commit to user
i
SOLUSI PERSAMAAN SCHRODINGER UNTUK POTENSIAL NON SENTRAL KOMBINASI POTENSIAL COULOMB, ECKART PLUS
POTENSIAL PÖSCHL-TELLER I MENGGUNAKAN METODE NIKIFOROV-UVAROV
TESIS
Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan untuk Mencapai Derajat Magister
Program Studi Ilmu Fisika
Oleh
JEFFRY HANDHIKA S911008005
PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA 2012
commit to user
ii
SOLUSI PERSAMAAN SCHRODINGER UNTUK POTENSIAL NON SENTRAL KOMBINASI POTENSIAL COULOMB, ECKART PLUS
POTENSIAL PÖSCHL-TELLER I MENGGUNAKAN METODE NIKIFOROV-UVAROV
TESIS Oleh:
JEFFRY HANDHIKA S911008005 Komisi
Pembimbing
Nama Tanda Tangan Tanggal
Pembimbing I Dra. Suparmi, MA. Ph.D NIP. 19520915 197603 2 003
... ...
Pembimbing II
Drs. Cari, MA. Ph. D
NIP. 19610306 198503 1 002
... ...
Telah dinyatakan memenuhi syarat Pada tanggal...2012
Ketua Program Studi Ilmu Fisika Program Pasca Sarjana UNS
Drs. Cari, MA. M.Sc. Ph.D NIP. 19610306 198503 1 002
commit to user
iii
SOLUSI PERSAMAAN SCHRODINGER UNTUK POTENSIAL NON SENTRAL KOMBINASI POTENSIAL COULOMB, ECKART PLUS
POTENSIAL PÖSCHL-TELLER I MENGGUNAKAN METODE NIKIFOROV-UVAROV
TESIS Oleh:
JEFFRY HANDHIKA S911008005 Tim Penguji
Jabatan : Nama Tanda tangan Tanggal
Ketua Drs. Cari, MA. M.Sc. Ph.D NIP. 19610306 198503 1 002
... ...
Sekertaris
Anggota Penguji I Dra. Suparmi, MA. Ph.D NIP. 19520915 197603 2 003
... ...
II Drs. Cari, MA. M.Sc. Ph.D NIP. 19610306 198503 1 002
... ...
Telah dipertahankan didepan penguji Dinyatakan telah memenuhi syarat Pada tanggal...2012
Direktur Program Pascasarjana
Prof. Dr. Ir. Ahmad Yunus, M.S.
NIP. 19610717 198601 1 001
Ketua Program Studi Ilmu Fisika
Drs. Cari, MA. M.Sc. Ph.D NIP. 19610306 198503 1 002
commit to user
iv
PERNYATAAN ORISINILITAS DAN PUBLIKASI TESIS
Saya menyatakan dengan benar-benar bahwa
1. Tesis yang berjudul “Solusi Persamaan Schrodinger Untuk Potensial Non Sentral Kombinasi Potensial Coulomb, Eckart Plus Potensial Pöschl-Teller I Menggunakan Metode Nikiforov-Uvarov“ ini adalah karya penelitian saya sendiri dan tidak terdapat karya ilmiyah yang pernah diajukan oleh orang lain untuk memperoleh gelar akademik serta tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain kecuali secara tertulis dikutip dalam naskah ini dan disebutkan dalam sumber kutipan serta daftar pustaka.
Apabila ternyata di dalam naskah Tesis ini dapat dibuktikan terdapat unsur-unsur jiplakan, maka saya bersedia Tesis beserta gelar MAGISTER saya dibatalkan serta diperoses sesuai dengan peraturan perundang-undangan yang berlaku (UU No. 20 Tahun 2003, pasal 25 ayat 2 dan pasal 70).
2. Publikasi sebagian atau keseluruhan isi Tesis pada jurnal atau forum ilmiah lain harus seijin dan menyatakan tim pembimbing sebagai author dan PPs UNS sebagai institusinya. Apabila dalam waktu sekurang-kurangnya satu semester (6 bulan sejak pengesahan Tesis) saya tidak melakukan publikasi dari sebagian atau keseluruhan Tesis ini, maka Prodi Ilmu Fisika PPs UNS berhak mempublikasikannya pada jurnal ilmiah yang diterbitkan oleh Prodi Ilmu Fisika PPs UNS. Apabila saya melakukan pelanggaran ketentuan dari publikasi ini, maka saya bersedia mendapatkan sanksi akademik yang berlaku.
Surakarta, ...2012
Jeffry Handhika S911008005
.
commit to user
v
MOTTO
YAKIN USAHA SAMPAI
PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan kepada:
Almarhum Bapak dan Ibuk Tercinta.
commit to user
vi ABSTRAK
Jeffry Handhika. S911008005. “Solusi Persamaan Schrodinger Untuk Potensial Non Sentral Hasil Kombinasi Potensial Coulomb, Eckart Plus Potensial Pöschl- Teller I Menggunakan Metode Nikiforov-Uvarov“ Tesis: Program Pascasarjana Ilmu Fisika Universitas Sebelas Maret Surakarta. Pembimbing (1). Dra. Suparmi, MA. Ph.D, (2) Drs. Cari, MA. M.Sc. Ph.D
Tujuan Penelitian ini adalah (1) menentukan tingkat energi dan fungsi gelombang dari sistem potensial Non sentral hasil kombinasi Coloumb plus Pochl- Teller I dan potensial Eckart Plus Pochl-Teller I (2) Visualisasi fungsi gelombang dan tingkat energi potensial non sentral hasil kombinasi hasil kombinasi Coloumb plus Pochl-Teller I dan potensial Eckart Plus Pochl-Teller I. Potensial non sentral merupakan model potensial yang digunakan untuk menerangkan fenomena gaya inter moleculer dan vibrasi molekul.
Penelitian ini merupakan studi literatur yang dilakukan di pascasarjana UNS mulai bulan September 2011-Juni 2012. Metode yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan Schroodinger adalah metode Nikivorof-Uvarof (NU).
Prinsip dasar metode NU adalah mengubah bentuk persamaan Schroodinger ke dalam bentuk persamaan hipergeometri khusus. Bentuk persamaan hipergeometri khusus tersebut kemudian diselesaikan dengan metode NU.
Hasil penelitian ini adalah (1) Spektrum Energi, fungsi gelombang diperoleh secara eksak. Fungsi gelombang bagian radial dan polar dinyatakan dalam bentuk polinomial Jacobi. Persamaan gelombang dan tingkat energi yang diperoleh dengan metode NU memberikan hasil yang sama dengan metode Hipergeometri. (2) Fungsi gelombang divisualisasikan menggunakan Software Matematica 8.0. Potensial non sentral hasil kombinasi potensial Coulomb plus Potensial Pöschl-Teller I menyebabkan amplitodo gelombang polar membesar dan energi ikat elektron mengecil. Potensial non sentral hasil kombinasi Eckart plus Potensial Pöschl-Teller I menyebabkan amplitude fungsi gelombang polar membesar dan energi ikat partikel mengecil.
