk max f0(x)
P{f(x) ≤ 0} ≥ α
(2.11) Deterministik ekivalen untuk (2.11) akan berbentuk
max f0(x)
Fx(g(x)) = α
g(x) ≤ 0
(2.12)
dimana vektor x dan g(x) adalah deterministik.
Symonds (1967) mengajukan teorema yang berkaitan dengan persamaan (2.11) dan (2.12) yaitu :
Teorema 2.1 : Jika kombinasi fungsi distribusi F (x) dari komponen vektor acak f(x) = {f1(x), · · · , fm(x)} adalah kontinu terhadap tiap-tiap x, persoalan (2.12)
adalah merupakan deterministik ekivalen terhadap persoalan stokastik (2.11). Untuk menyelesaikan persoalan terapan digunakan algoritma komputasi dan program mesin pada beberapa kasus, dimana deterministik ekivalen untuk pro-gram stokastik dinyatakan dalam propro-gram linear dan propro-gram konveks (Kolbin,
1977). Wessel (1967) memberikan jaminan kasus konveksitas fungsi tujuan dan do-main dari definisi untuk persoalan deterministik ekivalen pada bermacam-macam model stokastik. Pendekatan numerik yang lain, program konveks pada ruang Hilbert dapat digunakan untuk penyelesaian program stokastik konveks (Kolbin, 1968).
2.4 Model Persoalan Program Stokastik Dua Tahap
Banyak persoalan perencanaan dan manajemen resiko dengan ketidakpas-tian diselesaikan dengan program stokastik dua tahap. Persoalan stokastik dengan kompensasi perbedaan pada sistem dengan kendala mempunyai banyak aplikasi dari pada program stokastik yang lain (Kolbin, 1968). Penyelesaian program sto-kastik dua tahap berisi vektor deterministik dan vektor acak. Tahap pertama pada penyelesaian masalah, rencana persiapan deterministik telah dibuat. Vek-tor acak pada penyelesaian berkaitan untuk rencana perbedaan kompensasi, yang pada umumnya muncul setelah spesifikasi dari parameter pada persoalan tahap kedua.
Andaikan terdapat persoalan program matematika berikut (Kolbin, 1968) min x Ew (c(w), X) + min y (H, Y (w)) kendala A0X = B0 A(w)X + D(w)Y (w) = B(w), w ∈ Ω X ≥ 0, Y (w) ≥ 0 (2.13)
dimana H adalah sebuah vektor pinalti yang bergantung pada nilai komponen dari vektor Y (w) yang merupakan kompensasi perbedaan. E adalah notasi dari ekspektasi matematika.
Teorema 2.2 : Deterministik ekivalen untuk persamaan (2.13) adalah merupakan persoalan program konveks, pernyataan selanjutnya menyediakan teori dasar un-tuk menkonstruksi pendekatan numerik dari penyelesaian program dua tahap. Sebagai pertimbangan metode penyelesaian persoalan dua tahap kita perlu meng-gunakan relasi fungsi dasar untuk fungsi konveks F (µ) pada titik µ0 ∈ M, untuk
fungsi linear L, jika F (µ)F (µ0) ≥ (L, µ, µ0) untuk setiap µ ∈ M. Pembahaan dan
pembuktian teorema ini dilihat pada Judin (1974) dan Kall (1966)
Teorema 2.3 : (Kolbin, 1968) : Fungsi E{C − Z∗(A, B, X0)A} =
Z
Ω
{c(w)Z∗[A(w), B(w), X0]A(w)}dp
adalah dasar untuk fungsi objektif dari persoalan deterministik ekivalen pada titik X0 ∈ k.
Kall (1966) menyatakan jika ukuran peluang pada ruang A, B adalah kon-tinu absolut relatif terhadap ukuran lebesque pada ruang A, B dan kondisi ter-tentu dipenuhi maka fungsi objektif ∅(x) dari persoalan deterministik ekivalen adalah defferensiabel kontinu dimana-mana pada himpunan k untuk keperlu-an investisi kondisi optimalitas dari renckeperlu-ana x untuk persoalkeperlu-an tahap pertama diperlukan vektor Cx = E[CZ∗(A, B, X)A] dan bentuk linear L
x1 = (Cx1, X) =
E[C − Z∗(A, B, X)A]X. Judin (1974) telah memformulasi kondisi perlu dari
opti-malitas pada rencana deterministik X di dalam persoalan program stokastik dua tahap.
Kolbin (1968) mengajukan teorema mengenai rencana deterministik untuk per-soalan tahap ganda yaitu;
ganda maka untuk setiap X ∈ k berlaku :
Lx(X∗) ≤ Lx(X)
Selanjutnya diberikan teorema mengenai kondisi cukup dan kondisi perlu untuk optimalitas rencana persoalan program stokastik dua tahap yaitu :
Teorema 2.5 : Jika X∗ adalah titik internal dari himpunan k, tetapi sebuah
fungsi tujuan ∅(x) dari persoalan deterministik ekivalen terhadap persoalan dua tahap menjadi deffrentiabel pada neighbourhood pada titik X∗. Maka persoalan
dual untuk persoalan tahap kedua mempunyai sebuah penyelesaian Z∗(Z, B, X∗)
sedemikian hingga
Cx0 = E[C − Z∗(A, B, X∗)A] = 0
jika dan hanya jika X∗ adalah sebuah penyelesaian persoalan dua tahap.
PROGRAM STOKASTIK
3.1 Pengertian Program Stokastik
Persoalan keputusan dapat dimodelkan dengan menggunakan program ma-tematik, tujuannya adalah untuk menentukan nilai maksimum atau minimum. Keputusan yang dihasilkan bergantung kepada kendala yang dibatasi oleh sum-ber dana, persyaratan minimum dan lain-lain. Keputusan dinyatakan oleh varia-bel berupa bilangan cacah atau nonnegatif. Sebagai contoh dari persoalan data termasuk biaya perunit, rata-rata produksi, penjualan atau kapasitas.
Andaikan keputusan dinyatakan dengan variabel (x1, x2,· · · , xn). Sebagai
contoh xi menyatakan produksi ke-i dari n produk. Bentuk umum program
matematikanya adalah :
min Z = f(x)
kendala fi(x) ≥ bi, i= 1, 2, · · · , n
x≥ 0, x ∈ X
(3.1)
dimana X adalah himpunan bilangan real non negatif.
Program stokastik adalah sebuah nama yang menyatakan program mate-matika yang dapat berupa linear, cacah, cacah campuran, non linear dengan menampilkan elemen stokastik pada data. Sehingga program stokastik dapat dinyata bahwa :
yang diketahui.
b. Pada program stokastik, data merupakan bilangan tidak pasti yang disajikan sebagai distribusi peluang.
Program stokastik adalah merupakan program matematika, dimana beberapa da-ta yang termuat pada tujuan ada-tau kendala mengandung ketidakpastian, ketidak-pastian biasanya dicirikan oleh distribusi peluang pada parameter. Walaupun ketidakpastian didefinisikan dengan tepat, tetapi pada prakteknya diberikan be-berapa skenario yang spesifik dan distribusi peluang gabungan yang cepat.
