Statistik Kelas Eksperimen Kelas Kontrol
Rata-rata 83.8 79.41
Varians 29.45 21.08
5.04 3.82 1.99
Pengujian hipotesis menggunakan uji-t pada taraf signifikan α = 0.05 dengan rumus:
= rata-rata skor sikap siswa kelompok eksperimen = rata-rata skor sikap siswa kelompok kontrol n1 = banyaknya sampel pada kelompok eksperimen
n2 = banyaknya sampel pada kelompok kontrol
= simpangan baku pada kemompok eksperimen dan kelompok kontrol Langkah-langkah pengujian hipotesis:
1. Data berdistribusi normal 2. Varians datanya homogen 3. Tentukan Hipotesis
rata-rata sikap siswa yang diberikan pembelajaran aktif teknik guide note taking sama dengan rata-rata sikap siswa yang diberikan pendekatan konvensional. rata-rata sikap siswa yang diberikan pembelajaran aktif teknik guide note taking
121
4. Tentukan hipotesis statistik
5. Cari dengan rumus:
Untuk dapat menggunakan rumus tersebut terlebih dahulu ditentukan nilai sebagai berikut:
= 83,80 ; = 79,41 ; = 29,45 ; = 21,08
6. Taraf signifikan (α) = 0,05
7. Menentukan nilai ttabel dengan db = 75, karena tidak terdapat dalam tabel untuk
122
Tentukan kriteria pengujian
Jika thitung < ttabel , maka H0 diterima dan H1 ditolak
Jika thitung ≥ ttabel , maka H0 ditolak dan H1 diterima
8. Ternyata 3,82 ≥ 1,66 atau thitung ≥ ttabel, maka H0 ditolak dan H1 diterima
9. Kesimpulan:
H1 yang berbunyi : “rata-rata sikap siswa yang diberikan pembelajaran aktif teknik guide note taking lebih tinggi dari rata-rata sikap siswa yang diberikan pendekatan
konvensional”, diterima. Sebaliknya H0 yang berbunyi “rata-rata sikap siswa yang diberikan pembelajaran aktif teknik guide note taking sama dengan rata-rata sikap siswa yang diberikan pendekatan konvensional”, ditolak.
123
Lampiran 14
LKS
Materi Logika Matematika
1. Mendeskripsikan Pernyataan dan Bukan Pernyataan (Kalimat Terbuka)
Pernyataan adalah kalimat yang hanya ….. saja atau ….. saja, tetapi tidak dapat sekaligus ……. Benar atau salahnya suatu pernyataan dapat ditunjukkan dengan bukti.
Contoh 1: a. 3 + 7 = 10
b. Semua bilangan prima adalah bilangan genap
Contoh di atas adalah pernyataan, karena masing-masing sudah dapat ditentukan nilai benar atau salahnya. Pernyataan (a) merupakan pernyataan benar, sedangkan pernyataan (b) merupakan pernyataan yang salah.
….. adalah kalimat yang mengandung peubah(variabel) dan apabila peubah diganti dengan suatu konstanta dalam semestanya, akan menghasilkan suatu pernyataan.
Contoh 2:
a. Kalimat terbuka: x + 10 = 15
Jika variabel x diganti dengan …. (konstanta), maka ….. + 10 = 15 (pernyataan benar)
Jika variabel x diganti dengan …. (konstanta), maka …. + 10 = ….≠ 15
(pernyataan salah) b. Kalimat terbuka: 2x + 6 < 17
Jika variabel x diganti dengan …. (konstanta); 2(…) + 6 = …. < 17, maka pernyataan benar
Jika variabel x diganti dengan …. (konstanta); 2(…) + 6 = …. > 17, maka pernyataan salah
124
Latihan 1.
Dari kalimat-kalimat berikut, manakah yang merupakan pernyataan dan manakah yang bukan pernyataan? Jika kalimat tersebut pernyataan, tentukan nilai kebenarannya (benar atau salah)!
1. Kota Bandung ada di pulau Jawa 2. Hapus papan tulis itu!
3. Mudah-mudahan hari ini hujan 4. 4 + 2 = 5
5. Semua bilangan prima adalah ganjil 6. x2– 3x + 4 < 0
7. kota Jakarta tidak jauh
8. suku ke-4 dari barisan 2, 6, 10, …. Adalah 16
9. cos 3150
10. 1250 habis dibagi 7
1. Mendeskripsikan ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi,
biimplikasi, dan ingkarannya.