Kata kunci : Metode Nikiforov-Uvarov, Potensial Coloumb, Potensial Eckart, Potensial Pöschl-Teller I non sentral.
commit to user
vii ABSTRAK
Jeffry Handhika. S911008005. "Solution of Schrodinger Equation For Non- Central Potential combination of Coulomb, Eckart Plus Pöschl-Teller I Using the Nikiforov-Uvarov Method" Thesis: Physical Science Graduate Program of University Sebelas Maret Surakarta. Advisor (1). Dra. Suparmi, MA. Ph.D, (2) Drs.
Find, MA. M.Sc. Ph.D
The purpose of this research were to determine (1) the energy levels and wave functions for the system of non-central potential plus the combination Coloumb Pochl-Teller I and Eckart potential Pochl Plus-Teller I (2) Visualization of the wave functions and energy levels of non-central potential combination of the results of the combination Coloumb plus Pochl-Teller I and Eckart potential Pochl Plus-Teller I.
Non-central potential is a potential model used to explain the phenomenon of inter moleculer and molecular vibrations.
This research was literature study at pascasarjana UNS conducted from September 2011-June 2012. The method used to solving Schroodinger equations was the Nikivorof -Uvarof (NU) Method. The basic principle NU method was basebd on change of the Schroodinger equation form of type function hypergeometric. Special form of the hipergeometric equation solved by the NU method.
The results of this reaserch were (1) Energy spectra and wave functions obtained were exact. Wave function of the radial and polar expressed in terms of Jacobi polynomials. Wave equation and the energy levels obtained by the NU method gave the same results with the hypergeometric method. (2) wave function was visualized using Matematica 8.0. Potential Non-central fromed by combination of Colombic and Pöschl-Teller I causes polar wave amplitode enlarged and electron binding energy decreases. Non-central potential fromed by combination of Eckart and Pöschl-Teller I potential causes polar amplitude wave functions enlarged and binding energy of the particles decreases.
Key words: Shroodinger Equation, Nikiforov-Uvarov method, Coloumb Potential, Potential Eckart, Pöschl-Teller I potential non-central
commit to user
viii
KATA PENGANTAR
Alhamdulillaahirobbil’alamiin, syukur kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayahnya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan laporan penelitian dengan judul ”Solusi Persamaan Schrodinger Untuk Potensial Non Sentral Kombinasi Potensial Coulomb, Eckart Plus Potensial Pöschl-Teller I Menggunakan Metode Nikiforov-Uvarov”.
Penulis menyadari bahwa dalam menyelesaikan penulisan laporan penelitian ini penulis mengalami berbagai kendala yang tidak mudah dipecahkan karena keterbatasan dan kemampuan penulis. Dan penulis menyadari bahwa dalam penelitian dan penyusunan karya ini tidak bisa lepas dari bantuan berbagai pihak.
Dengan rasa tulus ikhlas penulis mengucapkan terima kasih serta penghargaan yang setinggi-tingginya kepada:
1. Prof. Dr. Ir. Ahmad Yunus, M.S, selaku Direktur Pascasarjana Universitas Sebelas Maret yang telah berkenan memberikan bantuan berupa segala sarana dan fasilitas dalam menempuh pendidikan pascasarjana
2. Drs. Cari, M.A, M.Sc, Ph.D selaku Ketua Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjan Universitas Sebelas Maret.
3. Ibu Dra. Suparmi, M.A, Ph.D selaku pembimbing I yang telah memberikan motivasi, bimbingan, arahan, ide dalam penyusunan laporan penelitian ini 4. Teman-teman S2 Ilmu Fisika, Bidang Teori dan Komputasi.
Dalam penyusunan Thesis ini, penulis menyadari bahwa masih terdapat banyak kekurangan baik dalam isi maupun cara penyajian materi. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran guna perbaikan di masa datang. Semoga laporan penelitian ini dapat memberi manfaat bagi penulis khususnya dan pembaca pada umumnya.
Surakarta, Agustus 2012
Penulis
commit to user ABSTRAK
Jeffry Handhika. S911008005. “SolusiPersamaan Schrodinger UntukPotensial Non SentralHasilKombinasiPotensial Coulomb, Eckart Plus PotensialPöschl- Teller I MenggunakanMetodeNikiforov-Uvarov“ Tesis: Program PascasarjanaIlmuFisikaUniversitasSebelasMaret Surakarta. Pembimbing (1).Dra.Suparmi, MA. Ph.D, (2) Drs. Cari, MA. M.Sc. Ph.D
TujuanPenelitianiniadalah (1)
menentukantingkatenergidanfungsigelombangdarisistempotensial Non sentralhasilkombinasiColoumb plus Pochl-Teller I danpotensialEckart Plus Pochl- Teller I (2) Visualisasifungsigelombangdantingkatenergipotensial non sentralhasilkombinasihasilkombinasiColoumb plus Pochl-Teller I danpotensialEckart Plus Pochl-Teller I. Potensial non sentralmerupakan model potensial yang digunakanuntukmenerangkanfenomenagayainter moleculerdanvibrasimolekul.
Penelitianinimerupakanstudiliteratur yang dilakukan di pascasarjana UNS
mulaibulan September2011-Juni 2012.Metode yang
digunakandalammenyelesaikanpersamaanSchroodingeradalahmetodeNikivorof-
Uvarof (NU).Prinsipdasarmetode NU
adalahmengubahbentukpersamaanSchroodingerkedalambentukpersamaanhipergeo metrikhusus.Bentukpersamaanhipergeometrikhusustersebutkemudiandiselesaikan denganmetode NU.
Hasilpenelitianiniadalah (1) SpektrumEnergi,
fungsigelombangdiperolehsecaraeksak.Fungsigelombangbagian radial dan polar dinyatakandalambentukpolinomial Jacobi.Persamaangelombangdantingkatenergi yang diperolehdenganmetode NU memberikanhasil yang
samadenganmetodeHipergeometri. (2)
Fungsigelombangdivisualisasikanmenggunakan Software Matematica 8.0.
Potensial non sentralhasilkombinasipotensial Coulomb plus PotensialPöschl-
Teller I menyebabkanamplitodogelombang polar
membesardanenergiikatelektronmengecil.Potensial non
sentralhasilkombinasiEckart plus PotensialPöschl-Teller I menyebabkan amplitude fungsigelombang polar membesardanenergiikatpartikelmengecil.
Kata kunci :MetodeNikiforov-Uvarov, PotensialColoumb, PotensialEckart, PotensialPöschl-Teller I non sentral.
commit to user ABSTRAK
Jeffry Handhika. S911008005. "Solution of Schrodinger Equation For Non- Central Potential combination of Coulomb, Eckart Plus Pöschl-Teller I Using the Nikiforov-Uvarov Method" Thesis: Physical Science Graduate Program of University SebelasMaret Surakarta. Advisor (1).Dra.Suparmi, MA. Ph.D, (2) Drs.
Find, MA. M.Sc. Ph.D
The purpose of this research were to determine (1) the energy levels and wave functions for the system of non-central potential plus the combination ColoumbPochl-Teller I and Eckart potential Pochl Plus-Teller I (2) Visualization of the wave functions and energy levels of non-central potential combination of the results of the combination Coloumb plus Pochl-Teller I and Eckart potential Pochl Plus-Teller I. Non-central potential is a potential model used to explain the phenomenon of inter moleculer and molecular vibrations.