Ada dua model dalam permasalahan program stokastik, yaitu :
1. Recourse Models (Model Rekursif)
2. Probabilistically Constrained Models (Model Kendala Berpeluang)
Dalam persoalan program stokastik adalah membuat sebuah keputusan sekarang dan meminimumkan biaya rata-rata harapan sebagai konsekuensi dari keputusan, paradigma ini dikenal sebagai model recourse. Andaikan x adalah vektor kepu-tusan yang diambil, dan y(w) adalah sebuah vektor kepukepu-tusan yang menyatakan aksi terbaru atau konsekuensi dari x. Himpunan berbeda yang berisi y akan dipilih dari tiap-tiap hasil yang mungkin dari w. Formulasi dua tahapnya adalah
min h1(x) + E[h2(y(w), w)]
kendala g1(x) ≤ 0, · · · , gm(x) ≤ 0 f1(x, y(w)) ≤ 0, ∀w ∈ W .. . ... fk(x, y(w)) ≤ 0, ∀w ∈ W x∈ X, y(w) ∈ Y (3.2)
dimana himpunan kendala f1, f2,· · · , fk, menggambarkan hubungan antara
kepu-tusan tahap pertama x dan kepukepu-tusan tahap kedua y(w). Dicatat bahwa diper-syaratkan tiap-tiap kendala dipenuhi dengan peluang 1, atau untuk setiap w ∈ W yang mungkin. Fungsi h2 merupakan penyelesaian yang sering muncul dari
per-soalan matematika. Tidak dibutuhkan untuk membuat korelasi yang berubah-ubah (recourse) untuk keputusan tahap pertama, perlu untuk dibuat korelasi yang terbaik.
Untuk persoalan tahap ganda, pengaruh keputusan sekarang akan ditunggu untuk beberapa ketidakpastian yang diselesaikan kembali (direalisasikan), sehing-ga pembuatan keputusan yang lain didasarkan pada apa yang terjadi. Tujuannya adalah untuk meminimumkan biaya yang diharapkan dari semua keputusan yang diambil.
Pada beberapa kasus, dapat digunakan suatu model yang lebih tepat untuk mencoba menentukan sebuah keputusan, yang mana keputusan tersebut dijamin oleh himpunan kendala yang akan dipenuhi oleh sebuah peluang tertentu. Mo-del umum dengan kendala berpeluang disebut probabilistically constrained moMo-dels yang dirumuskan sebagai berikut :
min Z = f(x) kendala P [g1(x) ≤ 0 · · · gm(x) ≤ 0] ≥ α h1(x) ≤ 0 h2(x) ≤ 0 x∈ X (3.3)
3.2 Program Stokastik Dua Tahap
dan ketidakpastian dibahas dan diselesaikan dengan program stokastik dua tahap. Persoalan stokastik dengan kompensasi dari divergensi pada sistem dengan ken-dala mempunyai aplikasi yang lebih banyak dari pada model program yang lain. Penyelesaian persoalan program stokastik dua tahap berisi vektor acak dan vektor deterministik. Pada tahap pertama, penyelesaian persoalan rencana awal determi-nistik akan dibuat. Pembentukan rencana awal determidetermi-nistik dilakukan sebelum kondisi acak dari persoalan ditentukan. Sebuah vektor acak pada penyelesai-an persoalpenyelesai-an ypenyelesai-ang sesuai digunakpenyelesai-an untuk merencpenyelesai-anakpenyelesai-an kompensasi divergensi, spesifikasi parameter dari persoalan akan muncul pada tahap kedua. Tujuan dari manager pada persoalan di atas adalah meminimum nilai rata-rata biaya, yang mana tidak hanya termasuk pengeluaran pada tahap perencanaan pendahuluan tetapi juga pada tahap kedua yang diperlukan untuk mengkompensasi pada diver-gensi di dalam sistem kendala persoalan. Jika persoalan program stokastik dengan model dua tahap dapat diselesaikan maka pemilihan dari rencana awal determi-nistik akan menjamin keberadaan (eksistensi) vektor acak di dalam kompensasi untuk sistem yang divergen.
Andaikan terdapat persoalan berikut :
min(C, X) (3.4) A0X = B0 (3.5) AX = B (3.6) X ≥ 0 (3.7) dimana C= {cj}, j = 1, 2, · · · , m
B = (bi), i = 1, 2, · · · , m B0 = (b0 k), k = 1, 2, · · · , m A0 = ka0 kjk, k = 1, 2, · · · , m, j = 1, 2, · · · , n A= kaijk, i = 1, 2, · · · , m; j = 1, 2, · · · , n
Andaikan elemen dari matriks A = A(ω), vektor B = B(ω) dan C = C(ω) bernilai acak. Maka untuk proses penyelesaian dari persoalan (3.4-3.7) akan diba-gi menjadi dua tahpan, sebelum pengamatan dari parameter acak pada kondisi dari tahap pertama dipilih rencana non-negatif deterministik X0 yang memenuhi
kondisi (3.5). pada tahap kedua ditentukan spesifikasi ω0 dari setiap kejadian
acak yang bersamaan (sesuai) dengan nilai A(ω0) dan B(ω0). Hitung divergensi
B(ω0)A(ω0)X0 yang muncul pada kondisi (3.6) setelah realisasi ω0 ∈ Ω.
Definisi-kan vektor kompensasi divergensi Y ≥ 0 yang sesuai dengan hubungan berikut
D(ω0)Y (ω0) = B(ω0)A(ω0)X0 (3.8)
dimana D = kdilk, i = 1, 2, · · · , m; l = 1, 2, · · · , n1 adalah sebuah matriks
kom-pensasi yang berisi elemen acak. Sehingga diasumsikan bahwa realisasi acak ω yang diamati pada tahap kedua tidak bergantung pada pemilihan rencana pen-dahuluan X0.
Perhatikan persoalan program matematika berikut : Tentukan vektor X berdimensi n dan vektor Y (ω) berdimensi n1, ω ∈ Ω. Yang menghasilkan
min
X Eω{(C(ω), X) + minY (H, Y (ω))} (3.9)
dengan kendala
A0X = B0 (3.10)
X ≥ 0, Y (ω) ≥ 0 (3.12) H adalah vektor penalty yang bergantung pada nilai kompoinen dari vektor Y (ω) yang mana merupakan kompensasi divergensi. E adalah notasi ekspekstasi mate-matika setelah ditentukan rencana awal X0, dipilih komponen vektor Y (ω) dengan
cara menjamin penalty minimum untuk kompensasi divergensi pada kondisi dari persoalan. Dengan kata lain, setelah ditentukan vektor X0, perlu menyelesaikan
persoalan n
min
Y (H, Y (ω))|D(ω)Y (ω) = B(ω)A(ω)X
0, Y(ω) ≥ 0o (3.13)
Persoalan (1.13) akan menpunyai banyak rencana, vektor Y (ω) tidak dapat di-tentukan pada tiap ω ∈ Ω yang menjamin penemuan kondisi (3.11). Persoalan (3.9)(3.12) dikenal sebagai persoalan program stokastik dua tahap dan persoalan (3.13) adalah persoalan tahap kedua.
Model dan pendekatan dari penyelesaian persoalan program stokastik dua tahap dapat digunakan untuk perspektif perencanaan dan operasional manaje-men, karena selalu terdapat keacakan yang mempengaruhi yang sudah
diren-canakan pada sistem manajemen (pelaksanaan). Model dua tahap juga
ku-rang sensentive terhadap perubahan pada parameter dari kondisi persoalan, yang menyebabkan lebih stabil. Akibatnya vektor dapat diterima untuk rencana tahap pertama yang diperlukan untuk setiap ω ∈ Ω, terdapat vektor Y ≥ 0 sedemikian hingga
D(ω)Y (ω) = B(ω)A(ω)X (3.14)
Andaikan kendala tambahan yang disebutkan secara implisit pada (3.14) muncul pada tahap kedua dari persoalan yang dihasilkan; dan andaikan kondisi yang ditentukan pada vektor non-negatif X dari persamaan (3.10) sudah diten-tukan.
