PENDEKATAN KONVEKSITAS UNTUK
KELAS MODEL RECOURSE CACAH
CAMPURAN TAHAP GANDA
T E S I S
Oleh:
ELLY YANA
057021001/MT
SEKOLAH PASCASARJANA
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2007
CAMPURAN TAHAP GANDA
T E S I S
Untuk memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara
Oleh:
ELLY YANA
057021001/MT
SEKOLAH PASCASARJANA
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2007
LEMBAR PENGESAHAN
Judul Tesis : Pendekatan Konveksitas untuk Kelas Model Recourse
Cacah Campuran Tahap Ganda
Nama Mahasiswa : Elly Yana
Nomor Pokok : 057021001
Program Studi : Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
Dr. Saib Suwilo, M.Sc Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc
Pembimbing-I Pembimbing-II
Prof. Dr. Herman Mawengkang Prof. Dr. Ir. T.Chairun Nisa. B, M.Sc
Ketua Program Studi Direktur SPs USU
Tanggal 2 Juli 2007
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Dr. Saib Suwilo, M.Sc
Anggota : Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc Prof. Dr. Herman Mawengkang Dra. Mardiningsih, M.Si
ABSTRAK
Problema program stokastik cacah campuran (PSCC) bertujuan menen-tukan keputusan non-antisipatif (disini dan sekarang) yang harus diambil sebelum mengetahui realisasi peubah acak. Keputusan ini perlu untuk diambil dengan cara sedemikian hingga ekspektasi biaya atau perolehan total dioptimalkan, tamba-han lagi, beberapa dari keputusan (termasuk tindakan peninjauan ulang) diper-syaratkan cacah. Beberapa kelas dari persoalan PSCC dapat timbul yang ter-gantung pada kapan keputusan bernilai cacah diambil, relatif terhadap observasi hasil peubah acak. Penelitian ini akan mengkaji aspek umum, yaitu peubah cacah dapat saja muncul dalam sembarang dan setiap tahap.
Ide kunci untuk menyelesaikan PSCC adalah mentransformasikan model PSCC menjadi model Program Bilangan Cacah-Campuran Linier. Hal ini di-mungkinkan karena ketidakpastian dan waktu dapat dimodelkan sebagai sejumlah skenario yang berhingga. Dengan kata lain peneliti tidak memakai fungsi sebaran peluang untuk merepresentasikan ketidakpastian, karena adanya fungsi sebaran dapat mengakibatkan terjadinya diskontinuitas dan tak konveks. Akibatnya, metode dari analisis konveks, misalnya dualitas, stabilitas dan minimisasi subgra-dien dapat diaplikasikan. Dengan adanya persyaratan cacah, pengamatan konvek-sitas atau konkavitas tidak lagi berlaku, dan tambahan lagi bentuk fungsi nilai menjadi diskontinu (lower semi-continuous). Kesulitan utama dalam memakai metode Branch and Bound ( yang merupakan metode baku untuk menyelesaikan Program Bilangan Cacah) terhadap ranah semi-kontinu ialah bahwa pendekatan hasil menjadi tidak berhingga, yaitu terdapat tak-hingga sub-problema yang diper-lukan agar batas bawah dan batas atas menjadi sama. Akibatnya, terminasi berhingga dari algoritma ini tidak terjamin kecuali peubah tahap pertama diskrit murni.
Dalam tesis ini diperhatikan fungsi objektif dari problema recourse seder-hana dengan matriks teknologi tetap dan peubah tahap-kedua cacah. Keter-pisahan karena struktur recourse sederhana mengakibatkan pengkajian dari versi satu-dimensi. Didasarkan pada formula eksplisit untuk fungsi objektif, deskripsi lengkap dari kelas fungsi kepadatan peluang diturunkan sehingga fungsi objektif menjadi konveks. Hasil ini juga dinyatakan dalam peubah acak.
The problem of the mixed integer stochastic programming has an objective to determine the decision of non anticipative (here and now) which has to be taken before knowing the realization of random variable. This decision needs to be taken by that way until the cost of expectation or the total can be optimized, moreever, some decisions (include ofreobservation) are required as amount. Some classes of the mixed integer stochastic programming problem can be shown based ran-dom variable observation. This research will search general aspect, thats integer variable can appear in any kind and every steps.
The key to solve the mixed integer stochastic programming is transformating the mixed integer stochastic programming model to be the model of the mixed integer linear programming. It is possible because of the improbability and time which can be modeled as kinds of scenarios. In other words, the observator doesnt wear the probability function distribution to present the improbability, because of function distribution can cause discontinuity and non convexs. The cause of it, the method of convexs analysis, such as duality, stability and subgradien minimitation can be applicated. By the regulation of integer, the observation of convexity or concavity isnt valid and more over, the shape of the sum function becomes discontinuity (lower semi continuous). The difficulty in using Branch and Bound method (which is standard method to finish the program of integers) tolower semi continuous is that the result of approach become unlimited, thats, it has sub problem unlimited which is neede in order the lower and the upper are same. The cause is, termination from algorithm doesnt guarantee except the first step of variable is the real discrit.
In this thesis, it is attented to objective function from the simple recourse problem with technology metrix and two stage of integer variable. The apart is because the simple recourse structure cause the research of one dimention version. Based on explisit formula to objective function, the completed description of the density class function is decressed so that objective function becomes convexs. The result can be written in random variable.
UCAPAN TERIMA KASIH
Pertama penulis panjatkan puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa berkat kasih dan karunia-Nya yang telah diberikan kepada penulis, sehingga pe-nulis dapat menyelesaikan tesis ini tepat pada waktunya. Tesis ini berjudul ”Pen-dekatan Konveksitas untuk Kelas Model Recourse Cacah Campuran Tahap Gan-da”. Tesis ini merupakan persyaratan tugas akhir pada Program Studi Matema-tika SPs Universitas Sumatera Utara.
Pada kesempatan yang baik ini, penulis menyampaikan ucapan terimakasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada :
1. Prof. Dr. Chairuddin P. Lubis, DTM&H, Sp.Ak selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.
2. Prof. Dr. Ir. T. Chairun Nisa B, M.Sc selaku Direktur Sekolah Pascasar-jana yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara Medan.
3. Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku ketua Program Studi Magister Ma-tematika SPs Universitas Sumatera Utara, yang telah banyak membantu dalam penulisan tesis ini.
4. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku sekretaris Program Studi Magister Matema-tika SPs Universitas Sumatera Utara, dan juga sebagai ketua komisi pem-bimbing yang telah banyak membantu dalam penulisan tesis ini.
5. Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc selaku anggota komisi pembimbing yang telah banyak membantu dalam penulisan tesis ini.
materi.
7. Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika SPs Uni-versitas Sumatera Utara, yang telah memberikan ilmunya selama masa perku-liahan.
Seluruh rekan-rekan mahasiswa angkatan ke-empat tahun 2005/2006 pro-gram studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara atas kerjasama dan kebersamaan dalam mengatasi berbagai masalah yang dihadapi selama perku-liahan, sehingga tugas-tugas bersana dapat diselesaikan dengan baik, Misiani, S.Si selaku staf Administrasi program studi Magister Matematika SPs Universitas Su-matera Utara yang telah memberikan pelayanan yang baik kepada penulis.
Secara khusus penulis menyampaikan rasa terima kasih kepada suami ter-cinta Edy Jitro Sihombing, S.Pd., M.Pd dan anak-anak tersayang Edelyna N.S., dan Evelyna K.S. serta seluruh keluarga berkat dorongan dan perhatian-nya yang disertai dengan doaperhatian-nya, penulis dapat menyelesaikan pendidikan ini.
Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca, dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Tentunya sebagai manusia tidak pernah luput dari kekurangan sehingga tulisan ini jauh dari sempurna.
Medan, Juli 2007 Penulis,
DAFTAR ISI
Halaman
LEMBAR PENGESAHAN . . . i
ABSTRAK . . . iii
ABSTRACT . . . iv
UCAPAN TERIMA KASIH . . . v
DAFTAR ISI . . . vii
BAB 1. PENDAHULUAN . . . 1 1.1. Latar Belakang . . . 1 1.2. Perumusan Masalah . . . 3 1.3. Tujuan Penelitian . . . 4 1.4. Kontribusi Penelitian . . . 4 1.5. Metodologi Penelitian . . . 4 2. TINJAUAN PUSTAKA . . . 5
3. PROGRAM STOKASTIK DAN KONVEKSITAS . . . 7
3.1. Pengertian Program Stokastik . . . 7
3.2. Model Dasar Program Stokastik . . . 8
3.3. Program Stokastik Cacah-Campuran . . . 11
3.4. Formulasi Deterministik Ekivalen . . . 11
4. PEMBAHASAN . . . 33
4.1. Beberapa Pengertian . . . 33
4.2. Sifat Konveksitas . . . 37
5. KESIMPULAN DAN SARAN . . . 40
5.1. Kesimpulan . . . 40
5.2. Saran . . . 40
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dunia saat ini dilanda oleh adanya kondisi ketidakpastian yang tinggi, na-mun pengambil keputusan tetap harus menentukan keputusan walau dalam kon-disi yang demikian. Persoalan keputusan sering diformulasikan sebagai persoalan optimisasi, jadi dalam berbagai situasi, pengambil keputusan ingin menyelesaikan persoalan optimisasi yang tergantung pada parameter yang tak diketahui. Jika ketidakpastian ini tidak diperhitungkan dalam model penyelesaian, kesalahan be-sar dapat terjadi apabila hal ini diterapkan. Tentu saja, penyelesaian yang dipe-roleh dari program optimisasi adalah optimal untuk nilai tertentu dari parameter problema, namun nilai akhir atau yang sebenarnya dari parameter-parameter tak pasti tersebut yang terlibat dalam pengambilan keputusan dapat jauh dari opti-mal, atau bahkan tak layak.
