BAB IV APLIKASI MODEL
MODEL MATEMATIKA DAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL
2.1 Pengertian, Tujuan dan Jenis Model
Definisi 2.1.1
Model adalah gambaran (tiruan, perwakilan) suatu obyek yang disusun berdasarkan tujuan tertentu.
Obyek di sini dapat berupa suatu sistem, suatu perilaku sistem, atau suatu proses tertentu. Dalam pembahasan ini yang dimaksud dengan sistem adalah suatu himpunan beserta relasi antar unsur-unsurnya yang disusun dengan tujuan tertentu. Model hanya menirukan sebagian dari segi obyek sesuai dengan tujuan penyusunan model dengan maksud supaya lebih mudah dikenali, dipelajari dan dimanipulasi lebih lanjut.
Tujuan penyusunan model dapat dibedakan atas 3 kategori sebagai berikut:
1. Guna mengenali keadaan, sifat, atau perilaku sistem dengan cara mencari keterkaitan antara unsur-unsurnya. Model ini disebut dengan model keterkaitan.
2. Guna mengadakan pendugaan untuk dapat memperbaiki keadaan obyek. Model hasilnya disebut model pendugaan.
3. Guna mengadakan optimisasi bagi obyek. Modelnya disebut model optimisasi.
Pada umumnya penyusunan model kategori kedua dan ketiga harus melalui kategori pertama dulu. Jadi dengan salah satu tujuan di atas sebagai pedoman, model yang disusun akan berfungsi untuk menirukan atau menggambarkan keadaan atau perilaku sistem yang diamati semirip mungkin. Model dapat dibagi menurut jenisnya yaitu sebagai berikut:
1. Model fisis yaitu model yang biasanya cukup mirip dengan obyek dari segi fisis, misalnya bentuknya, atau polanya.
Model fisis dapat dibedakan menjadi 2 bagian, yaitu:
a) Model ikonik yaitu model yang biasanya menekankan keadaan statis obyek atau keadaan dinamis sesaat.
Contoh model ikonik: peta timbul, patung dsb.
b) Model analog yaitu model yang biasanya meminjam sistem lain yang mempunyai kesamaan sifat dengan obyek.
Contoh model analog: pola baju, denah rumah dsb.
2. Model simbolik (model matematika) yaitu model yang menggunakan lambang-lambang (simbol) matematika atau logika untuk menyajikan perilaku obyek, maka ini disebut model matematika. Model ini dapat dianggap sebagai usaha abstraksi terhadap obyek lewat cara analisis atau numeris dalam bentuk persamaan-persamaan matematika. Bila penyelesaian ditemukan maka hasil ini dapat digunakan sebagai alat prediksi atau kontrol terhadap obyek. Untuk kerja yang besar proses matematika dapat dibantu oleh perangkat komputer. Model matematika yang dituliskan dalam bahasa komputer disebut
model komputer.
Subbab selanjutnya akan dibahas mengenai limit. Dalam subbab ini akan dibahas mengenai pengertian limit secara intuisi dan limit sepihak yang akan digunakan untuk membahas pada subbab kontinuitas dan turunan.
2.2 Limit
Definisi 2.2.1 (Pengertian Limit Secara Intuisi)
Mengatakan bahwa ( ) berarti bahwa bilamana dekat dengan , tetapi tidak sama dengan , maka ( ) dekat ke .
Contoh 2.2.1
Carilah ( ). Penyelesaian
( )
Definisi 2.2.2 (Definisi Limit secara Formal)
Mengatakan bahwa ( ) berarti bahwa untuk tiap yang diberikan, terdapat yang berpadanan sedemikian sehingga | ( ) |
asalkan bahwa | | ; yaitu
| | | ( ) | Contoh 2.2.2 Buktikan bahwa Bukti
Andaikan diberikan . Pilih . Maka | | mengimplikasikan
| | |( )( ) | | | | ( )| | | ●
Limit-limit Sepihak. Bila suatu fungsi mempunyai lompatan, maka limit tidak ada pada setiap titik lompatan. Untuk fungsi-fungsi yang demikian berlaku
limit-limit sepihak. Anggaplah lambang berarti bahwa mendekati dari kanan atau , dan sebaliknya jika berarti bahwa mendekati dari kiri atau . Berikut adalah definisi mengenai limit kanan dan limit kiri.
