PEMBAHASAN DAN HASIL
4.3 Pengolahan Data
Matriks diatas merupakan matriks simetris karena jarak 𝑖 ke 𝑗 sama dengan jarak 𝑗 ke 𝑖. Dalam penyederhanaan matriks diatas dilakukan dengan cara mereduksi matriks tersebut.
Reduksi baris:
Matriks diatas dihasilkan dari pengurangan tiap baris dengan nilai terkecil pada elemen baris tersebut. Baris ke-1 dikurangkan dengan 12.4, baris ke-2
Matriks diatas dihasilkan dari pengurangan tiap kolom dengan nilai terkecil seluruh elemen pada kolom setelah dilakukan reduksi baris. Kolom ke-2 dikurangkan dengan 13.3, kolom ke-3 dikurangkan dengan 2.6, kolom ke-6 dikurangkan dengan 1.8, dan kolom ke-7 dikurangkan dengan 6.6.
2. Menentukan nilai simpul awal/akar
Semua angka yang digunakan untuk mengurangi atau mereduksi tiap baris atau kolom tersebut kemudian dijumlahkan. Hasil dari penjumlahan inilah yang kemudian dijadikan sebagai ĉ(𝑟𝑜𝑜𝑡) atau nilai ongkos dari simpul awal/akar.
Hal ini juga berarti bahwa solusi pada persoalan TSP tersebut paling tidak memiliki bobot minimum sebesar nilai ĉ(𝑟𝑜𝑜𝑡) yang diperoleh tersebut.
Selanjutnya, proses reduksi tersebut akan menghasilkan nilai batas simpul akar ĉ(𝑟𝑜𝑜𝑡), yang didapat dari penjumlahan semua elemen pengurang pada reduksi baris dan reduksi kolom tersebut. jadi, diperoleh:
ĉ(𝑟𝑜𝑜𝑡) = 12.4 + 25.7 + 15 + 12.4 + 12.4 + 14.2 + 19 + 12.4 + 13.3 + 2.6 + 1.8 + 6.6
ĉ(𝑟𝑜𝑜𝑡) = 147.8
3. Membangkitkan pohon ruang status
Setelah dihasilkan nilai batas simpul akar, maka dapat dibangkitkan pohon ruang status yang masih berisi satu buah simpul yang berbobot sama dengan nilai batas simpul akar atau ĉ(𝑟𝑜𝑜𝑡)
Dengan demikian dapat dibangkitkan pohon ruang status:
Berikut merupakan pohon ruang status yang masih berisi satu buah simpul dengan bobot 147.8.
4. Menentukan matriks beriikutnya dari matriks yang telah tereduksi
Selanjutnya, misal 𝐴 adalah matriks tereduksi untuk simpul 𝑅, dan misalkan 𝑆 adalah anak dari simpul 𝑅 sehingga sisi (𝑅, 𝑆) pada pohon ruang status berkorespondensi dengan sisi (𝑖, 𝑗), maka dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Mengubah semua nilai pada baris 𝑖 dan kolom 𝑗 menjadi ∞ 1. Simpul 2, lintasan (1,2)
3. Mereduksi kembali matriks 𝐴
Matriks diatas diperoleh dari pengurangan kolom ke-6 dengan 4.4 dan kolom ke-7 dengan 6.8
4. Memperoleh nilai 𝑟 yang merupakan total semua pengurang dari matriks yang telah direduksi sebelumnya, sehingga dapat ditentukan nilai batas dari simpul S sebagai berikut :
ĉ(𝑆) = ĉ(𝑅) + 𝐴(𝑖, 𝑗) + 𝑟 dimana,
𝑐̂(𝑆) = bobot perjalanan minimum yang melalui simpul S (simpul di pohon ruang status)
𝑐̂(𝑅) = bobot perjalanan minimum yang melalui simpul R, yang dalam hal ini R adalah orang tua dari S
𝐴(i, j) = bobot sisi (i,j) pada graf G yang berkoresponden dengan sisi (R,S) pada pohon ruang status.
