LANDASAN TEORI
4.3 Pengimplementasian Model Persediaan Lainnya dengan Backorder Par- Par-sial
Walaupun sulit digunakan terhadap pendekatan program nonlinier sebagai prose-dur solusi yang umum, dimana penerapannya bergantung pada penemuan semua titik KKT yang akan dihubungkan pada masalah program matematika dan dengan mengu-ji Hessian pada calon solusi. Dengan banyaknya model persediaan yang cocok pada pendekatan ini, maka dalam penelitian ini akan dipertimbangkan hanya dalam dua model.
1. Implementasi pada perluasan EPQ-PBO pada proposal Pentico et al., (2011);
Salah satu dari perluasan PBO dari Pentico et al., (2011) adalah EPQ-PBO dengan tahap ketergantungan nilai backorder dengan asumsi bahwa nilai backorder β konstan, proposal tersebut mempertimbangkan dua tahapan dari backorder yang konstan. Selama tahap pertama ,sebelum memulai produksi, tingkat backorder adalah β dan selama tahap kedua setelah memulai produksi, tingkat backorder adalah ρβ dimana 1 ≤ ρ ≤ β1 dari perluasan ini dengan meng-gunakan metodologi yang berbeda, pendekatan aritmatika-geometri-keberartian-pertidaksamaan diperoleh solusi dan pembuktian yang optimal. Disini akan
26
dibuktikan keoptimalan solusi dari perluasan tersebut dengan menggunakan pen-dekatan program nonlinier.
F ), panjang keoptimalan dari siklus pemesanan T∗ dan tingkat pengisian F∗ adalah model yang sama dalam EPQ-PBO yang ditunjukkan dengan (3.5), (3.6) dan (4.3) yang berturut-turut ditunjukkan:
T∗ =
P)) biaya kekurangan. Nilai kritis pada tingkat backorder β yang dikembangkan Pentico et al., (2011) yang akan ditunjukkan dengan βnew∗ adalah:
βnew∗ = β∗
1 + (ρ − 1)(DP)β∗ (4.18) Dimana β∗ digambarkan dengan (3.7). Pentico et al., (2011) telah membuk-tikan jika β ≥ βnew∗ , kemudian (T∗, F∗) merupakan solusi optimalnya. Dimana itu berpatokan pada bukti keoptimalan pada pengenalan pendekatan yang sama dengan dasar EPQ-PBO Pentico et al., (2009). Maka disini akan digunakan pen-dekatan program nonlinier untuk membuktikan keoptimalan solusi pada perluasan tersebut.
Pertama, bentuk persamaan tersebut ke β ≥ βnew∗ dimana βnew∗ digambarkan dengan (4.18) yang merupakan kondisi dari bentuk (4.4) dimanaCh0 = Ch(1 − DP) dan C10 = C1(1 − β
(1−(ρ−1)βD
P)) adalah notasi untuk menghubungkan perluasan tersebut. Oleh karena itu bukti dari solusi (T∗, F∗) akan digambarkan dalam kondisi layak β ≥ βnew∗ yang meniru pembuktian (4.5) dan (4.6) sebagai solusi dari EPQ-PBO dasar dari sub bagian sebelumnya. Jika β ≥ βnew∗ , kemudian (T∗, F∗) merupakan titik KKT yang palsu pada batas F = 1 jika dan hanya jika β = βnew∗ dan ketika β ≥ βnew∗ , kemudian (T∗, F∗) adalah global minimum dari objek Γ(T, F ).
Pendekatan yang sama dapat digunakan pada perluasan lainnya dari EOQ-PBO Pentico dan Drake (2009) dan EPQ-PBO dalam Pentico et al., (2009). Kemudian menghubungkan masalah program matematika dengan menggunakan keunikan titik KKT yang merupakan global optimum dari fungsi objektif. Ketika kondisi
27
pada tingkat backorder terpenuhi pada setiap bagian persamaan, kemudian titik optimal palsu pada batasnya.
2. Implementasi model persediaan pada Hu et al., (2009);
Pada Hu et al., (2009) model persediaan EOQ-PBO dengan tingkat backorder konstan dan unit backorder harga meningkat linier dengan jangka waktu shortage.
Memutuskan variable dengan siklus waktu T dan waktu untuk persediaan adalah positif t1. Dalam notasi tersebut, harga total perunit waktu akan minimum pada:
T RC = (T, t1) = menen-tukan solusi optimal dengan memecahkan aproksimasi dengan pencarian numeric pada persamaan dengan memperhatikan t1 dan memperoleh nilai subtitusinya dalam persamaan untuk T . Dan membentuk nilai kritis pada harga penyim-panan perunit dan dengan menguji turunan parsial dan kondisi batasnya, dan dibuktikan juga jika:
Ci ≥ R2(1 − r)2α
2A (4.20)
terpenuhi, maka backorder parsial adalah optimal, cara lainnya kebijakan op-timalnya tidak mengijinkan backorder. Maka disini akan ditemukan solusi dan dibuktikan lagi keoptimalannya dengan pendekatan program nonlinier.
