A. Kesimpulan B. Saran
BAB II
RUANG METRIK DAN RUANG FRAKTAL
Dalam bab ini dibahas tentang pengertian-pengertian dasar yang akan diguna-kan dalam pembahasan selanjutnya, antara lain: ruang metrik, ruang fraktal, ukuran Lebesgue, fungsi kompleks dan sistem fungsi iterasi.
A. Ruang Metrik
Konsep jarak memiliki peran penting untuk mendefinisikan kekonvergenan, ke-kontinuan, dan keterdiferensialan suatu fungsi. Jarak dari titik ke titik , ditulis
( , ), adalah sebuah bilangan real positif. Ruang metrik merupakan himpunan yang dilengkapi dengan konsep jarak antara dua titik. Konsep ruang metrik diformulasikan oleh M. Frechet pada tahun 1906. Pada bagian ini akan dibahas konsep-konsep him-punan terbuka, himhim-punan tertutup, kekonvergenan, kekontinuan, dan kekompakan dalam ruang metrik.
Definisi 2.1.1
Misalkan adalah suatu himpunan takkosong. Metrik pada adalah fungsi bernilai real : × → ℝ yang memenuhi sifat-sifat berikut ini:
1. ( , ) ≥ 0,∀ , .
2. ( , ) = 0↔ = ,∀ , . 3. ( , ) = ( , ) ,∀ , (Simetri).
4. ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) ,∀ , , (Ketaksamaan segitiga).
Sebuah metrik juga disebut fungsi jarak. Himpunan takkosong yang dilengkapi dengan sebuah metrik pada disebut ruang metrik, ditulis ( , ). Ang-gota-anggota dari himpunan , yang merupakan sebuah ruang metrik, disebut titik.
Contoh 2.1.1
Akan dibuktikan bahwa fungsi : ℝ × ℝ → ℝ didefinisikan sebagai berikut: ( , ) = | − |
merupakan metrik pada himpunan dari semua bilangan real ℝ. Penyelesaian:
Untuk menunjukkan bahwa ( , ) merupakan metrik pada himpunan ℝ cukup dibuktikan bahwa ( , ) memenuhi sifat-sifat pada Definisi 2.1.1.
(1) Nilai mutlak suatu bilangan real selalu bernilai taknegatif, yaitu ( , ) = | − | ≥0,∀ , ℝ. (2) ( , ) = 0,∀ , ℝ ⇔ | − | = 0,∀ , ℝ ⇔ − = 0,∀ , ℝ ⇔ = ,∀ , ℝ (3) ( , ) = | − |,∀ , ℝ = |− + |,∀ , ℝ = | − |,∀ , ℝ = ( , ) ,∀ , ℝ (4) ( , ) = | − |,∀ , ℝ = | − + − |,∀ , , ℝ ≤ | − | + | − |,∀ , , ℝ ≤ ( , ) + ( , ) ,∀ , , ℝ
Dari (1), (2), (3), dan (4) disimpulkan bahwa ( , ) merupakan metrik pada himpu-nan ℝ, dan disebut metrik biasa pada ℝ.
Contoh 2.1.2
Misalkan = ℝ , = ( , ) dan = ( , ). Jarak Euclides ( , ) yang diberi-kan oleh
adalah metrik dan disebut metrik biasa pada ℝ .
Definisi 2.1.2
Misal adalah metrik pada , adalah titik di , dan adalah subhimpunan takko-song dari . Jarak antara titik ∈ dengan subhimpunan didefinisikan:
( , ) = { ( , ) : ∈ }. Contoh 2.1.3
Misalkan = { ∈ ℝ: 0 < ≤1} dan adalah metrik biasa pada ℝ. Jarak ( 0, ) = { ( 0, ) : 0 < ≤ 1}
( 0, ) = {|0− |: 0 < ≤ 1} ( 0, ) = { : 0 < ≤ 1} = 0 Definisi 2.1.3
Misal adalah metrik pada , dan diberikan sebarang dua subhimpunan takkosong dan dari ruang metrik ( , ). Jarak antara dua subhimpunan takkosong dan dari didefinisikan ( , ) = sup{ ( , ) : ∈ }.
Definisi 2.1.4
Misal adalah metrik pada . Diameter dari subhimpunan takkosong dari didefinisikan:
( ) = { ( , ) : , ∈ }.
Bila ( ) < ∞, maka diameter dikatakan berhingga. Bila ( ) = ∞, maka diame-ter dikatakan takhingga. Selanjutnya (∅) didefinisikan sama dengan −∞.
Definisi 2.1.5
Suatu metrik pada himpunan takkosong dikatakan terbatas jika terdapat bilangan real > 0 sedemikian sehingga
( , ) ≤ ,∀ , ∈ .
Ruang metrik ( , ) dengan metrik terbatas disebut ruang metrik terbatas.
Definisi 2.1.6
Diketahui ( , ) suatu ruang metrik, ∈ dan > 0. Bola terbuka dengan pusat dan jari-jari didefinisikan
( ) = { ∈ : ( , ) < } Himpunan
[ ] = { ∈ : ( , ) ≤ } disebut bola tertutup dengan pusat dan jari-jari .
Berdasarkan dua defnisi di atas, jelas bahwa ( ) ⊂ [ ], untuk setiap ∈ dan > 0. Himpunan kosong dan dapat dipandang berturut-turut sebagai bola dengan jari-jari = 0 dan jari-jari = ∞. Dalam ruang metrik (ℝ, ), bola terbuka ( ) merupakan selang terbuka ( − , + ), sedangkan bola tertutup [ ] merupakan selang tertutup [ − , + ].
Dalam ruang diskret ( , ), bola terbuka ( ) dapat didefinisikan seperti berikut: ( ) = { } jika 0 < ≤1
jika > 1. Dan bola tertutup didefinisikan
[ ] = { } jika 0 < < 1 jik ≥1. Definisi 2.1.7
Misalkan ( , ) adalah sebuah ruang metrik dan ∈ . Subhimpunan dari di-sebut kitar dari titik jika terdapat sebuah bola terbuka ( ) yang berpusat di dan termuat di , yaitu ( )⊆ untuk suatu > 0.