Seperti halnya dalam model optimisasi matematika lainnya, persyaratan ca-cah dalam problema program stokastik memiliki konsekuensi serius terhadap sifat struktural dan rancangan algoritma.
Perhatikan model recourse bilangan cacah campuran di bawah ini
min cx + Q(x)
dimana Q(x) := E[v(ωF x)], x ∈ Rn dan untuk s ∈ R, v(s) := min y,z qy + ¯qz kendala wy + ¯wz ≥ s (y, z) ∈ C y ∈ Rm−m+ , z ∈ Zm+
Fungsi v adalah fungsi nilai dua tahap dan fungsi Q disebut fungsi nilai rata-rata. Model fungsi biaya (rata-rata) dari aksi recourse sebagai pengganti untuk ketidaklayakan dengan kendala bertujuan acak T x ≥ ω. Sisi kanan parameter ω adalah variabel acak dengan fungsi distribusi kumulatif F ω.
Model ini hanya mempunyai kendala recourse tunggal, w dan ¯w adalah vec-tor dan s ∈ R. Sebagai tambahan, akan ada kendala linier lanjutan pada tahap kedua variable y dan z, tetapi variable y dan z tidak berisi variabel keputusan tahap pertama x atau parameter random ω. Sehingga kendala dinotasikan dengan (y, z) ∈ C. Motivasi utama untuk mempelajari model ini adalah perluasan yang sederhana dari model recourse bilangan cacah murni. Secara khusus akan diperli-hatkan bahwa pendekatan yang dikembangkan untuk mengkonstruksi pendekatan konveks pada fungsi recourse dalam kasus bilangan cacah murni, perluasan dapat dilakukan pada model recourse bilangan cacah campuran.
Model recourse ini dapat diinterpretasikan sebagai masalah perencanaan produksi. Dengan menggunakan input x dan kendala teknologi yang diberikan x ∈ X , kita akan menghasilkan T x untuk mendapatkan ketidakpastian per-mintaan ω yang akan datang, untuk meminimisasi total biaya rata-rata cx + Q(x)
3 . Dalam kasus produksi permintaan singkat aksi recourse y dan z dapat digunakan untuk penggantian tahap singkat. Variabel bilangan bulat z dinyatakan kelompok dari bermacam-macam ukuran w dimana variabel kontinu y menyatakan pecahan tetapi dengan produksi yang mahal.
Seperti halnya dalam model optimisasi matematika lainnya, persyaratan ca-cah dalam problema program stokastik memiliki konsekuensi serius terhadap sifat struktural dan rancangan algoritma. Model yang telah terpahami dengan baik adalah program stokastik linier. Hal ini terutama dari kenyataan bahwa nilai op-timal dari problema minimisasi linier merupakan fungsi konveks dari ruas kanan dan fungsi konkaf dari vektor fungsi objektif. Akibatnya, metode dari analisis kon-veks, misalnya dualitas, stabilitas dan minimisasi sub-gradien dapat diaplikasikan. Dengan adanya persyaratan cacah pengamatan konveksitas atau konkavitas tidak lagi berlaku, dan tambahan lagi bentuk fungsi nilai menjadi diskontinu (lower semi-continuous).
1.2 Perumusan Masalah
Kesulitan utama dalam memakai metode Branch and Bound ( yang meru-pakan metode baku untuk menyelesaikan program bilangan cacah) terhadap ranah semi kontinu ialah bahwa pendekatan hasil menjadi tidak berhingga, yaitu terda-pat tak hingga sub problema yang diperlukan agar batas bawah dan batas atas menjadi sama. Akibatnya terminasi berhingga dari algoritma ini tidak terjamin kecuali peubah tahap pertama diskrit murni. Dalam hal ini kondisi non konveksi-tas mengakibatkan kesulitan dalam memahami metode analitik seperti Branch and Bound untuk menyelesaikan persoalan program stokastik cacah campuran tahap ganda. Dengan demikian kondisi non konveksitas tadi dapat diproses se-hingga diperoleh suatu bentuk pendekatan problem konveksitas.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk memodifikasi model menuju suatu ben-tuk pendekatan konveksitas pada suatu benben-tuk kelas model recourse.
1.4 Kontribusi Penelitian
Kontribusi penelitian ini adalah untuk memudahkan dalam menyelesaikan persoalan program stokastik cacah campuran tahap ganda.
1.5 Metodologi Penelitian
Pada penelitian ini dikaji pendekatan konveksitas untuk kelas model Re-course Cacah-Campuran tahap-ganda. Mula-mula dikaji mengenai pengertian program stokastik, model program cacah campuran dan model tahap ganda.
Selanjutnya dibahas mengenai beberapa pengertian konveksitas dan dilan-jutkan dengan sifat-sifat konveksitas sebagai hasil dari pembahasan konveksitas diperoleh bahwa pendekatan konveksitas dapat dinyatakan dengan cara mengubah fungsi Recourse yang kontinu menjadi model recourse sederhana.
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Masalah pendekatan konveksitas banyak dipakai pada model program ma-tematik yang telah dibahas oleh peneliti pada bidang yang sesuai. Biasanya per-soalan konveksitas ini muncul pada program stokastik dua tahap dan tahap ganda. Pada model recourse kontinu dengan variabel keputusan dua tahap y = (y+, y−)
memiliki hasil real non negatif. Fungsi nilai yang diharapkan dari persoalan ini adalah kontinu Lipschitz dan konveks sehingga dapat diselesaikan dengan teknik standar dari program matematik yang diajukan oleh Nesterov dan Nemirovski (1994).
Bermacam-macam algoritma yang digunakan untuk masalah ini juga telah diajukan oleh Wets (1984) tentang penyelesaian program stokastik dengan model recourse yang sederhana, Birge dan Louveaux (1997) tentang latar belakang dari proram stokastik, Kall dan Wallace (1994) tentang program stokastik. Fungsi nilai yang diharapkan dari persoalan cacah yang dilengkapi dengan model re-course cacah campuran telah diajukan oleh Louveaux dan van der Vlerk (1993). Para peneliti ini menyatakan bahwa fungsi ini berdistribusi kontinu bila ξ adalah kontinu. Haneveld, Stougie dan van der Vlerk (1995) mengajukan konstruksi dari konveks fungsi nilai rata-rata Q untuk model recourse cacah sederhana yang berdistribusi diskrit pada konstanta vektor ξ .
Secara umum untuk model recourse juga telah diajukan oleh Birge dan louveaux (1997), Prekopa (1995). Schultz (1993, 1995) mengajukan tentang sifat -sifat struktur dari model recourse cacah campuran. Penelitian dari -sifat - -sifat,
algoritma dan aplikasi dari model recourse cacah campuran telah diajukan oleh Haneveld dan van der Vlerk (1999), Louveaux dan Schultz (2003), Stougie dan van der Vlerk (1997). Para peneliti menyatakan bahwa telah menganalisa nilai fungsi v dua tahap dan untuk membuktikannya dapat dipresentasikan menja-di suatu fungsi bilangan cacah pada tahapan singkat yang menja-diharapkan. Fungsi tersebut telah dipelajari secara ekstensif dalam konteks masalah recourse cacah campuran yang sederhana. Dengan demikian pengetahuan ini akan menggunakan pendekatan konveksitas dari fungsi recourse Q dan dibuktikan sesuai dengan pen-dekatan yang dapat dipresentasikan dengan fungsi recourse lanjutan yang seder-hana.
Haneveld et.al.(1997) mengajukan bentuk konveksitas dari model program stokastik dengan integer recourse sederhana dengan matriks teknologi tetap dan peubah tahap kedua integer. Keterpisahan yang diakibatkan struktur recourse sederhana memungkinkan adanya kajian versi satu-dimensi. Berdasarkan pada formulasi fungsi objektif, mereka menurunkan suatu deskripsi lengkap dari kelas fungsi kepadatan peluang sehingga fungsi objektif konveks.
