MODEL PEMILIHAN PORTOFOLIO MENCAKUP UNSUR KETIDAKPASTIAN

MODEL PEMILIHAN PORTOFOLIO MENCAKUP UNSUR KETIDAKPASTIAN

TESIS

Oleh

MUHAMMAD NUR 117021022/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2013

MODEL PEMILIHAN PORTOFOLIO MENCAKUP UNSUR KETIDAKPASTIAN

T E S I S

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat

Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Oleh

MUHAMMAD NUR 117021022/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2013

Judul Tesis : MODEL PEMILIHAN PORTOFOLIO

MENCAKUP UNSUR KETIDAKPASTIAN Nama Mahasiswa : Muhammad Nur

Nomor Pokok : 117021022

Program Studi : Magister Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Marwan Ramli, M.Si)

Ketua Anggota

Ketua Program Studi Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus: 3 Juni 2013

Telah diuji pada Tanggal 3 Juni 2013

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang Anggota : 1. Dr. Marwan Ramli, M.Si

2. Dr. Sutarman, M.Sc

3. Prof. Dr. Muhammad Zarlis

PERNYATAAN

MODEL PEMILIHAN PORTOFOLIO MENCAKUP UNSUR KETIDAKPASTIAN

TESIS

Dengan ini saya menyatakan bahwa dalam tesis ini tidak terdapat karya yang pernah diajukan untuk memperoleh gelar Magister di suatu perguruan tinggi dan sepanjang pengetahuan juga tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah di- tulis atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali secara tertulis diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.

Medan, Juni 2013 Penulis,

Muhammad Nur

i

ABSTRAK

Sebagian besar investasi banyak dilakukan dengan mengharapkan keuntung- an yang maksimal dan meminimumkan resiko dalam memilih portofolio. Banyak faktor yang mempengaruhi investasi berhenti. Penelitian ini bertujuan untuk membantu investor memanfaatkan unsur ketidakpastian dengan menggunakan faktor fuzzy. Karena masalah ini, masalah yang tidak terdefinisi dengan baik yang disebabkan oleh faktor fuzzy, maka sulit untuk memecahkannya secara lang- sung. Oleh karena itu, peluang kendala dapat menyelesaikan persoalan tersebut menjadi persoalan deterministik. Dengan adanya masalah program nonlinear, program deterministik dapat diselesaikan dengan menggunakan parameter dan transformasi yang setara.

Kata kunci: Pemilihan portofolio, Program nonlinear, Ketidakpastian, Faktor fu- zzy.

ii

ABSTRACT

Most of the investment has been done with hoping maximum profit and mi- nimum risk in choosing portofolio. many factor affect the investment to stops, this research aim to help investor to take advantage of the uncertainty elemnet by using fuzzy factor because this problem, is the problem that is not well defined due to the fuzzy factor, then it is hard to solve directly. Thereofere, the chance the opportunity to resolve the problem constraint into deterministic problem, with the nonlinear program problem, program deterministic can be solved with parameter and equal transformation.

Keywords: Selection of portfolio, Program nonlinear, Uncertainty, Fuzzy factor

iii

KATA PENGANTAR

par Puji dan syukur penulis mengucapkan puji syukur ke hadirat ALLAH SWT yang telah melimpahkan rahmat, hidayah, dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: Persoalan Pemilihan Portofolio Men- cakup Faktor Ketidakpastian. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menye- lesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA)Universitas Sumatera Utara.

Penulis menyadari bahwa terselesaikannya Tesis ini tidak lepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis menyampaikan terimakasih sebesar-besarnya kepada :

Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara

Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Stu- di Magister Matematika di Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara Medan.

Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Mate- matika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan ban- tuan dalam penulisan tesis ini.

Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Ma- tematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.

Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Pembimbing Utama yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.

Dr. Marwan Ramli, M.Si selaku Pembimbing Kedua yang juga telah banyak memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.

Dr. Sutarman, M.Sc dan Prof. Dr. Muhammad Zarlis selaku Tim Pem- banding Tesis.

Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Uni- versitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.

Saudari Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Ma-

iv

tematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.

Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghar- gaan setinggi-tingginya kepada orangtua tercinta, Ayahanda Usman dan Ibunda Ummi Kalsum yang telah mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis, serta Istri Susilawati AMa.bid dan anak-anak Muhammad Dadaus Suprayogi dan Faturrahman Alfarizy yang telah memberikan semangat dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Dan seluruh rekan-rekan ma- hasiswa angkatan 2011/2012 pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis, penulis berterima kasih atas semua ban- tuan yang diberikan. Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sem- purna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya baik perkembangan ilmu pengetahuan.

Penulis menyadari tesis ini masih jauh dari sempurna, namun demikian penulis berharap semoga tesis ini bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak yang memerlukannya. Sekian dan terimakasih.

Medan, Juni 2013 Penulis,

Muhammad Nur

v

RIWAYAT HIDUP

Muhammad Nur lahirkan di Landuh Aceh Tamiang pada tanggal 31 desem- ber 1964 dari pasangan Bapak Usman & Ibu Ummi Kalsum dan merupakan anak ketiga dari empat bersaudara. Penulis menamatkan pendidikan Sekolah Dasar (SD) tahun 1978 di SD Negeri Benua Raja, Sekolah Lanjutan Tingkat Perta- ma (SLTP) Negeri 1 Kuala Simpang tahun 1981, SPG Negeri 1 Langsa tahun 1984. Menamatkan kuliah S-1 dari Jabal Gafur Sigli tahun 2007. Pada tahun 2011 penulis mengikuti program magister matematika di sekolah pasca sarjana universitas sumtra utara, penulis sungguh banyak mendapat pengalaman bela- jar yang sangat berharga. Menikah dengan Susilawati AMa bid. tanggal 20 bulan Mei tahun 1995 dan dikarunia dua anak yaitu Dadaus Suprayogi dan Faturrahman Alfarizy.

vi

DAFTAR ISI

Halaman

PERNYATAAN i

ABSTRAK ii

ABSTRACT iii

KATA PENGANTAR iv

RIWAYAT HIDUP vi

DAFTAR ISI vii

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 3

1.3 Tujuan Penelitian 3

1.4 Manfaat Penelitian 3

BAB 2 KAJIAN PUSTAKA 4

2.1 Investasi 5

2.2 Portofolio 7

2.3 Tingkat Keuntungan (Return) 7

2.4 Risiko 9

2.5 Investasi yang Risiko 10

BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN 14

3.1 Model Optimasi Portofolio 14

3.2 Perumusan Fungsi Obyektif Model 14

3.3 Perumusan Fungsi Kendala 15

3.4 Perspektif Modern 16

vii

3.5 Merumuskan Masalah Optimization Mean Variance 16 3.6 Perluasan Fuzzy dari Optimisasi Persoalan Mean-Variance 20

BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN 27

4.1 Kesimpulan 27

4.2 Saran 27

DAFTAR PUSTAKA 28

viii

MODEL PEMILIHAN PORTOFOLIO MENCAKUP UNSUR KETIDAKPASTIAN

T E S I S

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat

Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Oleh

MUHAMMAD NUR 117021022/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2013

Judul Tesis : MODEL PEMILIHAN PORTOFOLIO

MENCAKUP UNSUR KETIDAKPASTIAN Nama Mahasiswa : Muhammad Nur

Nomor Pokok : 117021022

Program Studi : Magister Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Marwan Ramli, M.Si)

Ketua Anggota

Ketua Program Studi Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus: 3 Juni 2013

MODEL PEMILIHAN PORTOFOLIO MENCAKUP UNSUR KETIDAKPASTIAN

TESIS

Oleh

MUHAMMAD NUR 117021022/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2013

MODEL PEMILIHAN PORTOFOLIO MENCAKUP UNSUR KETIDAKPASTIAN

T E S I S

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat

Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Oleh

MUHAMMAD NUR 117021022/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2013

Judul Tesis : MODEL PEMILIHAN PORTOFOLIO

MENCAKUP UNSUR KETIDAKPASTIAN Nama Mahasiswa : Muhammad Nur

Nomor Pokok : 117021022

Program Studi : Magister Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Marwan Ramli, M.Si)

Ketua Anggota

Ketua Program Studi Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus: 3 Juni 2013

Telah diuji pada Tanggal 3 Juni 2013

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang Anggota : 1. Dr. Marwan Ramli, M.Si

2. Dr. Sutarman, M.Sc

3. Prof. Dr. Muhammad Zarlis

PERNYATAAN

MODEL PEMILIHAN PORTOFOLIO MENCAKUP UNSUR KETIDAKPASTIAN

TESIS

Dengan ini saya menyatakan bahwa dalam tesis ini tidak terdapat karya yang pernah diajukan untuk memperoleh gelar Magister di suatu perguruan tinggi dan sepanjang pengetahuan juga tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah di- tulis atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali secara tertulis diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.

