BAB 3 PROGRAM STOKASTIK
3.3 Analisis Persoalan Program Stokastik Dua Tahap
Himpunan K dari rencana pendahuluan untuk persoalan program stokas-tik dua tahap secara implisit telah ditentukan. Pada kasus generalisasi tidak diketahui bagaimana untuk mengkonstruksi himpunan K2. Untuk beberapa ka-sus parsial, dimana sangat penting untuk banyak aplikasi, himpunan K2 mirip dengan Rn Diasumsikan bahwa rank dari matriks D adalah sama dengan m, ke-cuali (3.11) dapat disubstitusikan untuk relasi ekivalen pada p baris, sehingga : OY = BAX, dimana O adalah vektor berisi nol berdimensi m dan P adalah banyaknya baris bergantung pada D. Asumsikan bahwa rank dari matrik D yang berdimensi m × n adalah sama dengan m dan m kolom pertama adalah linier independen.
Andaikan bahwa untuk tiap v ∈ Rn terdapat Y ≥ 0 sedemikian hingga :
DY = v (3.15)
Lemma 3.1. [Kall, 1966] Jika asumsi di atas dipenuhi, maka D mempunyai
Teorema 3.2. [Kall, 1966] Karena sistem persamaan DY = v mempunyai
penye-lesaian non-negatif untuk setiap v ∈ Rn, maka hal ini cukup menunjukkan bahwa terdapat penyelesaian non-negatif untuk sistem homogen dari persamaan linier :
Dπ = 0 (3.16)
π lebih besar dari pada 0 untuk j = 1, 2, · · · , m
Bukti : Sistem persamaan DY = v selalu mempunyai penyelesaian. Mula-mula, andaikan ˆYj 6= 0 untuk j = 1, 2, · · · , m tetapi yang lainnya sama dengan nol. Selanjutnya hubungan α(Dπ) + D ˆY = v akan dipenuhi untuk sembarang α, jika diambil α yang cukup besar akan diperoleh penyelesaian non-negatif pada persamaan (3.15). kondisi (3.16) sulit dibuktikan dengan ekspektasi beberapa kasus parsial.
Andaikan n menjadi sama dengan m = 1, maka kondisi cukup akan menjadi :Σm+1j=1 πjDj = 0, karena jika πm+1 = 0 akan diperoleh dependen linier dari m kolom pertama Dj, yang mana akan kontradiksi dengan fakta bahwa matriks D mempunyai rank m. Konsekwensinya adalah πm+1 > 0, sehingga diperoleh :
−Dm+1 = m X j=1 πjDj, πj = ˆπj ˆ πm+1 (3.17) Sistem di atas adalah persamaan linier yang hanya mempunyai satu penyele-saian. Jika positif maka K2 = Rn. Kondisi teorema 3.2 tidak cukup tetapi perlu, sedemikian hingga DY = v mempunyai penyelesaian cukup untuk keperluan pe-mecahan non-negatif dari DY = v tidak untuk setiap v ∈ Rm tetapi hanya untuk v = BAX dengan setiap X ∈ K1 dan setiap ω ∈ Ω sehingga v jauh dari memenuhi untuk semua Rm.
24
Persoalan (3.4)-(3.7) dapat diinterpretasi sebagai perencanaan produksi, di-mana A adalah matriks untuk metode teknologi dasar dan D adalah matriks untuk metode teknologi kebetulan pada penentuan varian yang mungkin untuk kompensasi pada divergensi di dalam sistem yang dikondisikan. Pada kasus kon-disi dari teorema 3.2 dapat diinterpretasikan dengan cara berikut. Sehingga un-tuk sembarang divergensi v ∈ Rm, kompensasi Y dapat diterima temuannya, yang dicukupkan oleh metode teknologi kebetulan menyatakan sebuah sistem ter-tutup, karena itu terdapat intensitas π tidak nol, yang mana semua hasilnya dieksploitasikan oleh metode produksi tertentu dapat dikonsumsi oleh yang lain-nya. Sebagai contoh : penjualan dan pembelian dipisahkan dengan baik.
Teorema 3.3. Karena persoalan (3.13) mempunyai penyelesaian yang berhingga,
maka hal ini perlu dan cukup menunjukkan bahwa sistem pertidaksamaan
ZD ≤ H (3.18)
mempunyai penyelesaian
Pembuktian teorema di atas dapat dilihat dengan jelas pada teorema duali-tas program linier yang diajukan oleh Dantzig (1956). Jika persoalan (3.13) dapat diselesaikan dan mempunyai penyelesaian optimal maka dualnya juga dapat di-selesaikan dan begitu juga sebaliknya. Kendala dari persoalan dual untuk (3.13) adalah kondisi (3.17)
Kondisi dari teorema 3.3 memiliki kegunaan secara ekonomi. Sehingga biaya pada eksploitasi pada metode teknologi kebetulan dilikuidasi dari divergensi yang berhingga, karena itu cukup dan perlu terdapat sistem estimasi Z untuk meng-hasilkan metode teknologi kebetulan. Biaya produksi yang disebabkan oleh
esti-masi output pada metode teknologi yang ke-i tidak lebih tinggi pada eksploitasi dengan singular intensity dari pada pengeluaran pada eksploitasi dengan singular intensity.
