MODEL OPTIMASI UNTUK PERSOALAN PERSEDIAAN DETERMINISTIK DENGAN ADANYA
BACKORDER PARSIAL
TESIS
Oleh
ERWINA AZIZAH HASIBUAN 127021028/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2014
MODEL OPTIMASI UNTUK PERSOALAN PERSEDIAAN DETERMINISTIK DENGAN ADANYA
BACKORDER PARSIAL
T E S I S
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
ERWINA AZIZAH HASIBUAN 127021028/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2014
Judul Tesis : MODEL OPTIMASI UNTUK PERSOALAN PERSEDIAAN DETERMINISTIK DENGAN ADANYA BACKORDER PARSIAL
Nama Mahasiswa : Erwina Azizah Hasibuan Nomor Pokok : 127021028
Program Studi : Magister Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Opim Salim S, MSc) (Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc)
Ketua Anggota
Ketua Program Studi Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus : 22 Desember 2014
Telah diuji pada
Tanggal : 22 Desember 2014
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc Anggota : 1.Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
2. Dr. Syahril Efendi, M.IT 3. Prof. Dr. Tulus, M.Si
PERNYATAAN
MODEL OPTIMASI UNTUK PERSOALAN PERSEDIAAN DETERMINISTIK DENGAN ADANYA
BACKORDER PARSIAL
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kuti- pan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya
Medan, 22 Desember 2014 Penulis,
Erwina Azizah Hasibuan
i
ABSTRAK
Ada dua bentuk pemodelan dalam matematika yaitu model dengan maksimisasi fungsi tujuan dan model dengan minimisasi fungsi tujuan. Untuk menyelesaikan kedua model tersebut digunakan teknik dan metode yang dipelajari dalam teori optimasi. Dalam per- sediaan yang ingin dimaksimumkan adalah keuntungan. Sedangkan yang ingin dimini- mumkan dalam persediaan adalah biaya, risiko, kerugian yang ditimbulkan persediaan itu sendiri. Solusi dari suatu masalah optimasi pada persediaan akan menjadi solusi optimal jika solusi yang memenuhi fungsi tujuan persediaan sekaligus juga memenuhi fungsi kendalanya (constrains) yaitu biaya, risiko, kerugian yang ditimbulkan perse- diaan itu sendiri. Model optimasi yang digunakan disini model optimasi persediaan deterministik. Dalam tesis ini akan diterapkan model persediaan deterministik dengan adanya backorder parsial.
Salah satu model yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persediaan deterministik dengan adanya backorder parsial yaitu dengan menggunakan pendekatan program non- linier dimana akan dibuktikan dasar program matematika dengan menyajikan suatu ke- bijakan optimal dengan menghubungkan pada masalah- masalah program matematika.
Dengan menggunaan pendekatan program nonlinier dalam menyelesaikan permasala- han persediaan tersebut akan menghasilkan suatu titik yang disebut sebagai titik KKT (Karush Kuhn Tucker), di mana titik tersebut merupakan solusi dari permasalahan ini.
Kemudian mengindikasikannya dengan beberapa penelitian yang menggunakan model persediaan deterministik dengan backorder parsial dan mempertimbangkannya sebagai tambahan model dengan pendekatan program nonlinier.
Kata kunci : Optimasi, Model deterministik, Backorder parsial, Pendekatan program nonlinier, Titik KKT
ABSTRACT
There are two forms of mathematical modeling in the model by maximizing the func- tion objective and models with minimization of the objective function. To resolve these two models use the techniques and methods learned in the theory of optimization. In inventory who wish to be maximized is profit. Those who want to be minimized in the inventory is the cost, risk, losses incurred inventory itself. The solution of an optimiza- tion problem in inventory will be an optimal solution if the solution meets the objective function as well as fulfilling the functions of inventory constraints are the cost, risk, losses incurred inventory itself. Optimization model used here deterministic inventory optimization model. In this thesis will apply deterministic inventory model with partial backorder.
One model that can be used to solve deterministic inventory with partial backorder is by using a nonlinier programming approach which will be proven basic math program by presenting an optimal policy with problems connecting to the mathematics program. By using mathematical programming approach in solving the problems of the inventory will result in a point is referred to as point KKT (Karush Kuhn T ucker), where the point is a solution to these problems. Then, with some studies indicate that use deterministic inventory model with partial backorder and consider it as an additional model with a nonlinier program approach.
Keyword : Optimization, Deterministic models, P artial backorder, N onlinier programming approach, KKT point
iii
KATA PENGANTAR
Setinggi puji dan sedalam syukur penulis serahkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan berkat dan rahmadNya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul ”MODEL OPTIMASI UNTUK PERSOALAN PERSEDIAAN DETERMINISTIK DENGAN ADANYA BACKORDER PARSIAL ”. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Ma- gister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Uni- versitas Sumatera Utara.
Dalam penyusunan hingga terwujudnya Tesis ini tidak terlepas dari bimbingan dan bantuan dari berbagai pihak, untuk itu pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya, terutama kepada yang terhormat:
Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara
Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan bantuan dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matema- tika FMIPA USU dan selaku Pembimbing Kedua yang juga telah banyak memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc selaku Pembimbing Utama yang telah banyak memberikan bimbingan, arahan serta motivasi dan waktu yang telah diluangkan kepada penulis untuk berdiskusi dalam penulisan tesis ini.
Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
Kak Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis sela- ma mengikuti perkuliahan.
Ayah Darwin Hasibuan dan Ibu Sofiyah Nasution yang tercinta, dengan segala doa dan jerih payahnya telah mendidik, membimbing, membesarkan penulis dengan kasih sayang demi mencari dan menuju masa depan yang terang dibawah ridho Allah.
Suami tercinta Deddi Harlan Hutasuhut, S.Pd yang telah banyak memberikan dorongan moril dan spiritual, serta doa dan keikhlasan turut membantu dengan kese- tiaan yang tinggi berkenan menunggu penulis menyelesaikan studi di Program Studi Magister Matematika Fakultas MIPA USU Medan.
Buah hatiku Alya Zahra Hasanah Hts dan Asyraf Zafran Hafidz Hts yang masih berusia 2 minggu harus ditinggal jauh, ibu sayang kalian.
Seluruh rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2012 genap yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Serta kepada seluruh pihak yang tidak mungkin penulis sebutkan satu persatu dalam tulisan ini, semoga amal baiknya dibalas oleh Allah SWT, dengan cara dimu- dahkan segala urusannya dan dilimpahkan rizqinya, Amin.