Medan, Juni 2013 Penulis,

Muhammad Nur

i

ABSTRAK

Sebagian besar investasi banyak dilakukan dengan mengharapkan keuntung- an yang maksimal dan meminimumkan resiko dalam memilih portofolio. Banyak faktor yang mempengaruhi investasi berhenti. Penelitian ini bertujuan untuk membantu investor memanfaatkan unsur ketidakpastian dengan menggunakan faktor fuzzy. Karena masalah ini, masalah yang tidak terdefinisi dengan baik yang disebabkan oleh faktor fuzzy, maka sulit untuk memecahkannya secara lang- sung. Oleh karena itu, peluang kendala dapat menyelesaikan persoalan tersebut menjadi persoalan deterministik. Dengan adanya masalah program nonlinear, program deterministik dapat diselesaikan dengan menggunakan parameter dan transformasi yang setara.

Kata kunci: Pemilihan portofolio, Program nonlinear, Ketidakpastian, Faktor fu- zzy.

ii

ABSTRACT

Most of the investment has been done with hoping maximum profit and mi- nimum risk in choosing portofolio. many factor affect the investment to stops, this research aim to help investor to take advantage of the uncertainty elemnet by using fuzzy factor because this problem, is the problem that is not well defined due to the fuzzy factor, then it is hard to solve directly. Thereofere, the chance the opportunity to resolve the problem constraint into deterministic problem, with the nonlinear program problem, program deterministic can be solved with parameter and equal transformation.

Keywords: Selection of portfolio, Program nonlinear, Uncertainty, Fuzzy factor

iii

KATA PENGANTAR

par Puji dan syukur penulis mengucapkan puji syukur ke hadirat ALLAH SWT yang telah melimpahkan rahmat, hidayah, dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: Persoalan Pemilihan Portofolio Men- cakup Faktor Ketidakpastian. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menye- lesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA)Universitas Sumatera Utara.

Penulis menyadari bahwa terselesaikannya Tesis ini tidak lepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis menyampaikan terimakasih sebesar-besarnya kepada :

Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara

Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Stu- di Magister Matematika di Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara Medan.

Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Mate- matika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan ban- tuan dalam penulisan tesis ini.

Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Ma- tematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.

Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Pembimbing Utama yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.

Dr. Marwan Ramli, M.Si selaku Pembimbing Kedua yang juga telah banyak memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.

Dr. Sutarman, M.Sc dan Prof. Dr. Muhammad Zarlis selaku Tim Pem- banding Tesis.

Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Uni- versitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.

Saudari Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Ma-

iv

tematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.

Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghar- gaan setinggi-tingginya kepada orangtua tercinta, Ayahanda Usman dan Ibunda Ummi Kalsum yang telah mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis, serta Istri Susilawati AMa.bid dan anak-anak Muhammad Dadaus Suprayogi dan Faturrahman Alfarizy yang telah memberikan semangat dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Dan seluruh rekan-rekan ma- hasiswa angkatan 2011/2012 pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis, penulis berterima kasih atas semua ban- tuan yang diberikan. Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sem- purna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya baik perkembangan ilmu pengetahuan.

Penulis menyadari tesis ini masih jauh dari sempurna, namun demikian penulis berharap semoga tesis ini bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak yang memerlukannya. Sekian dan terimakasih.

Medan, Juni 2013 Penulis,

Muhammad Nur

v

RIWAYAT HIDUP

Muhammad Nur lahirkan di Landuh Aceh Tamiang pada tanggal 31 desem- ber 1964 dari pasangan Bapak Usman & Ibu Ummi Kalsum dan merupakan anak ketiga dari empat bersaudara. Penulis menamatkan pendidikan Sekolah Dasar (SD) tahun 1978 di SD Negeri Benua Raja, Sekolah Lanjutan Tingkat Perta- ma (SLTP) Negeri 1 Kuala Simpang tahun 1981, SPG Negeri 1 Langsa tahun 1984. Menamatkan kuliah S-1 dari Jabal Gafur Sigli tahun 2007. Pada tahun 2011 penulis mengikuti program magister matematika di sekolah pasca sarjana universitas sumtra utara, penulis sungguh banyak mendapat pengalaman bela- jar yang sangat berharga. Menikah dengan Susilawati AMa bid. tanggal 20 bulan Mei tahun 1995 dan dikarunia dua anak yaitu Dadaus Suprayogi dan Faturrahman Alfarizy.

vi

DAFTAR ISI

Halaman

PERNYATAAN i

ABSTRAK ii

ABSTRACT iii

KATA PENGANTAR iv

RIWAYAT HIDUP vi

DAFTAR ISI vii

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 3

1.3 Tujuan Penelitian 3

1.4 Manfaat Penelitian 3

BAB 2 KAJIAN PUSTAKA 4

2.1 Investasi 5

2.2 Portofolio 7

2.3 Tingkat Keuntungan (Return) 7

2.4 Risiko 9

2.5 Investasi yang Risiko 10

BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN 14

3.1 Model Optimasi Portofolio 14

3.2 Perumusan Fungsi Obyektif Model 14

3.3 Perumusan Fungsi Kendala 15

3.4 Perspektif Modern 16

vii

3.5 Merumuskan Masalah Optimization Mean Variance 16 3.6 Perluasan Fuzzy dari Optimisasi Persoalan Mean-Variance 20

BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN 27

4.1 Kesimpulan 27

4.2 Saran 27

DAFTAR PUSTAKA 28

viii

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Teori dasar pemilihan portofolio pertama kali dicetuskan oleh Harry M.

Markowitz (1952), yang membahas tentang permasalahan bagaimana menga- lokasikan penanaman modal dengan harapan mendapatkan keuntungan optimal dengan risiko minimal. Pembentukan portofolio menyangkut identifikasi saham- saham mana yang akan dipilih dan berapa proporsi dana yang akan ditanamkan pada masing-masing saham tersebut. Pemilihan portofolio dari banyak sekuritas dimaksudkan untuk mengurangi risiko yang ditanggung. Teori optimasi sangat aplikatif pada permasalahan yang menyangkut pengoptimalan. Metode-metode optimasi yang berkembang banyak digunakan untuk merumuskan berbagai masa- lah misalnya dalam transportasi, manufaktur, penjadwalan kru maskapai pener- bangan dan investasi.

Teori portofolio sangat erat hubungannya dengan pertanyaan bagaimana menemukan kebijakan optimal untuk menginvestasikan berbagai aset. Markowitz (1959) juga mengemukakan analisis mean variance memegang peranan penting dalam teori seleksi portofolio dimana risiko pengembalian sangat diperhitungkan.

Horosanh (2006) mengemukakan teori Mean-Variance Markowitz yang optimal adalah pendekatan yang paling banyak digunakan dalam pembentukan portofo- lio. Ide terpenting yang dikembangkan markowitz adalah penggunaan standard deviasi dari keuntungan untuk mengukur risiko. Teori ini memberikan bobot yang sama pada setiap data dan mengasumsikan bahwa data berdistribusi normal da- lam mengoptimasi parameter seperti returns, variances, dan covariances.

