TESIS
Oleh
SAWALUDDIN 067021028/MT
SEKOLAH PASCASARJANA
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2008
PEMBENTUKAN POHON SKENARIO UNTUK PROBLEMA
KEPUTUSAN TAHAP GANDA
TESIS
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains Dalam
Program Studi Magister Matematika Pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara
Oleh
SAWALUDDIN 067021028/MT
SEKOLAH PASCASARJANA
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2008
Nama Mahasiswa : Sawaluddin
Nomor Pokok : 067021028
Program Studi : Magister Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Dr. Sutarman, M.Sc) (Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Ketua Anggota
Ketua Program Studi Direktur
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Prof. Dr. Ir. T.Chairun Nisa. B,M.Sc)
Telah diuji pada Tanggal 4 Juni 2008
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Dr. Sutarman, M.Sc
Anggota : Prof. Dr. Herman Mawengkang
Drs. Opim Salim S, M.Ikom Ph.D Drs. Marwan Harahap, M.Eng
Dalam banyak aplikasi, sebaran peubah acak yang tidak diketahui atau yang diketahui, terlalu banyak waktu dan biaya untuk memperhatikan sebaran diskrit dengan banyak hasil yang mungkin atau menangani sebaran kontinu dengan inte-grasi numerik. Merupakan hal yang umum untuk memilih himpunan hasil repre-sentatif yang relatif kecil yang disebut skenario untuk menyajikan kejadian acak. Skenario dapat merupakan kuartil dari sebaran yang diketahui atau data historis, prediksi dan beberapa pohon atau dibangun dengan simulasi. Setiap skenario diberikan nilai probabilitas untuk merefleksikan kemungkinan kejadiannya. Un-tuk model tahap ganda, informasi skenario dapat diorganisasikan kedalam struk-tur pohon. Dalam model program stokastik, yang merupakan model sesuai untuk persoalan keputusan dengan ketidakpastian, selalu dihadapkan pada persoalan bagaimana menyajikan ketidakpastian. Apabila berhubungan dengan sebaran dimensi-ganda, persoalan membangun skenario sulit. Dalam tesis ini diajukan suatu algoritma untuk membangun pohon keputusan yang efisien untuk persoalan program stokastik tahap ganda.
ABSTRACT
In most applications, the probability distribution of random variables is unknown or if it is given, it would be too much time and cost to consider the discrete distri-bution with a huge possible realizations or to handle the continuous distridistri-bution with numerical integration. It is common to choose a set of representative reali-zations with relatively small in number called scenario to present random events. Scenario can be a quartile of a known distribution or historical data, prediction of several trees or constructed using simulation. Each scenario is assigned to a probability value to reflect the likelihood of the occurrence of a random event. For multi-stage model the information of scenario can be organized is a tree structure. In this thesis we purpose an algorithm for generating efficiently tree decision of multi-stage stochastic programming problem.
Alhamdulillah puji syukur kehadirat Allah SWT atas berkat dan ridhoNya penulis dapat menyelesaikan penulisan tesis ini, yang berjudul ”Pembentukan
Pohon Skenario dalam Pengambilan Keputusan Tahap Ganda”. Tesis
ini merupakan tugas akhir pada Sekolah Pascasarjana Program Studi Magister Matematika, Universitas Sumatera Utara.
Pada kesempatan ini, penulis juga menyempaikan ucapan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada : Kepala Bappeda Propinsi
Su-matera Utara beserta stafnya yang telah memberikan beasiswa kepada penulis, Kepala Dinas Pendidikan Kota Medan yang telah memberi izin mengikuti
perkuliahan Program Pascasarjana di Universitas Sumatera Utara. Prof. dr.
Chairuddin P. Lubis, DTM&H, Sp.Ak selaku Rektor Universitas Sumatera
Utara dan Prof. Dr. Ir. T. Chairun Nisa B, M.Sc selaku Direktur Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara beserta Stafnya yang telah memberi kesempatan kepada penulis untuk mengikuti perkuliahan pada Angkatan ke II Program Educator Tahun 2006.
Prof. Dr. Herman Mawengkang, selaku Ketua Program Studi Matematika
SPs USU dan juga sebagai anggota komisi pembimbing pada penulisan tesis ini yang berkat dorongan dan bantuan beliau sehingga penulisan tesis ini dapat di-rampungkan.
Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Sekretaris Program Studi Matematika SPs USU,
yang banyak memberikan kritik dan saran kepada penulis, serta bantuan dan mo-tivasinya selama perkuliahan sehingga penulis dapat menyelesaikan perkuliahan.
Dr. Sutarman M.Sc, selaku ketua komisi pembimbing berkat saran dan
ban-tuannya kepada penulis sehingga perkuliahan dan penulisan tesis ini dapat dise-lesaikan.
Drs. Opim Salim S, M.Ikom Ph.D dan Drs. Marwan Harahap M.Eng
selaku pembanding atas saran dan bantuannya untuk kesempurnaan penulisan tesis ini serta bimbingan selama perkuliahan berlangsung.
Dr. Iryanto M.Si, Dr. Tulus M.Si, Drs. Sawaluddin MIT, Drs. Open Darnius Sembiring M.Sc, Dra. Mardiningsih M.Si, Drs. Suwarno Ar-riswoyo M.Si, sebagai staf pengajar pada SPs Program Studi Matematika atas
bimbingan dan bantuannya selama perkuliahan.
Seluruh Staf Administrasi SPs USU, Ibu Misiani, S.Si, dan Sdri. Sri Rayani Tanjung, S.Si yang telah memberikan pelayanan yang baik pada penulis.
Juandi Sidabutar, Fauziah Hasibuan dan Farawiati Adrianti selaku
ke-tua kelas, bendahara dan sekretaris serta rekan-rekan seperjuangan, mahasiswa angkatan kedua (Tahun 2006) Program Educator, atas kebersamaan dan bantuan dalam mengatasi masalah selama perkuliahan berlangsung.
Kepada orang tua penulis Rohali Hasibuan (Alm) dan Aslan Nasution atas dorongan dan doanya, semoga Allah SWT meridhoiNya, Istri tercinta Neti
Purnama Siregar atas dorongan yang penuh kesabaran dan anak-anak tercinta Akmal Hafiz Hasibuan, Fariz Abdullah Hasibuan dan Ainun Mardiah Hasibuan semoga lebih berprestasi dari orang tua.
Pada kesempatan ini penulis menyampaikan terima kasih kepada seluruh
gister Matematika Universitas Sumatera Utara, Medan.
Serta semua pihak yang telah turut membantu perkuliahan dan penulisan tesis ini hingga selesai. Kiranya tesis ini bermanfaat, semoga.
Medan, 20 Juni 2008 Penulis,
RIWAYAT HIDUP
Sawaluddin dilahirkan di Mompangjulu kecamatan Panyabungan Kabupaten Tapanuli Selatan (sekarang Kabupaten Mandailing Natal setelah pemekaran) pada tanggal 5 Oktober 1960. Merupakan anak kedua dari enam bersaudara anak dari Rohali Hasibuan (Alm) dan Aslan Nasution. Masuk sekolah dasar di SD Negeri Mompangjulu tahun 1966 dan tamat tahun 1972, melanjutkan ke SMP negeri Panyabungan tamat tahun 1975 kemudian melanjutkan ke SMA Negeri Panya-bungan selama tiga setengah tahun, karena ada pertambahan satu semester dan tamat tahun 1979. Pada tahun 1979 masuk FPMIPA IKIP Medan program ikatan dinas D.III tamat tahun 1982. Tahun 1984 diangkat jadi guru PNS di SMP Negeri Airbatu Asahan. Tahun 1990 pindah tugas ke SMP Bina Bersaudara sebagai guru PNS Dpk. Dan pada tahun yang sama melanjutkan kuliah di FPMIPA IKIP Al-Washliyah Medan selesai tahun 1992, mempeoleh gelar Sarjana Pendidikan (S.1). Pada tahun 1996 penulis menikah dengan Neti Purnama Siregar sampai saaat ini dikaruniai tiga orang putra putri tercinta Akmal Hafiz Hasibuan, Fariz Abdullah Hasibuan dan Ainun Mardiah Hasibuan.
Pada tahun 1997 mengikuti pelatihan IMTAQ dan IPTEK di Jakarta ke-mudian diangkat menjadi Instruktur Guru IMTAQ dan IPTEK Tingkat SMA Sumatera Utara. Pada tahun 1998 pindah tugas ke SMA Negeri 2 Medan. Pada tahun 1999 mengikuti Pelatihan Calon Kepala Sekolah Regional I (Aceh, Suma-tera Utara, Riau dan SumaSuma-tera Barat). Pada tahun 2000 mengikuti Pelatihan Guru Inti di PPPG Yogyakarta, kemudian jadi Guru Inti Tingkat SMA Sumatera Utara. Selanjutnya pada tahun 2004 diangkat menjadi Kepala Sekolah pada SMA Negeri 21 Medan sampai sekarang.
(Jamiyah Batak Muslim Indonesia), dan pada tahun 2007/2010 dipercayakan menjadi Pembina Assosiasi Guru Matematika SMA/MA Sumatera Utara.
Pada tahun 2006 diperkenankan mengikuti pendidikan Program Studi Ma-gister Matematika di Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara dengan program beasiswa dari Bappeda Propinsi Sumatera Utara.