Van der Vlerk (2005) mengembangkan kajian konveksitas dari Haneveld et.al (1997) terhadap suatu kelas model recourse cacah campuran. Model recourse ini dapat diinterpretasikan sebagai suatu problem perencanaan produksi. Dengan memakai masukan x dan kendala teknologi x ∈ X, ingin dihasilkan beberapa produksi T x yang memenuhi permintaan masa datang ω yang tak pasti sehing-ga meminimumkan Q ekspektasi harsehing-ga total cx + Q(x). Dalam kasus produksi tidak dapat memenuhi permintaan tindakan recouse y dan z dapat dipakai un-tuk mengkompensasi kekurangan. Peubah integer z menyajikan berbagai ukuran jumlah (misalnya jumlah yang dibeli dari pesaing), sedangkan peubah kontinu y menyatakan bagian produksi.
BAB 3
PROGRAM STOKASTIK DAN KONVEKSITAS
3.1 Pengertian Program Stokastik
Program stokastik adalah sebuah nama yang menyatakan program matema-tika yang dapat berupa linear, cacah, cacah campuran, non linear tetapi dengan menampilkan elemen stokastik pada data. Oleh karena itu dapat dinyatakan bah-wa :
a. Pada program matematik deterministik, data (koefisien) adalah bilangan-bilangan yang diketahui (tertentu).
b. Pada program stokastik, data (koefisien) merupakan bilangan yang tidak diketahui (tidak pasti) yang disajikan sebagai distribusi peluang.
Program stokastik merupakan program matematik dengan situasi (yang mengandung) ketidakpastian. Program stokastik adalah merupakan program ma-tematik, dimana beberapa data yang termuat pada tujuan atau kendala mengan-dung ketidakpastian, ketidakpastian biasanya dicirikan oleh distribusi peluang pada parameter. Walaupun ketidakpastian didefinisikan dengan tepat tetapi pa-da prakteknya diberikan beberapa skenario (hasil yang mungkin pa-dari pa-data) yang spesifik dan distribusi peluang gabungan yang cepat. Hasil-hasil secara umum digambarkan pada elemen w ∈ W . Ketika beberapa data acak, maka penyelesai-an dpenyelesai-an nilai tujupenyelesai-an optimal untuk masalah optimisasi juga acak.
3.2 Model Dasar Program Stokastik
Model antisipatif dan adaptif merupakan kasus khusus dari program stokas-tik. Kombinasi keduanya menghasilkan model rekursif yang menjadi fokus dalam penelitian ini.
a. Model Antisipatif
Model ini juga disebut sebagai model statis, dalam mana keputusan tidak tergantung pada pengamatan masa datang. Perancanaan yang baik harus mem-perhitungkan semua realisasi masa datang yang mungkin karena tidak akan ada kesempatan untuk memperbaharui keputusan nantinya.
Dalam model antisipatif kelayakan dinyatakan dalam kendala probabilistik. Misalnya, tingkat keandalan α dengan 0 < α ≤ 1, dinyatakan dan kendala ditulis dalam bentuk
P {w|fj(x, w) = 0, j = 1, 2, · · · , n} ≥ α
Disini x adalah vektor peubah keputusan m dimensi dan fj : RmxΩ → R, j =
1, 2, · · · , n. Fungsi objektif juga dapat bertipe keandalan seperti P {w|f0(x, w) ≤
γ}, dimana f0 : RmxΩ → R ∪ {+∞} dan γ konstanta.
Model antisipatif memilih kebijakan yang memenuhi karakteristik kendala yang diinginkan dan fungsi objektif.
b. Model Adaptif
Dalam model ini, informasi yang dikaitkan dengan ketidakpastian muncul secara parsial sebelum pengambilan keputusan, jadi optimisasi terjadi dalam lingkungan pembelajaran. Andaikan A koleksi dari semua informasi relevan yang tersedia melalui pengamatan yang merupakan sub-gelanggang dari semua
kejadi-9 an yang mungkin. Keputusan x tergantung pada kejadian yang dapat diamati, dan x disebut A teradaptasi atau A terukur. Program stokastik adaptif dapat diformulasikan sebagai
min E[f0(x(w), w)|A]
kendala E[fj(x(w), w)|A] = 0, j = 1, 2, · · · , n
x(w) ∈ X, hampir pasti
(3.1)
Pemetaan x : Ω → X adalah sedemikian hingga x(w) merupakan A terukur. Persoalan ini dapat disajikan dengan menyelesaikan untuk setiap w program de-terministik berikut :
min E[f0(x, ·)|A](w)
Kendala E[fj(x, ·)|A](w) = 0, j = 1, 2, · · · , n
x ∈ X
(3.2)
Ada dua kasus ekstrim yaitu informasi lengkap dan tidak ada informasi sama sekali. Kasus pertama mengakibatkan model menjadi bentuk model antisi-patif sedangkan untuk kasus kedua dikenal sebagai model distribusi. Yang paling menarik adalah jika hanya sebagian informasi yang tersedia.
c. Model Recourse
Model ini menggabungkan dua model yang diutarakan terdahulu, yang ingin menentukan kebijakan yang tidak hanya mengantisipasi pengamatan masa datang tapi juga memperhitungkan informasi yang ada untuk membuat keputusan rekur-sif. Misalnya, manajer portofolio memperhatikan gerak masa datang agar saham (antisipasi) tetapi juga menyeimbangkan posisi portofolio ketika harga berubah (adaptasi). Persoalan program stokastik dua tahap dengan rekursif dapat ditulis
sebagai min f(x) + E[W (x, w)] kendala Ax = b x = inRM0 + (3.3)
x adalah keputusan antisipatif tahap pertama yang diambil sebelum peubah acak teramati dan W (x, w) merupakan nilai optimalnya, untuk sembarang Ω, dari pro-gram tak linier:
min ξ(y, w)
kendala W (w)y = h(w) − T (w)x y ∈ RM1
+
(3.4)
dengan y keputusan adaptif tahap kedua yang tergantung pada realisasi vektor acak tahap pertama, ξ(y, w) merupakan fungsi biaya tahap kedua, dan {T (w), W (w), h(w)|w ∈ Ω adalah parameter model dengan dimensi tertentu. Parameter - rameter ini merupakan fungsi dari vektor acak w dan karena itu merupakan pa-rameter acak. T adalah matriks teknologi yang mengandung koefisien teknologi yang mengubah keputusan tahap pertama x menjadi sumber daya untuk per-soalan tahap kedua. W adalah matriks recourse dan h vector sumber daya tahap kedua.
Secara umum model recourse dua tahap dapat di formulasikan sebagai
min f(x) + E " min y∈RM1+ {ξ(y, w)|T (w)x + W (w)y = h(w)} # kendala Ax = b x ∈ RM0 + (3.5)
Dari bentuk program stokastik perlu dibentuk model deterministik yang ekivalen sehingga mudah terselesaikan.
11 3.3 Program Stokastik Cacah-Campuran
Model Program Stokastik Cacah Campuran (PSCC) dua-tahap merupakan model dalam mana himpunan bagian dari peubah tahap pertama dan kedua dipersyaratkan bernilai cacah. Untuk penyajian problemanya, andaikan ¯w suatu peubah acak yang dipakai untuk memodelkan data dalam model dua-tahap. Kare-na model program stokastik ditujukan untuk pengambilan keputusan, suatu vek-tor keputusan x harus dipilih sedemikian hingga konsekuensi dari keputusan (yang dievaluasi terhadap beberapa hasil alternatif dari ¯w) diakomodasi dalam model pilihan optimal. Konsekuensi dari keputusan tahap pertama diukur melalui pro-blema optimisasi yang disebut propro-blema recourse yang memperbolehkan penga-matan (peubah acak). Andaikan bahwa suatu pengapenga-matan dari ¯w dinyatakan dengan w. Maka konsekuensi memilih x terhadap hasil w dapat dimodelkan se-bagai
h(x, w) = min g(w)Ty
W (w)y ≥ r(w) − T (w)x y ≥ 0, yj cacah j ∈ J2
Dengan J2 himpunan indeks yang dapat mencakup beberapa atau semua
peubah dalam y ∈ Rn2. Disini diandaikan bahwa semua realisasi W (w)
meru-pakan matriks yang berukuran m2× n2.
3.4 Formulasi Deterministik Ekivalen
Pandang model program stokastik linier berikut min g0(x, ¯ξ) kendala gi(x, ¯ξ) ≤ 0, i = 1, 2, · · · , m x ∈ X ⊂ Rn (3.6)
dengan ¯ξ vektor acak yang bervariasi pada himpunan Ξ ⊂ Rk. Lebih tepat lagi, diandaikan bahwa keluarga (family) F dari ”kejadian”, yaitu himpunan bagian dari Ξ, dan sebaran peluang P pada F diketahui. Jadi untuk setiap himpunan bagian A ⊂ Ξ yang merupakan kejadian-kejadian, yaitu A ∈ F , peluang P (A) diketahui. Selanjutnya, diandaikan bahwa fungsi gi(x, ·) : Ξ → R∀x, i merupakan
peubah acak dan sebaran peluang P adalah bebas.