Prediksi resiko yang akan timbul akibat adanya pemilihan portofolio pen- ting untuk dilakukan. Hal ini terkait dengan meminimalkan kerugian (resiko) sebagai akibat dipilihnya satu portofolio. Portofolio efisien bila memiliki tingkat resiko yang sama, mampu memberikan tingkat keuntungan yang lebih, atau mam- pu menghasilkan tingkat keuntungan yang sama, tetapi dengan resiko yang lebih rendah (Sharpe. 1995). Sharpe(1995) menganalisis portofolio agar dapat disele-

1

2

saikan dengan menggunakan quadratic programming. Untuk menyelesaikan pro- gram integer yang dapat digunakan dengan beberapa cara, misalnya : metode grafik, eliminasi subsitusi dan sebagainya. Salah satu yang cukup efektif untuk menyelesaikan pemilihan portofolio dengan program integer adalah dengan meng- aplikasikan algoritma Branch and Bound. Pemograman integer dimanfaatkan jika keputusan yang dilakukan dalam bentuk bilangan bulat.

Hanh et al,. (2000) mengembangkan pemecahan persoalan model program linear maupun program integer yang mempunyai jumlah variabel keputusan dan pembatas yangbesar dimana penyelesaiannya merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif yang bergerak selangkah demi selangkah mulai dari suatu titik ekstrim pada daerah feasibel menuju ke titik ekstrim optimum.

Tandelilin (2001) untuk membentuk portofolio yang optimal, investor harus

menentukan portofolio yang efisien terlebih dahulu. Husnan (1998) berpenda-

pat Portofolio efisien adalah portofolio yang menghasilkan tingkat keuntungan

tertentu dengan risiko terendah, atau risiko tertentu dengan tingkat keuntungan

tertinggi. Sedangkan portofolio optimal merupakan portofolio yang dipilih seseo-

rang investor dari sekian banyak pilihan yang ada pada kumpulan portofolio yang

efisien. Jiangfeng Liang (2009) asumsi penting dari model pemilihan portofolio

adalah adanya investasi yang pasti, artinya seorang investor harus mengetahui

dengan pasti kapan memulai berinvestasi dan memutuskan untuk mengakhiri in-

vestasi, namun sebagian besar praktik investasi dilakukan tanpa horizon waktu

tertentu. Ini salah satu alasan pentingnya unsur ketidakpasstian dimasukkan ke

dalam model pemilihan portofolio yang dalam hal ini terkait dengan waktu in-

vestasi. Single indek model telah digunakan oleh Elton dan Gruber (1997) untuk

menyederhanakan kriteria peringkat (rangking) dalam pemilihan portofolio opti-

mal. Penentuan portofolio yang optimal merupakan sesuatu yang sangat penting

bagi kalangan investor institusional maupun investor individual. Portofolio yang

optimal akan menghasilkan return yang optimal dengan risiko moderat yang da-

pat dipertanggungjawabkan. Model mean variance akhirnya diperluas menjadi

kasus multi tahap yang dinamis, untuk ini model optimisasi sangat diharapkan

dalam seleksi portopolio yang dinamis, seperti yang disarankan oleh Dumas dan

Luciano (1991).

3

1.2 Perumusan Masalah

Permasalahan dalam penelitian ini terkait dengan pemilihan portofolio yang memuat unsur ketidakpastian. Model-model portofolio yang selama ini telah dikembangkan pada umumnya belum memperhatikan unsur ketidakpastian ini.

Pada dasarnya unsur ketidakpastian penting untuk dikaji dalam meminimalkan resiko terkait dengan pemilihan portofolio. Unsur ketidakpastian ini penting un- tuk dimasukkan ke dalam model dalam rangka meminimalkan resiko. Oleh karena itu penelitian ini terfokus pada model pemilihan portofolio dengan memperhatikan unsur ketidakpastian.

1.3 Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan mengembangkan model mixed integer atau pro- gram integer campuran dalam menyelesaikan masalah pemilihan portofolio secara efisien dan membantu memanfaatkan unsur ketidakpastian dalam berinvestasi.

1.4 Manfaat Penelitian

Hasil dari penelitian ini diharapkan agar dapat menambah khasanah ilmu

pengetahuan dan teknologi, khususnya pada model pemilihan portofolio dengan

adanya unsur ketidakpastian.

BAB 2

KAJIAN PUSTAKA

Dalam era globalisasi saat ini, pasar-pasar saham tidak lagi didominasi oleh perusahan besar atau investor institusi melainkan investor individu juga mulai memasuki pasar saham karena dengan mudah memutuskan alokasi keuangan yang paling cocok. Namun, terdapat banyak kasus ketidakpastian dari kondisi sosial yang memiliki pengaruh besar pada keuntungan yang akan datang. Di pasar saham, ada beberapa faktor acak atau sembarangan yang berasal dari analisis statistik data historis dan faktor ambigu seperti aspek psikologi dari investor dan kurang efisien informasi yang diterima.

Seperti persoalan pemilihan aset keuangan yang pada umumnya disebut per- soalan pemilihan portofolio, dan beberapa kajian telah dilakukan sampai sekarang.

Seperti sejarah peneltian tentang pendekatan matematika, Markowitz (1952) telah mengusulkan model mean-variance dan telah menjadi pusat kegiatan penelitian di bidang keuangan yang nyata dan banyak peneliti telah memberi kontribusi pa- da pembangunan dari teori portofolio modern (seperti, Lunberger (1997), Stein- bach (2001)). Di sisi lain, banyak penelitian yang mengusulkan model Markowitz dari persoalan pemilihan portofolio diperluas. Model penentuan harga ditentukan oleh aset (CAPM) (Sharpe (1964), Lintner (1965), Mossin (1966), model mean- absolute-deviation (Konno (1990), Konno et al,. (1993)). Model semi-variance (Bawa and Lindenberg (1977)), Model safety-first (Elton et al,. (1995)). Value at risk dan model conditional value at risk (Rockfellar and Uryasev (2000)), dan lain-lainnya. Ada juga beberapa penelitian mendasar tentang kondisi ketidakpas- tian yang berhubungan dengan persoalan pemilihan portofolio (Bilbao-Terol et al,. (2006), Carlsson et al,. (2002), Tanaka and Guo (1999), Huang (2006, 2007), Inuigchi and Tanino (2000), Katagiri et al,. (2004, 2005), Tanaka et al,. (2000), Watada (1997).

Dalam hal ini, model mean-variance yang setara dengan persoalan pemogra- man kuadratik cembung, diharapkan dapat diasumsikan pengembalian ke masa depan dan variansinya dari setiap aset yang diketahui. Oleh karena itu, porto-

4

5

folio yang optimal diperoleh secara analitik. Banyak informasi dan data pada arus pasar yang dapat diterima oleh pengambil keputusan. Namun, untuk mem- perkirakan parameter pasar yang ketat seperti pengambilan ke masa depan dan variansi yang diharapkan dapat ditentukan dari distribusi acak. Distribusi ini se- cara statistik ditentukan sebagai interval kepercayaan yang mungkin melibatkan beberapa eror. Oleh karena itu, pengambil keputusan menggunakan distribusi statistik karena lebih penting dalam mengingat bahwa masalah pengoptimalan termasuk dalam kasus terburuk, yakni persoalan robust optimization.

Dewasa ini, persoalan robust optimization mejadi tujuan yang layak di berbagai penelitian Terutama, berhubungan dengan persoalan pemilihan porto- folio, dengan beberapa kajian tentang persoalan pemilihan robust portofolio da- lam menentukan strategi investasi yang optimal dengan menggunakan pendekatan robust. Pengembalian dan variansi yang diharapkan dari setiap aset terutama diperkirakan dari data historis dan terjadi menurut distribusi acak yang berasal dari analisis statistik. Namun, mengingat efisien atau tidak efisiennya informasi yang diterima, pembuat keputusan atau desecion maker dan ahli distribusi acak perlu mempertimbangkan bahwa distribusi statistik mencakup beberapa ambi- guitas dan fleksibilitas yang terlibat. Dengan mengusulkan model ekstensional pemilihan persoalan robust portofolio termasuk faktor fuzzy.