Contoh 2.1.4
Misalkan ( ) bola terbuka dan ambil sebarang ∈ ( ). Jika = , maka ∈ ( ) ⊆ ( ), yaitu ( ) kitar dari . Jika ≠ , untuk menunjukkan bahwa ( ) merupakan kitar dari , harus ditunjukkan bahwa terdapat > 0 sedemikian sehingga
( ) ⊆ ( ) .
Diketahui bahwa ∈ ( ), maka ( , ) < . Diambil = − ( , ) > 0. Am-bil sebarang ∈ ( ) , maka ( , ) < , sehingga dengan menggunakan ke-taksa-maan segitiga diperoleh
( , ) ≤ ( , ) + ( , ) < + ( , ) = .
Diperoleh bahwa ( , ) < , berarti ∈ ( ). Jadi ( ) ⊆ ( ), yaitu ( ) kitar dari .
Definisi 2.1.8
Diberikan ( , ) suatu ruang metrik dan subhimpunan takkosong dari . Titik ∈ disebut titik interior dari subhimpunan jika terdapat > 0 sedemikian se-hingga ( ) ⊂ .
Definisi 2.1.9
Subhimpunan di disebut himpunan terbuka jika semua titik dari adalah titik interior. Dengan kata lain, subhimpunan dari suatu ruang metrik ( , ) dikatakan
terbuka di terhadap metrik jika merupakan kitar untuk setiap titiknya, yaitu un-tuk setiap ∈ , terdapat > 0 sedemikian sehingga ( ) ⊂ .
Teorema 2.1.1
Setiap bola terbuka ( ) adalah himpunan terbuka. Bukti:
Diketahui ( ) bola terbuka yang berpusat di . Ambil sebarang ∈ ( ) , maka ( , ) < . Misalkan = − ( , ) > 0 adalah jari-jari bola terbuka dengan pusat
, yaitu ( ). Ambil sebarang ∈ ( ), maka ( , ) < . Dengan menggunakan sifat ketaksamaan segitiga diperoleh
( , ) ≤ ( , ) + ( , ) < + ( , ) = .
Jadi ( , ) < , yang menunjukkan bahwa ∈ ( ). Maka ( ) ⊆ ( ) . Ter-bukti bahwa bola terbuka ( ) merupakan himpunan terbuka. ∎
Teorema 2.1.2
Dalam setiap ruang metrik ( , )
(1) Gabungan dari sebarang keluarga dari himpunan-himpunan terbuka adalah ter-buka
(2) Irisan dari keluarga berhingga himpunan-himpunan terbuka adalah terbuka. Bukti:
(1) Diberikan sebarang himpunan dan dengan ∈ adalah keluarga himpunan terbuka. Akan dibuktikan bahwa = ⋃ ∈ adalah terbuka. Ambil sebarang
∈ , maka terdapat ∈ sedemikian sehingga ∈ . Himpunan merupakan himpunan terbuka, maka terdapat > 0, sedemikian sehingga ( ) ⊆ . Maka ( )⊆ ⋃ ∈ = . Jadi terbukti terbuka.
(2) Diberikan keluarga berhingga himpunan terbuka , , , …, . Akan dibuk-tikan = ⋂ terbuka. Ambil sebarang ∈ , maka ∈ , untuk setiap
= 1, 2, 3, …, . Diketahui adalah himpunan yang terbuka, maka terdapat > 0 sedemikian sehingga ( ) ⊆ , untuk masing-masing = 1, 2, 3, …, . Jika diambil = min { , , , …, }, maka > 0 dan ( ) ⊆ ( ) ⊆ untuk setiap = 1, 2, 3, …, . Maka ⊆ ⋂ = . Terbukti bahwa adalah terbuka. ∎
Definisi 2.1.10
Diberikan ( , ) suatu ruang metrik dan subhimpunan takkosong dari . Titik ∈ disebut titik limit dari subhimpunan jika untuk setiap > 0 berlaku ( ) ∩( −{ }) ≠ ∅.
Definisi 2.1.11
Himpunan di disebut himpunan tertutup jika semua titik limitnya adalah anggota dari .
Lema 2.1.1
Misalkan ( , ) ruang metrik. Himpunan kosong ∅ dan adalah himpunan terbuka. Bukti:
Suatu implikasi bernilai benar apabila antesedennya salah. Implikasi “jika ∈ ∅, maka adalah titik interior dari ∅” adalah pernyataan yang benar untuk setiap ∈ . Jadi ∅ adalah himpunan terbuka.
Selanjutnya, ambil sebarang ∈ . Dipilih = 1, maka ( ) ⊆ .
Terbukti terbuka. ∎
Teorema 2.1.3
Himpunan dalam ruang metrik ( , ) adalah tertutup jika dan hanya jika ter-buka.
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa jika tertutup, maka terbuka. Diberikan sebarang himpu-nan tertutup. Jika = − = ∅, maka terbuka. Jika ≠ ∅, diambil seba-rang ∈ , berarti ∉ . Diketahui bahwa himpunan tertutup, maka bukan titik limit , sehingga ada > 0 sedemikian sehingga ( )∩ = ∅. Jadi ( ) ⊆ . Terbukti bahwa terbuka.
Sebaliknya, diberikan himpunan terbuka. Ambil sebarang ∈ dan titik limit . Akan dibuktikan ∈ . Andaikan ∉ , yaitu ∈ , maka ada > 0 sedemi-kian sehingga ( ) ⊆ . Maka ( ) ∩ = ∅. Akibatnya bukan titik limit . Hal ini kontradiksi karena titik limit . Jadi ∈ . Terbukti tertutup. ∎
Teorema 2.1.4
Dalam setiap ruang metrik ( , )
(1) Irisan dari sebarang keluarga himpunan-himpunan tertutup adalah tertutup (2) Gabungan keluarga berhingga himpunan-himpunan tertutup adalah tertutup Bukti:
(1) Misalkan ℱ= { , ∈ Λ} adalah suatu keluarga himpunan tertutup. Dengan hu-kum De Morgan diperoleh
∈
= ∈
.
Menurut Teorema 2.1.3, jika tertutup, maka terbuka. Himpunan ada-lah himpunan terbuka, sehingga menurut Teorema 2.1.2, ⋃ ∈ adalah
ter-buka. Jadi (⋃ ∈ ) = ⋂ ∈ adalah tertutup karena komplemen himpunan
terbuka adalah himpunan tertutup menurut Teorema 2.1.3.