r = jumlah semua pengurang pada proses memperoleh matriks tereduksi pada simpul S
sehingga 𝑟 = 4.4 + 6.8 = 11.2. Maka diperoleh ĉ(2) dari rumus : ĉ(𝑆) = ĉ(𝑅) + 𝐴(𝑖, 𝑗) + 𝑟
ĉ(2) = 147.8 + 1.5 + 11.2 = 160.5
Selanjutnya menghitung simpul lain pada pohon ruang status yang baru dengan langkah-langkah yang telah dijelaskan diatas:
5. Simpul 3; lintasan (1,3)
[
Matriks diatas diperoleh dari pengurangan kolom ke-6 dengan 4.4 dan kolom ke-7 dengan 6.8, sehingga 𝑟 = 4.4 + 6.8 = 11.2. Maka diperoleh ĉ(3):
ĉ(𝑆) = ĉ(𝑅) + 𝐴(𝑖, 𝑗) + 𝑟
ĉ(3) = 147.8 + 7.6 + 11.2 = 166.6
6. Simpul 4; lintasan(1,4)
[
Matriks diatas diperoleh dari pengurangan kolom ke-6 dengan 4.4 dan kolom ke-7 dengan 6.8, sehingga 𝑟 = 4.4 + 6.8 = 11.2. Maka diperoleh ĉ(4):
ĉ(𝑆) = ĉ(𝑅) + 𝐴(𝑖, 𝑗) + 𝑟
Matriks diatas diperoleh dari pengurangan kolom ke-6 dengan 4.4 dan kolom ke-7 dengan 6.8, sehingga 𝑟 = 4.4 + 6.8 = 11.2. Maka diperoleh ĉ(5):
[
[
12.7. Maka diperoleh ĉ(8):
ĉ(𝑆) = ĉ(𝑅) + 𝐴(𝑖, 𝑗) + 𝑟
ĉ(8) = 147.8 + 0 + 12.7 = 160.5
Dari proses reduksi diatas maka terbentuk pohon ruang status sampai saat ini adalah sebagai berikut:
Berikut merupakan pohon ruang status yang baru dengan bobot terkecil berada pada simpul 6 dan simpul 7 dengan bobot yang sama yaitu 157.6.
Selanjutnya mengekspansi kembali simpul dengan bobot yang telah diperoleh tersebut, yaitu 157.9. Proses ekspansi sama seperti langkah-langkah yang telah dilakukan diatas.
[
Matriks diatas diperoleh dari pengurangan kolom ke-7 dengan 1.4, sehingga 𝑟 = 1.4. Maka diperoleh ĉ(9):
ĉ(𝑆) = ĉ(𝑅) + 𝐴(𝑖, 𝑗) + 𝑟
ĉ(9) = 157.6 + 9.5 + 1.4 = 168.5
12. Simpul 10; lintasan (1,6,3)
[
Matriks diatas diperoleh dari pengurangan kolom ke-7 dengan 1.4, sehingga 𝑟 = 1.4. Maka diperoleh ĉ(10):
ĉ(𝑆) = ĉ(𝑅) + 𝐴(𝑖, 𝑗) + 𝑟
ĉ(10) = 157.6 + 0 + 1.4 = 159
13. Simpul 11; lintasan (1,6,4)
[
Matriks diatas diperoleh dari pengurangan baris ke-5 dengan 9.5, sehingga 𝑟 = 9.5. Maka diperoleh ĉ(11):
ĉ(𝑆) = ĉ(𝑅) + 𝐴(𝑖, 𝑗) + 𝑟
ĉ(11) = 157.6 + 9.1 + 9.5 = 176.2
14. Simpul 12; lintasan (1,6,5)
[
Matriks diatas diperoleh dari pengurangan baris ke-4 dengan 1.4, sehingga 𝑟 = 1.4. Maka diperoleh ĉ(12):
ĉ(𝑆) = ĉ(𝑅) + 𝐴(𝑖, 𝑗) + 𝑟
ĉ(12) = 157.6 + 11.2 + 1.4 = 170.2
15. Simpul 13; lintasan (1,6,7)
[
[
Matriks diatas diperoleh dari pengurangan baris ke-4 dengan 6.8, sehingga 𝑟 = 6.8. Maka diperoleh ĉ(12):
ĉ(𝑆) = ĉ(𝑅) + 𝐴(𝑖, 𝑗) + 𝑟
ĉ(12) = 157.6 + 0 + 6.8 = 164.4
16. Simpul 14; lintasan (1,6,8)
[
[
[
Matriks diatas diperoleh dari pengurangan kolom ke-6 dengan 1.4, sehingga 𝑟 = 1.4. Maka diperoleh ĉ(15):
ĉ(𝑆) = ĉ(𝑅) + 𝐴(𝑖, 𝑗) + 𝑟
ĉ(15) = 157.6 + 4.3 + 1.4 = 163.3