Teorema 3.4. Judin (1974) Andaikan matriks D mempunyai m + 1 kolom dan
memenuhi kondisi teorema 3.2 yaitu :−Dm+1 =
m
P
j=1
πjDj, πj > 0, j = 1, 2, · · · , m maka untuk pemenuhan kondisi teorema 3.3 adalah syarat perlu dan cukup bahwa digantikan relasi (hubungan) berikut
m
X
j=1
πjhj + hm+1 ≥ 0, πj > 0, j = 1, 2, · · · , m (3.19)
Bukti : Syarat perlu. Andaikan persoalan tahap kedua (3.13) dapat
diselesai-kan, maka kumpulan rencana dari masalah dual menjadi tidak kosong. Andaikan vektor Z0 memenuhi kondisi (3.17) persoalan dual yaitu :
Z0Dj ≤ hj, j = 1, 2, · · · , m + 1 (3.20)
karena itu, dengan πj > 0
m X j=1 πjZ0Dj ≤ m X j=1 πjhj : Z0Dm+1 = − m X j=1 Z0πjDj (3.21)
disamping itu, kita dapatkan
Z0Dm+1 = −
m
X
j=1
Z0πjDj ≤ hm+1 (3.22)
Dari kondisi (3.20) dan (3.21) diperoleh hasil (3.18) syarat cukup.
Andaikan (3.18) digantikan oleh fungsi tujuan pada persoalan tahap kedua (3.13) yang tidak berkendala pada himpunan rencana, maka himpunan rencana persoalan dual untuk persoalan tahap kedua adalah kosong.
26
Dari linear independen vektor-vektor D1, D2, · · · , Dm jika mengikuti sistem
ZDj = hj, j = 1, 2, · · · , m (3.24)
hanya mempunyai penyelesaian Z0, karena persamaan (3.22) diperoleh
Z0Dm+1 > hm+1 (3.25)
Dari kondisi teorema dan persamaan (3.23), (3.24) diperoleh Z0Dm+1 = − m P j=1 Z0πjDj = − m P j=1 πjhj > hm+1
yang mana kontradiksi dengan kondisi (3.18) sehingga teorema dipenuhi.
Kondisi (3.18) menguntungkan secara ekonomi pada persoalan penjadwalan. Andaikan metode teknologi berbentuk sistem tertutup, maka biaya dari exploitasi metode accindetal output yang bertujuan kompensasi divergensi akan berhingga, jika tidak mungkin mendapatkan keuntungan dari rezim yang tidak jalan dari pekerjaan (jika persamaan (3.16) dapat dipenuhi). Dalam pekerjaan yang dia-jukan oleh Kall (1966) ditunjukkan bahwa kondisi analog yang hilang dari keun-tungan juga tergantikan dalam kasus ketika n > m + 1, tetapi kondisi ini hanya syarat perlu.
Perhatikan sebuah deterministik ekivalen untuk persoalan program stokastik dua tahap pada (3.9)-(3.12) dan tunjukkan bahwa persoalan (3.9)-(3.12) adalah persoalan program konveks. Dual untuk persoalan tahap kedua (3.13) adalah
(Z, BAX) → Max (3.26)
ZD ≤ H (3.27)
Andaikan penyelesaian persoalan (3.13) ada dan berhingga, maka terdapat penye-lesaian berhingga untuk persoalan (3.24)-(3.25) dan nilai optimal untuk keduanya
telah dikerjakan oleh Dantzig (1956). Definisikan nilai fungsi sebagai ∅. Dapat diperoleh bahwa ∅(X, A, B) menjadi titik maksimum (3.24) yang dicapai dengan kondisi (3.25) untuk X, A, B yang ditetapkan. Sehingga untuk sembarang X1 dan X2 nilai ekstrimum fungsi tujuan (3.24) adalah berhingga, diperoleh
Z(αX1+ (1 − α)X2, A, B)(B − A(αX1+ (1 − α)X2) =
Z(αX1+ (1 − α)X2, A, B)[α(B − AX1) + (1 − α)(B − AX2)] ≤
αZ(X1, A, B)(B − AX1) + (1 − α)Z(X2, A, B)(B − AX2)
Andaikan ∅ adalah fungsi tujuan dari persoalan deterministik ekivalen, maka ∅ adalah fungsi konveks, karena kombinasi non-negatif fungsi konveks adalah fungsi konveks. Dari konveksitas fungsi tujuan ∅ mengikuti kontinuitas pada setiap titik dalam dari himpunan konveks K. Oleh karena itu dibuktikan oleh pernyataan berikut.