This research was literature study at pascasarjana UNS conducted from September 2011-June 2012. The method used to solving Schroodinger equations was the Nikivorof -Uvarof (NU) Method. The basic principle NU method was basebd on change of the Schroodinger equation form of type functionhypergeometric. Special form of the hipergeometric equation solved by the NU method.
The results of this reaserch were (1) Energy spectra and wave functions obtained were exact. Wave function of the radial and polar expressed in terms of Jacobi polynomials. Wave equation and the energy levels obtained by the NU method gave the same results with the hypergeometric method. (2) wave function was visualized using Matematica8.0. Potential Non-central fromed by combination of ColombicandPöschl-Teller I causes polar wave amplitode enlarged and electron binding energy decreases. Non-central potentialfromed bycombination of EckartandPöschl-Teller I potential causes polar amplitude wave functions enlarged and binding energy of the particles decreases.
Key words: Shroodinger Equation, Nikiforov-Uvarov method, Coloumb Potential, Potential Eckart,Pöschl-Teller I potential non-central
commit to user
1 BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
“Newtonian mechanics and Maxwell's theory of the electromagnetic (EM) field were the pillars of physics until the end of the nineteenth centur” (Galindo and Pascual:1990). Fisika yang berkembang sampai akhir abad ke 19 dikenal sebagai fisika klasik dan mempunyai dua cabang utama yaitu mekanika klasik Newtonian dan teori medan elektromagnetik. Mekanika klasik dicirikan oleh kehadiran partikel sebagai sesuatu yang terkurung di dalam ruang. Istilah terkurung secara sederhana dapat dikatakan adanya batas yang jelas antara materi dengan lingkungan di luar dirinya. Hasil eksperimen menunjukkan bahwa
“konsep-konsep fisika yang berdasarkan hukum-hukum Newton tidak bisa digunakan untuk menjelaskan hasil eksperimen sehingga diperlukan konsep baru yang tidak sama dengan fisika klasik” (Beiser, 1992).
Pada tahun 1925-1926, E. Schrödinger menyatakan bahwa “perilaku elektron, termasuk tingkat spektrum energi elektron yang diskrit dalam atom mengikuti suatu persamaan diferensial untuk gelombang” (Greiner, 1989).
Mekanika kuantum sangat berguna untuk menjelaskan perilaku atom dan partikel subatomik seperti proton, neutron dan elektron yang tidak mematuhi hukum- hukum fisika klasik. Atom biasanya digambarkan sebagai sebuah sistem di mana elektron (yang bermuatan listrik negatif) beredar seputar nukleus atom (yang bermuatan listrik positif). Menurut mekanika kuantum, ketika sebuah elektron
commit to user
berpindah dari tingkat energi yang lebih tinggi (misalnya dari n=2 atau kulit atom ke-2 ) ke tingkat energi yang lebih rendah (misalnya n=1 atau kulit atom tingkat ke-1), energi berupa sebuah partikel cahaya yang disebut foton, dilepaskan.
Persamaan diferensial tersebut kemudian dikenal dengan persamaan Schrödinger (PS). PS sekarang menjadi tulang punggung dalam memahami fenomena kuantum secara konsepsional dan matematis. Spektrum energi dan fungsi gelombang suatu partikel dapat ditentukan dengan menyelesaikan PS. “Spektrum energi dan fungsi gelombang digunakan untuk mendiskripsikan perilaku sekelompok partikel”
(Griffith, 1994).
PS untuk sistem partikel yang dipengaruhi oleh potensial dimana spektrum energi potensialnya merupakan fungsi posisi biasanya diselesaikan dengan cara mereduksi PS menjadi persamaan diferensial orde dua fungsi khusus seperti fungsi Hermite, Legendre, Laguerre, hypergeometric atau confluent hypergeometric dengan substitusi variabel yang sesuai. Namun diantara fungsi- fungsi tersebut, “hanya persamaan diferensial fungsi Hypergeometric atau Confluent Hypergeometric (H-CH) yang mempunyai bentuk penyelesaian paling umum karena persamaan diferensial fungsi yang lain dapat direduksi menjadi persamaan diferensial H-CH”. (Suparmi, 1994). Penyelesaian PS secara eksak untuk sistem potensial tertentu mempunyai peranan yang penting dalam Mekanika Kuantum, karena dapat memberikan informasi tentang spektrum energi dan fungsi gelombang sistem yang terkait. Tidak semua bentuk dari PS memenuhi kriteria sebagai acuan pemecahan masalah, hanya beberapa potensial yang mungkin bisa dipecahkan secara eksak. Potensial-potensial yang dapat dipecahkan adalah suatu
commit to user
permasalahan yang menarik dalam mekanika kuantum itu sendiri. Adapun potensial-potensial yang memiliki fungsi gelombang yang ternormalisasi dan memiliki spektrum tingkat energi adalah osilator harmonik, Coloumb, osilator isotropik, Morse, Pöschl–Teller, Rosen Morse, simetrical top. Bentuk-bentuk potensial tersebut secara umum digambarkan dalam bentuk fungsi-fungsi aljabar yang telah dikenal seperti polynomial, ekponensial, atau besaran trigonometri.
Potensial – potensial tersebut dianalisis dalam bentuk spektrum energi dan fungsi gelombangnya (Dehesa and Sokorin, 2005).
Pengkajian analitik tentang potensial sentral telah banyak dilakukan, Pengkajian yang lebih komplek dan spesifik dari mekanika kuantum adalah potensial non central. Potensial non-central secara teoritik sangat berguna dalam menjelaskan tingkat energi dan bentuk gelombang dari interaksi antara molekul ring-shaped dan interkasi antara inti berpasangan yang terganggu (terdistorsi).
Secara umum potensial non sentral diperoleh dengan mengkombinasikan antara potensial yang merupakan fungsi radial dan dan sudut yang dapat dipisahkan.
Spektrum energi dan fungsi gelombang dari potensial yang sudah banyak diteliti ditentukan dengan berbagai cara, seperti metode faktorisasi (J. Sadeghi, B.
Pourhassan:2008), Operator (Ikhdair, S. M :2011), supersimetri mekanika kuantum (Suparmi:1994), dan path integral (Grosche, C:2005) yang masih terus dikembangkan sampai saat ini. Terdapat beberapa potensial yang sudah diselesaikan dengan Metode Nikivorof Uvarof (NU), PS untuk potensial Pöschl–
Teller II (Hiperbolik) dan Modifikasi Kratzer non-sentral. Berdasarkan hasil penelitian analitik (S. Bakkeshizadeh, V. Vahidi:2012), disimpulkan bahwa Metode
commit to user
NU sangat cocok untuk digunakan menentukan solusi dalam menyelesaikan PS untuk potensial non sentral. Metode NU mereduksi PS bergantung waktu menjadi persamaan umum hipergeometri. Energi Nilai Eigen dan fungsi eigen dihitung secara eksak. Pada penelitian ini kami menggunakan potensial Coloumb dan Eckart dengan faktor sentrifugal yang diganggu dengan potensial kuadrat Pöschl–
Teller I. Kombinasi potensial Coloumb, Eckart dengan potensial Pöschl–Teller I menghasilkan potensial non-sentral.