(2) Diberikan keluarga berhingga himpunan-himpunan tertutup = { , , …, } dan misalkan = ⋃ . Dengan hukum De Morgan diperoleh
= = .
Himpunan adalah himpunan tertutup untuk setiap = 1, 2, 3, …, . Jadi terbuka untuk setiap = 1, 2, 3, …, . Dengan Teorema 2.1.2, maka ⋂ ter-buka. Jadi = ⋂ terbuka. Karena terbuka, maka tertutup.
Teorema 2.1.5
Setiap bola tertutup adalah himpunan tertutup. Bukti:
Diberikan [ ] sebarang bola tertutup di ruang metrik ( , ). Akan dibuktikan bahwa [ ] terbuka. Ambil sebarang ∈ [ ] , maka ∉ [ ]. Hal ini berarti ( , ) > . Misalkan = ( , ) − > 0. Ambil sebarang ∈ ( ), maka ( , ) < , sehingga
( , ) < ( , ) − < ( , ) − ( , )
< ( , ) + ( , ) − ( , ) < ( , ) .
Karena ( , ) > , maka ∉ [ ], yaitu ∈ [ ] . Jadi ( ) ⊂ [ ] . De-ngan demikian [ ] terbuka. ∎
Definisi 2.1.12
Misal ( , ) adalah ruang metrik dan ⊆ . Penutup dari , ditulis ̅, adalah gabu-ngan dari degabu-ngan himpunan semua titik limitnya. Jadi ̅ = ∪ ′, dengan ′ ada-lah himpunan semua titik limit .
Contoh 2.1.5
Misal (ℚ, ) ruang metrik dengan metrik biasa dan = : ∈ ℕ ⊂ ℚ. Semua titik anggota himpunan bukan titik limit. Satu-satunya titik limit adalah nol. Jadi
= ∪{0}.
Teorema 2.1.6
Misalkan dan adalah sebarang himpunan dari ruang metrik ( , ). Maka (1) tertutup.
(2) Jika ⊆ , maka ̅ ⊆ .
(3) = jika dan hanya jika tertutup.
(4) ̅ adalah irisan dari semua himpunan tertutup yang memuat . (5) ̅ adalah himpunan tertutup terkecil yang memuat .
(6) ∪ = ̅ ∪ . (7) ∩ ⊆ ̅ ∩ . Bukti:
(1) Untuk membuktikan bahwa ̅ tertutup, akan dibuktikan bahwa ̅ terbuka, yaitu untuk setiap ∈ ̅ ada > 0 sedemikian sehingga ( ) ⊆ ̅ . Jika ̅ = ∅, maka ̅ terbuka. Jika ̅ ≠ ∅, ambil sebarang ∈ ̅ , maka ∉ ̅, sehingga ∉ dan ∉ ′. Maka ada > 0 sedemikian sehingga ( ) ∩ = ∅. Ambil sebarang ∈ ( ), maka ( , ) < . Misal = − ( , ). Ambil sebarang
∈ ( ), maka ( , ) < . Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) < − + =
sehingga ∈ ( ). Jadi ( ) ⊆ ( ). Karena ( ) ∩ = ∅, maka ( )∩ = ∅, yang berarti ∉ dan ∉ ′, yaitu ∉ ̅, sehingga ∈ ̅ . Maka
( ) ⊆ ̅ Jadi ̅ terbuka. Dengan Teorema 2.1.3, terbukti ̅ tertutup.
(2) Ambil sebarang ∈ ̅, maka ( )∩ ≠ ∅,∀ > 0. Karena ⊆ , maka ( ) ∩ ≠ ∅. Jadi ∈ , sehingga terbukti ̅ ⊆ .
(3) Akan dibuktikan jika = ̅, maka tertutup. Dari (1) sudah terbukti bahwa ̅ tertutup. Karena = ̅, jadi tertutup. Berikutnya akan dibuktikan jika tertu-tup, maka = ̅. Untuk membuktikannya akan ditunjukkan bahwa ⊆ ̅ dan
⊇ ̅. Berdasarkan definisi penutup , yaitu ̅= ∪ ′, maka ⊆ ̅.
Kemudian diambil sebarang ∈ ̅, maka ∈ atau ∈ ′. Jika ∈ , maka ⊇ ̅. Jika ∈ ′, maka titik limit . Diketahui bahwa tertutup, maka ∈ . Jadi terbukti ⊇ ̅. Dengan demikian terbukti bahwa = ̅.
(4) Misalkan adalah irisan dari semua himpunan tertutup yang memuat . Jadi merupakan himpunan tertutup dan ⊆ . Dengan menggunakan (2) dan ( 3) diperoleh ̅ ⊆ = karena tertutup. Jadi ̅ ⊆ . Selanjutnya ̅ merupakan himpunan tertutup yang memuat . Himpunan adalah irisan dari semua himpu-nan tertutup yang memuat . Jadi ⊆ ̅. Terbukti = ̅.
(5) Akibat dari bukti (4), maka ̅ ⊆ . Penutup dari merupakan himpunan tertutup yang memuat . Jadi ̅ merupakan himpunan tertutup terkecil yang memuat . (6) Karena ⊆ ∪ dan ⊆ ∪ , maka dengan ( 2) diperoleh ̅ ⊆ ∪ dan
⊆ ∪ . Jadi ̅ ∪ ⊆ ∪ . Kemudian, harus dibuktikan bahwa ∪ ⊆ ̅ ∪ . Diambil sebarang ∈ ∪ . Andaikan ∉ ̅ ∪ . Maka ∉ ̅ dan
∉ , sehingga terdapat bola terbuka ( ) yang tidak memuat titik di , dan terdapat bola terbuka ( ) yang tidak memuat titik di . Misalkan = min { , }. Bola terbuka ( ) tidak memuat titik-titik dari ∪ . Hal ini kontradiksi karena ∈ ∪ . Dengan demikian pengandaian bahwa ∉ ̅ ∪ tidak benar. Jadi ∪ ⊆ ̅ ∪ .
