BAB 2 LANDASAN KEPUSTAKAAN
2.4 Permasalahan Optimasi Multitujuan
Dalam kehidupan sehari-hari, memiliki beberapa tujuan dalam suatu masalah merupakan hal yang lazim begitu juga dalam permasalahan formulasi pakan ternak unggas. Selain meminimalkan biaya yang dikeluarkan, formulator pakan bisa memiliki tujuan untuk meminimalkan kandungan zat makanan tertentu seperti fosfor. Permasalahan semacam ini biasa disebut masalah multitujuan (multi-objective problem). Aktivitas atau upaya pencarian solusi masalah multitujuan disebut optimasi multitujuan (Multi-Objective Optimization Problem, MOOP).
Secara sederhana, masalah optimasi tujuan tunggal dapat dinyatakan dalam model matematis seperti pada Persamaaan (2.7) (Caramia dan Dell’Olmo, 2008).
Min/Maks f (x) (2.7)
dengan x∈S ,
S ={x ∈Rm: g ( x)≥0, h(x )=0}
f adalah fungsi tujuan, x adalah variabel keputusan (parameter), dan S adalah himpunan kendala yang harus dipenuhi oleh fungsi tujuan yang juga berarti ruang pencarian.
Secara umum, masalah multitujuan berkendala dapat dinyatakan dalam model matematis seperti pada Persamaan (2.8) (Deb, 2001).
Min/ Maks fm(x ), m=1, 2, ... , M ; (2.8) subject to gj(x )≥0, j=1,2, ... , J ; hk(x )=0, k =1,2, ... , K ; x(iL) ≤xi≤xi(U ) , i=1, 2,... , n .
Berdasarkan Persamaan (2.8), ada M fungsi tujuan f(x) = (f1(x), f2(x), …, fM(x))T. Solusi x merupakan vektor yang terdiri dari n variabel keputusan: x = (x1, x2, …, xn)T. Fungsi tujuan ini terikat pada sejumlah J kendala pertidaksamaan dan K kendala persamaan. Notasi gj(x) ≥ 0 dan hk(x) ≥ 0 masing-masing merupakan fungsi kendala pertidaksamaan dan fungsi kendala persamaan. Kendala terakhir merupakan batasan variabel, untuk membatasi masing-masing nilai variabel keputusan xi antara batas bawah xi(L) dan batas atas xi(U). Batasan ini merupakan
ruang variabel keputusan D (atau ruang keputusan). Terminologi titik (point) dan solusi dapat digunakan bergantian untuk menunjukkan solusi vektor x. Solusi yang tidak memenuhi semua kendala (J + K) dan batasan variabel disebut solusi infeasible (tidak layak). Sebaliknya, jika ada solusi x memenuhi semua kendala dan batasan variabel, maka solusi x disebut solusi feasible (layak). Oleh karena itu, dengan adanya kendala, seluruh ruang variabel keputusan D tidak perlu feasible. Himpunan semua solusi feasible disebut feasible region atau ruang pencarian (search space, S) (Deb, 2001).
Dalam optimasi multitujuan, masing-masing fungsi tujuan bisa berupa fungsi minimalisasi atau maksimalisasi. Dalam konteks optimasi, berdasarkan prinsip dualitas, disarankan agar mengonversikan masalah maksimalisasi ke dalam masalah minimalisasi dengan mengalikan fungsi tujuan dengan -1. Hal ini dilakukan untuk mempermudah dalam mengatasi fungsi-fungsi tujuan yang berbeda (minimalisasi dan maksimalisasi) dalam suatu masalah optimasi multitujuan (Deb, 2001).
Optimasi tujuan tunggal berbeda dengan optimasi multitujuan. Salah satu perbedaan mencolok antara keduanya adalah bahwa dalam optimasi multitujuan, fungsi tujuan membentuk ruang multidimensi, sebagai tambahan selain adanya ruang variabel keputusan. Ruang tambahan ini disebut objective space (ruang tujuan), Z. Ilustrasi kedua ruang ini dan pemetaan antara keduanya dapat dilihat pada Gambar 2.1. Untuk setiap solusi x dalam ruang variabel keputusan, terdapat titik di ruang tujuan, dilambangkan dengan f(x) = z = (z1, z2, …, zM)T. Pemetaan berlangsung antara vektor solusi berdimensi n dengan vektor tujuan berdimensi M.
