Penyajian Bilangan Bulat

Teori Bilangan

A. Penyajian Bilangan Bulat

Pada saat kita masih di sekolah dasar, tentu saja kita pernah menjumpai soal yang dilontarkan oleh guru kita sebagai berikut:

1. Berapakah angka ratusan dari 3356? 2. Angka 4 pada bilangan 4.777 bernilai?

Nah, pertanyaan di atas dimaksudkan pada basis 10, yakni ada satuan, puluhan, ratusan, ribuah, puluh ribuan, dst. Sebagai contoh bilangan 3.356 dimaksudkan 3 ribuan, 3 ratusan, 5 puluhan, dan 6 satuan atau secara metematika ddapat kita nyatakan sebagai

3 2

3356 3 1000 3 100 5 10 6 3.10        3.10 5.10 6 .

Penyajian di atas, disebut penyajian dalam basis 10 atau lebih dikenal dengan disebut

sistem desimal. Angka-angka/digit-digit yang digunaan dalam basis 10 adalah 0, 1, 2, 3, 4,…, 9. Perlu diingat bahwa angka hanyalah symbol, sedangkan bilangan adalah nilai dari angka-angka yang kita bentuk. Secara umum, untuk sebarang bilangan bulat b1 kita dapat menyajikan bilangan dalam basis b. Angka-angka yang digunakan dalam basis b ini adalah anggota-anggota dari himpunan{0,1,2…b-1}. Penulisan basis, biasanya dituliskan di sebelah kanan bawah bilangan. Sebagai conntoh 200911 adalah

2009 dalam basis 11. Jika bilangan basisnya tidak dituliskan maka bilangan yang dimaksud tersebut adalah bilangan dalam basis 10. Sebagai contoh jika kita menemukan bilangan 2009 maka yang dimaksud adalah 200910.

h

2

Secara matematika, nilai dari bilangan yang disajikan dalam basis b adalah sebagai berikut: nilai dari anan-1…a1a0b dengan ai {0,1,2…b-1} untuk setiap i=1,2,3…n dalam

basis 10 adalah 1 1... 1 0 1 ... 1 0 n n n n b n n a a _ a a a b a b_   a b a

Pernyataan ini sekaligus menjelaskan kepada kita bagaimana mengubah bilangan menjadi basis 10.

Contoh

Jika P, Q, R adalah angka-angka dari suatu bilangan dan

(100 10 P  Q R P)( )  Q  R 2008, Maka nilai Q adalah...(OSK 2008)

a. 3 d. 6 b. 4 e. 7 c. 5

Jawaban:

Perhatikan bahwa 100 10 P  Q  R PQR dan 2008 251 8  atau 2008 502 4  . Jika PQR251 maka



PQR P Q R



 



251 8 2008  (memenuhi), sedangkan jika

502

PQR maka



PQR P Q R



 



502 7 2008 (tidak memenuhi). Jadi nilai Q adalah 5. (C). Contoh Diketahui 121 angka 9 99 999 ... 999...9 N     

Tentukan nilai N. (OSN 2006) Jawaban:

Untuk setiap bilangan asli n kita punya

angka angka 0 999...9 1000...0 1

n n

h 3



 

 



121 angka 121 angka 0 121 angka 0 121 angka 1 119 angka 1 9 99 999 ... 999...9 10 1 100 1 1000 1 ... 1000...0 1 10 100 1000 ... 1000...0 121 111...1 0 121 111...1 0000 1110 1 N               _  _     _     _        119 angka 1 119 angka 1 21 111...1 0000 989 111...1 0989.    B. Keterbagian

Manakah di antara bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, 5, …, 100 yang habis dibagi 2? Dengan mudah tentu kita dapat menjawab bahwa yang habis dibagi 2 adalah bilangan-bilangan genap. Apa itu habis membagi? Apa itu habis dibagi? Ini akan dijelaskan pada sub bab ini.

Definisi B.1

Bilangan bulat a habis membagi b ditulis a|b jika dan hanya jika terdapat bilanganbulat k sehingga b=ka. Dalam hal a tidak habis membagi b dituliskan dengan .