18. Simpul 16; lintasan (1,7,3)
[
Matriks diatas diperoleh dari pengurangan kolom ke-6 dengan 1.4, sehingga 𝑟 = 1.4. Maka diperoleh ĉ(16):
ĉ(𝑆) = ĉ(𝑅) + 𝐴(𝑖, 𝑗) + 𝑟
ĉ(16) = 157.6 + 12.6 + 1.4 = 171.6
19. Simpul 17; lintasan (1,7,4)
[
Matriks diatas diperoleh dari pengurangan kolom ke-6 dengan 12.6, sehingga 𝑟 = 12.6. Maka diperoleh ĉ(17):
ĉ(𝑆) = ĉ(𝑅) + 𝐴(𝑖, 𝑗) + 𝑟
ĉ(17) = 157.6 + 0 + 12.6 = 170.2
20. Simpul 18; lintasan (1,7,5)
[
21. Simpul 19; lintasan (1,7,6)
[
Matriks diatas diperoleh dari pengurangan baris ke-6 dengan 4.4, sehingga 𝑟 = 4.4. Maka diperoleh ĉ(19):
ĉ(𝑆) = ĉ(𝑅) + 𝐴(𝑖, 𝑗) + 𝑟
ĉ(19) = 157.6 + 0 + 4.4 = 162
22. Simpul 20; lintasan (1,7,8)
[
[
Matriks diatas diperoleh dari pengurangan baris 2 dengan 1.5 dan baris ke-3 dengan 1.4, sehingga 𝑟 = 1.5 + 1.4 = 2.9. Maka diperoleh ĉ(20):
ĉ(𝑆) = ĉ(𝑅) + 𝐴(𝑖, 𝑗) + 𝑟
ĉ(20) = 157.6 + 4.7 + 2.9 = 165.2
Dari proses reduksi diatas maka terbentuk pohon ruang status sampai saat ini adalah sebagai berikut:
Berikut merupakan pohon ruang status yang baru dengan bobot terkecil berada pada simpul 10 dengan bobot yaitu 159.
Selanjutnya mengekspansi kembali simpul dengan bobot yang telah diperoleh tersebut, yaitu 159. Proses ekspansi sama seperti langkah-langkah yang telah dilakukan diatas.
23. Simpul 21; lintasan (1,6,3,2)
Semua elemen baris dan kolom pada matriks diatas telah tereduksi, sehingga proses reduksi pada simpul ke-21 tidak dilakukan. Maka 𝑟 = 0 dan diperoleh ĉ(21) sebagai berikut:
ĉ(𝑆) = ĉ(𝑅) + 𝐴(𝑖, 𝑗) + 𝑟 ĉ(20) = 159 + 7 + 0 = 166
24. Simpul 22; lintasan (1,6,3,4)
[
[
Matriks diatas diperoleh dari pengurangan baris ke-5 dengan 8.1, sehingga 𝑟 = 8.1. Maka diperoleh ĉ(22):
ĉ(𝑆) = ĉ(𝑅) + 𝐴(𝑖, 𝑗) + 𝑟
ĉ(22) = 159 + 31.9 + 8.1 = 199
25. Simpul 23; lintasan (1,6,3,5)
[
Semua elemen baris dan kolom pada matriks diatas telah tereduksi, sehingga proses reduksi pada simpul ke-23 tidak dilakukan. Maka 𝑟 = 0 dan diperoleh ĉ(23) sebagai berikut:
ĉ(𝑆) = ĉ(𝑅) + 𝐴(𝑖, 𝑗) + 𝑟
ĉ(23) = 159 + 25.1 + 0 = 184.1
26. Simpul 24; lintasan (1,6,3,7)
[
Matriks diatas diperoleh dari pengurangan baris ke-7 dengan 6.8, sehingga 𝑟 = 6.8. Maka diperoleh ĉ(24):
ĉ(𝑆) = ĉ(𝑅) + 𝐴(𝑖, 𝑗) + 𝑟
ĉ(24) = 159 + 12.6 + 6.8 = 178.4
27. Simpul 25; lintasan (1,6,3,8)
[
[
Matriks diatas diperoleh dari pengurangan baris ke-2 dengan 1.5, sehingga 𝑟 = 1.5. Maka diperoleh ĉ(25):
ĉ(𝑆) = ĉ(𝑅) + 𝐴(𝑖, 𝑗) + 𝑟 ĉ(25) = 159 + 0 + 1.5 = 160.5
Dari proses reduksi diatas maka terbentuk pohon ruang status sampai saat ini adalah sebagai berikut:
Berikut merupakan pohon ruang status yang baru dengan bobot terkecil berada pada simpul 25 dengan bobot yaitu 160.5.