Dengan keterbatasan pengalaman, pengetahuan maupun pustaka yang ditinjau, penulis menyadari bahwa tesis ini masih banyak kekurangan dan perlu pengembangan lebih lanjut agar benar benar bermanfaat. Oleh sebab itu, penulis sangat mengharapkan kritik dan saran agar tesis ini lebih sempurna serta sebagai masukan bagi penulis untuk penelitian dan penulisan karya ilmiah di masa yang akan datang.
Akhir kata, penulis berharap tesis ini memberikan manfaat bagi kita semua teruta- ma untuk pengembangan ilmu pengetahuan.
Medan, Desember 2014 Penulis,
Erwina Azizah Hasibuan
v
RIWAYAT HIDUP
Erwina Azizah Hasibuan dilahirkan di Padangsidimpuan pada tanggal 13 Ok- tober 1984 dari pasangan Bapak Darwin Hasibuan & Ibu Sofiyah Nasution. Penulis menamatkan pendidikan Sekolah Dasar 142431/15 Padangsidimpuan pada tahun 1997, menamatkan MTsN Padangsidimpuan pada tahun 2000, dan menamatkan SMAN 4 Padangsidimpuan tahun 2003. Pada tahun 2003 memasuki Perguruan Tinggi Univer- sitas Negeri Medan Fakultas MIPA Jurusan Pendidikan Matematika pada Strata Satu (S-I) dan lulus tahun 2008.
Pada tahun 2008 penulis dipercaya mengajar di Sekolah Tinggi Agama Islam Negri (STAIN) Padangsidimpuan yang sekarang berganti nama menjadi Institut Agama Islam Negri (IAIN) Padangsidimpuan dan ditahun yang sama dipercaya juga mengajar di Universitas Graha Nusantara (UGN) Padangsidimpuan sampai sekarang. Pada tahun 2012, penulis baru melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara dan memperoleh bantuan dana beasiswa on-going dari BPP-DN Dikti.
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN i
ABSTRAK ii
ABSTRACT iii
KATA PENGANTAR iv
RIWAYAT HIDUP vi
DAFTAR ISI vii
DAFTAR GAMBAR ix
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 2
1.3 Tujuan Penelitian 3
1.4 Manfaat Penelitian 3
1.5 Metodologi Penelitian 3
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 4
2.1 Persediaan 4
2.2 Model Optimasi Deterministik 4
2.3 Model Optimasi dengan Pendekatan Program Matematika 5
2.4 Model Persediaan Deterministik 5
2.5 Model Optimasi Persediaan Deterministik 6
2.6 Model Persediaan dengan Backorder Parsial 6
2.7 Program Pendekatan Nonlinier 6
2.8 Pengali Lagrange 7
vii
2.9 Sistem KKT 8
BAB 3 LANDASAN TEORI 9
3.1 Model Persediaan Deterministik 9
3.1.1 Model economic order quantity 9
3.1.2 Model economic order quantity dengan backorder 10
3.1.3 Model economic production quantity 10
3.1.4 Model economic production quantity dengan backorder 11 3.2 Asumsi-asumsi, Parameter-parameter dan Variabel Keputusan 11
3.2.1 Asumsi model 11
3.2.2 Parameter model 12
3.2.3 Variabel keputusan 12
3.3 Pendekatan dengan Menggunakan Program Nonlinier 12 3.3.1 Membuat formulasi pada masalah program nonlinier 12
3.3.2 Pembuktian dari solusi optimal 13
3.3.3 Pengimplementasian model persediaan lainnya dengan Back-
order Parsial 14
BAB 4 MODEL PERSEDIAAN DETERMINISTIK MENGGUNAKAN PRO-
GRAM PENDEKATAN NON LINIER 16
4.1 Formulasi pada Masalah Program Nonlinier 17
4.2 Pembuktian dari Solusi Optimal 18
4.3 Pengimplementasian Model Persediaan Lainnya dengan Backorder
Parsial 25
BAB 5 KESIMPULAN 30
DAFTAR PUSTAKA 31
DAFTAR GAMBAR
Nomor Judul Halaman
3.1 Model optimasi 15
ix
ABSTRAK
Ada dua bentuk pemodelan dalam matematika yaitu model dengan maksimisasi fungsi tujuan dan model dengan minimisasi fungsi tujuan. Untuk menyelesaikan kedua model tersebut digunakan teknik dan metode yang dipelajari dalam teori optimasi. Dalam per- sediaan yang ingin dimaksimumkan adalah keuntungan. Sedangkan yang ingin dimini- mumkan dalam persediaan adalah biaya, risiko, kerugian yang ditimbulkan persediaan itu sendiri. Solusi dari suatu masalah optimasi pada persediaan akan menjadi solusi optimal jika solusi yang memenuhi fungsi tujuan persediaan sekaligus juga memenuhi fungsi kendalanya (constrains) yaitu biaya, risiko, kerugian yang ditimbulkan perse- diaan itu sendiri. Model optimasi yang digunakan disini model optimasi persediaan deterministik. Dalam tesis ini akan diterapkan model persediaan deterministik dengan adanya backorder parsial.
Salah satu model yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persediaan deterministik dengan adanya backorder parsial yaitu dengan menggunakan pendekatan program non- linier dimana akan dibuktikan dasar program matematika dengan menyajikan suatu ke- bijakan optimal dengan menghubungkan pada masalah- masalah program matematika.
Dengan menggunaan pendekatan program nonlinier dalam menyelesaikan permasala- han persediaan tersebut akan menghasilkan suatu titik yang disebut sebagai titik KKT (Karush Kuhn Tucker), di mana titik tersebut merupakan solusi dari permasalahan ini.
Kemudian mengindikasikannya dengan beberapa penelitian yang menggunakan model persediaan deterministik dengan backorder parsial dan mempertimbangkannya sebagai tambahan model dengan pendekatan program nonlinier.
Kata kunci : Optimasi, Model deterministik, Backorder parsial, Pendekatan program nonlinier, Titik KKT
ABSTRACT
There are two forms of mathematical modeling in the model by maximizing the func- tion objective and models with minimization of the objective function. To resolve these two models use the techniques and methods learned in the theory of optimization. In inventory who wish to be maximized is profit. Those who want to be minimized in the inventory is the cost, risk, losses incurred inventory itself. The solution of an optimiza- tion problem in inventory will be an optimal solution if the solution meets the objective function as well as fulfilling the functions of inventory constraints are the cost, risk, losses incurred inventory itself. Optimization model used here deterministic inventory optimization model. In this thesis will apply deterministic inventory model with partial backorder.
