METODE PENELITIAN
C. Penyelesaian PS untuk Potensial Non-Sentral Hasil Kombinasi Potensial Eckart Plus Pöschl–Teller I dengan Metode NU
) ) (4.25)
Dengan √ ( ) dan (4.26)
diperoleh
( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ) (4.27)
C. Penyelesaian PS untuk Potensial Non-Sentral Hasil Kombinasi Potensial Eckart Plus Pöschl–Teller I dengan Metode NU.
Potensial Non-Sentral yang dibentuk oleh potensial Eckart dan Poschl-Teller diberikan oleh:
( ) (
( )
) ( ( ) ( ) ) (4.28) dengan V0 dan V1 mendiskrisikan kedalaman sumur potensial dan bernilai positif,
V1>V0, a merupakan parameter positif yang mengontrol lebar potensial, , .
PS tiga dimensi bergantung waktu untuk potensial Eckart dikombinasikan dengan Poschl-Teller I adalah
{
( ) ( ) ) ( ) { (
( )
) ( ( ) ( ) )} ( )
( ) (4.29)
commit to user
PS tiga dimensi yang ditunjukkan pada persamaan (4.29) dpat diselesaikan dnegan pemisahan variabel, ( ) ( ) ( ) ( ) sehingga kita peroleh
(
) (
( )
)
(
)
( ( ) ( ) ) (4.30)
dimana ( ). Dari persamaan (4.30) kita dapatkan persamaan bagian radial, polar dan azimuth dari PS yaitu:
Persamaan radial:
( ) (
( )
) ( ) (4.31a) Persamaan polar:
( ) ( ( ) ( ) ) ( ) (4.31b) Persamaan Azimuth
(4.31c)
1. Solusi Persamaan Azimuth
Dari persamaan (4,31c) kita dapatkan persamaan gelombang bagian azimuth:
(4.32)
commit to user
Persamaan (4.33) dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatan faktor sentrifugal (Y. Xu, S. He and C. S. Jia:2010) jika <<<1 maka
(
( )
) (4.34)
dengan . dengan memasukkan persamaan (4.34) ke persamaan (4.33) kita dapatkan
commit to user Dengan mengkomparasikan persamaan (4.36) dengan persamaan (2.37) kita peroleh pernyataan kuadrat dibawah akar merupakan kuadrat sempurna dari polynomial derajat satu, persamaam (4.39) dapat ditulis sebagai
√( ( ) ) ( ( ( ) ( ( ) )
( ( ) ) )
commit to user
(4.40) dan
( ) ( ( ) ) ( ( )
) [ ( ( ) )] (4.41)
sehingga diskriminan dibawah akar harus nol. Nilai k k berdasarkan persamaan (4.41) adalah
{ } √ (4.42a)
{ } √ (4.42b)
dimana
( ) dan ( ) (4.43)
Dengan memasukkan persamaan (4.42a) dan (4.42b) kedalam persamaan (4.40) dan dengan kita peroleh
(√ √ ) √ untuk { } √
(4.44a)
dan (√ √ ) √ untuk { } √ (4.44b)
commit to user
dengan memasukkan persamaan (4.37), (4.44a) dan (4.44b) pada persamaan (2.45) diperoleh
( (√ √ )) √ untuk (4.45a)
and ( (√ √ )) √ untuk (4.45b)
Untuk mendapatkan nilai eigen baru dari persamaan deferesial tipe hipergeometrik pada persamaan (2.40) dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan (2.43), (2.44), (4.42a), (4.42b), (4.44a) dan (4.44b).