2.1 Investasi

Setiap manusia pernah melakukan kegiatan investasi dalam kehidupannya.

Kegiatan investasi sebenarnya adalah kegiatan yang penuh dengan ketidakpastian atas sesuatu yang terjadi pada waktu yang akan datang. Karena investasi meru- pakan kegiatan investor yang menanamkan modalnya pada saat sekarang dengan harapan memperoleh pendapatan atau tingkat keuntungan di waktu yang akan datang selama umur investasi tersebut.

Investasi secara sederhana dapat diartikan sebagai komitmen atas sejumlah

dana yang dilakukan pada saat ini agar dapat memperoleh sejumlah keuntungan

di masa mendatang. Harapan keuntungan di masa mendatang tersebut meru-

pakan kompensasi atas waktu dan risiko yang berkaitan dengan investasi yang

dilakukan. Harapan tingkat keuntungan tersebut sering disebut sebagai return,

6

sedangkan risiko merupakan seberapa jauh hasil yang diperoleh atau return yang menyimpang dari nilai yang diharapkan. Dari pengertian investasi tersebut, me- nunjukkan bahwa tujuan dari investasi tidak lain adalah untuk meningkatkan kesejahteraan investor baik sekarang maupun di masa mendatang.

Investasi ke dalam aktiva keuangan dapat berupa investasi langsung dan investasi tidak langsung. Investasi langsung dilakukan dengan membeli langsung aktiva keuangan dari suatu perusahaan baik melalui perantara maupun dengan cara lain. Sedangkan investasi tidak langsung dilakukan dengan membeli saham dari perusahaan investasi yang mempunyai portofolio aktiva-aktiva keuangan dari perusahaan-perusahaan lain.

Dalam melakukan investasi di pasar modal diperlukan pengetahuan yang cukup, pengalaman dan naluri bisnis untuk menganalisis sekuritas-sekuritas mana yang akan dibeli, dijual dan mana yaang tetap dimiliki. Sebagai seorang investor harus dapat bersikap rasional dalam menghadapi pasar jual beli saham. Selain itu juga investor harus mempunyai ketajaman dalam memperkirakan masa depan saham perusahaan yang akan dibeli maupun dijual. Investor yang rasional ten- tunya tidak akan menyukai ketidakpastian atau risiko. Sikap investor terhadap risiko akan sangat bergantung kepada preferensi investor terhadap risiko. In- vestor yang mempunyai sikap enggan terhadap risiko disebut sebagai risk averse investors, yaitu investor yang tidak mau mengambil risiko jika investasi tersebut tidak memberikan harapan return yang layak sebagai kompensasi terhadap risiko yang ditanggung. Sedangkan investor yang berani mengambil risiko disebut seba- gai risk-taker investors, yaitu investor yang lebih berani memilih risiko investasi yang tinggi dengan diikuti oleh harapan return yang tinggi juga.

Umumnya investasi dibedakan menjadi dua, yaitu investasi pada financial

assets dan investasi pada real assets. Investasi pada financial assets dilakukan

di pasar uang, misalnya berupa deposito, commercial paper, surat berharga, dan

lainnya. Atau dilakukan di pasar modal, misalnya berupa saham, obligasi, waran,

opsi, dan lainnya. Sedangkan investasi pada real assets diwujudkaan dalam bentuk

pembelian assets produktif, pendirian pabrik, pembukaan pertambangan, pem-

bukaan perkebunan, dan lainnya.

7

2.2 Portofolio

Portofolio merupakan kombinasi atau gabungan atau sekumpulan aset, baik berupa real assets maupun financial assets yang dimiliki oleh investor. Adapun tu- juan membuat portofolio investasi untuk melakukan diversifikasi risiko agar dana yang dimiliki mempunyai risiko yang minimum. Dalam melakukan portofolio yang diinginkan maka ada dua tahap yang harus dipahami dalam mengelola portofolio tersebut. Dua tahap tersebut, yaitu konstruksi portofolio dan evaluasi terhadap portofolio investasi yang dimiliki.

Dalam melakukan konstruksi portofolio hubungan antar instrumen portofo- lio perlu diperhatikan agar risiko yang diperoleh dapat optimal atau terkecil. Dan tahap akhir dalam tindakan portofolio yaitu melakukan evaluasi portofolio inves- tasi. Tahap ini dilakukan bila ada konstruksi portofolio yang dibangun, begitu juga sebaliknya. Dan untuk melakukan pembentukan portofolio, investor-investor selalu menginginkan return yang maksimal dengan resiko yang minimal.

2.3 Tingkat Keuntungan (Return)

Tingkat keuntungan (return) merupakan salah satu faktor yang memotivasi investor berinvestasi dan merupakan imbalan atas keberanian investor manang- gung resiko atas investasi yang dilakukannya. Sumber-sumber return investasi terdiri dari dua komponen utama, yaitu yield dan Capital gain (loss). Yield meru- pakan komponen return yang mencerminkan aliran kas atau pendapatan yang diperoleh secara periodik dari suatu investasi. Sedangkan capital gain (loss) se- bagai komponen kedua dari return yang merupakan kenaikan (penurunan) harga suatu surat berharga, yang bisa memberikan keuntungan (kerugian) bagi investor.

Berdasarkan konteks investasi, return merupakan hasil yang diperoleh dari suatu investasi. Return dapat dibedakan menjadi dua, yaitu return realisasi (realized return) dan return ekspektasi (expected return).

Elton dan Gruber memperkenalkan model indeks tunggal (Single Index Mo-

del) untuk menganalisis portofolio. Analisis yang dilaksanakan dengan model

indeks tunggal dapat dijabarkan sebagai berikut :

8

1. Return saham dapat dihitung dengan rumus : Return = P t − P t−1

P t−1

Dimana :

P t = harga saham periode t.

P t−1 = harga saham periode sebelumnya.

2. Return ekspektasi saham dapat dihitung dengan rumus :

E(R i ) = P N

j=1 R ij

N Dimana :

R ij = Return saham i periode j.

E(R i ) = Tingkat keuntungan yang diharapkan dari investasi.

N = Jumlah periode.

Elton et al,. (1976) mengemukakan sebuah alternatif untuk memilih saham mana yang masuk dalam portofolio dengan menggunakan excess return to beta (ERB). Dimana ERB merupakan selisih antara tingkat pengembalian saham de- ngan tingkat pengembalian aset bebas resiko yang selanjutnya dibagi dengan beta saham tersebut. Excess return to beta ini diurutkan dari yang terbesar sampai yang terkecil. ERB juga mengukur tingkat tambahan pengembalian pada sebuah saham per unit dari resiko yang tidak dapat diversifikasi. Untuk menghitung excess return to beta adalah sebagai berikut :

ER = (R i − R f ) β i

(2.1)

Dimana :

ERB : Excess return to beta.

R i : Tingkat pengembalian saham ke i R f : Tingkat pengembalian aset bebas resiko β i : Beta saham ke i

Selanjutnya, Elton et al,. memberikan rumusan mengenai saham-saham

yang masuk dalam portofolio yaitu saham-saham yang memiliki ERB diatas batas

9

tertentu yang disebut dengan cut-off rate, yang dapat dihitung sebagai berikut:

C i =

σ ² _m P i j=1

(R j − R f )β j

σ ² _ej 1 + σ _m ² P i

j=1

β _J ² σ ² _ej

(2.2)

Dimana :

C i : Cut-off rate.

σ _m ² : Varians tingkat pengembalian pasar.

β j : Beta saham ke j.

σ _ej ² : Varians shama yang tidak dihubungkan dengan pasar ke j.

R i : Tingkat pengembalian saham ke i.

R f : Tingkat pengembalian aset bebas risiko.

Jones (1992) juga memperkenalkan analisis network atau jejaring yang di- aplikasikaan kepada model portofolio. Model portofolio ini selalu dipresentasikan dalam bentuk nodes yang selalu berhubungan dengan input dan output. Input dan output disebut juga masing-masing sebagai penawaran (supplies) dan per- mintaan (demands) dan ini merupakan komponen pertama. Komponen kedua digunakan dalam model portofolio adalah titik transaksi (point transaction) atau node portofolio (portofolio nodes).

