Pengertian Refleksi (Pencerminan) / M

BAB 3 SETENGAH PUTARAN/H

A. Pengertian Refleksi (Pencerminan) / M

Refleksi adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yang hendak dipindahkan itu. Refleksi suatu bangun geometri adalah proses mencerminkan setiap titik bangun geometri itu terhadap garis tertentu. Garis tertentu itu dinamakan sebagai sumbu cermin atau sumbu simetri. Jika suatu bangun geometri dicerminkan terhadap garis tertentu, maka bangun bayangan kongruen dengan bangun semula.

Menurut Rawuh (1993: 48), secara matematis refleksi dapat didefinisikan sebagai berikut: suatu pencerminan (refleksi) pada sebuah garis 𝑠𝑠 adalah suatu fungsi 𝑀𝑀𝑠𝑠 yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang Euclid 𝑣𝑣 sebagai berikut :

1. 𝐽𝐽𝑔𝑔𝑘𝑘𝑎𝑎 𝑃𝑃 ∈ 𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑘𝑘𝑎𝑎 𝑀𝑀_𝑠𝑠(𝑃𝑃) = 𝑃𝑃

2. 𝐽𝐽𝑔𝑔𝑘𝑘𝑎𝑎 𝑃𝑃 ∉ 𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑘𝑘𝑎𝑎 𝑀𝑀_𝑠𝑠(𝑃𝑃) = 𝑃𝑃′ sehingga garis 𝑠𝑠 adalah sumbu 𝑃𝑃𝑃𝑃′�����

Maka 𝑠𝑠 disebut sumbu refleksi (cermin) 𝑀𝑀_𝑠𝑠.

Sifat – Sifat Refleksi

1. Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah.

2. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat:

a. Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan.

b. Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatif.

3. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus bersifat komutatif.

4. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:

a. Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran.

b. Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu pencerminan.

c. Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama kesumbu kedua.

B. PersamaanRefleksi

Persamaan Transformasi Refleksi pada Bidang:

Refleksi RumusPersamaan Matriks

Refleksi terhadap

Refleksi terhadap

Dalil R1 : Refleksi (Pencerminan) sebagai suatu Kolineasi

Bukti: diberikan sebarang titik 𝐴𝐴(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) pada garis 𝑜𝑜 Bila 𝑔𝑔_𝑚𝑚(𝐴𝐴) = 𝐴𝐴′

Dalil: pencerminan adalah suatu isometri

Dalil R2 : Refleksi (Pencerminan) sebagai suatu Isometri

Pencerminan dikatakan sebagai suatu Isometri karena, setiap pencerminan pada garis merupakan suatu Isometri lawan.

Bukti :

1. Setiap refleksi merupakan transformasi kongruen

Misal 𝑔𝑔𝑚𝑚 adalah sebuah refleksi dengan 𝑔𝑔𝑚𝑚(𝐴𝐴) = 𝐴𝐴′ dan 𝑔𝑔𝑚𝑚(𝐵𝐵) = 𝐵𝐵′.

Untuk membuktikan bahwa 𝑔𝑔𝑚𝑚 adalah sebuah transformasi yang mempertahankan jarak, harus ditunjukkan bahwa 𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝐴𝐴′𝐵𝐵′. Tinjau empat kasus:

a. Kasus I. Titik 𝐴𝐴 dan titik 𝐵𝐵 segaris:

Misalkan 𝑚𝑚 adalah sebuah garis pada bidang. Titik 𝐴𝐴 dan titik 𝐵𝐵 keduanya terletak pada garis 𝑚𝑚. Maka :

1) 𝑔𝑔_𝑚𝑚(𝐴𝐴) = 𝐴𝐴′∈ 𝑚𝑚 sehingga 𝐴𝐴𝐴𝐴′ = 0 ⟺𝐴𝐴′ = 𝐴𝐴 2) 𝑔𝑔𝑚𝑚(𝐵𝐵) = 𝐵𝐵′∈ 𝑚𝑚 sehingga 𝐵𝐵𝐵𝐵′ = 0 ⟺𝐵𝐵′ = 𝐵𝐵 Karena 𝐴𝐴′ = 𝐴𝐴 dan 𝐵𝐵′ = 𝐵𝐵, maka 𝐴𝐴′𝐵𝐵′ = 𝐴𝐴𝐵𝐵