Sebelum masuk pada pembahasan mengenai ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan ingkarannya, ada baiknya kita mengerti dahulu apa yang dimaksud dengan pernyataan majemuk.
Pernyataan majemuk adalah suatu pernyataan baru yang disusun dari beberapa ….. dengan menggunakan ….. (misalnya dan, atau, dan lain-lain). Pernyataan-pernyataan tunggal tersebut biasa dinyatakan dengan huruf kecil, seperti p, q, r, s dan sebagainya.
Contoh 3:
a. Nugroho adalah siswa yang pandai dan rajin.
Pernyataan tunggal (p) = Nugroho adalah siswa yang pandai. Pernyataan tunggal (q) = Nugroho adalah siswa yang rajin.
Kata hubung yang digunakan adalah kata “…..”.
b. Sapi adalah binatang menyusui atau binatang pemakan rumput. Pernyataan tunggal (p) = sapi adalah binatang menyusui Pernyataan tunggal (q) = sapi adalah binatang pemakan rumput
125
Kata hubung yang digunakan adalah kata “…..”.
Nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk ditentukan oleh nilai-nilai kebenaran dari komponen-komponennya dan tidak perlu harus ada hubungan antara nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan tunggalnya.
2.8 Ingkaran atau negasi
Ingkaran atau negasi suatu pernyataan adalah pernyataan yang nilai kebenarannya merupakan ….. dari pernyataan semula. Ingkaran dari p dinyatakan dengan “…..”, dibaca …..atau…...
Nilai kebenaran pada negasi sebuah pernyataan adalah: a. Jika p bernilai benar, maka ~p bernilai …..;
b. Jika p bernilai salah, maka ~p bernilai …..; Tabel kebenaran negasi ditunjukkan pada tabel 2.1
Tabel 2.1 P ~p B …. …. B Contoh 4: 1. p : 2 + 4 = 6 ~p : …..
2. p : semua burung pandai terbang ~p : …..
2.9 Konjungsi (dan)
Konjungsi dari dua pernyataan p dan q dinyatakan dengan lambang “p ….q” dibaca ...
Nilai kebenaran dari pΛ q memenuhi sifat berikut: a. Jika p benar dan q salah, maka pΛ q……
b. Jika p atau q salah, maka pΛ q……
126
Tabel kebenaran konjungsi dinyatakan pada tabel 2.2 berikut. Tabel 2.2 p q pΛ q B B …. B S …. S B …. S S …. Contoh 5:
a. p : dua adalah faktor dari 6 (B)
q : dua adalah bilangan genap (B)
pΛ q : ……
b. p : setiap persegi adalah persegi panjang (B)
q : ada persegi yang bukan persegi panjang (B)
pΛ q : ……
Dalam kehidupan sehari-hari terdapat kata-kata lain yang bermakna sama
dengan “dan” pada konjungsi, yaitu ….., ….., ….., juga, padahal, sedangkan, dan yang.
2.10 Disjungsi (atau)
Disjungsi dari dua pernyataan p dan q dinyatakan dengan lambang “p …. q” dibaca p ….. q.
Nilai kebenaran dari p V q memenuhi sifat berikut:
a. Jika kedua pernyataannya bernilai salah, maka p V q bernilai ……
b. Jika salah satu pernyataan atau kedua pernyataan bernilai benar, maka p
V q bernilai …...
127 Tabel 2.3 P q p V q B B …. B S …. S B …. S S …. Contoh 6:
a. p : lima adalah bilangan ganjil (B)
q : lima adalah bilangna prima (B)
p V q : ……
b. p : setiap bilangan prima adalah ganjil (S)
q : 2 + 5 = 7 (B)
p V q : ……
2.11 Implikasi
Suatu implikasi sering disebut juga sebagai pernyataan …... Implikasi
dari dua pernyataan p dan q dinyatakan dengan lambang “p ….. q”, dibaca “…..”, dimana p disebut alasan atau sebab dan q disebut kesimpulan atau
akibat. Implikasi p → q dapat juga dibaca:
c. p hanya jika q c. p syarat cukup bagi q d. q jika p d. q syarat perlu bagi p
nilai kebenaran implikasi p → q memenuhi sifat: p → q bernilai ….., jika
p benar dan q salah; selain itu, p → q bernilai …...
