Berisi kesimpulan dan saran yang sudah diperoleh dari hasil penulisan tugas akhir.
2.1. Pemr ograman Matematika
Pemrograman matematika adalah ilmu manajemen yang menentukan suatu optimasi, atau efisiensi yang sangat tinggi, dengan menggunakan sumber daya untuk mencapai tujuan individu pada suatu bisnis.
Cabang ilmu pemrograman matematika mulai berkembang sejak pasca revolusi industri. Hal tersebut membuat dunia usaha mengalami perubahan dalam hal ukuran (besarnya) dan kompleksitas organisasi-organisasi perusahaan. Bagian yang mengalami perubahan yang cukup terlihat adalah perkembangan dalam pembagian kerja dan segmentasi tanggung jawab manajemen dalam organisasi tersebut, termasuk pengaturan sumber daya. Disisi lain, organisasi-organisasi (perusahaan) pada saat ini harus beroperasi di dalam situasi dan kondisi lingkungan bisnis yang dinamis dan selalu berbeda satu dengan yang lainnya, serta siap untuk berubah-ubah.
Perubahan-perubahan tersebut terjadi sebagai akibat dari kemajuan teknologi yang begitu pesat ditambah dengan dampak dari beberapa faktor - faktor lingkungan lainnya seperti keadaan ekonomi, politik, sosial dan sebagainya. Perkembangan kemajuan teknologi tersebut telah menghasilkan dunia komputerisasi. Hasil-hasil pembangunan telah melahirkan para pimpinan dan pengambilan keputusan, para peneliti, perencana dan pendidik untuk memikirkan serta memecahkan atau menganalisis suatu permasalahan, mengambil
langkah-langkah dan strategi yang tepat serta target yang sesuai secara sistematis dalam rangka mencapai tujuan yang telah ditentukan, yakni hasil yang memuaskan. Hasil yang memuaskan tersebut adalah hasil yang optimal yang berarti dampak yang positive maksimum dan dampak negative minimum.
Pemrograman matematika lebih berkaitan dengan permasalahan optimasi. Dalam dunia industri, cabang ilmu ini lebih dikenal dengan nama riset operasional. Arti riset operasi (operations research) telah banyak didefinisikan oleh beberapa ahli. Diantaranya :
1. Morse dan Kimball mendefinisikan riset operasi sebagai metode ilmiah (scientific method) yang memungkinkan para manajer mengambil keputusan mengenai kegiatan yang mereka tangani dengan dasar kuantitatif. Definisi ini kurang tegas karena tidak tercermin perbedaan antara riset operasi dengan disiplin ilmu yang lain. (Morse,Philip M. 2005).
2. Churchman, Arkoff dan Arnoff pada tahun 1950-an mengemukakan pengertian riset operasi sebagai aplikasi metode-metode, teknik-teknik dan peralatan-peralatan ilmiah dalam menghadapi masalah-masalah yang timbul di dalam operasi perusahaan dengan tujuan ditemukannya pemecahan yang optimum masalah-masalah tersebut. (Churchman, et. al. 1957).
3. Miller dan M.K. Starr mengartikan riset operasi sebagai peralatan manajemen yang menyatukan ilmu pengetahuan, matematika, dan logika dalam kerangka pemecahan masalah-masalah yang dihadapi sehari-hari, sehingga akhirnya permasalahan tersebut dapat dipecahkan secara optimal. (Miller, 1960).
Dari ketiga definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa riset operasi berkenaan dengan pengambilan keputusan yang optimal dalam, dan penyusunan model dari sistem-sistem baik yang diterministik maupun probabilistik yang berasal dari kehidupan nyata. Atau dunia pengelolaan atau dunia usaha yang memakai pendekatan ilmiah atau pendekatan sistematis.
Dengan demikian dapat juga disimpulkan bahwa riset teknologi informasi adalah metode untuk memformulasikan dan merumuskan permasalahan sehari-hari baik mengenai bisnis, ekonomi, sosial maupun bidang lainnya ke dalam pemodelan matematis untuk mendapatkan solusi yang optimal dengan menggunakan perangkat teknologi informasi.
