Pemodelan Pohon Skenario Untuk Program Stokastik Tahap Ganda

PEMODELAN POHON SKENARIO UNTUK

PROGRAM STOKASTIK TAHAP GANDA

TESIS

Oleh

RUSLI TARIGAN 097021007/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

PEMODELAN POHON SKENARIO UNTUK

PROGRAM STOKASTIK TAHAP GANDA

TESIS

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat

Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Oleh

RUSLI TARIGAN 097021007/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Judul Tesis : EMODELAN POHON SKENARIO UNTUK PROGRAM STOKASTIK TAHAP GANDA Nama Mahasiswa : Rusli Tarigan

Nomor Pokok : 097021007 Program Studi : Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc)

Ketua Anggota

Ketua Program Studi, Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)

Telah diuji pada Tanggal 16 Juni 2011

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang

Anggota : 1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc 2. Prof. Dr. Tulus, M.Si

ABSTRAK

Program stokastik multi tahap yang terdiri dari representasi aproksimasi dari proses input stokastik (multivariat) dapat diselesaikan dengan membentuk po-hon scenario. Dalam tesis ini pendekatan maju dan pendekatan mundur dikem-bangkan untuk menghasilkan pohon skenario dari fan skenario-skenario awal. Ke-dua pendekatan ini dimotivasi oleh hasil stabilitas untuk nilai optimal dari pro-gram stokastik multitahap. Kedua pendekatan ini didasarkan pada batas atas untuk kedua unsur relevan taksiran stabilitas yaitu probabilistik dan jarak filtrasi. Batasan-batasan memungkinkan untuk dapat mengontrol proses reduksi skenario rekursif dan pencabangan.

ABSTRACT

The program of stochastic in multi-phase comprising the representation of approx-imation by stochastic input process in multi-variant can be settled with producing a scenario tree. In this study, both forward and backward approaches is allowable to generate the scenario tree from earlier scenarios fan. This all approaches have been motivated by result of stability for an optimal point from program of multi-phase stochastic. This both approaches is based on upper limit on both relevant term in stability assessment namely probabilistic and filtration distance. Prohibits is allowable to control process reduction of recursive scenarioand grafting.

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa yang telah memberikan rahmat dan karuniaNya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan tesis yang berjudul : ”Pemodelan Pohon Skenario Untuk Program Stokastik Tahap Ganda”.

Tujuan dari penulisan tesis ini adalah untuk memenuhi salah satu syarat dalam memperoleh gelar Magister Sains (M.Si) pada program studi Magister Ma-tematika Fakultas MaMa-tematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara Medan.

Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah memberi bantuan yang sangat berharga dalam penyusunan tesis ini. Dan secara khusus ucapan ini disampaikan kepada :

Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc (CTM) Sp. A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara Medan.

Bapak Prof. Dr. Ir. A. Rahim Matondang, MSIE selaku Direktur Sekolah Pasca Sarjana Universitas Sumatera Utara Medan.

Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Penge-tahuan Alam Universitas Sumatera Utara Medan.

Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara dan juga selaku pembimbing I serta Bapak Prof. Dr. Opim Salim S. M.Sc selaku pembimbing II yang telah banyak memberi bantuan berupa saran dalam penulisan tesis ini.

Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matema-tika FMIPA USU yang telah banyak memberi saran dan motivasi selama perkuli-ahan sehingga penulis dapat menyelesaikan perkuliperkuli-ahan tepat waktu.

Bapak Dirjen DIKTI yang telah memberikan beasiswa BPPS kepada penulis.

Bapak Koordinator Kopertis Wilayah I Sumatera Utara yang telah memberi izin kuliah di SPs Universitas Sumatera Utara Medan.

Seluruh staf administrasi SPs USU, Ibu Misiani, S.Si yang telah memberi pelayanan yang baik kepada penulis.

Bapak Ketua Yayasan dan Ketua Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) Budidaya Binjai yang telah mendorong semangat dalam mengikuti perku-liahan di SPs Program Studi Magister Matematika USU Medan.

Kedua orang tua penulis S. Tarigan (Alm) dan K. Br. Sitepu yang telah mendoakan penulis dalam menyelesaikan perkuliahan.

Istri dan anak-anak tercinta yang telah memberi dorongan dengan penuh kesabaran semoga anak-anakku dapat lebih berprestasi dari orang tua.

Serta semua pihak yang telah turut membantu dalam perkuliahan dan penulisan tesis ini hingga selesai. Kiranya tesis ini bermanfaat, semoga.

Medan, 16 Juni 2011

Penulis,

RIWAYAT HIDUP

Rusli Tarigan dilahirkan di Telagah Kecamatan Sei Bingai Kabupaten Langkat pada tanggal 6 Agustus 1956 merupakan anak pertama dari S. Tarigan (Alm) dan K. Br. Sitepu. Masuk sekolah dasar di SD Negeri Bekancan dan setelah duduk di kelas VI pindah ke SD Negeri 11 Binjai dan tamat pada tahun 1969, melanjutkan pendidikan ke SMP Negeri 1 Binjai tamat pada tahun 1972, kemudian melan-jutkan pendidikan ke SMA Negeri 1 Binjai dan tamat pada tahun 1975. Pada tahun 1976 melanjutkan pendidikan ke Fakultas Ilmu Pasti dan Ilmu Pengetahuan Alam (FIPIA) Universitas Sumatera Utara yang sekarang Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara. Pada tahun 1981 mendapat gelar Baccalaureat lengkap dan memperoleh gelar Sarjana Muda (B.Sc) dan terus melanjutkan studi ke tingkat doctoral.

Pada tahun 1985 penulis menikah dengan R. Br. Ginting dan sampai saat ini dikaruniai dua orang anak Elianna Merysna Br. Tarigan,SE dan David Jonathan Tarigan, ST.

Pada tahun 1988 penulis menyelesaikan studi dan memperoleh gelar sarjana (S1).

Pengalaman mengajar dari tahun 1978 sampai 1992 di berbagai sekolah swasta di Kotamadya Binjai dan Kabupaten Langkat dan pada tahun 1993 diangkat men-jadi CPNS di Kopertis Wilayah I Sumatera Utara dan sampai saat ini sebagai dosen DPK diperbantukan di STKIP Budidaya Binjai.

