Perluasan Fuzzy dari Optimisasi Persoalan Mean-Variance

HASIL DAN PEMBAHASAN

1. Fungsi obyektif maksimasi expected return

3.6 Perluasan Fuzzy dari Optimisasi Persoalan Mean-Variance

Dengan perluasan setiap parameter set r yang telah diasumsikan menjadi set ellipsoid yang memiliki nilai yang tetap. Sehingga, dalam dunia nyata banyak dijumpai jenis informasi yang efisien maupun tidak efisien dan para investor mem-liki institusi yang peduli dengan pasar saham yang disebabkan oleh beberapa fak-tor. Salah satu faktornya adalah ambugitas dan menjadi pertimbangan persoalan pemilihan portofolio. Dengan mengasumsikan ¯r0 kedalam ambiguitas dan men-jadikannya bilangan fuzzy merupakan definisi ulang dari ketidakpastian persoalan tersebut. Adapun definisi ulang dari set ketidakpastian adalah sebagai berikut :

M = {˜r : (˜r − ˜r0)^tG(˜r − ˜r0) ≤ 1} (3.21)

˜

rosendiri merupakan bilangan fuzzy yang telah diasumsikan menjadi sejum-lah L-Shape fuzzy berikut:

µr0j¯ (ω) =

Dalam tulisan ini, diasumsikan ketidaksamaan berikut sehubungan dengan aset masing-masing :

µ_0j− L^∗(h)αj ≥ 0 (3.23)

Himpunan ketidakpastian ˜U = (r−˜r0)^tG(r−˜r0) termasuk vektor angka fuzzy

˜

r dan juga ˜U adalah sebuah angka fuzzy. Oleh karena itu, fungsi keanggotan dari U adalah sebagai berikut :˜

µU˜(ω) = sup{γ0j}{min{1≤j≤n}µγ_0j(γ0j)|ω = (r − γ0)^tG(r − γ0} (3.24)

21

Kemudian, himpunan ketidakpastian dari rumus (3.14) ditransformasikan mengikuti bentuk dalam kasus ini dan memperkenalkan h-cut :

Mh = {r|µr(ω) ≥ h} (3.25)

Selanjutnya, dengan memperhatikan ketidakjelasan penilaian manusia dan fleksibilitas untuk eksekusi rencana, perlu diberikan tujuan fuzzy untuk kemung-kinan target sebagai himpunan fuzzy yang ditandai dengan fungsi keanggotaan.

Dalam subbagian ini, perlu dipertimbangkan tujuan kemungkinan fuzzy µ_U(f ) yang diwakili oleh,

Dimana gF(f ) adalah fungsi kontinu dengan tegas meningkat. Kemudian, de-ngan menggunakan dari konsep pengukuran, dipertimbangkan tujuan kemung-kinan fuzzy µ_U(f ) yang mengikuti :

Π_F( ˜G) = sup{f }min{µ_U(f ), µ_G(f )} (3.27)

Kemungkinan pengukuran, dalam kasus ini dianggap µ_U(f ) ≥ hX, dapat diperoleh perubahan dengan mengikuti :

µ_U(ω) ≥ h,

⇔ sup{γ0j}{min{1≤j≤n}µr0j(γoj)|ω = (r − γ0)^tG(r − γ0) ≤ 1} ≥ α

⇔r^tGr − 2r^tG(r0− L^∗(h)α) + (r0− L^∗(h)α)^tG(r0 − L^∗(h)α)) ≤ 1

⇔ (r − (r0− L^∗(h)α))^tG(r − (r0L^∗(h)α)) ≤ 1

(3.28)

Dimana L^∗(x) adalah fungsi invers semu dari L(ω). Menggunakan ketidaksetaraan ini, ekspresi dari (3.15), dan dari nilai optimal rumus (3.16), ungkapan ini sama dengan mengikuti bentuk berikut :

inf{r∈M }r^tφ = inf_{kG^1/2_k≤1}((r0− L^∗(h)α) + ˆr)^tφ

= (r0− L^∗(h)α)^tφ + inf{kzk≤1}z^tG^1/2φ

(3.29)

