BAB III PENGURAIAN DAN PENGELOLAAN KESALAHAN,
B. Kode Linear
3.2.7 Penguraian Kode Linear
Sedemikian hingga, digit pertama pada kata kode merupakan pesan , dan disebut digit pesan. Selanjutnya, digit sisanya disebut digit pemeriksa. Digit pemeriksa menunjukkan
redundansi/kelebihan yang ditambahkan pada pesan untuk
perlindungan terhadap gangguan.
3.2.7 Penguraian Kode Linear
3.2.7.1 Koset
Definisi 3.2.7.1.1
Misal suatu kode linear dengan panjang atas , dan diandaikan adalah setiap vektor yang panjangnya .
Koset dari yang ditentukan oleh adalah himpunan
Contoh 3.2.7.1.1
Misal 2 dan 000, 101, 010, 111 . Maka
000 000, 101, 010, 111 , 001 001, 100, 011, 110 , 010 010, 111, 000, 101 , 011 011, 110, 001, 100 , 100 100, 001, 110, 011 , 101 101, 000, 111, 010 , 110 110, 011, 100, 001 , 111 111, 010, 101, 000 . Perhatikan bahwa 000 010 101 111 . 001 011 100 110 \ . Teorema 3.2.7.1.1
Misal kode linear , , atas lapangan berhingga . Maka i) Setiap vektor dari termuat pada suatu koset di
ii) Untuk semua , | | | |
iv) Dua koset saling identik satu sama lain atau dua koset tak memiliki irisan
v) Terdapat koset yang berbeda di
vi) Untuk semua , , bila dan hanya bila dan pada koset yang sama.
Bukti:
i) Vektor termuat pada koset .
ii) Berdasarkan definisi koset, memiliki | |
elemen. Dua elemen dan sama bila dan hanya
bila . Jadi, | | | | .
iii) Misal . Menurut definisi koset maka .
Diketahui , maka . Jadi,
. Selanjutnya, dimisalkan . Menurut
definisi koset maka . Diketahui , maka
atau . Oleh karena itu, .
iv) Andaikan terdapat dua koset dan dan
diandaikan . Karena ,
, maka . Oleh karena itu, .
v) Banyaknya elemen dari adalah . Menurut (i), setiap vektor dari termuat pada suatu koset . Berdasarkan (ii),
untuk semua , | | | | . Jadi, terdapat
koset yang berbeda di .
vi) Jika , maka . Jadi,
. Berdasarkan bukti dari (i), dan , jadi dan berada pada koset yang sama. Sebaliknya, andaikan , keduanya pada koset . Maka
dan untuk suatu , . Oleh karena
itu, .
∎ Contoh 3.2.7.1.2
Koset dari kode linear biner 0000, 1011, 0101, 1110
adalah sebagai berikut:
0000 0000 1011 0101 1110
0001 0001 1010 0100 1111
0010 0010 1001 0111 1100
1000 1000 0011 1101 0110
Definisi 3.2.7.1.2
Suatu kata dengan bobot terkecil pada suatu koset disebut koset
utama.
Contoh 3.2.7.1.3
Pada contoh 3.2.7.1.2, vektor di pada kolom pertama merupakan koset utama untuk masing-masing koset.
3.2.7.2 Penguraian Jarak Minimum untuk Kode Linear
Misal suatu kode linear. Diasumsikan kata kode dikirim dan kata diterima, menghasilkan pola kesalahan
.
Maka . Jadi, berdasarkan teorema 3.2.7.1.1
bagian (vi), pola kesalahan dan kata yang diterima berada pada koset yang sama.
Karena pola kesalahan dengan bobot terkecil adalah yang paling mungkin terjadi, maka penguraian jarak minimum digunakan untuk kode linear seperti pada penjelasan berikut ini. Jika kata yang diterima , pilih kata yang memiliki bobot terkecil pada koset dan disimpulkan bahwa kata yang
Contoh 3.2.7.2.1
Misal 2 dan 0000, 1011, 0101, 1110 . Uraikan jika kata yang diterima adalah: i) 1101; ii) 1111.
Pertama-tama harus ditulis terlebih dulu aturan standar dari sebagai berikut:
0000 0000 1011 0101 1110
0001 0001 1010 0100 1111
0010 0010 1001 0111 1100
1000 1000 0011 1101 0110
i) 1101 adalah koset keempat. Kata dengan bobot terkecil pada koset tersebut adalah 1000. Oleh karena itu,
1101 1000 0101 merupakan kata kode
yang paling mungkin dikirim.
ii) 1111 adalah koset kedua. Terdapat dua kata yang memiliki bobot terkecil pada koset tersebut, yaitu 0001
dan 0100. Jika koset dari kata yang diterima memiliki lebih dari satu kata yang mungkin menjadi koset utama, maka pendekatan untuk penguraian bergantung pada skema penguraian yang digunakan. Jika bekerja dengan penguraian tak lengkap, maka harus dilakukan pengiriman ulang. Jika penguraian lengkap digunakan, maka dipilih satu kata dengan bobot terkecil, misal 0001 sebagai kesalahan, dan dapat
disimpulkan bahwa 1111 0001 1111 0001 1110
merupakan kata kode yang paling mungkin dikirim.