Tabel kebenaran implikasi dapat dilihat pada tabel 2.4 Tabel 2.4 P q p→ q B B …. B S …. S B …. S S ….
128
Contoh 7:
c. p : 62 = 36 (B)
q : = 6 (B)
p → q : ……
d. p : ada bilangan prima yang genap (B)
q : setiap kuadrat bilangan prima adalah ganjil (S)
p → q : ……
2.12 Biimplikasi
Biimplikasi dari dua pernyataan p dan q dinyatakan dengan lambang “p …. q”, dibaca “…..”.
Nilai kebenaran biimplikasi p → q memenuhi sifat:
c. p ↔ q bernilai benar, jika p dan q mempunyai nilai kebenaran ……
d. p ↔ q bernilai salah, jika p dan q mempunyai nilai kebenaran …….
Tabel kebenaran biimplikasi p ↔ q dapat dilihat pada tabel 2.5 berikut. Tabel 2.5 P q p↔ q B B …. B S …. S B …. S S …. Contoh 8:
c. p : Jumlah sudut pada segitiga adalah 1800 (B) q : Diagonal persegi saling tegak lurus (B) p ↔ q : ……
129
d. p : Untuk x = 2, maka 4x – 5 = 3 (B)
q : 25 adalah bilangan prima (S)
p ↔ q : ……
2.13 Operasi pernyataan majemuk
Sebelumnya telah dijelaskan mengenai pernyataan majemuk. Nilai kebenaran pernyataan majemuk yang menggunakan gabungan operasi negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, maupun biimplikasi dapat ditentukan dengan menggunakan …….
Ketentuan dalam menentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk adalah: jika sebuah pernyataan majemuk terdiri dari n buah pernyataan tunggal yang berlainan, maka banyaknya baris tabel kebenaran yang memuat nilai kebenaran adalah …….
Contoh 9:
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk ~(p Λ ~q) ! Jawab:
Pernyataan majemuk di atas memuat 2 pernyataan berlainan, yaitu p dan q, maka banyaknya kombinasi nilai kebenaran adalah 2… = …. baris. Supaya lebih jelas, perhatikan tabel 2.6 berikut.
Tabel 2.6 P Q ~q p Λ ~q ~(p Λ ~q) (1) B B S S …. (2) B S B B …. (3) S B B S …. (4) S S B S …. (1) (2) (3) (4) (5)
Dari kolom (5), dapat dilihat nilai kebenaran pernyataan majemuk ~(p Λ ~q).
Latihan 2.
Kerjakan soal-soal berikut ini dengan benar pada buku tugasmu! 1. Diketahui:
130
q : Kuda binatang pemakan rumput dari pernyataan tersebut, buatlah:
a. konjungsi c. implikasi b. disjungsi d. biimplikasi
2. Dari pernyataan-pernyataan majemuk berikut ini, tentukan komponen-komponennya!
a. Nurhaliza anak pandai dan rajin b. Budi anak cerdas, tetapi malas belajar c. Tita gadis cantik dan bodoh
d. Diagonal-diagonal suatu belah ketupat sama panjang dan saling tegak lurus
3. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut! a. Semarang ada di Jatim dan Bandung ibukota Jabar b. 2 + 3 = 5 dan 5 bukan bilangan prima
c. Kuda binatang memamah biak atau binatang pemakan rumput d. Jika 3 adalah bilangan prima, maka 3 bilangan ganjil
e. 4 x 5 = 20 atau 5 bilangan genap
4. Buatlah ingkaran/negasi dari pernyataan-pernyataan berikut! a. Matematika adalah pelajaran yang sukar
b. Semua siswi cantik
c. Ada siswa yang tidak menyukai matematika d. Saya lulus UMPTN dan saya senang
e. Ibukota Jatim adalah Surabaya dan 2 + 4 = 6 5. Buatlah tabel kebenaran dari:
a. p → (p v q) b. p → (~ p Λ q)
c. (p Λ q) v (~ p Λ ~ q) 2.14 Negasi pernyataan majemuk
Untuk menentukan negasi dari pernyataan majemuk, dapat digunakan sifat-sifat negasi pernyataan majemuk seperti tampak pada tabel 2.7 berikut ini.