Namun, problema (3.6) tidak ”well defined” karena pengertian ”min” dan ju-ga kendala tidak jelas, jika yang diperhitungkan adalah nilai keputusan x sebelum mengetahui realisasi dari ¯ξ. Karena itu revisi terhadap proses pemodelan perlu dilakukan, yang akan menghasilkan model deterministik ekivalen untuk (3.6).
a. Proses Formulasi
Pembentukan model analogi terhadap program stokastik linier dengan re-course, untuk problema (2.6) dilakukan dengan cara berikut. Ambil
gi+(x, ξ) = 0 jika gi(x, ξ) ≤ 0 gi(x, ξ) selainnya
Kendala ke i dari (3.6) dilanggar jika dan hanya jika gi+(x, ξ) > 0 untuk suatu keputusan x dan realisasi ξ dari ˜ξ. Di sini dapat diberikan untuk setiap kendala suatu recourse atau aktivitas tahap-kedua yi(ξ), setelah mengamati realisasi ξ,
dipilih sehingga mengantisipasi pelanggaran kendala jika ada dengan memenuhi gi(x, ξ) − yi(ξ) ≤ 0. Usaha tambahan ini diandaikan mengakibatkan penambahan
biaya atau penalti qi per unit, jadi biaya tambahan ini (disebut fungsi recourse)
berjumlah Q(x, ξ) = min y ( m X i=1 qiyi(ξ)|yi(ξ) ≥ gi+(x, ξ), i = 1, 2, · · · , m ) (3.7)
13 Yang menghasilkan biaya total tahap pertama dan biaya recourse
f0(x, ξ) = g0(x, ξ) + Q(x, ξ) (3.8)
Selain (3.7), dapat dipikirkan suatu program linier recourse yang lebih umum dengan suatu recourse vektor y(ξ) ∈ Y ⊂ Rn¯, (Y himpunan polyhedral, seperti
{y|y ≥ 0}), suatu sembarang fixed m × ¯n matrix W ( matriks recourse ) dan vektor unit biaya q ∈ Rn¯, menghasilkan untuk (3.8) fungsi recourse
Q(x, ξ) = min y qTy|W y ≥ g+(x, ξ), y ∈ Y (3.9) dengan g+(x, ξ) = g+ 1 (x, ξ), · · · , g+m(x, ξ) T .
Perhatikan suatu pabrik menghasilkan m produk, gi(x, ξ) dapat dipahami
sebagai perbedaan {permintaan}-{output} produk i. Maka gi+(x, ξ) > 0 berarti bahwa terdapat kekurangan dalam produk i, relatif terhadap permintaan. De-ngan meDe-ngandaikan bahwa pabrik komit untuk memenuhi permintaan, problema (3.7) misalnya dapat diinterpretasikan sebagai membeli kekurangan produk i di pasar. Problema (3.9) dapat dihasilkan dari program produksi tahap-kedua atau emergency, yang dilaksanakan dengan faktor input y dan teknologi disajikan oleh matriks W . Jika dipilih W = I, m × m identitas matriks, (3.7) menjadi kasus khusus dari (3.9).
Akhirnya juga dapat dipikirkan program recourse nonlinier untuk mendefi-nisikan fungsi recourse terhadap (3.8); misalnya, Q(x, ξ) dapat dipilih sebagai
Q(x, ξ) = minq(y)|Hi(y) ≥ g+i (x, ξ), i = 1, 2, · · · , m, y ∈ Y ⊂ Rn¯
(3.10) dengan q : R¯n→ R dan H
i : R¯n→ R diandaikan diketahui.
Dalam kasus terapan, pengambil keputusan yang ingin meminimumkan ni-lai ekspektasi biaya total (yaitu, tahap pertama dan biaya recourse), cukup me-mandang formulasi deterministik ekivalen, program stokastik dua-tahap dengan
recourse min x∈XEξ˜f0(x, ˜ξ) = minx∈XEξ˜ n g0(x, ˜ξ) + Q(x, ˜ξ) o (3.11)
Problema dua-tahap di atas dapat diperluas terhadap program recourse tahap-ganda sebagai berikut: di samping dua keputusan x dan y, harus diambil ditahap 1 and 2, sekarang problema dihadapkan dengan K + 1 keputusan sequen-sial x0, x1, · · · , xK(xτ ∈ Rn¯τ, yang harus diambil pada tahap τ = 0, 1, · · · , K.
Kata ”tahap” dapat, tapi tidak perlu, diartikan sebagai ”periode waktu”.
Andaikan untuk penyederhanaan bahwa objectif dari (3.6) deterministik, yaitu, g0(x, ξ) = g0(x). Pada tahap τ (τ ≥ 1) diketahui realisasi ξ1, · · · , ξτ dari
vektor acak ˜ξ1, · · · , ˜ξτ dan keputusan sebelumnya x0, · · · , xτ −1, harus diputuskan
terhadap xτ sehingga kendala (dengan fungsi kendala gτ)
gτ(x0, · · · , xτ, ξ1, · · · , ξτ ≤ 0)
dipenuhi, yang pada tahap ini hanya dapat dicapai oleh pemilihan tepat xτ, yang
didasarkan pada pengetahuan keputusan dan realisasi sebelumnya. Jadi, dengan mengandaikan fungsi biaya qτ(xτ), pada tahap τ ≥ 1 diperolah fungsi recourse
Qτ = (x0, x1, · · · , xτ −1, ξ1, · · · , ξτ = min xτ
{qτ(xτ)|gτ(x0, x1, · · · , xτ −1, ξ1, · · · , ξτ) ≤ 0}
Yang mengidentifikasikan tindakan optimal recourse ˆxτ pada waktu τ tergantung
pada keputusan sebelumnya dan realisasi yang diamati hingga tahap τ , yaitu, ˆ
xτ = ˆxτ(x0, · · · , xτ −1, ξ1, · · · , ξτ), τ ≥ 1
Jadi, untuk tahap ganda, diperoleh sebagai total biaya untuk problema tahap-ganda f0(x0, ξ1, · · · , ξK) = g0(x0) + K X τ =1 Eξ˜1,··· , ˜ξτQτ(x0, ˆx1, · · · , ˆxτ −1, ξ1, · · · , ξτ) (3.12)
15 menghasilkan deterministik ekivalen for problema program stokastik tahap ganda dengan recourse min x0∈X " g0(x0) + K X τ =1 Eξ˜1,··· , ˜ξτQ(x0, ˆx1, · · · , ˆxτ −1, ˜ξ1, · · · , ˜ξτ) # (3.13) Jelas merupakan generalisasi langsung dari program stochastik dua-tahap dengan recourse (3.11).
Ilustrasi Dasar
Problema Program Linier (PL). Formulasi dalam notasi vektor
MincTx
Kendala Ax = b x ≥ 0
Dalam model ini nilai parameter c, A dan b tertentu (deterministik). Artinya bahwa nilai-nilai ini tidak mengandung ketidakpastian. Misalnya harga suatu peubah untuk beberapa waktu mendatang dapat diperoleh tidak bergantung pada faktor-faktor ekonomi. Hal ini biasanya secara realita tidak tepat. Selalu saja ada pengaruh ketidakpastian. Apalagi pada kondisi dunia pada dekade ini yang dikarakterisasi oleh ketidakpastian tinggi. Hal ini dapat terlihat dari
1. Nilai tukar mata uang 2. Suku bunga bank 3. Indeks saham 4. Harga emas
Untuk perkembangan ke bentuk/model ketidakpastian diperhatikan ilustrasi berikut: Contoh :
Petani A memiliki sebidang tanah. Ia ingin menamam padi, jagung dan kacang. Yang ingin ia tentukan adalah berapa luas tanah tersebut untuk padi, jagung dan kacang.
Andaikan data untuk pengolahan tanaman ini seperti di tabel bawah ini
Padi Jagung Kacang
Hasil rata-rata (T/are) 2.5 3 2.0
Biaya tanaman (Rp/are) 150 230 250
Harga jual (Rp/T) 170 150 30 ≤ 6000T
10 > 6000T
Persyaratan minimum (T) 200 240
Harga beli (Rp/T) 238 210
Luas tanah total 500 are Peubah keputusan
x1 = luas tanah (are) untuk padi
x2 = luas tanah (are) untuk jagung
x3 = luas tanah (are) untuk kacang
w1= berat (ton) padi terjual
w2= berat (ton) jagung terjual
w3= berat (ton) kacang terjual pada harga yang diinginkan
w4= berat (ton) kacang terjual di bawah harga yang diinginkan
y1 = berat (ton) padi yang dibeli
17 Model PL
Problema ini dapat diformulasikan ke dalam model PL (deterministik)
Minimumkan 150x1+ 230x2+ 260x3+ 238y1+ 210y2 − 170w1− 150w2− 36w3 − 10w4
Kendala x1+ x2+ x3 ≤ 500 x1, x2, x3 ≥ 0 2.5x1+ y1− w1 ≥ 200 3x2+ y2− w2 ≥ 240 w1 + w4 ≤ 20x3 w3 ≤ 6000 w1, w2, w3, w4, y1, y2 ≥ 0
Hasil optimalnya adalah
Padi Jagung Kacang
Pemakaian tanah (are) 120 80 300
Hasil (T) 300 240 6000
Penjualan (T) 100 -
-Pembelian (T) - -
-Total keuntungan 118600
Hasil demikian ini pada dasarnya telah memenuhi keinginan sang petani.