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK . . . i
ABSTRACT . . . ii
KATA PENGANTAR . . . iii
RIWAYAT HIDUP . . . vi
DAFTAR ISI . . . viii
DAFTAR GAMBAR . . . x BAB 1 PENDAHULUAN . . . 1 1.1 Latar Belakang . . . 1 1.2 Perumusan Masalah . . . 5 1.3 Tujuan Penelitian . . . 6 1.4 Kontribusi Penelitian . . . 6 1.5 Metodologi Penelitian . . . 6
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA . . . 8
BAB 3 PROGRAM STOKASTIK . . . 15
3.1 Pengertian Program Stokastik . . . 15
3.2 Program Stokastik Dua Tahap . . . 18
3.3 Analisis Persoalan Program Stokastik Dua Tahap . . . 22
BAB 4 ALGORITMA PEMBENTUKAN SKENARIO UNTUK PROGRAM
STOKASTIK LINIER TAHAP GANDA . . . 45
4.1 Pengantar . . . 45
4.2 Persiapan . . . 47
4.3 Pohon Skenario dan Filtrasi . . . 50
4.4 Algoritma Pembentukan Skenario . . . 56
BAB 5 KESIMPULAN . . . 60
DAFTAR GAMBAR
Nomor Judul Halaman
3.1 Pohon Skenario . . . 40 4.1 Pohon Degenerate . . . 54 4.2 Partisi Pertama . . . 54
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Optimisasi pengambilan keputusan dengan adanya ketidakpastian pada waktu ke waktu adakalanya dapat diselesaikan dengan program stokastik. Secara esen-sial model ini diajukan untuk menggantikan model deterministik, dimana koefisien atau parameter yang tidak diketahui adalah acak. Perkembangan dalam metode komputasi yang semakin maju menyebabkan persoalan berskala besar dapat terse-lesaikan secara efesien dan terpercaya.
Program stokastik memberikan kerangka dasar pemodelan yang mampu melibatkan fitur dunia nyata, seperti kendala pengalihan, biaya transaksi, menghin-dari resiko, batasan pada kumpulan aset dan pertimbangan lainnya. Akan tetapi model optimisasi ini menjadi rumit jika terdapat sejumlah besar peubah, terutama untuk persoalan tahap ganda.
Program stokastik tahap ganda kerapkali digunakan untuk memodelkan proses keputusan dalam keuangan, produksi, energi dan logistik. Input program stokastik tahap ganda adalah proses stokastik multivariate {ξ}Tt=1 yang
didefini-sikan sebagai ruang peluang (Ω, F , P) dimana Ω adalah himpunan ruang sampel, F adalah σ-field dan P adalah peluang dengan ξt pada Rd. Keputusan xt di t
anggota Rmtdiasumsikan nonantisipatif , yaitu hanya tergantung pada (ξ
1, . . . , ξt).
Sifat ini ekuivalen dengan ukuran xt atas σ-field Ft ⊆ F yang dibangun oleh
ξt := (ξ
2
pada waktu t = 1 input diketahui, diasumsikan bahwa F1 = {∅, Ω} dan tanpa
kehilangan sifat-sifatnya bahwa FT = F .
Proses stokastik tahap ganda dibentuk sebagai berikut:
min E " T X t=1 hb1, (ξt), xti # xt∈ Xt xt adalah Ft− terukur , t = 1, . . . , T At,0xt+ At,1(ξt)xt−1= ht(ξt), t = 2, . . . , T (1.1)
dimana himpunan Xt ⊆Rmt adalah tidak kosong dan polyhedral, koefisien
biaya bt(ξt) termasuk pada Rmt, sebelah kanan ht(ξt) pada Rnt, At,0adalah matriks
(nt, mt) dan At,1(ξt) adalah matriks (nt, mt−1). Diasumsikan bahwa bt(·), ht(·) dan
At,1(·) tergantung secara linier pada ξt sehingga beberapa komponen dari bt dan
ht serta At,1 adalah acak.
Walaupun kelompok batasan pertama dan ketiga dalam (1.1) harus dipenuhi titik per titik dengan peluang 1, kelompok kedua, batasan keterukuran atau batasan informasi, bersifat fungsional dan bukan titik per titik paling tidak jika T > 2 dan F1⊂
6=
Ft⊂
6=
FT untuk 1 < t < T . Keberadaan batasan-batasan yang berbeda secara kualitatif sedemikian merupakan sumber dari tantangan teoritis dan perhitungan model tahap ganda.
Pendekatan perhitungan yang utama pada program stokastik tahap ganda tercapai pada approksimasi dari proses stokastik ξ = {ξ}T
t=1 yang mempunyai
banyak skenario yang terbatas dan menunjukkan struktur pohon serta dimulai pada elemen tetap ξ1 pada Rd. Ini menunjukkan model program linier yang
skalanya sangat luas pada banyak kasus dan diselesaikan dengan metode dekom-posisi yang mengeksploitasi struktur khusus model.
Model antisipatif dan adaptif merupakan kasus khusus dari program stokas-tik. Kombinasi keduanya menghasilkan model rekursif yang menjadi fokus dalam penelitian ini. Model ini juga disebut sebagai model statis, dalam mana keputusan tidak tergantung pada pengamatan masa datang. Perancanaan yang baik harus memperhitungkan semua realisasi masa datang yang mungkin karena tidak akan ada kesempatan untuk memperbaharui keputusan nantinya. Dalam model adap-tif, informasi yang dikaitkan dengan ketidakpastian muncul secara parsial sebelum pengambilan keputusan, jadi optimisasi terjadi dalam lingkungan pembelajaran.
Model rekursif menggabungkan dua model yang diutarakan terdahulu, yang ingin menentukan kebijakan yang tidak hanya mengantisipasi pengamatan masa datang tapi juga memperhitungkan informasi yang ada untuk membuat kepu-tusan rekursif. Misalnya, manajer portofolio memperhatikan gerak masa datang agar saham (antisipasi) tetapi juga menyeimbangkan posisi portofolio ketika harga berubah (adaptasi). Persoalan program stokastik dua tahap dengan rekursif dapat ditulis sebagai min f (x) + E[Q(x, w)] kendala Ax = b x ∈ RM0 + (1.2)
x adalah keputusan antisipatif tahap pertama yang diambil sebelum peubah acak teramati dan merupakan nilai optimalnya, untuk sembarang Ω, dari program tak linier: min ξ(y, w) kendala W (w)y = h(w) − T (w)x y ∈ RM1 + (1.3)
4
dengan y keputusan adaptif tahap kedua yang tergantung pada realisasi vektor acak tahap pertama, ξ(y, w) merupakan fungsi biaya tahap kedua, dan persamaan {T (w), W (w), h(w)|w ∈ Ω} adalah parameter model dengan dimensi tertentu. Parameter-parameter ini merupakan fungsi dari vektor acak w dan karena itu merupakan parameter acak. T adalah matriks teknologi yang mengandung koe-fisien teknologi yang mengubah keputusan tahap pertama x menjadi sumber daya untuk persoalan tahap kedua. W adalah matriks rekursif dan h vector sumber daya tahap kedua.
Secara umum model rekursif dua tahap dapat di formulasikan sebagai
min f (x) + E " min y∈RM1+ {ξ(y, w)|T (w)x + W (w)y = h(w)} # kendala Ax = b x ∈ RM0 + (1.4)
Persoalan rekursif tidak dibatasi pada formulasi dua-tahap. Mungkin saja penga-matan dibuat pada T tahap berbeda dan terungkap dalam kumpulan informasi
At|Tt=1dengan A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ⊂ AT
.
Tahap berhubungan dengan waktu ketika beberapa informasi terungkap dan suatu keputusan dapat diambil (Perhatikan bahwa T adalah indeks waktu, sedangkan T (w) matriks)
Program tahap ganda yang memperluas model dua-tahap , diformulasikan sebagai persoalan optimasi terkelompok berikut
min f (y0) ∗ E " min y1∈RM1+ ξ(y1, w1) + · · · + E " min yT∈RMT+ ξ(yT, wT) # · · · # kendala T1(w1)y0+ W1(w1)y1= h1(w1) .. . TT(wT)YT −1+ WT(wT)yT = hk(wT) y0 ∈ RM+0 (1.5)
Terdapat beberapa pendekatan untuk menghasilkan pohon skenario untuk program stokastik tahap ganda. Pendekatan tersebut didasarkan pada beberapa prinsip yang berbeda-beda yaitu :
a. Konstruksi berdasarkan bound
b. Skema Monte Carlo atau Metode Quasi Monte Carlo c. Sampling (berdasarkan EVPI) dalam skema dekomposisi d. Prinsip moment-matching
e. Approksimasi berdasarkan metric peluang
Terlihat bahwa untuk menyelesaikan model program stokastik, pembentukan skenario dan pohon kejadian sangatlah penting.
1.2 Perumusan Masalah
Mentransformasikan model Program Stokastik Cacah Campuran (PSCC) menjadi model Program Bilangan Cacah-Campuran Linier adalah merupakan
6
ide kunci dalam penelitian ini. Hal ini dimungkinkan karena ketidakpastian dan waktu dapat dimodelkan sebagai sejumlah skenario yang berhingga. Dengan kata lain peneliti tidak memakai fungsi sebaran peluang untuk merepresentasikan keti-dakpastian, karena adanya fungsi sebaran dapat mengakibatkan terjadinya diskon-tinuitas dan tak konveks. Begitupun, ukuran model ekivalen akan tumbuh sangat cepat sebagai konsekuensi dari jumlah skenario dan jumlah horizon waktu. Oleh karena itu penelitian ini juga akan mengajukan suatu metode untuk membentuk jumlah skenario yang efisien. Kerangka dasar dari metode ini akan dikembangkan untuk menyelesaikan transformasi PSCC ini.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menyediakan alat untuk mendukung proses pengambilan keputusan yang mengandung ketidakpastian, misalnya : dalam bi-dang manajemen resiko.
