BAB 3 PROGRAM STOKASTIK
3.4 Program Stokastik Tahap Ganda
3.4 Program Stokastik Tahap Ganda
Persoalan program stokastik dinamik digeneralisasi oleh kasus dua tahap. Banyak persoalan praktis yang berupa perencanaan, perancangan dan manajemen tidak dapat digambarkan dengan bantuan model statis. Perencanaan dengan pe-riode waktu yang panjang berkembang pada sistem ekonomi, kontrol operasional pada peralatan militer, regulasi pada proses teknologi dan persoalan lain yang termasuk pada parameter acak dan mengharuskan deskripsi untuk penggunaan model probabilistik dinamik. Untuk model bertujuan, metode program stokastik tahap ganda seringkali digunakan. Model program stokastik tahap ganda dan metode untuk realisasi secukupnya bergantung pada informasi mengenai nilai pa-rameter di dalam kondisi persoalan, yang mana memiliki waktu untuk membuat keputusan selanjutnya. Terdapat persoalan dinamik yang mana tiap-tiap tahap berurutan disyaratkan untuk melengkapi kompensasi divergensi yang dikondisikan oleh kondisi realisasi persoalan dan oleh pembuatan keputusan tercepat (tahap sebelumnya). Pada masalah yang lain disyaratkan bahwa tiap-tiap tahap peluang yang memenuhi kendala tidak melebihi nilai tertentu yang diberikan sebelumnya atas ekspektasi matematika pada fungsi dari divergensi di dalam kondisi yang dibatasi oleh bilangan yang diberikan atau nilai dari fungsi pada parameter acak yang direalisasikan pada tahap sebelumnya.
Kebergantungan (keadaan) pada bermacam-macam proses aktual yang da-pat dimodelkan, menyebabkan persoalan dinamik akan memiliki salah satu ben-tuk berikut yaitu : tidak dapat dikondisikan, kondisi probabilistik atau kendala statistik. Untuk persoalan dinamik dengan kendala tidak dapat dikondisikan, ka-rakteristik keputusan adalah membuat pada basis informasi mengenai distribusi
yang dikombinasikan oleh parameter acak dari kondisi pada semua tahapan. Pada persoalan dinamik dengan kondisi dua kasus kendala dapat dibedakan menjadi : (a) jika oleh momen pembuatan keputusan hanya realisasi dari parameter acak pada tahap sebelumnya yang diperkirakan diketahui dan (b) jika oleh momen pembuatan keputusan melengkapi informasi yang tersedia mengenai realisasi rameter acak (termasuk kondisi) yang dinyatakan tahapan, tetapi nilai dari pa-rameter acak pada tahapan berurutan tidak diketahui. Terdapat relasi tertentu antara persoalan tahap ganda dengan yang tidak dapat dikondisikan dan kondisi kendala.
Penyelesaian optimal untuk persoalan program stokastik dinamik dapat di-peroleh dengan strategi murni atau campuran. Pada komponen kasus akhir pada penyelesaian atau karakteristik statistik dari distribusi yang memberikan penye-lesaian akan bergantung pada nilai parameter acak di dalam kondisi persoalan, yang direalisasikan oleh momen pembuatan keputuan
Konstruksi model probabilistik dinamik dan melaksanakan metode untuk realisasi yang ditampilkan akan sangat sulit. Pada bagian ini akan diberikan beberapa persoalan yang berisi model matematika untuk persoalan tahap ganda dan prosedur untuk mengkonstruksi penyelesaiannya.
Untuk perhitungan selanjutnya dan analisis persoalan program stokastik tahap ganda, didefinisikan konsep yang diberikan berikut ini. Andaikan terdapat tahap ke-i yaitu Ωi, i = 0, 1, · · · , n untuk beberapa ruang kejadian elementer ωi, dimana Ω0 berisi satu elemen ω0. Andaikan Ωk adalah descartian product Ωi, i = 1, 2, · · · , k; ωk = (ω1, · · · , ωk), Ωn = Ω dan andaikan pada Ω diberikan ukuran probabilistik p yang didefinisikan dengan cara : jika A ⊂ Ωk maka pk(A) =
32
p(A × Ωk+1 × · · · × Ωn). Diperkenalkan ruang probabilistik (Ω, Σ, P ) dengan Σ berkaitan dengan σ-algebra, definisikan Pk sebagai kondisi ukuran probabilistik pada Ωk.