DAFTAR ISI

Halaman

ABSTRAK i

ABSTRACT ii

KATA PENGANTAR iii

RIWAYAT HIDUP v

DAFTAR ISI vi

DAFTAR TABEL vii

DAFTAR GAMBAR viii

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 3

1.3 Tujuan Penelitian 4

1.4 Manfaat Penelitian 4

1.5 Metodologi Penelitian 4

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 5

BAB 3 PROGRAM STOKASTIK 10

3.1 Pengertian Program Stokastik 10

3.2 Jarak dan Reduksi Skenario 12

3.3 Stabilitas model multi-tahap 17

BAB 4 MENAKSIR JARAK FILTRASI 20

BAB 5 KESIMPULAN 28

DAFTAR TABEL

DAFTAR GAMBAR

ABSTRAK

Program stokastik multi tahap yang terdiri dari representasi aproksimasi dari proses input stokastik (multivariat) dapat diselesaikan dengan membentuk po-hon scenario. Dalam tesis ini pendekatan maju dan pendekatan mundur dikem-bangkan untuk menghasilkan pohon skenario dari fan skenario-skenario awal. Ke-dua pendekatan ini dimotivasi oleh hasil stabilitas untuk nilai optimal dari pro-gram stokastik multitahap. Kedua pendekatan ini didasarkan pada batas atas untuk kedua unsur relevan taksiran stabilitas yaitu probabilistik dan jarak filtrasi. Batasan-batasan memungkinkan untuk dapat mengontrol proses reduksi skenario rekursif dan pencabangan.

ABSTRACT

The program of stochastic in multi-phase comprising the representation of approx-imation by stochastic input process in multi-variant can be settled with producing a scenario tree. In this study, both forward and backward approaches is allowable to generate the scenario tree from earlier scenarios fan. This all approaches have been motivated by result of stability for an optimal point from program of multi-phase stochastic. This both approaches is based on upper limit on both relevant term in stability assessment namely probabilistic and filtration distance. Prohibits is allowable to control process reduction of recursive scenarioand grafting.

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Program stokastik multiperiode sering digunakan untuk memodelkan proses keputusan praktis seiring berjalannya waktu dan dengan ketidakpastian, misalnya dalam keuangan, produksi, energi dan logistik. Inputnya adalah proses stokastik multivariat {ξt}Tt=1 yang didefenisikan atas ruang probabilitas (ΩFP) di mana Ω

adalah himpunan ruang sampel,F adalah σ- field dan P adalah peluang dengan ξt mengambil nilaiRd. Keputusanxtpadatyang merupakan elemen dariRmt diasum-sikan nonantisipatif, yaitu hanya tergantung pada (ξ1, . . . , ξt). Sifat ini ekuivalen

dengan keterukuran xt terhadap σ-field F1 ⊆ F, yang dihasilkan oleh ξt; = ξt).

Yang jelas, diperolehF1 ⊆ Ft+1 untuk t= 1, . . . T −1. Karena pada waktu t= 1

input diketahui, diasumsikan bahwaFt={∅,Ω}dan, tanpa kehilangan keumuman bahwaFT =F. Pflug, (2001)

Program stokastik multiperiode diasumsikan berbentuk:



dimana himpunan bagian Xt dan Rmt adalah tak kosong dan polyhedral koefisien biaya b1(ξt) merupakan elemen dari {R}mt, ruas kanan ht(ξt) adalah

matriks-(nt, m−1). Diasumsikan bahwabt(.), ht(.) dan at,1(.) tergantung affine linier pada

ξt yang mencakup situasi bahwa sebagian komponen dari bt dan ht, dan elemen-elemen dari At,1adalah acak. Eichhorn et al. (2005)

2

disebuttahap-ganda. Keberadaan batasan-batasan yang berbeda secara kualitatip sedemikian merupakan asal dari tantangan teoritis dan tantangan perhitungan dari model tahap-ganda.

Pendekatan perhitungan utama terhadap program stokastiktahap-ganda ter-diri dari aproksimasi proses stokastik ξ ={ξt}Tt=1 dengan proses yang mempunyai

skenario yang banyaknya berhingga yang menunjukkan struktur pohon dan dim-ulai pada elemen tetap ξ1 dari Rd. Ini menghasilkan model program linier yang

berskala sangat besar dalam sebagian besar kasus dan bisa diselesaikan dengan metode dekomposisi yang mendeksploitasi struktur spesifik model. Ruszczynski dan Shapiro (2003).

Sekarang ini, ada beberapa pendekatan untuk menghasilkan tree skenario un-tuk program stokastik multi tahap. Terdapat beberapa Pendekatan unun-tuk meng-hasilkan pohon skenario untuk program stokastik tahap ganda. Pendekatan terse-but didasarkan pada beberapa prinsip yang berbeda, yaitu :

1. Kontruksi berbasis batas.

2. Skema berbasis-Monte Carlo atau metode berbasis-EVPI dalam skema dekom-posisi.

3. Prinsip sampel dan reduksi berbasis-EVPI dalam skema dekomposisi.

4. Prinsip pencocokan momen.

5. Aproksimasi berbasis metrik probabilitas.

Banyak diantaranya mengharuskan penetapan struktur tree dan menawarkan strategi yang berbeda untuk pemilihan skenario. Juga pentingnya mengevaluasi kualitas tree skenario dan analisa pascaoptimalitas.

3

atau non parametric dari ξ. Dengan berawal dari ˆξ, dikembangkan ξtr dengan menghapus dan membendel skenario-skenario secara rekursif. Walaupun metode rekursif yang dibahas dalam Growe Kuska et al. (2003) bekerja mundur dalam waktu, metode maju ada diajukan dalam Heitsch dan Romisch (2003). Tujuan dari tesis ini ada dua:

1. Untuk kedua (mundur dan maju) teknik pengembangan tree diperoleh tak-siran error untuk jarak Lr

ξˆ−ξtr

r

2. Batas atas diperoleh untuk jarak filtrasi ˆξ dan ξtr, yang memungkinkan da-pat memperoleh struktur filtrasi dari proses input awal ξ secara aproksi-masi. Penggunaan jarak filtrasi bersama-sama dengan pemilihanr ≥1 untuk jarak-Lr dimotivasi oleh hasil stabilitas. Dengan cara ini, heuristik berbasis-teori (stabilitas) dikembangkan yang menghasilkan tree skenario yang men-gaproksimasi distribusi probabilitas dan strukur filtrasi dari ξ secara simul-tan.