Bagian terpenting dari riset teknologi informasi adalah bagaimana menerjemahkan permasalahan sehari-hari ke dalam model matematis. Faktor-faktor yang mempengaruhi pemodelan harus disederhanakan dan apabila ada data yang kurang, kekurangan tersebut dapat diasumsikan atau diisi dengan pendekatan yang bersifat rasional. Dalam membuat pemodelan matematika diperlukan ketajaman berpikir dan logika. Untuk mendapatkan solusi yang optimal dan memudahkan kita mendapatkan hasil, kita dapat menggunakan komputer sebagai alat utama pendukungnya.
Dalam hal ini termasuk menentukan pilihan dari alternatif-alternatif yang ada secara umum meliputi langkah-langkah :
1. Identifikasi masalah.
Identifikasi masalah yang terdiri dari, penentuan dan perumusan tujuan yang jelas dari persoalan dalam sistem model yang dihadapi. Identifikasi perubah yang dipakai sebagai kriteria untuk pengambilan
keputusan yang dapat dikendalikan maupun yang tidak dapat dikendalikan. Kumpulkan data tentang kendala-kendala yang menjadi syarat ikatan terhadap perubah-perubah dalam fungsi tujuan sistem model yang dipelajari.
2. Penyusunan model.
Penyusunan model yang terdiri dari, memilih model yang cocok dan sesuai dengan permasalahannya. Merumuskan segala macam faktor yang terkait di dalam model yang bersangkutan secara simbolik ke dalam rumusan model matematika. Menentukan perubah-perubah beserta kaitan-kaitannya satu sama lainnya. Tetapkan fungsi tujuan beserta kendala-kendalanya dengan nilai-nilai dan perameter yang jelas.
3. Analisa model.
Didalam analisa model terdapat hal yang penting diantaranya yaitu, Melakukan anlisis terhadap model yang telah disusun dan dipilih. Memilih hasil-hasil analisis yang terbaik (optimal). Melakukan uji kepekaan dan anlisis postoptimal terhadap hasil-hasil terhadap analisis model.
4. Pengesahan model.
Analisis pengesahan model menyangkut penilaian terhadap model tersebut dengan cara mencocokannya dengan keadaan dan data yang nyata, juga dalam rangka menguji dan mengesahkan asumsi-asumsi yang membentuk model tersebut secara struktural. Yang termasuk dengan struktural tersebut yaitu perubahnya, hubungan-hubungan fungisionalnya, dan lain-lain. 5. Implementasi hasil
Dalam hal ini Implementasi hasil merupakan hasil-hasil yang diperoleh berupa nilai-nilai yang akan dipakai dalam kriteria pengambilan keputusan
merupakan hasil-hasil analisis yang kiranya dapat dipakai dalam perumusan keputusan yang kiranya dapat dipakai dalam perumusan strategi-strategi, target-target, langkah-langkah kebijakan guna disajikan kepada pengambilan keputusan dalam bentuk alternatif-alternatif pilihan. (Njotowidjojo, Yoko. 2003).
2.2. Pemr ograman Linier
Linier Programming adalah suatu model yang dipakai dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal. untuk menyelesaikan masalah optimisasi, yaitu memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan yang bergantung pada sejumlah variabel input.
Dalam persoalan program linear memberikan lebih dari satu pemecahan yang mungkin terjadi. Pemecahana terbaik adalah pemecahan yang mencapai hasil maksimum melalui pembatas-pembatasnya. Pembatas-pembatas tersebut dinyatakan secara sistematis dalam bentuk persamaan linier. Sehingga persoalan ini dinamakan persoalan program linier
Masalah tersebut timbul apabila diharuskan menentukan tiap kegiatan yang akan dilakukannya dimana masing-masing kegiatan membutuhkan sumber daya yang sama sedangkan jumlahnya terbatas. Misalnya : bagian produksi dihadapkan pada masalah penentuan tingkat produksi masing-masing jenis produk dengan memperhatikan factor-faktor produksi yaitu mesin tenaga kerja, bahan mentah, dan lain-lain untuk memperoleh tingkat keuntungan masksimum atau biaya yang minimal
Hal terpenting yang perlu kita lakukan dalam menyelesikan permasalahan optimasi adalah mencari tujuan penyelesaian masalah dan apa penyebab masalah tersebut. Di dalam Linier Programming terdapat dua fungsi yaitu :
1. Fungsi tujuan (Objective Function) merupakan Fungsi yang menggambarkan tujuan dalam permasalahan Linier Programming yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal sumber daya-sumber daya untuk memperoleh keuntungan yang maksimal atau biaya yang minimum F(z).