Pk(A|ωk−1∈ B) = Pk(A × B) Pk(Ωk × B) Untuk sembarang A ⊂ Ωk, B ⊂ Ωk−1.
Xk dinyatakan sebagai descartian product Xi, i = 1, 2, · · · , k; Xk = (x1, · · · , xk) ∈ Xk, Xn ≡ X dimana X0, X1, · · · , Xn adalah barisan himpunan dari struk-tur sembarang Xk ∈ Xk, k = 0, 1, · · · , n dan himpunan X termasuk satu titik X0.
Andaikan mk diberikan sebagai fungsi vektor pada ϕk(ωk, Xk) berdimensi untuk setiap ωk ∈ Ωk, Xk ∈ Xk, k = 1, · · · , n dan juga untuk setiap ω ∈ Ω pada himpunan X fungsi ϕ0(ωn, Xn). Masukkan himpunan acak G0k = G0k(ωk) dan bk(ωk−1)mk fungsi vektor. Bk berdimensi acak dari ωk−1 (dibatasi dan terukur) dinyatakan sebagai ruang Banach yang termasuk pada fungsi vektor berdimensi bk(ωk−1)
k
P
i=1
m1. Akhirnya, Eωk(U (ωk)|ωk−1) menyatakan kondisi ekspektasi ma-tematika U (ωk) dibawah perkiraan realisasi ωk−1 yang diketahui.
Andaikan dibahas model berbeda pada persoalan program stokastik tahap ganda dengan menggunakan notasi yang diperkenalkan di atas.
Andaikan terdapat persoalan program stokastik tahap ganda :
Eϕ0 = (ωn, Xn) → inf (3.32)
Eϕk = (ωk, Xk) ≥ bk (3.33)
Untuk memformulasi persoalan secara lengkap, diperlukan titik luar apakah kendala yang tidak dapat dikondisikan atau kondisional, apakah penyelesaian per-soalan ditentukan dengan strategi murni atau strategi campuran, dan di dalam kelas fungsi yang terukur atau distribusi yang akan mendapatkan penyelesaian. Persoalan praktisnya akan bergantung pada makna isi, penyelesaian pada tiap-tiap tahap dapat dihitung sebagai vektor deterministik atau sebagai rule-function pada penyelesaian dari realisasi dan parameter acak yang diobservasi dari kondisi, atau sebagai distribusi menentukan distribusi kontinu Xk dengan perkiraan infor-masi yang diperlukan mengenai nilai yang direalisasikan data initial acak yang diperoleh model konkrit untuk persoalan dan struktur informasinya ditentukan oleh keputusan selanjutnya. Di dalam syarat-syarat yang diajukan oleh Ermolyev (1970), hasil-hasil persoalan stokastik tahap ganda dari rangkaian tipe
- pengamatan - keputusan - pengamatan - · · · - keputusan Keputusan - pengamatan - keputusan - · · · - keputusan
Andaikan dibahas bermacam-macam model persoalan program stokastik tahap ganda yang menggunakan klasifikasi yang diberikan oleh Judin (1972).
Persoalan stokastik tahap ganda dengan kendala yang tidak dapat dikon-disikan adalah Z Ωn×Xn ϕ0(ωn, Xn)dFωn,Xn → inf (3.35) Z Ωk×Xk ϕk(ωk, Xk)dFωk,Xk (3.36) Xk ∈ Gk, k = 1, 2, · · · , n (3.37)
Pemilihan beberapa kelas yang paling menarik untuk aplikasi dari sejumlah struktur informasi yang merupakan persyaratan persoalan program tahap ganda
34
dengan kendala kondisional. Model kongkrit dari (3.30) − (3.32) pada kasus per-soalan dengan kendala kondisional, diselesaikan dengan strategi campuran adalah:
Z Ωn×Xn ϕ0(ϕn, Xn)dFωn,Xn → inf (3.38) Z Ωk×Xk ϕk(ωk, Xk)dFωk|ωdFωk|ωk−1 ≥ bk(ωk−1) (3.39) Xk ∈ Gk(ωk), k = 1, 2, · · · , n (3.40)
Penyelesaian persoalan akan menjadi himpunan fungsi distribusi FXk|ωk. Bi-asanya untuk mengatakan persoalan diselesaikan dengan distribusi yang diten-tukan kemudian jika FXk|ωk didefinisikan setelah realisasi dan pengamatan para-meter acak ωk, distribusi yang ditentukan kemudian bergantung pada Xk−1 dan ωk. Dikatakan bahwa persoalan yang diselesaikan dengan distribusi yang diten-tukan sebelumnya, jika FXk|ωk didefinisikan setelah realisasi dan pengamatan ωk−1 tetapi sebelum pengamatan ωk, distribusi yang ditentukan sebelumnya bergan-tung pada Xk−1 dan ωk−1.