{ } √ (√ √ ) untuk k1 (4.46a)
{ } √ (√ √ ) untuk k2 (4.46b)
dan
( ) ( (√ √ )) ( )
(√ √ ) (4.47a)
( ) ( (√ √ )) ( )
(√ √ ) (4.47b)
Dengan menghitung persamaan (4.46a) dengan (4.47a) atau persamaan (4.46b) dengan (4.47b) kita mendapatkan hasil yang sama, yaitu
( ) {(√ )
(√ ) } (4.48)
commit to user
Dan sepektrum energi dari potensial Eckart dikombinasikan dengan Poschl-Teller I non-sentral yang diperoleh dari persamaan (4.48) adalah
{(√ ( ) )
(√ ( ) )
( ) } (4.49)
Prosesnya:
( ) ( (√ √ )) ( ) (√ √ )
{ } √ (√ √ ) (√ √ )
√ √ √ (√ ) (√ ) { } ( √ )√ (√ )
√ (√ )
(√ ) ( ) {(√ )
(√ ) }
(√ )
(√ )
( )
{(√ )
(√ )
( ) }
Dengan menggunakan persamaan (2.41) dan nilai pada persamaan (4.44a) dan (4.44b) dan pada persamaan (4.37) fungsi gelombang bagian pertama adalah
( )√ ( ) √ (4.50a)
commit to user dan
( )√ ( )√ (4.50b)
Fungsi bobot bagian radial diperoleh dari persamaan (2.47), (4.37), (4.45a) dan (4.45b) adalah
( ) √ √ (4.51a)
dan ( ) √ √ (4.51b)
Bagian kedua persamaan gelombangnya adalah ( )
( ) √ √ (( ) √ √ ) (4.52a) atau
( )
( ) √ √ (( ) √ √ ) (4.52b)
Persamaan gelombang radial diperoleh dengan memasukkan persamaan (4.50a), (4.51a) dan (4.52a) atau menggunakan persamaan (4.50b), (4.51b) dan (4.52b) adalah
( ) ( ) ( ) √ ( )√ (( ) √ ( ) √ )
(4.53a) atau
( ) ( ) ( ) √ ( ) √ (( ) √ ( ) √ )
(4.53b) dengan ( ) dan ( ) (√ )
(√ ) dimana ( )
commit to user
Agar memiliki arti fisisi kita memilih persamaan gelombangnya adalah ( ) ( ) ( ) √ ( )√ (( ) √ ( ) √ )
(4.53c) Dan pemilihan harga k, dan adalah k1,
Persamaan gelombang yang ditunjukkan pada persamaan (4.50a) adalah persamaan tipe hypergelometrik dengan persamaan fungsi bobot pada persamaan (4.51b).
Pengecekan kondisi awal: Jika √ , √ dan n=0, maka persamaan ( ) ( ) , hasilnya sama dengan menggunakan hipergeometri. Dengan menggunakan persamaan 4.53c dapat diperoleh grafik visualisasi dengan nilai l yang berbeda. Persamaan gelombang radialnya dapat dilihat pada tabel 4.2b
Tabel 4.1b Persamaan Gelombang Radial Potensial Eckart Plus Poschl-Teller I
No. Rnl Persamaan Gelombang
Berdasarkan tabel 4.2b dapat divisualisasikan untuk persamaan gelombang polar dengan menggunakan software matematica 8.0. Visualisasi bentuk gelombang radial dapat dilihat pada gambar 4.3 c.
commit to user
3.25 3.30 3.35 3.40 3.45 3.50
2 1019 4 1019 6 1019 8 1019
R4 3.73
R4 3
R1 0
Gambar 4.3 c. Persamaan Radial Potensial Eckart Plus Poschl-Teller R1 0, R4 3, R4 3.73
Pada gambar 4.3 c terlihat bahwa fungsi radial terganggu, amplitude gelombang fungsi radial naik. Hasil ini sesuai dengan sesuai dengan kesimpulan gambar 4.1.2 b. dimana potensial Eckart pada fungsi radial sudah mempengaruhi fungsi potensialnnya pada Pada a=10. Hasil ini berkebalikan dengan kesimpulan pada potensial Coloumb plus potensial Posch-Teller I. perlu diingat bahwa bentuk potensial eckart dan potensial Coloumb berkebalikan, sehingga persamaan gelombang yang dihasilkan pun berkebalikan.
3. Solusi Persamaan Polar
PS bagian polar untuk potensial Eckart dikombinasikan dengan potensial Poschl-Teller I non-sentral adalah
( ) ( ( ) ( ) ) ( ) (4.52) Bentuk persamaan ini sama dengan persamaan (4.13) sehingga menghasilkan hasil yang sama pula. Persamaan bagian polar untuk potensial Eckart
r z
commit to user
dikombinasikan dengan potensial Poschl-Teller I non-sentral sama dengan potensial Coloumb dikombinasikan dengan potensial Poschl-Teller I non-sentral.
Solusinya:
( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ) (4.27)
Fungsi gelombang pada persamaan (4.27) dapat divisulisasikan pada tabel 4.2. Visualiasasi fungsi gelombang polar 2D dan 3D menggunakan bantuan software Matematica 8.0. Penurunan fungsi gelombang juga dilakukan dengan menggunakan software matematica. Untuk mengecek hasil perhitungan komputer, penurunan secara manual juga dilakukan. Setelah proses penurunan selesai, grafik divisualisasikan dalam bentuk 2 dimensi (2D) koordinat polar maupun 3 Dimensi 3D pada kordinat bola.