22

Kemudian, inf{kzk≤1}z^tG^−1/2φ dalam ekspresi rumus (29) adalah sama dengan ekspresi yang dirumus (3.15), dan dari nilai optimal (3.16), ungkapan ini sama dengan mengikuti bentuk berikut :

inf{r∈M }r^tφ = (r0− L^∗(h)α)^tφ − kG^−1/2φk (3.30) Akibatnya, dalam kasus yang dianggap Π_F( ˜G)hX yang kemungkinan ukuran kendala-kendala ini diubah kedalam ketidaksetaraan berikut :

ΠF˜( ˜G) ≥ h

Dalam cara yang sama berarti nilai r, dapat dipertimbangkan ketidakpastian himpunan V varians mengikuti sebagai berikut :

S = {V |V  0, V^L≤ V ≤ V^U} (3.32)

Dalam tulisan ini, dapat diasumsikan himpunan ketidakpastian yang sama mengikuti bentuk yang diperkenalkan oleh sebuah L-Shape Fuzzy dengan keikut-sertaan dari komponen V.

S = [V = (σij)| Kemudian, dapat dilaksanakan dengan tujuan fuzzy dari total varians µ_G(v) di-mana dijabarkan sebagai berikut :

µ_G(v) =

( 1 ([v ≤ v1] gv(v) vL ≤ v ≤ vU

0 vU ≤ v

(3.34)

Dimana gv(v) adalah kontinu dengan tegas menurun. Kemudian, dengan meng-gunakan konsep ukuran kemungkinan, dapat diperkenalkan tingkat kemungkinan sebagai berikut :

ΠV˜( ˜G) = sup{v}min{µV˜(v), µG˜(v)} (3.35)

23

Sehubungan dengan mengukur kemungkinan, dengan cara yang sama untuk mengu-bah rumus dari (3.24), ΠV˜( ˜G) ≥ h diubah menjadi bentuk yang mengikuti sebagai berikut :

Dimana V_(h)^U merupakan asumsi dari sebuah simetris difinit positif matrix yang masing-masing komponen menjadi σij+ L^∗(h)βij. Kemudian, diusulkan masalah pemilihan portofolio dengan mengikuti kemungkinan maksimum sebagai model :

Masimum h Dengan Kendala :

ΠV˜( ˜G) ≥ h, ΠF˜( ˜G) ≥ h 1^tφ = 1

(3.37) Masalah ini secara ekuivalen berubah menjadi masalah berikut ini dengan meng-gunakan transformasi kendala kemungkinan dari rumus (3.24) dan (3.29) :

Maksimalkan h

Perlu dicatat disini, bahwa masalah dari rumus (3.38) adalah masalah pemogra-man non-conves dan tidak diselesaikan dengan teknik-teknik pemograpemogra-man linear atau teknik pemograman cembung. namun, karena h variabel keputusan yang tetap, masalah ini adalah setara dengan masalah untuk menemukan solusi yang layak untuk φh dalam melibatkan himpunan berikut :

µ_G(v) =

24

Akibatnya, membangun metode solusi berikut untuk masalah pemilihan portofolio termasuk angka fuzzy.

Solusi Metode

Langkah 1 : Minta fungsi keanggotaan fuzzy dengan tujuan berkaitan dengan pengem-balian yang diharapkan dari jumlah dan varians.

Langkah 2 : Himpunan h ← 1 dan untuk menyelesaikan masalah dari rumus (3.40). Jika solusi yang mungkin dari φh ∈ S tidak ada, kemudian berakhir. Dalam hal ini, solusi saat diperoleh solusi optimal dari masalah utama.

Langkah 3 : Himpunan h ← 0 dan untuk menyelesaikan masalah dari rumus (3.40). Jika solusi yang mungkin dari φh ∈ S tidak ada, kemudian berakhir. Dalam hal ini, tidak ada solusi yang layak dan perlu untuk mengatur ulang tujuan fuzzy sehubungan dengan pengembalian yang diharapkan dari jumlah dan varians.