2. Fungsi batasan (Subjective To Constraint) merupakan Bentuk penyajian secara sistematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan.
2.2.1. Karakteristik Pemrograman Linier
Pemrograman Linier atau Linier Programming biasa disingkat PL, merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya, banyak pula diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. Terdapat beberapa kateristik atau sifat dalam pemrograman linier yaitu sebagai berikut.
1. Sifat Linearitas
Sifat linearitas merupakan suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa cara. Secara statistik, kita dapat memeriksa kelinearan menggunakan grafik (diagram pencar) ataupun menggunakan uji
hipotesa. Secara teknis, linearitas ditunjukkan oleh adanya sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepastian fungsi tujuan dan pembatas.
2. Sifat Proporsional
Sifat proposional dapat dipenuhi jika kontribusi setiap variabel pada fungsi tujuan atau penggunaan sumber daya yang membatasi proporsional terhadap level nilai variabel. Jika harga per unit produk misalnya adalah sama berapapun jumlah yang dibeli, maka sifat proporsional dipenuhi. Atau dengan kata lain, jika pembelian dalam jumlah besar mendapatkan diskon, maka sifat proporsional tidak dipenuhi. Jika penggunaan sumber daya per unitnya tergantung dari jumlah yang diproduksi, maka sifat proporsionalitas tidak dipenuhi.
3. Sifat Additivitas
Sifat Additivitas mengasumsikan bahwa tidak ada bentuk perkalian silang diantara berbagai aktivitas, sehingga tidak akan ditemukan bentuk perkalian silang pada model. Sifat additivitas berlaku baik bagi fungsi tujuan maupun pembatas (kendala). Sifat additivitas dipenuhi jika fungsi tujuan merupakan penambahan langsung kontribusi masing-masing variabel keputusan. Untuk fungsi kendala, sifat additivitas dipenuhi jika nilai kanan merupakan total penggunaaan masing-masing variabel keputusan. Jika dua variabel keputusan misalnya merepresentasikan dua produk substitusi, dimana peningkatan volume penjualan salah satu produk akan mengurangi
volume penjualan produk lainnya dalam pasar yang sama, maka sifat additivitas tidak terpenuhi.
4. Sifat Divisibilitas
Sifat Divisibilitas berarti unit aktivitas dapat dibagi ke dalam sembarang level fraksional, sehingga nilai variabel keputusan non integer dimungkinkan.
5. Sifat Kepastian
Sifat Kepastian dapat menunjukkan bahwa semua parameter model berupa konstanta. Artinya koefisien fungsi tujuan maupun fungsi pembatas merupakan suatu nilai pasti, bukan merupakan nilai dengan peluang tertentu. Dari penjelsan kelima kateristik atau sifat ini dalam dunia nyata tidak selalu dapat dipenuhi. Untuk meyakinkan dipenuhinya kelima kateristik atau sifat ini, dalam pemrograman linier diperlukan analisis sensitivitas terhadap solusi optimal yang diperoleh sehingga mendapatkan hasil yang optimal dan sesuai dengan perhitungan pemrogramn linier tersebut. . (http://repository.usu.ac.id/bitstream/123456789/26289/3/Chapter%20II.pdf)
2.2.2. Pemodelan Pemr ograman Linier
Tahap berikutnya yang harus dilakukan setelah memahami permasalahan optimasi adalah membuat model yang sesuai untuk analisis. Pendekatan konvensional riset operasional untuk pemodelan adalah membangun model matematik yang menggambarkan inti permasalahan. Kasus dari bentuk cerita
diterjemahkan ke model matematik. Model matematik merupakan representasi kuantitatif tujuan dan sumber daya yang membatasi sebagai fungsi variabel keputusan. Model matematika permasalahan optimal terdiri dari dua bagian.