2.4 Risiko

Risiko adalah segala sesuatu yang dapat mempengaruhi pencapaian tu- juan organisasi. Sedangkan manajemen risiko adalah serangkaian prosedur dan metodologi yang digunakan untuk mengindentifikasi, mengukur, mamantau, dan mengendalikan resiko yang timbul dari kegiatan usaha. Model yang berkembang dalam manajemen risiko adalah mengintegrasikan bagaimana pemimpin berpikir tentang risiko dan bagaimana pemimpin mengelola usaha mereka dan model terse- but dirancang untuk memonitor bagaimana manajemen risiko memberikan nilai.

Adapun beberapa jenis risiko yaitu :

10

1. Risiko lingkungan (eksternal environmental risk).

Yakni kerugian karena bencana alam, perubahan rasa dan preferansi pe- langgan, kompetitor, lingkungan politis, dan ketersediaan modal dan tenaga kerja.

2. Risiko proses usaha (business process risk).

Yakni diakibatkan tidak efektif dan efisien dalam memperoleh, membiayai, mentransformasikan, dan memasarkan barang-barang dan jasa, serta anca- man kerugian aktiva, termasuk reputasi perusahaan.

3. Risiko informasi (information risk).

Yakni diakibatkan informasi yang bermutu rendah untuk pengambilan ke- putusan usaha dan kesalahan memberikan informasi kepada pihak luar.

Faktor-faktor keberhasilan dalam pengelolaan risiko terdiri dari komitmen, tanggung jawab, kesadaran, kebijakan, metodologi, keterampilan, dan peman- tauan.

2.5 Investasi yang Risiko

Dalam konteks manajemen investasi, risiko merupakan besarnya penyim- pangan antara tingkat pengembalian yang diharapkan (expected return) dengan tingkat pengembalian yang dicapai secara nyata (actual return). Semakin besar penyimpangannya maka semakin besar tingkat risikonya. Adapun alat yang digu- nakan sebagai ukuran dalam menghitung tingkat pengembalian dan risiko dalam portofolio adalah sebagai berikut :

1. Return, return ekspektasi dan resiko saham.

(a) Return

Return = P t − P t−1

P t−1

(2.3) Dimana :

P t : Harga saham periode t

P t−1 : Harga saham periode sebelumnya

11

(b) Return ekspekstasi saham

E(R i ) = P N

j=1 R ij

N (2.4)

Dimana :

R ij : Return saham i periode j

E(R i ) : Tingkat keuntungan yang diharapkan dari investasi N : Jumlah periode

(c) Risiko saham

σ _i ² = P N

j=1 [(R ij − E(R i )] ²

N (2.5)

σ i =

sP N

j=1 [(R ij − E(R i )] ² N

Dimana N adalah return yang terjadi pada periode pengamatan.

2. Return, return ekspektasi dan resiko pasar (a) Return Pasar (IHSG)

R m,t = IHSG t − IHSG t−1

IHSG t−1

(2.6) Dimana :

R m,t : Return pasar periode t IHSG t : IHSG periode t

IHSG t−1 : IHSG periode seblumnya

(b) Return ekspektasi pasar

E(R m ) = P N

t=1 R m,t

N (2.7)

Dimana E(R m ) adalah return ekspektasi pasar.

(c) Resiko pasar

σ _m ² = P N

t=1 [(R m,t − E(R m )] ²

N (2.8)

Dimana σ ² _m adalah varian pasar.

3. Alpha dan beta sekuritas

12

(a) Alpha sekuritas

E(R i ) = α i + β i . E(R m ) (2.9) (b) Beta sekuritas

β i = σ im

σ _m ² (2.10)

atau

β i = P n

i=1 (R i − E(R i )) . (R m − E(R m )) P n

i=1 (E(R m ) − R m ) ² (2.11) 4. Kesalahan residu dan varian dari kesalahan residu

(a) Kesalahan residu

R i = α i + β i . R m + e i (2.12) Dimana e i adalah kesalahan residu.

(b) Varian dari kesalahan residu

σ ² _i = β _i ² σ _m ² + σ ² _ei (2.13) Dimana :

σ ei : Varian dari kesalahan residu sekuritas ke i σ _i ² : Varian saham i.

atau

σ _i ² = P N

i=1 [(e i − E(e i )] ²

N (2.14)

5. Retun dan risiko portofolio (a) Return ekspektasi portofolio

a. Beta dari portofolio (β p ) Yang merupakan rata-rata tertimbang dari β p masing-masing sekuritas.

β p = X n

i=1

w i . (β i ) (2.15)

b. Alpha dari portofolio (α p ) Yang merupakan rata-rata tertimbang dari α p tiap-tiap sekuritas.

α p = X n

i=1

w i . α i (2.16)

13

Dengan mensubsitusikan karateristik antara β p dengan α p maka return ekspektasi portofolio adalah sebagai berikut :

E(R p ) = α p + β p . E(R m ) (2.17)

(b) Risiko portofolio varian dari portofolio.

σ _p ² = β _p ² . σ _m ² + ( X

w i − σ ei ) ² (2.18) Dimana :

w i = X i

P k j=1 X j

dan X i = β i

σ _ei ² (ERB i − C ^∗ )

BAB 3

HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Model Optimasi Portofolio

Model Optimasi portofolio terdiri dari dua fungsi objektif yaitu memaksi- malkan nilai expected return dan meminimalkan risiko portofolio, risiko dalam hal ini adalah varian. Sedangkan variabel keputusan adalah mendapatkan propor- si dana yang akan diinvestasikan pada masing-masing saham dalam portofolio tersebut.

3.2 Perumusan Fungsi Obyektif Model

Penentuan fungsi obyektif model portofolio mempertimbangkan dua aspek, yaitu return dan risiko portofolio, sebagai berikut :

1. Fungsi obyektif maksimasi expected return.

M aksE(R p ) = X n

i=1

E(R i )(x i ) (3.1)

Dimana :

E(R p ) : Expected return portofolio

E(R i ) : Expected return dari investasi saham i

x i : Proporsi dana yang diinvestasikan pada saham i 2. Fungsi obyektif minimasi risiko.

M inσ _p ² = X n

i=1

σ _i ² x i + X n

i=1

X n h=1h6=1

x i x h cov(R i , R h ) (3.2)

14

15

3.3 Perumusan Fungsi Kendala .

Dalam memenuhi tujuan optimasi portofolio tersebut ada beberapa kendala, antara lain :

1. Fungsi kendala koefisien risiko.

Koefisien risiko mengukur korelasi antara nilai investasi dan gerakan pasar secara keseluruhan. Perumusan fungsi kendala koefisien risiko adalah seba- gai berikut :

0 <

X n i=1

β i x i ≤ 1 (3.3)

Dengan β i yang merupakan nilai koefisien risiko saham i. Karena investor cenderung menghindari risiko, maka koefisien risiko harus kurang dari atau sama dengan satu.

2. Fungsi kendala jumlah proporsi dana yang diinvestasikan.

Perumusan fungsi kendala jumlah proporsi dana yang diinvestasikan adalah sebagai berikut :

X n i=1

x i = 1 (3.4)

Jumlah proporsi dana yang diinvestasikan pada masing-masing saham adalah satu.