. Hasil fungsi gelombang dan probabilitas potensial Non Central yang dijabarkan dengan metode NU dan digambarkan dalam bentuk simulasi komputasi. Aplikasi fisika kuantum dalam potensial non-sentral dapat digunakan sebagai dasar penelitian fisika material dalam mengkombinasikan jenis komposisi bahan. Setiap bahan pasti mengandung potensial tertentu, ketika dua bahan dikombinasikan, maka akan memberikan karakeristik bahan baru dan juga potensial baru. Dengan mengetahui karakteristik potensial masing-masing bahan dan karakteristik potensial setelah dikombinasikan secara teoritik, tingkat energi dari bahan tersebut dapat dihitung, sehingga proses pengkombinasian bahan tidak terkesan “try and error”.
Berdasarkan uraian diatas, kami mengambil judul penelitian Solusi Persamaan Schrödinger untuk Potensial non sentral hasil kombinasi Potensial Coloumb, Eckart plus Potensial Pöschl–Teller I non-sentral dengan Menggunakan Metode Nikivorof-Uvarov.
.
commit to user B. Perumusan Masalah
Berdasarkan uraian dari latar belakang di atas, maka dapat dituliskan tiga perumusan masalah sebagai berikut:
1. Bagaimana bentuk penyelesaian persamaan energi dan fungsi gelombang potensial non sentral hasil kombinasi potensial Coloumb plus Pöschl–Teller I dengan menggunakan metode NU?
2. Bagaimana bentuk penyelesaian persamaan energi dan fungsi gelombang potensial non sentral hasil kombinasi potensial Eckart dengan faktor sentrifugal plus Pöschl–Teller I non-sentral dengan menggunakan metode NU?
3. Bagaimana bentuk visualisasi gelombang bagian sudut dalam 2 dimensi dan 3 dimensi ?
C. Tujuan Penelitian
Terdapat tiga tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini, yaitu untuk mengetahui:
1. Bentuk penyelesaian persamaan energi dan fungsi gelombang potensial non sentral hasil kombinasi Coloumb plus Pöschl–Teller I non-sentral dengan menggunakan metode NU.
2. Bentuk penyelesaian persamaan energi dan fungsi gelombang potensial Eckart dengan faktor sentrifugal plus Pöschl–Teller I non-sentral dengan menggunakan metode NU.
3. Bentuk visualisasi fungsi gelombang sudut 2 dimensi dan 3dimensi.
commit to user D. Batasan Masalah
Agar pembahasan masalah dalam penelitian ini lebih terarah maka peneliti mengajukan tiga pembatasan masalah sebagai berikut :
1. Potensial yang dianalisis adalah Potensial non sentral hasil kombinasi potensial Coloumb, Eckart dengan faktor sentrifugal plus Potensial Pöschl–
Teller I non-sentral.
2. Software yang digunakan adalah Matematica 8.0
3. Analisis simetri gelombang tidak dikaji, pengkajian ditekankan pada penagruh parameter terhadap fungsi gelombang dan energi.
4. Analisis gangguan dikaji hanya pada pengaruh parameter.
E. Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah:
1. Manfaat secara teori
a. Potensial non sentral hasil kombinasi potensial Coloumb, Eckart dengan faktor sentrifugal plus Potensial Pöschl–Teller I dapat diselesaikan menggunakan metode NU.
b. Memberikan informasi dampak parameter terhadap fungsi gelombang dan energi.
c. Memberikan Informasi bentuk dan visualisasi persamaan gelombang dan energi dalam koordinat tuga dimensi (Bola) maupun dua dimensi (Polar).
d. Menjelaskan bentuk-bentuk potensial secara visual beserta dampak parameternya dengan menggunakan manipulasi.
commit to user 2. Manfaat bagi Penulis
a. Memberikan pengetahuan baru tentang potensial non sentral b. Menambah khasanah keilmuan di bidang Fisika Teori,
c. Memperkuat pemahaman mekanika kuantum secara teoritis maupun praktis.
commit to user
8 BAB II
LANDASAN TEORI
A. Persamaan Schrödinger (PS) Secara Umum
Pendekatan mekanika kuantum memiliki permasalahan yang berbeda dengan fisika klasik. Salah satu permasalahan dalam mekanika kuantum adalah
“menyelesaikan bentuk persamaan gelombang partikel dengan menyelesaikan PS”
(Griffith: 1995). PS dalam Mekanika Kuantum adalah persamaan energi total seperti yang dinyatakan dalam Mekanika Klasik tetapi variabel-variabel dalam Mekanika Klasik diubah menjadi operator dalam Mekanika Kuantum. Fisikawan Erwin Schrödinger pada tahun 1925, menjelaskan hubungan ruang dan waktu pada sistem mekanika kuantum. Persamaan ini merupakan hal penting dalam teori mekanika kuantum. Hubungan antara variabel dalam Mekanika Klasik dengan operator dalam Mekanika Kuantum memberikan prinsip korespondensi antara Klasik dengan Kuantum. Korespondensi antara energi E, momentum p
dan oprator deferensial:
i t
E
(2.1a)
i
p (2.1b)
Bentuk korespondensi ini nantinya yang digunakan untuk membangun persamaan gerak kuantum berangkat dari bentuk energi klasik. Selanjutnya, tinjau
commit to user partikel yang mengalami gaya F
yang dapat dituliskan sebagai gradien dari energi potensial V
r,t
r t VF , (2.2)
Karena itu, energi total partikel E dapat diungkapkan sebagai:
r tm V
E p ,
2
2
(2.3)
Berdasarkan korespondensi (2.1) persamaan gerak kuantum partikel didalam potensial V
r,tdiberikan oleh
r t V r t r tm
i t , , ,
2
2
2
(2.4a)
Persamaan. (2.12) dikenal sebagai persamaan gelombang Scrodinger untuk partikel didalam potensial V
r,t. Dalam banyak hal, sistem fisis dapat didekati dengan model satu dimensi. Persamaan Scrodinger satu dimensi berbentuk
V
x t x t xt x m
i t , , ,
2 2
2
2
(2.4b)
Persamaan gelombang merupakan kuantitas teoritis dasar dalam mekanika kuantum dan mendiskripsikan kemungkinan suatu kejadian. Solusi persamaan gelombang dapat diperoleh dengan menggunakan PS. (Griffiths, D. J: 1995).
Mengungkapkan bahwa “Diperlukan intepretasi statistik born fungsi gelombang berupa persamaan rapat probabilitas untuk menyatakan besar kemungkinan partikel yang didiskripsikan oleh
x,t yang berada diantara x dan x+dt”.Dimensi rapat probalilitas dapat dinyatakan sebagai:
( ) |
x,t | (2.5a)commit to user
Dalam koordinat tiga dimensi rapat probabilitas dapat dinyatakan sebagai:
( ) |
x,t | (2.5b)| | dimana merupakan conjugate . A. Potensial Coulomb, Eckart dan Pöschl-Teller I
Dalam penelitian ini, peneliti menggunakan potensial Coloumb dan Eckart sebagai potensial sentral, sedangkan Pöschl-Teller I merupakan potensial pengganggu yang menyebabkan potensial sentral termodifikasi menjadi non- sentral.
1. Potensial Coloumb
Potensial Coulomb menggambarkan interaksi berpasangan antara atom bermuatan. Interaksi dapat terjadi antara molekul air akibat momen dipol permanen. Dua partikel bermuatan berlawanan akan saling menarik, sedangkan jika dua partikel bermuatan sama akan saling tolak-menolak. (Hendrik F.