Definisi 2.2.3 (Definisi Limit Kanan dan Limit Kiri)
Mengatakan bahwa ( ) berarti bahwa bilamana dekat tetapi pada sebelah kanan , maka ( ) dekat ke . Hal yang serupa, mengatakan bahwa
( ) berarti bahwa bilamana dekat tetapi pada sebelah kiri , maka
( ) adalah dekat ke .
Subbab selanjutnya akan dibahas mengenai kekontinuan pada suatu interval. Pada subbab ini mencakup mengenai kekontinuan itu sendiri.
2.3 Kontinuitas
Definisi 2.3.1
Andaikan terdefinisi pada suatu selang terbuka yang mengandung . Dinyatakan bahwa kontinu di jika
( ) ( )
Contoh 2.3.1
Andaikan ( ) . Definisikan di agar kontinu di titik itu! Penyelesaian: ( )( ) ( )
Karena itu, akan didefinisikan ( ). ● Jika tidak kontinu di , dapat dikatakan bahwa diskontinu di atau
punya satu diskontinuitas di . Dari definisi 2.3.1 mensyaratkan tiga hal yang harus dipenuhi agar fungsi yang didefinisikan kontinu pada c, yaitu:
i. ( ) terdefinisi (yaitu berada di daerah asal );
ii. ( ) ada (sehingga haruslah terdefinisi pada suatu selang terbuka yang memuat );
iii. ( ) ( )
Selanjutnya akan dibahas mengenai turunan. Pada subbab ini akan membahas mengenai turunan itu sendiri dan penerapannya seperti, kemonotonan, kecekungan, nilai maksimum, nilai minimum, dan nilai ekstrim.
2.4 Turunan
Definisi 2.4.1
Turunan fungsi adalah fungsi lain ’ (dibaca “ aksen”) yang nilainya
pada sebarang bilangan adalah
( ) ( ) ( )
jika limitnya ada.
Contoh 2.4.1
Carilah ( ) jika ( ) √
Penyelesaian
( ) ( ) ( ) √ √
( ) 0√ √ √ √ √ √ 1 (√ √ ) (√ √ ) (√ √ ) √ √ √
Jadi, turunan dari diberikan oleh ( ) ( ⁄ √ ). Daerah asalnya adalah
( ). ●
Definisi 2.4.2
Jika , maka definisi di atas ekivalen dengan
( ) ( ) ( )
Teorema 2.4.1 (Keterdiferensialan Mengimplikasikan Kekontinuan)
Jika ( ) ada, maka kontinu di . Bukti
Perlu diperlihatkan bahwa ( ) ( ).
maka, ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Proses pencarian turunan suatu fungsi langsung dari definisi turunan yakni dengan menyusun hasil bagi dengan selisih
( ) ( )
dan menghitung limitnya dapat memakan waktu yang banyak. Oleh karena itu, akan dikembangkan cara-cara untuk memperpendek proses dan untuk mencari turunan semua fungsi yang tampaknya rumit dengan cepat.
Mengingat kembali bahwa turunan suatu fungsi adalah fungsi lain . Ketika menurunkan , artinya mendiferensialkan . Biasanya menggunakan simbol untuk menandakan operasi diferensial. Simbol menyatakan mengambil turunan (terhadap peubah ). Maka, dapat dituliskan ( ) ( ).
Teorema 2.4.2 (Aturan Fungsi Konstanta)
Jika ( ) dengan suatu konstanta, maka untuk sebarang ( ) ; yakni
( )
( ) ( ) ( )
Teorema 2.4.3 (Aturan Fungsi Identitas)
Jika ( ) , maka ( ) ; yakni
( )
Bukti
( ) ( ) ( )
Teorema 2.4.4 (Aturan Pangkat)
Jika ( ) , dengan bilangan bulat positif, maka ( ) ; yakni
( ) ) Bukti ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ]
Di dalam kurung, semua suku kecuali yang pertaa mempunyai sebagai faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila mendekati nol. Jadi
adalah Operator Linear.