3.2.7.3Penguraian Sindrom Definisi 3.2.7.3.1
Andai kode linear , , atas dan dimisalkan matriks pemeriksa untuk . Untuk setiap , sindrom dari adalah
kata .
Teorema 3.2.7.3.1
Andai kode linear , , dan matriks pemeriksa untuk .
Untuk , maka:
i)
ii) 0 bila dan hanya bila adalah kata kode di
iii) bila dan hanya bila dan berada pada koset yang sama dari .
Bukti:
i) Ini merupakan akibat dari definisi sindrom di atas.
ii) Berdasarkan definisi sindrom, 0 bila dan hanya bila
iii) Berdasarkan (i), (ii) dan Teorema 3.2.7.1.1 bagian (vi). ∎ Bagian (iii) teorema di atas menyatakan bahwa koset dapat diidentifikasi dari suatu kode linear melalui sindromnya. Sebaliknya, semua kata pada koset yang diberikan menghasilkan sindrom yang sama. Jadi, sindrom dari suatu koset merupakan sindrom dari setiap kata pada koset tersebut. Dengan kata lain, terdapat korespondensi satu-satu antara koset dan sindromnya.
Berdasarkan definisi sindrom di atas, diketahui bahwa sindrom berada di , maka terdapat paling tidak sindrom. Teorema 3.2.7.1.1 bagian (v) menyatakan terdapat
koset, jadi terdapat sindrom yang berkorespondensi dimana semuanya berbeda. Oleh karena itu, semua vektor di
dinyatakan sebagai sindrom.
Definisi 3.2.7.3.2
Suatu tabel yang terdiri dari pasangan setiap koset utama dengan sindromnya disebut tabel look-up sindrom.
Langkah-langkah untuk menyusun suatu tabel look-up sindrom dengan mengasumsikan penguraian jarak minimum lengkap adalah sebagai berikut:
Langkah 1: Daftarlah semua koset untuk kode tersebut, lalu dari setiap koset pilih kata yang memiliki bobot minimum sebagai koset utama .
Langkah 2: Tentukan matriks pemeriksa untuk kode dan untuk setiap koset utama , hitunglah sindromnya
.
Untuk penguraian jarak minimum tak lengkap, jika terdapat lebih dari satu kata yang memiliki bobot terkecil pada langkah 1 di atas, berilah tanda ‘∗’ pada tabel look-up sindrom untuk menyatakan bahwa diperlukan pengiriman ulang.
Contoh 3.2.7.3.1
Diasumsikan digunakan penguraian jarak minimum lengkap. Susunlah tabel look-up sindrom dari kode linear biner
Dari koset yang telah dihitung, dipilih kata-kata
0000, 0001, 0010 dan 1000 sebagai koset utama. Matriks
pemeriksa untuk adalah
1 0 1 0 1 1 0 1
Selanjutnya dapat disusun tabel look-up sindrom untuk sebagai berikut
Tabel 3.1
Koset Utama Sindrom
0000 00 0001 01 0010 10 1000 11
Contoh 3.2.7.3.2
Tabel look-up sindrom untuk , jika diasumsikan penguraian jarak minimum tak lengkap adalah sebagai berikut:
Tabel 3.2
Koset Utama Sindrom
0000 00
∗ 01
0010 10 1000 11
Sebuah cara yang paling cepat untuk menyusun suatu tabel look-up sindrom, jika diberikan matriks pemeriksa dan jarak untuk kode tersebut, adalah untuk menghasilkan semua kesalahan yang terjadi dengan
1 2
sebagai koset utama dan menghitung sindrom untuk setiap .
Contoh 3.2.7.3.3
Diasumsikan penguraian jarak minimum lengkap, susun tabel look-up sindrom untuk kode linear biner dengan matriks pemeriksa , dimana
1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1
Pertama, diklaim bahwa jarak dari adalah 3.
Karena 1 2⁄ 3 1 2⁄ 1, maka semua kesalahan yang terjadi dengan bobot 0 atau 1 merupakan koset utama.
Selanjutnya, dicari sindrom untuk setiap kesalahan dan dihasilkan tujuh baris pertama dari tabel look-up sindrom. Karena setiap kata yang panjangnya 3 harus menjadi sindrom, koset utama sisanya memiliki sindrom 101. Selain itu,
harus memiliki bobot 2 karena semua kata dengan bobot 0
atau 1 telah termasuk dalam tabel look-up sindrom. Selanjutnya dilihat kata-kata yang tersisa dengan bobot terkecil, yaitu 2. Terdapat tiga koset utama yang mungkin, yaitu 000101, 001010
dan 110000. Karena digunakan penguraian jarak minimum
lengkap, maka dapat dipilih 000101 sebagai koset utama dan melengkapi tabel look-up sindrom sebagai berikut:
Tabel 3.3
Koset Utama Sindrom
000000 000 100000 110 010000 011 001000 111 000100 100 000010 010 000001 001 000101 101
Jika penguraian jarak minimum tak lengkap digunakan, maka koset utama 000101 pada baris terakhir tabel di atas akan diganti dengan ‘∗’.