Hameka:2004) menyebutkan bahwa “The Coulomb attraction between the proton and the electron is represented by a potential function”. Interaksi proton dan electron dapat direpresentasikan dalam bentuk fungsi potensial. Potensial Coloumb dipengaruhi oleh jarak antar muatan. Bentuk potensial Coloumb dapat dilihat pada persamaan 2.6.
(2.6)
Dengan memanipulasi jarak antar muatan (r, ), maka potensial Coloumb dapat divisualisasikan dalam bentuk 2 dimensi maupun 3 dimensi.
Bentuk visualisasi potensial Coloumb dapat dilihat pada gambar 2. 1.
commit to user
4 2 2 4
2.5 2.0 1.5 1.0
z 0.5 z
r
r
Gambar 2.1. a. Potensial Coloumb 2 D Gambar 2.1. b. Potensial Coloumb 3 D
(Ballentine, E. L.:2000:265) mengungkapkan bahwa “the Coulomb potential decays toward zero very slowly at large distances, and we shall see that this is responsible for some qualitatively different features”. Potensial Coloumb secara perlahan-lahan bergerak menuju nol seiring dengan semakin besarnya jarak antara muatannya. Berdasarkan hasil simulasi, semakin bersar nilai kedua muatan, maka semakin dalam potensialnya, dengan asumsi nilai r konstan. .( Jean-Louis Basdevant and Jean Dalibard:2002) ”The Coulomb potential has an infinite range, as it does in classical mechanics” pada gambar 2.1, terlihat bahwa potensial Coloumb memiliki jangkauan yang tidak terbatas, seiring dengan bertambahnya jarak antar muatan. Bentuk modifikasi dari potensial Coloumb adalah potensial Yukawa. Potensial Yukawa juga disebut Screened Coloumb Potential. Bentuk persamaan potensial Yukawa dapat dilihat pada persamaan (2.7)
(2.7)
Bentuk potensial persamaan (2.7) dapat divisualisasikan dengan memanipulasi nilai r dan m, dengan nilai . Hasil visualisasi dapat dilihat pada gambar 2.2.
commit to user
(Sumber: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Yukawa_m_compare.svg) Gambar 2.2 Potensial Yukawa
Jika m=0, maka potensial Yukawa akan kembali ke bentuk potensial Coloumb seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.2
2. Potensial Pöschl-Teller (PT) I
Bentuk persamaan potensial PT I dapat dinyatakan dalam:
( ) ( ( )
( )
) (2.8)
Persamaan (2.1) dapat divisualisasikan dengan memanipulasi nilai r, parameter dan , dan , >1. Visualisasi potensial PT I dapat dilihat pada gambar 2.3.
z
y
Gambar 2.3. Bentuk Potensial PT I 3 Dimensi
commit to user
Berdasarkan fungsinya, potensial PT I merupakan gabungan fungsi Cosecant dan Secant. “The trigonometric Pöschl-Teller (PT) potential describes the diatomic molecular vibration” (Wikipedia:2012). PT I sering muncul pada saat molekul diatomik mengalami vibrasi. .
3. Potensial Eckart
Potential Eckart merupakan potensial yang sering diaplikasikan dalam vibrasi molekul. Bentuk persamaan potensial Eckart dapat dilihat pada persamaan (2.9)
( )
( ) (2.9)
Bentuk persamaan (2.9) dapat divisualisasikan Dalam koordinat dua dimensi maupun tiga dimensi. Visualisasi potensial Eckart dapat dilihat pada gambar 2.4.
V(x)
Gambar 2.4. Potensial Eckart
Potensial ini diselidiki oleh C. Eckart pada tahun 1930. Pada gambar 2.4, potensial tersebut simetri pada sumbu, dan nilai maksimum Vo pada x = 0. Fungsi Vo juga mendekati nol pada x mendekati takhingga. Modifikasi bentuk potensial Ekckart yang akan dibahas adalah bentuk potensial Eckart dengan faktor sentrifugal. “Potensial Eckart dapat diaplikasiakan untuk menjelaskan vibrasi molekul dan gaya antarmolekul (Cari and Suparmi:2012)”
commit to user
Pengembangan Bentuk persamaan dan gambar Potensial Eckart dapat dilihat pada persamaan (2.10).
(
( )
) (2.10)
Bentuk potensial Eckart dengan centrifugal term dapat dilihat pada gambar 2.5.
Gambar 2.5. Bentuk Modifikasi Potensial Eckart
B. Non Central potensial
Gaya sentral merupakan gaya yang bekerja pada suatu sistem inersia.
Potensial sentral muncul pada jarak anatara kedua partikel. Potensial sentral hanya memberikan pengaruh terhadap gerak arah radial dan bersifat konservatif, gaya bekerja terletak pada garis hubung antar kedua partikel. Jika gaya sentral yang bekerja di seluruh lintasan diganggu oleh gaya luar yang bekerja pada koordinat polar dan zimuth, maka potensial yang timbul adalah potensial non- sentral. Potensial non sentral memberikan efek terhadap arah polar dan radial, bersifat non konserfatif, sehingga penjelasan terhadap vibrasi molekul lebih kompleks. Secara umum potensial non sentral diperoleh dengan mengkombinasikan antara potensial yang merupakan fungsi radial. dengan potensial yang merupakan fungsi radial dan sudut yang dapat dipisahkan”
commit to user
(Suparmi, Cari, Jeffry H:2012). Berbeda dengan potensial central, pada potensial non sentral kecepatan paralel tidak tegak lurus pada garis hubung kedua benda, namun masih bekerja gaya aksi rekasi yang bekerja pada garis hubung kedua benda. Pada potensial non sentral terjadi perubahan lintasan.
(Arda and Sever :2012) mengungkapkan bahwa “Potensial non sentral dapat menjelaskan tingkat energi molekul berbentuk ring shaped (seperti benzene) dan interaksi antara inti berpasangan yang terganggu telah memberikan banyak aplikasi di bidang fisika”. Potensial non -central secara teoritik sangat berguna dalam menjelaskan tingkat energi dan bentuk gelombang dari interaksi antara molekul ring-shaped dan interkasi antara inti berpasangan yang terganggu (terdistorsi).
(Goldstein, et al:2000) “in the problem of a particle moving in an ex-ternal central force field (V = V(r)), there is no constraint involved, but it is clearly more convenient to use spherical polar coordinates than Cartesian coordi-nates. Do not, however, think of generalized coordinates in terms of conventional orthogonal position coordinates.” Partikel yang bergerak dalam potensial non- sentral lebih mudah diselesaikan dengan menggunakan koordinat bola. Bentuk potensial non-central dapat dilihat pada persamaan (2.11)
( ) ( ) ( ) (2.11)
Potensial pada persamaan (2.12) dapat dimodifikasi menjadi ( ) ( )
(2.12)
commit to user
bentuk potensial (2.11) dapat divisualisasikan dengan memvariasi nilai r, dengan . Visualisasi persamaan (2.11) dapat dilihat pada gambar 2.6b.
.
z z
y y
Gambar 2.6a Potensial Sentral Gambar 2.6b Potensial Non Sentral
Perbedaan signifikan berdasarkan visualisasi gambar 2.6 antara potensial sentral dan non sentral adalah bentuk potensial central terpusat pada satu sumur, sedangkan non central memiliki lebih dari satu sumur dan simetris. Berdasarkan gambar potensial terlihat bahwa potensial pengganggu (penyebab potensial menjadi non sentral) lebih dominan dibandingakan potensial sentral.