Jika persoalan tahap ganda dengan kendala kondisional diselesaikan dengan strategi murni, model konkrit (3.30) (3.32) akan menjadi :
Z Ωn×Xn ϕ0(ωn, Xn)dFωn → inf (3.41) Z Ωk×Xk ϕk(ωk, Xk)dFωk|ωk−1 ≥ bk(ωk−1) (3.42) Xk ∈ Gk(ωk), k = 1, 2, · · · , n (3.43)
Fungsi Xk dari parameter acak yang direalisasikan dan diamati pada kon-disi dari persoalan merupakan penyelesaian. Persoalan diselesaikan dengan aturan yang ditentukan kemudian jika keputusan dibuat setelah realisasi dan pengamatan
ωk; aturan-aturan yang ditentukan kemudian untuk penyelesaian sedemikian hingga Xk = Xk(ωk). Dikatakan bahwa persoalan diselesaikan dengan aturan yang diten-tukan sebelumnya jika keputusan dibuat setelah realisasi dan pengamatan ωk−1, tetapi sebelum pengamatan ωk. Pada kasus aturan sebelumnya :
Xk = Xk(ωk−1)
Biasanya, persoalan (3.36) (3.38) atau (3.39) (3.41) dikenal sebagai per-soalan stokastik tahap ganda dengan rigid model, jika kondisi (3.37) atau (3.40) tidak disertakan, keputusan tiap-tiap tahap dibuat setelah observasi kondisi dan keputusan pada tahap sebelumnya.
Relasi tertentu yang dimiliki antara determinasi domain untuk persoalan dengan kendala yang tidak dapat dikondisikan dan kendala yang dapat dikon-disikan. Pernyataan berikut akan menggeneralisasi hasil yang diperoleh, yang telah dikerjakan oleh Eismer, et al. (1971) untuk persoalan stokastik tahap ganda parsial linear. Pernyataan yang berikut diambil dari Judin (1974).
Andaikan U adalah himpunan penyelesaian yang layak untuk persoalan sto-kastik tahap ganda dengan kendala yang tidak dapat dikondisikan
U = {Xk ∈ G1× · · · × Gn|Eϕk(ωk, Xk) ≥ bk, k = 1, 2, · · · , n
Dan V [bn(ωn−1] adalah himpunan penyelesaian (aturan penyelesaian, distribusi sebelum atau sesudah penyelesaian) pada persoalan dengan kendala kondisional.
Teorema 3.9. Himpunan U dan V adalah terhubung oleh relasi
36
Bukti : ˜V = {Xn ∈ V [˜bn(ωn−1)]|E˜bk(ωk−1) = bk, k = 1, 2, · · · , n}. Andaikan Xn∈ ˜V . Yang menyatakan bahwa
Eωkϕk(ωk, Xk) =Eωk−1{Eωkϕk(ωk, Xk)|ωk−1
≥ Eωk−1˜b
k(ωk−1) = bk; k = 1, 2, · · · , n
karena Xn ∈ U . Andaikan Xn ∈ U , definisikan
˜bk(ωk−1
) = Eωk{ωk(ωk, Xk)|ωk−1+ {bk − Eωkϕk(ωk, Xk)} ≤ Eωk{ϕk(ωk, Xk)|ωk−1}, k = 1, 2, · · · , n
Dengan definisi ˜bk(ωn−1) didapatkan Eωk−1˜bk(ωk−1
) = bk. Sehingga Xn ∈ ˜V . Akibat. Dengan fungsi sama ϕk(ωk, Xk) dan himpunan Gk, k = 1, 2, · · · , n do-main penyelesaian layak dari persoalan (3.33) (3.35) dan (3.36) (3.38) atau (3.39) (3.41) bergantung pada persoalan yang diselesaikan dengan strategi campuran atau strategi murni bersamaan bentuknya jika dan hanya jika Ebk(ωk−1) = bk.
Pernyataan di atas menyebabkan kemungkinan untuk memformulasi ulang hasil kualitatif dan seringkali juga menghitung metode yang dikerjakan untuk persoalan dengan kelas tertentu dan untuk investigasi konstruktif pada persoalan kelas lain.