Teorema 2.4.5 (Aturan Kelipatan Konstanta)
Jika suatu konstanta dan suatu fungsi yang terdiferensiasikan, maka ( ) ( ) ( ); yakni,
( ) ( )
jika dinyatakan dalam kata-kata, suatu pengali konstanta dapat dikeluarkan dari
operator . Bukti Andaikan F(x)=k∙f(x), maka ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Teorema 2.4.6 (Aturan Jumlah)
Jika dan adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialan, maka ( ) ( ) ( ) ( ); yakni,
( ) ( ) ( ) ( )
Jika dinyatakan dalam kata-kata, turunan dari suatu jumlah adalah jumlah dari turunan-turunan.
Bukti
Andaikan ( ) ( ) ( ) maka
0 ( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Sebarang operator disebut linear jika untuk semua fungsi dan :
a. ( ) ( ), untuk setiap konstanta ; b. ( ) ( ) ( )
Teorema 2.4.7 (Aturan Selisih)
Jika dan adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka ( ) ( ) ( ) ( ); yakni,
( ) ( ) ( ) ( )
Jika dinyatakan dalam kata-kata, turunan dari suatu selisih adalah selisih dari turunan-turunan. Bukti ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Contoh 2.4.2
Tentukan turunan dari . Penyelesaian
( ) ( ) ( ) (Teorema 2.4.7)
( ) ( ) ( ) (Teorema 2.4.6)
( ) ( ) ( ) (Teorema 2.4.5)
(Teorema 2.4.4, 2.4.3, dan 2.4.2) ●
Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali dihadapkan masalah untuk mendapatkan cara terbaik dalam melakukan sesuatu. Sebagai contoh, seorang petani ingin memilih kombinasi tanaman yang dapat menghasilkan keuntungan besar. Seringkali dari masalah tersebut dapat dirumuskan sehingga melibatkan pemaksimuman atau peminimuman suatu fungsi pada suatu himpunan. Metode-metode kalkulus menyediakan sarana untuk memecahkan permasalahan tersebut. Dengan demikian, akan ditentukan nilai maksimum dan minimumnya.
Definisi 2.4.3 (Maksimum dan Minimum)
Misalkan , daerah asal , mengandung titik . Dapat dikatakan bahwa
i. ( ) adalah nilai maksimum pada jika ( ) ( ) untuk semua di ;
ii. ( ) adalah nilai minimum pada jika ( ) ( ) untuk semua di ; iii. ( ) adalah nilai ekstrim pada jika ia adalah nilai maksimum atau nilai
iv. Fungsi yang ingin dimaksimumkan atau diminimumkan adalah fungsi obyektif.
Teorema 2.4.8 (Teorema Keberadaan Maks-Min)
Jika kontinu pada interval tertutup , maka mencapai nilai maksimum dan nilai minimum.
Nilai-nilai ekstrim dari fungsi yang didefinisikan pada interval tertutup seringkali terjadi pada titik-titik kritis, seperti pada gambar di bawah ini.
Gambar 2.1: Grafik nilai-nilai ekstrim yang terjadi pada titik-titik kritis
Namun, walaupun Teorema di atas secara intuitif sangat masuk akal, namun sukar dibuktikan sehingga pembuktiannya diabaikan.
Contoh 2.4.3
Penyelesaian
Titik-titik ujung adalah dan 2. Untuk mencari titik stasioner dengan menyelesaikan ( ) untuk , diperoleh dan . Tidak ada titik singular. Jadi, titik-titik kritisnya adalah ●
Teorema 2.4.9 (Teorema Titik Kritis)
Misalkan didefinisikan pada interval yang memuat titik . Jika ( ) adalah nilai ekstrim, maka haruslah berupa suatu titik kritis; dengan kata lain, adalah salah satu dari
i. titik ujung dari ;
ii. titik stasioner dari ; yakni titik di mana ( ) ; atau iii. titik singular dari ; yakni titik di mana ( ) tidak ada.
Bukti untuk kasus maksimum
Lihatlah kasus maksimum di mana ( ) adalah nilai maksimum pada dan misalkan bahwa bukan titik ujung atau pun titik singular. Maka harus dibuktikan bahwa adalah titik stasioner.
Karena ( ) adalah nilai maksimum, maka ( ) ( ) untuk semua dalam ; yaitu
( ) ( )
Jadi jika , sehingga , maka
sedangkan jika , maka
( ) ( ) ( )
Tetapi ( ) ada, karena bukan titik singular. Sehingga, diperoleh ( ) dan
( ) . Jadi dapat disimpulkan bahwa ( ) . Bukti untuk kasus minimum
Pada kasus minimum di mana ( ) adalah nilai minimum pada dan misalkan bahwa bukan titik ujung atau pun titik singular. Maka harus dibuktikan bahwa adalah titik stasioner.