Langkah 4 : Tetapkan Uh ← 1 dan Lh ← 0.

Langkah 5 : Tetapkan h ← Uh+ Lh

2

Langkah 6 : Menyelesaikan masalah dari rumus (3.39). Jika solusi yang layak ada, maka tetapkan Uh ← h dan kembali ke langkah 5. Jika tidak, kemudian Lh ← h dan kembali ke langkah 5.

Itu pasti kemungkinan bahwa ditemukan solusi layak dari masalah rumus (3.39) untuk setiap nilai parameter h, tetapi tidak mudah untuk menemukan solusi yang mungkin karena ini daerah layak adalah cembung. Oleh karena itu, untuk menemukan solusi yang mungkin dari φh dan solusi optimal untuk φ^∗ agar lebih efisien dan analitis, mengubah masalah (3.38) ke dalam masalah deterministik setara

Minimalkan φ^tV_(h)^Uφ Dengan kendala

(r0− L^∗(h)α)^tφ − kG^−1/2φk ≥ g_F⁻¹(h), (3.40)

25

Berkaitan dengan hubungan antara masalah dari rumus (3.38) dan (3.40), maka dapat diperoleh teorema berikut berdasarkan studi dari Katagiri et al,. (2004) dan Katagiri et al,. (2005).

Teorema 1

Biarkan nilai optimal dari masalah rumus (3.39) menjadi h^∗. Selanjutnya biarkan solusi optimal dari masalah rumus (3.40) menjadi φ_h dan nilai yang optimal men-jadi φ^tV^U

h φ. Maka hubungan berikut berlaku :

h^∗ > h ⇔ φ^tV_h^Uφ < g_V⁻¹(h) h^∗ = h ⇔ φ^tV_h^Uφ < g_V⁻¹(h) h^∗ < h ⇔ φ^tV_h^Uφ < g_V⁻¹(h)

(3.41)

Selanjutnya, sebagai fungsi perkiraan untuk kG^−1/2φk = p

φ^tG⁻¹φ. Diperke-nalkan rata-rata deviasi absolut yang mengikuti sebagai berikut :

W (φ) = E| variabel acak r berdasarkan pada ssatu himpunan ketidakpastian dari rumus (3.14), dan r^(g)_j adalah rata-rata aritmatika. Kemudian, p1 adalah setiap ke-mungkinan munculnya r_i^(g). Selanjutnya, dalam kasus ini G⁻¹ adalah kovari-an matriks ykovari-ang varikovari-ans berasal dari distribusi normal, itu menunjukkkovari-an bahwa φ^tG⁻¹φ = ^pi₂{W (φ)}² oleh studi sebelumnya dari Konno (1990). Oleh karena itu, deviasi mutlak dari W (φ) dianggap menjadi sebuah fungsi perkiraan.

Dengan menggunakan rata-rata deviasi absolut, masalah dari rumus (3.40) yang sekiranya berubah menjadi masalah berikut :

Minimal φ^tV^U

26

dan seterusnya.

(r0− L^∗(h)α)^tφ − rπ

2W (φ)² ≥ g_F⁻¹(h), 1^tφ = 1

(3.44)

Selanjutnya dengan memperkenalkan parameter ξ, masalah dari rumus (3.44) yang secara ekuivalen berubah menjadi masalah berikut :

Minimal φ^tV_(h)^Uφ

Dengan kendala :

(r0− L^∗(h)α)^tφ − rπ

2 XT

i=1

piξi ≥ g⁻¹_F (h)

ξi− Xn j=1

(r_ij^(g)− r^(g)_j )φj ≥ 0,

ξi− Xn j=1

(r_ij^(g)− r^(g)_j )φj ≥ 0, (t = 1, 2, . . . , T ) 1^tφ = 1

(3.45)

Masalah (3.44) juga merupakan masalah dasar pemograman kuadrat. Karena itu, kita dapatkan portofolio optimal yang lebih efisien daripada masalah (3.38).

BAB 4