1.4 Kontribusi Penelitian
Kontribusi penelitian adalah diperolehnya suatu metode untuk menyele-saikan problem keputusan dan perencanaan yang mengandung ketidakpastian yang sering muncul dalam bidang energi, financial, pertanian, ekonomi dan lo-gistik sertamanajemen portfolio listrik dalam skala yang luas.
1.5 Metodologi Penelitian
Penelitian ini membahas pembentukan skenario terhadap persoalan keputu-san dengan ketidakpastian tahap ganda. Sebagai langkah awal dibicarakan konsep dasar program stokastik dan program stokastik dua tahap. Selanjutnya dibahas
analisis persoalan program stokastik dua tahap yang bertujuan untuk mengene-ralisasi program stokastik tahap ganda.
Program stokastik tahap ganda yang dikaji bertujuan untuk membentuk pohon skenario. Setiap skenario diberikan nilai probabilitas untuk merefleksikan kemungkinan kejadiannya. Untuk model tahap ganda, informasi skenario dapat diorganisasikan kedalam struktur pohon.
Pada bagian akhir dibahas mengenai pohon skenario dan filtrasi, prosedur pemutahiran pohon dan algoritma pembentukan skenario. Algoritma yang dipe-roleh dapat membangun barisan skenario yang mana tidak hanya menyediakan konvergensi asimptot, tetapi juga menyediakan ukuran optimalitas pada keputu-san tahap pertama.
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Banyak konsep program stokastik tahap ganda telah dikembangkan. Filosofi dasar dari metode pembentukan skenario diajukan oleh Hoyland dan Wallace (2001). Para pengguna menyatakan bahwa penjualan yang diharapkan dalam distribusi marginal pada tiap-tiap kelas asset akan berkorelasi antara perbedaan kelas asset dan sifat-sifat statistik yang lain. Idenya adalah meminimumkan jarak antara sifat-sifat statistik dari hasil yang sudah dibangun dan sifat-sifat statistik tertentu.
Masalah pembentukan pohon skenario untuk program matematika sudah banyak dibahas oleh peneliti. Biasanya persoalan pembentukan pohon skenario muncul pada program stokastik dua tahap dan tahap ganda. Dalam tulisan ini diuraikan secara singkat beberapa metode yang pernah diajukan.
Robert et al. (1991) mengajukan reduksi skenario pada program stokas-tik. Masalah reduksi skenario optimal mereka adalah menentukan sebuah sub himpunan skenario dari kardinal yang ditentukan dan ukuran peluang yang di-dasarkan pada himpunan yang paling dekat dengan distribusi awal dengan meng-gunakan metriks peluang (berbentuk kerucut). Argument dari analisa stabili-tas menyatakan bahwa Fortet-Mourier tipe metriks peluang dapat menjalankan metriks berbentuk kerucut. Algoritma yang sesuai dikembangkan untuk menen-tukan ukuran reduksi yang optimal. Hasil secara numerik digunakan mereduksi pohon skenario yang bermuatan listrik untuk manajemen power dengan ketidak-pastian.
Heitsch dan R˜omisch (2003) mengajukan algoritma untuk mereduksi ske-nario dalam program stokastik. Mereka memperhatikan program stokastik kon-veks dengan sebuah pendekatan distribusi peluang awal P yang mempunyai ske-nario dengan jumlah berhingga. Program stokasik yang dimaksud akan stabil terhadap gangguan dari P yang terukur pada Fortet-Mourier probability metriks. Persoalan reduksi skenario optimal akan berada pada penentuan ukuran pelu-ang ypelu-ang dibantu oleh sebuah subset pada P dari penentuan kardinalitas dan yang paling dekat terhadap p pada sebuah metriks peluang. Dua versi baru al-goritma tipe forward dan backward diberikan untuk menghitung sehingga ukuran peluang yang direduksi optimal. Bandingkan dengan versi lama, pelaksanaan perhitungan (akurasi, waktu menjalankan) dari algoritma yang baru telah diper-baiki (lebih baik). Hasil secara numerik yang telah dilaporkan digunakan untuk kejadian berbeda dari pohon skenario dengan perhitungan optimal pada batas terkecil. Contoh-contoh pengujian juga termasuk pohon skenario ternary menya-takan proses bermuatan listrik mingguan dalam model manajemen power.
Sedangkan Hoyland et al. (2003) mengajukan metode heuristik untuk mem-bangun pohon skenario pada masalah keputusan tahap ganda. Mereka menam-pilkan sebuah algoritma untuk membangun pohon skenario dari masalah tahap tunggal dan tahap ganda. Algoritma yang diberikan untuk membangun sebaran diskrit tertentu oleh empat momen marginal pertama dan korelasi. Pohon ske-nario dikonstruksikan oleh dekomposisi masalah multivariate menjadi univari-ate, dan menggunakan prosedur iterative dengan kombinasi simulasi. Dekom-posisi Cholesky dan bermacam-macam transformasi untuk mendapatkan kore-lasi yang tepat. Pengujian mereka menunjukkan bahwa algoritma yang baru se-cara substansial lebih cepat daripada algoritma Benchmark. Kecepatan akan
10
meningkat sebanding dengan jumlah pohon dan lebih besar dari 100 kali pada kasus 20 variabel acak dan 1000 skenario.
Kaut dan Wallace (2003) mengajukan evaluasi dari metode pembangun skenario untuk program stokastik. Mereka mendiskusikan kualitas/keserasian (kecocokan) dari metode pembangun skenario untuk model program stokastik yang diberikan. Mereka memformulasi persyaratan minimal yang akan ditetap-kan (ditentuditetap-kan) pada metode pembangun skenario sebelum digunaditetap-kan untuk menyelesaikan model program stokastik. Mereka juga menunjukkan bagaimana persyaratan dapat diuji. Prosedur pengujian metode pembangun skenario di-ilustrasikan pada kasus manajemen portofolio. Sebagai tambahan, mereka juga memberikan ulasan singkat metode pembangun skenario.
Hochreiter dan Pflug (2004) mengajukan metode membangun pohon ske-nario sebagai masalah penempatan fasilitas multidimensi. Menurut mereka kua-litas model optimisasi stokastik multiperioda yang muncul dalam perencanaan energi, aset dan manajemen pertanggungjawaban, perancanaan transportasi dan lain-lain. Kebanyakan bergantung pada kualitas model skenario, penggambaran pengaruh proses ketidakpastian fungsi keuntungan/biaya, seperti proses permin-taan energi, besar aset dan pertanggungjawaban, perminpermin-taan untuk transportasi dan lain-lain. Cara yang biasa untuk membangun model skenario didasarkan pada perkiraan peluang yang tidak diketahui dan kesesuaian momen mereka dengan momen dari model skenario diskrit. Tujuan mereka adalah mendemonstrasikan masalah penentuan perkiraan skenario terbaik yang digambarkan sebagai masalah penempatan fasilitas multidimensi. Mereka juga mendiskusikan algoritma penye-lesaian untuk masalah ini dan mendemonstrasikan kualias dari penyepenye-lesaian
con-toh numerik pada optimisasi finansial.
Higle et al. (2002) mengajukan Stochastic Scenario Decomposition untuk program stokastik tahap ganda. Mereka memberikan algoritma Stochastic Sce-nario Decomposition (SSD) yang secara statistik dimotivasi oleh algoritma cut-ting plane untuk menyelesaikan program stokastik tahap ganda. Metode ini didasarkan pada penyelesaian masalah dual, dimana variabel berkaitan dengan penalti sesuai dengan kendala nonantisipasi dari masalah primal. Hasil anali-tik mereka dibukanali-tikan dengan kondisi yang memperkenalkan SSD sebagai sebuah penyelesaian optimal yang berupa garis asimtot. Mereka juga menanggulangi be-berapa hambatan perhitungan yang disebabkan oleh pertambahan ukuran kolom dari masalah master SSD. Mereka juga mengusulkan skema penyatuan variabel untuk menyelesaikan program master yang lebih kecil tanpa mengorbankan kuali-tas penyelesaian. Hasil perhitungan mereka juga mendemonstrasikan keefektifan dari skema penyatuan dalam menyelesaikan program master SSD.
Casey dan Sen (2005) mengajukan algoritma pembentukan skenario untuk program linier stokastik tahap ganda. Program linier stokastik tahap ganda adalah rangkaian model optimisasi stokastik dimana fungsi dan kendalanya li-nier. Ketika variabel acak digunakan pada program linier stokastik tahap ganda adalah variabel kontinu. Masalah tersebut adalah dimensi tak terbatas, sehingga perhitungannya harus ditukar ke dalam bentuk dimensi terbatas.
Berikut ini akan diberikan ulasan singkat mengenai metode pembentukan skenario. Metode dibahas meliputi Pure Scenario-generation methods dan Re-lated methods.
12
Pure Scenario-generation methods meliputi : a. Conditional sampling
b. Sampling dari korelasi dan marginal tertentu c. Moment matching
d. Path-based methods e. Optimal discretization
Sedangkan Related methods meliputi reduksi skenario dan internal sampling methods.
Conditional sampling
Metode traditional sampling dapat mengambil sampel hanya dari variabel univariate random. Ketika kita perlu mengambil sampel vektor acak, kita perlu untuk setiap sampel marginal untuk dipisahkan (menjadi komponen univeriate). biasanya sampel dikombinasi oleh semua univariate, yang menghasilkan vektor variabel acak independen. Persoalannya adalah ukuran dari pertambahan po-hon berkembang secara eksponensial dengan dimensi vektor acak. Jika diambil s skenario dengan k marginal, maka akhir diproleh sk skenario.
Persoalan lain adalah bagaimana untuk mendapatkan vektor acak yang diko-relasi,penentuan komponen prinsip (yang indenpenden oleh definisi) dan sampel tersebut, sebagai ganti dari variabel acak mula-mula. Pendekatan ini berguna untuk mereduksi dimensi dan mereduksi banyaknya skenario.