Relasi antara distribusi penyelesaian dan aturan penyelesaian sangat menarik. Jika fungsi ϕ0 adalah konveks dan komponen fungsi vektor ϕk adalah konkaf pada X dengan tiap-tiap ω, maka nilai optimal dari fungsi objektif yang dicapai pada distribusi penyelesaian dapat dicapai juga dengan aturan penyelesaian. Konvek-sitas dari ϕ0 dan −ϕk tidak menghabiskan kondisi dengan strategi optimal murni
dan strategi campuran yang didefinisikan menyatu dan nilai sama dari fungsi tujuan.
Nilai fungsi tujuan untuk aturan optimal sebelumnya pada persoalan sto-kastik tahap ganda di dalam rigid model dengan nilai fungsi tujuan didistribusi penyelesaian optimal sebelumnya.
Pernyataan lebih tegas untuk aturan penyelesaian sesudahnya dan distribusi penyelesaian diberikan berikut.
Teorema 3.10. (a) Andaikan ukuran probabilistik Fω di dalam Ω = Ωn adalah kontinu (b) andaikan terdapat fungsi positif g0(ω) dan gk(ωk) berkendala atas menurut module ϕ0(ωn, Xn) dan semua komponen ϕk(ωk, Xk). Maka penyele-saian aturan optimal sesudahnya untuk persoalan stokastik tahap ganda didefi-nisikan oleh nilai yang sama pada fungsi tujuan sebagai distribusi penyelesaian optimal sesudahnya.
Bukti teorema 3.10 untuk persoalan stokastik satu tahap diberikan oleh Judin (1972).
Persoalan program stokastik tahap ganda dengan kendala kondisional da-pat disubstitusikan untuk sistem persamaan yang memenuhi pemisahan tahapan. Andaikan akan dibahas persoalan (3.39) (3.41) yang diselesaikan dengan strategi murni (dengan penyelesaian sebelum aturan penyelesaian sesudahnya).
38
Untuk definisi domain pada persoalan tahap ke-i berkaitan dengan him-punan :
Ki = {Xi ∈ G0|∃{yi+1∈ G0
i+1, · · · , yn∈ G0 n}; Eωi[ϕi(ωi, Xi)|ωi−1] ≥ bi(ωi−1,
Eωi+s[ϕi(ωi+s, xi, yi+1, · · · , yi+s)|ωi+s−1] ≥ bi+s(ωi+s−1)
(3.44)
Jika
{∀ωi+s−1, · · · , ωn−1, s = 1, 2, · · · , n − 1}
G0
i menyatakan proyeksi Gi terhadap hyper-plane dari koordinat yang dide-finisikan oleh komponen vektor Xi. Persyaratan keberadaan dari vektor yi+s, s = 1, 2, · · · , n − i yang memenuhi kondisi (3.42) adalah ekivalen terhadap keberadaan kendala di dalam persoalan dua tahap. Kondisi cukup dan perlu untuk menye-lesaikan persoalan (3.39) (3.41) adalah kondisi K1 6= ∅ (fungsi objektif (3.39) dengan asumsi berkendala). Jika disamping K1 6= ∅, Ki 6= ∅, i = 2, 3, · · · , n.
Fungsi tujuan dari persoalan Qi(Xi) pada tahap ke i mengatakan kon-disional ekspektasi matematika ϕ0(ωn, Xn) pada asumsi semua tahapan sebelum tahap ke i, himpunan ωi−1merupakan parameter yang direalisasikan dengan kon-disi persoalan dan komponen keputusan himpunan Xi−1, dan sesudah tahapan ke i keputusan optimal berikutnya :Xi+1∗ , · · · , Xn∗.
Qi(Xi) = Eωn|ωi−1(ωn, Xi−1, Xi, Xi+1, · · · , Xn∗) (3.45)
Sejauh ini, definisi penyelesaian aturan optimal pada tahap ke i dari persoalan stokastik tahap ganda direduksi untuk menyelesaikan persoalan program mate-matika berikut
inf
Aturan sesudahnya untuk penyelesaian adalah : Xi = Xi(ωi), yi+s = yi+s(ωi+s); s = 1, 2, · · · , n − i dan aturan sebelumnya untuk penyelesaian adalah :
Xi = Xi(ωi−1); yi+s = yi+s(ωi+s−1); s = 1, 2, · · · , n − i
. Jika fungsi tujuan dapat dipisahkan, yaitu ϕ0(ωn, Xn) =
n P j=1 ϕ0j(ωj, Xj) kita mempunyai Qi(Xi) = Eωi|ωi−1{ϕ0(ωi, Xi) + Q∗i+1(ωi, Xi)} . dimana
Q∗i(ωi−1, Xi−1) = inf
Xi∈KiEωi|ωi−1{ϕ0(ωi, Xi) + Q∗i+1(ωi, Xi)}, i = 1, 2, · · · , n − 1
dengan i = n
Q∗n(ωn−1, Xn−1) = inf
Xi∈Ki
Eωi|ωi−1ϕ0n(ωn, Xn)
. Analog dengan persoalan pemisahan tahapan untuk persoalan stokastik tahap ganda dengan strategi campuran yang dikonstruksikan.