One model that can be used to solve deterministic inventory with partial backorder is by using a nonlinier programming approach which will be proven basic math program by presenting an optimal policy with problems connecting to the mathematics program. By using mathematical programming approach in solving the problems of the inventory will result in a point is referred to as point KKT (Karush Kuhn T ucker), where the point is a solution to these problems. Then, with some studies indicate that use deterministic inventory model with partial backorder and consider it as an additional model with a nonlinier program approach.
Keyword : Optimization, Deterministic models, P artial backorder, N onlinier programming approach, KKT point
iii
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Seiring berkembangnya dunia ekonomi membuat perusahaan harus memiliki sistem perencanaan yang baik dalam menghadapi persaingan bisnis. Salah satu sistem yang perlu dioptimalkan adalah sistem persediaan perusahaan. Setiap perusahaan akan se- lalu berusaha untuk memenuhi permintaan konsumen pada waktu dan jumlah yang tepat. Setiap perusahaan pasti memiliki cara yang berbeda untuk mengisi persediaan.
Tanpa persediaan, perusahaan dihadapkan pada resiko bahwa perusahaan tidak dapat memenuhi permintaan pelanggan tepat waktu. Hal ini mungkin terjadi karena tidak selamanya barang-barang tersedia setiap saat. Pada model persediaan ini, pesanan dari pelanggan akan tetap diterima walaupun pada saat itu tidak ada persediaan. Per- mintaan akan dipenuhi kemudian setelah ada persediaan baru. Pesanan akan diambil kemudian ini disebut backorder.
Berkaitan dengan uraian tersebut, perlu adanya sebuah metode atau model yang dapat digunakan untuk mengoptimalkan persediaan. Pengendalian model persediaan dasar adalah model Economic Order Quantity (EOQ) yang dikenal sederhana. Model EOQ bertujuan untuk menentukan banyaknya pembelian (kuantitas pemesanan) dan waktu pemesanan kembali (order point ). Dengan suatu asumsi shortages (kehabisan barang) tidak diijinkan dan stockout diijinkan dengan backorder, mengakibatkan EOQ meluas ke EOQ dengan backorder parsial (EOQ-PBO). Tetapi jika diasumsikan pe- nambahan persediaan terjadi secara langsung digantikan dengan asumsi penambahan persediaan terjadi secara bertahap yang diterima pada waktu lebih lama, maka EOQ diperluas dengan model Economic Production Quantity (EPQ), dan dengan mengi- jinkan stockout dengan backorder maka akan meluas lagi ke EPQ dengan backorder parsial (EPQ-PBO). Ada beberapa tulisan yang mengusulkan model persediaan de- ngan backorder parsial baik dengan model EOQ atau pun EPQ perhatikan Pentico dan Drake (2009 dan 2011) serta Pentico et al., (2009 dan 2011) tetapi hanya sedikit dari jurnal tersebut yang meneliti tentang model deterministic untuk kedua model EOQ dan EPQ dengan backorder parsial perhatikan Pentico dan Drake (2011).
2
Pada penelitian Pentico et al., (2009) tentang model EPQ-PBO penelitiannya lebih pada model EPQ yang sederhana dan memberikan solusi optimal yang tertutup pada sistem persediaan. Dimana Pentico menentukan kebijakan persediaan yang opti- mal dengan mengijinkan stockout dengan backorder dan hanya memenuhi permintaan yang kecil atau kebijakan yang optimal dengan cara memenuhi semua permintaan atau kehilangan semua penjualan. Sementara proposal Hu, et al., (2009) menggunakan mo- del persediaan dengan backorder parsial dengan mengaitkannya pada unit backorder untuk harga meningkat linier dengan waktu tunggu.
Pada tesis ini akan dikembangkan model optimasi persediaan dengan menggu- nakan pendekatan program nonlinier. Dimana pengenalan solusi global optimal pada masalah umum program nonlinier menggunakan teori program nonlinier bukan tugas yang mudah. Ada kondisi lokal optimal yang harus dipenuhi. Menurut Nocedal dan Wright (1999) Solusi global diperlukan dalam beberapa aplikasi, tetapi biasanya sulit untuk diidentifikasi dan bahkan lebih sulit untuk ditemukan. Dengan membuktikan keoptimalan dari solusi (T∗, F∗) dimana T adalah siklus pemesanan dan F adalah tingkat pengisian. Maka diperoleh serangkaian titik Dimana titik tersebut akan kon- vergen pada suatu titik KKT (Karush Kuhn Tucker).
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang diatas, tanpa adanya persediaan timbul resiko produsen tidak dapat memenuhi permintaan konsumen tepat waktu, tidak dapat mengantisipasi apabila harga naik, dan persediaan sebagai pengaman (safety stock ). Tetapi dengan adanya persediaan pula maka timbul biaya-biaya persediaan yaitu:
1. Biaya pengadaan 2. Biaya backorder
3. Biaya kekurangan barang
Model persediaan deterministik dengan adanya backorder parsial yang dibicarakan pada literatur-literatur sebelumnya masih membahas pendekatan secara ekonomi baik dengan menggunakan EOQ maupun dengan EPQ. Untuk itu dibutuhkan suatu model
3
persediaan deterministik dengan menggunakan pendekatan nonlinier. Maka permasala- han dalam penelitian ini adalah bagaimana mengoptimalkan persediaan dengan adanya backorder parsial dengan menggunakan program pendekatan nonlinier.
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis model optimasi persediaan deterministik dengan adanya backorder parsial menggunakan program pendekatan nonlinier dengan menemukan serangkaian titik optimal (T∗, F∗) yang konvergen pada suatu titik KKT, di mana (T∗, F∗) adalah solusi yang diperoleh. Jadi (T∗, F∗) adalah titik KKT tersebut.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini bermanfaat untuk memperkaya literatur tentang model optimasi untuk persediaan deterministik dengan adanya backorder parsial agar dapat diaplikasikan dalam kehidupan.
1.5 Metodologi Penelitian
Metode penelitian ini bersifat studi literatur dan kepustakaan. Untuk memperoleh mo- del optimasi untuk persediaan deterministik dengan adanya backorder parsial, berikut adalah langkah-langkah yang akan dilakukan:
1. Mengumpulkan informasi dari literatur-literatur mengenai model persediaan de- terministik dengan adanya backorder parsial;
2. Mengembangkan model dengan menggunakan pendekatan program nonlinier;
3. Merancang formulasi dengan menggunakan program nonlinier dan membuat pem- buktian optimalnya;
4. Mengimplementasikan model lain yang menggunakan persediaan deterministik dengan menggunakan bakorder parsial dengan model persediaan deterministik yang menggunakan pendekatan program nonlinier.