(7) Karena ∩ ⊆ dan ∩ ⊆ , maka dengan ( 2) diperoleh ∩ ⊆ ̅ dan ∩ ⊆ . Jadi ∩ ⊆ ̅ ∩ . ∎
Teorema 2.1.7
Misalkan ( , ) ruang metrik dan ⊂ , maka
̅ = { ∈ : ( )∩ ≠ ∅,∀ > 0} Bukti:
Ambil sebarang ∈ ̅, maka ∈ atau ∈ ′. Jika ∈ , maka jelas bahwa ( ) ∩ ≠ ∅,∀ > 0. Jika ∈ ′, maka ( ) ∩( −{ }) ≠ ∅,∀ > 0, se-hingga ( ) ∩ ≠ ∅,∀ > 0. Terbukti ̅ ⊆{ ∈ : ( )∩ ≠ ∅,∀ > 0}. Selanjutnya, ambil sebarang ∈ sedemikian sehingga ( ) ∩ ≠ ∅,∀ > 0. Misalkan ∉ , maka = −{ }. Diketahui bahwa ( ) ∩ ≠ ∅,∀ > 0, maka
Terbukti ̅ ⊇{ ∈ : ( )∩ ≠ ∅,∀ > 0}.
Dengan demikian terbukti ̅ = { ∈ : ( ) ∩ ≠ ∅,∀ > 0}. ∎ Definisi 2.1.13
Misalkan ( , ) suatu ruang metrik. Barisan { } di dikatakan konvergen ke suatu titik ∈ jika untuk setiap > 0 terdapat bilangan positif sedemikian sehingga ( , ) < , untuk setiap ≥ . Titik disebut limit barisan { } dan ditulis lim → = atau → . Barisan yang tidak konvergen disebut divergen. Dengan perkataan lain, barisan { } di dikatakan konvergen ke suatu titik ∈ jika dan hanya jika untuk sebarang bola terbuka ( ) yang berpusat di terdapat bilangan positif sedemikian sehingga ∈ ( ) untuk semua ≥ .
Teorema 2.1.8
Jika ( , ) adalah suatu ruang metrik, maka setiap barisan di yang konvergen akan konvergen ke satu titik.
Bukti:
Diberikan barisan { } yang konvergen. Andaikan barisan { } konvergen ke titik dan titik yang berbeda. Ambil sebarang > 0, maka ada , ∈ ℕ sedemikian sehingga ( , ) < untuk setiap ≥ dan ( , ) < untuk setiap ≥ . Ambil = max { , }, maka untuk ≥ berlaku
( , ) ≤ ( , ) + ( , ) <
2+ 2 = .
Jadi untuk setiap > 0 berlaku ( , ) < . Ini berarti = . Terbukti bahwa bari-san konvergen ke satu titik. ∎
Definisi 2.1.14
Sebuah barisan { } dalam ruang metrik ( , ) disebut barisan Cauchy jika untuk setiap > 0 terdapat bilangan bulat positif sedemikian sehingga ( , ) < , untuk setiap , > .
Teorema 2.1.9
Setiap barisan { } yang konvergen di ruang metrik ( , ) adalah barisan Cauchy. Bukti:
Diberikan ruang metrik ( , ) dan barisan { } di ( , ) yang konvergen ke . De-ngan Definisi 2.1.13 maka untuk setiap > 0 terdapat sedemikian sehingga
( , ) < untuk setiap > . Dengan ketaksamaan segitiga, untuk , ≥ berlaku ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) < + = . Jadi { } merupakan barisan Cauchy. ∎
Contoh 2.1. 6
Diberikan barisan { } = di ruang metrik ( , ) dengan = ( 0, 1] pada garis real dan adalah metrik biasa. Tunjukkan bahwa barisan { } merupakan barisan Cauchy yang konvergen ke 0 tetapi 0 ∉ .
Penyelesaian:
Diberikan > 0, terdapat sehingga < . Untuk setiap ≥ dan ≥ dan dimisalkan ≥ berlaku
( , ) = 1,1 = 1− 1 < 1 ≤ 1 < .
Barisan { } merupakan barisan Cauchy yang konvergen ke 0 tetapi 0 ∉ .
Definisi 2.1.15
Misalkan { } adalah barisan di ruang metrik ( , ). Barisan { } adalah barisan bi-langan bulat positif dengan < < < ⋯, maka barisan disebut subbari-san dari { }.
Korolari 2.1.1
Jika suatu barisan Cauchy dalam ruang metrik ( , ) memuat subbarisan yang konvergen, maka barisan tersebut konvergen ke limit subbarisannya.
Bukti:
Diberi { } barisan Cauchy di . Maka untuk setiap > 0, terdapat bilangan bulat positif sedemikian sehingga ( , ) < untuk setiap , ≥ . Misalkan adalah subbarisan yang konvergen ke . Karena { } adalah barisan bilangan positif yang bersifat naik, maka , < untuk , ≥ . Diperoleh
( , ) ≤ , + , < , + .
Untuk → ∞, maka , →0, sehingga ( , ) < . ∎
Definisi 2.1.16
Suatu ruang metrik ( , ) dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy dalam kon-vergen ke suatu titik di .
Contoh 2.1.7
Ruang ℝ dengan metrik biasa merupakan ruang metrik yang lengkap.
Diberikan { } barisan Cauchy di ℝ, maka untuk > 0 terdapat ∈ ℕ sedemikian sehingga | − | < untuk semua , ≥ . Dipilih = , maka terdapat sedemikian sehingga| − | < , untuk semua , ≥ . Misal = . Kemudian dipilih = , maka terdapat > sedemikian sehingga | − | <
, dan misalkan = . Kemudian dipilih = , maka terdapat > sedemi-kian sehingga | − | < dan misalkan = . Langkah di atas terus berlanjut dan diperoleh barisan { } sedemikian sehingga
| − | = − < , untuk > . | − | = − < , untuk > .
| − | = − < , untuk > . ⋮ | − | = − < , untuk > . Karena − = − + − + − ⋯ − , maka | − | = | − | < 2 = 2.
Diperoleh | − | < . Jadi { } = konvergen ke . Dengan Korolari 2.1.1, terbukti bahwa { } barisan Cauchy yang konvergen. Maka menurut Definisi 2.1.16, ℝ dengan metrik biasa merupakan ruang metrik lengkap.