Terdapat banyak cara memperbaiki sampling algoritma. Sebagai ganti dari Pure sampling, kita dapat menggunakan integration quadratures atas low discre-pancy sequences seperti yang diajukan oleh Pennanen dan Koivu (2005).
Sampling dari marginal tertentu dan korelasi
Seperti yang sudah dibahas sebelumnya, metode traditional sampling mem-punyai masalah membangun vektor multivariate, khususnya jika mereka berkore-lasi. Walaupun demikian, terdapat sampling-based methods untuk menyelesaikan masalah ini dengan menggunakan bermacam-macam transformasi.
Moment matching
Metode sebelumnya dapat dipakai (digunakan) jika kita mengetahui dis-tribusi fungsi marginalnya. Jika disdis-tribusi fungsi marginalnya tidak diketahui, kita dapat menggambarkan marginal oleh momen mereka (rataan, variansi, kur-tosis dan lain-lain) sebagai gantinya.
Path-based methods
Metode ini diawali oleh membangun path lengkap yaitu skenario, oleh pengem-bangan proses stokastik {ξt}. Hasil dari tahap ini bukanlah pohon skenario, tetapi
kumpulan path yang dikenal sebagai fan. Untuk mentransformasi fan menjadi pohon skenario, skenario yang diperoleh dikelompokkan bersama (dibatasi), se-muanya tetapi tidak periode sebelumnya. Proses ini dikenal sebagai pengelom-pokan, metode ini dapat ditemukan pada Dupacova et al. (2000)
Optimal discretization
Pflug (2001) mengajukan metode untuk menentukan pendekatan dari proses stokastik (pohon skenario) yang meminimumkan kesalahan pada fungsi objektif dari model optimisasi. Ketidak sesuaian metode sebelumnya menyebabkan pohon
14
skenario periode berganda dikonstruksikan kembali. Metode optimal discretiza-tion hanya mengerjakan proses univariate.
Reduksi skenario
Ini adalah metode untuk penurunan ukuran pohon yang diberikan. Metode ini bertujuan untuk menentukan subset skenario dari kardinal yang ditentukan, dan pengukuran peluang yang didasarkan pada himpunan yang paling dekat de-ngan distribusi awal dede-ngan menggunakan matriks peluang. Metode ini digam-barkan dalam Dupacova et al. (2003).
Internal sampling methods
Sebagai ganti dari penggunaan pohon skenario sebelum dibentuk, beberapa metode untuk menyelesaikan masalah proram stokastik diambil skenario selama prosedur penyelesaian. Metode yang paling penting dari tipe ini adalah metode stochastic quasi gradient dalam Eemoliev (1976).
Sebagai tambahan terdapat metode dengan proses iteratif, yang diselesaikan dengan aliran pohon skenario, penambahan atau pengeluaran beberapa skenario dan menyelesaikan masalah lain. Metode ini berbeda dalam penambahan/ pengu-rangan skenario Casey and Sen (2005) menggunakan variabel aliran penyelesaian.
PROGRAM STOKASTIK
3.1 Pengertian Program Stokastik
Banyak persoalan pengambilan keputusan dapat dimodelkan dengan meng-gunakan program matematika yang tujuannya untuk mendapatkan hasil yang maksimal atau minimal. Keputusan yang dihasilkan akan bergantung kepada kendala yang dibatasi oleh sumber dana, persyaratan minimum dan lain-lain. Keputusan dinyatakan oleh variabel dapat berupa bilangan cacah atau nonnegatif. Tujuan dan kendala adalah fungsi dari variabel, dan persoalan data. Sebagai con-toh dari persoalan data termasuklah biaya perunit, rata-rata produksi, penjualan atau kapasitas.
Andaikan keputusan dinyatakan oleh variabel (x1, x2, · · · , xn). Sebagai
con-toh x1 menyatakan produksi ke-i dari n produk. Bentuk umum program
mate-matikanya adalah : min f (x1, x2, x3, · · · , xn) kendala g1(x1, x2, x3, · · · , xn) ≤ 0 g2(x1, x2, x3, · · · , xn) ≤ 0 .. . gm(x1, x2, x3, · · · , xn) ≤ 0 x1, x2, x3, · · · , xn ∈ X (3.1)
16
Stokastik programming adalah program matematika yang dapat berupa lin-ear, cacah, cacah campuran, non linear tetapi dengan menampilkan elemen sto-kastik pada data. Oleh karena itu dapat dinyatakan bahwa :
a. Pada program matematika deterministik, data (koefisien) adalah bilangan-bilangan yang diketahui (tertentu).
b. Pada program stokastik, data (koefisien) merupakan bilangan yang tidak diketahui (tidak pasti) yang disajikan sebagai distribusi peluang.
Program stokastik merupakan program matematika dengan situasi (yang mengandung) ketidakpastian. Program stokastik adalah merupakan program ma-tematika, dimana beberapa data yang termuat pada tujuan atau kendala mengan-dung ketidakpastian, ketidakpastian biasanya dicirikan oleh distribusi peluang pada parameter. Walaupun ketidakpastian didefinisikan dengan tepat tetapi pada prakteknya diberikan beberapa skenario (hasil yang mungkin dari data) yang spe-sifik dan distribusi peluang gabungan yang cepat. Hasil-hasil secara umum digam-barkan pada elemen w ∈ W . Ketika beberapa data acak, maka penyelesaian dan nilai tujuan optimal untuk masalah optimisasi juga acak.
Ada dua tipe permasalahan program stokastik, yaitu :
1. Model rekursif
2. Model kendala berpeluang
Suatu cara logis yang diperlukan dalam persoalan adalah membuat sebuah kepu-tusan sekarang dan meminimumkan biaya rata-rata harapan (yang digunakan)
sebagai konsekuensi dari keputusan. Paradigma ini dikenal sebagai Model Rekur-sif. Andaikan x adalah vektor keputusan yang diambil, dan y(w) adalah sebuah vektor keputusan yang menyatakan aksi terbaru atau konsekuensi dari x. Him-punan berbeda yang berisi y akan dipilih dari tiap-tiap hasil yang mungkin dari w. Formulasi dua tahapnya adalah
minf1(x) + nilai harapan [f2(y(w), w)]
kendala g1(x) ≤ 0, · · · , gm(x) ≤ 0
h1(x, y(w)) ≤ 0, untuk setiap w ∈ W
.. .
hk(x, y(w)) ≤ 0, untuk setiap w ∈ W
x ∈ X, y(w) ∈ Y
(3.2)
Himpunan kendala h1, h2, · · · , hk, menggambarkan hubungan antara keputusan
tahap pertama x dan keputusan tahap kedua y(w). Di catat bahwa dipersyaratkan (diharuskan) tiap-tiap kendala dipenuhi dengan peluang 1, atau untuk setiap w ∈ W yang mungkin. Fungsi f2 merupakan penyelesaian yang sering muncul dari
persoalan matematika. Tidak dibutuhkan untuk membuat korelasi yang berubah-ubah (recourse) untuk keputusan tahap pertama, perlu untuk dibuat korelasi yang terbaik.
Model Rekursif dapat diperluas dengan banyak cara. Untuk persoalan tahap ganda, pengaruh keputusan sekarang akan ditunggu untuk beberapa ketidakpas-tian yang diselesaikan kembali (direalisasikan), sehingga pembuatan keputusan yang lain didasarkan pada apa yang terjadi. Tujuannya adalah untuk memini-mumkan biaya yang diharapkan dari semua keputusan yang diambil.
18
Pada beberapa kasus, dapat digunakan suatu metode yang lebih tepat untuk mencoba menentukan sebuah keputusan, yang mana keputusan tersebut dijamin oleh himpunan kendala yang akan dipenuhi oleh sebuah peluang tertentu. Model umum kendala berpeluang dirumuskan sebagai berikut :
min f (x1, x2, x3, · · · , xn) kendala P r[g1(x1, x2, x3, . . . , xn) ≤ 0 gm(x1, x2, x3, . . . , xn) ≤ 0 ≤ α h1(x1, x2, x3, . . . , xn) ≤ 0 h2(x1, x2, x3, . . . , xn) ≤ 0 x1, x2, x3, . . . , xn ∈ X (3.3)
3.2 Program Stokastik Dua Tahap
Banyak persoalan perencanaan dan manajemen yang mengandung resiko dan ketidakpastian dibahas dan diselesaikan dengan program stokastik dua tahap. Persoalan stokastik dengan kompensasi dari divergensi pada sistem dengan kendala mempunyai aplikasi yang lebih banyak dari pada model program yang lain. Penye-lesaian persoalan program stokastik dua tahap berisi vektor acak dan vektor deter-ministik. Pada tahap pertama, penyelesaian persoalan rencana awal deterministik akan dibuat. Pembentukan rencana awal deterministik dilakukan sebelum kondisi acak dari persoalan ditentukan. Sebuah vektor acak pada penyelesaian persoalan yang sesuai digunakan untuk merencanakan kompensasi divergensi, spesifikasi pa-rameter dari persoalan akan muncul pada tahap kedua. Tujuan dari manager pada persoalan di atas adalah meminimumkan nilai rata-rata biaya, yang mana tidak hanya termasuk pengeluaran pada tahap perencanaan pendahuluan tetapi juga
pada tahap kedua yang diperlukan untuk mengkompensasi pada divergensi di dalam sistem kendala persoalan. Jika persoalan program stokastik dengan model dua tahap dapat diselesaikan maka pemilihan dari rencana awal deterministik akan menjamin keberadaan (eksistensi) vektor acak di dalam kompensasi untuk sistem yang divergen.