- Memanfaatkan luas tanah sesuai dengan kuota tanaman kacangan
- Memanfaatkan luas tanah untuk memenuhi persyaratan terhadap padi dan jagung
- Tanam padi untuk tanah yang sisa jual kelebihannya
Namun hasil demikian dapat terjadi apabila tidak terjadi hal-hal lain, misalnya cuaca. Disini diandaikan terdapat 3 skenario, yaitu
1. Cuaca baik : kenaikan 20% 2. Cuaca rata-rata : tetap
3. Cuacaburuk : penurunan 20%
Masing-masing skenario memiliki peluang yang sama yaitu 1/3. Berikut model dengan adanya skenario
min 150x1 + 230x1 + 260x3 +1 3(238y11+ 210y21− 170w11− 150w21− 36w31− 10w41) +1 3(238y12+ 210y22− 170w12− 150w22− 36w32− 10w42) +1 3(238y13+ 210y23− 170w13− 150w23− 36w33− 10w43) kendala (I) x1+ x2+ x3 ≤ 500 x1, x2, x3 ≥ 0 (II) 3x1+ y11− w11 ≥ 200 3.6x2+ y21− w21≥ 240 w31+ w41 ≤ 24x3 w31≤ 6000 w11,21,31,41≥ 0 y11,21,31≥ 0 2.5x1+ y12− w12≥ 200 3x2+ y22− w22 ≥ 240 w32+ w42 ≤ 20x3 w32≤ 6000 w12,22,32,42≥ 0 y12,22,32≥ 0 Skenario 1 Skenario 2
19 2x1+ y13− w13 ≥ 200 2.4x2+ y23− w23≥ 240 w33+ w43 ≤ 16x3 w33≤ 6000 w13,23,33,43≥ 0 y13,23,33≥ 0 Skenario 3 Hasil optimalnya
Padi Jagung Kacang
Tahap I Areal (Are) 170 80 250
s=1 Hasil 510 288 6000 Penjualan 310 48 600 Pembelian - - -s=2 Hasil 425 240 5000 Penjualan 225 - 5000 Pembelian - - -s=1 Hasil 340 192 4000 Penjualan 140 - 400 Pembelian - 48 -Total Keuntungan 108390
Model program stokastik dengan recourse
min 150x1 + 230x2 + 260x3 +P3 1 P (s)(238y1(s) + 210y2(s) − 170w1(s) − 150w2(s) − 36w3(s) − 10w4(s)) kendala x1+ x2+ x3 ≤ 500 x1,2,3≥ 0 ε1(s)x1+ y1(s) − w1(s) ≥ 200 ε2(s)x2+ y2(s) − w2(s) ≥ 240
w3(s) + w4(s) ≤ ε2(s)x3 w3(s) ≤ 6000 y1,2,3(s) ≥ 0, w1,2,3,4(s) ≥ 0 s-skenario P (s) = 1 3, s = 1, 2, 3 ε1(1) ε2(1) ε3(1) ε1(2) ε2(2) ε3(2) ε1(3) ε2(3) ε3(3) = 3.0 3.6 24 2.5 3.0 20 2.0 2.4 16 Matriks acak Jadi
min 150x1 + 230x2 + 260x3 ← bagian deterministik (tahap I)
+ 3 X 1 P (s) (238y1(s) + 210y2(s) − 170w1(s) − 150w2(s) − 36w3(s) − 10w4(s)) | {z }
Bagian stokastik ( tahap II )
kendala x1 + x2+ x3 6500 x1,2,3 >0
← kendala deterministik ( tahap I )
ε1(s)x1+ y1(s) − w1(s) > 200 ε2(s)x2+ y2(s) − w2(s) > 240 w3(s) + w4(s) 6 ε2(s)x3 w3(s) 6 6000 y1,2,3(s) > 0, w1,2,3,4(s) > 0 s = 1,2,3
21 Dari bentuk model ini dapat dituliskan fungsi recoursenya adalah
Q(x1, x2, x3, s) = min 238y1(s)+210y2(s)−170w1(s)−150w2(s)−36w3(s)−10w4(s)
Kendala ε1(s)x1+ y1(s) − w1(s) > 200 ε2(s)x2+ y2(s) − w2(s) > 240 w3(s) + w4(s) 6 ε2(s)x3 w3(s) 6 6000 y1,2,3(s) > 0, w1,2,3,4(s) > 0
Jadi nilai ekspektasi dari fungsi recourse Q(x) = E3Q(x, ε) =
3
X
1
P (s)Q(x1, x2, x3, s)
Sehingga model recourse berbentuk
min 150x1+ 230x2 + 260x3+ E3Q(x, ε)
kendala x1+ x2+ x3 6500
x1+ x2+ x3 >0
atau secara umum model recourse dua tahap dapat ditulis sebagai
min c − Tx −+ Q(x−) kendala Ax −= b− x −>0−
secara lebih umum model recourse ini dapat berbentuk min x f1(x) + Eε[Q(x, ε)] kendala Ax −= b− x −>0−
dimana untuk setiap realisasi w dari ε Q(x, w) = min
y f2(y, w)
kendala W (w)y = h(w) − v(w)x
y > 0
nilai ekspektasi dari nilai objektif tahap kedua merupakan recourse. Pada tahap pertama sebuah keputusan dibuat didasarkan pada data yang tersedia pada saat itu. Ditahap kedua, untuk setiap realisasi yang mungkin dari peubah acak ε, suatu keputusan baru diambil yang tergantung pada keputusan tahap satu. Ekspektasi biaya pada kedua tahap dihitung dan keputusan tahap satu dapat direvisi untuk mencapai keseimbangan biaya keseluruhan yang lebih baik antara tahap 1 dan 2. Proses demikian ini diulang hingga ekspektasi biaya keseluruhan optimal.
Peubah ketidakpastian dengan sebaran kontinu
Di bawah ini diilustrasikan tentang program stokastik linier dengan para-meter ketidakpastian memiliki sebaran kontinu
Padi Jagung Kacang
Hasil (T/are) ε1 ε2 ε3
Biaya Tanam (Rp/are) 150 230 280
Harga Jual (Rp/T) 170 150 30 ≤ 6000T
10 > 6000T
Kebutuhan Minimum (T) 200 240
Harga Beli (Rp/T) 238 210
Luas Tanah yang tersedia 500 are 1. ε1, ε2, ε3 tersebar bebas 2. `i ≤ εi ≤ ui, i = 1, 2, 3 bersebaran bebas Kepadatan Pε(t) = 1/(ui− `i) `i ≤ t ≤ ui 0 t 6∈ [`i, ui]
23 Formulasi Program Stokastik
min 150x1 + 230x2 + 260x3 ← bagian deterministik (tahap I)
+ Eε1,ε2,ε3(238y1+ 280y2 − 170w1 − 150w2 − 36w3 − 10w4)
| {z }
Bagian stokastik (tahap II)
Kendala I x1+ x2+ x36 500 x1, x2, x3 >0
← Kendala deterministik (tahap I)
II ε1x1+ y1− w1>200 ε2x2+ y2− w2>240 w3+ w4 6ε3x3 w3 66000 y1,2,3>0, w1,2,3,4>0
← Kendala stokastik (tahap II)
Dekomposisi program stokastik
y1, w1 hanya tergantung pada keputusan x1 dan hasil acak ε1 (padi)
y2, w2 hanya tergantung pada keputusan x2 dan hasil acak ε2 (padi)
y3, w3 hanya tergantung pada keputusan x3 dan hasil acak ε3 (padi)
Q1(x1, ε1) = min 238y1(ε1) − 170w1(ε1)
Kendala ε1x1+ y1− w1 >200 Padi
y1(ε1) > 0, w1(ε1) > 0
Q2(x2, ε2) = min 210y2(ε2) − 150w2(ε2) Jagung
Kendala ε2x2+ y2(ε2) − w2(ε2) > 240 y2(ε2) > 0, w2(ε2) > 0 Q3(x3, ε3) = min(−36w3(ε3) − 10w4(ε3)) Kendala w3(ε3) + w4(ε3) 6 ε3x3 Kacang w3(ε3) 6 6000 w3(ε3) > 0
Bentuk Eksplisit Fungsi Recourse Padi y1(ε1) = − min[ε1x1− 200, 0], w1(ε1) = max[ε1x1 − 200, 0], Q1(x1, ε1) = −238 min[ε1x1− 200, 0] − 170 max[ε1x1− 200, 0] Jagung y2(ε2) = − min[ε2x2− 240, 0], w1(ε1) = max[ε2x2− 240, 0] Q2(x2, ε2) = −210 min[ε2x2− 240, 0] − 150 max[ε2x2− 240, 0] Kacang w3(ε3) = min[6000, ε3x3], w4(ε3) = max[ε3x3 − 6000, 0] Q3(x3, ε3) = −36 min[6000, ε3x3] − 10 max[ε3x3− 6000, 0]
Jadi Formulasi Recourse min 150x1 + 230x2 + 260x3
+ Eε1Q1(x1, ε1) + Eε2Q2(x2, ε2) + Eε3Q3(x3, ε3)
Kendala
25 Perhitungan nilai Ekspektasi untuk Fungsi Recourse
Padi: Hasil ε1 bersebaran uniform
Pε1(t) = 1/(ui− `i) `i 6t 6 ui 0 t /∈ [`i, ui] 1. Kasus apabila u1, x1≤ 200 : Q1(x1, ε1) = −238[x1, ε1− 200] Q1(x1) = Eε1Q1(x1, ε1) = −238 u1 lim `1 (tx1200)Pε1(t)dt = 7600 − 238x1ε¯1 dengan ¯ε1 = u1+ x1
2 dalam nilai ekspektasi dari εi, i = 1, 2, 3.