Contoh 2.1.8
Himpunan = { ∈ ℝ|0 < ≤ 1} dengan metrik biasa merupakan ruang metrik ti-dak lengkap. Diberikan = . Dalam Contoh 2.1.6 sudah dibuktikan bahwa { } adalah barisan Cauchy yang konvergen ke 0. Ruang metrik tidak lengkap karena terdapat barisan Cauchy di yang tidak konvergen.
Definisi 2.1.17
Misal ( , ) dan ( , ) adalah ruang metrik . Fungsi : → dikatakan kontinu di
∈ jika untuk setiap > 0 terdapat > 0 sedemikian sehingga ( ) , ( ) < untuk setiap yang memenuhi ( , ) < .
Jika kontinu di setiap titik di , maka dikatakan kontinupada .
Contoh 2.1.9
Jika ( , ) dan ( , ) ruang metrik, maka fungsi konstan : → kontinu. Penyelesaian:
Diberikan > 0 dan ∈ . Untuk fungsi konstan ( ) = , berlaku ( ) , ( ) = ( , ) = 0 < untuk setiap ∈ .
Contoh 2.1.10
Diketahui ruang metrik ℝ dengan metrik biasa. Diberikan fungsi :ℝ → ℝ dengan definisi ( ) = untuk semua ∈ ℝ. Tunjukkan bahwa kontinu.
Penyelesaian:
Diambil sebarang ∈ ℝ. Diberikan > 0, harus dicari > 0 sedemikian sehingga untuk setiap ∈ ℝ yang memenuhi | − | < berlaku | ( )− ( ) | < .
Jika = 1, maka untuk | − | < 1 berlaku
| + | = | − + 2 | ≤| − | + |2 | < 1 + |2 | Dengan demikian jika dipilih = min 1,
| | , maka untuk yang memenuhi | − | < berlaku | ( )− ( ) | = | − | = | − || + | < ( 1 + |2 |) ≤ | |( 1 + |2 |) = , untuk = 1 ≤ | | , dan | ( )− ( ) | = | − | = | − || + | < ( + |2 |) ≤ | |( 1 + |2 |) = , untuk = | | < 1. Terbukti kontinu di . Contoh 2.1.11
Diberikan fungsi :ℝ → ℝ yang didefinsikan oleh ( ) = sin
di ruang metrik ℝ dengan metrik biasa. Fungsi merupakan fungsi yang kontinu. Himpunan terbuka ( 0, 2 ) di ℝ dipetakan ke himpunan tertutup [−1,1] di ℝ.
Teorema 2.1.10
Diketahui ( , ) dan ( , ) ruang metrik. Fungsi : → kontinu jika dan hanya jika untuk setiap himpunan terbuka di , ( ) adalah himpunan terbuka di . Bukti:
Misalkan kontinu dan adalah sebarang subhimpunan terbuka di . Akan ditunjukkan ( ) = { ∈ : ( ) ∈ } terbuka di . Jika ( ) = ∅, maka ( ) terbuka. Jika ( ) ≠ ∅, ambil sebarang ∈ ( ), maka ( ) ∈ . Diketahui bahwa terbuka, maka terdapat bola terbuka ( ) sedemikian se-hingga ( ) ⊆ . Karena kontinu, maka terdapat bola terbuka ( ) sedemi-kian sehingga ( ) ⊆ ( ) ⊆ . Jadi ( ) ⊆ ( ) sehingga ( ) terbuka.
Berikutnya akan dibuktikan jika ( ) terbuka untuk setiap himpunan terbuka di , maka : → kontinu. Ambil sebarang ∈ dan > 0. Bola ( ) adalah himpunan terbuka di , maka ( ) juga terbuka.
Karena ∈ ( ) , maka terdapat > 0 sedemikian sehingga ( ) ⊆ ( ) . Jadi ( ) ⊆ ( ) . Terbukti bahwa kontinu di setiap titik
dari . ∎
Teorema 2.1.11
Diketahui ( , ) dan ( , ) ruang metrik. Fungsi : → kontinu jika dan hanya jika untuk setiap subhimpunan tertutup di , ( ) tertutup di .
Bukti:
Diberikan : → kontinu dan himpunan tertutup di . Karena tertutup, maka terbuka sehingga ( ) terbuka. Karena ( ) = ( ) terbuka, maka
( ) tertutup. Jadi terbukti bahwa ( ) tertutup di .
Sebaliknya, misalkan ( ) tertutup di untuk setiap subhimpunan tertutup di . Maka = terbuka di dan ( ) = ( ) = ( ) terbuka di . De-ngan Teorema 2.1.10 terbukti bahwa fungsi kontinu. ∎
Definisi 2.1.18
Misalkan ( , ) dan ( , ) adalah dua ruang metrik. Fungsi : → dikatakan
kontinu seragam jika untuk setiap > 0 ada > 0 sedemikian sehingga ( ) , ( ) < untuk setiap , ∈ yang memenuhi ( , ) < .
Contoh 2.1.12
Fungsi : ( 0, 1) → ℝ yang didefinisikan oleh ( ) = tidak kontinu seragam. Ambil = dan sebarang > 0. Dipilih = dan = di mana < . Maka ( , ) = | − | = 1− 1 + 1 = 1 ( + 1) < 1 < tetapi ( ) , ( ) = | −( + 1) | = 1 > . Contoh 2.1.13
Fungsi : [ 0, 1] → ℝ yang didefinisikan oleh ( ) = merupakan fungsi yang kon-tinu seragam. Diberikan > 0 dan dipilih = . Untuk sebarang , ∈[ 0, 1] yang memenuhi | − | < , berlaku
| ( )− ( ) | = | − | = | + || − | ≤ 2| − | < . Terbukti bahwa fungsi kontinu seragam pada interval [ 0, 1].
Definisi 2.1.19
Misal ( , ) adalah ruang metrik. Keluarga subhimpunan = { : ∈ } di di-sebut selimut dari subhimpunan di jika ⊆ ⋃ ∈ .
Jika ℋ merupakan selimut terbuka dari dan ℋ ⊂ , maka ℋ disebut subselimut terbuka dari .
Definisi 2.1.20
Subhimpunan dari ruang metrik ( , ) dikatakan kompak jika setiap selimut buka dari memuat subselimut berhingga, yaitu untuk setiap keluarga himpunan ter-buka = { : ∈ } dengan ⊆ ⋃ ∈ , terdapat subkeluarga berhingga
, , , …, sedemikian sehingga ⊆ ⋃ .