Andaikan himpunan K1 = {X : A0 = B0, X ≥ 0} didefinisikan oleh
ken-dala yang sudah ditentukan tetapi K2 = {X : ∀ω ∈ Ω, ∃Y ≥ 0, A(ω)X =
B(ω)D(ω)Y (ω)} didefinisikan oleh kendala yang dihasilkan. Maka himpunan K = K1 ∩ K2 adalah himpunan vektor X yang layak memenuhi persoalan
(3.9)-(3.12). Jika X ∈ K, maka vektor X memenuhi kendala yang sudah ditentukan A0X = B, X ≥ 0 dan sampoai itu, persoalan tahap kedua (3.6) akan memiliki banyak rencana.
Untuk perhitungan lanjutan diperlukan hasil berikut :
Teorema 3.1. Himpunan K dengan vektor X pada persoalan program stokastik dua tahap adalah konveks.
Bukti : K = K1 ∩ K2 tetapi K1 = {X : A0 = B0, X ≥ 0} adalah konveks.
Definisikan untuk ω ∈ Ω yang ditentukan pada himpunan K2ω = {X|∃Y (ω) ≥ 0}
sedemikian hingga A(ω)X = B(ω)D(ω)Y (ω) adalah konveks. Hal ini menyata-kan bahwa K2 = ∩ω∈ΩK2ω dan K = K1 ∩ K2 adalah himpunan konveks sebagi
pertolongan himpunan konveks.
3.3 Pengertian Dasar Program Stokastik Tahap Ganda
Persoalan program stokastik dinamik digeneralisasi oleh kasus dua tahap. Banyak persoalan praktis yang berupa perencanaan, perancangan dan manajemen tidak dapat digambarkan dengan bantuan model statis. Untuk model bertujuan, metode program stokastik tahap ganda seringkali digunakan. Model program stokastik tahap ganda dan metode untuk realisasi secukupnya bergantung pada informasi mengenai nilai parameter di dalam kondisi persoalan, dimana memiliki waktu untuk membuat keputusan selanjutnya. Persoalan dinamik dari tiap-tiap
tahap berurutan disyaratkan untuk melengkapi kompensasi divergensi yang dikon-disikan oleh kondisi realisasi persoalan dan oleh pembuatan keputusan tercepat dari tahap sebelumnya. Pada masalah yang lain, disyaratkan bahwa tiap-tiap tahap peluang yang memenuhi kendala tidak melebih nilai tertentu yang diberi-kan sebelumnya atas ekspektasi matematika pada fungsi dari divergensi di dalam kondisi yang dibatasi oleh bilangan yang diberikan atau nilai dari fungsi pada parameter acak yang direalisasikan pada tahap sebelumnya.
Persoalan dinamik akan memiliki salah satu bentuk yaitu : tidak dapat dikondisikan, kondisi probabilistik atau kendala statistik. Untuk persoalan di-namik dengan kendala tidak dapat dikondisikan, karakteristik keputusan adalah membuat pada basis informasi mengenai distribusi yang dikombinasikan oleh pa-rameter acak dari kondisi pada semua tahapan. Pada persoalan dinamik deng-an kondisi dua kasus kendala dapat dibedakdeng-an menjadi : (a) momen pembuat-an keputuspembuat-an hpembuat-anya realisasi dari parameter acak pada tahap sebelumnya ypembuat-ang diperkirakan diketahui dan (b) momen pembuatan keputusan melengkapi infor-masi yang tersedia mengenai realisasi parameter acak yang dinyatakan dengan tahapan, tetapi nilai dari parameter acak pada tahapan berurutan tidak dike-tahui.
Penyelesaian optimal untuk persoalan program stokastik dinamik dapat di-peroleh dengan strategi murni atau campuran. Pada komponen kasus akhir dari penyelesaian atau karakteristik statistik dari distribusi yang memberikan penye-lesaian akan bergantung pada nilai parameter acak di dalam kondisi persoalan, yang direalisasikan oleh momen pembuatan keputuan
Untuk perhitungan selanjutnya dalam analisis persoalan program stokastik tahap ganda, didefinisikan konsep yang diberikan berikut ini. Andaikan terdapat
tahap ke-i yaitu Ωi, i = 0, 1, · · · , n untuk beberapa ruang kejadian elementer
ωi, dimana Ω0 berisi satu elemen ω0. Andaikan Ωk adalah descartian product
Ωi, i = 1, 2, · · · , k, ωk = (ω1,· · · , ωk), Ωn = Ω dan andaikan pada Ω diberikan
ukuran probabilistik p yang didefinisikan dengan cara : jika A ⊂ Ωk maka pk(A) =
p(A × Ωk+1 × · · · × Ωn). Diperkenalkan ruang probabilistik (Ω, Σ, P ) dengan Σ
berkaitan dengan σ-algebra, definisikan Pk sebagai kondisi ukuran probabilistik
pada Ωk.
Pk(A|ωk−1 ∈ B) =
Pk(A × B)
Pk(Ωk× B)
Untuk sembarang A ⊂ Ωk, B ⊂ Ωk−1.
Xk dinyatakan sebagai descartian product X
i, untuk setiap i = 1, 2, · · · , k;
dan Xk = (x
1,· · · , xk) ∈ Xk, Xn ≡ X dimana X0,X1,· · · , Xn adalah barisan
himpunan dari struktur sembarang Xk ∈ Xk, k = 0, 1, · · · , n dan himpunan X
termasuk satu titik X0.
Andaikan mk diberikan sebagai fungsi vektor pada ϕk(ωk,Xk) berdimensi
untuk setiap ωk ∈ Ωk, Xk ∈ Xk, k = 1, · · · , n dan juga untuk setiap ω ∈ Ω pada
himpunan X fungsi ϕ0(ωn,Xn). Masukkan himpunan acak G0k = G0k(ωk) dan
bk(ωk−1)mk fungsi vektor Bk dinyatakan sebagai ruang Banach yang termasuk
pada fungsi vektor berdimensi bk(ωk−1) k
P
i=1
mi. Akhirnya, Eωk(U(ωk)|ωk−1)
men-yatakan kondisi ekspektasi matematika U(ωk) dibawah perkiraan realisasi ωk−1
yang diketahui.
Andaikan dibahas model berbeda pada persoalan program stokastik tahap ganda dengan menggunakan notasi yang diperkenalkan di atas.
Andaikan terdapat persoalan program stokastik tahap ganda : Eϕ0 = (ω
Eϕk = (ω
k, Xk
) ≥ bk (3.16)
Xk∈ Gk, k = 1, 2, · · · , n (3.17)
Untuk memformulasi persoalan secara lengkap, diperlukan titik luar apakah ken-dala yang tidak dapat dikondisikan atau kondisional, apakah penyelesaian per-soalan ditentukan dengan strategi murni atau strategi campuran, dan di dalam kelas fungsi yang terukur atau distribusi yang akan mendapatkan penyelesaian. Persoalan praktisnya akan bergantung pada makna isi, penyelesaian pada tiap-tiap tahap dapat dihitung sebagai vektor deterministik atau sebagai rule-function pada penyelesaian dari realisasi dan parameter acak yang diobservasi dari kondisi, atau sebagai distribusi menentukan distribusi kontinu Xk dengan perkiraan
infor-masi yang diperlukan mengenai nilai yang direalisasikan data initial acak yang diperoleh model konkrit untuk persoalan dan struktur informasinya ditentukan oleh keputusan selanjutnya. Di dalam syarat-syarat yang diajukan oleh Ermolyev (1970), hasil-hasil persoalan stokastik tahap ganda dari rangkaian tipe
-pengamatan - keputusan - pengamatan - · · · - keputusan Keputusan - pengamatan - keputusan - · · · - keputusan
Andaikan dibahas bermacam-macam model persoalan program stokastik tahap ganda yang menggunakan klasifikasi yang diberikan oleh Judin (1972).