Karena ( ) adalah nilai minimum, maka ( ) ( ) untuk semua dalam ; yaitu
( ) ( )
Jadi jika , sehingga , maka
( ) ( ) ( )
sedangkan jika , maka
( ) ( ) ( )
Tetapi ( ) ada, karena bukan titik singular. Sehingga, diperoleh masing-masing ( ) dan ( ) . Jadi dapat disimpulkan bahwa ( ) .
Contoh 2.4.4
Mencari nilai-nilai maksimum dan minimum dari
pada * +. Penyelesaian:
1. Langkah pertama mencari tititk-titik kritis yaitu dengan cara mencari turunan dari fungsi tersebut.
( ) ( ) ( ) ( )
Dari perhitungan tersebut, diperoleh titik kritisnya, yaitu .
2. Kemudian dicari nilai fungsi saat sebagai berikut
Saat ( )
Saat ( )
Saat ( )
Saat ( )
Maka, diperoleh nilai maksimumnya, yaitu (dicapai pada dan
) dan nilai minimumnya yaitu (dicapai pada ). ●
Dalam Subbab 2.4 ini, terdapat pembuktian Teorema Kemonotonan (Teorema 2.4.12) yang menggunakan Teorema Nilai Rata-rata (Teorema 2.4.10).
Teorema 2.4.10 (Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan)
Jika kontinu pada selang tertutup dan terdiferensialan pada titik-titik dari
( ), maka terdapat paling sedikit satu bilangan dalam ( ) dengan
( ) ( )
( )
Bukti
Pembuktian bersandar pada analisis dari fungsi ( ) ( ) ( ). Di sini
( ) adalah persamaan garis yang melalui ( ( )) dan ( ( )). Karena garis ini mempunyai kemiringan ( ) ( ) ( ) dan melalui titik
( ( )), bentuk kemiringan titik untuk persamaannya adalah
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Ini kemudian menghasilkan rumus untuk ( ), yaitu
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Perhatikan bahwa ( ) ( ) dan bahwa untuk dalam ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Jika diketahui bahwa terdapat suatu bilangan dalam ( ) yang memenuhi
( ) , pembuktian akan selesai. Karena persamaan yang terakhir mengatakan
( ) ( ) ( )
yang setara dengan kesimpulan teorema tersebut.
Untuk melihat bahwa ( ) untuk suatu dalam ( ), alasannya sebagai berikut. Jelas kontinu pada , karena merupakan selisih dua fungsi
kontinu. Jadi, menurut Teorema Keberadaan Maks-Min, harus mencapai baik nilai maksimum ataupun nilai minimum pada . Jika kedua nilai ini kebetulan adalah , maka ( ) secara identik adalah pada , akibatnya ( )
untuk semua dalam ( ), jauh lebih banyak daripada yang kita perlukan. Jika satu nilai maksimum atau nilai minimum berlainan dengan , maka nilai tersebut dicapai pada sebuah titik-dalam , karena ( ) ( ) . Sekarang mempunyai turunan di setiap titik dari ( ), sehingga dengan Teorema Titik Kritis, ( ) .
Contoh 2.4.5
Andaikan ( ) pada . Carilah semua bilangan yang memenuhi kesimpulan Teorema nilai Rata-rata.
Penyelesaian
Dengan menurunkan persamaan, diperoleh ( ) dan ( ) ( )
( )
.
Kemudian diselesaikan dengan atau, secara ekuivalen,
dari persamaan kuadrat. Terdapat dua penyelesaian ( √ ) yang berpadanan dengan dan . kedua bilangan tersebut dalam selang ( ). ●
Banyak orang yang masih bingung dalam memutuskan di mana suatu fungsi itu naik atau turun. Mungkin ada yang menyarankan dengan menggambar grafiknya dan memperhatikannya. Tetapi sebuah grafik biasanya digambar dengan
membuat beberapa titik dan menghubungkan titik-titik tersebut dengan kurva mulus. Tetapi cara tersebut masih kurang meyakinkan, karena titik-titik tersebut mungkin akan bergoyang di antara titik-titik yang dibuat.