Contoh 2.1.14
Ruang metrik ( , ) dengan himpunan berhingga adalah himpunan kompak.
Misalkan = { , , …, }, dan = { : ∈ } selimut terbuka untuk , yaitu ⊆ ⋃ ∈ . Untuk , ada ∈ sedemikian sehingga ∈ , untuk ada ∈ sedemikian sehingga ∈ , dan seterusnya, untuk ada ∈ sedemi-kian sehingga ∈ . Diperoleh ℋ = , , , …, adalah subkeluarga berhingga dari yang merupakan subselimut dari , maka memuat subselimut ber-hingga ℋ. Jadi kompak.
Teorema 2.1.12
Setiap subhimpunan tertutup dari ruang metrik yang kompak merupakan himpunan yang kompak.
Bukti:
Misalkan ( , ) ruang metrik yang kompak, dan adalah sebarang subhimpunan takkosong dan tertutup dari . Akan ditunjukkan bahwa kompak.
Misalkan = { : ∈ } keluarga himpunan-himpunan terbuka di dan ⊆ ⋃ ∈ . Jika = (⋃ ∈ ) ∪ , maka selimut terbuka dari . Diketahui bahwa kompak, maka memiliki subselimut berhingga yang memuat . Jadi kompak. ∎
Contoh 2.1.15
Ruang metrik ℝ dengan metrik biasa bukan merupakan ruang yang kompak. Selimut terbuka – , : ∈ ℕ dengan ⋃ (− , ) = ℝ tidak memiliki subselimut ber-hingga. Jadi ℝ tidak kompak.
Definisi 2.1.21
Himpunan dikatakan terbatas jika terdapa bilangan > 0 sedemikian sehingga untuk setiap , ∈ berlaku ( , ) < .
Teorema 2.1.13
Setiap subhimpunan yang kompak di ruang metrik ( , ) adalah himpunan yang tertutup dan terbatas.
Bukti :
Diketahui subhimpunan yang kompak. Untuk membuktikan bahwa tertutup, akan dibuktikan terbuka. Diambil sebarang ∈ dan ∈ . Misal = ( , ) > 0 sehingga dapat dibuat bola terbuka ( ) dan ( ) sedemikian sehingga
( ) ( ) ∩ ( ) = ∅. Koleksi = ( ) : ∈ merupakan selimut terbuka dari , yaitu ⊆ ⋃ ∈ ( ). Diketahui bahwa kompak, maka ada , , , …, sedemikian sehingga ⊆ ⋃ ( ). Misal = ⋂ ( ). Dengan Teorema 2.1.2 (2), yaitu irisan dari keluarga berhingga himpunan terbuka adalah terbuka, maka merupakan himpunan yang terbuka yang memuat . Karena
( ) ∩ ( ) = ∅,∀ = 1,2,3, … , maka
( ) ∩ ⋂ ( ) = ( )∩ = ∅. Sehingga ⋃ ( )∩ = ∅.
⋃ ∈ , maka dengan Teorema 2.1.2 (1) terbuka. Dengan Teorema 2.1.3
ter-bukti bahwa tertutup.
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa adalah himpunan terbatas. Misalkan { ( ) } adalah selimut dari , yaitu ⊆ ⋃ ( ). Karena kompak, maka terdapat
, , , …, sedemikian sehingga ⊆ ⋃ ( ). Misalkan
= max , , 1 ≤ < ≤ . Ambil sebarang , ∈ , maka ada dan sedemikian sehingga ∈ ( ) dan ∈ . Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh
( , ) ≤ ( , ) + , + , ≤ 1 + + 1 = 2 + .
Terbukti bahwa terbatas. ∎
B. Ruang Fraktal
Diberikan ( , ) adalah ruang metrik lengkap. Misalkan ℋ( ) adalah keluarga subhimpunan takkosong yang kompak dari , yaitu
ℋ( ) = { : ⊂ , ≠ ∅, kompak}. Definisi 2.2.1
Misal ( , ) adalah ruang metrik lengkap. Jarak Hausdorff antara dan di ℋ( ) adalah
ℎ( , ) = max{ ( , ) , ( , ) }. Teorema 2.2.1
ℎadalah sebuah metrik pada ℋ( ). Bukti:
Untuk menunjukkan bahwa ℎ adalah metrik, maka harus dibuktikan bahwa ℎ meme-nuhi sifat-sifat metrik.
(1) ℎ( , ) = max { ( , ) , ( , ) }. Jika ℎ( , ) = ( , ), maka ℎ( , ) = ( , ) = sup{ ( , ) : ∈ }
karena adalah sebuah metrik, sehingga ( , ) ≥0. Jika ℎ( , ) = ( , ), maka
ℎ( , ) = ( , ) = sup{ ( , ) : ∈ }
= sup inf{ ( , ) : ∈ } : ∈ ≥ 0, karena adalah sebuah metrik, sehingga ( , ) ≥0.
(2) Jika = , maka untuk ∀ ∈ memenuhi ( , ) = 0 dan ∀ ∈ memenuhi ( , ) = 0. Dengan Definisi 2.2.1, maka
ℎ( , ) = max{ ( , ) , ( , ) }
= max sup{ ( , ) : ∈ }, sup{ ( , ) : ∈ } = 0
Selanjutnya, jika ℎ( , ) = 0, maka max{ ( , ) , ( , ) } = 0 sehingga ( , ) = 0 dan ( , ) = 0. Karena ( , ) = 0, maka sup { ( , ) : ∈ } = 0 sehingga ∀ ∈ berlaku inf{ ( , ) : ∈ } = 0. Ambil sebarang ∈ , maka inf{ ( , ) : ∈ } = 0. Jadi terdapat ∈ sedemikian sehingga
( , ) = 0, yaitu = . Jadi ∈ , maka ⊆ .