Metode pengembangan tree mundur dan maju diimplementasikan dan ditest atas data kehidupan nyata dalam beberapa aplikasi praktis, yaitu untuk meng-hasilkan tree skenario permintaan penumpang dalam managemen pendapatan pe-rusahaan penerbangan dan untuk tree skenrio harga beban dalam managemen protofolio listrik Eichhorn A. et al. (2005). Dengan memasukkan jarak filtrasi ke dalam skema pengembangan tree mundur atau maju tidak ada ditest sampai sejauh ini.

Bagian 2 memuat beberapa prasyarat untuk jarak distribusi probabilitas dan vector acak, dan pengantar singkat untuk reduksi skenario . Bagian 3 mencatat hasil stabilitas utama dari yang memberikan dasar pengembangan tree. Bagian 4 memuat hasil-hasil utama tesis ini, khususnya, algoritma pengembangan tree dan taksiran error masing-masing dalam bentuk jarak -Lr dan jarak filtrasi.

1.2 Perumusan Masalah

4

kemungkinan-kemungkinan kejadian sehingga informasi skenario tahap ganda da-pat dibentuk ke dalam struktur pohon.

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk memperoleh model pohon skenario dalam mendukung proses pengambilan keputusan yang mengandung ketidakpas-tian dalam persoalan-persoalan stokastik tahap ganda.

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat penelitian ini adalah dengan diperolehnya model pohon sekanrio da-pat digunakan untuk pengambilan keputusan yang sering muncul dalam bidang energi, financial, logistik dan menagemen portofolio listrik dalam skala luas.

1.5 Metodologi Penelitian Penelitian ini membahas pemodelan skenario ter-hadap persoalan keputusan dengan ketidakpastian tahap ganda. Sebagai langkah awal dibicarakan konsep dasar program stokastik dan program stokastik tahap ganda.

Program stokastik tahap ganda yang dikaji bertujuan untuk membentuk model pohon skenario. Setiap sekanrio diberikan nilai probabilitas untuk mere-fleksikan kemungkinan kejadiannya.

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

Banyak konsep program stokastik tahap ganda telah dikembangkan. Filosofi dasar dari model metode pemodelan skenario diajukan oleh Hoyland dan Wallace (2001). Para pengguna menyatakan bahwa penjualan yang diharapkan dalam distibusi marginal pada tiap-tiap kelas asset akan berkorelasi antara perbedaan kelas as-set dan sifat-sifat statistik yang lain. Idenya adalah meminimumkan jarak antara sifat-sifat statistik dari hasil yang sudah dibangun dan sifat-sifat statistik tertentu.

Masalah pemodelan pohon skenario untuk program matematika sudah ban-yak dibahas oleh peneliti. Biasanya persoalan pembentukan pohon skenario muncul pada program stokastik dua tahap dan tahap ganda. Dalam tesis ini diuraikan se-cara singkat beberapa metode yang pernah diajukan.

Heitsch dan R?misch (2003) mengajukan alogritma untuk mereduksi ske-nario dalam program skokastik. Mereka memperhatikan program stokastik kon-veks dengan sebuah pendekatan distribusi peluang awal P yang mempunyai ske-nario dengan jumlah berhingga. Program stokastik yang dimaksud akan stabil terhadap gangguan dari P yang terukur pada Forter-Mourier probability metriks. Persoalan reduksi skenario optimal akan berada pada penentuan ukuran peluang yang dibantu oleh sebuah subset pada P dari penentuan kardinalitas dan yang paling dekat terhadap P pada sebuah metriks peluang. Dua versi baru algo-ritma tipe forward dan backward diberikan untuk menghitung sehingga ukuran peluang yang direduksi optimal. Bandingkan dengan versi lama, pelaksanaan per-hitungan (akurasi, waktu menjalankan) dari algoritma yang baru telah diperbaiki (lebih baik). Hasil secara numerik yang telah dilaporakan digunakan untuk keja-dian berbeda dari pohon skenario dengan perhitungan optimal pada batas terkecil. Contoh-contoh pengujian juga termasuk pohon skenario ternary menyatakan proses bermuatan listrik mingguan dalam model manajemen power.

6

dan tahap ganda. Algoritma yang diberikan untuk membangun sebaran diskrit tertentu oleh empat momen marginal pertama dan korelasi. Pohon skenario dikon-struksikan oleh dekomposisi masalah multivariate menjadi univariate, dan meng-gunakan prosedur iterative dengan kombinasi simulasi. Dekomposisi Cholesky dan bermacam-macam transformasi untuk mendapatkan korelasi yang tepat. Pengu-jian mereka menunjukkan bahwa algoritma yang baru secara substansial lebih cepat daripada algoritma Benchmark. Kecepatan akan meningkat sebanding dengan jumlah pohon dan lebih besar dari 100 kali pada kasus 20 variabel acak dan 1000 skenario.

Kaut dan Wallace (2003) mengajukan evaluasi dari metode pembangun ske-nario untuk program stokastik. Mereka mendiskusikan kualitas/keserasian (ke-cocokan) dari metode pembangun skenario untuk model program stokastik yang diberikan. Mereka memformulasi persyaratan minimal yang akan ditetapkan (di-tentukan) pada metode pembangun skenario sebelum digunakan untuk menye-lesaikan model program stokastik. Mereka juga menunjukkan bagaimana per-syaratan dapat diuji. Prosedur pengujian metode pembangun skenario diilus-trasikan pada kasus manajemen portofolio. Sebagai tambahan mereka juga mem-berikan ulasan singkat metode pembangun skenario.

7

Casey dan Sen (2005) mengajukan algoritma pembentukan skenario untuk program linier stokastik tahap ganda. Program linier stokastik tahap ganda adalah rangkaian model optimisasi stokastik dimana fungsi dan kendalanya linier. Ketika variable acak digunakan pada program linier stokastik tahap ganda adalah variable kontinu. Masalah tersebut adalah dimensi tak terbatas, sehingga perhitungannya harus ditukar ke dalam bentuk dimensi terbatas. Berikut ini akan diberikan ulasan singkat mengenai metode pembentukan skenario. Metode dibahas meliputi Pure Skenario-generation methods dan Related methods.

Pure Skenario-generation methods meliputi:

1. Conditional sampling

2. Sampling dari korelasi dan marginal tertentu

3. Moment matching

4. Path-based methods

5. Optimal discretization

Sedangkan Related methods meliputi reduksi skenario dan internal sampling methods.

bf Conditional Sampling

Metode traditional sampling dapat mengambil sampel hanya dari variable univariate random. Ketika perlu mengambil sampel vector acak, maka perlu untuk setiap sampel marginal untuk dipisahkan (menjadi komponen univeriate). Biasanya sampel dikombinasi oleh semua univariate, yang menghasilkan vektor variable acak independen. Persoalannya adalah ukuran dari pertambahan pohon berkembang secara eksponensial dengan dimensi vektor acak. Jika diambil skenario

s dengan k marginal, maka akhir diperoleh sk _skenario.