2. Kasus apabila `1x1 ≤ 200 ≤ u1x1 Q1(x1) = Eε1Q1(x1, ε1) = −238limu1 `1 (tx1− 200)Pε1(t)dt − 170 u1 lim 200/x1 (tx1− 200)Pε1(t)dt = −170(¯ε1x1− 200) + 34 (200 − `1x1)2 (u1− `1)x1 3. Kasus apabila 200 ≤ `1x1 : Q1(x1, ε1) = 170(x1, ε1− 200) Q1(x1) = Eε1Q1(x1, ε1) = −170 u1 lim `1 (tx1− 200)Pε1(t)dt = 34000 − 170x1ε¯1
Analog untuk jagung dan kacang terdapat
Jagung Q2(x2) = 50400 − 210x2ε¯2 u2x2 6240 −150(x2ε2− 240) + 30(240−`2x2) 2 (u2−`2)x2 `2x2 6240 6 u2x2 36000 − 150x2ε¯2 240 6 `2x2 Kacang Q3(x3) = −36x3ε¯3 u3x3 66000 −36x3ε¯3+ 13(u3x3−6000) 2 (u3−`3)x3 `3x3 6240 6 u3x3 −156000 − 10x3ε¯3 6000 6 `3x3
Jadi dapat dituliskan formulasi global dari program stokastik sebagai Problem optimisasi konveks
min 150x1 + 230x2 + 260x3 + Q1(x1) + Q2(x2) + Q3(x3)
dengan kendala x1+ x2+ x3 ≤ 500
x1, x2, x3 ≥ 0
Qi(xi) merupakan fungsi konveks kontinu yang hanya tergantung pada vector
keputusan x. Derivasi Penyelesaian optimal Notasi (c1, c2, c3) = (150.230.260) λ - peubah dual Syarat Karush-Kuhn-Tucker xi ci+ ∂ ∂xi Qi(xi) + λ = 0 ci+ ∂ ∂xi Qi(xi) + λ ≥ 0 λ(x1+ x2+ x3− 500) = 0 x1+ x2+ x3 ≤ 500 x1, x2, x3 ≥ 0 , λ ≥ 0 Perhitungan derivative Padi ∂ ∂x1 Q1(x1) = −238¯ε1 u1x1 6200 −34 `21 u1−`1 − 5¯ε1− 40000 (u1−`1)x1 `1x1 6200 6 u1x1 36000 − 150x2ε¯2 200 6 `1x1 Jagung ∂ ∂x2 Q2(x2) = −210¯ε2 u2x2 6240 −30 `22 u2−`2 − 5¯ε2− 57600 (u2−`2)x2 `2x2 6240 6 u2x2 −150¯ε2 240 6 `2x2
27 Kacang ∂ ∂x3 Q3(x3) = −36¯ε3 u3x3 66000 −36¯ε3 + 13u 2 3 u3−`3 − 468.106 (u3−`3)x23 `3x3 66000 6 u3x3 −10¯ε2 6000 6 `3x3
Jika diandaikan bahwa
`1 = 2, 0, u1 = 3, 0, ε¯1= 2, 5
`2 = 2, 4 u1 = 3, 6, ε¯2= 3, 0
`3 = 16, u1 = 24, ε¯3= 20
Dengan memakai teknik enumerasi dapat ditentukan bahwa penyelesaian optimal harus memenuhi x1 ≥ 100, 200 3 ≤ x2 ≤ 100, 250 ≤ x3 ≤ 375 Sistem persamaan −275 + λ = 0 −76 −1, 44(10 6) x2 2 + λ = 0 476 − 5, 85(10 7) x2 3 + λ = 0 x1+ x2+ x3 = 500
Jadi diperoleh nilai optimal
λ∗ = 275, x∗1 = 135, 83, x∗2 = 85.07, x∗3 = 279, 10
3.5 Klasifikasi
Ada beberapa klasifikasi dari program recourse. Suatu program recourse dikatakan mempunyai
1. Recourse tetap (fix) jika untuk recourse w tetap untuk semua hasil wi.
2. Recourse lengkap jika untuk semua v ∈ Rm, terdapat y ≥ 0 sehingga w y = v.
3. Recourse relatif lengkap jika untuk semua x ≥ 0 sehingga Ax = b dan untuk semua w ∈ Ω ada y ≥ 0 sehingga W(w)y = h(w) − V(w)x
4. Recourse sederhana jika W dapat dinyatakan sebagai W = [II]
Recourse sederhana merupakan kasus khusus dari recourse lengkap yang selanjut-nya merupakan kasus khusus dari recourse relatif lengkap.
Recourse relatif lengkap mengakibatkan bahwa untuk semua x yang layak ter-hadap kendala tahap I problema recourse mempunyai daerah layak tak kosong. Secara ilustrasi keadaan ini dapat terlihat dari contoh yang dikemukakan sebelum-nya.
3.6 Model Tahap-Ganda
Persoalan rekursif tidak dibatasi pada formulasi dua-tahap. Mungkin saja pengamatan dibuat pada T tahap berbeda dan terungkap dalam kumpulan infor-masi At|Tt=1dengan A1 ⊂ A2 ⊂ · · · AT
.
Tahap berhubungan dengan waktu ketika beberapa informasi terungkap dan suatu keputusan dapat diambil (Perhatikan bahwa T adalah indeks waktu, sedangkan T (w) matriks)
Program stokastik tahap-ganda dengan recourse akan mempunyai persoalan recourse pada tahap τ yang dikondisikan pada informasi yang diberikan oleh Aτ,
yang mencakup semua informasi berasal dari himpunan informasi dalam At, untuk
t = 1, 2, · · · , τ . Program ini juga mengantisipasi informasi dalam At, untuk t =
29 Andaikan Vektor acak w memiliki support Ω = Ω1 × Ω2 × · · · × ΩT, yang
merupakan himpunan perkalian dari semua himpunan support individu Ωt, t =
1, 2, · · · , T . w ditulis secara komponen-komponen w = (w1, · · · , wT). Nyatakan
vektor peubah tahap-pertama dengan y0. Untuk setiap tahap t = 1, 2, · · · , T
definisikan vektor peubah recourse yt ∈ RMn, fungsi biaya acak q(yt, wt) dan
parameter acak {Tt(wt), Wt(wt), ht(wt)|wt∈ Ωt}.
Program tahap ganda yang memperluas model dua-tahap , diformulasikan sebagai persoalan optimasi terkelompok berikut
min f(y0) ∗ E " min y1∈RM1+ ξ(y1, w1) + · · · + E " min yT∈RMT+ ξ(yT, wT) # · · · # kendala T1(w1)y0+ W1(w1)y1 = h1(w1) ... TT(wT)yT −1+ WT(wT)yT = hk(wT) y0 ∈ RM+0
Untuk kasus distribusi peluang diskrit dan tersebar berhingga model tahap ganda dapat diformulasikan menjadi program tak linier berskala besar determi-nistik yang ekivalen.
Fungsi objektif (19) adalah modifikasi perluasan Lagrange dimana parame-ter pinalti ρ mepercepat sifat konvergensi dari estimasi awal yang jauh dari titik optimum. Pengganda Lagrange λk diambil sebagai harga optimal pada
penye-lesaian sebelumnya. Jika sikuen dari iterasi besar mendekati optimum (seperti yang diukur oleh perubahan relatif dalam estimasi berurutan pada xk) parameter
pinalti ρ dikurangi ke nol dan kecepatan konvergensi kuadarat dari subproblema dicapai.