Dapat disimpulkan refleksi mempertahankan jarak dua titik yang segaris.

b. Kasus II. Titik 𝐴𝐴 pada garis dan titik 𝐵𝐵 diluar garis

Misalkan 𝑚𝑚 adalah sebuah garis pada bidang. Titik 𝐴𝐴 terletak pada garis 𝑚𝑚 dan titik 𝐵𝐵 terletak diluar garis 𝑚𝑚. Maka

1) 𝑔𝑔𝑚𝑚(𝐴𝐴) = 𝐴𝐴′∈𝑚𝑚 sehingga 𝐴𝐴𝐴𝐴′ = 0 ⟺𝐴𝐴′ = 𝐴𝐴

2) 𝑔𝑔𝑚𝑚(𝐵𝐵) = 𝐵𝐵′ sehingga 𝑚𝑚⊥𝐵𝐵𝐵𝐵′����� dan berpotongan di titik𝐶𝐶 = 𝐶𝐶′, maka 𝐵𝐵𝐶𝐶 = 𝐵𝐵′𝐶𝐶′ Karena 𝐴𝐴′𝐶𝐶′����� = 𝐴𝐴𝐶𝐶����, 𝑚𝑚∠𝐴𝐴𝐶𝐶𝐵𝐵 = 𝑚𝑚∠𝐴𝐴′𝐶𝐶′𝐵𝐵′ dan 𝐵𝐵′𝐶𝐶′

������= 𝐵𝐵𝐶𝐶���� (sisi, sudut, sisi) maka ∆𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 kongruen dengan

∆𝐴𝐴′𝐵𝐵′𝐶𝐶′. Dengan menggunakan perbadingan sisi-sisi yang bersesuaian diperoleh: ^{𝐵𝐵𝐶𝐶}

𝐵𝐵′𝐶𝐶′ =_{𝐴𝐴′𝐵𝐵′}^{𝐴𝐴𝐵𝐵} , Karena 𝐵𝐵𝐶𝐶 = 𝐵𝐵′𝐶𝐶′, maka:

𝐵𝐵𝐶𝐶

𝐵𝐵𝐶𝐶 =_{𝐴𝐴′𝐵𝐵′}^{𝐴𝐴𝐵𝐵} ⟺1 =_{𝐴𝐴′𝐵𝐵′}^{𝐴𝐴𝐵𝐵}

⟺𝐴𝐴′𝐵𝐵′ = 𝐴𝐴𝐵𝐵

Dapat disimpulkan refleksi mempertahankan jarak dua titik yang tidak segari

c. Kasus III. Titik 𝐴𝐴 dan titik 𝐵𝐵 keduanya terletak pada sisi yang sama diluar garis

Misalkan 𝑚𝑚 adalah sebuah garis pada bidang. Titik 𝐴𝐴 dan titik 𝐵𝐵 terletak pada sisi yang sama diluar garis 𝑚𝑚. Maka

1) 𝑔𝑔_𝑚𝑚(𝐴𝐴) = 𝐴𝐴′ sehingga 𝑚𝑚⊥𝐴𝐴𝐴𝐴′����� dan berpotongan di titik 𝐶𝐶 = 𝐶𝐶′, maka 𝐴𝐴𝐶𝐶 = 𝐴𝐴′𝐶𝐶′

2) 𝑔𝑔𝑚𝑚(𝐵𝐵) = 𝐵𝐵′ sehingga 𝑚𝑚⊥𝐵𝐵𝐵𝐵′����� dan berpotongan di titik 𝐶𝐶 = 𝐶𝐶′, maka 𝐵𝐵𝐶𝐶 = 𝐵𝐵′𝐶𝐶′

Karena ∆𝐵𝐵𝐶𝐶𝐵𝐵′ merupakan segitiga sama kaki, maka 𝐵𝐵𝐶𝐶���� = 𝐵𝐵′𝐶𝐶′������.