8

Terdapat banyak cara memperbaiki sampling algoritma. Sebagai ganti dari Pure sampling dapat digunakan integration quadratures atas low discrepancy se-quences seperti yang diajukan oleh Pennanen dan Koivu (2005).

Sampling dari marginal tertentu dan Korelasi

Seperti yang sudah dibahas sebelumnya, metode traditional sampling mem-punyai masalah membangun vector multivariate, khususnya jika mereka berkore-lasi. Walaupun demikian, terdapat sampling based methods untuk menyelesaikan masalah ini dengan menggunakan bermacam-macam transformasi.

Moment Matching

Metode sebelumnya dapat dipakai (digunakan) jika diketahui distribusi fungsi marginalnya. Jika distribusi fungsi marginalnya tidak diketahui, dapat digam-barkan marginal oleh momen mereka (rataan, variasi, kurtosis dan lain-lain) seba-gai gantinya.

Path-Baset Methods

Metode ini diawali oleh membangun path lengkap yaitu skenario, oleh pe-ngembangan proses stokastik (ξt). Hasil dari tahap ini bukanlah pohon skenario, tetapi kumpulan path yang dikenal sebagai fan. Untuk mentransformasikan fan menjadi pohon skenario, skenario yang diperoleh dikelompokkan bersama (dibatasi), semuanya tetapi tidak periode sebelumnya. Proses ini dikenal sebagai pengelom-pokan, metode ini dapat ditemukan pada Dupacova et al. (2000).

Optimal Discretization

9

Reduksi Skenario

Ini adalah metode untuk penurunan banyaknya garis. Metode ini bertujuan untuk menentukan subset skenario dari kardinal yang ditentukan, dan pengukuran peluang yang didasarkan pada himpunan yang paling dekat dengan distribusi awal dengan menggunakan matriks peluang. Metode ini digambarkan dalam Dupacova et al. (2003).

BAB 3

PROGRAM STOKASTIK

3.1 Pengertian Program Stokastik

Banyak persoalan pengambilan keputusan dapat dimodelkan dengan meng-gunakan program matematika yang tujuannya untuk mendapatkan hasil yang mak-simal atau minimal. Keputusan yang dihasilkan akan bergantung kepada kendala yang dibatasi oleh sumber dana, persyaratan minimum dan lain-lain. Keputusan dinyatakan oleh variabel dapat berupa bilangan cacah atau nonnegatif. Tujuan dan kendala adalah fungsi dari variabel, dan persoalan data. Sebagai contoh dari persoalan data termasuklah biaya perunit, rata-rata produksi, penjualan atau ka-pasitas.

Andaikan keputusan dinyatakan oleh variable (x1, x2, . . . , xn). Sebagai

con-toh x1 menyatakan produksi ke-i dari n produk. Bentuk umum program

matem-atikanya adalah:

minf(x1, x2, x3, . . . xn)

Kendala q1(x1, x2, x3, . . . xn)≤0

q2 (x 1,x 2,x 3, ...x n) 6 0

qm (x 1,x 2,x 3, ...x n) 60

(x1,x 2,x 3, ...x n)∈ X

(3.1)

dimanaX adalah himpunan bilangan real non negatif

Stokastik programming adalah program matematika yang dapat berupa lin-ear, cacah, cacah campuran, non linear tetapi dengan menampilkan elemen stokastik pada data. Oleh karena itu dapat dinyatakan bahwa :

1. Pada program matematika deterministik, data (koefisien) adalah bilangan-bilangan yang diketahui (tertentu).

11

Program stokastik merupakan program matematika dengan situasi (yang me-ngandung) ketidakpastian. Program stokastik adalah merupakan program mate-matika, dimana beberapa data yang termuat pada tujuan atau kendala mengan-dung ketidakpastian, ketidakpastian biasanya dicirikan oleh ditribusi peluang pada parameter. Walaupun ketidakpastian didefenisikan dengan tepat tetapi pada prak-teknya diberikan beberapa skenario (hasil yang mungkin dari data) yang spesifik dan distribusi peluang gabungan yang cepat. Hasil-hasil secara umum digam-barkan pada elemenω ∈ W. Ketika beberapa data acak, maka penyelesaian dan nilai tujuan optimal untuk masalah optimisasi juga acak.

Ada dua tipe permasalahan program stokastik, yaitu :

1. Model Rekursif

2. Model Kendala Berpeluang

Suatu cara logis yang diperlukan dalam persoalan adalah membuat sebuah kepu-tusan sekarang dan meminimumkan biaya rata-rata harapan (yang digunakan) se-bagai konsekuensi dari keputusan. Paradigma ini dikenal sese-bagai Model Rekursif. Andaikan x adalah vektor keputusan yang diambil, dan y(ω) adalah sebuah vek-tor keputusan yang menyatakan aksi terbaru atau konsekuensi dari x. Himpunan berbeda yang berisiy akan dipilih dari tiap-tiap hasil yang mungkin dari ω. For-mulasi dua tahapnya adalah :

minf1(x) + nilai harapan[f2(y(ω), ω)]

kendala q1(x)≤0, . . . qm(x)≤0

h1 (x, y(ω)) 60, untuk setiap ω∈W

hk (x, y(ω)) 60, untuk setiap ω ∈W

x∈X,y(ω)∈Y

(3.2)

12

mungkin. Fungsi f2 merupakan penyelesaian yang sering muncul dari persoalan

matematika. Tidak dibutuhkan untuk membuat korelasi yang berubah-ubah (re-course) untuk keputusan tahap pertama, perlu untuk dibuat korelasi yang terbaik.

Model Rekursif dapat diperluas dengan banyak cara. Untuk persoalan tahap ganda, pengaruh keputusan sekarang akan ditunggu untuk beberapa ketidakpas-tian yang diselesaikan kembali (direalisasikan), sehingga pembuatan keputusan yang lain didasarkan pada apa yang terjadi. Tujuannya adalah untuk memini-mumkan biaya yang diharapkan dari semua keputusan yang diambil.