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Banyak penelitian yang mengusulkan model persediaan dengan backorder seperti Pen- tico dan Drake (2009), Pentico et al., (2009) dan Pentico et al., (2011), tetapi sangat sedikit yang digunakan model deterministik untuk EOQ dan EPQ dengan backorder parsial, Pentico dan Drake (2011), yang lebih ke pendekatan ekonomi, maka penelitian ini akan dikembangkan lagi dengan menggunakan pendekatan nonlinier.
2.1 Persediaan
Chase et al., (2004) memperkenalkan persediaan adalah stok dari beberapa item atau sumber daya yang digunakan dalam suatu organisasi. Suatu sistem persediaan merupakan suatu set kebijaksanaan dan pengendalian dalam memonitor tingkat perse- diaan dan menentukan tingkat persediaan yang harus dijaga, kapan persediaan harus disediakan dan berapa jumlah persediaan yang harus dipesan.
Hu et al., (2009) mengusulkan bahwa inti dari pengendalian persediaan yaitu un- tuk menyeimbangkan persediaan, pemesanaan shortage dalam perdangangan. Dimana hasil dari persediaan memegang peranan yang lebih besar yang membuat keuntungan lebih tinggi tetapi menurunkan biaya pemesanan dan biaya backorder atau kehilangan penjualan (lost sales).
2.2 Model Optimasi Deterministik
Dalam beberapa masalah optimasi, suatu model tidak sepenuhnya dapat diten- tukan karena bergantung pada jumlah yang tidak diketahui pada saat formulasi. Suatu pemodelan dapat memprediksi atau memperkirakan jumlah yang tidak diketahui de- ngan beberapa derajat kepercayaan, misalnya dengan memberikan beberapa kemung- kinan masalah untuk nilai dari jumlah yang tidak diketahui dan bahkan menetapkan probabilitas (peluang) untuk masing-masing masalah. Algoritma optimasi probabilis- tik menggunakan kuantitas ketidakpastian untuk menghasilkan solusi yang mengopti- malkan kinerja yang diharapkan dari model. Sedang optimasi deterministic menggu-
4
5
nakan parameter yang sepenuhnya ditentukan (pasti). Maka fokus pada penelitian ini dengan optimasi deterministic atau disebut juga optimasi matematis.
2.3 Model Optimasi dengan Pendekatan Program Matematika
Optimasi sering disebut dalam pemrograman matematika, sebuah istilah yang agak membingungkan karena menunjukkan penulisan program komputer dengan orien- tasi matematika. Perumusan masalah, desain algoritma dan analisis.
Permasalahan optimisasi merupakan suatu permasalahan untuk mengoptimalkan suatu fungsi objektif atau tujuan. Mengoptimalkan suatu fungsi objektif dapat berupa meminimumkan atau memaksimumkan suatu fungsi objektif. Fungsi objektif dapat berbentuk linear atau tak linear. Jika fungsi objektif berbentuk tak linear, maka per- masalahan optimisasi dinamakan optimisasi tak linear. Suatu fungsi objektif dapat memiliki kendala dari Nocedal dan Wright (2006). Secara umum, permasalahan opti- misasi tak linear tanpa kendala dapat dinyatakan dalam bentuk:
minx∈Xf (x)
dengan x ∈ Rnyang merupakan variabel keputusan, f (x) merupakan fungsi objektif tak linear, dan X = Rn merupakan daerah layak. Secara umum, permasalahan optimisasi tak linear berkendala dapat dinyatakan dalam bentuk:
x∈Rminnf (x)
dengan
ci(x) = 0 : i ∈ ε ci(x) > 0 : i ∈ I
dengan ε merupakan himpunan indeks dari kendala-kendala persamaan dan I meru- pakan himpunan indeks dari kendala-kendala pertidaksamaan dari Sun dan Yuan (2006).
2.4 Model Persediaan Deterministik
Dalam model persediaan deterministik parameter-parameter yang berpengaruh terhadap sistem persediaan dapat diketahui dengan pasti. Rata-rata kebutuhan dari
6
biaya-biaya persediaan diasumsi diketahui dengan pasti. Lamanya lead time juga di- asumsikan selalu tetap karena semua parameter bersifat deterministik, maka tidak dimungkinkan adanya kekurangan persediaan. Model deterministik terkadang meru- pakan pendekatan yang sangat baik atau paling tidak merupakan langkah awal yang baik untuk menggambarkan fenomena persediaan.
2.5 Model Optimasi Persediaan Deterministik
Jadi dari uraian diatas model optimasi persediaan deterministik adalah permasala- han untuk mengoptimalkan suatu fungsi persdiaan yang parameter-parameternya sudah diketahui pasti. Disini mengoptimalkan suatu fungsi objektif tak linier dipilih memini- mumkan fungsi persediaan dengan kendala-kendala biaya-biaya yang ditimbulkan oleh persediaan itu sendiri.
2.6 Model Persediaan dengan Backorder Parsial
Backorder adalah permintaan yang belum dapat dipenuhi, tetapi kemudian dapat dipenuhi pada periode berikutnya. Di dalam situasi yang bersifat backorder, suatu pe- rusahaan tidak kehilangan penjualan ketika persediaan habis, karena konsumen berse- dia menunggu pesanannya terpenuhi pada tahap produksi selanjutnya, perusahaan me- ngalami kekurangan persediaan (stockout) dan memenuhinya dengan cara backorder, sedangkan jika konsumen tidak bersedia menunggu, maka perusahaan akan mengalami penjualan hilang (lost sales). Sedangkan yang dimaksud backorder parsial adalah untuk menentukan jumlah persediaan yang habis ketika adanya permintaan dari konsumen yang tidak dapat dipenuhi. Masalah backorder parsial dapat ditemukan dalam bebera- pa literatur penelitian yang akan dijelaskan pada model-model persediaan deterministik yang akan ditunjukkan pada bagian berikutnya.
2.7 Program Pendekatan Nonlinier
Beberapa literatur penelitian telah menunjukkan model deterministik dengan backorder parsial menggunakan model EOQ-PBO dan EPQ-PBO maupun keduanya Pentico dan Drake (2009), Pentico et al., (2009), Pentico et al., (2011), dan Pentico dan Drake (2011), ataupun Hu et al., (2009) menggunakan model persediaan dengan backorder parsial dengan mengaitkannya pada unit backorder untuk harga meningkat
7
linier dengan waktu tunggu. Maka akan dikembangkan model optimasi persediaan dengan menggunakan pendekatan program nonlinier.