Cara memperoleh fungsi gelombang secara manual pada tabel 4.2 kami paparkan sebagai berikut:
( ) ( ) (( ) ( ) ) ( ) { ( ) ( )( ) }
( ) ( )
( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ) ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) }
( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) ( )}
( ) ( ) ( ( ))
commit to user
( ) ( ) (( )( ) ) ( ) { ( ) ( )( ) }
( ) ( ) ( ) { ( ) ( )}
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) (( ) ( ) )
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))
( ) ( ) ( ) ( ( ))
( ) ( ) ( ) ( ( )) Pembuktian kondisi awal:
Dari persmaan tingkat enrgi potensial Eckart kita dapat enghitung energi pada kasus khusus untuk Eckart potensial kita memilih:
, sehingga spectrum enegri untuk potensial Eckart adalah
{
[√ () ]
[√ () ]
( ) } (g)
sehingga or
m adalaah bilangan kuntum magnetik,
bilangan bulat positif , so selalu bilangan positif.
commit to user Kasus Khusus
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Sehingga
( ) ( ) (( ) ( ) )
( ) ( ) ( ) (( ) ( ) )
( ) ( )
; sehingga kita perileh ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) (( ) ( ) ) Untuk
( )
( ) (( ) ( ) )
commit to user
( )
( ( ) ( )( ) ) ( )
( )
( ( ) ( ))
( ( )
Sehingga
( ( ))
untuk
( ) ( ) (( ) ( ) )
( )
( ) ( ( ) ) ( )
( ) ( ( )) ( ) ( )
untuk maka
( ) ( )
(( ) ( ) )
( ) (ok) ( )
untuk
Persamaan dan visualisasi fungsi gelombang dapat dilihat pada tabel 4.2 (z merupakan koordinat simetri yang berperan sebagai amlitudo gelombang, merupakan koordinat polar dan Azimuth.
commit to user
commit to user
Berdasarkan pada Tabel 4.2 Terlihat bahwa potensial Pöschl–Teller I Non-Sentral dapat merubah fungsi gelombang. Perubahan fungsi gelombang ini disebabkan karena adalanya perubahan fungsi l. fungsi gelombang pada tabel 4.2 kita perbesar ukurannya untuk mempermudah pengkajian seperti ditunjukan pada gambar 4.5, 4.6 dan 4.7.
commit to user
2112 1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5 2112 2112
z
z
Gambar 4.6. Fungsi gelombang 2D dan 3D
z
z
Gambar 4.7 Fungsi gelombang 2D dan 3D
Pada gambar 4.5, 4.6 dan 4.7 tampak bahwa gangguan parameter dan mempengaruhi fungsi gelombang. Parameter memecah fungsi sudut dengan
commit to user
fungsi sudut kecil, parameter memecah fungsi sudut dengan fungsi sudut besar. Lebih jelasnya perhatikan gambar 4.7a, 4.7 b dan 4.7c (nilai )
z
Gambar 4.7a Fungsi gelombang 2D
z
Gambar 4.7b Fungsi gelombang 2D
commit to user z
Gambar 4.7c Fungsi gelombang 2D
Dari gambar 4.7a, 4.7 b dan 4.7 c terlihat bahwa terjadi perubahan panjang gelombang. Panjang gelombang sebelum terganggu (4.7a) sebersar berubah menjadi 2.5 (4.7b) dan (4.7c) dengan nilai z yang mengalami perubahan. Nilai z yang tidak konstan menunjukkan bahwa vibrasi yang terjadi berubah-ubah, tetapi tetap periodik. Gangguan parameter dan dapat menaikkan fungsi gelombang.
z dalam hal ini amplitude gelombang juga mengalami kenaikan seiring dengan perbesaran parameter. Jika parameter dan tidak nol, parameter menghasilkan nilai z lebih besar pada periode tertentu dibandingkan dengan parameter , sehingga kenaikkan tingkat energi (momentum) juga lebih besar, tetapi, kerapatan parameter lebih besar daripada parameter .
Hasil ini sangat bersesuaian dengan prinsip ketidakpastian Heisenberg.
Prinsip ketidakpastian Heisenberg menyatakan bahwa: equivalen dengan . Jika > , maka atau naik, atau menurun, jika
commit to user
< , maka maka atau turun, atau naik. Parameter juga berdampak pada perubahan orbit. yang berada pada orbital d, setelah diganggu menjadi
berpindah ke orbital f.
D. Analisis Energi pada Potensial Non-Sentral Kombinasi Coloumb Plus