Jika diletakkan t1 = F T , dimana 0 ≤ F ≤ T merupakan tingkat pengisian, kemudian dapat ditransformasikan harga total ke fungsi:
T RC = (T, t1) =
28
Masalah pendekatan nonlinier akan bersesuaian dengan:
min
(T ,F )∈R2
T RC(T, F ) (4.22)
subjek to T > 0 , 0 ≤ F ≤ 1
Dimana T RC(T, F ) akan ditunjukkan oleh (4.21), dan perlu dituliskan penge-nalan ini ke variable keputusan baru yang tidak membutuhkan pendemostrasian dengan pendekatan program nonlinier dan pembuktian dari solusinya. Tranfor-masi ini dilakukan sebagian besar untuk memendekkan relasi pembuktian untuk model ini dan berpatokan pada satu dari penyajian Pentico EPQ-PBO di bagian sebelumnya
Pertama turunan parsial dari T RC(T, F ) dengan memperhatikan T dan F berturut-turut: Jika dipecahkan (∂T RC(T ,F ))
∂F = 0 dengan memperhatikan F , 0 ≤ F ≤ T akan
29
Jika disubtitusikan pada (1 − F )T dan F T diperoleh untuk (4.25) di (∂T RC(T ,F ))
∂T =
Akan ditunjukkan dengan T∗ solusi dari (4.26) dan dengan F∗ = F (T∗) = 1 − ϕ(TT∗∗)
Dalam kondisi (4.20), (4.26) solusi unik T∗ pada T > R(1−r)C
i , jika fungsi pada sisi kiri pada (4.26) tidak menurun dengan memperhatikan T ,dengan nilai yang lebih kecil atau persamaan A pada R(1−r)C
i (dari kondisi (4.20) diperoleh) dan ke-takterbatasan ketika T → ∞ dan jika ungkapan dalam akar (4.25) positif pada T > R(1−r)C
i ,ditunjukkan ketika kondisi(4.20) terpenuhi, solusi (T∗, F∗) akan di-tunjukkan dan unik pada T > R(1−r)C
i .
Dengan cara yang sama F∗ ≤ 1 ⇔ T∗ ≥ R(1−r)
C1 akan ditunjukkan jika kondisi (4.20) dipenuhi kemudian solusi (T∗, F∗) akan ditunjukkan unik dan layak pada masalah (4.22) pada T > R(1−r)C
i . Dengan cara yang sama jika kondisi (4.20) tidak dipenuhi kemudian (4.26) tidak memiliki solusi pada T > R(1−r)C
i yang tersirat dalam solusi backorder parsial (T∗, F∗) tidak layak (jika F∗ > 1) dan dalam kasus kebijakan optimal memenuhi semua permintaan menurut model EOQ dengan tanpa perioda shortage dengan siklus waktu optimal TEOQ∗ =
q 2A Ciα.
Dengan cara yang sama untuk menemukan sistem KKT dapat ditunjukkan keti-ka kondisi (4.22) terpenuhi, dimana (T∗, F∗) merupakan titik KKT pada masalah (4.22), yang mana palsu (terletak diperbatasan) pada batas F = 1 ketika kon-disi (4.20) terpenuhi dengan tanda persamaan dan dalam kasus solusi (T∗, F∗) bersamaan dengan solusi dari model EOQ dengan tanpa shortage, kemudian per-hitungan Hessian pada (T∗, F∗) merupakan batas positif, jadi (T∗, F∗) adalah lo-cal minimum dan dalam kaitannya dengan keunikan titik KKT, ini adalah global minimum pada kondisi (4.22).
BAB 5 KESIMPULAN
Untuk mengoptimalkan suatu model pada persoalan persediaan deterministic de-ngan adanya backorder parsial selain dede-ngan menggunakan model economic order quan-tity dengan backorder parsial (EOQ-PBO) dan model economic production quanquan-tity dengan backorder parsial(EPQ-PBO) dapat digunakan pendekatan program nonlinier yaitu dengan menggunakan variable keputusan T (siklus pemesanan) dan F (tingkat pengisian) menggunakan masalah program non linier, dimana untuk memperoleh harga rata-rata total pertahun yang harus diminimumkan adalah (T, F ).
Dengan menggunakan masalah program nonlinier ditunjukkan adanya backorder parsial pada variabel.
Dengan membuktikan keoptimalan dari variabel. Maka diperoleh serangkaian titik dimana titik tersebut akan konvergen pada suatu titik KKT (Karush Kuhn Tuc-ker). Jika dapat ditemukan semua titik KKT tersebut dengan menggunakan masalah program nonlinier dan dengan mengingat bahwa variabel adalah solusi yang diperoleh.
Jadi variabel tersebut adalah titik KKT tersebut.
Dengan menggunakan matriks Hessian pada variabel yang hasilnya bernilai posi-tif. Ini sesuai bahwa variabel tersebut adalah titik KKT pada model jadi backorder juga menyatakan variabel adalah lokal minimum pada model tersebut.
Kemudian mengindikasikannya dengan beberapa penelitian yang menggunakan model persediaan deterministik dengan backorder parsial yang lain dan menggunakan pendekatan program nonlinier untuk memperoleh dan membuktikan keoptimalan pada solusi untuk model yang bersesuaian.
30