Persoalan stokastik tahap ganda dengan kendala yang tidak dapat dikon-disikan adalah Z Ωn×Xn ϕ(ωn, Xn)dF ωn,Xn → inf (3.18) Z Ωk×Xk ϕk(ωk, Xk)dFωk,Xk (3.19) Xk∈ Gk, k = 1, 2, · · · , n (3.20)
Pemilihan beberapa kelas yang paling menarik untuk aplikasi dari sejumlah struktur informasi yang merupakan persyaratan persoalan program tahap ganda dengan kendala kondisional. Model kongkrit dari (3.15) - (3.17) pada kasus per-soalan dengan kendala kondisional, diselesaikan dengan strategi campuran adalah:
Z Ωn×Xn ϕ0(ωn, Xn)dFωn,Xn → inf (3.21) Z Ωk×Xk ϕk(ωk, Xk)dFωk|ωdFωk|ωk−1 ≥ bk(ωk−1) (3.22) Xk ∈ Gk(ωk), k = 1, 2, · · · , n (3.23)
Penyelesaian persoalan akan menjadi himpunan fungsi distribusi FXk|ωk.
Biasa-nya untuk mengatakan persoalan diselesaikan dengan distribusi yang ditentukan kemudian jika FXk|ωk didefinisikan setelah realisasi dan pengamatan parameter
acak ωk, distribusi yang ditentukan kemudian bergantung pada Xk−1 dan ωk.
Dikatakan bahwa persoalan yang diselesaikan dengan distribusi yang ditentukan sebelumnya, jika FXk|ωk didefinisikan setelah realisasi dan pengamatan ωk−1 tetapi
sebelum pengamatan ωk, distribusi yang ditentukan sebelumnya bergantung pada
Xk−1 dan ωk−1.
Jika persoalan tahap ganda dengan kendala kondisional diselesaikan dengan strategi murni, model konkrit (3.15) (3.17) akan menjadi :
Z Ωn×Xn ϕ0(ωn, Xn)dFωn → inf (3.24) Z Ωk×Xk ϕk(ωk, Xk)dFωk|ωk−1 ≥ bk(ωk−1) (3.25) Xk ∈ Gk(ωk), k = 1, 2, · · · , n (3.26)
Fungsi Xk dari parameter acak yang direalisasikan dan diamati pada kondisi dari
persoalan merupakan penyelesaian. Persoalan diselesaikan dengan aturan yang ditentukan kemudian jika keputusan dibuat setelah realisasi dan pengamatan ωk;
aturan-aturan yang ditentukan kemudian untuk penyelesaian sedemikian hing-ga Xk = Xk(ωk). Dikatakan bahwa persoalan diselesaikan dengan aturan yang
ditentukan sebelumnya jika keputusan dibuat setelah realisasi dan pengamatan ωk−1, tetapi sebelum pengamatan ωk. Pada kasus aturan sebelumnya :
Xk = Xk(ωk−1)
Biasanya, persoalan (3.21) (3.23) atau (3.24) (3.26) dikenal sebagai per-soalan stokastik tahap ganda dengan rigid model, jika kondisi (3.22) atau (3.25) tidak dihadirkan, keputusan tiap-tiap tahap dibuat setelah observasi kondisi dan keputusan pada tahap sebelumnya.
Relasi tertentu yang dimiliki antara determinasi domain untuk persoalan dengan kendala yang tidak dapat dikondisikan dan kendala yang dapat dikon-disikan. Pernyataan berikut akan menggeneralisasi hasil yang diperoleh, yang telah dikerjakan oleh Eismer (1971) untuk persoalan stokastik tahap ganda par-sial linear. Pernyataan yang berikut diambil dari Judin (1974).
Andaikan U adalah himpunan penyelesaian yang layak untuk persoalan sto-kastik tahap ganda dengan kendala yang tidak dapat dikondisikan
U = {Xk∈ Gi× · · · × Gn|Eϕk(ωk, Xk) ≥ bk, k = 1, 2, · · · , n
Dan V [bn(ωn−1)] adalah himpunan penyelesaian (aturan penyelesaian, distribusi
sebelum atau sesudah penyelesaian) pada persoalan dengan kendala kondisional.
Teorema 3.2. Himpunan U dan V adalah terhubung oleh relasi U = {Xn ∈ V [˜b
Bukti : ˜V = {Xn ∈ V [˜bn(ωn−1)]|E˜b
k(ωk−1) = bk, k = 1, 2, · · · , n}. Andaikan
Xn∈ ˜V. Yang menyatakan bahwa
Eωkϕk(ωk, Xk) = Eωk−1{Eωkϕk(ωk, Xk)|ωk−1}
≥ Eωk−1˜bk(ωk−1) = bk; k = 1, 2, · · · , n
karena Xn ∈ U. Andaikan Xn ∈ U, definisikan
˜bk(ωk−1) = Eωk{ϕk(ωk, Xk)|ωk−1+ {bkEωkϕk(ωk, Xk)}
≤ Eωk{ϕk(ωk, Xk)|ωk−1, k = 1, 2, · · · , n
Dengan definisi ˜bk(ωn−1) didapatkan Eωk−1˜bk(ωk−1) = bk. Sehingga Xn∈ ˜V.
Akibat. Dengan fungsi sama ϕk(ωk, Xk) dan himpunan Gk, k = 1, 2, · · · , n,
do-main penyelesaian layak dari persoalan (3.18) (3.20) dan (3.21) (3.23) atau (3.24) (3.26) (bergantung pada persoalan yang diselesaikan dengan strategi campuran atau strategi murni) bersamaan bentunya jika dan hanya jika Ebk(ωk−1) = bk.
Pernyataan di atas menyebabkan kemungkinan untuk memformulasi ulang hasil kualitatif dan seringkali juga menghitung metode yang dikerjakan untuk persoalan dengan kelas tertentu dan untuk investigasi konstruktif pada persoalan kelas lain.
Relasi antara distribusi penyelesaian dan aturan penyelesaian sangat menarik. Jika fungsi ϕ0 adalah konveks dan komponen fungsi vektor ϕkadalah konkaf pada
X dengan tiap-tiap ω, maka nilai optimal dari fungsi objektif yang dicapai pada distribusi penyelesaian dapat dicapai juga dengan aturan penyelesaian. Konvek-sitas dari ω0 dan −ωk tidak menghabiskan kondisi dengan strategi optimal murni
tujuan. Nilai fungsi tujuan untuk aturan optimal sebelumnya pada persoalan sto-kastik tahap ganda di dalam rigid model dengan nilai fungsi tujuan didistribusi penyelesaian optimal sebelumnya.
Pernyataan lebih tegas untuk aturan penyelesaian sesudahnya dan distribusi penyelesaian diberikan berikut.
Teorema 3.3. (a) Andaikan ukuran probabilistik Fω di dalam Ω ≡ Ωn adalah
kontinu (b) andaikan terdapat fungsi positif G0(ω) dan Gk(ωk) berkendala atas
menurut module ϕ0(ωn, Xn) dan semua komponen ϕk(ωk, Xk). Maka penyelesai
aturan optimal sesudahnya untuk persoalan stokastik tahap ganda didefinisikan oleh nilai yang sama pada fungsi tujuan sebagai distribusi penyelesaian optimal sesudahnya. Teorema 3.3 untuk persoalan stokastik satu tahap telah dibuktikan oleh Judin (1972).