Keterangan:

Selain a|b dibaca a habis membagi b, juga dapat dibaca a faktor dari b, atau b habis dibagia, atau bkelipatana.

Contoh

1. Kita dapat mengatakan 7|98 karena terdapat bilangan bulat yakni 14 sehingga 98=14 × 7.

2. Kita dapat mangatakan karena kita akan pernah dapat mencari bilangan bulat k sehingga 3 2 k.

h

4 Contoh

Tentukan semua bilangan asli n sehingga n

8

adalah bilangan bulat! Jawaban:

agar n

8

bulat maka n|8,sehingga n merupakan faktor dari 8, sehingga n yang mungkin adalah n=1,2,4,atau 8.

Dari definisi di atas kita dapat menurunkan sefat-sifat sebagai berikut Sifat B.1

Untuk setiap bilangan bulat a yang tidak nol selalu berlaku a|a dan a|0 Sifat B.2

Untuk setiap bilangan bulat a selalu berlaku 1|a Sifat B.3

Jika a|b maka ac|bc untuk setiap bilangan bulat c yang tidak nol. Sifat B.4

Jika a|b maka a  b . Sifat B.5

Jika a|b dan a|c maka a|(mb+nc) untuk setiap bilangan bulat m dan n.

Di sini, kita hanya akan membuktikan Sifat B.5. Sedangkan untuk sifat-sifat yang lainnya diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

Bukti Sifat B.5

Perhatikan bahwa a|b artinya terdapat bilangan bulat k sehingga b=ka, dan juga kita tahu a|c yang berarti terdapat bilangan bulat l sehingga c=la. Dari kedua fakta tersebut kita punya mb+nc=mka+nla=(mk+nl)a yang berarti a|(mb+nc) ■

Perhatikan bahwa pada sifat B.5, jika m dan n berturut-turut kita ganti dengan 1 dan -1 serta 1 dan 1 maka akan kita perleh Jika a|b dan a|c maka a|b-c dan a|b+c. Kita akan

h

5

sering menggunakan sifat-sifat di atas untuk menyelesaikan masalah. Sekarang marilah kita lihat beberapa contoh soalnya.

Contoh

Diketahui a, b, c, dan d adalah bilangan asli. Jika c habis dibagi a, dan d habis dibagi b, maka pernyataan berikut:

(i) cd habis dibagi ab (ii) c +d habis dibagi a+b (iii) cd habis dibagi a (iv) bc habis dibagi ab (v) dc habis dibagi ba yang selalu benar adalah ....

a. hanya (i) d. semuanya, kecuali (v) b. hanya (i), (iii), dan (iv) e. semuanya

c. semuanya, kecuali (ii) (OSP 2007)

Jawaban:

Dikatahui bahwa a|c dan b|d. Jelas bahwa ab|cd, a|cd, dan ab|bc, jadi (i), (iii), dan (iv) selalu benar. Sekarang pilih a=1, b=1, c=1, dan d=2, maka jelas bahwa a|c dan b|d. Akan tetapi, a+b=2 dan c+d=3 yang tentu saja , jadi (ii) tidak selalu benar.

Terakhir perhatikan bahwa a c , sehingga a| c

b b . Dengan demikian, karena b|d maka

|

c c

b d dan karena kita juga tahu bahwa a | c

b b maka a| c

b d yakni (v) selalu benar. Jadi semua pernyataan selalu benar kecuali (ii). (C).