Pada beberapa kasus, dapat digunakan suatu metode yang lebih tepat untuk mencoba menentukan sebuah keputusan, yang mana keputusan tersebut dijamin oleh himpunan kendala yang akan dipenuhi oleh sebuah peluang tertentu. Model umum kendal berpeluang dirumuskan sebagai berikut :

minf(x1, x2, x3, . . . xn)

Kendala Pr(x1, x2, x3, . . . xn)≤0

qm (x 1,x 2,x 3, ...x n) 6 06 0

h1 (x 1,x 2,x 3, ...x n) 60

h2 (x 1,x 2,x 3, ...x n) 60

x 1,x 2,x 3, ...x n ∈ X

(3.3)

3.2 Jarak dan Reduksi Skenario

Dalam stabilitas kuantitatip program stokastik tanpa batasan informasi, metrik probabilitas untuk mengukur jarak distribusi probabilitas memegang peranan utama. Khususnya, jarak yang diberikan dalam bentuk persoalan transportasi massa Monge-Kantorovich menjadi relevan. Persoalan tersebut berbentuk

inf

Z

Ξ×Ξ

cξξ˜ηdξ, dξ˜:η∈P (Ξ×Ξ), π2η=Q

(3.4)

di mana Ξ adalah himpunan bagian tertutup dari ruang Euclidean, π1 dan π2

13

Pc(Ξ) dari ukuran-ukuran probabilitas atas Ξ, yang dipilih sedemikian rupa se-hingga semua integral yang muncul adalah berse-hingga. Dua tipe fungsi biaya digu-nakan dalam analisa stabilitas, yaitu :

cξξ˜:=

yang mengandung Ξ. Dalam kedua kasus, himpunan Pc(Ξ) bisa dipilih sebagai himpunan Pr(Ξ) dari semua ukuran probabilitas atas Ξ yang mempunyai momen absolut berorde r. Biaya (3.5) menghasilkan metrik Lr-minimal ℓr, yang didefin-isikan dengan

dan kadang-kadang juga disebut metrik Wasserstein berorde r. Persoalan trans-portasi massa (3.4) dengan biaya (3.6) mendefinisikan fungsional Monge-Kantorovich ˆ

µr Suatu varian dari fungsional ˆµr muncul jika, dalam definisinya (3.4), syarat

η ∈ P(Ξ× Ξ), π1η = P, π2η = Q diganti dengan η, yang merupakan ukuran

berhingga atas Ξ×Ξ, sedemikian sehingga π1ηπ2η = P Q. Fungsional yang

ber-sesuaian µ◦

r menjadi metrik atas Pr(Ξ). Itu disebut metrik Forter-Mourier berorde

r. Konvergensi dari barisan ukuran-ukuran probabilitas terjadap metrik ℓr mau-punµ◦

r ekuivalen dengan konvergensi lemahnya dan konvergensi momen absolutnya berorder.

14

pada jarak distribusi probabilitas bisa gagal. Heitsch dan Romisch, (2003) sta-bilitas kuantitatip dari program stokastik multi-tahap (1.1) dibuktikan terhadap jumlah dua jarak, yaitu norm

kξk_r := but dengan informasi atau jarak filtrasi. Yang disebut terakhir ini didefinisikan dalam bentuk|| · ||_r′ dengan r

′

tergantung pada r.

Misalkan ξdan ˜ξadalah vektor-vektor acak atas ruang probabilitas (Ω,F,P) dengan distribusi probabilitas P dan Q. Karena distribusi probabilitas ˜η dari pa-sangan (ξ,ξ˜) vektor acak bernilai-Ξ layak untuk persoalan minimisasi (3.7), diper-oleh

Selain itu, karena penyelesaian optimal η∗ _{∈ P(Ξ × Ξ) dari persoalan}

trans-portasi massa (3.7) selalu ada, terdapat ruang probabilitas dan sepasang vektor acak bernilai-Ξ, yang disebut juga denganperangkaian optimal, yang didefinisikan atasnya, sedemikian sehingga distribusi probabilitas dari pasangan tiada lain sama dengan η∗_{. Karenanya, kesamaan sah dalam (3.8) atas ruang probabilitas. Fakta}

ini membenarkan metrikLr-minimal untuk ℓr.

Sekarang, misalkan ξ dan ˜ξ adalah vektor-vektor acak diskrit masing-masing dengan skenarioξi _{dengan probabilitas p}

i, i= 1, . . . , N, dan ˜ξj dengan probabilitas

r(P, Q) adalah nilai optimal dari persoalan transportasi linier. Kasus khusus penting terdiri dari situasi bahwa M < N dan bahwa skenario Q membentuk himpunan bagian{ξj_}j

Mula-15

mula ingin diselesaikan masalah penentuan aproksimasi terbaik dariP terhadapℓr dengan ukuran probabilitas QJ yang didukung oleh himpunan (skenario){ξj}j6∈J, yaitu untuk menentukan jarak minimalDJ dan penyelesaian optimal {q¯j :j 6∈J} sedemikian sehinggaℓr(P, QJ) diminimalkan atas simplex{q :qj ≥0,P_j6∈Jqj = 1}.

di mana i(j) didefinisikan seperti dalam Lemma 2.1, diperoleh

kξ−ξJkr_r = P

Karenanya, jarak ℓr(P, QJ) adalah minimal jika QJ adalah distribusi probabilitas dariξJ. Akibatnya, reduksi skenario terhadap jarak Lr-minimal sebagai alternatip bisa dianggap terhadap norm ? ?r atas ruang probabilitas spesifik ini.

Dengan menggunakan rumus eksplisit (3.10), persoalan reduksi optimal untuk himpunan indeks skenarioJ dengan kardinalitas yang ditetapkan|J|=N−ndari

P diberikan oleh model optimisasi kombinatorial

16

Untuk kedua kasus ekstremal n = N − 1 dan n = 1 persoalan (3.11) adalah berbentuk

min

i∈{1,...,N}Pjmini /∈J kξ

i _−ξj_kr_{(n =N −1) dan min} u∈{1,...,N}

P

j=1

j6=u

pjkξi −ξjkr(n = 1)

dan bisa diselesaikan dengan mudah. Penyelesaiannya J = {l∗} dan J = {1, . . . , N}\{u∗} muncul sebagai hasil dari dua proses yang berbeda: Reduksi mundur dan seleksi maju. Kedua ide proses bisa diperluas dan menghasilkan ke-dua heuristik berikut untuk penentuan penyelesaian aproksimasi (3.11). Hasilnya adalah masing-masing himpunan indeksJ[N−n]_danJ[n]_{dari skenario yang dihapus}

dan mempunyai kardinalitas N −n.

Algoritma 2.2(Reduksi mundur)

Tahap [0] :J[0]_:=∅.