Nocedal dan Wright (1999) menyatakan pendekatan matematika untuk menen- tukan iterasi optimasi algoritma dimulai dengan mengawali menebak keoptimalan pada nilai-nilai variabel dan menghasilkan urutan perkiraan peningkatan sampai mencapai semua solusi. Strategi yang digunakan berpindah dari satu iterasi ke iterasi berikut- nya untuk membedakan satu algoritma dari algoritma yang lain. Kebanyakan strate- gi memanfaatkan nilai-nilai fungsi obyektif f (x), dengan kendala ci(x), dan menggu- nakan fungsi turunan pertama dan kedua pada fungsi tersebut. Beberapa algoritma mengumpulkan informasi pada iterasi sebelumnya, sementara yang lain hanya meng- gunakan informasi solusi lokal dari titik yang ditemukan. Algoritma optimasi tercepat hanya mencari solusi lokal, dimana ditemukannya suatu titik fungsi objektif yang lebih kecil dari pada semua titik layak lainnya di sekitarnya. Titik ini tidak selalu merupakan titik terbaik dari semua titik minimal yang ditemukan maka disebut solusi global. Solusi global diperlukan dalam beberapa aplikasi, tetapi biasanya sulit untuk mengidentifikasi dan bahkan lebih sulit untuk menemukannya. Sebuah kasus khusus yang penting adalah pemrograman konveks, di mana semua solusi lokal juga solusi global. Masalah pemro- graman linier jatuh dalam kategori pemrograman konveks. Namun, masalah nonlinier umum, baik dibatasi dan tidak dibatasi, mungkin memiliki solusi lokal yang bukan solusi global.
2.8 Pengali Lagrange
Nocedal dan Wright (1999) memperkenalkan fungsi lagrange dengan:
L(x, λ1) = f (x) − λ1c1(x)
dan menuliskan bahwa ∇xL(x, λ1) = ∇f (x) − λ1∇c1(x). Pada solusi x∗ ada skalar λ∗1, sehingga
∇xL(x∗, λ∗1) = 0
Pernyataan tersebut menyatakan bahwa dapat mencari solusi dari masalah per- samaan berkendala dengan mencari titik-titik stasioner dari fungsi lagrange. Kuantitas skalar ini disebut suatu pengali lagrange untuk kendala ci(x) = 0.
8
2.9 Sistem KKT
Menggunakan titik x∗ dan himpunan aktif A(x∗) yang dinyatakan dengan linear independence constraint qualification LICQ jika himpunan dari kendala yang aktif {∇Ci(x∗), i ∈ A(x∗)} disebut linier bebas. Dengan catatan jika berpatokan pada kondisi ini, tak satupun dari kendala yang aktif adalah nol. Kondisi ini memungkinkan untuk menyatakan kondisi yang optimal pada masalah program nonlinier yang umum.
Kondisi yang diperlukan pada orde pertama Dengan menghendaki x∗ solusi local yang berpegangan pada LICQ pada x∗, kemudian ada vector pengali lagrange λ. Kondisi ini dikenal dengan Karush Kuhn Tucker atau disingkat KKT. Kondisi ini menghubungkan pengali lagrange dengan kendala pertidaksamaan yang tidak aktif yaitu nol (Nocedal dan Wright, 1999).
BAB 3
LANDASAN TEORI
Jenis penelitian ini adalah penelitian literatur yaitu dengan mengembangkan model op- timasi persediaan deterministik dengan adanya backorder parsial dengan menggunakan penelitian terdahulu yang berhubungan dengan penelitian ini.
Beberapa literatur penelitian telah menunjukkan model optimasi untuk perse- diaan deterministik dengan backorder parsial dilakukan dengan menggabungkan dan memodifikasi model-model persediaan Economic Order Quantity yang menjadi model Economic Order Quantity dengan menggunakan Backorder parsial, kemudian diperlu- as lagi menjadi Economic Production Quantity menjadi model Economic Production Quantity dengan menggunakan Backorder parsial Pentico dan Drake (2009), Pentico et al., (2009), Pentico et al., (2011), dan Pentico dan Drake (2011).
Hu et al., (2009) menggunakan model persediaan dengan backorder parsial de- ngan mengaitkannya pada unit backorder untuk harga meningkat linier dengan waktu tunggu. Maka akan dikembangkan model optimasi persediaan dengan menggunakan pendekatan program nonlinier.
3.1 Model Persediaan Deterministik
Beberapa model persediaan deterministik yang telah dikembangkan beberapa peneliti.
3.1.1 Model economic order quantity
Model EOQ adalah model persediaan yang bertujuan untuk menentukan jumlah pesanan yang ekonomis yaitu jumlah pesanan yang memenuhi total biaya persediaan minimum dengan mempertimbangkan biaya pemesanan dan biaya penyimpanan. Pada model EOQ diasumsikan bahwa penambahan persediaan sebesar Q (kuantitas peme- sanan) datang secara langsung pada saat periode sebelumnya habis.
10
Menurut Pentico dan Drake (2009) biaya total persediaan dengan EOQ akan bernilai minimum apabila:
Q∗ =
r2C0D Ch
(3.1)
3.1.2 Model economic order quantity dengan backorder
Sebuah perusahaan dihadapkan pada kondisi persediaan yang belum tentu dapat memenuhi permintaan konsumen. Ketika perusahaan tidak memiliki persediaan, maka perusahaan akan menawarkan kepada konsumen untuk menunggu atau tidak menung- gu pesanan tersebut terpenuhi. Jika konsumen mengatakan tidak bersedia menunggu pesanan, maka perusahaan akan mengalami kerugian dengan adanya biaya penjualan yang hilang (lost sales) dan tidak terjadi stockout, sedangkan konsumen yang bersedia menunggu maka perusahaan memungkinkan untuk stockout dan memenuhinya dengan cara backorder. Kondisi inilah yang disebut dengan model EOQ backorder (EOQ-PBO) parsial Pentico dan Drake (2009).
Biaya total persediaan dengan EOQ-PBO akan bernilai minimum apabila Pentico dan Drake (2009):
Q∗ =
r2C0D Ch
rCb+ Ch
Ch
(3.2)
3.1.3 Model economic production quantity
Jika diasumsikan penambahan persediaan terjadi secara langsung digantikan de- ngan asumsi penambahan persediaan terjadi secara bertahap yang diterima pada waktu lebih lama, maka EOQ diperluas dengan model EPQ.