Begitu juga untuk ( , ) = 0. Karena ( , ) = 0, maka sup { ( , ) : ∈ } = 0 sehingga ∀ ∈ berlaku inf{ ( , ) : ∈ } = 0. Ambil sebarang ∈ , maka inf{ ( , ) : ∈ } = 0. Jadi terdapat ∈ sedemikian sehingga ( , ) = 0, yaitu = Jadi ∈ , maka ⊆ . Terbukti jika ℎ( , ) = 0, maka = . Dengan demikian terbukti bahwa ℎ( , ) = 0 jika dan hanya jika
= . (3) ℎ( , ) = max { ( , ) , ( , ) } = max { ( , ) , ( , ) } = ℎ( , ). (4) ℎ( , ) = max { ( , ) , ( , ) } ≤max{ ( , ) + ( , ) , ( , ) + ( , ) } ≤max{ ( , ) , ( , ) } + max{ ( , ) , ( , ) } ≤ ℎ( , ) + ℎ( , )
Dari ( 1) , ( 2) , ( 3) dan ( 4) terbukti bahwa ℎ adalah metrik pada ℋ( ). ∎
C. Ukuran Lebesgue
Sebelum pembahasan yang lebih lanjut, berikut ini adalah kesepakatan-kesepa-katan yang akan digunakan dalam pembahasan Teori Ukuran:
(1) Jika ∈ ℝ, maka −∞< < ∞.
(2) Jika ∈ ℝ, maka + ∞= ∞, − ∞= −∞, ∞+ ∞ = ∞,−∞ − ∞ = −∞,∞ − ∞= tidak terdefinisi.
(3) Jika ∈ ℝ dan > 0, maka × ∞ = ∞.
(4) Jika ∈ ℝ dan < 0, maka × ∞ = −∞, × (−∞) = ∞. (5) Jika = 0∈ ℝ, maka × ∞= 0.
Definisi 2.3.1
Panjang interval-interval( , ) , ( , ] , [ , ) , [ , ] adalah ℓ( ) = − .
Definisi 2.3.2
Misalkan , , , … adalah interval-interval yang saling asing. Maka ℓ( ∪ ∪ ∪… ) = ℓ( ) + ℓ( ) + ℓ( ) + ⋯.
Berdasarkan definisi di atas jelas bahwa panjang dari gabungan interval-interval yang saling asing adalah jumlah panjang interval-interval tersebut.
Definisi 2.3.3
Panjang dari himpunan terbuka = ⋃ , dengan adalah interval-interval ter-buka yang saling asing, adalah
ℓ( ) = ℓ( ) + ℓ( ) + ℓ( ) + ⋯= ℓ( ) . Panjang dari himpunan kosong adalah
ℓ(∅ ) = 0. Contoh 2.3.1
Hitunglah panjang himpunan
= : 1 2 ≤ < 1 2 . Penyelesaian: = : 1 2 ≤ < 1 2 = 1 2 , 1 2 = = , 1), maka ℓ( ) = 1− , = , , maka ℓ( ) = − , = , , maka ℓ( ) = − ,
dan seterusnya sampai ke dan diperoleh = , yang panjangnya ℓ( ) = − . Interval adalah interval yang saling asing sehingga
ℓ( ) = ℓ
= ∑ ℓ( )
= ℓ( ) + ℓ( ) + ℓ( ) + ⋯+ ℓ( ) + ⋯ = 1− + − + − + ⋯+ − + ⋯ = lim → 1− = 1.
Jadi panjang himpunan adalah 1.
Definisi 2.3.4
Himpunan dikatakan terhitung jika ≠ ∅ atau berhingga atau tak berhingga yang ekivalen dengan himpunan semua bilangan asli.
Definisi 2.3.5
Koleksi yang terdiri dari subhimpunan-subhimpunan dari disebut aljabar himpunan jika dan hanya jika memenuhi
(1) ∅, ∈ ;
(2) Jika ∈ , maka ∈ ; (3) Jika , ∈ , maka ∪ ∈ .
Definisi 2.3.6
Koleksi yang terdiri dari subhimpunan-subhimpunan dari disebut aljabar- jika dan hanya jika memenuhi
(1) ∅, ∈ ;
(2) Jika ∈ , maka ∈ ;
(3) Jika , , , … ∈ , maka ⋃ ∈ . Pasangan ( , ) disebut ruang terukur.
Definisi 2.3.7
Fungsi : → ℝ, dengan suatu aljabar- disebut ukuran pada jika : (1) ( ) ≥0 untuk setiap ∈ ;
(2) Jika , , , … ∈ dan ∩ = ∅ untuk ≠ , maka (⋃ ) = ∑ ( ) (sifat aditif terhitung)
Tripel ( , , ) disebut ruang ukuran.
Definisi 2.3.8
Ukuran luar Lebesgue dari suatu himpunan ⊆ ℝ adalah bilangan real tak negatif
∗( ) = inf
dengan = {∑ ℓ( ) : adalah barisan interval sedemikian sehingga ⊆ ⋃ } .
Barisan interval { } merupakan selimut dari . Jadi, ukuran luar Lebesgue dari adalah infimum dari semua panjang selimut yang mungkin untuk . Adanya inf dijamin oleh yang merupakan himpunan takkosong dan merupakan barisan yang terbatas ke bawah, yaitu oleh nol.
Teorema 2.3.1
Jika ⊆ , maka ∗( ) ≤ ∗( ).
Bukti:
Misalkan ⊆ . Ambil sebarang barisan { } selimut dari . Maka ⊆ ⊆ ⋃ . Jadi, setiap selimut dari juga merupakan selimut dari , sehingga ⊂ , maka inf ≤ inf . Jadi ∗( ) ≤ ∗( ). ∎
Teorema 2.3.2
Ukuran luar ∗ bersifat subaditif terhitung, yaitu untuk sebarang barisan himpunan
{ } berlaku
∗ ≤ ∗( ) .
Bukti:
Pertama akan dibuktikan untuk n = 1 sampai = 2, yaitu
∗( ∪ ) ≤ ∗( ) + ∗( ) .
Akan ditunjukkan
∗( ∪ ) ≤ ∗( ) + ∗( ) + .
Ambil > 0, maka terdapat barisan selimut { } dari dan { } dari sedemikian sehingga
ℓ( ) ≤ ∗( ) +
2
ℓ( ) ≤ ∗( ) +
Mak ∑ ℓ( ) + ∑ ℓ( ) ≤ ∗( ) + ∗( ) + .