Teorema 3.5. Deterministik ekivalen untuk persoalan program stokastik
dua-tahap (3.9)-(3.12) adalah persoalan program konveks. Pernyataan selanjutnya memberikan dasar teori untuk mengkonstruksi pendekatan numerik pada penye-lesaian persoalan dua-tahap. Perhatikan metode untuk menyelesaikan persoalan dua tahap diperlukan penggunaan hubungan (persamaan) fungsi dasar untuk ∅(X) dan menyediakan kondisi differensiabel ∅(X). Pada bagian ini akan di-gunakan fungsi dasar untuk fungsi konveks F (µ) pada titik µ0 ∈ M , untuk fungsi linear L, jika F (µ) − F (µ0) ≥ (L, µ − µ0) untuk setiap µ ∈ M . Hal ini dapat dilihat pada Judin (1974) dan Kall (1966).
Teorema 3.6. Fungsi
E{C − Z∗(A, B, X0)A} = Z
Ω
28
adalah dasar untuk fungsi tujuan dari persoalan deterministik ekivalen pada titik X0 ∈ K.
Di dalam pembahasan yang dikerjakan oleh Kall (1966) telah didemonstrasi-kan bahwa jika ukuran peluang pada ruang A, B kontinu absolut relatif terhadap ukuran lebesque pada ruang A, B dan kondisi tertentu dipenuhi maka fungsi tujuan ∅(X) yang merupakan persoalan deterministik ekivalen adalah kontinu differensiabel setiap tempat pada himpunan K
Untuk investigasi kondisi optimalitas rencana X pada persoalan tahap per-tama, dibutuhkan vektor CX = E[CZ∗(A, B, X)A] dan bentuk linear Lx = (Cx1, X) = E[CZ∗(A, B, X)A]. Judin (1974) mengajukan formulasi kondisi perlu untuk optimalitas pada rencana X di dalam persoalan program stokastik dua tahap.
Teorema 3.7. Jika X∗ adalah rencana deterministik untuk persoalan dua tahap maka untuk sembarang X ∈ K,
Lx(X∗ ≤ Lx(X) (3.28)
Bukti. Andaikan X∗ adalah rencana optimal tetapi X rencana yang diterima untuk persoalan dua tahap. Dapat diperoleh : ∅(X∗) ≤ ∅(X)
E(CX∗+ Z∗(A, B, X∗)(B − AX∗)) ≤ E(CX + Z∗(A, B, X)(B − AX)) (3.29)
E(Z∗(A, B, X∗)(B − AX∗)) ≥ E(Z∗(A, B, X)(B − AX)) (3.30)
Kurangkan (3.28) dari (3.27), dana diambil Z∗(A, B, X∗) sebagai rencana optimal untuk masalah dual dan diperoleh hasil (3.26)
Melalui pekerjaan yang diajukan oleh Efimov (1970) dan Judin (1974) dipe-roleh bahwa kemungkinan untuk membuat kegunaan secara ekonomi pada kondisi
(3.26). Vektor Z∗(A, B, X) adalah penyelesaian masalah dual untuk persoalan dua tahap dan merupakan vektor estimasi untuk produk jarang (kurang) atau berlebihan pada intensitas X dari metode teknologi setelah matriks teknologi A dan vektor permintaan B yang direalisasikan. Estimasi ini mendefinisikan penga-ruh dari nilai divergensi pada pengeluaran untuk likuidasi ekonomi dari divergensi. Nilai
m
X
i=1
aijZi∗(A, B, X)Cj
menunjukkan keuntungan dari eksploitasi pada metode teknologi dengan intensi-tas singular, dengan perkiraan parameter persoalan direalisasikan sebagai elemen matriks A dan komponen vektor B dan C, tetapi estimasi produk dihitung untuk kasus di dalam eksploitasi metode teknologi yang dikerjakan dengan intensitas X. Jika vektor X∗ mendefinisikan rencana awal optimal untuk persoalan program dua tahap, rekaptulasi keuntungan rata-rata pada intensitas X∗ selama penggu-naan metode produksi teknologi dihitung pada optimasi optimal yang tidak lebih kecil dari rekapitulasi keuntungan rata-rata yang dihitung pada estimasi optimal untuk sembarang rencana lain X yang dibolehkan.
Akan diformulasi tanpa pembuktian teorema pada kondisi cukup dan perlu dari optimalitas untuk rencana persoalan program stokastik dua tahap.
Teorema 3.8. Andaikan X∗ titik internal (dalam) dari himpunan K, tetapi sebuah fungsi objektif ∅(X) pada persoalan deterministik ekivalen terhadap per-soalan dua tahap yang diferensiabel di dalam neighbourhood dari titik X∗. Maka persoalan dual Z∗(A, B, X∗) sedemikian hingga
CX∗ = E[C − Z∗(A, B, X∗)A] = 0 (3.31)