Selanjutnya mengekspansi kembali simpul dengan bobot yang telah diperoleh
tersebut, yaitu 160.5. Proses ekspansi sama seperti langkah-langkah yang telah dilakukan diatas.
28. Simpul 26; lintasan (1,6,3,8,2)
[
Matriks diatas diperoleh dari pengurangan baris ke-2 dengan 2.8, sehingga 𝑟 = 2.8. Maka diperoleh ĉ(26):
ĉ(𝑆) = ĉ(𝑅) + 𝐴(𝑖, 𝑗) + 𝑟
ĉ(26) = 160.5 + 0 + 2.8 = 163.3
29. Simpul 27; lintasan (1,6,3,8,4)
[
30. Simpul 28; lintasan (1,6,3,8,5)
[ sehingga 𝑟 = 11.1. Maka diperoleh ĉ(28):
ĉ(𝑆) = ĉ(𝑅) + 𝐴(𝑖, 𝑗) + 𝑟
ĉ(28) = 160.5 + 22.9 + 11.1 = 194.5
31. Simpul 29; lintasan (1,6,3,8,7)
[
[
Dari proses reduksi diatas maka terbentuk pohon ruang status sampai saat ini adalah sebagai berikut:
Berikut merupakan pohon ruang status yang baru dengan bobot terkecil berada pada simpul 26 dengan bobot yaitu 163.3.
Selanjutnya mengekspansi kembali simpul dengan bobot yang telah diperoleh tersebut, yaitu 163.3. Proses ekspansi sama seperti langkah-langkah yang telah dilakukan diatas.
32. Simpul 30; lintasan (1,6,3,8,2,4)
[
[
Matriks diatas diperoleh dari pengurangan baris ke-5 dengan 8.1, sehingga 𝑟 = 8.1. Maka diperoleh ĉ(30):
ĉ(𝑆) = ĉ(𝑅) + 𝐴(𝑖, 𝑗) + 𝑟
ĉ(30) = 163.3 + 22.2 + 8.1 = 193.6
33. Simpul 31; lintasan (1,6,3,8,2,5)
[
Semua elemen baris dan kolom pada matriks diatas telah tereduksi, sehingga proses reduksi pada simpul ke-31 tidak dilakukan. Maka 𝑟 = 0 dan diperoleh ĉ(31) sebagai berikut:
ĉ(𝑆) = ĉ(𝑅) + 𝐴(𝑖, 𝑗) + 𝑟
ĉ(31) = 163.3 + 29.6 + 0 = 192.9
34. Simpul 32; lintasan (1,6,3,8,2,7)
[
Dari proses reduksi diatas maka terbentuk pohon ruang status sampai saat ini adalah sebagai berikut:
Berikut merupakan pohon ruang status yang baru dengan bobot terkecil berada pada simpul 32 dengan bobot yaitu 179.6.
Selanjutnya mengekspansi kembali simpul dengan bobot yang telah diperoleh tersebut, yaitu 179.6. Proses ekspansi sama seperti langkah-langkah yang telah dilakukan diatas.