Persoalan program stokastik tahap ganda dengan kendala kondisional dap-at disubstitusikan untuk sistem persamaan yang memenuhi pemisahan tahapan. Andaikan akan dibahas persoalan (3.24)-(3.26) yang diselesaikan dengan strategi murni (dengan penyelesaian sebelum aturan penyelesaian sesudahnya).
Untuk definisi domain pada persoalan tahap ke-I berkaitan dengan him-punan :
Ki = {Xi ∈ G0|∃{yi+1 ∈ G0i+1,· · · , yn∈ G0n};
Eωi[ϕi(ωI, Xi)|ωi−1] ≥ bi(ωi−1),
Eωi+s[ϕi(ωi+s, xI, yi+1,· · · , yi+s)|ωi+s−1]
≥ bi+s(ωi+s−1),
jika
∀ωi+s−1,· · · , ωn−1, s= 1, 2, · · · , n − 1}
G0i menyatakan proyeksi Gi terhadap hyper-plane dari kordinat yang
dide-finisikan oleh komponen vektor Xi. Persyaratan keberadaan dari vektor yi+s, s=
1, 2, · · · , n− i yang memenuhi kondisi (3.27) adalah ekivalen terhadap keberadaan kendala di dalam persoalan dua tahap. Kondisi dukup dan perlu untuk menye-lesaikan persoalan (3.24)-(3.26) adalah kondisi Ki 6= Φ (fungsi objektif (3.24)
dengan asumsi berkendala). Jika disamping K1 6= Φ, Ki 6= Φ, i = 2, 3, · · · , n.
Fungsi tujuan dari persoalan Qi(Xi) pada tahap ke i mengatakan
kon-disional ekspektasi matematika ϕ0(ωn, Xn) pada asumsi semua tahapan sebelum
tahap ke i, himpunan ωi−1 merupakan parameter yang direalisasikan dengan
kon-disi persoalan dan komponen keputusan himpunan Xi−1, dan sesudah tahapan ke
i keputusan optimal berikutnya :X∗
i+1,· · · , Xn∗:
Qi(Xi) = Eωn|ωi−1(ωn, Xi−1, Xi, Xi+1,· · · , Xn∗ (3.28)
Sejauh ini, definisi penyelesaian aturan optimal pada tahap ke i dari per-soalan stokastik tahap ganda direduksi untuk menyelesaikan perper-soalan program matematika berikut
inf
Xi∈Xi
Qi(Xi) (3.29)
Aturan sesudahnya untuk penyelesaian adalah : Xi = Xi(ωi), yi+s = yi+s(ωi+s);
s= 1, 2, · · · , n − i, dan aturan sebelumnya untuk penyelesaian adalah : Xi = Xi(ωi−1); yi+s = yi+s(ωi+s−1); s = 1, 2, · · · , n − i
Jika fungsi tujuan dapat dipisahkan, yaitu ϕ0(ωn, Xn) = n P j=1 ϕ0j(ω j, Xj) kita mem-punyai Qi(Xi) = Eωi|ωi−1{ϕ0(ωi, Xi) + Q∗i+1(ωi, Xi)} dimana
Q∗i(ωi−1, Xi−1) = inf Xi∈Ki
dengan i = n
Q∗n(ωn−1, Xn−1) = inf Xi∈Ki
Eωi|ωi−1ϕ0n(ωn, Xn)
Analog dengan persoalan pemisahan tahapan untuk persoalan stokastik tahap ganda dengan strategi campuran yang dikonstruksikan.
3.4 Ilustrasi Program Stokastik
Banyak persoalan keputusan praktis dapat dimodelkan sebagai program li-near berikut : min {c1x1+ c2x2+ · · · + cnxn} kendala a11x1+ a12x2+ · · · + a1nxn = b1 a21x1+ a22x2+ · · · + a2nxn = b2 .. . ... am1x1+ am2x2+ · · · + amnxn= bm x1, x2,· · · , xn ≥ 0 (3.30)
dengan menggunakan notasi matriks-vektor, formulasi dari persoalan (3.30) dapat dituliskan sebagai : min cTx kendala Ax= b x≥ 0 (3.31)
aplikasi dari persoalan di atas dapat ditemukan pada produksi industri, transpor-tasi, agriculture, energi, ekologi, keteknikan dan banyak lagi. Pada persoalan (3.30), koefisien cj (misalnya faktor harga), aij (misalnya produktivitas) dan bi
(misalnya kapasitas) diasumsikan bernilai real yang sudah ditetapkan dan akan menentukan nilai optimal dengan variabel keputusan xj, yang memenuhi kendala
Model (3.30) hanya dapat menyediakan representasi layak dari persoalan real ketika fungsi disyaratkan (misalnya fungsi biaya atau fungsi produksi) linear pada variabel keputusan. Jika kondisi secara substansial dilanggar, sebagai con-toh karena biaya marginal meningkat atau penurunan keuntungan marginal dari produksi, dapat digunakan bentuk model yang lebih umum dari persoalan yaitu :
min g0(x) kendala gi(x) ≤ 0, i = 1, · · · , m x ∈ X ⊂ Rn (3.32)
bentuk persoalan (3.32) sering dikenal sebagai persoalan program matematika. Dapat dipahami bahwa himpunan X adalah sebuah fungsi gi : Rn → R, i =
0, 1, 2, · · · , m yang diberikan oleh proses pemodelan.
Kebergantungan pada sifat-sifat pada persoalan yang mendefinisikan fungsi gi dan himpuman X, program (3.32) dikenal sebagai :
(a) Linear, jika himpunan X adalah polyhedral konveks dan fungsi gi, untuk
setiap i = 0, 1, · · · , m adalah linear.
(b) Nonlinear, jika paling sedikit satu fungsi gi, i= 0, 1, · · · , m adalah nonlinear
atau X tidak himpunan polyhedral konveks; program nonlinear dapat dibagi lagi menjadi program :
(b1) Konveks, jika X ∩ {x|gi(x) ≤ 0, i = 0, 1, · · · , m} adalah himpunan
konveks dan g0 adalah fungsi konveks (secara khusus jika fungsi gi, i=
0, 1, · · · , m adalah konveks dan X adalah himpunan konveks)
(b2) nonkonveks, jika salah satu X ∩ {x|gi(x) ≤ 0, i = 0, 1, · · · , m} adalah
Kasus (b2) di atas dibicarakan juga pada optimisasi global. Kelas spesial lain dari persoalan dikenal sebagai program bilangan cacah (campuran), yang muncul akibat disyaratkannya himpunan X (paling sedikit beberapa) variabel xj, j =
1, · · · , n hanya mengambil nilai cacah. Selama empat dekade terakhir, perkem-bangan metode komputasi untuk menyelesaikan program matematika sangat meng-gembirakan, dan persoalan berskala besar dapat diselesaikan dengan efisien dan realibilitas yang tinggi.
Banyaknya situasi pemodel yang sering muncul karena ketidakpastian (tidak pantas) pada asumsi bahwa koefisien cj, aij, bi atau fungsi gi (dan himpunan
X) pada persamaan (3.30) dan (3.32) ditetapkan sebagai deterministik. Seba-gai gantinya produktivitas yang akan datang dalam suatu persoalan produksi, aliran kedalam yang menuju resorvoir yang terhubung ke stasiun Hydropower, kebutuhan pada bermacam-macam titik (node) dalam jaringan transportasi dan seterusnya, seringkali lebih tepat dimodelkan sebagai parameter yang mengandung ketidakpastian, dimana lebih baik dikarakteristik dengan distribusi peluang.