Bagian pertama memodelkan tujuan optimasi. Model matematik tujuan selalu menggunakan bentuk persamaan. Bentuk persamaan digunakan karena kita ingin mendapatkan solusi optimum pada satu titik. Fungsi tujuan yang akan dioptimalkan hanya satu. Bukan berarti bahwa permasalahan optimasi hanya dihadapkan pada satu tujuan. Tujuan dari suatu usaha bisa lebih dari satu. Tetapi pada bagian ini kita hanya akan tertarik dengan permasalahan optimal dengan satu tujuan.
Bagian kedua merupakan model matematik yang merepresentasikan sumber daya yang membatasi. Fungsi pembatas bisa berbentuk persamaan ( = ) atau pertidaksamaan (≤ atau ≥). Fungsi pembatas disebut juga sebagai konstra in. Konstanta (baik sebagai koefisien maupun nilai kanan) dalam fungsi pembatas maupun pada tujuan dikatakan sebagai parameter model. Model matematika mempunyai beberapa keuntungan dibandingakan pendeskripsian permasalahan secara verbal. Salah satu keuntungan yang paling jelas adala model matematika menggambarkan permasalahan secara lebih ringkas. Hal ini cenderung membuat struktur keseluruhan permasalahan lebih mudah dipahami, dan membantu mengungkapkan relasi sebab akibat penting.
Model matematika juga memfasilitasi yang berhubungan dengan permasalahan dan keseluruhannya dan mempertimbangkan semua
keterhubungannya secara dinamis. Terakhir, model matematik membentuk jembatan ke penggunaan teknik matematik dan komputer kemampuan tinggi untuk menganalisis permasalahan.
Di sisi lain, model matematika mempunyai kelemahan. Sehingga tidak semua karakteristik sistem dapat dengan mudah dimodelkan menggunakan fungsi matematik. Meskipun dapat dimodelkan dengan fungsi matematik, kadang-kadang penyelesaiannya sulit diperoleh karena kompleksitas fungsi dan teknik yang dibutuhkan tidak dapat terpecahkan. Dalam pemodelan linier tersebut ada beberapa langkah-langkah yang harus dipenuhi dalam formulasi model program linier adalah sebagai berikut :
1. Memahami masalah dan mengidentifikasi variabel keputusan
2. Penentuan fungsi tujuan sebagai kombinasi linier dari variabel keputusan 3. Menentukan konstrain sebagai kombinasi linier dari variabel keputusan 4. Identifikasi batas atas dan batas bawah dari variabel keputusan.
Tabel 2.1. Data Untuk Model Pemrograman Linier Tujuan
Sumber
Pemakaian Sumber Per Unit Kegiatan
Kapasitas Sumber 1(x1) 2(x2) 3(x3) …… n(xn) 1 2 3 M a11 a12 a13 …… a1n a21 a22 a23 …… a2n a31 a32 a33 …… a3n am1 am2 am3 …… amn b1 b2 b3 bn
Pertambahan laba
/ biaya per unit C1 C2 C3 …… Cn Tingkat kegiatan X1 x 2 x 3 …… x n
Dalam membangun atau membuat model dari formulasi dalam tabel 2.1. digunakan kateristik-kateristik yang biasa digunakan dalam persoalan Program Linier, yaitu :
1. Variabel keputusan
Variabel keputusan merupakan suatu variabel yang menguaraikan secara lengkap keputusan-keputusan yang akan dibuat. Dalam tabel diatas, variabel keputusannya adalah X1, X2, X3 …. Xn.
2. Fungsi Tujuan
Fungsi Tujuan merupakan variabel kepuutusan yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan. Dalam tabel 2.1. fungsi tujuannya adalah C1X1 + C2X2 + C3X3 + …. + CnXn.