Tahap [i] :li ∈arg min i /∈j[i−1]

P

k∈J[i−1]∪{l}

pj min

k∈j[i−1]_∪{l}

ξk −ξj

r

J[i]_:=J[i−1]_{∪ {l}

i}.

Tahap [N −n+ 1]: Redistribusi optimal.

Algoritma 2.3 (Seleksi maju)

Tahap [0] :J[0]_{:={1, . . . , N}.}

Tahap [i] :ui ∈arg min u∈j[i−1]

P

k∈J[i−1]∪{u}

pk min

j∈J[i−1]_\{u}

ξk −ξj

r

J[i]_:=J[i−1]_\{ui}.

Tahap [N −n+ 1]: Redistribusi optimal.

17

3.3 Stabilitas model multi-tahap

Dalam stabilitas model multi tahap Heitsch dan Romisch, (2003) diasumsikan bahwa proses input stokastikξmerupakan anggota dari ruang BanachLr(Ω,FP;Rs) dan r ≥1. Model multi-tahap (1.1) dianggap sebagai persoalan optimisasi dalam ruangLr(Ω,F_P;Rm) dengan m=PT

t=1mt dan dilengkapi dengan norm

kXk_r′ :=

_T P

t=1

Ehkxtkr′i

_r1′

(1 6r′_{<∞) atau kXk}

∞:= max_t=1,...,TesssupkXtk

di mana bilangan r′ _{didefinisikan dengan}

r′:=

      

     

r

r+1 , jika hanya biaya yang acak

r , jika hanya ruas kanan yang acak

r= 2 , jika hanya biaya dan uras kanan yang acak ∞ , jika semua matriks teknologi acak dan r = T.

(3.12)

Jika dimasukkan beberapa notasi. Misalkan F menotasikan fungsi tujuan yang didefinisikan atasLr(Ω,F_P;Rs)×Lr(Ω,F_P;Rm)→_RolehF(ξ, x) :=EhPT

t=1

hbt(ξt), xti],misalkan

χt(xt−1;ξt) :={xt∈Xt(At,0xt+At,1(ξt)xt−1 =ht(ξt)}

menotasikan himpunan kelayakan ke-t untuk setiap t= 2, . . . , T dan

χ(ξ) :={x= (x1, x2, . . . , xT)∈ ×Tt=1L′r(Ω,FP;Rm)|x1 ∈X1, xt∈χt(xt−1;ξt)}

himpunan elemen-elemen layak dari (1.1) dengan input Ξ. Maka program stokastik multi-tahap (1.1) bisa ditulis kembali sebagai

min{F(ξ, x) :x∈χ(ξ)}. (3.13)

Lebih jauh lagi, misalkanv(ξ) menotasikan nilai optimal dan misalkan, untuk setiap

α≥0,

lα(F(ξ,)) :={x∈χ(ξ) :F(ξ, x)≤v(ξ) +α}

18

Syarat-syarat berikut ditetapkan untuk (3.13) :

(A1)Terdapat δ >0 sedemikian sehingga untuk setiap ˜ξ∈Lr(Ω,FP;Rs) dengan

lokal di sekitarξ).

(A2) Nilai optimal v(ξ) dari (3.13) adalah berhingga dan fungsi tujuan T adalah terbatas-tingkat secara lokal secara seragam diξ, yaitu untuk suatuα >0 terdapat

δ >0 dan himpunan bagian terbatas B dari L′

r(Ω,F,P;Rm) sedemikian sehingga

sini, Df(ξ,ξ˜) menotasikan jarak filtrasi dari ξ dan ξ˜yang didefinisikan dengan

Df

Sebuah contoh dalam Heitsch dan Romisch, (2003) menunjukkan bahwa jarak filtrasiDf sangat penting agar Teorema 3.1 berlaku. Jarak filtrasi dari dua proses stokastik hapus jika filtrasi-filtrasi berimpit, khususnya, jika model adalah dua-tahap (yaitu, T = 2). Jika penyelesaian dari (3.13) dengan input ξ dan ˜ξ ada, maka jarak filtrasi adalah dengan bentuk yang disederhanakan

19

Sebagai contoh misalnya, penyelesaian (3.13) ada jika Ω berhingga atau jika 1 < r′ _{< ∞ yang mengimplikasikan bahwa ruang L}′

r adalah ruang Banach dimensi-berhingga atau ruang Banach refleksif (karenanya, himpunan tingkat adalah kom-pak atau komkom-pak lemah secara barisan).

Teorema 3.1 sah untuk setiap pilihan ruang probabilitas utama sedemikian sehingga terdapat suatu versiξ dengan distribusi probabilitasnya. Ruas kanan dari (3.14) adalah minimal jika ruang probabilitas diseleksi sedemikian rupa sehingga baik norm k·k_r maupun k·k′_r berimpit dengan jarak Lr-minimal dan L′

BAB 4

MENAKSIR JARAK FILTRASI

Misalkanξ adalah aproksimasi (diskrit) dari proses stokastik awal dan ˜ξ = ˜ξtr adalah proses yang diperoleh dengan menggunakan salah satu dari tiga pendekatan konstruksi tree. Sampai sejauh ini dapat ditaksir bahan pokok pertama

ξ−ξ˜tr

r dari taksiran stabilitas (3.14) dalam Teorema 3.1. Di sini, diperoleh taksiran untuk bahan pokok keduaDf(ξ,ξ˜tr) dan dikembangkan strategi untuk mengontrol proses pembentukan tree dengan membatasi kedua jarak.