Andaikan terdapat persoalan berikut :
Min(C, X) (3.4) A0X = B0 (3.5) AX = B (3.6) X ≥ 0 (3.7) dimana C = {cj}, j = 1, 2, · · · , m B = (bi), i = 1, 2, · · · , m B0 = (b0 k), k = 1, 2, · · · , m A0 = ka0 kjk, k = 1, 2, · · · , m; j = 1, 2, · · · , n A = kaijk, i = 1, 2, · · · , m; j = 1, 2, · · · , n
Andaikan elemen dari matriks A = A(ω), vektor B = B(ω) dan C = C(ω) berni-lai acak. Maka untuk proses penyelesaian dari persoalan (3.4 − 3.7) akan dibagi menjadi dua tahapan, sebelum pengamatan dari parameter acak pada kondisi dari tahap pertama dipilih rencana non-negatif deterministik X0 yang memenuhi kondisi (3.5). pada tahap kedua ditentukan spesifikasi ω0 dari setiap kejadian acak yang bersamaan (sesuai) dengan nilai A(ω0) dan B(ω0). Hitung divergensi B(ω0) − A(ω0)X0yang muncul pada kondisi (3.6) setelah realisasi ω0 ∈ Ω.
Defini-20
sikan vektor kompensasi divergensi Y ≥ 0 yang sesuai dengan hubungan berikut
D(ω0)Y (ω0) = B(ω0) − A(ω0)X0 (3.8)
dimana D = kdilk, i = 1, 2, · · · , m; l = 1, 2, · · · , n adalah sebuah matriks
kompen-sasi yang berisi elemen acak. Sehingga diasumsikan bahwa realikompen-sasi acak ω yang diamati pada tahap kedua tidak bergantung pada pemilihan rencana pendahuluan X0.
Perhatikan persoalan program matematika berikut :
Tentukan vektor X berdimensi n dan vektor Y (ω) berdimensi n1, ω ∈ Ω. Yang
menghasilkan min X Eω{(C(ω), X) + minY (H, Y (ω))} (3.9) dengan kendala A0X = B0 (3.10) A(ω)X + D(ω)Y (ω) = B(ω), ω ∈ Ω (3.11) X ≥ 0, Y (ω ≥ 0 (3.12)
H adalah vektor penalti yang bergantung pada nilai komponen dari vektor Y (ω) yang mana merupakan kompensasi divergensi. E adalah notasi ekspekstasi mate-matika setelah ditentukan rencana awal X0, kita pilih komponen vektor Y (ω)
de-ngan cara menjamin penalty minimum untuk kompensasi divergensi pada kondisi dari persoalan. Dengan kata lain, setelah ditentukan vektor X0, perlu diselesaikan persoalan n min Y (G, Y (ω))|D(ω)Y (ω) = B(ω) − A(ω)X 0 , Y (ω) ≥ 0 o (3.13) Persoalan (1.13) akan mempunyai banyak rencana, vektor Y (ω) tidak dapat di-tentukan pada tiap ω ∈ Ω yang menjamin pemenuhan kondisi (3.11). persoalan
(3.9) - (3.12) dikenal sebagai persoalan program stokastik dua tahap dan persoalan (3.13) adalah persoalan tahap kedua.
Model dan pendekatan dari penyelesaian persoalan program stokastik (di-namik) dua tahap dapat digunakan untuk perspektif perencanaan dan operasional manajemen, karena selalu terdapat keacakan yang mempengaruhi yang sudah di-rencanakan dan sistem manajemen (pelaksanaan). Model dua tahap juga kurang sensitif terhadap perubahan pada parameter dari kondisi persoalan, yang menye-babkan lebih stabil. Akibatnya vektor dapat diterima untuk rencana tahap per-tama yang diperlukan untuk setiap ω ∈ Ω, terdapat vektor Y ≥ 0 sedemikian hingga
D(ω)Y (ω) = B(ω) − A(ω)X (3.14)
Andaikan kendala tambahan yang disebutkan secara implisit pada (3.14) muncul pada tahap kedua dari persoalan yang dihasilkan; dan andaikan kondisi yang ditentukan pada vektor non-negatif X dari persamaan (3.10) sudah ditentukan.
Andaikan himpunan K1 = {X : A0 = B0, X ≥ 0} didefinisikan oleh
kendala yang sudah ditentukan tetapi K2 = {X : ∀ω ∈ Ω, ∃Y ≥ 0, A(ω)X =
B(ω)D(ω)Y (ω)} didefinisikan oleh kendala yang dihasilkan. Maka himpunan K = K1∩ K2 adalah himpunan vektor X yang layak/memenuhi persoalan
(3.9)-(3.12). Jika X ∈ K, maka vektor X memenuhi kendala yang sudah ditentukan A0X = B, X ≥ 0 dan disamping itu, persoalan tahap kedua (3.6) akan memiliki
22
Teorema 3.1. Himpunan K dengan vektor X pada persoalan program stokastik
dua tahap adalah konveks.
Bukti : K = K1∩ K2 tetapi K1 = {X : A0 = B0, X ≥ 0} adalah konveks.
Defini-sikan untuk ω ∈ Ω tertentu (yang ditentukan) himpunan K2ω = {X|∃Y (ω) ≥ 0}
sedemikian hingga A(ω)X = B(ω) − D(ω)Y (ω) adalah konveks. Hal ini menya-takan bahwa K2 = ∩ω∈ΩK2ω dan K = K1∩ K2 adalah himpunan konveks sebagi
pertolongan himpunan konveks.
3.3 Analisis Persoalan Program Stokastik Dua Tahap
Himpunan K dari rencana pendahuluan untuk persoalan program stokas-tik dua tahap secara implisit telah ditentukan. Pada kasus generalisasi tidak diketahui bagaimana untuk mengkonstruksi himpunan K2. Untuk beberapa
ka-sus parsial, dimana sangat penting untuk banyak aplikasi, himpunan K2 mirip
dengan Rn Diasumsikan bahwa rank dari matriks D adalah sama dengan m, ke-cuali (3.11) dapat disubstitusikan untuk relasi ekivalen pada p baris, sehingga : OY = BAX, dimana O adalah vektor berisi nol berdimensi m dan P adalah banyaknya baris bergantung pada D. Asumsikan bahwa rank dari matrik D yang berdimensi m × n adalah sama dengan m dan m kolom pertama adalah linier independen.
Andaikan bahwa untuk tiap v ∈ Rn terdapat Y ≥ 0 sedemikian hingga :
DY = v (3.15)
Lemma 3.1. [Kall, 1966] Jika asumsi di atas dipenuhi, maka D mempunyai
Teorema 3.2. [Kall, 1966] Karena sistem persamaan DY = v mempunyai
penye-lesaian non-negatif untuk setiap v ∈ Rn, maka hal ini cukup menunjukkan bahwa
terdapat penyelesaian non-negatif untuk sistem homogen dari persamaan linier :
Dπ = 0 (3.16)
π lebih besar dari pada 0 untuk j = 1, 2, · · · , m
Bukti : Sistem persamaan DY = v selalu mempunyai penyelesaian. Mula-mula, andaikan ˆYj 6= 0 untuk j = 1, 2, · · · , m tetapi yang lainnya sama dengan
nol. Selanjutnya hubungan α(Dπ) + D ˆY = v akan dipenuhi untuk sembarang α, jika diambil α yang cukup besar akan diperoleh penyelesaian non-negatif pada persamaan (3.15). kondisi (3.16) sulit dibuktikan dengan ekspektasi beberapa kasus parsial.
Andaikan n menjadi sama dengan m = 1, maka kondisi cukup akan menjadi :Σm+1j=1 πjDj = 0, karena jika πm+1 = 0 akan diperoleh dependen linier dari m
kolom pertama Dj, yang mana akan kontradiksi dengan fakta bahwa matriks D
mempunyai rank m. Konsekwensinya adalah πm+1 > 0, sehingga diperoleh :
−Dm+1 = m X j=1 πjDj, πj = ˆ πj ˆ πm+1 (3.17) Sistem di atas adalah persamaan linier yang hanya mempunyai satu penyele-saian. Jika positif maka K2 = Rn. Kondisi teorema 3.2 tidak cukup tetapi perlu,
sedemikian hingga DY = v mempunyai penyelesaian cukup untuk keperluan pe-mecahan non-negatif dari DY = v tidak untuk setiap v ∈ Rm tetapi hanya untuk
v = BAX dengan setiap X ∈ K1 dan setiap ω ∈ Ω sehingga v jauh dari memenuhi
24
Persoalan (3.4)-(3.7) dapat diinterpretasi sebagai perencanaan produksi, di-mana A adalah matriks untuk metode teknologi dasar dan D adalah matriks untuk metode teknologi kebetulan pada penentuan varian yang mungkin untuk kompensasi pada divergensi di dalam sistem yang dikondisikan. Pada kasus kon-disi dari teorema 3.2 dapat diinterpretasikan dengan cara berikut. Sehingga un-tuk sembarang divergensi v ∈ Rm, kompensasi Y dapat diterima temuannya,
yang dicukupkan oleh metode teknologi kebetulan menyatakan sebuah sistem ter-tutup, karena itu terdapat intensitas π tidak nol, yang mana semua hasilnya dieksploitasikan oleh metode produksi tertentu dapat dikonsumsi oleh yang lain-nya. Sebagai contoh : penjualan dan pembelian dipisahkan dengan baik.