Karena 𝐵𝐵𝐶𝐶���� = 𝐵𝐵′𝐶𝐶′������, m∠𝐴𝐴𝐶𝐶𝐵𝐵 = 𝑚𝑚∠𝐴𝐴′𝐶𝐶′𝐵𝐵′ dan 𝐴𝐴𝐶𝐶 = 𝐴𝐴′𝐶𝐶′, (sisi, sudut, sisi) maka ∆𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 kongruen dengan ∆𝐴𝐴′𝐵𝐵′𝐶𝐶′ dengan menggunakan perbadingan sisi-sisi yang bersesuaian diperoleh:

𝐴𝐴𝐶𝐶

𝐴𝐴′𝐶𝐶′ = _{𝐴𝐴′𝐵𝐵′}^{𝐴𝐴𝐵𝐵} , Karena 𝐴𝐴𝐶𝐶 = 𝐴𝐴′𝐶𝐶′, maka:

𝐴𝐴𝐶𝐶

𝐴𝐴𝐶𝐶 =_{𝐴𝐴′𝐵𝐵′}^{𝐴𝐴𝐵𝐵} ⟺ 1 =_{𝐴𝐴′𝐵𝐵′}^{𝐴𝐴𝐵𝐵}

⟺𝐴𝐴′𝐵𝐵′ = 𝐴𝐴𝐵𝐵

Dapat disimpulkan refleksi mempertahankan jarak dua titik yang berada disisi yang sama diluar garis.

d. Kasus IV. Titik A dan titik B terletak pada sisi yang berlawanan di luar garis

Misalkan 𝑚𝑚 adalah sebuah garis pada bidang. Titik 𝐴𝐴 dan titik 𝐵𝐵 terletak pada sisi yang berlawanan diluar garis 𝑚𝑚. Maka

1) Jika 𝐶𝐶, 𝐶𝐶, 𝐸𝐸∈𝑚𝑚, maka 𝑔𝑔𝑚𝑚(𝐶𝐶) = 𝐶𝐶′∈𝑚𝑚, 𝑔𝑔𝑚𝑚(𝐶𝐶) = 𝐶𝐶^′∈𝑚𝑚 dan 𝑔𝑔𝑚𝑚(𝐸𝐸) = 𝐸𝐸′∈𝑚𝑚 sehingga 𝐶𝐶 = 𝐶𝐶′,𝐶𝐶 = 𝐶𝐶′ dan 𝐸𝐸 = 𝐸𝐸′

2) 𝑔𝑔𝑚𝑚(𝐴𝐴) = 𝐴𝐴′ sehingga 𝑚𝑚⊥𝐴𝐴𝐴𝐴′ dan berpotongan di titik𝐶𝐶 = 𝐶𝐶′, maka 𝐴𝐴𝐶𝐶 = 𝐴𝐴′𝐶𝐶′

3) 𝑔𝑔𝑚𝑚(𝐵𝐵) = 𝐵𝐵′ sehingga 𝑚𝑚⊥𝐵𝐵𝐵𝐵′ dan berpotongan di titik𝐸𝐸 = 𝐸𝐸′, maka 𝐵𝐵𝐸𝐸 = 𝐵𝐵′𝐸𝐸′

Karena 𝐴𝐴𝐶𝐶���� = 𝐴𝐴′𝐶𝐶′�����, 𝑚𝑚∠𝐴𝐴𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑚𝑚∠𝐴𝐴′𝐶𝐶′𝐶𝐶′ dan 𝐶𝐶𝐶𝐶���� = 𝐶𝐶′𝐶𝐶′������ (sisi, sudut, sisi) maka ∆𝐴𝐴𝐶𝐶𝐶𝐶 konruen dengan ∆𝐴𝐴′𝐶𝐶′𝐶𝐶′ dengan menggunakan perbadingan sisi-sisi yang bersesuaian diperoleh:

𝐴𝐴𝐶𝐶

𝐴𝐴′𝐶𝐶′ = _{𝐴𝐴′𝐶𝐶′}^{𝐴𝐴𝐶𝐶} , Karena 𝐴𝐴𝐶𝐶 = 𝐴𝐴′𝐶𝐶′, maka:

𝐴𝐴𝐶𝐶

𝐴𝐴𝐶𝐶 =_{𝐴𝐴′𝐶𝐶′}^{𝐴𝐴𝐶𝐶}⟺ 1 =_{𝐴𝐴′𝐶𝐶′}^{𝐴𝐴𝐶𝐶}

⟺𝐴𝐴′𝐶𝐶′ = 𝐴𝐴𝐶𝐶… … … …*)

Karena 𝐵𝐵𝐸𝐸���� = 𝐵𝐵′𝐸𝐸′������, 𝑚𝑚∠𝐵𝐵𝐸𝐸𝐶𝐶 = 𝑚𝑚∠𝐵𝐵′𝐸𝐸′𝐶𝐶′ dan 𝐸𝐸𝐶𝐶���� = 𝐸𝐸′𝐶𝐶′������(sisi, sudut, sisi) maka ∆𝐵𝐵𝐸𝐸𝐶𝐶 kongruen dengan ∆𝐵𝐵′𝐸𝐸′𝐶𝐶′ dengan menggunakan perbadingan sisi-sisi yang bersesuaian diperoleh:

𝐵𝐵𝐸𝐸

𝐵𝐵′𝐸𝐸′ =_{𝐶𝐶′𝐵𝐵′}^{𝐶𝐶𝐵𝐵} , Karena𝐵𝐵𝐸𝐸 = 𝐵𝐵′𝐸𝐸′, maka:

𝐵𝐵𝐸𝐸

𝐵𝐵𝐸𝐸 = _{𝐶𝐶′𝐵𝐵′}^{𝐶𝐶𝐵𝐵} ⟺ 1 =_{𝐶𝐶′𝐵𝐵′}^{𝐶𝐶𝐵𝐵}

⟺𝐶𝐶′𝐵𝐵′ = 𝐶𝐶𝐵𝐵… … … …**)

𝐴𝐴′𝐵𝐵′ = 𝐴𝐴′𝐶𝐶′ +𝐶𝐶′𝐵𝐵′ . Dari (*) : 𝐴𝐴′𝐶𝐶′ = 𝐴𝐴𝐶𝐶 dan(**) : 𝐶𝐶′𝐵𝐵′ = 𝐶𝐶𝐵𝐵, maka 𝐴𝐴′𝐵𝐵′ = 𝐴𝐴𝐶𝐶 +𝐶𝐶𝐵𝐵

𝐴𝐴′𝐵𝐵′ = 𝐴𝐴𝐵𝐵

Dapat disimpulkan refleksi mempertahankan jarak dua titik yang terletak diluar garis di sisi yang berlawanan.

“Keempat kasus di atas menunjukkan bahwa 𝐴𝐴′𝐵𝐵′ = 𝐴𝐴𝐵𝐵. Dapat disimpulkan bahwa setiap refleksi merupakan transformasi kongruen”

2. Dengan suatu refleksi, bayangan sebuah sudut adalah sebuah sudut dengan ukuran yang sama.

Misalkan 𝑚𝑚 adalah sebuah garis pada bidang. Titik 𝐴𝐴 dan titik terletak berseberangan dengan titik 𝐶𝐶 pada diluar garis 𝑚𝑚. Maka berdasarkan sifat pencerminan, jika 𝑔𝑔_𝑚𝑚(𝐴𝐴) = 𝐴𝐴′ , 𝑔𝑔_𝑚𝑚(𝐵𝐵) = 𝐵𝐵′ dan 𝑔𝑔_𝑚𝑚(𝐶𝐶) = 𝐶𝐶′, sehingga:

𝐵𝐵′𝐴𝐴′ = 𝐵𝐵𝐴𝐴 dan 𝐴𝐴′𝐶𝐶′ = 𝐴𝐴𝐶𝐶. Maka:

∠𝐵𝐵′𝐴𝐴′𝐶𝐶′ =𝐵𝐵′𝐴𝐴′������ ∪ 𝐴𝐴′𝐶𝐶′�����

= 𝐵𝐵𝐴𝐴���� ∪ 𝐴𝐴𝐶𝐶����

= ∠𝐵𝐵𝐴𝐴𝐶𝐶

Karena ∠𝐵𝐵′𝐴𝐴′𝐶𝐶′ = ∠𝐵𝐵𝐴𝐴𝐶𝐶, maka 𝑚𝑚∠𝐵𝐵′𝐴𝐴′𝐶𝐶′ = 𝑚𝑚∠𝐵𝐵𝐴𝐴𝐶𝐶

“Jadi bayangan sebuah sudut adalah sebuah sudut dengan ukuran yang sama.”

Dalil R3: Refleksi (Pencerminan) sebagai suatu Involusi Bukti: 𝑀𝑀_𝑚𝑚. 𝑀𝑀_𝑚𝑚 = 𝐼𝐼 atau 𝑀𝑀_𝑚𝑚 = 𝑀𝑀_𝑚𝑚⁻¹

𝑀𝑀𝑚𝑚 ≠ 𝐼𝐼 maka 𝑀𝑀𝑚𝑚. 𝑀𝑀𝑚𝑚 = 𝐼𝐼 Ambil titik 𝐵𝐵 ∉ S

𝑀𝑀_𝑚𝑚(𝐵𝐵) = 𝐵𝐵′, jarak (𝐵𝐵, 𝑆𝑆) = 𝑗𝑗𝑎𝑎𝑔𝑔𝑎𝑎𝑘𝑘 (𝑆𝑆, 𝐵𝐵^′) 𝑀𝑀_𝑚𝑚(𝐵𝐵′) = 𝐵𝐵′′, jarak (𝐵𝐵′, 𝑆𝑆) = 𝑗𝑗𝑎𝑎𝑔𝑔𝑎𝑎𝑘𝑘 (𝑆𝑆, 𝐵𝐵^′′) 𝐵𝐵

𝑚𝑚

𝐵𝐵^′ Akan dibuktikan: 𝐵𝐵^′′ = 𝐵𝐵 𝑆𝑆 sumbu dari 𝐵𝐵𝐵𝐵����� ^′

Misal 𝐸𝐸 adalah titik potong (𝑆𝑆, 𝐵𝐵𝐵𝐵�����), sehingga 𝐵𝐵𝐵𝐵^′ ����� = 𝐵𝐵𝐸𝐸^′ ���� + 𝐸𝐸𝐵𝐵����� ^′ 𝐵𝐵𝐸𝐸���� = 𝐸𝐸𝐵𝐵�����, karena 𝑆𝑆 sumbu dari 𝐵𝐵𝐵𝐵^′ ����� ^′

Misal 𝐹𝐹 adalah titik potong �𝑆𝑆, 𝐵𝐵′𝐵𝐵′′�������, sehingga𝐵𝐵′𝐵𝐵′′������ = 𝐵𝐵′𝐹𝐹����� + 𝐹𝐹𝐵𝐵′′������

𝐵𝐵′𝐹𝐹

����� = 𝐹𝐹𝐵𝐵′′������

Karena jarak(𝑆𝑆, 𝐵𝐵^′) pada 𝐵𝐵𝐵𝐵����� = 𝑗𝑗𝑎𝑎𝑔𝑔𝑎𝑎𝑘𝑘 (𝐵𝐵^{′ ′}, 𝑆𝑆) pada 𝐵𝐵������� ^′𝐵𝐵^′′

|𝐸𝐸𝐵𝐵^′| = |𝐵𝐵^′𝐹𝐹|

|𝐵𝐵^′𝐸𝐸| = |𝐵𝐵′𝐹𝐹|

Karena 𝐸𝐸, 𝐹𝐹 pada 𝑆𝑆 maka 𝐵𝐵����� dan 𝐵𝐵^′𝐸𝐸 ����� ⊥ 𝑆𝑆. Akibatnya 𝐸𝐸 = 𝐹𝐹 ^′𝐹𝐹 Dari 𝐵𝐵𝐸𝐸���� = 𝐸𝐸𝐵𝐵����, maka 𝐵𝐵𝐹𝐹���� = 𝐹𝐹𝐵𝐵������ = −𝐵𝐵^′′ ����� ^′𝐹𝐹