C. Metode-metode penyelesaian PS
Spektrum energi dan fungsi gelombang dari potensial yang sudah banyak diteliti ditentukan dengan berbagai cara, seperti metode faktorisasi, Operator, supersimetri mekanika kuantum NU dan path integral yang terus dikembangkan.
Terdapat beberapa potensial yang sudah diselesaikan dengan Metode NU, persamaan Schrodinger untuk potensial Posch Teller II (Hyperbolik) dan Modifikasi Kratzer Non Central. Metode NU sangat cocok digunakan menentukan solusi dalam menyelesaikan persamaan Schroodinger untuk potensial non sentral. Berikut kami paparkan dua metode yang mewakili penyelesaian PS
commit to user
secara eksak maupun pendekatan dalam menentukan tingkat energi dan persamaan gelombang berserta aplikasinya.
1. Metode Hipergeometri
PS dapat diselesaikan dengan mereduksi kedalam persamaan hipergeometri. Persamaan hipergeometri mempunyai bentuk penyelesaian paling umum karena persamaan diferensial suatu fungsi dapat direduksi kedalam fungsi hipergeometri (Bromley, 1989). Persamaan diferensial orde dua fungsi hipergeometri dapat dinyatakan sebagai berikut.
( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) (2.13) Persamaan (2.13) mempunyai dua buah titik regular singular yaitu di titik dan (Suparmi, 2011) karena penyelesaian di titik lebih sederhana dari penyelesaian di titik . Mula-mula dipilih penyelesaian di sekitar titik . Persamaan (2.13) dapat diselesaikan dengan bentuk deret disekitar titik
( ) ∑ (2.14) Persamaan (2.14) dimasukkan ke persamaan (2.13) akan membentuk
( ) (2.15a) ( ( ))
( ( ) )( ( )
( ) ( ) ) (2.15b) ( ) ( )( ( ) ( ) ( )(
) ) (2.25c)
commit to user
Persamaan (2.15a), (2.15b) dan (2.15c) dijumlahkan maka akan diperoleh persamaan (2.15d)
( ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( )(
) ( )( ) ( ) ) (2.15d) Persamaan (2.15d) merupakan persamaan identitas, koefisien dari masing- masing suku x pangkat tertentu harus dinolkan. Koefisien pada suku dinolkan maka akan menjadi
( ( ) ) atau ( ( )) . Koefisien pada suku adalah index equation yang memberikan harga atau . Koefisien pada suku dinolkan akan menjadi
( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) (2.16a) Setelah koefisien pada suku dinolkan akan didapatkan konstanta
( )( )
( )( ) (2.16b) Koefisien pada suku dinolkan maka akan didapatkan konstanta
( ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ) (2.9c)
( )( )( )( )
( )( )( )( ) (2.16d) Persamaan (2.16b) dan (2.16d) dapat digunakan untuk menentukan koefisien dari suku ke berikut ini
( )( ) ( )( )( ) ( )
( )( ) ( ) (2.16e) Bentuk penyelesaian persamaan diferensial hipergeometri secara umum adalah ( ) 2F1( ) =∑ (2.17)
commit to user
Dimana ( ) ( )( )( ) ( ) dan ( ) (2.18) Penyelesaian di atas mempunyai harga bila semua penyebut dari deret tersebut tidak nol, maka dimana
Apabila atau (2.19) maka bentuk penyelesaian yang berupa deret menjadi terputus sehingga diperoleh penyelesaian yang berhingga yaitu polynomial pangkat . Dari kondisi yang dinyatakan pada persamaan (2.14) dapat diperoleh tingkat spektrum energi sistem.
a. Aplikasi PD Hypergeometry untuk PD fungsi Legendre dan Legendre Terasosiasi
1) Persamaan Diferensial Fungsi Legendre
Contoh aplikasi dari penyelesaian PD Hypergeomtrik adalah penyelesaian Persamaan diferensial fungsi Legendre
0 ) 1 ( ) 2
) ( 1
( 2
2
2
n n P
dx xdP dx
x P
x d (2.20)
Bila x pada pers (2.13) diubah menjadi (1-2x) maka P(x) menjadi P(1-2x), dx menjadi d(1-2x)=-2dx dan persamaan (2.13) dapat ditulis menjadi
0 ) 1 2 (
) 2 1 ( 4 2
) 1 (
4 2
2
n n P
dx x dP dx
P x d x
atau 0
) 1 ( )
2 1 ) ( ) ( 1
( 2
2
n n P
dx x dP dx
x P x d x
(2.21) Dengan membandingkan antara bentuk pers (2.13) dengan pers (2.21) maka diperoleh
c=1; a+b =1; a = -n dan b=n+1 (2.22)
commit to user
Bila persaman (2.19) dimasukkan ke dalam persamaan (2.17) maka diperoleh penyelesaian PD fungsi Legendre dalam bentuk penyelesaian PD hypergeometri yaitu
)
; 1
; 1 , ( ) 2 1
( x 2F1 n n x
Pn
(2.23)
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa persamaan diferensial fungsi Legendre dapat diubah menjadi diferensial fungsi hypergeometri dengan pengubahan variabel.
2) Persaman Diferensial Fungsi Legendre Terasosiasi
Persamaan Schrodinger atom hidrogen bagian sudut yang merupakan fungsi sudut disebut persamaan polar ini membentuk persamaan diferensial orde dua fungsi Legendre terasosiasi. Persamaan polar dinyatakan pada persamaan (2.24).