Definisi 2.4.4 (Kemonotonan)
Misalkan terdefinisi pada interval (terbuka, tertutup, atau tak satupun). Dapat dikatakan bahwa:
i. naik pada jika, untuk setiap pasang bilangan dan dalam ,
( ) ( )
ii. turun pada jika, untuk setiap pasang bilangan dan dalam ,
( ) ( )
iii. monoton murni pada jika naik pada atau turun pada .
Definisi di atas diperlihatkan dalam grafik di bawah ini:
Gambar 2.2: Grafik naik dan turun
Ingat kembali bahwa turunan pertama ( ) memberi kemiringan dari garis singgung pada grafik di titik . Kemudian, jika ( ) maka garis singgung
naik ke kanan. Demikian juga, jika ( ) , maka garis singgung menurun ke kanan. Dapat dilihat pada gambar di bawah ini,
Gambar 2.3: Grafik kemiringan
Teorema 2.4.11 (Teorema Kemonotonan)
Misalkan kontinu pada interval dan terdiferensialkan pada setiap titik-dalam dari .
i. Jika ( ) untuk semua titik di dalam , maka naik pada . ii. Jika ( ) untuk semua titik di dalam , maka turun pada .
Bukti (i)
Andaikan bahwa kontinu pada dan bahwa ( ) di setiap titik di bagian dalam . Tinjaulah dua titik sebarang dan dari dengan . Menurut Teorema Nilai Rata-rata yang diterapkan pada selang , terdapat sebuah bilangan dalam ( ) yang memenuhi
Karena ( ) , dapat dilihat bahwa ( ) ( ) yakni, ( ) ( ). Ini yang dimaksud bahwa naik pada .
Bukti (ii)
Andaikan bahwa kontinu pada dan bahwa ( ) di setiap titik di bagian dalam . Tinjaulah dua titik sebarang dan dari dengan . Menurut Teorema Nilai Rata-rata yang diterapkan pada selang , terdapat sebuah bilangan dalam ( ) yang memenuhi
( ) ( ) ( )( )
Karena ( ) , dapat dilihat bahwa ( ) ( ) yakni, ( ) ( ). Ini yang dimaksud bahwa turun pada .
Contoh 2.4.6
Tentukanlah di mana ( ) ( ⁄ ) naik dan di mana turun. Penyelesaian
Dengan menurunkan persamaan di atas diperoleh
( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )( )( )
Karena penyebut selalu positif, ( ) mempunyai tanda sama dengan pembilang
( )( ). Titik-titik pemisah, dan , menentukan tiga selang
( ) ( ) ( ). Bilamana ditemukan bahwa ( ) pada selang yang pertama dan yang ketiga dan bahwa ( ) pada selang tengah. Dapat disimpulkan dari Teorema Kemonotonan (Teorema 2.4.11) bahwa turun pada
Definisi 2.4.5
Misalkan terdiferensialkan pada interval terbuka . Dapat dikatakan bahwa (dan grafiknya) cekung ke atas pada jika naik pada dan dikatakan bahwa cekung ke bawah pada jika turun pada .
Definisi di atas diperlihatkan dalam gambar di bawah ini:
Gambar 2.4: Grafik kecekungan
Teorema 2.4.12 (Teorema Kecekungan)
Misalkan terdiferensial dua kali pada interval terbuka I.
i. Jika ( ) untuk semua dalam , maka f cekung ke atas pada . ii. Jika ( ) untuk semua dalam , maka cekung ke bawah pada
Bukti (i)
Andaikan bahwa terdiferensialkan dua kali pada dan bahwa ( ) , naik dalam beberapa interval terbuka yang memuat . Tinjaulah dua titik sebarang
dan dari dengan . Menurut Teorema Nilai Rata-rata yang diterapkan pada selang , terdapat sebuah bilangan c dalam ( ) yang memenuhi
Karena naik, ( ) ( ), maka ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ). Tetapi, ( ) ( )( ) ( ) adalah persamaan garis singgung di . Jadi kurva yang terbentang di atas garis singgung adalah cekung ke atas.
Bukti (ii)
Andaikan bahwa terdiferensialkan dua kali pada dan bahwa ( ) , turun dalam beberapa interval terbuka yang memuat . Tinjaulah dua titik sebarang
dan dari dengan . Menurut Teorema Nilai Rata-rata yang diterapkan pada selang , terdapat sebuah bilangan dalam (a,b) yang memenuhi
( ) ( ) ( )( )
Karena naik, ( ) ( ), maka ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ). Tetapi, ( ) ( )( ) ( ) adalah persamaan garis singgung di . Jadi kurva yang terbentang di bawah garis singgung adalah cekung ke bawah.