3. Fungsi kendala batas bawah dana yang diinvestasikan.

Agar dana yang diinvestasikan dapat terisi untuk semua saham, diasumsikan batas bawah penanaman modal adalah 10per sen.

x i ≥ 0, 1 (3.5)

Jadi model optimasi portofolio dapat diformulasikan sebagai berikut : M aksE(R p ) =

X m i=1

E(r i )(x i ) (3.6)

16

Min σ ² _p = P n

i=1 σ _i ² x i + P n i=1

P n

h=1h6=1 x i x h cov(R i , R h ) Dengan Kendala :

0 < X ^m

i=1 β i x i 6 1 X m

i=1

x i = 1

x i > 0, 1 i = 1, 2, 3, 4, 5

(3.7)

3.4 Perspektif Modern

Objek dari setiap pilihan ambigu dan dapat dideskripsikan secara objek- tif. Individu berperan dalam operasi matematis untuk memastikan serangkaian ketersediaan atau mengkalkulasi probabilita dari kondisi setiap kejadian. Pilihan- pilihan memiliki pelengkap yang saling berkaitan satu sama lain. Secara grafik, dapat diilustrasikan properti dari lineritas satu probabilita dengan menggunakan serangkaian undian diatas output tetap pada tingkatan x 1 > x 2 > x 3 yang dipresentasikan dengan tiga rangkaian probabilita dari bentuk p = (p 1 , p 2 , p 3 ) dimana p i = probabilita (x i ) dan Σp i = 1 karena p 2 = 1 − p 1 − p 3 .

3.5 Merumuskan Masalah Optimization Mean Variance

Dengan mempertimbangkan dasar persoalan pemilihan portofolio dan mo- delnya, pertama-tama perlu mengatur parameter dalam persoalan pemilihan porto- folio. Hasil yang diatur diharapkan dari E(r) total keuntungan masa depan dan total var variansi (r) sebagai berikut :

E(r) = ¯ r ^t .φ V ar(r) = φ ^t V φ

(3.8)

Dimana :

r : Menunjukan pengembalian masa depan diasumsikan dari sebuah variabel acak.

¯

r : Menunjukan nilai rata-rata dari variabel acak r.

V : Variasi Matriks Covarians dari variabel acak r.

φ : Portofolio dari setiap aset j; (j = 1, 2, . . . , n).

17

Dari notasi rata-rata varian model Markowitz diatas maka diusulkan mengu- bah rumus mengikuti kendala sebagai berikut :

Minimalφ ⁰ V φ (3.9)

Dengan kendala :

r ^t φ ≥ f, 1 ^t φ = 1

Dimana f adalah nilai target pengembalian di masa depan. Dalam masalah ini, diperkenalkan sebuah parameter v, dari masalah (3.9) merupakan ekuivalen yang berubah menjadi masalah berikutnya dengan memperkenalkan nilai target dari total varian v:

Minimalkan v Dengan Kendala :

φ ^t V φ ≤ v, r ^t φ ≥ f 1 ^t φ = 1

(3.10)

Dalam hal ini, kita mendapatkan nilai tegas parameter r dan v, dari ma- salah (3.10) merupakan setara dengan pemograman kuadratik dan kami mene- mukan sebuah portofolio optimal dengan menggunakan pendekatan standar pe- mograman cembung. Selanjutnya, sewaktu masalah (3.10) menganggap dengan meminimalkan total varian, kasus memaksimalkan keuntungan masa depan dapat diformulasikan sebagai berikut :

Minimalkan f Dengan Kendala :

φ ^t V φ ≤ v, r ^t φ ≤ f,

1 ^t φ = 1

(3.11)

Masalah ini juga merupakan masalah pemograman kuadratik dan didapat-

kan portofolio yang optimal. Namun, dalam dunia nyata, sulit untuk menerima

semua informasi dan data sehubungan dengan pengembalian masa depan dan

dapat menentukan distribusi variabel acak tersebut. Oleh karena itu, dalam per-

soalan ini, dianggap bahwa parameter r dan V memiliki unsur ketidakpastian dan

18

setiap parameter termasuk dalam himpunan ketidakpastian. Dalam persoalan ini dengan mempertimbangkan himpunan ketidakpastian, dari masalah (3.10) dan (3.11) bukan menjadi masalah pemogramana kuadratik. Oleh sebab itu, perlu membangun prosedur solusi untuk menyelesaikan persoalan tersebut. Bental dan Nemirovski (1999) merumuskan masalah pemilihan portofolio. Adapun rumus un- tuk masalah portofolio yaitu dengan meminimalkan total varian sebagai berikut :

Minimalkan v Dengan Kendala :

max

{V ∈S} φ ^t V φ ≤ v, (3.12)

min

{r∈M } r ^t φ ≥ f, 1 ^t φ = 1

Dimana M ⊂ R ⁿ dan S ⊂ R ^n×n merupakan himpunan ketidakpastian. De- ngan cara yang sama, untuk masalah (3.12), dapat dirumuskan persoalan pemil- ihan portfolio dengan memaksimalkan keuntungan masa depan sebagai berikut:

Maksimalkan f

Dengan Kendala :

min

{r∈M }

r ^t φ ≥ f, (3.13)

max {V ∈S} φ ^t V φ ≤ v, 1 ^t φ = 1

Dalam masalah ini, tidak didefinisikan dengan baik tanpa mendefinisikan himpunan ketidakpastian. Oleh karena itu, pertama diasumsikaan himpunan keti- dakpastian rata-rata varian r menjadi himpunan ellipsoid sebagai berikut :

M = {r|(r − r 0 ) ^t G(r − r 0 ) ≤ 1} (3.14) Dimana G ∈ R ^n×n merupakan sebuah matriks definit simetrik positif. Dalam hal ini, bagian kiri kendala min {r∈M } r ^t φ ≥ f , berubah menjadi bentuk berikut dengan memperkenalkan parameter ˆ r dan z sebagai berikut :

inf {µ∈M } r ^t φ = inf _kG

1/2

rk≤1 (r 0 + ˆ r) ^t φ = r ^t ₀ φ + inf {kzk≤1} z ^t G ^−1/2 φ (3.15)

19

Dimana kG ^1/2 rk = ˆ

√ ˆ

r ^t Gˆ r dan kzk =

√

z ^t z. Oleh karena itu, dengan memec- ahkan inf {kzk≤1} z ^t G ^−1/2 φ dengan memperhatikan z, maka dengan mudah didapat- kan solusi yang optimal sebagai berikut :

z ^∗ = − G ^−1/2 φ

kG ^−1/2 φk (3.16)

Gunakan solusi optimal z ^∗ , dengan mengumpamakan rumus (3.8) maka da- pat ditansformasikan menjadi bentuk sebagai berikut :

inf {r∈M } r ^t φ = r ^t ₀ φ − kG ^−1/2 φk (3.17)

Dengan cara yang sama dengan nilai rata-rata r, dengan mempertimbangkan sebuah ketidakpastian dari varian himpunan V mengikuti sebagai berikut :

S = {V |V  0, V ^t ≤ v ≤ V ^U } (3.18)

Dimana V ^L dan V ^U merupakan simetris matriks definit positif. Perhatikan bahwa, karena V dibatasi menjadi simetris, ketidaksamaan V ^L ≤ V ≤ V ^U dapat direpresentasikan dengan n(n + 1) yang merupakan komponen ketidaksamaan, dan dikatakan untuk bagian segitiga atas dari matriks simetris. Dengan kata lain, V ^L ≥ V merupakan notasi singkat untuk σ ^L _ij ≤ σ ij , 1 ≤ i ≤ j ≤ n, dan mirip dengan V ≤ V ^U . Oleh karena itu, kendala max {v∈M } φ ^t V φ ≤ v, ditrans- formasikan menjadi max {v∈S} φ ^t V φ ≤ v ↔ φ ^t V ^U φ ≤ v, dan masalah utamanya adalah ekuivalen berubah menjadi masalah sebagai berikut :

Minimal v

Dengan kendala :

φ ^t V ^U φ ≤ v, (3.19)

φ ^t V ^U φ ≤ v, 1 ^t φ = 1

Kemudian, dari masalah (3.19) juga merupakan ekuivalen yang berubah menjadi masalah sebagai berikut :

Minimal f

20

Dengan kendala :

r ^t ₀ φ − kG ^−1/2 φk ≥ f, (3.20) φ ^t V ^U φ ≤ v,

1 ^t φ = 1

Masalah diatas merupakan masalah pemograman cembung, sehingga dida- patkan solusi optimal menggunakan pendekatan pemograman cembung.