Teorema 3.3. Karena persoalan (3.13) mempunyai penyelesaian yang berhingga,
maka hal ini perlu dan cukup menunjukkan bahwa sistem pertidaksamaan
ZD ≤ H (3.18)
mempunyai penyelesaian
Pembuktian teorema di atas dapat dilihat dengan jelas pada teorema duali-tas program linier yang diajukan oleh Dantzig (1956). Jika persoalan (3.13) dapat diselesaikan dan mempunyai penyelesaian optimal maka dualnya juga dapat di-selesaikan dan begitu juga sebaliknya. Kendala dari persoalan dual untuk (3.13) adalah kondisi (3.17)
Kondisi dari teorema 3.3 memiliki kegunaan secara ekonomi. Sehingga biaya pada eksploitasi pada metode teknologi kebetulan dilikuidasi dari divergensi yang berhingga, karena itu cukup dan perlu terdapat sistem estimasi Z untuk meng-hasilkan metode teknologi kebetulan. Biaya produksi yang disebabkan oleh
esti-masi output pada metode teknologi yang ke-i tidak lebih tinggi pada eksploitasi dengan singular intensity dari pada pengeluaran pada eksploitasi dengan singular intensity.
Teorema 3.4. Judin (1974) Andaikan matriks D mempunyai m + 1 kolom dan
memenuhi kondisi teorema 3.2 yaitu :−Dm+1 = m
P
j=1
πjDj, πj > 0, j = 1, 2, · · · , m
maka untuk pemenuhan kondisi teorema 3.3 adalah syarat perlu dan cukup bahwa digantikan relasi (hubungan) berikut
m
X
j=1
πjhj + hm+1 ≥ 0, πj > 0, j = 1, 2, · · · , m (3.19)
Bukti : Syarat perlu. Andaikan persoalan tahap kedua (3.13) dapat
diselesai-kan, maka kumpulan rencana dari masalah dual menjadi tidak kosong. Andaikan vektor Z0 memenuhi kondisi (3.17) persoalan dual yaitu :
Z0Dj ≤ hj, j = 1, 2, · · · , m + 1 (3.20)
karena itu, dengan πj > 0 m X j=1 πjZ0Dj ≤ m X j=1 πjhj : Z0Dm+1 = − m X j=1 Z0πjDj (3.21)
disamping itu, kita dapatkan
Z0Dm+1 = − m
X
j=1
Z0πjDj ≤ hm+1 (3.22)
Dari kondisi (3.20) dan (3.21) diperoleh hasil (3.18) syarat cukup.
Andaikan (3.18) digantikan oleh fungsi tujuan pada persoalan tahap kedua (3.13) yang tidak berkendala pada himpunan rencana, maka himpunan rencana persoalan dual untuk persoalan tahap kedua adalah kosong.
26
Dari linear independen vektor-vektor D1, D2, · · · , Dm jika mengikuti sistem
ZDj = hj, j = 1, 2, · · · , m (3.24)
hanya mempunyai penyelesaian Z0, karena persamaan (3.22) diperoleh
Z0Dm+1 > hm+1 (3.25)
Dari kondisi teorema dan persamaan (3.23), (3.24) diperoleh Z0Dm+1 = − m P j=1 Z0πjDj = − m P j=1 πjhj > hm+1
yang mana kontradiksi dengan kondisi (3.18) sehingga teorema dipenuhi.
Kondisi (3.18) menguntungkan secara ekonomi pada persoalan penjadwalan. Andaikan metode teknologi berbentuk sistem tertutup, maka biaya dari exploitasi metode accindetal output yang bertujuan kompensasi divergensi akan berhingga, jika tidak mungkin mendapatkan keuntungan dari rezim yang tidak jalan dari pekerjaan (jika persamaan (3.16) dapat dipenuhi). Dalam pekerjaan yang dia-jukan oleh Kall (1966) ditunjukkan bahwa kondisi analog yang hilang dari keun-tungan juga tergantikan dalam kasus ketika n > m + 1, tetapi kondisi ini hanya syarat perlu.
Perhatikan sebuah deterministik ekivalen untuk persoalan program stokastik dua tahap pada (3.9)-(3.12) dan tunjukkan bahwa persoalan (3.9)-(3.12) adalah persoalan program konveks. Dual untuk persoalan tahap kedua (3.13) adalah
(Z, BAX) → Max (3.26)
ZD ≤ H (3.27)
Andaikan penyelesaian persoalan (3.13) ada dan berhingga, maka terdapat penye-lesaian berhingga untuk persoalan (3.24)-(3.25) dan nilai optimal untuk keduanya
telah dikerjakan oleh Dantzig (1956). Definisikan nilai fungsi sebagai ∅. Dapat diperoleh bahwa ∅(X, A, B) menjadi titik maksimum (3.24) yang dicapai dengan kondisi (3.25) untuk X, A, B yang ditetapkan. Sehingga untuk sembarang X1 dan
X2 nilai ekstrimum fungsi tujuan (3.24) adalah berhingga, diperoleh
Z(αX1+ (1 − α)X2, A, B)(B − A(αX1+ (1 − α)X2) =
Z(αX1+ (1 − α)X2, A, B)[α(B − AX1) + (1 − α)(B − AX2)] ≤
αZ(X1, A, B)(B − AX1) + (1 − α)Z(X2, A, B)(B − AX2)
Andaikan ∅ adalah fungsi tujuan dari persoalan deterministik ekivalen, maka ∅ adalah fungsi konveks, karena kombinasi non-negatif fungsi konveks adalah fungsi konveks. Dari konveksitas fungsi tujuan ∅ mengikuti kontinuitas pada setiap titik dalam dari himpunan konveks K. Oleh karena itu dibuktikan oleh pernyataan berikut.
Teorema 3.5. Deterministik ekivalen untuk persoalan program stokastik
dua-tahap (3.9)-(3.12) adalah persoalan program konveks. Pernyataan selanjutnya memberikan dasar teori untuk mengkonstruksi pendekatan numerik pada penye-lesaian persoalan dua-tahap. Perhatikan metode untuk menyelesaikan persoalan dua tahap diperlukan penggunaan hubungan (persamaan) fungsi dasar untuk ∅(X) dan menyediakan kondisi differensiabel ∅(X). Pada bagian ini akan di-gunakan fungsi dasar untuk fungsi konveks F (µ) pada titik µ0 ∈ M , untuk fungsi
linear L, jika F (µ) − F (µ0) ≥ (L, µ − µ0) untuk setiap µ ∈ M . Hal ini dapat
dilihat pada Judin (1974) dan Kall (1966).
Teorema 3.6. Fungsi
E{C − Z∗(A, B, X0)A} =
Z
Ω
28
adalah dasar untuk fungsi tujuan dari persoalan deterministik ekivalen pada titik X0 ∈ K.
Di dalam pembahasan yang dikerjakan oleh Kall (1966) telah didemonstrasi-kan bahwa jika ukuran peluang pada ruang A, B kontinu absolut relatif terhadap ukuran lebesque pada ruang A, B dan kondisi tertentu dipenuhi maka fungsi tujuan ∅(X) yang merupakan persoalan deterministik ekivalen adalah kontinu differensiabel setiap tempat pada himpunan K
Untuk investigasi kondisi optimalitas rencana X pada persoalan tahap per-tama, dibutuhkan vektor CX = E[CZ∗(A, B, X)A] dan bentuk linear Lx =
(Cx1, X) = E[CZ
∗(A, B, X)A]. Judin (1974) mengajukan formulasi kondisi perlu
untuk optimalitas pada rencana X di dalam persoalan program stokastik dua tahap.
Teorema 3.7. Jika X∗ adalah rencana deterministik untuk persoalan dua tahap maka untuk sembarang X ∈ K,
Lx(X∗ ≤ Lx(X) (3.28)
Bukti. Andaikan X∗ adalah rencana optimal tetapi X rencana yang diterima untuk persoalan dua tahap. Dapat diperoleh : ∅(X∗) ≤ ∅(X)
E(CX∗+ Z∗(A, B, X∗)(B − AX∗)) ≤ E(CX + Z∗(A, B, X)(B − AX)) (3.29)
E(Z∗(A, B, X∗)(B − AX∗)) ≥ E(Z∗(A, B, X)(B − AX)) (3.30)
Kurangkan (3.28) dari (3.27), dana diambil Z∗(A, B, X∗) sebagai rencana optimal untuk masalah dual dan diperoleh hasil (3.26)
Melalui pekerjaan yang diajukan oleh Efimov (1970) dan Judin (1974) dipe-roleh bahwa kemungkinan untuk membuat kegunaan secara ekonomi pada kondisi
(3.26). Vektor Z∗(A, B, X) adalah penyelesaian masalah dual untuk persoalan
dua tahap dan merupakan vektor estimasi untuk produk jarang (kurang) atau berlebihan pada intensitas X dari metode teknologi setelah matriks teknologi A dan vektor permintaan B yang direalisasikan. Estimasi ini mendefinisikan penga-ruh dari nilai divergensi pada pengeluaran untuk likuidasi ekonomi dari divergensi. Nilai
m
X
i=1
aijZi∗(A, B, X)Cj
menunjukkan keuntungan dari eksploitasi pada metode teknologi dengan intensi-tas singular, dengan perkiraan parameter persoalan direalisasikan sebagai elemen matriks A dan komponen vektor B dan C, tetapi estimasi produk dihitung untuk kasus di dalam eksploitasi metode teknologi yang dikerjakan dengan intensitas X. Jika vektor X∗ mendefinisikan rencana awal optimal untuk persoalan program dua tahap, rekaptulasi keuntungan rata-rata pada intensitas X∗ selama penggu-naan metode produksi teknologi dihitung pada optimasi optimal yang tidak lebih kecil dari rekapitulasi keuntungan rata-rata yang dihitung pada estimasi optimal untuk sembarang rencana lain X yang dibolehkan.
Akan diformulasi tanpa pembuktian teorema pada kondisi cukup dan perlu dari optimalitas untuk rencana persoalan program stokastik dua tahap.