Gambar 2.1 Representasi Ruang Variabel Keputusan (kiri) dan Ruang Tujuan (kanan)
2.4.1 Dominasi
Dalam optimasi multitujuan, tujuan yang diinginkan sering bersaing antara tujuan yang satu dengan yang lainnya. Oleh karena itu, dalam optimasi multitujuan, solusi optimal didefinisikan dalam terminologi “solusi tak terdominasi” (Non-dominated Solutions).
Ruang pencarian multitujuan menggunakan konsep dominasi dalam arti bahwa dua solusi berhubungan satu sama lain dengan dua kemungkinan, yaitu salah satu dari solusi tersebut mendominasi solusi yang lain atau tidak mendominasi. Misal ada sejumlah M fungsi tujuan. Untuk menangani fungsi tujuan minimalisasi dan maksimalisasi, operator digunakan antara dua solusi ⊲ i dan j, yaitu i ⊲ j untuk menyatakan bahwa solusi i lebih baik dari pada solusi j pada tujuan tertentu. Demikian pula, i ⊳ j memiliki arti, solusi i lebih buruk dari pada solusi j pada tujuan tertentu. Solusi x(1) dikatakan mendominasi solusi x(2)
lainnya (x(1) ≼ x(2)) jika kedua kondisi berikut bernilai benar, yaitu (Deb, 2001): 1. Solusi x(1) tidak lebih buruk dari pada solusi x(2) di semua fungsi tujuan, yang
dapat dimodelkan dengan notasi: fj(x(1)) ⋫ fj(x(2)) di semua j = 1, 2, ..., M. 2. Solusi x(1) benar-benar lebih baik dari pada solusi x(2), paling tidak di satu
fungsi tujuan, yang dapat dimodelkan dengan notasi: fj(x(1)) ⊲ fj(x(2)) paling tidak di satu fungsi tujuan j∊ {1, 2, ..., M}.
Jika solusi x(1) mendominasi solusi x(2), maka dapat dikatakan bahwa solusi x(1)
lebih unggul dari pada solusi x(2).
Definisi dominasi di atas menyatakan hubungan dominansi antara dua solusi. Ada tiga kemungkinan yang bisa terjadi dalam dominansi antara solusi 1 dan solusi 2, yaitu (i) solusi 1 mendominasi solusi 2, (ii) solusi 1 didominasi oleh solusi 2, atau (iii) solusi 1 dan solusi 2 tidak saling mendominasi. Hubungan dominansi antara dua solusi memiliki sifat-sifat berikut ini (Deb, 2001):
Reflektif: Hubungan dominansi tidak reflektif, karena solusi p tidak mendominasi dirinya sendiri sehingga kondisi kedua dalam definisi dominasi tidak dapat terpenuhi.
Simetris: Hubungan dominansi tidak juga simetris, karena p ≼ q tidak berarti q ≼ p. Namun, kebalikannya benar, bahwa jika p mendominasi q, maka q tidak mendominasi p, sehingga hubungan dominansi bersifat asimetris.
Antisimetris: Karena hubungan dominansi tidak simetris, maka pasti tidak antisimetris.
Transitif: Hubungan dominansi bersifat transitif karena jika p ≼ q dan q ≼ r, maka p ≼ r.
Hal penting lainnya yang harus diperhatikan dalam dominansi adalah, jika solusi p tidak mendominasi solusi q, bukan berarti q mendominasi p (Deb, 2001).
Hubungan dominansi yang dijelaskan sebelumnya terkadang mengacu pada dominansi “lemah”. Hubungan dominansi dikatakan “lemah” jika solusi x(1)
mendominasi solusi x(2), paling tidak di satu fungsi tujuan hingga M−1 tujuan. Hubungan dominansi solusi x(1) dan solusi x(2) dikatakan “kuat” atau solusi x(1)
dikatakan benar-benar mendominasi solusi x(2) (x(1) ≺ x(2)), jika solusi x(1) benar-benar lebih baik dari pada solusi x(2) di semua M tujuan (Deb, 2001).
Dalam masalah optimasi multitujuan minimalisasi dengan m variabel keputusan dan n tujuan dapat dimodelkan secara matematis seperti pada Persamaan (2.9) (Zitzler, Deb, dan Thiele, 2000).
Min y =f (x )=(f1(x ),... , fn(x)); (2.9)
dengan
x=(x1,... , xm)∈X ,
y=( y1,... , yn)∈Y ,
Pada Persamaan (2.9), variabel x adalah vektor keputusan, X adalah ruang parameter, y adalah vektor fungsi tujuan, dan Y adalah ruang fungsi tujuan. Vektor keputusan a ∊ X dikatakan mendominasi (dominansi kuat) vektor b ∊ X (a ≺ b) jika dan hanya jika kondisi pada Persamaan (2.10) terpenuhi.