Biaya total persediaan dengan EPQ akan bernilai minimum apabila Pentico et al.,(2009):
Q∗ =
s 2C0D
Ch(1 − DP) (3.3)
11
3.1.4 Model economic production quantity dengan backorder
EOQ yang dapat diperluas dengan EOQ-PBO, maka EPQ pun dapat diperluas dengan EPQ-PBO
Biaya total persediaan dengan EPQ-PBO akan bernilai minimum apabila Pentico dan Toews (2009):
Q∗ =
s 2C0D Ch(1 −DP)
rCb+ Ch
Ch
(3.4)
Siklus pemesanan:
T∗ = s
2C0
DCh0 (Ch0 + βCb0
βCb0 ) − (C10)2
βCh0Cb0 (3.5)
Tingkat pengisian :
F∗ = F (T∗) = C10 + βCb0T∗
T∗(Ch0 + βCb0) (3.6)
3.2 Asumsi-asumsi, Parameter-parameter dan Variabel Keputusan 3.2.1 Asumsi model
Asumsi dasar yang digunakan pada model ini:
1. Barang yang dipesan dan disimpan hanya satu macam (homogen);
2. Kebutuhan atau permintaan barang diketahui dan konstan selama periode per- sediaan;
3. Biaya pemesanan dan biaya penyimpanan diketahui dan konstan;
4. Barang segera datang setelah pemesanan dilakukan (Lead time= 0 );
5. Barang yang dipesan diterima seketika, tidak bertahap;
6. Harga barang tetap dan dan tidak tergantung dari jumlah yang dibeli (tidak ada diskon dalam tingkat kuantitas pesanan);
7. Penjualan tidak hilang karena stock-out .
12
3.2.2 Parameter model
Bilangan dari populasi yang menjadi acuan dan akan ditaksir dari bilangan statis- tik disebut Parameter. Dalam model ini, parameter yang digunakan adalah komponen biaya persediaan meliputi:
1. Biaya pemesanan (ordering cost )per unit, dinotasikan C0; 2. Biaya pengadaan barang (holding cost ), dinotasikan Ch; 3. Biaya backorder dinotasikan Cb;
4. Biaya kehilangan penjualan (lost sale), dinotasikan Ci; 5. Nilai backorder, dinotasikan β;
6. Panjang dari siklus pemesanan, dinotasikanT ; 7. Biaya tingkat pengisian, dinotasikan F ;
8. Permintaan dalam satu periode dinotasikan D;
9. Jumlah pemesanan dinotasikan Q.
3.2.3 Variabel keputusan
Variabel keputusan dapat didefinisikan sebagai suatu simbol yang akan dicari nilainya. Variabel keputusan yang digunakan dalam model persediaan ini adalah:
1. Panjang dari siklus pemesanan, dinotasikan T ; 2. Biaya tingkat pengisian, dinotasikan F .
3.3 Pendekatan dengan Menggunakan Program Nonlinier 3.3.1 Membuat formulasi pada masalah program nonlinier
Dengan menggunakan variable keputusan T (siklus pemesanan) dan F (tingkat pengisian) dalam Pentico et al., (2009) menggunakan masalah program non linier.
Γ(T, F ) = CT0 + C
0 hDT F2
2 +βC
0
bDT (1−F )2
2 + C10D(1 − F ).
13
3.3.2 Pembuktian dari solusi optimal
Langkah-langkah menggunakan pendekatan Program nonlinier dirujuk dari Sto- jkovska (2013):
1. Membuktikan bahwa model persediaan tersebut memiliki backorder parsial;
Membuktikan solusi (T∗, F∗) menggunakan teori program linier dengan meng- gunakan persamaan (3.5) dan (3.6) yang merupakan global minimum dari per- samaan Γ(T, F ), dan akan terpenuhi jika β ≥ β∗, dimana β adalah nilai kritis dari backorder
β ≥ β∗ = 1 − s
2C0Ch0
DC12 (3.7)
2. Menguji keoptimalan fungsi dengan menggunakan LICQ;
Menggunakan titik (T∗, F∗) dan suatu fungsi yang dinyatakan dengan linear in- dependence constraint qualification LICQ jika himpunan dari kendala yang aktif {∇Ci(T∗, F∗), i ∈ Γ(T, F )} disebut linier bebas. Dengan catatan jika berpatokan pada kondisi ini, tak satupun dari kendala yang aktif adalah nol. Kondisi ini memungkinkan untuk menyatakan kondisi yang optimal pada masalah program nonlinier yang umum.
Kondisi yang diperlukan pada orde pertama dengan menghendaki (T∗, F∗) solusi lokal yang berpegangan pada LICQ pada (T∗, F∗), kemudian ada vector pengali lagrange λ. Kondisi ini dikenal dengan Karush Kuhn Tucker atau disingkat KKT. Kondisi ini menghubungkan pengali lagrange dengan kendala pertidak- samaan yang tidak aktif yaitu nol.
3. Menunjukkan dengan matriks Hessian bahwa titik tersebut adalah lokal minimum dari fungsi.
14
3.3.3 Pengimplementasian model persediaan lainnya dengan Backorder Par- sial
1. Mengimplementasikan program pendekatan nonlinier pada model EPQ-PBO yang di teliti Pentico et al., (2011);
Setiap perusahaan akan selalu berusaha untuk selalu memenuhi permintaan kon- sumen pada waktu dan jumlah yang tepat dan perusahaan pasti memiliki cara yang berbeda untuk mengisi persediaan agar optimal. Tanpa persediaan, pe- rusahaan dihadapkan pada resiko bahwa perusahaan tidak dapat memenuhi per- mintaan pelanggan tepat waktu. Untuk mengoptimalkan persediaan maka akan membentuk suatu model persediaan. Model optimasi persediaan terbagi dua:
(a) Model deterministik;
(b) Model probabilistik.
Model Deterministik adalah model persediaan yang menganggap nilai-nilai pa- rameter telah diketahui dengan pasti. Pengendalian model persediaan determi- nistik dasar adalah model EOQ. Dengan suatu asumsi shortages tidak diijinkan dan stockout diijinkan dengan backorder parsial, mengakibatkan EOQ meluas ke EOQ dengan backorder parsial (EOQ-PBO). Tetapi jika diasumsikan penamba- han persediaan terjadi secara langsung digantikan dengan asumsi penambahan persediaan terjadi secara bertahap yang diterima pada waktu lebih lama, ma- ka EOQ diperluas dengan model EPQ, dan dengan mengijinkan stockout dengan backorder parsial maka akan meluas lagi ke EPQ dengan backorder parsial (EPQ- PBO).
15
Gambar 3.1 Model optimasi
2. Mengimplementasikan program pendekatan nonlinier pada model yang di teliti Hu et al., (2009).
Pada Hu et al., (2009) model persediaan EOQ-PBO dengan tingkat backorder konstan dan unit backorder harga meningkat linier dengan jangka waktu shortage.