Ketidakpastian dari nilai realisasi tidak selalu dapat digantikan oleh nilai rata-rata atau beberapa estimasi lain (yang ditetapkan) selama proses pemodelan. Karena itu, kebergantungan pada situasi praktis pada persoalan (3.30) dan (3.32) tidak selalu mendapatkan model yang tepat untuk menggambarkan persoalan yang akan diselesaikan. Sebelum masuk ke model yang lebih umum dari program stokastik, akan digunakan persoalan produksi melalui ilustrasi berikut.
Andaikan terdapat persoalan berikut :
Dari dua bahan mentah yaitu bahan 1 dan bahan 2, dapat dihasilkan dua produk-si berbeda yaitu prod 1 dan prod 2. biaya produkproduk-si perunit dari bahan mentah dinyatakan sebagai unit biaya pada bahan mentah c = (cbahan1, cbahan2)T,
kebu-tuhan untuk produksi h = (hprod1, hprod2)T dan kapasitas produksi adalah ˆb yaitu
jumlah total maksimum dari bahan mentah yang dapat diproses, diberikan dalam tabel 1.
Tabel 1. Produktivitas π (bashan i, prod j) Produk
Bahan Prod 1 Prod 2 c ˆb
Bahan 1 2 3 2 1
Bahan 2 6 3 3 1
Relasi ≥ ≥ = ≤
h 180 162 γ 100
min (2xbahan1 + 2xbahan2)
kendala xbahan1+ xbahan2 ≤ 100
2xbahan1+ 6xbahan2 ≤ 180 3xbahan1+ 3xbahan2 ≤ 162 xbahan1 ≥ 0 xbahan2 ≥ 0 (3.33)
Dengan menggunakan metode grafik, diperoleh penyelesaian ˆ
xbahan1 = 36, ˆxbahan2 = 18, γ(ˆx) = 126 (3.34)
yang merupakan penyelesaian optimal tunggal untuk persoalan diatas.
Persoalan di atas telah digambarkan oleh (3.33) dan diselesaikan oleh (3.34) dengan persyaratan produktivitas, biaya perunit, kebutuhan dan kapasitas (tabel 1) dengan data tetap dan mengetahui pembuatan keputusan dengan perencanaan produksi. Seringkali terjadi, beberapa data-produktivitas dan kebutuhan berubah-ubah (acak). Akibatnya keputusan perencanaan produksi belum dapat dibuat karena nilai data tidak eksak.
Asumsikan karena disebabkan statistik, diketahui bahwa : hprod1 = 180 + ˜ζ1, hprod1 = 160 + ˜ζ2, π(bahan1, bahan2) = 2 + ˜η1 π(bahan1, bahan2) = 3.4 + ˜η2 (3.35)
dimana ˜ζj adalah variabel acak dimodelkan dengan menggunakan distribusi
nor-mal, ˜η1 dan ˜η2 adalah distribusi seragam dan distribusi eksponensial. Dengan
parameter : dist ˜ζ1 ∼ N(0, 12) dist ˜ζ2 ∼ N(0, 9) dist ˜η1 ∼ U(−0.8, 0.8) dist ˜η2 ∼ Exp(λ = 2.5) (3.36)
untuk sederhananya, diasumsikan bahwa keempat variabel acak adalah saling in-dependen, karena variabel acak ˜ζ1, ˜ζ2 dan ˜η2 adalah tidak terbatas, dibatasi
inter-val kepercayaan 99% (kecuali µ). Sehingga diperoleh variabel acak realisasi ˜ ζ1 ∈ [−30.91, 30.91] ˜ ζ2 ∈ [−23.18, 23.18] ˜ η1 ∈ [−0.8, 0.8] ˜ η2 ∈ [0.0, 1.84] (3.37)
Sebagai ganti dari program linear (3.23), diberikan program linear stokastik min (2xbahan1 + 2xbahan2)
kendala xbahan1+ xbahan2 ≤ 100
(2 + ˜η1)xbahan1+ 6xbahan2 ≤ 180 + ˜ζ1 3xbahan1 + (3.4 − ˜η2)xbahan2 ≤ 162 + ˜ζ2 xbahan1 ≥ 0 xbahan2 ≥ 0 (3.38)
Persoalan keputusan di atas, tidak terdefinisi karena semuanya tidak jelas apakah ”min” dapat diperoleh sebelum realisasi (ζ1, ζ2, η1, η2) dari
˜ ζ1, ˜ζ2,η˜1,η˜2 dike-tahui.
Sebagai perbandingan, persoalan deterministik dari persoalan di atas adalah ˆ
x= (ˆxbahan1,xˆbahan2) = (36, 18), γ = 126
Perencanaan produksinya adalah ˆ y = (ˆybahan1,yˆbahan2) = (20, 30), γ = 130 ˆ z = (ˆzbahan1,zˆbahan2) = (50, 22), γ = 166 ˆ v = (ˆvbahan1,vˆbahan2) = (58, 6), γ = 134 (3.39)
yang merupakan penyelesaian tunggu dan lihat.
Penyelesaian tunggu dan lihat tidak diperlukan karena rencana produksi mengandung ketidakpastian yang hanya memberikan informasi mengenai kebu-tuhan dan produktivitas acak. Lebih praktisnya, kita dapat menentukan rencana produksi untuk meminimumkan jumlah biaya tahap pertama mula-mula (yaitu produksi) dan biaya recourse rata-rata sebagai ganti dari variabel acak ˜ζ1, ˜ζ2,η˜1,
dan ˜η2 digunakan notasi vektor acak ˜ζ =
˜
ζ1, ˜ζ2,η˜1,η˜2
T
. Selanjutnya, diperke-nalkan untuk tiap-tiap kendala stokastik pada (3.38) sebuah variabel recourse yi
˜
ξ, i= 1, 2.