∀i∈{1,... , n}: fi(a)≤fi(b) ∧ ∃i∈{1,. .. , n}: fi(a)<fi(b). (2.10) Secara global (optimasi minimalisasi/maksimalisasi), vektor keputusan a ∊ X mendominasi vektor b ∊ X jika dan hanya jika a lebih baik dari pada b di semua fungsi tujuan dan a lebih baik dari pada b paling sedikitnya pada satu fungsi tujuan (Zitzler, Deb, dan Thiele, 2000).
Dengan a ∊ X, vektor keputusan a dikatakan solusi yang tidak terdominasi, berhubungan dengan himpunan X' ⊆ X, jika dan hanya jika tidak ada vektor keputusan di X' (anggota solusi yang ada) yang mendominasi a. Secara formal, hal ini dapat dinyatakan dalam model matematis seperti pada Persamaan (2.11) (Zitzler, Deb, dan Thiele, 2000).
∄a '∈X ' :a '≺a (2.11)
a dikatakan solusi Pareto-optimal jika dan hanya jika a tidak terdominasi dalam X. Dengan himpunan solusi yang ada (atau titik dalam ruang fungsi tujuan), apakah suatu titik mendominasi titik yang lain dapat dilihat pada Gambar 2.2(a). Semua titik yang tidak didominasi oleh anggota lain disebut sebagai “titik tak terdominasi” (non-dominated points), yaitu titik 3, 5, dan 6 (Deb, 2011a). Vektor keputusan Pareto-optimal tidak bisa ditingkatkan di fungsi tujuan manapun tanpa mengorbankan paling tidak di satu tujuan, sehingga menghasilkan trade-off yang terbaik (Deb, 2011a; Zitzler, Deb, dan Thiele, 2000). Pada Gambar 2.2(a), titik 6 mengorbankan tujuan ke-2 untuk mendapatkan trade-off yang baik pada tujuan ke-1. Kumpulan titik yang tidak terdominasi ini membentuk front jika diperhatikan secara bersama dalam ruang fungsi tujuan, sehingga kumpulan titik ini sering divisualisasikan untuk representasi non-domination front seperti pada Gambar 2.2(b) (Deb, 2011a).
Gambar 2.2 (a) Himpunan Titik dan (b) Non-dominated Front
Sumber: (Deb, 2011a)
Dengan konsep pada Gambar 2.2, akan lebih mudah untuk mendefinisikan solusi Pareto-optimal dalam MOOP. Jika himpunan titik pada Gambar 2.2(a) berisi semua titik dalam ruang pencarian (dengan asumsi tercacahkan), titik yang ada di non-dominated front, secara definisi, tidak didominasi oleh titik lain dalam ruang fungsi tujuan, sehingga titik ini disebut titik optimal (atau front optimal) dan vektor variabel keputusan yang berkaitan disebut solusi Pareto-optimal (Deb, 2011a).
Seperti halnya dalam optimasi tujuan tunggal, dalam optimasi multitujuan ada solusi optimal lokal dan global, yaitu solusi Pareto-optimal lokal dan solusi Pareto-optimal global. P dikatakan solusi Pareto-optimal lokal jika untuk setiap anggota x dalam himpunan P, tidak ada solusi y (di sekitar x sedemikian hingga ∥ y − x ∞ ≤ ε∥ , dimana ε adalah bilangan kecil positif) yang mendominasi anggota P. P dikatakan solusi Pareto-optimal global jika tidak ada solusi dalam seluruh ruang pencarian S feasible yang mendominasi anggota P, dengan kata lain, solusi tak terdominasi dari seluruh ruang pencarian S feasible merupakan sulusi Pareto-optimal global (Deb, 2011a). Perbedaan antara solusi Pareto-Pareto-optimal lokal dan solusi Pareto-optimal global dapat diperhatikan pada Gambar 2.3.
Gambar 2.3 (a) Solusi Pareto-optimal Global dan (b,c) Solusi Pareto-optimal Lokal
Menurut Deb (2001), ada dua sasaran dalam optimasi multitujuan, yaitu: 1. Menemukan himpunan solusi yang sedekat mungkin dengan front
Pareto-optimal.
2. Menemukan himpunan solusi yang berbeda sebisa mungkin.