BAB III APLIKASI METODE RESPON SPEKTRUM
3.2 Penyelesaian Perhitungan Pemodelan Struktur
Pada pemodelan struktur 4 lantai ini akan menggunakan prinsip bangunan geser (shear building) dan massa tergumpal (lumped mass) pada tiap lantai. Dengan anggapan seperti ini, maka massa akan terkumpul pada satu titik dan hanya mempunyai 1 derajat kebebasan serta akan menghasilkan 4 mode shapes. Untuk mendapatkan nilai-nilai koordinat mode shapes, frekuensi sudut (ω) dan periode getar struktur (T) digunakan persamaan getaran bebas tanpa redaman (Undamped
Free Vibration System) dan dianalisis dengan menggunakan metode stodola atau matriks iterasi.
Gambar 3.2 Pemodelan Lumped Mass struktur 4 lantai
Dalam memulai menganalisis pemodelan struktur tersebut, hal pertama yang perlu dilakukan adalah menggambarkan free body diagram dari pemodelan struktur 4 lantai tersebut berdasarkan prinsip getaran bebas tanpa redaman.
Gambar 3.3 Free body diagram dari struktur 4 lantai M4 M3 M2 K M1 K4 K2 K1 M1.ӱ K 2(y2- K1.y1 M2.ӱ K 4(y4 – K3(y3 – M3.ӱ M4.ӱ
Berdasarkan gambar free body diagram pada gambar 3.3, dapat disusun persamaan diferensial simultan gerakan massa yaitu,
(3.1) Persamaan 3.1) di atas dapat ditulis juga menjadi,
(3.2)
Persamaan 3.2) selanjutnya dapat ditulis ke dalam bentuk matriks sebagai berikut,
(3.3)
Dari persamaan 3.3) maka dapat ditulis matriks massa dan matriks kekakuannya adalah sebagai berikut,
(3.4)
(3.5)
Dengan menggunakan persamaan 3.4), maka matriks massa dari persoalan diatas adalah,
Sedangkan untuk matriks kekakuannya adalah, - Kolom tepi berukuran 30 x 40 cm
- Kolom tepi berukuran 30 x 50 cm
- Kolom tepi berukuran 30 x 60 cm
- Kekakuan kolom lantai 1 (K1) adalah
- Kekakuan kolom lantai 2 (K2) adalah
- Kekakuan kolom lantai 4 (K4) adalah
Maka matriks kekakuannya dapat ditulis sebagai berikut,
Nilai K = 442.969 kN/cm merupakan nilai yang ditarik keluar dan ditinggalkan untuk sementara waktu dari matriks kekakuan kolom agar angka dalam matriks kekakuan lebih sederhana dan nantinya nilai tersebut akan digunakan dalam perhitungan frekuensi sudut.
a) Mode ke-1
Nilai invers dari matriks kekakuan diatas adalah,
Maka matriks dinamik fleksibilitas ( Dynamic Flexibility Matrix) stuktur tersebut adalah,
Apabila koefisien 1/442.969 ditinggalkan untuk sementara agar angka perhitungan menjadi lebih sederhana maka,
Dengan cara coba-coba, diambil modal vektor untuk mode ke-1 misalnya,
Dengan demikian maka ,
Maka,
Dengan nilai = 1.069. Terlihat bahwa nilai belum sama dengan , maka iterasi dilanjutkan berikutnya iterasi ke-2,
Maka,
Dengan nilai = 1.149 dan masih belum sama dengan . Maka proses iterasi diteruskan pada iterasi ke-3,
Maka,
Dengan nilai = 1.156 dan masih belum sama dengan . Maka proses iterasi diteruskan dan pada iterasi ke-4 diperoleh,
Maka,
Pada iterasi ke-4 , nilai = 1.157 hampir sama dengan nilai = 1.156, dan nilai sudah sama dengan maka proses iterasi sudah dapat dihentikan. Nilai K =
442.969 kN/cm yang ditinggalkan sementara pada perhitungan sebelumnya digunakan dalam menghitung frekuensi sudut. Maka nilai frekuensi sudut yang dihasilkan adalah,
rad/s
b) Mode ke-2
Pada mode ke-2, maka perlu dihitung nilai sweeping matrix [S1] yaitu dengan persamaan,
Maka,
Setelah [S1] didapatkan maka matriks dinamik fleksibilitas yang baru adalah,
Dengan cara coba-coba, diambil modal vektor untuk mode ke-2 misalnya,
Maka,
Dengan nilai = 0.164. Terlihat bahwa nilai belum sama dengan , maka iterasi dilanjutkan berikutnya iterasi ke-2,
Maka,
Dengan nilai = 0.167 dan masih belum sama dengan . Maka proses iterasi diteruskan pada iterasi ke-3,
Maka,
Dengan nilai = 0.169 dan masih belum sama dengan . Maka proses iterasi diteruskan dan pada iterasi ke-4 diperoleh,
Maka,
Pada iterasi ke-4 , nilai = 0.169 sama dengan nilai = 0.169, dan nilai mendekati nilai maka proses iterasi sudah dapat dihentikan. Maka nilai frekuensi sudut yang dihasilkan adalah,