3. Pembatas
Pembatas merupakan kendala yang dihadapi sehingga untuk dapat menentukan harga-harga variabel keputusan secara sembarang atau acak-acakan. Dimana tabel diatas tersebut pembatasnya adalah b1, b2, b3 ….. bn.
4. Pembatas Tanda
Pembatas Tanda merupakan pembatas yang menjelaskan apakah variabel keputusannya diasumsikan hanya non negatif atau variabel
keputusannya tersebut boleh positif, boleh juga negatif (tidak terbatas dalam tanda), misalnya tanda ≥ atau tanda ≤.
Maximize problem yaitu fungsi tujuan yang berorientasi pada laba atau keuntungan.
Fungsi Tujuan (Objective Function) :
Maximize Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 + …… + CnXn. Batasan-batasan (Subject To Constraint) :
a11X1 + a12X2 + a13X3 + …… + a1nXn ≤ b 1. a21X1 + a22X2 + a23X3 + …… + a2nXn ≤ b 2. a31X1 + a32X2 + a33X3 + …… + a3nXn ≤ b 3.
am1X1 + am2X2 + am3X3 + …… + amnXn ≤ b m. X1, X2, X3, … , Xn ≥ 0
Minimize problem yaitu fungsi tujuan yang berorientasi pada biaya Fungsi Tujuan (Objective Function)
Minimize Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 + …… + CnXn. Batasan-batasan (Subject To Constraint) :
a11X1 + a12X2 + a13X3 + …… + a1nXn ≤ b 1. a21X1 + a22X2 + a23X3 + …… + a2nXn ≤ b 2. a31X1 + a32X2 + a33X3 + …… + a3nXn ≤ b 3.
am1X1 + am2X2 + am3X3 + …… + amnXn ≤ b m. X1, X2, X3, … , Xn ≥ 0
2.2.3. Metode Simplek
Kasus pemrograman linier sangat beragam. Dalam setiap kasus, hal yang penting adalah memahami setiap kasus dan memahami konsep permodelannya. Meskipun fungsi tujuan misalnya hanya mempunyai kemungkinan bentuk maksimisasi atau minimisasi, keputusan untuk memilih salah satunya bukan pekerjaan mudah. Tujuan pada suatu kasus bisa menjadi batasan pada kasus yang lain. Harus hati-hati dalam menentukan tujuan, koefisien fungsi tujuan, batasan dan koefisien pada fungsi pembatas.
Agar lebih memahami permasalahan dalam program linier, khususnya dalam pencarian nilai optimasi, berikut ini dalah contoh kasus dan cara penyelesaiannya. Ada perusahaan yaitu PT. GUNDAR saat ini telah memproduksi 2 jenis pipa, yaitu : Aqua dan Hydro, dengan rincian sumber daya sebagai berikut:
Tabel 2.2. Sumber Daya PT. Gundar Aqua Hydro
Pompa 1 1
Jam Kerja 9 jam 6 jam Pipa 12 meter 16 meter Laba/Unit $350 $300
Sampai dengan saat ini, PT. Gundar memliki 200 pompa, 1566 jam kerja, dan 2880 meter persediaan pipa. Berdasarkan kondisi tersebut, bagian produksi ingin mengetahui berapa kombinasi yangg paling sesuai untuk mendapatkan keuntungan maksimal ?
Berikut ini adalah langkah penyelesaian dari permasalahan diatas : 1. Memahami masalah.
2. Identifikasi variabel keputusan :
X1=jumlah pipa Aqua yang dihasilkan. X2=jumlah pipa Hydro yang dihasilkan.