35. Simpul 33; lintasan (1,6,3,8,2,7,4)
[
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
0 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ ∞ ∞
11.2 ∞ ∞ 0 ∞ ∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞ 0 8.1 ∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞]
=
[
Matriks diatas diperoleh dari pengurangan baris ke-5 dengan 11.2, sehingga 𝑟 = 11.2. Maka diperoleh ĉ(33):
ĉ(𝑆) = ĉ(𝑅) + 𝐴(𝑖, 𝑗) + 𝑟
ĉ(33) = 179.6 + 0 + 11.2 = 190.8
36. Simpul 34; lintasan (1,6,3,8,2,7,5)
[
Semua elemen baris dan kolom pada matriks diatas telah tereduksi, sehingga proses reduksi pada simpul ke-34 tidak dilakukan. Maka 𝑟 = 0 dan diperoleh
ĉ(34) sebagai berikut:
ĉ(𝑆) = ĉ(𝑅) + 𝐴(𝑖, 𝑗) + 𝑟
ĉ(34) = 179.6 + 0 + 8.1 = 187.7
Dari proses reduksi diatas maka terbentuk pohon ruang status sampai saat ini adalah sebagai berikut:
Berikut merupakan pohon ruang status yang baru dengan bobot terkecil berada pada simpul 34 dengan bobot yaitu 187.7.
Selanjutnya mengekspansi kembali simpul dengan bobot yang telah diperoleh tersebut, yaitu 187.7. Proses ekspansi sama seperti langkah-langkah yang telah dilakukan diatas.
Simpul 35; lintasan (1,6,3,8,2,7,5,4)
[
Semua elemen baris dan kolom pada matriks diatas telah tereduksi, sehingga proses reduksi pada simpul ke-35 tidak dilakukan. Maka 𝑟 = 0 dan diperoleh ĉ(35) sebagai berikut:
ĉ(𝑆) = ĉ(𝑅) + 𝐴(𝑖, 𝑗) + 𝑟
ĉ(34) = 187.7 + 0 + 0 = 187.7
Dari proses reduksi diatas maka terbentuk pohon ruang status sampai saat ini adalah sebagai berikut:
Berikut merupakan pohon ruang status yang terakhir dengan bobot terkecil berada pada simpul 34 dengan bobot yaitu 187.7.
Berdasarkan keseluruhan proses reduksi yang telah dilakukan maka berhasil ditemukan rute optimal, yaitu melalui simpul 1 − 6 − 3 − 8 − 2 − 7 − 5 − 4 − 1 yang berarti melalui jalur berikut ini: Merdeka walk – The Le Hu Garden – Park Zoo and Resort – Velangkani - Arung jeram sungai binge - Taman air percut – Taman buah Lubuk Pakam – 3D art magic eye museum – Merdeka walk. Total jarak tempuh yang dilalui menggunakan algoritma Branch and Bound adalah 187.7 km.
Gambar 4.1 Representasi Graf
Berikut merupakan representasi graf dari destinasi objek wisata pada daerah kota Medan, Kabupaten Langkat dan Kabupaten Deli Serdang yang telah dibuat dalam bentuk matriks sebelumnya.
Gambar 4.2 Graf Hamilton
Berikut merupakan gambar graf hamilton yang dihasilkan berdasarkan penggunaan algoritma Branch and Bound untuk menentukan rute optimal pada kasus yang telah dibahas dalam penelitian ini.
Berdasarkan pemahaman mengenai graf yang telah dibahas pada teori-teori di tinjauan pustaka, maka hasil dan pembahasan pada penelitian ini dinyatakan sirkuit hamilton. Dimana lintasan hamilton merupakan lintasan yang melalui tiap simpul didalam graf tepat satu kali kecuali pada simpul asal atau awal (sekaligus menjadi simpul akhir) yang dilalui dua kali, dan apabila lintasan itu kembali ke asal membentuk
lintasan tertutup, maka lintasan tersebut merupakan sirkuit hamilton.
Pada gambar 2.33 sirkuit hamilton tersebut dimulai dari simpul awal yaitu melalui simpul (A, F, C, H, B, G, E, D, A) yang berarti melalui objek wisata Merdeka walk – The Le Hu Garden – Park Zoo and Resort – Velangkani - Arung jeram sungai binge - Taman air percut – Taman buah Lubuk Pakam – 3D art magic eye museum – Merdeka walk.
Penelitian tersebut hanya dilakukan untuk mengoptimalkan jarak, untuk waktu tempuh tidak dioptimalkan karena range waktu dari titik awal ke titik tujuan pada google maps tidak selalu konsisten dan tidak akurat dimana hasil waktu tempuh pada google maps belum tentu sesuai dengan kondisi yang terjadi di lapangan.
BAB 5