131
Tabel 2.7
Operasi Lambang Negasi
Konjungsi p Λ q …. V ~ q
Disjungsi p v q ~ p Λ ….
Implikasi p → q p …. ~ q
Biimplikasi p ↔ q p ↔ …. atau …. ↔ q
Contoh 10:
Tentukan negasi dari pernyataan majemuk berikut!
a. Soal ulangan matematika jumlahnya sedikit tetapi sulit b. Jika 5 adalah faktor dari 25, maka 5 adalah bilangan prima Jawab:
c. Soal ulangan matematika berjumlah banyak ….. mudah
d. ……
Diskusi kelompok
Diskusikan dengan kelompokmu, bagaimana negasi atau ingkaran dari pernyataan-pernyataan majemuk berikut! Tuliskan jawabmu pada kertas tugas!
1. 2 adalah bilangan prima atau bilangan asli 2. Jika BBM naik, maka sembako juga naik 3. Beberapa rumah dibuat dari batu dan bata
4. Jika tim basket SMA IT Attauhid menang, maka pemainnya mendapat beasiswa
5. Semua siswa kelas X masuk siang dan ulangan matematika 6. Beberapa orang makan nasi atau jagung
7. Jika ada tamu Negara, maka polisi bertugas di jalan protokol 8. 100 adalah kelipatan dari 10 dan bilangan genap
132
2. Mendiskripsikan Invers, Konvers, dan Kontraposisi
Pernyataan majemuk dalam bentuk implikasi dapat dibentuk menjadi implikasi baru sebagai invers, konvers, dan kontraposisi.
Dari suatu implikasi p → q, maka:
c. ~ p → ~ q disebut ….. dari p → q d. ….. disebut konvers dari p → q e. ~ q → ~ p disebut ….. dari p → q Contoh 11:
Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi dari “jika guru tidak hadir, maka semua murid bersukaria”.
Jawab:
Invers : …….
Konvers : …….
Kontraposisi : …….
Tabel kebenaran implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi disajikan dalam tabel 2.8 berikut.
Tabel 2.8 P q ~p ~q p → q ~ p → ~ q q → p ~ q → ~ p B B S S B …. …. …. B S S B S …. …. …. S B B S B …. …. …. S S B B B …. …. ….
Berdasarkan tabel kebenaran di atas, maka diperoleh kesimpulan. c. Nilai kebenaran implikasi ekuivalen dengan nilai kebenaran …...
p → q ≡ ……
d. Nilai kebenaran ….. ekuivalen dengan nilai kebenaran invers. ….. ≡ ~ p → ~ q
Latihan 3
Kerjakan soal-soal berikut ini dengan benar pada buku tugasmu! 1. Tunjukkan bahwa:
133
a. (p Λ q) ≡ (q Λ p) b. (p v q) ≡ (q v p) c. ~ (p → q) ≡ (p Λ ~ q) d. ~ (p → q) ≡ (p v q)
2. Buatlah pernyataan majemuk yang ekuivalen dari pernyataan-pernyataan berikut!
a. Jika semua bilangan prima adalah ganjil, maka 3log 81 = 4 b. Jika 2 + 3 = 6, maka 2 adalah factor dari 6
c. Jika 7 bukan bilangan ganjil, maka 2 + 5 7
d. Jika AC BD atau AC tidak tegak lurus BD, maka ABCD bukan persegi
3. Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi dari pernyataan-pernyataan berikut!
a. Jika hari hujan, maka sungai Ciliwung meluap
b. Jika semua siswa menyukai matematika, maka guru senang mengajar
c. Jika ia rajin belajar, maka ia naik kelas
d. Jika sungai itu dalam, maka di sungai itu banyak ikan
3. Menerapkan Modus Ponens, Modus Tollens, dan Prinsip Silogisme dalam Menarik Kesimpulan
Dalam membuktikan suatu pernyataan yang sudah diketahui nilai kebenarannya dapat digunakan bukti langsung atau bukti tak langsung. ….. adalah pembuktian yang didasarkan pada pernyataan yang telah diterima kebenarannya, sedangkan ….. adalah pembuktian pernyataan dengan membuktikan negasinya adalah salah, sehingga pernyataan harus benar.