Contoh 2.4.7
Di mana ( ) ⁄ (( )) cekung ke atas dan di mana cekung ke bawah? Penyelesaian
Contoh ini sama seperti contoh 2.4.6, bahwa turun pada ( dan )
dan naik pada . Untuk menganalisa kecekungan perlu dihitung .
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Karena penyebut selalu positif, maka harus diselesaikan ( ) dan
( ) . Titik-titik pemisah √ dan √ . Tiga titik pemisah itu menentukan empat selang. Dapat dilihat pada gambar di bawah ini.
Dapat disimpulkan bahwa cekung ke atas pada ( √ ) dan bahwa cekung ke
bawah pada ( √ ) dan ( √ ).
Definisi 2.4.6
Andaikan , daerah asal , memuat titik . Dapat dikatakan bahwa:
i. ( ) nilai maksimum lokal jika terdapat selang ( ) yang memuat sedemikian sehingga ( ) adalah nilai maksimum pada ( ) ; ii. ( ) nilai minimum lokal jika terdapat selang ( ) yang memuat
sedemikian sehingga ( ) adalah nilai minimum pada ( ) ;
iii. ( ) nilai ekstrim lokal jika ia berupa nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal.
Gambar 2.5: Grafik maksimum, minimum dan ekstrim lokal
Teorema 2.4.13 (Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal)
Andaikan kontinu pada selang terbuka ( ) yang memuat titik kritis .
i. Jika ( ) untuk semua dalam ( ) dan ( ) untuk semua dalam ( ) maka ( ) adalah nilai maksimum lokal .
ii. Jika ( ) untuk semua dalam ( ) dan ( ) untuk semua dalam ( ) maka ( ) adalah nilai minimum lokal .
iii. Jika ( ) bertanda sama pada kedua pihak , maka ( ) bukan nilai ekstrim lokal .
Bukti (i)
Karena ( ) untuk semua dalam ( ) maka menurut Teorema kemonotonan (Teorema 2.4.11) naik pada ( ). Berarti ( ) nilai maksimum di ( ). Karena ( ) untuk semua dalam ( ) maka menurut Teorema
Kemonotonan (Teorema 2.4.11) turun pada ( ). Berarti ( ) nilai maksimum di ( ). Jadi dapat disimpulkan bahwa ( ) adalah maksimum lokal.
Bukti (ii)
Karena ( ) untuk semua dalam ( ) maka menurut Teorema kemonotonan (Teorema 2.4.11) turun pada ( ). Berarti ( ) nilai minimum di ( ). Karena ( ) untuk semua dalam ( ) maka menurut Teorema Kemonotonan (Teorema 2.4.11) naik pada ( ). Berarti ( ) nilai minimum di
( ). Jadi dapat disimpulkan bahwa ( ) adalah minimum lokal. Bukti (iii)
Karena ( ) untuk semua dalam ( ) maka menurut Teorema Kemonotonan (Teorema 2.4.11) naik pada ( ). Berarti ( ) nilai maksimum di ( ). Karena ( ) untuk semua dalam ( ) maka menurut Teorema kemonotonan (Teorema 2.4.11) naik pada ( ). Berarti ( ) nilai maksimum di ( ). Sebaliknya, karena ( ) untuk semua dalam ( ) maka menurut Teorema Kemonotonan (Teorema 2.4.11) turun pada ( ). Berarti
( ) nilai minimum di ( ). Karena ( ) untuk semua dalam ( )
maka menurut Teorema kemonotonan (Teorema 2.4.11) turun pada ( ). Berarti ( ) nilai minimum di ( ). Jadi dapat disimpulkan bahwa ( ) bukan nilai ekstrim lokal .