Ax = b dalam mana dapat dipartisi peubah-peubah dengan memperkenalkan pengertian peubah superbasis berikut:
Ax = [B S N] xB xS xN = b (3.14)
Matriks basis n×m B adalah bujur sangkar dan nonsingular dan kolom-kolomnya berkoresponden dengan peubah basis (xB), r kolom dari N berhubungan dengan
peubah non-basis (xN) (asalkan terdapat r peubah yang fix pada batas-batasnya).
Matriks S dengan kolom nmr , berkoresponden dengan peubah sisa yang disebut peubah superbasis (xS).
Metode yang diajukan menggunakan strategi ”kendala aktif” dengan kendala umum dalam beberapa bagian dari kendala batas menjadi aktif pada sembarang waktu tertentu.
Kendala aktif dapat disajikan sebagai berikut :
Ax = BSN I xB xS xN = b − bN Jadi terdapat BxB+ SxS+ NxN = b xN = bN
Dengan bN adalah kombinasi dari batas atas dan batas bawah.
Pernyataan ini menunjukkan bahwa peubah non basis dipertahankan sama dengan salah satu dari batas batas mereka dan tinggal di sana untuk langkah berikutnya. Peubah superbasis xS bebas bergerak kesembarang arah dan memberikan
31 persamaan berikut :
B 4 xB+ S 4 xS = 0
jadi 4x dapat ditulis dalam perubahan pada peubah superbasis sebagai berikut : 4x = Z 4 xS
Matrik Z bekerja sebagai ”reduksi” dan mengalikan arah kiri vektor membentuk tereduksi h = ZTg, dan juga mengalikan dari kiri dan kanan matrik Hessi dari
turunan parsial kedua (G) untuk menghasilkan langkah seperti Newton dan ruang superbasis yang terciut, yaitu :
ZTGZps = −ZTg, p= Zps
dengan p adalah vektor arah layak.
Implementasi metode menggunakan approximasi quasi Newton RTR
ter-hadap matrik hessi tereduksi, dengan R adalah matrik segitiga atas. Metode numerik stabil yang didasari pada transformasi orthogonal dipakai, dan ”spar-sity” dalam kendala dipertahankan dengan menyimpan dan meng-update sparse faktorisasi L U dan B.
3.7 Pengertian Konveksitas
Definisi 1 Andaikan f(x) adalah fungsi yang bernilai real yang didefenisikan pa-da himpunan konveks C di pa-dalam Rn maka :
a) Fungsi f(x) adalah konveks pada C jika
f(λx + [1 − λ]y) ≤ λf(x) + [1 − λ]f(y) Untuk setiap x, y di dalam C dan semua λ dengan 0 ≤ λ ≤ 1;
b) Fungsi f(x) adalah konveks strictly pada C jika
f(λx + [1 − λ]y) < λf(x) + [1 − λ]f(y)
Untuk setiap x, y di dalam C dengan x 6= y dan semua λ dengan 0 < λ < 1.
Jika pertidaksamaan dari defenisi di atas berkebalikan (sebaliknya) diperoleh defenisi dari fungsi konkaf dan fungsi strictly konkaf.
BAB 4 PEMBAHASAN
4.1 Beberapa Pengertian
Andaikan F dan ˆF berturut-turut fungsi sebaran kumulatif (cdf) kontinu kiri dan kontinu kanan dari peubah acak ξ, yaitu F (s) = Ps(ξ ≤ s) dan ˆF (s) =
Pr(ξ < s) (jelas jika ξ mempunyai fungsi kepadatan peluang (pdf ) maka F = ˆF ),
maka (dari Louveaux dan Van der Vlerk (1993)) : g(z) = ∞ X h=0 (1 − F (z + h)) = ∞ X h=0 P {ξ > z + h} (4.1) h(z) = ∞ X h=0 ˆ F (z − h) = ∞ X h=0 P {ξ < z − h} (4.2)
Fungsi g dan h dihubungkan oleh transformasi elementer.
Lemma 1 Andaikan ξ suatu peubah acak. Definisikan e = −ξ , maka : h(z) = gξ(−z), z ∈ R
dimana
gξ = Eξ[e − z]+
Peubah acak ξ memiliki cdfFξ(s) = 1 ˆF (−s). Jika ξ mempunyai pdf f maka ξ
mempunyai pdf fξ(s) = f(−s).
Bukti : Karena [s]−= [−s]+, s ∈ R, akibatnya
Relasi antara cdf (dan pdf ) dari peubah acak ξ dan ξ trivial.
Dalam mengkaji konveksitas fungsi g, h dan Q akan dipergunakan syarat perlu dan cukup untuk konveksitas dari suatu fungsi dalam hal derivatif kanannya : suatu fungsi ϕ konveks pada selang [a, b] jika dan hanya jika derivatif kanannya ϕ tak turun pada [a, b].
Akan diperlihatkan bahwa eksistensi derivatif kanan dari g, h dan ˆϕ tergan-tung pada total variasi kepadatan f dari ξ. Walaupun hanya diperlukan keber-hinggaan dari deret yang tercakup akan dibuktikan batas bawah dan batas atas.
Definisi 2 Andaikan ϕ fungsi berharga riel pada himpunan bagian tak kosong I dari R. Maka kenaikan total 4+ϕ(l), penurunan total 4−ϕ(I) dan variasi total
| 4 |ϕ(I) dari ϕ pada I didefinisikan sebagai ∆+ϕ(I) = sup
u ∞
X
i=1
(ϕ(ui) − ϕ(ui−1))+
∆−ϕ(I) = sup
u ∞
X
i=1
(ϕ(ui) − ϕ(ui−1))−
|∆| ϕ(I) = sup
u ∞
X
i=1
|ϕ(ui) − ϕ(ui−1)|
Dimana supremum diambil pada semua himpunan bagian berhingga u = {u0,
u1, · · · , un} ⊂ I sehingga u0 < u1 < · · · < un . Untuk semua I ⊂ R, | 4 |ϕ(I) =
4+ϕ(I)+ 4−ϕ(I) selanjutnya dipakai notasi 4+ϕ(I), 4−ϕ(I) dan |4|ϕ(I) untuk
kasus I = R
Definisi 3 Suatu fungsi riel ϕ pada R adalah variasi terbatas jika | 4 |ϕ < + ∼
Kemudian dikaji fungsi kepadatan peluang dari variaasi terbatas didasarkan pada lemma berikut:
35 Lemma 2 Andaikan fungsi riel ϕi pada R+ nonnegatif tak naik dan
terinte-gralkan, i = 1, 2. maka fungsi ϕ = ϕ1ϕ2 jika variasi terbatas pada (0, ∼). Juga
−∞ < −∆+ϕ([0, ∞)) 6 P∞ k=0 ϕ(k) − ∞ R 0 ϕ(x)dx 6∆−ϕ([0, ∞)) < ∞ (4.3) dan −∞ < −∆−ϕ([0, ∞)) 6 P∞ k=1 ϕ(k) − ∞ R 0 ϕ(s)ds 6∆+ϕ([0, ∞)) < ∞ (4.4)
Bukti (lihat Hanneveld et.al. (1997)).
Pada lemma berikut, hasil tadi diterapkan pada suatu kelas fungsi kepadatan peluang pada R dengan variasi terbatas.
Lemma 3 Andaikan untuk i = 1, 2, fungsi fi : R → [0, 1] memenuhi persyaratan
berikut :
(i) fi tak naik.fi(−∞) = 0, fi(+∞) = 1, i = 1, 2
(ii) f1(s) ≥ f2(s) untuk semua s ∈ R dan {S ∈ R : f1(s) > f2(s)} memiliki
ukuran lebesque positif (iii) 0 R −∞ f1(s)ds < ∞ dan ∞ R 0 (1 − f2(s))ds < ∞ Maka c := ∞ R −∞
(f1(s)−f2(s))ds ∈ (0, ∞), dan fungsi f : R → R+yang didefenisikan
oleh:
f(s) = 1
c(f1(s) − f2(s), s ∈ R
merupakan pdf . Tambahan lagi, f memiliki versi kontinu kanan f+ dan versi
kontinu kiri f− yang diberikan oleh :
f+(s) := lim
f−(s) := lim
t↑s f(t), s ∈ R
yang mempunyai fungsi sebaran kumulatif sama seperti f. Perlihatkan cdf ini dengan F , terdapat :
1 − F (z − 1) − ∆−f([z − 1, ∞)) 6 P∞ k=0 f(z + k) 61 − F (z) + ∆−f([z, ∞)) (4.5) dan F (z) − ∆+f((−∞, z]) 6 P∞ k=0 f(z − k) 6F (z − 1) + ∆+f((−∞, z − 1]) (4.6) P df f adalah variasi terbesar, sehingga batas seragam berikut berlaku :
1 − F (z − 1) −|∆| f 2 6 ∞ X k=0 f(z + k) 6 1 − F (z) + |∆| f 2 (4.7) F (z) − |∆| f 2 6 ∞ X k=0 f(z − k) 6 F (z − 1) +|∆| f 2 (4.8)
Bukti : Jelas, c > 0 karena (ii), juga c < ∞ karena (i) dan (iii)
∞ R −∞ (f1(s) − f2(s))ds = 0 R −∞ (f1(s) − f2(s))ds + ∞ R 0 (f1(s) − f2(s))ds ≤ 0 R −∞ f1(s)ds + ∞ R 0 f2(s)ds < ∞
Karena itu f adalah pdf . Kemudian, karena f1 dan f2 monoton, mereka
mem-punyai semua limit dari kiri dan kanan, jadi f juga demikian karena f1 dan f2 tak
naik dan terbatas, mereka hanya dapat mempunyai jumlah diskontinuitas terhi-tung, sehingga f−(s) = f(s) = f+(s) untuk semua s ∈ R kecuali untuk himpunan
ukuran 0. batas atas dalam (4.8) berakibat dari batas atas dalam (4.4) dengan mengambil, untuk s ∈ R ϕ(s) = f(z + s) ϕ1(s) = 1 − f2(z + s) c ϕ2(s) = 1 − f1(z + s) c
37
ϕ1 dan ϕ2 nonnegatif, tak naik dan terintegralkan pada R, karena 0 ≤ ∞ R z (1 − f1(s)ds ≤ ∞ R z
(1 = f2(s)ds < ∞. Batas bawah dalam (4.8) berikut dari batas
bawah dalam (4.5) dengan mengambil
ϕ(s) = f(z − 1 + s) ϕ1(s)= 1 − f2(z − 1 + s) c ϕ2(s)= 1 − f1(z − 1 − s) c dengan memakai ∞ R z (1 − f1(s)ds ≤ ∞ R z (1 − f2(s)ds < ∞.