Program stokastik pada (3.38) akan diubah menjadi program stokastik deng-an recourse, mengunakdeng-an
h1( ˜ξ) := hprod1 = 180 + ˜ζ1,
h2( ˜ξ) := hprod2 = 162 + ˜ζ2,
α( ˜ξ) := π(bahan1, prod1) = 2 + ˜η1
min {2xbahan1 + 3xbahan2+ Eξ˜[7y1( ˜ξ) + 12y2( ˜ξ)]}
kendala xbahan1+ xbahan2 ≤ 100
α( ˜ξ)xbahan1+ 6xbahan2+ y1( ˜ξ) ≥ h1( ˜xi),
3xbahan1+ β( ˜ξ)xbahan2+ y2(ξ) ≥ h1( ˜ξ), xbahan1 ≥ 0 xbahan2 ≥ 0 y1( ˜xi) ≥ 0 y2( ˜xi) ≥ 0 (3.40)
Jika ˜ξ mempunyai distribusi diskrit berhingga {(ξi, p
i) , i = 1, · · · , r} dan (pi ≥
0, ∀i) maka persoalan (3.40) menjadi program linear yang dikenal sebagai struktur dekomposisi dual
min {2xbahan1+ 3xbahan2 + r
P
i=1
pi[7y1(ξi) + 12y2(ξi)]}
kendala xbahan1+ xbahan2 ≤ 100
α(ξi)x
bahan1+ 6xbahan2 + y1(ξi) ≥ h1(ξi)∀i,
3xbahan1+ β(ξi)xbahan2+ y2(ξi) ≥ h1(ξi)∀i,
xbahan1 ≥ 0, xbahan2 ≥ 0, y1(ξi) ≥ 0∀i, y2(ξi) ≥ 0∀i, (3.41)
Penyelesaian persoalan (3.41) adalah sebuah program linear biasa, diperoleh pen-yelesaian ¯x
¯
x= (37.566, 22.141), γ(¯x) = 144.179, γ1(¯x) = 141.556,
dimana penyelesaian dari PL (3.33) akan menghasilkan total biaya rata-rata γ(¯x) = 204.561 dengan realibilitas yang diperoleh adalah ρ(¯x) = 0.9497 dengan perbe-daan ρ(ˆx) = 0.2983 pada penyelesaian PL ˆx
PEMBAHASAN
4.1 Program Stokastik : Formulasi Umum
Berdasarkan pada ilustrasi program stokastik pada bab 3, maka persamaan (3.33) dapat diubah menjadi program stokastik linear seperti persamaan (3.38), parameter acak pada (3.32) digunakan untuk persoalan :
Min g0(x, ˜ξ) Kendala gi(x, ˜ξ) ≤ 0, i = 1, · · · , m x∈ X ⊂ Rn (4.1)
Dimana ˜ξ adalah vektor acak yang bervariasi pada himpunan Ξ ⊂ Rk. Lebih
tepat lagi, diandaikan bahwa keluarga (family) F dari ”kejadian”, yaitu himpunan bagian dari Ξ, dan sebaran peluang P pada F diketahui. Jadi untuk setiap him-punan bagian A ⊂ Ξ yang merupakan kejadian-kejadian, yaitu A ∈ F , peluang P(A) diketahui. Selanjutnya, diandaikan bahwa fungsi gi(x, ·) : Ξ → R∀x, i yang
merupakan peubah acak dan sebaran peluang P adalah independen pada x. Namun, persoalan (4.1) tidak ”well defined” karena pengertian ”min” dan ju-ga kendala tidak jelas, jika yang diperhitungkan adalah nilai keputusan x sebelum mengetahui realisasi dari ˜ξ. Karena itu revisi terhadap proses pemodelan perlu dilakukan, yang akan menghasilkan model deterministik ekivalen untuk (4.1).
4.2 Formulasi Ekivalen Deterministik
Pembentukan model analog terhadap program stokastik linier dengan re-course, untuk persoalan (4.1) dilakukan dengan cara berikut. Ambil
gi+(x, ξ) = 0 jika gi(x, ξ) ≤ 0, gi(x, ξ) selainnya
Kendala ke i dari (4.1) dilanggar jika dan hanya jika g+
i (x, ξ) > 0 untuk suatu
keputusan x dan realisasi ξ dari ˜ξ. Di sini dapat diberikan untuk setiap kendala suatu recourse atau aktivitas tahap-kedua yi(ξ), setelah mengamati realisasi ξ,
dipilih sehingga mengantisipasi pelanggaran kendala - jika ada - dengan memenuhi gi(x, ξ)yi(ξ) ≤ 0. Usaha tambahan ini diandaikan mengakibatkan penambahan
biaya atau pinalti qi per unit, jadi biaya tambahan ini (disebut fungsi recourse)
berjumlah Q(x, ξ) = min y ( m X i=1 qiyi(ξ)|yi(ξ) ≥ gi+(x, ξ), i = 1, · · · , m ) (4.2) yang menghasilkan biaya total tahap pertama dan biaya recourse
f0(x, ξ) = g0(x, ξ) + Q(x, ξ) (4.3)
Selain (4.2), dapat dipikirkan suatu program linier recourse yang lebih umum dengan suatu recourse vektor y(ξ) ∈ Y ⊂ Rn¯, (Y himpunan polyhedral, seperti
{y|y ≥ 0}), suatu sembarang fixed m × ¯n matriks W ( matriks recourse ) dan vektor unit biaya q ∈ Rn¯, menghasilkan untuk (4.3) fungsi recourse
Q(x, ξ) = min y qTy|W y ≥ g+(x, ξ), y ∈ Y (4.4) dengan g+(x, ξ) = g+ 1 (x, ξ), · · · , g+m(x, ξ) T .
Perhatikan suatu pabrik menghasilkan m produk, gi(x, ξ) dapat dipahami
bahwa terdapat kekurangan dalam produk i, relatif terhadap permintaan. Deng-an mengDeng-andaikDeng-an bahwa pabrik komit untuk memenuhi permintaDeng-an, persoalDeng-an (4.2) misalnya dapat diinterpretasikan sebagai membeli kekurangan produk i di pasar. Persoalan (4.4) dapat dihasilkan dari program produksi tahap-kedua atau emergency, yang dilaksanakan dengan faktor input y dan teknologi yang disajikan oleh matriks W . Jika dipilih W = 1, m × m identitas matriks, (4.2) menjadi kasus khusus dari (4.4).
Akhirnya juga dapat dipikirkan program recourse nonlinier untuk mendefi-nisikan fungsi recourse terhadap (4.3); misalnya, Q(x, ξ) dapat dipilih sebagai
Q(x, ξ) = minq(y)|Hi(y) ≥ g+i (x, ξ), i = 1, · · · , m, y ∈ Y ⊂ R ¯
n (4.5)
dengan q : R¯n→ R dan H
i : R¯n→ R diandaikan diketahui.
Dalam kasus terapan, pengambil keputusan yang ingin meminimumkan ni-lai ekspektasi biaya total (yaitu, tahap pertama dan biaya recourse), cukup me-mandang formulasi deterministik ekivalen, program stokastik dua-tahap dengan recourse min x∈XEξ˜f0(x, ˜ξ) = minx∈XEξ˜ n g0(x, ˜ξ) + Q(x, ˜ξ) o (4.6) Persoalan dua-tahap di atas dapat diperluas terhadap program recourse tahap-ganda sebagai berikut: di samping dua keputusan x dan y, harus diambil dita-hap 1 and 2, sekarang persoalan dihadapkan dengan K + 1 keputusan sequensial x0, x1,· · · , xK(xτ ∈ Rn¯τ), yang harus diambil pada tahap τ = 0, 1, · · · , K. Kata
”tahap” dapat, tapi tidak perlu, diartikan sebagai ”periode waktu”.
Andaikan untuk penyederhanaan bahwa objektif dari persoalan (4.1) deter-ministik, yaitu g0(x, ξ) = g0(x). Pada tahap τ (τ ≥ 1) diketahui realisasi ξ1,· · · , ξτ
dipu-tuskan terhadap xτ sehingga kendala (dengan fungsi kendala gτ)
gτ(x0,· · · , xτ, ξ1,· · · , ξτ ≤ 0)
dipenuhi, yang pada tahap ini hanya dapat dicapai oleh pemilihan tepat xτ, yang
didasarkan pada pengetahuan keputusan dan realisasi sebelumnya. Jadi, dengan mengandaikan fungsi biaya qτ(xτ), pada tahap τ ≥ 1 diperolah fungsi recourse
Qτ = (x0,· · · , xτ−1, ξ1,· · · , ξτ) = min xτ
{qτ(xτ)|gτ(x0,· · · , xτ−1, ξ1,· · · , ξτ) ≤ 0}
yang mengidentifikasikan tindakan optimal recourse ˆxτ pada waktu τ tergantung
pada keputusan sebelumnya dan realisasi yang diamati hingga tahap τ , yaitu, ˆ
xτ = ˆxτ(x0,· · · , xτ−1, ξ1,· · · , ξτ), τ ≥ 1
Jadi, untuk tahap ganda, diperoleh sebagai total biaya untuk persoalan tahap-ganda f0(x0, ξ1,· · · , ξK) = g0(x0) + K X τ=1 Eξ˜1,· · · , ˜ξτQτ(x0,xˆ1,· · · , ˆxτ−1, ξ1,· · · , ξτ) (4.7)
menghasilkan deterministik ekivalen untuk persoalan program stokastik tahap ganda dengan recourse
min x0∈X " g0(x0) + K X τ=1 Eξ˜1,· · · , ˜ξτQτ(x0,xˆ1,· · · , ˆxτ−1, ˜ξ1,· · · , ˜ξτ # (4.8) jelas merupakan generalisasi langsung dari program stochastik dua-tahap dengan recourse (4.6).