Dalam hal ini, kita akan menggunakan pembuktian langsung dari pernyataan dalam bentuk implikasi yang dianggap sah/valid dengan menggunakan modus ponens, modus tollens, atau silogisme. Pernyataan
134
yang diketahui benar disebut …., kumpulan dari semua premis disebut …., dan pernyataan yang merupakan kesimpulan disebut …..
4.1 Modus ponens
Modus ponens adalah penarikan kesimpulan berdasarkan prinsip, jika p → q benar dan p benar, maka ….. benar.
Prinsip modus ponens disusun seperti berikut. Premis 1 : p → q (B)
Premis 2 : p (B) Konklusi : …..
Modus ponens dapat juga dilambangkan dengan: ……
Contoh 12:
Premis 1 : jika 2 adalah faktor dari 10, maka 10 adalah bilangan genap
Premis 2 : 2 adalah faktor dari 10
Konklusi : ……
4.2 Modus Tollens
Modus tollens adalah penarikan kesimpulan berdasarkan prinsip, jika p → q benar dan ~ q benar, maka ….. benar.
Prinsip modus tollens disusun seperti berikut. Premis 1 : p → q (B)
Premis 2 : ~ q (B) Konklusi : ……
Modus tollens dapat juga dilambangkan dengan: …….
Contoh 13:
Premis 1 : Jika hari ini hujan, maka langit mendung Premis 2 : Langit tidak mendung
135
4.3 Silogisme
Silogisme adalah penarikan kesimpulan berdasarkan prinsip, jika p → q benar dan q → r benar, maka ….. benar.
Prinsip silogisme disusun seperti berikut. Premis 1 : p → q (B)
Premis 2 : q → r (B) Konklusi : ……
Silogisme dapat juga dilambangkan dengan: …….
Contoh 14:
Premis 1 : Jika n bilangan ganjil, maka n2 bilangan ganjil Premis 2 : Jika n2 bilangan ganjil, maka n2 + 1 bilangan genap. Konklusi : ……
Latihan 4
Kerjakan soal-soal berikut ini dengan benar!
1. Tentukan kesimpulan (konklusi) dari premis-premis berikut!
a. Premis 1 : Jika kereta api datang terlambat, maka saya tidak dijemput
Premis 2 : Kereta api datang terlambat
b. Premis 1 : Jika n bilangan genap, maka n2 bilangan genap Premis 2 : 25 bukan bilangan genap
c. Premis 1 : Jika x R dan x2– 9 = 0, maka (x – 3)(x + 3) = 0 Premis 2 : Jika (x – 3)(x + 3), maka x = 3 atau x = -3
d. Premis 1 : Jika Budi lulus, maka ia bekerja
Premis 2 : Jika Budi bekerja, maka ia mendapat uang
2. Tentukan sah tidaknya premis-premis berikut ini!
a. Premis 1 : Jika Agus rajin belajar, maka ia naik kelas
136
Konklusi : Agus rajin belajar
b. Premis 1 : Jika Purnomo seorang pelari, maka ia berbadan kekar
Premis 2 : Purnomo seorang pelari Konklusi : Purnomo berbadan kekar
c. Premis 1 : Jika Aida lulus ujian, maka saya diajak ke Malang Premis 2 : Jika saya diajak ke Malang, maka saya pergi ke
Batu
Konklusi : Jika saya tidak pergi ke Batu, maka Aida tidak lulus ujian
d. Premis 1 : Jika x + 3 = 8, maka x = 5
Premis 2 : x + 3 = 8
Konklusi : x = 5
3. Selidikilah sah atau tidak sah argumen berikut ini! a. Premis 1 : (p q) Premis 2 : (q Λ ~p) Konklusi : q b. Premis 1 : (p q) Premis 2 : p Konklusi : q c. Premis 1 : (p q) Premis 2 : q Konklusi : p d. Premis 1 : (p v q) Premis 2 : p Konklusi : q