𝐵𝐵′𝐹𝐹

����� = 𝐹𝐹𝐵𝐵′′������

𝐵𝐵𝐹𝐹���� = −𝐵𝐵′𝐹𝐹����� = −𝐹𝐹𝐵𝐵′′������

𝐵𝐵𝐹𝐹���� = 𝐵𝐵′′𝐹𝐹������

Jadi, 𝐵𝐵 = 𝐵𝐵^{′ ′}

𝑔𝑔𝑚𝑚(𝐵𝐵) = 𝐵𝐵′

𝑔𝑔_𝑚𝑚. 𝑔𝑔_𝑚𝑚(𝐵𝐵) = 𝐵𝐵 𝑔𝑔_𝑚𝑚. 𝑔𝑔_𝑚𝑚(𝐵𝐵) = 𝐼𝐼(𝐵𝐵)

𝑔𝑔𝑚𝑚. 𝑔𝑔𝑚𝑚 = 𝐼𝐼 𝑔𝑔𝑚𝑚2 = 𝐼𝐼

Jadi, terbukti bahwa pencerminan merupakan Involusi.

Dalil R4: Hasil Kali Dua Pencerminan

Sudah diketahui bahwa 𝑀𝑀𝑠𝑠. 𝑀𝑀𝑠𝑠 = 𝐼𝐼. Akan dibahas hasil kali dua pencerminan terhadap sumbu-sumbu 𝑠𝑠 dan 𝑡𝑡 yang berbeda, khususnya bila 𝑠𝑠 ⊥ 𝑡𝑡 dan 𝑠𝑠 ∕∕ 𝑡𝑡.

Dalil R5: Bila 𝑠𝑠 ⊥ 𝑡𝑡 dan 𝑃𝑃 = 𝑡𝑡𝑔𝑔𝑡𝑡𝑔𝑔𝑘𝑘 (𝑠𝑠, 𝑡𝑡) maka 𝑀𝑀_𝑡𝑡𝑀𝑀_𝑠𝑠 = 𝐻𝐻_𝑃𝑃

Bukti: Misalkan 𝐴𝐴^′ = 𝑀𝑀_𝑠𝑠(𝐴𝐴) 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑔𝑔 𝐴𝐴^′′ = 𝑀𝑀_𝑡𝑡(𝐴𝐴^′). Jadi 𝐴𝐴^′′ = (𝑀𝑀_𝑡𝑡𝑀𝑀_𝑠𝑠)(𝐴𝐴) Karena 𝑃𝑃 pada 𝑠𝑠, maka 𝑃𝑃𝐴𝐴 = 𝑃𝑃𝐴𝐴^′

Karena 𝑃𝑃 pada 𝑡𝑡, maka 𝑃𝑃𝐴𝐴^′ = 𝑃𝑃𝐴𝐴^′′

Jadi 𝑃𝑃𝐴𝐴 = 𝑃𝑃𝐴𝐴′′

Misalkan 𝐶𝐶 titik tengah 𝐴𝐴𝐴𝐴′����� dan 𝐸𝐸 titik tengah 𝐴𝐴′𝐴𝐴′′������, maka 𝑚𝑚∠𝐶𝐶𝑃𝑃𝐴𝐴 = 𝑚𝑚∠𝐶𝐶𝑃𝑃𝐴𝐴′ dan 𝑚𝑚∠𝐸𝐸𝑃𝑃𝐴𝐴′ = 𝑚𝑚∠𝐸𝐸𝑃𝑃𝐴𝐴′′. Tetapi 𝑚𝑚∠𝐶𝐶𝑃𝑃𝐴𝐴^′ + 𝑚𝑚∠𝐸𝐸𝑃𝑃𝐴𝐴^′ = 90°, maka jumlah keempat sudut di atas ialah ∠𝐴𝐴𝑃𝑃𝐴𝐴^′′ = 2 × 90° = 180°, jadi 𝐴𝐴, 𝑃𝑃, 𝐴𝐴′′ segaris, berarti bahwa 𝑃𝑃 adalah titik tengah 𝐴𝐴𝐴𝐴′′������ hingga 𝑀𝑀𝑡𝑡. 𝑀𝑀_𝑠𝑠 = 𝐻𝐻_𝑃𝑃 (Terbukti)