3.Penentuan Fungsi Tujuan Sebagai Kombinasi Linier dari variabel keputusan : MAX: 350 X1 + 300 X2
4. Menentukan konstrain sebagai kombinasi linier dari variabel keputusan : 1X1 + 1X2 <= 200 } pompa
9X1 + 6X2 <= 1566 } jam kerja 12X1 + 16X2 <= 2880 } pipa
5. Identifikasi batas atas atau bawah dari variabel keputusan : X1 >= 0 X2 >= 0 MAX: 350X1 + 300X2 S.T.: 1X1 + 1X2 <= 200 9X1 + 6X2 <= 1566 12X1 + 16X2 <= 2880 X1,X2 >= 0
Ide : Setiap Aqua (X1) menimbulkan laba/unit yg tertinggi ($350), buatlah kemungkinan tersebut!
Seberapa besar hal tersebut dapat terjadi? Misalkan X2 = 0
Konstrain-2: 9X1 <=1566 or X1 <=174 Konstrain-3: 12X1 <= 2880 or X1 <= 240
Jika X2=0, nilai maksimum X1 adalah 174 keuntungan totalnya adalah $350*174 + $300*0 = $60,900
Solusi tersebut layak (feasible), tapi apakah optimal ?
Beberapa konstrain atau kendala suatu Perangkat Lunak mendefinisikan daerah feasiblenya?
Titik terbaik dari daerah feasible adalah solusi optimal masalah tersebut. Untuk Perangkat Lunak dengan 2 variabel, sangatlah mudah untuk memplot daerah feasible dan menentukan solusi optimalnya.
Daerah penyelesaian :
Gambar 2.1. Daerah penyelesaian persamaan linier berdasarkan konstrain 1
Gambar 2.2. Daerah penyelesaian persamaan linier berdasarkan konstrain 2
Gambar 2.3. Daerah penyelesaian persamaan linier berdasarkan konstrain 3
Gambar 2.5. Daerah penyelesaian plotting kurva tingkat kedua
Gambar 2.6. Daerah penyelesaian lokalisasi area optimal Sedangkan perhitungan solusi optimal adalah sebagai berikut :
Solusi optimal terjadi dimana kendala pompa dan jam kerja beririsan. Hal ini terjadi ketika:
X1 + X2 = 200 (1) dan 9X1 + 6X2 = 1566 (2) Dari (1) kita dapatkan X2 = 200 -X1 (3)
Subtitusi (3) ke dalam (2), dan kita punyai : 9X1 + 6 (200 -X1) = 1566
yang menghasilkan X1 = 122
Sehingga solusi optimalnya adalah : X1=122, X2=200-X1=78 Total Keuntungan = $350*122 + $300*78 = $66,100
Hasil perhitungan diatas, dapat dibuktikan dengan metode grafik yang tampak seperti gambar 2.7 berikut ini :
Gambar 2.7. Pembuktian titik yang menjadi nilai optimal
Sehingga dapat disimpulkan, bahwa cara penyelesaian masalah program linier yang menggunakan grafik adalah sebagai berikut :
1. Plot garis batas setiap konstrain 2. Identifikasi daerah feasible atau layak
3. Lokalisasi solusi optimal dengan melakukan: a. Plotting Kurva bertingkat
= 0; = 0; = 0;……,, = 0; k = 0, 1, 2, 3,…,m 2.3. Polinomial
Proses penentuan suatu fungsi dekatan menggambarkan kecenderungan data dengan simpangan minimum antara nilai fungsi dengan data regresi linier. Regresi linear adalah salah satu cara penyajian data dengan fungsi pendekatan linear.