Teorema 3.8. Andaikan X∗ titik internal (dalam) dari himpunan K, tetapi sebuah fungsi objektif ∅(X) pada persoalan deterministik ekivalen terhadap per-soalan dua tahap yang diferensiabel di dalam neighbourhood dari titik X∗. Maka
persoalan dual Z∗(A, B, X∗) sedemikian hingga
CX∗ = E[C − Z∗(A, B, X∗)A] = 0 (3.31)
30
3.4 Program Stokastik Tahap Ganda
Persoalan program stokastik dinamik digeneralisasi oleh kasus dua tahap. Banyak persoalan praktis yang berupa perencanaan, perancangan dan manajemen tidak dapat digambarkan dengan bantuan model statis. Perencanaan dengan pe-riode waktu yang panjang berkembang pada sistem ekonomi, kontrol operasional pada peralatan militer, regulasi pada proses teknologi dan persoalan lain yang termasuk pada parameter acak dan mengharuskan deskripsi untuk penggunaan model probabilistik dinamik. Untuk model bertujuan, metode program stokastik tahap ganda seringkali digunakan. Model program stokastik tahap ganda dan metode untuk realisasi secukupnya bergantung pada informasi mengenai nilai pa-rameter di dalam kondisi persoalan, yang mana memiliki waktu untuk membuat keputusan selanjutnya. Terdapat persoalan dinamik yang mana tiap-tiap tahap berurutan disyaratkan untuk melengkapi kompensasi divergensi yang dikondisikan oleh kondisi realisasi persoalan dan oleh pembuatan keputusan tercepat (tahap sebelumnya). Pada masalah yang lain disyaratkan bahwa tiap-tiap tahap peluang yang memenuhi kendala tidak melebihi nilai tertentu yang diberikan sebelumnya atas ekspektasi matematika pada fungsi dari divergensi di dalam kondisi yang dibatasi oleh bilangan yang diberikan atau nilai dari fungsi pada parameter acak yang direalisasikan pada tahap sebelumnya.
Kebergantungan (keadaan) pada bermacam-macam proses aktual yang da-pat dimodelkan, menyebabkan persoalan dinamik akan memiliki salah satu ben-tuk berikut yaitu : tidak dapat dikondisikan, kondisi probabilistik atau kendala statistik. Untuk persoalan dinamik dengan kendala tidak dapat dikondisikan, ka-rakteristik keputusan adalah membuat pada basis informasi mengenai distribusi
yang dikombinasikan oleh parameter acak dari kondisi pada semua tahapan. Pada persoalan dinamik dengan kondisi dua kasus kendala dapat dibedakan menjadi : (a) jika oleh momen pembuatan keputusan hanya realisasi dari parameter acak pada tahap sebelumnya yang diperkirakan diketahui dan (b) jika oleh momen pembuatan keputusan melengkapi informasi yang tersedia mengenai realisasi rameter acak (termasuk kondisi) yang dinyatakan tahapan, tetapi nilai dari pa-rameter acak pada tahapan berurutan tidak diketahui. Terdapat relasi tertentu antara persoalan tahap ganda dengan yang tidak dapat dikondisikan dan kondisi kendala.
Penyelesaian optimal untuk persoalan program stokastik dinamik dapat di-peroleh dengan strategi murni atau campuran. Pada komponen kasus akhir pada penyelesaian atau karakteristik statistik dari distribusi yang memberikan penye-lesaian akan bergantung pada nilai parameter acak di dalam kondisi persoalan, yang direalisasikan oleh momen pembuatan keputuan
Konstruksi model probabilistik dinamik dan melaksanakan metode untuk realisasi yang ditampilkan akan sangat sulit. Pada bagian ini akan diberikan beberapa persoalan yang berisi model matematika untuk persoalan tahap ganda dan prosedur untuk mengkonstruksi penyelesaiannya.
Untuk perhitungan selanjutnya dan analisis persoalan program stokastik tahap ganda, didefinisikan konsep yang diberikan berikut ini. Andaikan terdapat tahap ke-i yaitu Ωi, i = 0, 1, · · · , n untuk beberapa ruang kejadian elementer
ωi, dimana Ω0 berisi satu elemen ω0. Andaikan Ωk adalah descartian product
Ωi, i = 1, 2, · · · , k; ωk = (ω1, · · · , ωk), Ωn = Ω dan andaikan pada Ω diberikan
32
p(A × Ωk+1 × · · · × Ωn). Diperkenalkan ruang probabilistik (Ω, Σ, P ) dengan Σ
berkaitan dengan σ-algebra, definisikan Pk sebagai kondisi ukuran probabilistik
pada Ωk.
Pk(A|ωk−1∈ B) =
Pk(A × B)
Pk(Ωk × B)
Untuk sembarang A ⊂ Ωk, B ⊂ Ωk−1.
Xk dinyatakan sebagai descartian product Xi, i = 1, 2, · · · , k; Xk = (x1, · · ·
, xk) ∈ Xk, Xn ≡ X dimana X0, X1, · · · , Xn adalah barisan himpunan dari
struk-tur sembarang Xk ∈ Xk, k = 0, 1, · · · , n dan himpunan X termasuk satu titik X0.
Andaikan mk diberikan sebagai fungsi vektor pada ϕk(ωk, Xk) berdimensi
untuk setiap ωk ∈ Ωk, Xk ∈ Xk, k = 1, · · · , n dan juga untuk setiap ω ∈ Ω pada himpunan X fungsi ϕ0(ωn, Xn). Masukkan himpunan acak G0k = G
0 k(ω
k
) dan bk(ωk−1)mk fungsi vektor. Bk berdimensi acak dari ωk−1 (dibatasi dan terukur)
dinyatakan sebagai ruang Banach yang termasuk pada fungsi vektor berdimensi bk(ωk−1)
k
P
i=1
m1. Akhirnya, Eωk(U (ωk)|ωk−1) menyatakan kondisi ekspektasi
ma-tematika U (ωk) dibawah perkiraan realisasi ωk−1 yang diketahui.
Andaikan dibahas model berbeda pada persoalan program stokastik tahap ganda dengan menggunakan notasi yang diperkenalkan di atas.
Andaikan terdapat persoalan program stokastik tahap ganda :
Eϕ0 = (ω n , Xn) → inf (3.32) Eϕk = (ω k , Xk) ≥ bk (3.33) Xk ∈ Gk, k = 1, 2, · · · , n (3.34)
Untuk memformulasi persoalan secara lengkap, diperlukan titik luar apakah kendala yang tidak dapat dikondisikan atau kondisional, apakah penyelesaian per-soalan ditentukan dengan strategi murni atau strategi campuran, dan di dalam kelas fungsi yang terukur atau distribusi yang akan mendapatkan penyelesaian. Persoalan praktisnya akan bergantung pada makna isi, penyelesaian pada tiap-tiap tahap dapat dihitung sebagai vektor deterministik atau sebagai rule-function pada penyelesaian dari realisasi dan parameter acak yang diobservasi dari kondisi, atau sebagai distribusi menentukan distribusi kontinu Xk dengan perkiraan
infor-masi yang diperlukan mengenai nilai yang direalisasikan data initial acak yang diperoleh model konkrit untuk persoalan dan struktur informasinya ditentukan oleh keputusan selanjutnya. Di dalam syarat-syarat yang diajukan oleh Ermolyev (1970), hasil-hasil persoalan stokastik tahap ganda dari rangkaian tipe
- pengamatan - keputusan - pengamatan - · · · - keputusan Keputusan - pengamatan - keputusan - · · · - keputusan
Andaikan dibahas bermacam-macam model persoalan program stokastik tahap ganda yang menggunakan klasifikasi yang diberikan oleh Judin (1972).
Persoalan stokastik tahap ganda dengan kendala yang tidak dapat dikon-disikan adalah Z Ωn×Xn ϕ0(ωn, Xn)dFωn,Xn → inf (3.35) Z Ωk×Xk ϕk(ωk, Xk)dFωk,Xk (3.36) Xk ∈ Gk, k = 1, 2, · · · , n (3.37)
Pemilihan beberapa kelas yang paling menarik untuk aplikasi dari sejumlah struktur informasi yang merupakan persyaratan persoalan program tahap ganda
34
dengan kendala kondisional. Model kongkrit dari (3.30) − (3.32) pada kasus per-soalan dengan kendala kondisional, diselesaikan dengan strategi campuran adalah:
Z Ωn×Xn ϕ0(ϕn, Xn)dFωn,Xn → inf (3.38) Z Ωk×Xk ϕk(ωk, Xk)dFωk|ωdFωk|ωk−1 ≥ bk(ωk−1) (3.39) Xk ∈ Gk(ωk), k = 1, 2, · · · , n (3.40)
Penyelesaian persoalan akan menjadi himpunan fungsi distribusi FXk|ωk.
Bi-asanya untuk mengatakan persoalan diselesaikan dengan distribusi yang diten-tukan kemudian jika FXk|ωk didefinisikan setelah realisasi dan pengamatan
para-meter acak ωk, distribusi yang ditentukan kemudian bergantung pada Xk−1 dan ωk. Dikatakan bahwa persoalan yang diselesaikan dengan distribusi yang diten-tukan sebelumnya, jika FXk|ωk didefinisikan setelah realisasi dan pengamatan ωk−1
tetapi sebelum pengamatan ωk, distribusi yang ditentukan sebelumnya bergan-tung pada Xk−1 dan ωk−1.