3.5 Pengertian Pembentukan Pohon Skenario
Dalam banyak aplikasi, sebaran peubah acak tidak diketahui atau walaupun diketahui, terlalu mahal untuk memperhatikan sebaran diskrit dengan banyak hasil yang mungkin atau menangani sebaran kontinu dengan integrasi numerik. Merupakan hal yang umum untuk memilih himpunan hasil representatif yang relatif kecil yang disebut skenario untuk menyajikan kejadian acak. Skenario dapat merupakan kuartil dari sebaran yang diketahui atau data historis, prediksi dan beberapa pohon atau dibangun dengan simulasi. Setiap skenario diberikan nilai probabialitas untuk merefleksikan kemungkinan kejadiannya. Untuk model
40
tahap ganda, informasi skenario dapat diorganisasikan ke dalam struktur pohon. Gambar 3.1, memberikan contoh pohon skenario untuk persoalan 4 tahap.
Gambar 3.1 : Pohon Skenario
Buhul akar menyatakan waktu sekarang atau bagian dari data yang dike-tahui. Pada tahap 2, terdapat 4 kemungkinan berbeda dan setiap dari padanya mempunyai berbagai hasil berbeda yang mungkin di tahap 3 dan seterusnya. Su-atu skenario terdiri dari lintasan lengkap dari buhul akar ke sSu-atu buhul daun.
Ambil jumlah tahap T dan jumlah hasil yang mungkin dalam setiap tahap dapat dilabel secara berurutan oleh Kt , untuk t = 1, · · · T . Buhul di setiap tahap dapat dilabel secara berurutan dengan kt = 1, · · · , Kt untuk semua t. Dt(k) menyatakan turunan langsung dalam waktu t dari buhul k. Misalnya dalam pohon skenario di Gambar 3.1. D3(1) memperlihatkan turunan langsung dari buhul 1 yang merupakan dua buhul paling kiri dalam waktu 3. Untuk setiap buhul daun k dalam tahap T , andaikan Ptk merupakan probabilitas terkait dari keterjadian skenario. Untuk t =T −1, − − − − − − −1, pk
t diberikan oleh
pkt+1= Σ1∈Dt+1. . . p1t+1
Pohon keputusan memberikan kelenturan kepada pemodel untuk memilih skenario yang diperlukan untuk diperhatikan dan kepentingannya. Begitupun tidaklah praktis untuk memperhatikan terlalu banyak skenario. Ini terutama terjadi untuk persoalan dimana banyak mengandung faktor acak.
Untuk mengoperasikan model program stokastik, pembentukan skenario dan pohon kejadian sangatlah penting. Dibawah ini diuraikan secara singkat metode pembentukan tersebut.
a. Bootstrap data historis
b. Pemodelan statistika dengan pendekatan ”value at risk” c. Model vektor autoregressi
a. Bootstrap data historis
Pendekatan paling sederhana untuk membangun skenario hanya memakai data yang ada tanpa pemodelan matematika. Setiap skenario merupakan sampel dari perolehan aset yang diperoleh dengan mensampling perolehan yang diamati dimasa lalu. Waktu dari catatan historis yang tersedia di-pilih secara acak dan untuk setiap waktu dalam sampel dibawa perolehan dari semua kelas tersebut. Ini merupakan skenario perolehan bulanan. Jika ingin dibangun skenario perolehan untuk horizon waktu panjang misalnya 1 tahun, disampel perolehan 12 bulan dari titik waktu yang berbeda. Susunan perolehan dari deretan yang disampel merupakan perolehan 1 tahun. De-ngan pendekatan ini korelasi diantara kelas aset dipertahankan.