Dalam tulisan ini memutuskan variable dengan siklus waktu T dan waktu untuk persediaan adalah positif t1. Dalam notasi tersebut, harga total perunit waktu akan minimum pada:
T RC = (T, t1) = T1(A +Ci2t21α+ rα(b6(T − t1)3+C20(T − t1)2) + R(1 − r)α(T − t1)) Dengan batas kendala T > 0, 0 ≤ t1 ≤ T . Kemudian Hu et al., (2009) menen- tukan solusi optimal dengan memecahkan aproksimasi dengan pencarian numeric pada persamaan dengan memperhatikan t1 dan memperoleh nilai subtitusinya dalam persamaan untuk T . Dan membentuk nilai kritis pada harga penyim- panan perunit dan dengan menguji turunan parsial dan kondisi batasnya, dan dibuktikan juga jika:
Ci ≥ R2(1−r)2α
2A
terpenuhi, maka backorder parsial adalah optimal, cara lainnya kebijakan opti- malnya tidak mengijinkan backorder.
BAB 4
MODEL PERSEDIAAN DETERMINISTIK MENGGUNAKAN PROGRAM PENDEKATAN NON LINIER
Pentico et al., (2009) menyatakan model EPQ-PBO seperti model EPQ klasik dengan memberikan solusi optimal yang tertutup, dimana untuk memperoleh harga rata-rata total pertahun yang harus diminimumkan adalah (T,F) dengan menggunakan per- samaan berikut:
Γ(T, F ) = C0
T +Ch0DT F2
2 +βCb0DT (1 − F )2
2 + C10D(1 − F ) (4.1) Biaya-biaya yang masuk dalam harga rata-rata total pertahun tersebut yaitu:
1. Biaya pengadaan
Ch0 = Ch(1 − D P) 2. Biaya backorder
Cb0 = Cb(1 −βD P ) dan 3. Biaya kekurangan barang
C10 = C1(1 − β)
Kemudian terlebih dahulu menentukan turunan parsial dari (T,F) dengan per- samaan sama dengan nol. Maka Pentico et al., (2009) menemukan solusi sebagai berikut:
T∗ = r
2C0 DCh0(C
0 h+βC0b
βC0b ) − (C
0 1)2
βC0hCb0 dari persamaan (3.5) F∗ = F (T∗) = C
0
1+βCb0T∗
T∗(Ch0+βCb0) dari persamaan (3.6)
16
17
Pentico et al., (2009) juga membandingkan hasil tersebut dengan panjangnya sik- lus waktu persediaan yang optimal T ∗ dengan model backorder parsial dari suatu mo- del EPQ yang standar jika backorder optimal maka kondisi tersebut diperoleh dimana (T ∗, F ∗) memberikan solusi optimal seperti ditunjukkan persamaan (3.7) yaitu:
β ≥ β∗ = 1 − r
2C0C0h DC12
dimana β∗ditandai dengan nilai kritis dari tingkat backorder tersebut. Kemudian, Pen- tico et al., (2009) menentukan kebijakan persediaan yang optimal dengan cara kondisi (3.7) terpenuhi, kemudian kebijakan optimal dengan mengijinkan stockout dengan back- order parsial dan memenuhi semua permintaan yang kecil; atau dengan cara lainnya pada kebijakan optimal adalah memenuhi semua permintaan atau kehilangan semua penjualan. Ketika kondisi (3.7) terpenuhi maka Pentico et al., (2009) membuktikan solusi optimal yang dibuktikan pada EPQ-PBO dengan memberikan (3.5) dan (3.6).
Sebagai bahan untuk mendapatkan kebijakan optimal dari turunan parsial dan sarat batas. Maka pada penelitian ini akan dibuktikan keoptimalan dari solusi tersebut de- ngan menggunakan pendekatan program nonlinier.
Pengenalan solusi optimal (global) dari masalah non linier yang umum digunakan pada teori program non linier bukan merupakan tugas yang mudah. Ada kondisi yang harus dipenuhi pada optimal lokal, tapi hanya ada sedikit yang membatasi dari optimal global. Diantara model persediaan ada banyak fungsi objektif yang konveks, tetapi lebih banyak masalah yang muncul ketika fungsi objektif tersebut tidak konveks, karena yang lainnya solusi local yang optimal adalah global. Pada kasus ini, dengan fungsi objektif non konveks, membuktikan global optimal dari solusi model pada umumnya dilakukan, dengan menguji turunan parsial dan sarat batasnya.
4.1 Formulasi pada Masalah Program Nonlinier
Pada variabel keputusan, panjang dari siklus pemesanan T dan tingkat pengisian F ada batasan yang harus diikuti yaitu:
T > 0, 0 ≤ F ≤ 1 (4.2)
18
Jadi, masalah program matematika disesuaikan dengan EPQ-PBO Pentico et al., (2009) yang membatasi masalah program non linier dengan mengikuti formula berikut:
minimumkan(T ,F )∈R2 Γ(T, F ) (4.3) dengan kendala pada persamaan (4.2) dan fungsi Γ(T, F ) sebagai berikut:
Γ(T, F ) = CT0 +C
0 hDT F2
2 + βC
0
bDT (1−F )2
2 + C10D(1 − F )
Panjang dari siklus pemesanan T dan tingkat pengisian F Dan ditandai dengan daerah layak pada masalah (4.2) dengan
f = {(T, F ) ∈ <2|T > 0, 0 ≤ F ≤ 1}
Menggunakan teori program non linier akan dibuktikan solusi (T ∗, F ∗) pada EPQ- PBO Pentico et al., (2011) yang akan ditunjukkan dengan (3.5) dan (3.6) yaitu global minimum dari masalah (4.3) dan kondisi pada nilai back order β ≥ β∗ terpenuhi. Maka akan dibuat beberapa pilihan pada kebijakan optimal diantara semua kebijakan yaitu:
1. Untuk memenuhi permintaan yang kecil;
2. Untuk memenuhi semua permintaan;
3. Kehilangan semua penjualan .
sebagai konsekuensi dari pemecahan masalah (4.3) dengan menggunakan teori program non linier.
4.2 Pembuktian dari Solusi Optimal
Langkah-langkah menggunakan pendekatan Program nonlinier dirujuk dari Sto- jkovska (2013):
1. Membuktikan bahwa model persediaan tersebut memiliki backorder parsial;
Pembuktian keoptimalan disini disesuaikan dengan EPQ-PBO Pentico et al., (2009) dengan menggunakan pendekatan program nonlinier.