Analog, batas atas dan bawah dalam (4.9) berasal dari (4.4) dan (4.5), dengan mengambil, untuk s ∈ R ϕ(s) = f(z − 1 − s) ϕ1(s)= 1 − f2(z − s) c ϕ2(s)= 1 − f1(z − s) c
Akhirnya, (4.10) dan (4.11) akibat dari (4.8) dan (4.9) dengan mengamati bahwa, untuk semua z ∈ R, 4−f([z, ∞)) ≤ 4−f dan 4+f((−∞, z]) ≤ 4+f. Jadi,
karena 4+f − 4−f = f(∞) − f(−∞) = 0 − 0 = 0 dan 4+f + 4−f = | 4 |f,
terdapat 4−f = − 4+f = (| 4 |)f
2 .
4.2 Sifat Konveksitas
Dibagian ini dibentangkan karakteristik dari pdf dalam F sehingga fungsi g, h dan ˆQ konveks. Dapat diandaikan bersebaran kontinu, karena dari lemma 3 memperlihatkan bahwa jika ξ bersebaran diskrit, maka fungsi-fungsi ini berhingga dan diskontinu, jadi tak konveks. Juga untuk sebaran kontinu dari konveksitas ξ merupakan pengecualian bukan aturan.
Lemma 4 Untuk setiap α ∈ [0, 1), persyaratan dari g, h dan ˆQ terhadap {a + Z} adalah konveks.
Bukti. Dengan memakai (4.2) terdapat
g(α + n + 1) − g(α + n) = F (α + n) − 1, ∀n ∈ Z
Dari kenyataan bahwa cdf F tak naik diperoleh bukti lemma untuk g. Dengan memakai (4.3) hasil sama berlaku untuk h dan ˆϕ.
Sekarang didefenisikan himpunan C ⊂ ξ fungsi kepadatan peluang sehingga
fungsi nilai ekspektasi terkait ˆQ (juga g dan h) konveks.
Definisi 4 Andaikan C menyatakan himpunan pdf dalam F sedemikian hingga fungsi nilai ekspektasi terkait ˆQ konveks, yaitu :
C = f ∈ f : ∞ P h=0
f+(z + h) fungsi tak naik z, dan ∞ P h=0 f+(z − h) (fungsitakturun z
Himpunan bagian yang mengandung semua kontinu kanan elemen C dinyata-kan oleh C+. Jika diketahui bahwa F konveks, jelas bahwa C dan C+ himpunan
konveks. Lemma berikut memberikan sifat yang dimiliki oelh semua elemen C.
Lemma 5 Jika f ∈ C maka
∞
P
h=−∞
f+(z + h) = 1 untuk semua z ∈ R.
Bukti. Dari asumsi, f ∈ C jika dan hanya jika ˆQ konveks apabila peubah cacah ξ mempunyai pdf f. ¯Q(z) ≤ ˆQ(z) + maks [q+, q−] berlaku untuk semua z ∈ R,
dimana fungsi konveks ˆQ merupakan fungsi nilai ekspektasi satu dimensi dari relaksasi kontinu (4.1), yaitu ¯Q(z) = q+∈ (ξ − z)++ q− ∈ (ξ − z)−, z ∈ R.
39 sama seperti asimptot dari ˆQ berturut-turut, −q+ dan q−. Karena itu, dalam kasus ini ˆQ+ tak turun dari lim
z→−∞ ¯ Q+(z) = −q+ ke lim z→∞ ¯ Q+(z) = q−. Dengan
memakai lemma 3 terdapat untuk z ∈ R dan n ∈ Z. ¯ Q+(z + n) = −q+ ∞ P h=0 f+(z + h) + q− ∞ P h=−∞ f+(z + h) = ∞ P h=−∞ (−q+· l (h≥n)+ q−· l(h≤n))f+(z + h) (4.9)
Karena f ∈ F , akibatnya (lihat (4.10) dan (4.11)) S(z) =
∞
X
k=−∞
f+(z + h)
berhingga untuk semua z ∈ R . karena itu terdapat untuk semua n ∈ Z
∞
X
h=−∞
−q+.l{h>n}+ q−.l{h6n} f+(z + h) 6 (q++ q−)s(z) < ∞
Sehingga dengan mengambil n → −∞ dan n → ∞ dalam (4.12) diperoleh −q+ = −q+S(z) dan q−1= q−1S(z)
Mengakibatkan S(z) = 1. terbukti.
Namun perlu diperhatikan bahwa kondisi
∞
P
h=−∞
f+(z + h) = 1 untuk semua
5.1 Kesimpulan
Model program stokastik yang diperhatikan dalam tesis ini adalah model recourse sederhana dengan matriks teknologi tetap dan peubah tahap kedua in-teger. Keterpisahan yang diakibatkan oleh struktur recourse sederhana membuat kajian dapat dilakukan dalam satu dimensi
Dalam mengkaji konveksitas dari fungsi yang terlihat dalam model, digu-nakan kondisi perlu dan cukup agar suatu fungsi konveks dengan memperhatikan derivatif kanannya.
Diperlihatkan juga bahwa eksistensi derivatif kanan dari fungsi yang terli-bat dalam model tergantung pada variasi total dari kepadatan fungsi terhadap skenario.
Hasil yang diperoleh dapat menjadi dasar untuk memperoleh pendekatan konveks untuk kasus konveks yang lebih umum. Dalam kasus fungsi Q non-konveks untuk suatu sebaran yang diberikan dengan cdf F dapat dibentuk suatu pendekatan konveks dengan menggantikan sebaran awal dengan pdf dalam C.
5.2 Saran
Penelitian yang dilakukan berupa pendekatan konveksitas saja, untuk ke-lanjutannya akan diteliti tentang model konveksitasnya.
41 DAFTAR PUSTAKA
A. Prekopa. Stochastik Programming. Kluwer Academic Publishers, Dord recht, 1995.
F.V. Louveaux and R. Schultz. Stochastic integer programming, 2003
F.V. Louveaux and M.H. van der Verk. Stochastic programming with simple integer recourse. 1993
J.R. Birge and F.V. Louveaux . Introduction to Stochastic Programming. Springer Verlag, New York, 1997.
L. Stougie and M.H. van der Vlerk. Stochastic integer programming. In M. Dell, Amico, F. Maffioli, and S. Martello, editors, Annoated Bibliographies in Com-binational optimization, 1997.
M.H. van der Vlerk. Convex approximations for a class of mixed- integer recourse models wakong papewr of departement of econometries and OR, university of Gerningen, 2005.
M.H. van der Vlerk. Convex approximations for complete integer recourse models. Math Program, 2004.
P. Kall and S.W. Wallace. Stochastic Programming. Wiley, Chichester, 1994. R.J-B. Wets. Solving stochastic programs with simple recourse. Stochastic, 1984. R. Schultz. Continuity properties of expectation functions in stochastic integer
pro-gramming. Math. Oper.Res, 1993
W.K. Klein Haneveld and M.H. van der Vlerk. Stochastic integer programming: General models and algprithms. Ann. Oper. Res, 1999.
W.K. Klein Haneveld, L. Stougie, and M.H. van der Vlerk. On the convex hull of the simple integer recourse objective function. Ann. Oper. Res, 1995.
W.K. Klein Haneveld, L. Stougie, and M.H. van der Vlerk. Convex simple integer recourse models SOM Research Report 9+ A10, 1997