Selanjutnya, diperhatikan dua proses stokastikξ dan ˜ξ yang diberikan dalam bentuk tree skenario. Diasumsikan bahwa syarat (A1) dan (A2) dari bab 3 dipenuhi dan diperoleh taksiran untuk batas

Df

dari masing-masing jarak ξ dan ˜ξ yang didefinisikan oleh (3.15). Di sini, x dan ˜x

adalah penyelesaian dari (3.13) dengan input masing-masingξdan ˜ξdanr′

didefin-isikan oleh (3.12). Untuk ini, diasumsikan bahwa ξ = {ξt}t=1 dan ˜ξ = {ξ˜t}Tt=1

didefinisikan atas ruang probabilitas (Ω,F,_P) dengan Ω ={ψ1, . . . , ψN},F meno-tasikan himpunan kuasa dari Ω dan P(ψi) = pi, i = 1, . . . , N. Misalkan It dan ˜It menotasikan himpunan indeks masing-masing dari realisasiξt dan ˜ξt. Lebih jauh lagi, misalkanEt dan ˜Et menotasikan famili elemen-elemen tak kosong dariFtdan

˜

Ft, yang membentuk partisi-partisi dari Ω dan menghasilkansigma-field yang ber-sesuaian. Ditetapkan Ets : {ψ ∈ Ω : (ξ1(ψ), . . . , ξt(ψ)) = (ξs₁, . . . , ξts)}, s ∈ I_t dan

˜

21

Sekarang, kembali ke kasus khusus yang dikaji dalam tesis ini bahwa ξ adalah skenario-skenario individual{ξi _{: i = 1, . . . , N} dan ˜ξ = ˜ξ}

tr tree skenario dengan sebanyak IT skenario. Karenanya, diperoleh Ft =F untuk t= 2, . . . , T dan item kedua dari maksimum yang mendefinisikan Dt(Ft,F˜t)r′ hapus. Dengan menggu-nakan notasi dengan It himpunan indeks realisasi tree skenario ˜ξtr pada waktu t, dengan ˜It,i={i}∪It,i, i∈Itkelompok-kelompok skenario padat, denganπti(node) probabilitas dari ˜ξi

22 berawal dari (4.2) dan (4.3) taksiran berikut berlaku sah.

Teorema 4.1Misalkan (A1) dan (A2) dipenuhi. Misalkan proses stokastik ξ mem-punyai skenarioξi _{dengan probabilitasp}

i, i= 1, . . . , N, danξ˜tr adalah tree skenario

dengan himpunan indeksItdari realisasi-realisasi dan kelompok-kelompok skenario ˜

It,i pada t. Maka jarak filtrasinya memungkinkan taksiran

Df

untuk setiap penyelesaian xdari (3.13) dengan inputξ dan suatu konstantaK >0.

Bukti: Misalkan x adalah penyelesaian dari (3.13) dengan input ξ, yang eksis menurut (A1) dan (A2). Bukti diberikan untuk kasus 1 ≤ r′

< ∞. Dalam kasus

r′

= ∞ taksiran diperoleh dengan modifikasi langsung. Untuk memperoleh (4.4), diawali dari (4.2) dan diperoleh

23

Untuk taksiran kedua diperhatikan untuk setiap i ∈ It indeks αt(i) yang didefin-isikan masing-masing. Dengan berawal dari (4.2) diperoleh

Df dan ¯K > 0 adalah suatu konstanta yang tergantung pada r′

dan maksimum dari kardinalitas It,i.

Batas atas untuk jarak filtrasi hanya memuat penjumlahan nontrivial pada pasangan-pasangan (t, i) di mana Jt,i 6= ∅ atau, dengan kata lain, di mana ske-nario ibercabang pada waktu t. Kontribusi relevan dari pasangan-pasangan (t, i) sedemikian kepada batas filtrasi menghasilkan

bt,i:=

24 Sayangnya, proses penyelesaian{xt}Tt=1 dari model dua-tahap tidak mungkin

terse-dia pada umumnya dan hanya terseterse-dia dengan biaya ekstra tertentu. Karenanya, mereduksi skenario denganξ berkenaan dengan k· · · k_r. Untuk menghitung penye-lesaian (3.13) dengan input tereduksi dan menaksir batas-batas Bt bisa menjadi alternatip yang tepat.

Namun demikian, penting mengembangkan batas-batas untuk jarak filtrasi yang hanya didasarkan pada informasi input. Ini mengharuskan taksiran diperoleh untuk jarak setiap dua skenario dengan penyelesaian x dari (3.13) dengan input

ξ. Untuk ini, diasumsikan bahwa hanya biaya dan ruas kanan yang acak dalam (3.13). Diperhatikan program stokastik berbasis-skenario dengan inputξ

min

yang tentu saja dua-tahap dan merupakan program linier. Lebih jauh lagi, min-imisasi didekomposisikan menjadi variabel tahap-pertama dan tahap-kedua yang menghasilkan bentuk program dua-tahap (4.8) berikut

di mana fungsi nilai optimal

P hibernilai-riil diperluas dan didefinisikan atas Ξ×X1 dengan

Φ (z, x1) := inf

untuk setiap pasangan (z, x1)∈Ξ×X1. Dengan mengeksploitasi sifat-sifat

25

bersama-sama dengan ide dari bukti Teorema 4.1 menghasilkan taksiran jarak fil-trasi berikut.

Teorema 4.2 Asumsikan bahwa hanya biaya dan ruas kanan yang acak dalam (3.13) dan bahwa (A1) dan (A2) dipenuhi. Maka terdapat konstantaL >ˆ 0sedemikian sehingga jarak filtrasi memungkinkan taksiran

Df

ξ,ξ˜6Lˆ

    

   

P

i∈I2

P

j∈I2,i

pjkξj −ξik

!_r1′

, 16r′_<∞

max

i∈I2 jmax∈I2,ikξ

j _−ξi_{k , r}′ _=∞

(4.10)

Bukti: Karena (A1) dan (A2) terdapat penyelesaian x∗ dari (3.13) dengan input

ξ. Perhatikan program linier parametrik

min

( _T X

t=2

hbt(zt), xti |xt∈Xt, At,0xt+At,1xt−1 =ht(zt), t= 2, ..., T

)

(4.11)

dengan parameter z ∈ Ξ, di mana x1 = x∗1 adalah tetap. Misalkan S(z)

meno-tasikan himpunan penyelesaian dari program linier (4.12). Syarat (A1) dan (A2) mengimplikasikan bahwa S(ξj_{) tidak kosong untuk setiap j = 1, . . . , N. Karena} fungsi bt() dan ht(), t = 2, . . . , N, adalah affine linier, dan S adalah polihedral konveks dan multifungsi S adalah polihedral. Karenanya, S adalah kontinu Lip-schitz atas setiap himpunan bagian terbatas B dari dom S. Dengan menetapkan

B :=conv{ξ1_{, . . . , ξ}N_{} terdapat konstanta ˆL >0 sedemikian sehingga}

S(ξ)⊆S(ξj) + ¯Lξ−ξj

(4.12)

berlaku untuk semuaξ ∈B dan j = 1, . . . , N. Untuk setiapi ∈I2 dan xi ∈S(ξi)

dipilih elemen-elemenxj _∈S(ξj_{) menurut (4.13) sedemikian sehingga}

kxi_−xj_{k ≤L¯kξ}i_−ξj_k

26

ξ. Dengan penyelesaianxdi tangan akan siap menaksir jarak filtrasi dengan meng-gunakan ide yang serupa dengan ide dalam bukti Teorema 4.1. Kali ini dimeng-gunakan indeksα2(i) sebagai penggantiαt(i) dan dalam kasus 1≤r′<∞ diperoleh bahwa Modifikasi segera dari bukti di atas menghasilkan taksiran yang diinginkan untuk

r′ =∞.