42
b. Model statistika dari konsep value-at-risk
Analisis deret waktu dari data historis dapat dipakai untuk mengestimasi perubahan dari matriks korelasi antara kelas aset. Matriks korelasi ini di-pakai untuk mengukur resiko dengan metode Value-at-Risk (VaR).
Nyatakan peubah acak dengan vektor acak k-dimensi w. Dimensi w sama dengan jumlah faktor resiko yang ingin dimodelkan. Dengan mengandaikan bahwa peubah acak secara gabungan bersebaran normal dapat didefinisikan fungsi kepadatan peluang dari w sebagai
f (w) = (2φ)−p/2|Q|−1/2exp [−1
2(w − ¯w)
t
Q−1(w − ¯w)]
disini w adalah ekspektasi dari w dan Y matriks kovarian dan dapat dihitung dari data historis.
Setelah parameter dari sebaran normal multivariat diestimasi kita dapat memakainya dalam simulasi Monte Carlo dengan menggunakan pendekatan faktorisasi Cholesky atau prosedur pembentukan skenario yang didasarkan pada analisis komponen utama yang diajukan oleh Jamshidian dan Zhu (1997).
Simulasi dapat diterapkan secara berulang pada status berbeda dari pohon kejadian. Begitupun, mungkin saja ingin dipersyaratkan nilai acak yang dibangun pada nilai-nilai yang diperoleh oleh beberapa peubah acak.
Sampling bersyarat dari peubah normal multivariat dilakukan seperti berikut. Peubah w dipartisi menjadi 2 subvektor w1dan w2dengan w1vektor dimensi K, dari peubah acak untuk nama beberapa informasi tambahan tersedia dan w2 adalah vektor dimensi K2− K − K1 dari peubah sisa. Vektor nilai
ekspektasi dan matriks kovarian dipartisi secara analog sebagai ¯ w = w¯1 ¯ w2 dan Q = Q11 Q12 Q21 Q22
Fungsi kepadatan peluang marginal dari w2 dengan diketahui w1 = w∗1 diberikan oleh f (w|w1 = w∗1) = (2φ)−p2/2 |Q22.1|−1/2exp [−1 2(w2− ¯w2.1) t Q−122.1(w2− ¯w2.1)]
dimana nilai ekspektasi bersyarat dan matriks kovarian diberikan oleh
¯
w2.1(w1∗) = ( ¯w2Q21Q−111µ1) + Q21Q−111w∗1
dan
Q22.1= Q22− Q21Q−111Q12
Skenario w2 untuk periode t dipersyaratkan pada nilai w1 diberikan oleh wt 1
dapat dibangun dari peubah normal multivariat melalui pernyataan
w2it = w02iexp [σi
√ tw2i]
dengan wt2i nilai hari ini dan σi adalah perubahan periode tunggal dari komponen ke i peubah acak w2.
c. Pembentukan skenario menggunakan model vektor autoregressi
Model vektor Autoregressi dapat dipakai untuk membentuk skenario. Dalam hal ini diambil ilustrasi tentang sistem simulasi Asset Liablity Management (ALM) untuk dana pensiun. Karena cakupan dari sistem ini selalu dibatasi pada keputusan strategis jangka panjang model investasi hanya memprak-tekkan kumpulan kecil dari kelas aset yang besar yaitu deposito, bond, real
44
estate dan saham. Terpisah dari perolehan atas aset-aset ini, setiap skenario harus mengandung informasi tentang pertumbuhan gaji masa datang untuk menghitung nilai masa datang pensiun.
Model vektor autoregresi untuk membentuk skenario perolehan aset dan pertumbuhan gaji adalah
Rt= c + V ht−1+ εt, εt∼ N (o, Q), t = 1, 2. . . . , T
Rit= ln(1 + πit), i = 1, 2, . . . , m, t = 1, 2, . . . , T
Dengan m jumlah deret waktu aset, φit laju perubahan diskrit dari peubah i ditahun t, Rt vektor dimensi-m dari laju majemuk, c vektor koefisien berdimensi m, V adalah matriks koefisien m × m, εt vektor dimensi m dari pencilan dan Q matriks kovariansi m × m
Spesifikasi model vektor autoregressi harus dipilih secara hati-hati, walaupun beberapa hubungan inter-temporal diantara perolehan mungkin signifikan lemah yang didasarkan pada data historis, tidak berakibat bahwa hubungan ini juga bermanfaat untuk membentuk skenario.
ALGORITMA PEMBENTUKAN SKENARIO UNTUK PROGRAM STOKASTIK LINIER TAHAP GANDA