3.6 Perluasan Fuzzy dari Optimisasi Persoalan Mean-Variance

Dengan perluasan setiap parameter set r yang telah diasumsikan menjadi set ellipsoid yang memiliki nilai yang tetap. Sehingga, dalam dunia nyata banyak dijumpai jenis informasi yang efisien maupun tidak efisien dan para investor mem- liki institusi yang peduli dengan pasar saham yang disebabkan oleh beberapa fak- tor. Salah satu faktornya adalah ambugitas dan menjadi pertimbangan persoalan pemilihan portofolio. Dengan mengasumsikan ¯ r 0 kedalam ambiguitas dan men- jadikannya bilangan fuzzy merupakan definisi ulang dari ketidakpastian persoalan tersebut. Adapun definisi ulang dari set ketidakpastian adalah sebagai berikut :

M = {˜ r : (˜ r − ˜ r 0 ) ^t G(˜ r − ˜ r 0 ) ≤ 1} (3.21)

˜

r o sendiri merupakan bilangan fuzzy yang telah diasumsikan menjadi sejum- lah L-Shape fuzzy berikut:

µ r0j ¯ (ω) =

 



  L

 ω − ¯ r 0j

α j



(¯ r 0j − α j 6 ω 6 ¯ r 0j + α j ) 0 (ω 6 ¯ r 0j − α j , ¯ r 0j + α j 6 ω)

(3.22)

Dalam tulisan ini, diasumsikan ketidaksamaan berikut sehubungan dengan aset masing-masing :

µ _0j − L ^∗ (h)α j ≥ 0 (3.23)

Himpunan ketidakpastian ˜ U = (r−˜ r 0 ) ^t G(r−˜ r 0 ) termasuk vektor angka fuzzy

˜

r dan juga ˜ U adalah sebuah angka fuzzy. Oleh karena itu, fungsi keanggotan dari U adalah sebagai berikut : ˜

µ U ˜ (ω) = sup {γ

0j

} {min {1≤j≤n} µ γ

_0j

(γ 0j )|ω = (r − γ 0 ) ^t G(r − γ 0 } (3.24)

21

Kemudian, himpunan ketidakpastian dari rumus (3.14) ditransformasikan mengikuti bentuk dalam kasus ini dan memperkenalkan h-cut :

M h = {r|µ r (ω) ≥ h} (3.25)

Selanjutnya, dengan memperhatikan ketidakjelasan penilaian manusia dan fleksibilitas untuk eksekusi rencana, perlu diberikan tujuan fuzzy untuk kemung- kinan target sebagai himpunan fuzzy yang ditandai dengan fungsi keanggotaan.

Dalam subbagian ini, perlu dipertimbangkan tujuan kemungkinan fuzzy µ _U (f ) yang diwakili oleh,

µ U (f ) =

 

 



 

 

0 ([f 6 f 0 ]

gF (f ) f 0 6 f 6 f 1

1 f 1 6 f

(3.26)

Dimana g F (f ) adalah fungsi kontinu dengan tegas meningkat. Kemudian, de- ngan menggunakan dari konsep pengukuran, dipertimbangkan tujuan kemung- kinan fuzzy µ _U (f ) yang mengikuti :

Π _F ( ˜ G) = sup {f } min{µ _U (f ), µ _G (f )} (3.27)

Kemungkinan pengukuran, dalam kasus ini dianggap µ _U (f ) ≥ hX, dapat diperoleh perubahan dengan mengikuti :

µ _U (ω) ≥ h,

⇔ sup {γ0j} {min {1≤j≤n} µ r0j (γ oj )|ω = (r − γ 0 ) ^t G(r − γ 0 ) ≤ 1} ≥ α

⇔ r ^t Gr − 2r ^t G(r 0 − L ^∗ (h)α) + (r 0 − L ^∗ (h)α) ^t G(r 0 − L ^∗ (h)α)) ≤ 1

⇔ (r − (r 0 − L ^∗ (h)α)) ^t G(r − (r 0 L ^∗ (h)α)) ≤ 1

(3.28)

Dimana L ^∗ (x) adalah fungsi invers semu dari L(ω). Menggunakan ketidaksetaraan ini, ekspresi dari (3.15), dan dari nilai optimal rumus (3.16), ungkapan ini sama dengan mengikuti bentuk berikut :

inf {r∈M } r ^t φ = inf _{kG

^1/2

_k≤1} ((r 0 − L ^∗ (h)α) + ˆ r) ^t φ

= (r 0 − L ^∗ (h)α) ^t φ + inf {kzk≤1} z ^t G ^1/2 φ

(3.29)

22

Kemudian, inf {kzk≤1} z ^t G ^−1/2 φ dalam ekspresi rumus (29) adalah sama dengan ekspresi yang dirumus (3.15), dan dari nilai optimal (3.16), ungkapan ini sama dengan mengikuti bentuk berikut :

inf {r∈M } r ^t φ = (r 0 − L ^∗ (h)α) ^t φ − kG ^−1/2 φk (3.30) Akibatnya, dalam kasus yang dianggap Π _F ( ˜ G)hX yang kemungkinan ukuran kendala-kendala ini diubah kedalam ketidaksetaraan berikut :

Π F ˜ ( ˜ G) ≥ h

⇔ sup {f } min{µ F ˜ (f ), µ U ˜ (f )} ≥ (h)

⇔ µ F ˜ (f ) ≥ h, µ G ˜ (f ) ≥ h

⇔ sup{min {µ∈M } ≥ h, g ≥ g ⁻ 1 F (h)

⇔ (r 0 − L ^∗ (h)α) ^t φ − kG ^1/2 φk ≥ f, f ≥ g ⁻ 1 F (h)

⇔ (r 0 − L ^∗ (h)α) ^t φ − kG ^1/2 φk ≥ g _F ⁻¹ (h)

(3.31)

Dalam cara yang sama berarti nilai r, dapat dipertimbangkan ketidakpastian himpunan V varians mengikuti sebagai berikut :

S = {V |V  0, V ^L ≤ V ≤ V ^U } (3.32)

Dalam tulisan ini, dapat diasumsikan himpunan ketidakpastian yang sama mengikuti bentuk yang diperkenalkan oleh sebuah L-Shape Fuzzy dengan keikut- sertaan dari komponen V.

S = [V = (σ ij )|

µ σ

_ij

(ω) = L = [ σ ij − ω β ij

], (σ ij − β ij ≤ ω ≤ σ ij + β ij ) σ ij = σ ji , β ij = β ji

] (3.33) Kemudian, dapat dilaksanakan dengan tujuan fuzzy dari total varians µ _G (v) di- mana dijabarkan sebagai berikut :

µ _G (v) =

( 1 ([v ≤ v 1 ] g v (v) v L ≤ v ≤ v U

0 v U ≤ v

(3.34)

Dimana g v (v) adalah kontinu dengan tegas menurun. Kemudian, dengan meng- gunakan konsep ukuran kemungkinan, dapat diperkenalkan tingkat kemungkinan sebagai berikut :

Π V ˜ ( ˜ G) = sup {v} min{µ V ˜ (v), µ G ˜ (v)} (3.35)

23

Sehubungan dengan mengukur kemungkinan, dengan cara yang sama untuk mengu- bah rumus dari (3.24), Π V ˜ ( ˜ G) ≥ h diubah menjadi bentuk yang mengikuti sebagai berikut :

Π V ˜ ( ˜ G) ≥ h

⇔ sup {v} min{µ V ˜ (f ), µ V ˜ (f )} ≥ (h)

⇔ µ V ˜ (v) ≥ h, µ G ˜ (v) ≥ h

⇔ P os{max {V ∈S} ≥ h, v ≥ g ⁻ 1 v (h)

⇔ φ ^t V _(h) ^U φ ≤ v, v ≤ g ⁻ 1 V (h)

⇔ φ ^t V _(h) ^U φ ≤ g _V ⁻¹ (h)

(3.36)

Dimana V _(h) ^U merupakan asumsi dari sebuah simetris difinit positif matrix yang masing-masing komponen menjadi σ ij + L ^∗ (h)β ij . Kemudian, diusulkan masalah pemilihan portofolio dengan mengikuti kemungkinan maksimum sebagai model :