cukup kecil. Dalam banyak kasus praktis syarat ini akan mengimplikasikan bahwa kardinalitas dari I2,i tetap relatip kecil dan kardinalitas dari I2 besar. Perhatikan

bahwa jarak skenario-skenario diukur berkenaan dengan horizon waktu keselu-ruhan. Fakta yang disebut terakhir merupakan perbedaan utama dengan taksiran jarak-Lr. Ini berarti bahwa skenario i ∈ I2 harus mengakui percabangan pada

t = 2 hanya jika jarak ξi _{dan setiap skenario ξ}j _{yang bercabang dari i, yaitu}

Selan-27

jutnya akan dimodifikasi sedemikian rupa sehingga kelompok-kelompokI2,i, i∈I2,

ditetapkan pada t= 2 yang memenuhi syarat

Teorema mendukung salah satu perkiraan standar dalam pembentukan tree skenario, yaitu bahwa periode waktu pertama setelah tahap pertama deterministik memegang peranan utama. Taksiran (3.6) mengajukan bahwa setiap kumpulan

¯

I2,i harus dipilih sedemikian sehingga bentuk

B₂∗ :=

  

 

P

j∈I2

b∗ 2,i 6εr

′

f , 16r′ <∞ max

j∈I2 b

∗

2,i6εf , r′ =∞

(4.14)

BAB 5

KESIMPULAN

Dalam banyak aplikasi programming stokastik data statistik yang ada me-mungkinkan untuk menghasilkan tree skenario individual yang besar termasuk probabilitasnya, yang dianggap sebagai representasi yang baik dari proses stokastik utama. Dalam tesis ini, dikembangkan metodologi untuk pembentukan tree ske-nario dari skeske-nario-skeske-nario individual sedemikian sehingga distribusi probalitas dan struktur filtrasi dari proses stokastik awal diperoleh secara aproksimasi. Kual-itas aporksimasi diukur dalam bentuk jarak - Lr untuk disbribusi input dan jarak untuk filtrasi input. Yang disebut terakhir diberikan sebagai jarak -Lr, dari penye-lesaian optimal hasil stabilitas untuk program stokastik multi-tahap, yang juga mengisyaratkan pilihanr danr′

DAFTAR PUSTAKA

Argyros. I.K. (2000). The Effect of Rounding Errors on a Certain Class of Iterative Methods, Applicationes. Mathematicae. 27,3 pp. 369-375.

Atkinson. E. Kendall. (2007). Scholarpedia. 2(8):3163. Departement of Computer Science, Departement of Mathematics. University of Loya

Behmardi. Daryoush dan Dehghan. Encyeh. Nayeri (2008). Introduction of Frechet and Gateaux Deritive. Mathematics Departement, Alzahra University Applied Mathematical Sciences, vol.2, no 2, 975-980

Bergamaschi. Luca. (2008). Iterative Methods for Sparse Linier System. Departe-ment of Mathematical Methods and Models for Scientific. Aplications. Uni-versity of Padova

Burden. L. Richard. Faires. J. Douglas. (2005). Numerical Analysis. Eight Edition. Belmont, CA 94602-3098. USA

Butt. Rizwan. (2009). Introduction to Numerical Analysis Using Matlab, U.S.A (page 10 - 11)

Chesneaux J.M, Graillat Stef, Jezequel Fabiene. (2010). Numerical Validation and Assessment. Laboratoire d’Informatique de Paris. France

Davis. Mark. (2011).Finite Difference Methods. Summer Term. Virginia Polytechnic Institute and State University. New York

Donald. W. Rogers. (2003).Computational Chemistry using the PC. Third Edition. ISBN. 0-471-42800-0. Copyrig. USA

E.J. Parkes and B.R. Duffy. (1996). An automated tanh-function method for fin-ding solitary wave solutions to non-linear evolution equations, Comput. Phys. Commun., 98 288-300

Giordano. R. Frank, Fox. P. William, Weir. D. Maurice. (2009). A First Course in Mathematical Modeling. Fourth Edition. Brooks/cole. Belmont. CA 94002-3098. USA

Gockenbach. S. Mark. (2003).Newton’s Method. Mathematical. Departement Michi-gan Technological University Houghton. MI

Heydari. M, Hosseini. S.M., Loghmani. G.B. (2011). One Two New Families of Iterative Methods for Solving Non Linier Equation with Optimal Rader. Appl. Anal. Discrette. Math. 5. Page. 93-109

Hossein. Jafari, Yazdani. Allahbakhsh, Vahidi. Javad, Ganji. D. Davood. (2008).

Application of He’s Variational Iteration Method for Solving Seventh Order Swada-Kotera Equations. Applied Mathematical Sciences, Vol. 2. No. 10, page. 471-477

30

L. V. Kantorovich and G. P. Akilov. (1982). Functional Analysis, Pergamon Press, Oxford.

M. Inokuti, et al., (1978). General use of the Lagrange multiplier in non-linear mathematical physics, in: S. Nemat-Nasser (Ed), Variational Metohd in the Mechanics of Solids, Pergamon Press, Oxford, pp. 156-162

Meza. C. Juan. (2010). Newton’s Method. Lawrence Berkeley National Laboratory. 94720. California

Nurnberg. Robert. (2008). Numerical Methods for Finance. Imperial College. Lon-don

Podisuk. M. (2000). Theorems on a Modified Method dor Solving System of non

Linier Equations. Departement of Mathematical and Computer Science.

Re-search Article. Science Asia. Thailand

Pohl. Volker dan Boche. Holger. (2009). Advanced Topics in system and signal The-ory. A. Mathematical Approach. Springer Heidelberg London New York. Page 9-10. S.M.El-Sayed and D.Kaya. (2004). Anapplication of the ADM to seven order Sawada-Kotera equations, Appl. Math. Comput., 157 93-101

Urman. H. David. (2008). Iterative Method. Obtaining Accurate Solution in Solving Linier Equation. Articlesbase, Free online Articles Directions. USA

Ypma. T.J. (1982). Numerical solution of systems of nonlinear algebraic equations. thesis, Oxford.