y = a0 + a1 x + e dengan
a0 dan a1 : koefisien fungsi e : simpangan kesalahan
jika dipilih penyajian data dalam fungsi polynomial derajat n, maka fungsi dapat dinyatakan sebagai
Pn (x) = a0 + a1 x + a1 x2 + a1 x3 + ……+ an xn = ah xh
Dan simpangan kesalahan yang terjadi anatara setiap data dengan nilai fungsi adalah
Ci = Pn (xi) – yi, i = 1, 2, 3,…,m
Apabila ditetapkan fungsi S = ei2 , maka S adalah fungsi dan koefisien polynomial Pn (x), yaitu S = S (a0, a1, a2,……,an). Supaya nilai S minimum, haruslah ditetapkan koefisien ai sehingga turunan parsial S terhadap setiap koefisien sama dengan nol. Dengan koefisien ai, dengan i = 0, 1, 2, 3,…,m, diperoleh turunan parsial fungsi S sebagai
= 0 = 2(a0 + a1x1 + a2x12 + a3x13 – y1)(1) + 2(a0 + a1x2 + a2x22 + a3x23 – y2)(1) +…+ 2(a0 + a1xi + a2xi2 + a3xi3 – yi )(1)+…+ 2( a0 + a1xm + a2xm2 + a3xm3 – ym )(1) = 0 = 2(a0 + a1x1 + a2x12 + a3x13 – y1)(x1) + 2(a0 + a1x2 + a2x22 + a3x23 – y2)(x2) +…+ 2(a0 + a1xi + a2xi2 + a3xi3 – yi )(xi)+…+ 2( a0 + a1xm + a2xm2 + a3xm3 – ym )(xm) = 0 = 2(a0 + a1x1 + a2x12 + a3x13 – y1)(x12) + 2(a0 + a1x2 + a2x22 + a3x23 – y2)(x22) +…+ 2(a0 + a1xi + a2xi2 + a3xi3 – yi )(xi2)+…+ 2( a0 + a1xm + a2xm2 + a3xm3 – ym )(xm2) Untuk menurunkan rumusan regresi, ditinjau fungsi polynomial pangkat tiga sebagai fungsi dekatan
P3 (x) = a0 + a1 x + a1 x2 + a1 x3 Fungsi simpangan S menjadi
S = { P3 (x1) – y1}2 + { P3 (x2) – y2}2 + { P3 (x3) – y3}2+…+ { P3 (xm) – ym}2 = ( a0 + a1x1 + a2x12 + a3x13 – y1 )2 + ( a0 + a1x2 + a2x22 + a3x23 – y2 )2 +…+ ( a0 +
a1xi + a2xi2 + a3xi3 – yi )2 +…+ ( a0 + a1xm + a2xm2 + a3xm3 – ym )2 Turunan parsial S terhadap a0 :
Penyelesaian
a0m + a1 xi + a2 xi 2 + a3 xi 3 = yi
Memberikan
= 0 = 2(a0 + a1x1 + a2x12 + a3x13 – y1)(x13) + 2(a0 + a1x2 + a2x22 + a3x23 – y2)(x23) +…+ 2(a0 + a1xi + a2xi2 + a3xi3 – yi )(xi3)+…+ 2( a0 + a1xm + a2xm2 + a3xm3 – ym )(xm3) Memberikan a0 xi2 + a1 xi3 + a2 xi 4 + a3 xi 5 = xi2yi Memberikan a0 xi3 + a1 xi4 + a2 xi 5 + a3 xi 6 = xi3yi
Terlihat hasil turunan parsial fungsi S memberikan empat persamaan dengan empat variabel yang tidak diketahui. Persamaan ini dibuat persamaan normal yang merupakan persamaan linear simultan
m xi xi2 xi3
xi xi2 xi3 xi4
xi2 xi3 xi4 xi5
xi2 xi3 xi4 xi5
Secara umum, dengan procedure yang serupa, jika fungsi dekatan dinyatakan dalam polynomial derajat n, maka koefisien polynomial diselesaikan dari (n+1) persamaan linier simultan.
m xi xi2 xi3 ……… xin
xi xi2 xi3 xi4……… xin+1
xi2 xi3 xi4 xi5……… xin+2
xi2 xi3 xi4 xi5……… xin+3
2.4. Data Flow Diagr am (DFD)
Data Flow Diagram (DFD) adalah alat pembuatan model yang memungkinkan profesional sistem untuk menggambarkan sistem sebagai suatu jaringan proses fungsional yang dihubungkan satu sama lain dengan alur data, baik secara manual maupun komputerisasi.
DFD ini adalah salah satu alat pembuatan model yang sering digunakan, khususnya bila fungsi-fungsi sistem merupakan bagian yang lebih penting dan kompleks dari pada data yang dimanipulasi oleh sistem. Dengan kata lain, DFD adalah alat pembuatan model yang memberikan penekanan hanya pada fungsi sistem.