Dalil R6: Bila 𝑎𝑎 ∕∕ 𝑏𝑏 maka 𝑀𝑀_𝑏𝑏𝑀𝑀_𝑎𝑎 = 𝑆𝑆_{𝐶𝐶𝐶𝐶} dengan 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 2 × 𝑗𝑗𝑎𝑎𝑔𝑔𝑎𝑎𝑘𝑘 (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) dan 𝐶𝐶𝐶𝐶�����⃗ ⊥ 𝑎𝑎.

𝑃𝑃𝑃𝑃′𝑃𝑃^′′

𝐶𝐶𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶

𝑎𝑎𝑏𝑏

Jadi hasil kali pencerminan terhadap dua garis sejajar merupakan geseran pada arah tegak lurus garis-garis tadi dengan jarak dua kali jarak kedua garis.

Bukti: Tarik sebarang garis 𝑠𝑠 ⊥ 𝑎𝑎. Misalkan 𝐴𝐴 = (𝑎𝑎. 𝑠𝑠); 𝐵𝐵 = (𝑏𝑏, 𝑠𝑠). Dengan Dalil R5, 𝑀𝑀_𝑠𝑠𝑀𝑀_𝑎𝑎 = 𝐻𝐻_𝐴𝐴 dan 𝑀𝑀_𝑏𝑏𝑀𝑀_𝑠𝑠 = 𝐻𝐻_𝐵𝐵 sehingga

𝑀𝑀𝑏𝑏𝑀𝑀𝑠𝑠𝑀𝑀𝑠𝑠𝑀𝑀𝑎𝑎 = 𝐻𝐻𝐵𝐵𝐻𝐻𝐴𝐴

𝑀𝑀𝑏𝑏 𝐼𝐼 𝑀𝑀𝑎𝑎 = 𝐻𝐻𝐵𝐵𝐻𝐻𝐴𝐴

𝑀𝑀_𝑏𝑏𝑀𝑀_𝑎𝑎 = 𝐻𝐻_𝐵𝐵𝐻𝐻_𝐴𝐴 = 𝑆𝑆_{𝐶𝐶𝐶𝐶} dengan 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 2𝐴𝐴𝐵𝐵 (Terbukti) Sebaliknya:

Dalil R7: Suatu geseran 𝑆𝑆_{𝐴𝐴𝐵𝐵} selalu dapat dianggap sebagai hasil kali dua pencerminan 𝑀𝑀_𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑔𝑔 𝑀𝑀_𝑡𝑡, dengan 𝑠𝑠 ∕∕ 𝑡𝑡 dan 𝑠𝑠 ⊥ 𝐴𝐴𝐵𝐵⃖����⃗, sedang jarak (𝑠𝑠, 𝑡𝑡) =

1 2𝐴𝐴𝐵𝐵

Bukti: Diketahui 𝐴𝐴 dan 𝐵𝐵 (𝑆𝑆𝐴𝐴𝐵𝐵 tertentu), tarik sebarang garis 𝑠𝑠 ⊥ 𝐴𝐴𝐵𝐵⃖����⃗, dan 𝑡𝑡 ∕∕ 𝑠𝑠 dengan jarak berarah (𝑠𝑠, 𝑡𝑡) =¹₂𝐴𝐴𝐵𝐵, maka dengan Dalil 2 hasil 𝑀𝑀_𝑡𝑡𝑀𝑀_𝑠𝑠 tak lain adalah 𝑆𝑆_{𝐴𝐴𝐵𝐵} (Susanta, 1990: 51-52).