Prosedur penguraian untuk penguraian sindrom adalah sebagai berikut:
Langkah 1: Untuk kata yang diterima , hitunglah sindromnya .
Langkah 2: Tentukan koset utama yang selanjutnya sindrom pada tabel look-up sindrom.
Langkah 3: Uraikan menjadi .
Contoh 3.2.7.3.4
Misal 2 dan 0000, 1011, 0101, 1110 . Gunakan tabel look-up sindrom yang telah disusun pada contoh 3.2.7.3.1. untuk menguraikan (i) 1101; (ii) 1111.
i) 1101. Sindrom dari adalah 11. Berdasarkan tabel 3.1 (hal.73), dapat dilihat bahwa koset utamanya adalah 1000. Jadi, 1101 1000 0101
merupakan kata kode yang paling mungkin dikirim.
ii) 1111. Sindrom dari adalah 01.
Berdasarkan tabel 3.1 (hal.73), dapat dilihat bahwa koset utamanya adalah 0001. Jadi, 1111 0001 1110
merupakan kata kode yang paling mungkin dikirim.
Berikut ini akan diberikan contoh bagaimana langkah-langkah penguraian kata kode dalam kode linear:
Misal: 0000, 1011, 0101, 1110
Diandaikan kata yang diterima adalah w=1101
Langkah 1: Tentukan matriks generator menggunakan algoritma 3.1 0000 1011 0101 1110 1110 1011 0101 0000 1110 0101 0101 0000 1110 0101 0000 0000 1011 0101 0000 0000 Diperoleh: 1011 0101
Menurut algoritma 3.3, dapat dicari matriks pemeriksa yaitu:
1010 1101
Langkah 2: Tentukan aturan standar dari kode tersebut
0000 0000 1011 0101 1110
0001 0001 1010 0100 1111
0010 0010 1001 0111 1100
1000 1000 0011 1101 0110
Langkah 3: Penguraian kata 1101
Ada 2 metode penguraian, yaitu: a) Penguraian jarak minimum
Berdasarkan aturan standar, kata termasuk dalam koset keempat. Jadi, 1101 1000 0101 adalah kata kode yang paling mungkin dikirim.
b) Penguraian sindrom
Dibentuk tabel look-up sindrom terlebih dahulu:
Koset Utama Sindrom
0000 00 0001 01 0010 10 1000 11
Selanjutnya dicari sindrom untuk sebagai berikut:
1101 10101101 11
Koset utama untuk adalah 1000.
Jadi, 1101 1000 0101 adalah kata kode yang paling mungkin dikirim.
105
A. Kesimpulan
Dari uraian yang telah dibahas secara panjang lebar tersebut, dapat diambil beberapa kesimpulan sebagai berikut:
1. Teori pengkodean merupakan salah satu cara untuk merancang suatu sistem pengiriman data sehingga kesalahan yang mungkin terjadi saat pengiriman dapat dideteksi dan juga dapat dikoreksi/diperbaiki.
2. Suatu kode linear adalah pendeteksi -kesalahan bila dan hanya bila
1
dengan kata lain, kode dengan jarak merupakan kode tepat pendeteksi
1 -kesalahan.
3. Suatu kode linear adalah pengoreksi -kesalahan bila dan hanya bila
2 1
dengan kata lain, kode dengan jarak merupakan kode pengoreksi tepat
1 2⁄ -kesalahan. Dalam hal ini, adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan .
4. Jika | adalah matriks generator bentuk standar dari kode linear
, , maka matriks pemeriksa untuk adalah | .
B. Saran
Skripsi ini hanya membahas kode linear atas suatu lapangan berhingga. Aplikasi dari kode linear dalam bidang ilmu komputer juga tidak dibahas. Oleh karena itu, skripsi ini dapat dikembangkan lebih lanjut ke kode linear yang mampu mengoreksi kesalahan serta aplikasinya dalam bidang ilmu komputer.
107
Anton, H. and Rorres, C. (2004). Aljabar Linear Elementer. Jakarta: Erlangga Budhi, W. S. (1995). Aljabar Linear. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama
Fraleigh, J. B. (1989). A First Course In Abstract Algebra. New York: Addison-Wesley Publishing Company
Gallian, J. A. (1998). Contemporary Abstract Algebra. New York: Houghton Mifflin Company
Ling, S. and Xing, C. (2004). Coding Theory. New York: Cambridge University Press