Masimum h Dengan Kendala :

Π V ˜ ( ˜ G) ≥ h, Π F ˜ ( ˜ G) ≥ h 1 ^t φ = 1

(3.37) Masalah ini secara ekuivalen berubah menjadi masalah berikut ini dengan meng- gunakan transformasi kendala kemungkinan dari rumus (3.24) dan (3.29) :

Maksimalkan h Dengan kendala :

(r 0 − L ^∗ (h)α) ^t φ − kG ⁻¹ φk ≥ g _F ⁻¹ (h) φ ^t V _(h) ^U φ ≤ g ⁻¹ _V (h)

1 ^t φ = 1

(3.38)

Perlu dicatat disini, bahwa masalah dari rumus (3.38) adalah masalah pemogra- man non-conves dan tidak diselesaikan dengan teknik-teknik pemograman linear atau teknik pemograman cembung. namun, karena h variabel keputusan yang tetap, masalah ini adalah setara dengan masalah untuk menemukan solusi yang layak untuk φh dalam melibatkan himpunan berikut :

µ _G (v) =

 



(r 0 − L ^∗ (h)α) ^t φ − kG ^−1/2 φk ≥ g _F ⁻¹ (h), ) φ (φ ^t V _(h) ^U φ ≤ g _V ⁻¹ (h))

1 ^t φ = 1

 

 (3.39)

24

Akibatnya, membangun metode solusi berikut untuk masalah pemilihan portofolio termasuk angka fuzzy.

Solusi Metode

Langkah 1 : Minta fungsi keanggotaan fuzzy dengan tujuan berkaitan dengan pengem- balian yang diharapkan dari jumlah dan varians.

Langkah 2 : Himpunan h ← 1 dan untuk menyelesaikan masalah dari rumus (3.40). Jika solusi yang mungkin dari φ h ∈ S tidak ada, kemudian berakhir. Dalam hal ini, solusi saat diperoleh solusi optimal dari masalah utama.

Langkah 3 : Himpunan h ← 0 dan untuk menyelesaikan masalah dari rumus (3.40). Jika solusi yang mungkin dari φ h ∈ S tidak ada, kemudian berakhir. Dalam hal ini, tidak ada solusi yang layak dan perlu untuk mengatur ulang tujuan fuzzy sehubungan dengan pengembalian yang diharapkan dari jumlah dan varians.

Langkah 4 : Tetapkan U h ← 1 dan L h ← 0.

Langkah 5 : Tetapkan h ← U h + L h

2

Langkah 6 : Menyelesaikan masalah dari rumus (3.39). Jika solusi yang layak ada, maka tetapkan U h ← h dan kembali ke langkah 5. Jika tidak, kemudian L h ← h dan kembali ke langkah 5.

Itu pasti kemungkinan bahwa ditemukan solusi layak dari masalah rumus (3.39) untuk setiap nilai parameter h, tetapi tidak mudah untuk menemukan solusi yang mungkin karena ini daerah layak adalah cembung. Oleh karena itu, untuk menemukan solusi yang mungkin dari φ h dan solusi optimal untuk φ ^∗ agar lebih efisien dan analitis, mengubah masalah (3.38) ke dalam masalah deterministik setara

Minimalkan φ ^t V _(h) ^U φ Dengan kendala

(r 0 − L ^∗ (h)α) ^t φ − kG ^−1/2 φk ≥ g _F ⁻¹ (h), (3.40)

25

Berkaitan dengan hubungan antara masalah dari rumus (3.38) dan (3.40), maka dapat diperoleh teorema berikut berdasarkan studi dari Katagiri et al,. (2004) dan Katagiri et al,. (2005).

Teorema 1

Biarkan nilai optimal dari masalah rumus (3.39) menjadi h ^∗ . Selanjutnya biarkan solusi optimal dari masalah rumus (3.40) menjadi φ _h dan nilai yang optimal men- jadi φ ^t V ^U

h φ. Maka hubungan berikut berlaku :

h ^∗ > h ⇔ φ ^t V _h ^U φ < g _V ⁻¹ (h) h ^∗ = h ⇔ φ ^t V _h ^U φ < g _V ⁻¹ (h) h ^∗ < h ⇔ φ ^t V _h ^U φ < g _V ⁻¹ (h)

(3.41)

Selanjutnya, sebagai fungsi perkiraan untuk kG ^−1/2 φk = p

φ ^t G ⁻¹ φ. Diperke- nalkan rata-rata deviasi absolut yang mengikuti sebagai berikut :

W (φ) = E|

X n {j=1}

r _j ^(g) φ j − X n

j=1

r ^(g) _j φ j |

= X T {i=1}

p t | X n {j=1}

(r ^(g) _ij − r ^(g) _j )φ j |

(3.42)

Dimana r ^(g) _i = {r ^(g) _t1 , . . . , r ^(g) m }, (t = 1, 2, . . . , T ) adalah distribusi diskrit untuk variabel acak r berdasarkan pada ssatu himpunan ketidakpastian dari rumus (3.14), dan r ^(g) _j adalah rata-rata aritmatika. Kemudian, p 1 adalah setiap ke- mungkinan munculnya r _i ^(g) . Selanjutnya, dalam kasus ini G ⁻¹ adalah kovari- an matriks yang varians berasal dari distribusi normal, itu menunjukkan bahwa φ ^t G ⁻¹ φ = ^pi ₂ {W (φ)} ² oleh studi sebelumnya dari Konno (1990). Oleh karena itu, deviasi mutlak dari W (φ) dianggap menjadi sebuah fungsi perkiraan.

Dengan menggunakan rata-rata deviasi absolut, masalah dari rumus (3.40) yang sekiranya berubah menjadi masalah berikut :

Minimal φ ^t V ^U

(h) φ Dengan kendala :

(r 0 − L ^∗ (h)α) ^t φ − r π

2 {W (φ)} ² ≥ g _F ⁻¹ (h), 1 ^t φ = 1

(3.43)

26

dan seterusnya.

(r 0 − L ^∗ (h)α) ^t φ − r π

2 W (φ) ² ≥ g _F ⁻¹ (h), 1 ^t φ = 1

(3.44)

Selanjutnya dengan memperkenalkan parameter ξ, masalah dari rumus (3.44) yang secara ekuivalen berubah menjadi masalah berikut :

Minimal φ ^t V _(h) ^U φ

Dengan kendala :

(r 0 − L ^∗ (h)α) ^t φ − r π

2 X T

i=1

p i ξ i ≥ g ⁻¹ _F (h)

ξ i − X n j=1

(r _ij ^(g) − r ^(g) _j )φ j ≥ 0,

ξ i − X n j=1

(r _ij ^(g) − r ^(g) _j )φ j ≥ 0, (t = 1, 2, . . . , T ) 1 ^t φ = 1

(3.45)

Masalah (3.44) juga merupakan masalah dasar pemograman kuadrat. Karena itu,

kita dapatkan portofolio optimal yang lebih efisien daripada masalah (3.38).

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Telah diusulkan model perluasan penilihan portofolio dengan mempertim- bangkan kondisi ketidakpastian. Karena masalah ini tidak didefinisikan dengan baik, disebabkan adanya bilangan fuzzy. Diperkenalkan keterbatasan kemung- kinan dan mengubahnya ke dalam masalah yang setara deterministik. Selain itu, untuk menyelesaikannya secara analitis, diusulkan metode solusi yang efisien dengan menggunakan rata-rata deviasi absolut. Diusulkannya masalah dasar pemilihan portofolio, sehingga dapat diterapkan model tersebut terhadap ma- salah portofolio yang lebih fleksibel dan kompleks dalam seleksi pasar investasi nyata daripada model sebelumnya.

4.2 Saran

Sebagai studi masa yang akan datang, diperhatikan bahwa tidak hanya rata- rata variansi pemilihan masalah portofolio tetapi juga pemilihan model lain porto- folio. Kemudian, dipecahkan kasus dari solusi optimal yang dibatasi untuk bilang- an bulat dan pemilihan masalah multi periode portofolio tersebut.

27