Barisan dari interval-interval { , , , , , , …} menyelimuti ∪ sehingga
∗( ∪ ) ≤ ∑ ℓ( ) + ∑ ℓ( ) . Jadi
∗( ∪ ) ≤ ℓ( ) + ℓ( ) ≤ ∗( ) + ∗( ) + .
Jika ∑ ∗( ) = ∞, maka pertidaksamaan benar. Misalkan ∑ ∗( ) < ∞. Untuk setiap > 0, terdapat barisan selimut { } dari sedemikian sehingga
ℓ( ) ≤ ∗( ) +
2 . Kemudian diperoleh bahwa
ℓ( ) ≤ ∗( ) + 2
ℓ( ) ,
≤ ∗( ) + < ∞ Barisan interval { } menyelimuti ⋃ sehingga
∗ ≤ ℓ( )
,
≤ ∗( ) + < ∞.
Jadi terbukti bahwa ∗(⋃ ) ≤ ∑ ∗( ) . ∎
Contoh 2.3.2
Buktikan jika ∗( ) = 0 maka untuk sebarang himpunan berlaku ∗( ∪ ) =
∗( ).
Penyelesaian:
Diketahui ∗( ) = 0. Ambil sebarang himpunan , maka ⊆ ∪ . Dengan Teo-rema 2.3.1
∗( ) ≤ ∗( ∪ ) .
∗( ) ≤ ∗( ∪ ) ≤ ∗( ) + ∗( ) .
Karena ∗( ) = 0, maka
∗( ) ≤ ∗( ∪ ) ≤ ∗( ) .
Jadi ∗( ∪ ) = ∗( ).
Contoh 2.3.3
Buktikan jika ∗( ∆ ) = 0, maka ∗( ) = ∗( ).
Penyelesaian:
Diketahui bahwa ∗( ∆ ) = 0. Himpunan ∪ = ∪( ∆ ) .
Karena ⊆ ∪ , maka ⊆ ∪( ∆ ). Menurut Teorema 2.3.1 dan Teorema 2.3.2
∗( ) ≤ ∗ ∪( ∆ ) ≤ ∗( ) + ∗( ∆ ) . Jadi ∗( ) ≤ ∗( ) .
Karena ⊆ ∪ juga, maka ⊆ ∪( ∆ ). Menurut Teorema 2.3.1 dan Teorema 2.3.2
∗( ) ≤ ∗ ∪( ∆ ) ≤ ∗( ) + ∗( ∆ ) . Jadi ∗( ) ≤ ∗( ) .
Terbukti ∗( ) = ∗( ).
Definisi 2.3.9
Himpunan ⊆ ℝ dikatakan terukur Lebesgue jika untuk setiap ⊆ ℝ berlaku
∗( ) = ∗( ∩ ) + ∗( ∩ ) ,
dan ditulis ∈ ℳ, dengan ℳ adalah koleksi semua himpunan yang terukur Lebes-gue.
Karena = ( ∩ ) ∪( ∩ ), maka dengan sifat subaditif ukuran luar diperoleh
∗( ) ≤ ∗( ∩ ) + ∗( ∩ ) ,
sehingga untuk membuktikan bahwa terukur Lebesgue cukup ditunjukkan
Selanjutnya himpunan yang terukur Lebesgue disebut himpunan terukur. Teorema 2.3.3 (1) ℝ ∈ ℳ. (2) Jika ∈ ℳ, maka ∈ ℳ. (3) Jika ∈ ℳ, = 1, 2, 3, …, maka ⋃ ∈ ℳ. (4) Jika ∈ ℳ, = 1, 2, 3, …, maka ∈ ℳ. Bukti:
(1) Ambil sebarang ⊆ ℝ. Akan dibuktikan ∗( ) = ∗( ∩ ℝ) + ∗( ∩ ℝ ), ∀ ⊆ ℝ. ∩ ℝ = , maka ∗( ∩ ℝ) = ∗( ). ∩ ℝ = ∅, maka
∗( ∩ ℝ ) = ∗(∅) = 0. Maka
∗( ∩ ℝ) + ∗( ∩ ℝ ) = ∗( ) + 0 = ∗( )
(2) Ambil sebarang ∈ ℳ dan sebarang ⊆ ℝ. Karena ∈ ℳ, maka berlaku
∗( ) = ∗( ∩ ) + ∗( ∩ ) = ∗( ∩ ) + ∗( ∩ ) = ∗( ∩ ) + ∗( ∩( ) ) . Terbukti ∈ ℳ.
(3) Misalkan , ∈ ℳ dan ∩ = ∅. Karena ∈ ℳ, maka
∗( ) = ∗( ∩ ) + ∗( ∩ ) , dan karena ∈ ℳ, maka
∗( ) = ∗( ∩ ) + ∗( ∩ ) untuk setiap ⊆ ℝ. Maka ∗( ∩ ) = ∗ ( ∩ )∩ + ∗ ( ∩ ) ∩ . = ∗ ∩( ∩ ) + ∗ ∩( ∩ ) . = ∗( ∩ ) + ∗( ∩( ∪ ) ) .
Jadi
∗( ) = ∗( ∩ ) + ∗( ∩ ) + ∗( ∩( ∪ ) ) . Dengan sifat subaditif ukuran luar, diperoleh
∗( ∩ ) + ∗( ∩ ) ≥ ∗ ∩( ∪ ) ,
sehingga
∗( ) ≥ ∗ ∩( ∪ ) + ∗( ∩( ∪ ) ) . Hasil di atas cukup untuk menunjukkan bahwa ∪ ∈ ℳ.
Selanjutnya ∗( ∪ ) = ∗ ( ∪ )∩ + ∗ ( ∪ )∩ + ∗ ( ∪ )∩ ( ∪ ) = ∗( ) + ∗( ) + ∗(∅) = ∗( ) + ∗( ) Terbukti untuk = 1, 2.
Sudah dibuktikan bahwa untuk dan yang saling asing berlaku
∗( ) = ∗( ∩ ) + ∗( ∩ ) + ∗( ∩( ∪ ) ) untuk setiap ⊆ ℝ.
Secara umum, untuk = 1, 2, … berlaku
∗( ) = ∗( ∩ ) + ∗ ∩ .
Dari persamaan di atas, maka ketidaksamaan berikut juga berlaku