Contoh

H adalah himpunan semua bilangan asli n demikian sehingga bentuk 1

3

n n

 

menghasilkan bilangan bulat kurang dari 1, maka banyaknya himpunan bagian tak kosong dari H adalah ... (OSK 2005)

h 6 Agar 1 3 n n 

 merupakan bilangan bulat haruslahn3|n1, di lain pihak kita juga punya

3| 3

n n . Dengan demikian n3 | (n 1)



n3



atau ekivalen dengann3 | 2. Dari sini kita simpulkann  3 1,1, 2 , atau 2, yang selanjutnya kita dapatkan solusi

2, 4,1

n , atau 5. Sekarang kita periksa mana yang hasilnya kurang dari 1.  n=2, maka 1 2 1 1 1 3 2 3 n n  _  _{  }   (memenuhi),  n=4, maka 1 4 1 3 1 3 4 3 n n        (tidak memenuhi),  n=1, maka 1 1 1 0 1 3 1 3 n n  _  _{ }   (memenuhi),  n=5, maka 1 5 1 2 1 3 5 3 n n  _  _{ }   (tidak memenuhi).

Jadi banyak anggota H adalah 2, sehingga banyaknya himpunan bagian tak kosong dari H adalah 2

2  1 3. (dikurangi dengan 1 karena himpunan tak kosong tidak masuk). .

TIPS:

Untuk menentukan n sehingga f n( ) | ( ( ) g n manipulasilah sampai menemukan bentuk f n m( ) | dengan m adalah suatu bilangan bulat. Sehingga dapat kita simpulkan f(n) adalah faktor-faktor dari m.

Dari sifat-sifat keterbagian di atas, kita dapat mentukan kriteria suatu bilangan yang habis dibagi 2, 3, 4, 5, 8, 9, dan 11.

Teorema B.1 (kriteria habis dibagi)

Diketahui ma an n1...a a2 1 adalah bilangan asli n digit.

1. m habis dibagi 2 jika dan hanya jika digit terakhirnya habis dibagi 2 atau dengan kata lain jika digit satuannya genap.

2. m habis dibagi 4 jika dan hanya jika dua digit terakhirnya habis dibagi 4. 3. m habis dibagi 8 jika dan hanya jika tiga digit terakhirnya habis dibagi 8.

h

7

4. m habis dibagi 5 jika dan hanya jika digit terakhirnya habis dibagi 5 atau dengan kata lain jika digit satuannya 0 atau 5.

5. m habis dibagi 3 jika dan hanya jumlah semua digit-digitnya habis dibagi 3. 6. m habis dibagi 9 jika dan hanya jumlah semua digit-digitnya habis dibagi 9. 7. m habis dibagi 11 jika dan hanya jumlah selang-seling digit-digitnya habis dibagi

11 yakni a₁  a₂ a₃ ...a_n habis dibagi 11. Bukti: 1. 2 |a an n1...a a2 12 |a an n1... 0a2  a1 2 |a1. 2. 4 |a an n1...a a2 14 |a an n1... 00a3 a a2 14 |a a2 1. 3. 8 |a an n1...a a2 18 |a an n1... 000a4 a a a3 2 18 |a a a3 2 1. 4. 5 |a an n1...a a2 1 5 |a an n1... 0a2  a1 5 |a1a10 atau 5. 5. _{1 2 1}



_{1 2 1}



_{2 2} 1 kali 2 kali ... ... 99...9 99...9 ... 9 n n n n n n n n a a  a a a a  a a a a  a            sehingga





1 2 1 1 2 1

3 |a an n...a a  anan  ... a a . Dari sini dapat kita simpulkan bahwa



1 2 1



3 |m3 | a_na_n  ... a a 6. 1 2 1



1 2 1



2 2 1 kali 2 kali ... ... 99...9 99...9 ... 9 n n n n n n n n a a _ a a a a _ a a a a _ a            sehingga





1 2 1 1 2 1

9 |a an n...a a  anan  ... a a . Dari sini dapat kita simpulkan bahwa



1 2 1



9 |m9 | anan  ... a a

7. a an n1...a a2 1



a1a2 a3 ...an



11a299a31001a49999a5...an yang akan ekivalen dengan

8. a an n1...a a2 1



a1a2 a3 ...an



11a299a31001a49999a5...an sehingga





1 2 1 1 2 3

11|a an n...a a  a a  a ...an . Dari sini dapat kita simpulkan bahwa



1 2 3



11|m11| a   a a ...an .