Contoh 2.4.8
Penyelesaian
Fungsi polinomial kontinu di mana-mana, dan turunannya, ( ) ada untuk semua . Jadi satu-satunya titik kritis untuk adalah penyelesaian tunggal dari ( ) , yakni . Karena ( ) ( ) untuk , turun pada ( dan karena ( ) untuk , naik pada ). Karena itu, menurut Teorema Uji Turunan Pertama (Teorema 2.4.13), ( ) adalah nilai minimum lokal . Karena 3 adalah satu-satunya bilangan kritis, tidak terdapat nilai ekstrim lain. ●
Teorema 2.4.14 (Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal)
Andaikan dan ada pada setiap titik selang terbuka ( ) yang memuat , dan andaikan ( ) .
i. Jika ( ) , ( ) adalah nilai maksimum lokal . ii. Jika ( ) , ( ) adalah nilai minimum lokal .
Bukti (i)
Menurut definisi dan hipotesis,
( ) ( ) ( ) ( )
dapat disimpulkan bahwa terdapat interval ( ) (mungkin pendek) di sekitar dengan
( )
Tetapi pertaksamaan ini mengimplikasikan bahwa ( ) untuk
dan ( ) untuk . Jadi, menurut Uji Turunan Pertama, ( ) adalah nilai maksimum lokal.
Bukti (ii)
Menurut definisi dan hipotesis,
( ) ( ) ( ) ( )
sehingga dapat disimpulkan bahwa terdapat interval ( ) (mungkin pendek) di sekitar dengan
( )
Tetapi pertidaksamaan ini mengimplikasikan bahwa ( ) untuk
dan ( ) untuk . Jadi, menurut Uji Turunan Pertama, ( ) adalah nilai minimum lokal.
Contoh 2.4.9
Untuk ( ) , gunakanlah Teorema Uji Turunan Kedua untuk mengenali ekstrim lokal.
Penyelesaian Perhatikanlah bahwa
( ) ( )
( )
Karena itu, menurut Teorema Uji Turunan Kedua, ( ) adalah nilai minimum
lokal. ●
Pada bab sebelumnya telah dibahas mengenai turunan. Dalam tiap kasus, operasi kedua melepaskan operasi pertama, dan sebaliknya. Oleh karena itu, kasus-kasus pada turunan mempunyai kasus-kasus kebalikannya, balikannya tersebut disebut antiturunan atau integrasi.
2.5Integral
Definisi 2.5.1
Kita sebut suatu antiturunan pada selang jika ( ) ( ) pada yakni, jika ( ) ( ) untuk semua dalam . (Jika suatu titik ujung , ( ) hanya perlu berupa turunan sepihak).
Teorema 2.5.1 (Aturan Pangkat)
Jika adalah sebarang bilangan rasional kecuali , maka
∫
dengan adalah sebarang konstanta. Bukti
Untuk mengembangkan suatu hasil berbentuk
∫ ( ) ( )
( ) ( )
Dalam kasus ini
0 1 ( )
Contoh 2.5.1
Carilah antiturunan yang umum dari ( ) ⁄ . Penyelesaian
∫ ⁄ ⁄ ⁄
Integral Tak-tentu adalah Linear. Ingatlah kembali dari Subbab Turunan bahwa adalah suatu operator linear, yaitu
a. ( ) ( )
b. ( ) ( ) ( ) ( )
c. ( ) ( ) ( ) ( )
Ternyata bahwa ∫ juga memiliki sifat operator linear.
Teorema 2.5.2 (Integral Tak-Tentu adalah Operator Linear)
Andaikan dan mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan suatu konstanta. Maka:
i. ∫ ( ) ∫ ( ) ;
iii. ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) .
Bukti (i)
Cukup mendiferensialkan ruas kanan, maka akan diperoleh integran dari ruas kiri
[ ∫ ( ) ] ∫ ( ) ( )
Bukti (ii)
Sama seperti cara bukti (i), cukup dengan mendiferensialkan ruas kanan, maka akan diperoleh integran dari ruas kiri
[∫ ( ) ∫ ( ) ] ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ( )
Bukti (iii)
Sama seperti cara bukti (i) dan (ii), cukup dengan mendiferensialkan ruas kanan, maka akan diperoleh integran dari ruas kiri
[∫ ( ) ∫ ( ) ] ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ( )
Contoh 2.5.2
Hitunglah dengan menggunakan kelinearan integral!
∫( ⁄ )
Penyelesaian
∫( ⁄ ) ∫ ⁄ ∫ ∫ ⁄
Dalam subbab selanjutnya akan dibahas mengenai persamaan diferensial. Persamaan ini mengembangkan metode pemisahan peubah untuk mencari suatu solusi.