DFD ini merupakan alat perancangan sistem yang berorientasi pada alur data dengan konsep dekomposisi dapat digunakan untuk penggambaran analisa maupun rancangan sistem yang mudah dikomunikasikan oleh profesional sistem kepada pemakai maupun pembuat program. Salah satu tool yang paling penting
bagi seorang analis sistem. Penggunaan DFD Sebagai Modeling Tool dipopulerkan oleh Demacro and Yordan (1979) dan Gane and Sarson (1979) dengan menggunakan pendekatan Metode Analisis Sistem Terstruktur.
DFD (Data Flow Diagram) merupakan data yang tersimpan dan proses dengan proses yang terhubung dengan data tersebut. DFD bukan termasuk flowchart dikarenakan dalam proses DFD bisa berjalan secara parallel, DFD juga menggambarkan aliran data dalam sebuah sistem. Dalam proses membuatan DFD tidak ada loop ataupun cabang tetapi dapat menggambarkan semua proses, meskipun proses tersebut terjadi dalam waktu yang berbeda.
Ada beberapa peraturan-peraturan yang penting dalam membuatan DFD tersebut.
1. Semua objek harus mempunyai nama.
2. Aliran data harus diawala dan diakhiri oleh proses.
3 Semua aliran data harus mempunyai tanda panah. (Howard anton, 2000).
2.3.1. Komponen-Komponen dalam DFD
Menurut Gene dan Serson didalam DFD terdapat komponen-komponen yang banyak digunakan agar dapat membentuk atau membuat suatu DFD secara utuh, berikut adalah macam-macam komponen-komponen yang umum digunakan.
1. Entity
Entity dapat digambarkan dengan simbol bujur sangkar. Entity Merupakan sumber atau tujuan dari aliran data. Bisa juga menggambarkan secara fisik, yaitu seseorang atau sekelompok orang atau system lain. Kadang-kadang diperlukan untuk menduplikasinya agar dapat menghindari anak panah yang simpang siur.
Ditandai dengan garis diagonal disudut kanan bawah yang menyatakan jiks suatu entity tersebut lebih dari satu. Dalam Entity terdapat 2 jenis entity yaitu :
a. Entity sumber merupakan entitas yang menjadi sumber
b. Entity tujuan merupakan entitas yang menjadi tujuan data atau informasi suatu sistem.
Gambar 2.2. Jenis–jenis Entity
Entity dapat berupa orang, sekelompok orang, organisasi, perusahaan atau departemen yang berada diluar sistem yang akan dibuat, diberi Data Flow Diagram nama yang berhubungan dengan sistem tsb dan biasanya menggunakan kata benda.
Contoh : Dosen, Mahasiswa.
Hal yang perlu diperhatikan tentang Entity:
1. Alur data yang menghubungkan entity dengan sistem, menunjukkan hubungan sistem dgn dunia luar.
2. Profesional sistem tidak dapat mengubah isi atau cara kerja, prosedur yang berkaitan dengan entity.
3. Hubungan yang ada antar entity tidak digambarkan dalam DFD.
2. Aliran Data
Gambar 2.3. Aliran Data
Aliran Data menggambarkan aliran data dari suatu proses ke proses lainnya. Merepresentasikan dengan menggunakan anak panah. Nama proses dapat ditulis untuk menjelaskan arti dalam aliran tersebut dan ditulis untuk mengidentifikasi aliran tersebut. Aliran data juga dapat menyebar atau menyatu. Didalam aliran data masih ada 4 konsep tentang alur data :
1. Packets of data
Apabila terdapat dua data atau lebih yg mengalir dari satu sumber yg sama menuju pada tujuan yg sama dan mempunyai hubungan dapat digambarkan dengan 1 alur.data.
2. Diverging data flow
Apabila ada sejumlah paket data yg berasal dari sumber yg sama menuju pada tujuan yang berbeda atau paket data yang kompleks dapat dibagi menjadi beberapa elemen data yang akan dikirim ke tujuan yang berbeda pula.