Jika persoalan tahap ganda dengan kendala kondisional diselesaikan dengan strategi murni, model konkrit (3.30) (3.32) akan menjadi :
Z Ωn×Xn ϕ0(ωn, Xn)dFωn → inf (3.41) Z Ωk×Xk ϕk(ωk, Xk)dFωk|ωk−1 ≥ bk(ωk−1) (3.42) Xk ∈ Gk(ωk), k = 1, 2, · · · , n (3.43)
Fungsi Xk dari parameter acak yang direalisasikan dan diamati pada
kon-disi dari persoalan merupakan penyelesaian. Persoalan diselesaikan dengan aturan yang ditentukan kemudian jika keputusan dibuat setelah realisasi dan pengamatan
ωk; aturan-aturan yang ditentukan kemudian untuk penyelesaian sedemikian hingga
Xk = Xk(ωk). Dikatakan bahwa persoalan diselesaikan dengan aturan yang
diten-tukan sebelumnya jika keputusan dibuat setelah realisasi dan pengamatan ωk−1,
tetapi sebelum pengamatan ωk. Pada kasus aturan sebelumnya :
Xk = Xk(ωk−1)
Biasanya, persoalan (3.36) (3.38) atau (3.39) (3.41) dikenal sebagai per-soalan stokastik tahap ganda dengan rigid model, jika kondisi (3.37) atau (3.40) tidak disertakan, keputusan tiap-tiap tahap dibuat setelah observasi kondisi dan keputusan pada tahap sebelumnya.
Relasi tertentu yang dimiliki antara determinasi domain untuk persoalan dengan kendala yang tidak dapat dikondisikan dan kendala yang dapat dikon-disikan. Pernyataan berikut akan menggeneralisasi hasil yang diperoleh, yang telah dikerjakan oleh Eismer, et al. (1971) untuk persoalan stokastik tahap ganda parsial linear. Pernyataan yang berikut diambil dari Judin (1974).
Andaikan U adalah himpunan penyelesaian yang layak untuk persoalan sto-kastik tahap ganda dengan kendala yang tidak dapat dikondisikan
U = {Xk ∈ G1× · · · × Gn|Eϕk(ωk, Xk) ≥ bk, k = 1, 2, · · · , n
Dan V [bn(ωn−1] adalah himpunan penyelesaian (aturan penyelesaian, distribusi
sebelum atau sesudah penyelesaian) pada persoalan dengan kendala kondisional.
Teorema 3.9. Himpunan U dan V adalah terhubung oleh relasi
36
Bukti : ˜V = {Xn ∈ V [˜bn(ωn−1)]|E˜b
k(ωk−1) = bk, k = 1, 2, · · · , n}. Andaikan
Xn∈ ˜V . Yang menyatakan bahwa
Eωkϕk(ωk, Xk) =Eωk−1{Eωkϕk(ωk, Xk)|ωk−1
≥ Eωk−1˜bk(ωk−1) = bk; k = 1, 2, · · · , n
karena Xn ∈ U . Andaikan Xn ∈ U , definisikan
˜bk(ωk−1
) = Eωk{ωk(ωk, Xk)|ωk−1+ {bk − Eωkϕk(ωk, Xk)}
≤ Eωk{ϕk(ωk, Xk)|ωk−1}, k = 1, 2, · · · , n
Dengan definisi ˜bk(ωn−1) didapatkan Eωk−1˜bk(ωk−1) = bk. Sehingga Xn ∈ ˜V .
Akibat. Dengan fungsi sama ϕk(ωk, Xk) dan himpunan Gk, k = 1, 2, · · · , n
do-main penyelesaian layak dari persoalan (3.33) (3.35) dan (3.36) (3.38) atau (3.39) (3.41) bergantung pada persoalan yang diselesaikan dengan strategi campuran atau strategi murni bersamaan bentuknya jika dan hanya jika Ebk(ωk−1) = bk.
Pernyataan di atas menyebabkan kemungkinan untuk memformulasi ulang hasil kualitatif dan seringkali juga menghitung metode yang dikerjakan untuk persoalan dengan kelas tertentu dan untuk investigasi konstruktif pada persoalan kelas lain.
Relasi antara distribusi penyelesaian dan aturan penyelesaian sangat menarik. Jika fungsi ϕ0 adalah konveks dan komponen fungsi vektor ϕk adalah konkaf pada
X dengan tiap-tiap ω, maka nilai optimal dari fungsi objektif yang dicapai pada distribusi penyelesaian dapat dicapai juga dengan aturan penyelesaian. Konvek-sitas dari ϕ0 dan −ϕk tidak menghabiskan kondisi dengan strategi optimal murni
dan strategi campuran yang didefinisikan menyatu dan nilai sama dari fungsi tujuan.
Nilai fungsi tujuan untuk aturan optimal sebelumnya pada persoalan sto-kastik tahap ganda di dalam rigid model dengan nilai fungsi tujuan didistribusi penyelesaian optimal sebelumnya.
Pernyataan lebih tegas untuk aturan penyelesaian sesudahnya dan distribusi penyelesaian diberikan berikut.
Teorema 3.10. (a) Andaikan ukuran probabilistik Fω di dalam Ω = Ωn adalah
kontinu (b) andaikan terdapat fungsi positif g0(ω) dan gk(ωk) berkendala atas
menurut module ϕ0(ωn, Xn) dan semua komponen ϕk(ωk, Xk). Maka
penyele-saian aturan optimal sesudahnya untuk persoalan stokastik tahap ganda didefi-nisikan oleh nilai yang sama pada fungsi tujuan sebagai distribusi penyelesaian optimal sesudahnya.
Bukti teorema 3.10 untuk persoalan stokastik satu tahap diberikan oleh Judin (1972).
Persoalan program stokastik tahap ganda dengan kendala kondisional da-pat disubstitusikan untuk sistem persamaan yang memenuhi pemisahan tahapan. Andaikan akan dibahas persoalan (3.39) (3.41) yang diselesaikan dengan strategi murni (dengan penyelesaian sebelum aturan penyelesaian sesudahnya).
38
Untuk definisi domain pada persoalan tahap ke-i berkaitan dengan him-punan :
Ki = {Xi ∈ G0|∃{yi+1∈ G0i+1, · · · , yn∈ G0n};
Eωi[ϕi(ωi, Xi)|ωi−1] ≥ bi(ωi−1,
Eωi+s[ϕi(ωi+s, xi, yi+1, · · · , yi+s)|ωi+s−1]
≥ bi+s(ωi+s−1)
(3.44)
Jika
{∀ωi+s−1, · · · , ωn−1, s = 1, 2, · · · , n − 1}
G0
i menyatakan proyeksi Gi terhadap hyper-plane dari koordinat yang
dide-finisikan oleh komponen vektor Xi. Persyaratan keberadaan dari vektor yi+s, s =
1, 2, · · · , n − i yang memenuhi kondisi (3.42) adalah ekivalen terhadap keberadaan kendala di dalam persoalan dua tahap. Kondisi cukup dan perlu untuk menye-lesaikan persoalan (3.39) (3.41) adalah kondisi K1 6= ∅ (fungsi objektif (3.39)
dengan asumsi berkendala). Jika disamping K1 6= ∅, Ki 6= ∅, i = 2, 3, · · · , n.
Fungsi tujuan dari persoalan Qi(Xi) pada tahap ke i mengatakan
kon-disional ekspektasi matematika ϕ0(ωn, Xn) pada asumsi semua tahapan sebelum
tahap ke i, himpunan ωi−1merupakan parameter yang direalisasikan dengan
kon-disi persoalan dan komponen keputusan himpunan Xi−1, dan sesudah tahapan ke
i keputusan optimal berikutnya :Xi+1∗ , · · · , X ∗ n.
Qi(Xi) = Eωn|ωi−1(ωn, Xi−1, Xi, Xi+1, · · · , Xn∗) (3.45)
Sejauh ini, definisi penyelesaian aturan optimal pada tahap ke i dari persoalan stokastik tahap ganda direduksi untuk menyelesaikan persoalan program mate-matika berikut
inf
Xi∈Xi
Aturan sesudahnya untuk penyelesaian adalah : Xi = Xi(ωi), yi+s = yi+s(ωi+s);
s = 1, 2, · · · , n − i dan aturan sebelumnya untuk penyelesaian adalah :
Xi = Xi(ωi−1); yi+s = yi+s(ωi+s−1); s = 1, 2, · · · , n − i
. Jika fungsi tujuan dapat dipisahkan, yaitu ϕ0(ωn, Xn) = n P j=1 ϕ0j(ω j, Xj) kita mempunyai Qi(Xi) = Eωi|ωi−1{ϕ0(ωi, Xi) + Q∗i+1(ωi, Xi)} . dimana Q∗i(ω i−1 , Xi−1) = inf Xi∈Ki Eωi|ωi−1{ϕ0(ωi, Xi) + Q∗i+1(ω i , Xi)}, i = 1, 2, · · · , n − 1 dengan i = n Q∗n(ωn−1, Xn−1) = inf Xi∈Ki Eωi|ωi−1ϕ0n(ωn, Xn)
. Analog dengan persoalan pemisahan tahapan untuk persoalan stokastik tahap ganda dengan strategi campuran yang dikonstruksikan.
3.5 Pengertian Pembentukan Pohon Skenario
Dalam banyak aplikasi, sebaran peubah acak tidak diketahui atau walaupun diketahui, terlalu mahal untuk memperhatikan sebaran diskrit dengan banyak hasil yang mungkin atau menangani sebaran kontinu dengan integrasi numerik. Merupakan hal yang umum untuk memilih himpunan hasil representatif yang relatif kecil yang disebut skenario untuk menyajikan kejadian acak. Skenario dapat merupakan kuartil dari sebaran yang diketahui atau data historis, prediksi dan beberapa pohon atau dibangun dengan simulasi. Setiap skenario diberikan nilai probabialitas untuk merefleksikan kemungkinan kejadiannya. Untuk model