Untuk kasus dua-tahap, pembahasan praktis yang relevan berguna untuk menggambarkan beberapa varian dari persoalan recourse di dalam lingkungan program linear stokastik. Asumsikan bahwa diberikan program linear stokastik
berikut : ”min” cTx kendala Ax = b T( ˜ξ)x = h( ˜ξ), x≥ 0 (4.9)
Bandingkan persamaan (4.9) dengan program stokastik umum (4.1), dapat dilihat bahwa himpunan X ⊂ Rn ditetapkan sebagai :
X = {x ∈ Rn|Ax = b, x ≥ 0}
dimana A adalah matriks berukuran m0× n dan vektor b diasumsikan
determi-nistik. Matriks T (·) berukuran m1× n dan vektor h(·) bergantung pada vektor
acak ˜ξ, dan diperoleh masukan peubah acak sendiri. Secara umum, diasumsikan bahwa kebergantungan ini pada ξ ∈ Ξ ⊂ Rk diberikan sebagai :
T(ξ) = ˆT0+ ξ1Tˆ1,· · · , ξKTˆk, h(ξ) = ˆh0 + ξ 1ˆh1,· · · , ξKˆhk, (4.10)
dengan matriks ˆT0,· · · , ˆTk deterministik dan vektor ˆh0,· · · , ˆhk deterministik.
Pengamatan pada kendala stokastik di dalam persamaan (4.9) adalah sama deng-an (sebagai gdeng-anti pertidaksamadeng-an dalam formulasi persoaldeng-an umum (4.1)), terli-hat bahwa untuk menyamakan kekurangan, digunakan recourse linear dan men-gasumsikan Y = {y ∈ R¯n|y ≥ 0}, berdasarkan persamaan (4.4) dapat dihasilkan
program linear stokastik dengan recourse yang ditetapkan : min x Eξ˜ n cTx+ Q(x, ˜ξo kendala Ax = b, x ≥ 0 dimana Q(x, ξ) = minqT|W y = h(ξ)T (ξ)x, y ≥ 0 (4.11)
Secara khusus, dapat dikatakan Complete fixed recourse jika matriks recourse W berukuran m1 × ¯n memenuhi
{z|z = W y, y ≥ 0} = Rm1 (4.12)
Ini menyatakan bahwa, apapun keputusan tahap pertama x dan realisasi ξ dari ˜ξ akan diubah menjadi program tahap kedua
Q(x, ξ) = minqTy|W y = h(ξ)T (ξ)x, y ≥ 0
akan selalu layak. Kasus khusus dari Complete fixed recourse adalah simple Re-course, dengan matriks indentitas I yang berordo mI:
W(I, −I) (4.13)
Maka program tahap kedua dibaca sebagai
Q(x, ξ) = min(q+)Ty++ (q−)Ty−|y+− y−= h(ξ)T (ξ)x, y+ ≥ 0, y− ≥ 0
yaitu untuk q++ q−≥ 0. Variabel recourse y+ dan y− dapat dipilih untuk ukuran
(positif) yang mutlak pada kendala stokastik.
Secara umum, persoalan di atas dapat dituliskan dalam bentuk berikut : min Eξ˜f0(x, ˜ξ) kendala Eξ˜fi(x, ˜ξ) ≤ 0, i = 1, · · · , s Eξ˜fi(x, ˜ξ) = 0, i = s1,· · · , ¯m, x∈ X ⊂ Rn (4.14)
dimana fi dikonstruksikan masing-masing dari tujuan dan kendala pada
per-samaan (4.1) atau perper-samaan (4.9). Sejauh ini f0 menyatakan total biaya (lihat
persamaan (4.3) atau persamaan (4.7) dan f1,· · · , fm¯ digunakan untuk
menentukan fungsi fi diturunkan dari fungsi persoalan gj pada persamaan (4.1),
formulasi umum ini juga termasuk tipe lain dari ekivalen deterministik untuk program stokastik persamaan (4.1).
Untuk memberikan dua contoh yang tepat menunjukkan bagaimana per-soalan ekivalen deterministik lain untuk persamaan (4.1) dapat dibangun, andaikan pertama memilih α ∈ [0, 1] dan definisikan fungsi ”payoff” untuk semua kendala sebagai berikut : ϕ(x, ξ) = 1 − α jika gi(x, ξ) ≤ 0, i = 1, · · · , m
−α untuk yang lainnya
Konsekwensinya, untuk x yang tidak layak pada ξ diperoleh nilai absolot kurang dari α, dimana untuk x yang layak pada ξ diperoleh 1− α. Secara alamiah persoalan di atas bertujuan untuk keputusan pada x, paling sedikit pada mean (yaitu rata-rata), menghindari suatu kerugian mutlak. Ekivalen ini membutuhkan persyaratan
Eξ˜ϕ(x, ˜ξ) =
Z
Ξ
ϕ(x, ξ)dP ≥ 0
Definisikan f0(x, ξ) = g0(x, ξ) and f1(x, ξ) = −ϕ(x, ξ) dan diperoleh
f0(x, ξ) = g0(x, ξ) f1(x, ξ) = α− 1 jika gi(x, ξ) ≤ 0, i = 1, · · · , m,
α untuk yang lainnya
(4.15)
yang menyebabkan Eξ˜f1(x, ˜ξ) = −Eξ˜ϕ(x, ˜ξ) ≤ 0 dimana fungsi vektor bernilai
(vektor-valued) g(x, ξ) = (g1(x, ξ), · · · , gm(x, ξ)) T
Eξ˜f1(x, ˜ξ) = R Ξf1(x, ξ)dP =R{g(x,ξ)60}(α − 1)dP + R{g(x,ξ)660}αdP = (α − 1)P ({ξ|g(x, ξ) 6 0}) + P ({ξ|g(x, ξ) 66 0}) | {z } =1 −P ({ξ|g(x, ξ) 6 0})
Karena kendala Eξ˜f1(x, ˜ξ) ≤ 0 maka ekivalen terhadap P (ξ|g(x, ξ) ≤ 0) ≥ α.
Akibatnya dengan asumsi persamaan (4.14) dapat dituliskan sebagai : min x∈XEξ˜g0(x, ξ) kendala P ({ξ|g(x, ξ) ≤ 0}) , i = 1, · · · , m ≥ α (4.16)
Persoalan (4.16) disebut sebagai kendala berpeluang atas Chauce Constrained program (atau persoalan dengan gabungan kendala berpeluang).
Jika dari persamaan (4.15) dapat didefinisikan αi ∈ [0, 1], i = 1, · · · , m dan
analog ”payoffs” untuk setiap kendala, menghasilkan : f0(x, ξ) = g0(x, ξ) f1(x, ξ) = αi1 jika gi(x, ξ) ≤ 0
αi untuk yang lainnya
maka didapatkan dari persamaan (4.14), persoalan dengan single (atau separate) kendala berpeluang : min x∈XEξ˜g0(x, ξ) kendala P ({ξ|gi(x, ξ) ≤ 0}) ≥ αi, i= 1, · · · , m ≥ α (4.17)
Jika pada kasus tertentu, diperoleh fungsi gi(x, ξ) adalah linear pada x dan