rad/s
c) Mode ke-3
Maka,
Setelah [S2] didapatkan maka matriks dinamik fleksibilitas yang baru adalah,
Dengan cara coba-coba, diambil modal vektor untuk mode ke-3 misalnya,
Maka,
Dengan nilai = 0.068. Terlihat bahwa nilai belum sama dengan , maka iterasi dilanjutkan berikutnya iterasi ke-2,
Maka,
Dengan nilai = 0.072 dan masih belum sama dengan . Maka proses iterasi diteruskan pada iterasi ke-3,
Pada iterasi ke-3 , nilai = 0.072 sama dengan nilai = 0.072, dan nilai mendekati nilai maka proses iterasi sudah dapat dihentikan. Maka nilai frekuensi sudut yang dihasilkan adalah,
rad/s
d) Mode ke-4
Pada mode ke-4, nilai sweeping matrix [S3] dihitungan dengan persamaan,
Setelah [S3] didapatkan maka matriks dinamik fleksibilitas yang baru adalah,
Dengan cara coba-coba, diambil modal vektor untuk mode ke-4 misalnya,
Dengan demikian maka ,
Dengan nilai = 0.002. Terlihat bahwa nilai belum sama dengan , maka iterasi dilanjutkan berikutnya iterasi ke-2,
Maka,
Dengan nilai = 0.053 dan masih belum sama dengan . Maka proses iterasi diteruskan pada iterasi ke-3,
Maka,
Pada iterasi ke-3 , nilai = 0.053 sama dengan nilai = 0.053, dan nilai sama dengan nilai maka proses iterasi sudah dapat dihentikan. Maka nilai frekuensi sudut yang dihasilkan adalah,
rad/s
Agar proses hitungan menjadi lebih sistematis, maka hasil dari nilai-nilai yang didapatkan dalam perhitungan diatas akan ditabelkan sebagai berikut,
Tabel 3.1 Nilai-nilai ω, dan Ø pada tiap-tiap mode NO Frekuensi Sudut (ω) Mode-1 (Ø1) Mode-2 (Ø2) Mode-3 (Ø3) Mode-4 (Ø4) 1 ω1 = 19.569 rad/s Ø11 = 1 Ø12 = 1 Ø13 = 1 Ø14 = 1 2 ω2 = 51.136 rad/s Ø21 = 1.860 Ø22 = 1.044 Ø23 = -0.238 Ø24 = -1.040 3 ω3 = 78.277 rad/s Ø31 = 2.748 Ø32 = -0.364 Ø33 = -1.280 Ø34 = 0.609 4 ω4 = 91.126 rad/s Ø41 = 3.066 Ø42 = -1.263 Ø43 = 1.930 Ø44 = -0.483
Untuk menggambarkan nilai Ø tiap mode, maka untuk lantai teratas dianggap nilai Ø4 = 1, maka nilai-nilai Ø yang digunakan dalam penggambaran tiap koordinat mode adalah,
Ø41 = 1 Ø42 = 1 Ø43 = 1 Ø44 = 1
Ø31 = 0.896 Ø32 = 0.291 Ø33 = -0.663 Ø34 = -1.262
Ø21 = 0.607 Ø22 = -0.827 Ø23 = -0.123 Ø24 = 2.155
Gambar 3.4 Mode shapes struktur 4 lantai
Setelah nilai ordinat tiap-tiap mode didapat, maka perhitungan dapat dilanjutkan ke tahapan berikutnya yaitu analisis pembebanan gempa dengan metode respon spektrum. Namun sebelumnya terlebih dahulu dicari nilai-nilai periode getar struktur (T) dari masing-masing mode dengan menggunakan rumus T = .
ω1 = 19.569 rad/s , T1 = 0,321 s ω2 = 51.136 rad/s , T2 = 0,123 s ω = 78.277 rad/s , T = 0,080 s Ø11 Ø21 Ø31 Ø41 Ø32 Ø42 Ø22 Ø12 Ø43 Ø33 Ø23 Ø13 Ø44 Ø34 Ø24 Ø14 Mode -1 ω1 = 19.569 rad/s Mode -2 ω2 = 51.136 rad/s Mode -3 ω3 = 78.277 rad/s Mode -4 ω4 = 91.126 rad/s
ω4 = 91.126 rad/s , T4 = 0,069 s
Setelah nilai-nilai periode getar (T) masing-masing mode didapat, maka nilai koefisien gempa dasar (C) bisa didapatkan berdasarkan kurva spectrum gempa wilayah 3, dengan kondisi tanah lunak.
Gambar 3.5 Kurva Spektrum Wilayah Gempa 3 (SNI 03-1726-2002)
Berdasarkan kurva spektrum tanah lunak wilayah gempa 3, maka nilai koefisien gempa dasar (C) berdasarkan tiap-tiap mode adalah,
T1 = 0,321 s C1 = 0.75
T2 = 0,123 s C2 = 0.58
T4 = 0,069 s C4 = 0.46
1. Partisipasi Mode
a) Mode -1
Partisipasi mode -1, Γ1 adalah,
b) Mode -2
c) Mode -3
Partisipasi mode -3, Γ3 adalah,
Partisipasi mode -4, Γ4 adalah,
Sebagai control, partisipasi semua mode harus sama dengan 1 maka,
2. Gaya Horisontal Mode atau Modal Seimic Force (Fij)
Gaya horisontal mode yang bekerja pada setiap massa akibat kontribusi setiap mode dapat dihitung dengan menggunakan persamaan,
a) Mode – 1,
b) Mode – 2,
c) Mode – 3,
Dengan memakai prinsip SRSS, maka gaya horisontal tingkat (storey seismic force) adalah,
Gambar 3.6 Gaya Horisontal Mode dan Gaya Horisontal Tingkat