( ) ( ) (2.24)
Penyelesaian persamaan (2.24) dapat diselesaikan dengan berbagai cara yaitu penyelesaian secara langsung menggunakan deret atau polynomial Legendre terasosiasi yang dijabarkan dari polynomial Legendre, operator supersimetri, persamaan diferensial fungsi hypergeometri, persamaan diferensial tipe hypergeometry yang dikembangkan oleh Nikiforov-Uvarov, dan oleh Romanovski. Pada bagian ini kita akan menyelesaiakannya menggunakan persamaan diferensial fungsi hypergeometri. Untuk menyederhanakan penyelesaian pers (2.24), pertama kita ubah persamaan (2.24) menjadi persamaan PPH dengan substitusi variabel sebagai berikut
dan √ ( ) (2.25)
commit to user sehingga diperoleh
√ ( ) (2.26)
Dengan memasukkan persamaan-persamaan (2.25) dan (2.26) ke dalam persamaan (2.24) diperoleh
√ ( )√ ( ) ( √ ( )(√ ( )) ) ( ( )) atau
( ) ( ) ( ( )) (2.27)
Karena ( ) maka persamaan (2.27) dapat dituliskan kembali sebagai ( ) ( ) ( ( )) (2.28)
atau
( ) ( )
(
( ) ( ) ( ) ) (2.29) Persamaan perantara persamaan hypergeometri (PPPH) pada persamaan (2.29) mempunyai dua buah titik regular singular yaitu z=1 dan z=0. Untuk daerah di sekitar titik z=0 , suku ( ) dan ( ) diabaikan terhadap ( ) maka persamaan (2.29) menjadi
( ) ( ) (2.30) Penyelesaian pendekatan di titik z=0 yang merupakan titik regular singular adalah
( ) ∑ (2.31)
Bila persamaan (2.31) dimasukkan ke dalam persamaan (2.30) maka
{ } ( )
( ){ ( ) ( ) ( ) } ( )
( ){ ( ) ( ) ( )( ) } +
commit to user
0= { ( ) } { ( ) ( )
( ) } (2.32)
Persamaan (2.32) merupakan polynomial dalam z maka koefisien dari setiap z pangkat tertentu harus nol. Bila koefisien dari z pangkat terendah di nolkan maka diperoleh persamaan indeks
( )
sehingga diperoleh atau . Karena s merupakan pangkat dari z maka harga s yang dipilih adalah karena untuk penyelesaian dengan harga s negatif menyebabkan fungsi gelombang menjadi tak terhingga sehingga tidak
memenuhi syarat. Jadi ( ) (2.33)
Analog dengan penyelesaian disekitar titik z=0, maka diperoleh penyelesaian pendekatan di sekitar titik z =1-z, yaitu
( ) ( ) (2.34)
Penyelesaian umum dari persamaan diferensial fungsi Legendre terasosiasi pada persamaan (2.21) adalah
( ) ( ) ( ) ( ) (2.35)
Bila kita set maka turunan pertama dan kedua dari persamaan (2.35) adalah
( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) (2.36a)
( ) ( ) ( ) - ( ) ( ) +
( ) ( ) - ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) - ( ) ( ) + ( ) ( )
( ) ( ) + ( ) ( ) (2.36b)
Kemudian bila persamaan (2.36a), (2.36b) dan (2.35) dimasukkan ke dalam persamaan (2.28) maka diperoleh
( ) (( ) ( ) )
( )( ) (2.36c)
commit to user
Kemudian persamaan (2.36c) kita bandingkan dengan persamaan (2.20) diperoleh ; ; (2.36d)
2. Metode NU
Persamaan deferensial hipergeometrik, yang dapat diselesaikan dengan metode Nikiforov-Uvarov (Nikiforov, A. V Uvarov V. B:2008) berbentuk:
( )
̅( ) ( )
( )
̅( ) ( ) (2.37)
Dengan memilih s adalah koefisien dari ( ) ̃( ) dan ̃( )dapat memiliki harga riil atau complek. dimana ( ) dan ̅( ) biasanya merupakan polynomial dengan pangkat tertinggi dua., dan ̅( ) merupakan polynomial pangkat tertinggi pertama. Persamaan potensial:
( ) ( ) ( ) (2.38)
Persamaan (2.38) dapat diselesaikan dengan pemisahan variabel yaitu
( ) ( ) (2.39)
Dengan memasukkan persamaan (2.39) ke persamaan (2.38) kita mendapatkan persamaan tipe hipergeometrik:
(2.40)
dan ( ) adalah derivatif logarithmik dimana solusinya bergantung pada:
(2.41)
Prosesnya: Persamaan (2.37) dapat direduksi dalam persamaan baru dengan memisalkan ( ) ( ) ( ) diperoleh:
( )
( ̃) ( ) ( ̃ ̃) ( ) (2.37b)
commit to user
Koefisien ( ) memiliki bentuk persamaan ( ) ( ) dimana ( ) merupakan polinimial dengan pangkat tertinggi 1. Sehingga diperoleh persamaan (2.41).
Persamaan (2.40) diambil dari
( )
⃐ ( ) ( )
( )
⃐ ( )
( ) (2.37c)
dimana
( ) ̃( ) ( )
⃐( ) ̃( ) ( )[ ̃( ) ( )] ( ) ( )
Persamaan (2.37c) merupakan persamaan yang sama dengan persamaan (2.37).
Dengan hanya memilih koefisien ( ) diperoleh
⃐( ) ( )
Sehingga persamaan (2.37c) dapat direduksi menjadi
( ) ( ) ⃐( ) ( ) ( ) (2.37d)
Persamaan diatas merupakan persamaan yang ekuivalen dengan persamaan 2.40.
fungsi ( ) dan parameter dicari dengan
( ⃐ ) √( ⃐ ) ⃐ (2.42)
(2.43)
Prosesnya:
Untuk menghitung ( ) dan kita menulis persamaan ((2.37d) dalam bentuk:
commit to user ( ̃ ) ̃
( )
Ingat : Bentuk ( ) Dapat diselesaikan dengan:
{{ ( √ )} { (
√ )}}
Dengan mengasumsikan harga k diketahui, penyelesaian persamaan kuadrat untuk ( ) seperti yang ditunjukkan pada persamaan (2.42). Harga k pada persamaan (2.42) dapat diperoleh dari kondisi bahwa pernyataan kuadrat dibawah akar merupakan kuadrat sempurna dari polynomial derajat satu, sehingga diskriminan
dibawah akar harus nol. Nilai eigen baru dari persamaan (2.40) adalah
( ) , n = 0, 1, 2 (2.44a) dimana ⃐ , (2.45)
Untuk mendapatkan energi eigen nilai dan fungsi eigen yang terkait, diperlukan kondisi .
Bukti:
( ) ( ) ⃐( ) ( ) ( ) (2.44b)
Persamaan (2.44b) dapat disederhanakan menjadi ( ) ( )
Dengan memisalkan:
( ) ( ) persamaan (2.44b) dapat diubah menjadi
commit to user
( ) ( ) (2.44c)
Dimana
( ) ( ) ( ) ( )
Selama ( ) merupakan polinomial dengan pangkat tertinggi 1, dan bergantung pada s, persamaan (2.44c) merupakan persamaan tipe hipergeometri.
( ) merupakan solusi dari persamaan (2.44c) jika ( ) merupakan turunan dari solusi ( ) dari persamaan (2.44b), fungsi ini harus memenuhi:
( ) [ ( ) ( )]
Dapat ditunjukkan bahwa fungsi ( ) bergantung pada persamaan (2.44b) dan turunannya adalah ( ). Diperoleh:
[ ( ) ( ) ( ) ]
(s). dengan mensubtitusikan pada persamaan (2.44b) diperoleh persamaan (1). Dengan cara yang sama, untuk (s)= (s):
( ) ( ) dimana
( ) ( ) ( ) ,
( ) ( ) (2.44d)
pada persamaan (2.44d), merupakan solusi dari ( ) yang memiliki nilai konstan. Selama ( ) ( ). Persamaan (2.44d) menjadi persamaan (2.44a).
Solusi bagian kedua fungsi gelombanmg, yn(s), yang bersesuaiaan dengan relasi Rodrigues diberikan oleh
commit to user ( )
( ) ( ( ) ( )) (2.46a) dimana Cn merupakan konstanta normalisasi, dan fungsi bobot ( ) harus
tergantung pada Perilaku elektron atom hidrogen dipengaruhi oleh potensial.
Bukti:
Untuk mendapatkan polinomial ( ) secara eksplisit, kita menggunakan persamaan (2.44b) dan (2.44c) dengan menggunakan pendekatan ( ) dan ( ).
Sehingga dapat ditulis:
( ) (2.46b)
( ) (2.46c)
Persamaan (2.46b) dan (2.46c) merupakan persamaan deferensial
( ) (2.46d)
( ) (2.46e)
Dengan menggunakan bentuk eksplisit ( ), kita dapat dengan mudah membuat hubungan antara ( ) dan (s) ( ).