19
Pertama dituliskan persamaan dari kondisi β ≥ β∗ dimana β∗ adalah nilai kritis dari tingkat backorder β ≥ β∗ = 1 −
r
2C0Ch0
DC21 (3.7) kemudian diikuti pertidak- samaan berikut:
2C0
DCh0 > (C10)2
(Ch0)2 (4.4)
Dengan memberikan (3.5) dan (3.6) akan dibuktikan kondisi β ≥ β∗ pada solusi (T∗, F∗).
Andaikan β ≥ β∗ gunakan pertidaksamaan (4.4) yaitu 2C0
DC0
h
> (C
0 1)2 (C0
h)2 untuk meng- ekspresikan akar dari formula (3.5) T∗ =
r
2C0 DCh0(C
0 h+βCb0
βCb0 ) − (C
0 1)2 βC0hCb0
maka akan diperoleh:
hilangkan akar dari T∗ maka 2C0
DCh0 (Ch0 + βCb0
βCb0 ) − (C10)2 βCh0Cb0
karena pertidaksamaan (4.4) maka 2C0
DCh0(Ch0 + βCb0
βCb0 ) − (C10)2
βCh0Cb0 ≥ (C10)2
(Ch0)2(Ch0 + βCb0
βCb0 ) − (C10)2 βCh0Cb0
= (C10)2
(Ch0)2(Ch0 + βCb0 βCb0 − Ch0
βCb0)
= (C10)2
(Ch0)2 ≥ 0 (4.5)
Kedua dengan menggunakan (3.5)T∗ =
r
2C0
DC0h(C
0 h+βCb0
βCb0 ) − (C
0 1)2
βCh0Cb0, (3.6)F∗ = C
0 1+βCb0T∗ T∗(C0h+βCb0)
dan pertidaksamaan (4.4) 2C0
DCh0 > (C
0 1)2 (C0h)2
akan diperoleh:
20
F∗ ≤ 1 C10 + βCb0T∗
T∗(Ch0 + βCb0) ≤ 1
C10 + βCb0T∗ ≤ T∗(Ch0 + βCb0) C10 + βCb0T∗ ≤ T∗Ch0 + βCb0T∗
C10 ≤ T∗Ch0 T∗ ≥ C10
Ch0 2C0
DCh0 (Ch0 + βCb0
βCb0 ) − (C10)2
βCh0Cb0 ≥ (C10)2 (Ch0)2 2C0
DCh0 (Ch0 + βCb0
βCb0 ) ≥ (C10)2
(Ch0)2 + (C10)2 βCh0Cb0 2C0
DCh0 (Ch0 + βCb0
βCb0 ) ≥ (C10)2 (Ch0)2( Ch0
βCb0 + 1) 2C0
DCh0 (Ch0 + βCb0
βCb0 ) ≥ (C10)2
(Ch0)2(Ch0 + βCb0 βCb0 ) 2C0
DCh0 ≥ (C10)2
(Ch0)2 (4.6)
sehingga sesuai dengan pertidaksamaan (4.4) yang sama nilainya dengan β ≥ β∗ sehingga terbukti kondisi β ≥ β∗ pada solusi (T∗, F∗) yang menyatakan bahwa adanya backorder pada masalah (4.3).
Jadi, jika β ≥ β∗ akan ditunjukkan (T∗, F∗) yang menggambaran (4.5) dan kare- na T∗ > 0 dan F∗ > 0 maka akan ditunjukkan F∗ ≤ 1 pada (4.6), sehingga disimpulkan (T∗, F∗) ∈ f . Dimana (T∗, F∗) merupakan titik layak pada daerah (4.3). Jika pernyataan pada (4.6) benar pada kedua arahnya, maka nilai β∗ juga bisa dipertimbangkan sebagai nilai kritis untuk solusi yang layak. Inilah alasan mengapa ketika β ≥ β∗ dikaitkan dengan fakta dari kasus pada solusi (T∗, F∗) tidak layak, kebijakan untuk menemukan permintaan yang kecil tidak bisa op- timal, sehingga perlu memutuskan antara menemukan semua permintaan atau kehilangan semua penjualan yang ditunjukkan Pentico et al., (2009).
2. Menguji keoptimalan fungsi dengan menggunakan LICQ;
Dalam sub bagian ini akan dibuktikan keoptimalan dari solusi (T∗, F∗) dengan
21
menguji keoptimalan dari masalah (4.3). Dengan menggunakan keoptimalan dari linear independence constrained qualification yang disebut dengan LICQ. Jika pada suatu kumpulan titik pada gradient dari kendala yang aktif adalah titik yang bebas linier akan diperoleh titik KKT yang disebut sebagai titik yang memiliki multiple lagrange seperti system KKT yang harus dipenuhi yang tidak selalu mudah dibuktikan. Tetapi dalam masalah (4.3) yang harus dipertimbangkan adalah membuktikan keoptimalan dari solusi (T∗, F∗). Dengan cara menentukan multiple lagrange dari kendala (4.2)
T > 0, F ≥ 0dan1 − F ≥ 0 (4.7)
∂Γ
∂T − λ1 = 0, ∂Γ
∂F − λ2+ −λ3 = 0 (4.8)
λ1T = 0, λ2F = 0, λ3(1 − F ) = 0 (4.9) λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0, λ3 ≥ 0 (4.10) dimana λ1, λ2, dan λ3 adalah multiple lagrange dan untuk menemukan turunan parsial pertama pada T dan F digunakan persamaan (4.1).
Γ(T, F ) = CT0 + C
0 hDT F2
2 +βC
0
bDT (1−F )2
2 + C10D(1 − F ) turunan parsial pertama terhadap T
∂Γ
∂T = C0T−1+ Ch0DT F2
2 +βCb0DT (1 − F )2
2 + C10D(1 − F )
∂Γ
∂T = −C0T−2+ Ch0DF2
2 +βCb0D(1 − F )2 2
∂Γ
∂T = −C0
T2 + Ch0DF2
2 +βCb0D(1 − F )2
2 (4.11)
turunan parsial pertama terhadap F
∂Γ
∂F = 2Ch0DT F
2 + 2βCb0DT
2 . − 1 + C10D. − 1
∂Γ
∂F = Ch0DT F − βCb0DT − C10D
∂Γ
∂F = Ch0DT F − βCb0DT (1 − F ) − C10D. (4.12) Untuk memperoleh semua titik KKT dibutuhkan pemecahan system KKT (4.7)- (4.10) dengan memperhatikan T , F , λ1, λ2, dan λ3 dengan catatan bahwa suatu