Kita mempunyai
( )
( ) Sehingga:
Konsekwensinya:
( ) ( ) ( ) , n= 1,2,3...
Selama dan (s)= (s), kita dapat menuliskan persamaan (2.46c) dalam bentuk:
commit to user ( )
Jika m<n Diperoleh
( )
=( ) (
) ( ) = ( ) (*) Dimana: ( ) ∏
Persamaan (*) jika kita kalikan dengan Am= maka akan diperoleh: , sedangkan n-m merupakan derajat polin omial.Jika ( ) merupakan polinomial dengan pangkat n, ( ), maka
( ) ( )( ), ( ) ( )( )= konstan.
Sehingga:
( )( )= ( ) [ ( )]
Dimana
( )| ,
( )( )
Dengan m=0 kita dapat memperoleh polinomial ( ) dari persamaan hipergeometrik seperti yang ditunjukkan pada persamaan (2.46a)
3. Contoh Penyelesaian PS
a. Penyelesaian Potensial Poschl Teller I dengan Hipergeometri Potensial efektif untuk potensial Poschl-teller I dituliskan sebagai
{ ( ) ( ) } (2.47)
Bentuk PS dari persamaan (2.47) adalah
commit to user
{ ( )
( )
} (2.48) Untuk menyelesaikan pers (2.48) kita misalkan
(2.49a)
dan diperoleh
√ ( ) ; √ ( ) { √ ( ) }= ( )
( ) (2.49b)
Bila kemudian persamaan (2.49a) dan ((2.49b)dimasukkan ke persamaan (2.48) maka pers (2.48) menjadi
( ) ( ) { ( ) ( )} (2.50a) atau ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) } (2.50b)
dimana (2.51)
Persamaan. (2.50a) atau (2.50b) merupakan persamaan diferensial yang mempunyai dua buah titik regular singular di titik s=0 dan s=1. Bila pers (2.50b) dibagi dengan s(1-s) maka untuk harga s=0 ( atau daerah disekitar s=0) suku-suku
( ) dan ( )
( ) diabaikan terhadap suku ( )
( ) , sehingga pers (2.50b) berubah menjadi
( ( ) ) ( )( ) atau ( )
( )
( )
(2.52a)
Karena z=0 merupakan titik regular singular, maka penyelesaian persamaan (2.52a), disini kita tidak akan menguraikan penyelesaian secara
commit to user
lengkap tetapi hanya mencari penyelesaian index equation saja dari persamaan.
(2.52a). Misal penyelesaian persamaan (2.52a) yang berbentuk deret dinyatakan sebagai ∑ (2.52b),
Bila persamaan (2.52b) dimasukkan ke dalam persamaan (2.52a) akan diperoleh index equation, yaitu persamaan yang diperoleh dengan cara mengenolkan koefisien dari suku untuk z pangkat terendah dari polynomial yang diperoleh bila persamaan. (2.52b) dimasukkan ke dalam persamaan. (2.52a).
sebagai
( ) ( ) yang dapat disederhanakan menjadi ( )
( )
sehingga diperoleh atau , tetapi disini kita pilih
(2.52c)
dan penyelesaian yang dipilih adalah (2.52d) Untuk harga s=1 ( atau daerah disekitar s=1) suku-suku ( ) dan ( ) ( ) diabaikan terhadap suku ( )
( ) , maka pers (2.50b) berubah menjadi
( ) ( ) ( ) ( ) (2.52e) Analog dengan penyelesaian persamaan (2.52a) kita akan memperoleh penyelesaian (2.52e) yang dapat dinyatakan sebagai ( )
(2.52f)
dimana telah diset (2.52g)
commit to user
Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa penyelesaian umum persamaan (2.50b) dapat dinyatakan sebagai ( ) ( )
(2.53)
Untuk menyelesaikan pers (2.50b), pertama-tama kita harus menentukan turunan pertama dan kedua persamaan (2.53) terhadap variable s,
( ) ( )- ( ) ( ) + ( ) ( ) (2.54a) dan
( ) ( ) ( )- ( ) ( ) + ( ) ( )
- ( ) ( )+ ( ) ( ) ( ) - ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( )
(2.54b)
Bila persamaan (2.52c), (2.52g), (2.53), (2.54a), and (2.54b) ke dalam persamaan (2.50b) diperoleh Persamaan
( ) (( ) ( ) ) + { ( ) }
(2.55)
Persamaan (2.55) menunjukkan persamaan diferensial fungsi Hypergeometri yang penyelesaiannya dapat dinyatakan sebagai
( ) ( ) (2.56)
Dimana , maka dan
commit to user
, (2.57)
Persamaan (2.56) yang merupakan deret pngkat tinggi akan terputus sehingga diperoleh deret berhingga bila atau (2.58) Jadi bila kita pilih harga maka atau dan diperoleh spectrum energi untuk potensial Poshcl-Teller yaitu
( ) (2.59) Penyelesaian fungsi gelombang secara umum dapat diperoleh dengan memasukkan persamaan (2.49a),(2.52c), (2.52g), (2.56), dan (2.57) ke dalam pers (2.53) yaitu
( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) (2.60) Fungsi gelombang tingkat dasar untuk potensial Poschl-Teller I adalah
=( ) ( ) (2.61) b. Penyelesaian Potensial Eckart dengan Hipergeometri
Bentuk potensial Eckart dengan faktor sentrifugal dapat dilihat pada peramaan (2.62)
{
( )
} {
( )
} (2.62)
V0<V1,
Dengan melakukan pendekatan
<<<1 kemudian (
) sehingga
(2.63)
commit to user
Persamaan (2.63) dapat diubah dalam bentuk hiperbolik
{ } (2.64)
Persamaan (2.64), dapat diubah dalam bentuk persamaan Schroodinger
(
) (2.65)
Persamaan (2.65) dapat disederhanakan menjadi:
( )
{ ( )
( ) } ( ) (2.65)
dimana
Dengan memilih maka ,
( )
( )
( )
( )
( )( )
(2.66) Dengan menggunakan transformasi koordinat pada persamaan (2.66),
persamaan (2.65) menjadi:
( ) ( ) { ( ( )) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )( ) }
(2.67) dimana
commit to user
( ) ( ) { ( ( )) ( )( ) ( ) ( ( )) }
(2.68)
Persamaan (2.68) dapat disederhanakan menjadi
( ) ( ) { ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) }
(2.69) Dengan memisalkan ( ) = dan ( )
Persamaan (2.69) dapat disederhanakan menjadi
( ) ( ) ( ) ( ( ))
(2.70) Persamaan (2.70) adalah persamaan diferensial orde dua, paling tidak mempunyai dua buah titik regular singular dititik s=0 dan s=1,
Untuk s=0, pers (2.70) dapat ditulis menjadi
( ) ( ) 0 (2.71)
karena ( ) dapat diabaikan relatif terhadap untuk s menuju nol.
Penyelesaian persamaan (2.71) dimisalkan sebagai ∑ (2.72)
Bila persamaan (2.72) dimasukkan ke dalam pers (2.71) maka diperoleh suatu bentuk polynomial, dan bila koefisien dari variable (s) pangkat terendah,
